I kolokwium ze Wstępu do Teorii Miary

Transkrypt

1 I kolokwium ze Wstępu do Teorii Miary Grupa A 1. (a)udowodnić,żelim(a n B n ) lima n limb n. (b) Znaleźć granice górną i dolną ciągu zbiorów: ( A n = ( 1) n 1,1 ( 1)n 1 ) [3,4+( 1) n ). n n a)x lim(a n B n )wtedyitylkowtedy,gdyxnależydonieskończenie wieluprzekrojówa B.Alewtedyx A n dlanieskończeniewieluni x B n dlanieskończeniewielun.zatemnależyjednocześniedolima n ilimb n. b)dlakażdegoxzprzedzialu(0,1)istniejetakien,żedlan>n 0 zachodzi 1 n <x<1 1 n.zatem(0,1) lima n.punktyzodcinka[3,5] nienależądoa n dlanieparzystych,aspoza(0,1) [3,5]nienależądo A n dlaparzystychn(zwykledlażadnych),więc(0,1)=lima n. Dodatkowo,punkty0,1należądoA n dlanieparzystychn,aprzedział [3,5]zawierasięwA n dlaparzystychn.punktyz(,0) (1,3) (5, )należądoconajwyżejskończeniewielua n,więclima n =[0,1] [3,5]. 2. Znaleźć σ-ciało generowane w Z przez rodzinę wszystkich trzyelementowychzbiorówpostaci{2n,2n+1,2n+2}(n Z).Odpowiedźuzasadnić. Dowiedziemy,żejestto2 Z,czylirodzinawszystkich podzbiorów Z. Jest jasne, że jest to σ-ciało, bo skoro zawiera wszystkie podzbiory Z, to jest zamknięte na wszystkie możliwe operacje mnogościowe. Oczywiście, zawiera też zbiory trzyelementowe danej postaci, bo zawiera wszystkie podzbiory. Wystarczy więc uzasadnić, że każdy zbiór dasięuzyskaćztrzyelementowychzbiorówpostaci{2n,2n+1,2n+2} przez działania nie wyprowadzające(ogólnie) poza σ-ciało. Ponieważ każdy podzbiór Z jest przeliczalną sumą zbiorów jednoelementowych, wystarczy wygenerować zbiory jednoelementowe. Dlanparzystych,czylipostacin=2k,mamy {n}={2k,2k+1,2k+2} {2k 2,2k 1,2k}, zatem potrafimy wygenerować singletony parzyste. Wobec tego dla n nieparzystych,n=2k+1,możemyzapisać {n}={2k,2k+1,2k+2}\{2k}\{2k+1}, 1

2 co kończy dowód. 3. Zdefiniujmy σ-ciało borelowskie B na R jako najmniejsze σ-ciało zawierające wszystkie przedziały otwarte. Udowodnić, że B jest generowane przezrodzinę{(,q]:q Q}. Oznaczmy przez A σ-ciało generowane przez daną rodzinę.zauważmy,żedlakażdejliczbya Rmamy (,a)= (,q n ], gdy(q n )jestrosnącymciągiemliczbwymiernychzbieżnymdoa.podobnie, (,a]= (,q n ], gdy(q n )jestmalejącymciągiemliczbwymiernychzbieżnymdoa.zatempółproste(,a),(,a]należądoadlawszystkicha R. Ponieważ,dladowolnycha<b Rmamy (a,b)=(,b) ( (,a] ) c, każdyprzedziałotwartymusinależećdoa.czylib A. Z drugiej strony,(q, ) można zapisać, na przykład, jako przeliczalną sumęprzedziałowotwartych (q,q+n).zatem(,q]=(q, ) c należydob,czylia B. 4. Niech(X, F) będzie przestrzenią mierzalną. Ustalmy skończony zbiór {x 1,...,x k } X.Czyfunkcjazbioruµ:F [0, ]określonawzorem jest miarą? µ(a)= k A(x i ) Miara jest nieujemną przeliczalnie addytywną funkcją zbioru spełniającą przypisująca zbiorowi pustemu 0. Skoro µ jest sumąwartościfunkcjinieujemnych,tojestnieujemna.ponadto (x)=0 dlakażdegox,więcµ( )=0.Rozważmyterazciąg(A n )zbiorówparamirozłącznych.niecha= A n.dlakażdego,...,kmamy A(x i )=1wtedyitylkowtedy,gdyistniejetakin(k),że An(k) (x i )=1. Zatem k k A(x i )= A n(k) (x i ) 2

3 Co więcej, taki n może być tylko jeden dzięki rozłączności, więc k k A n(k) (x i )= A n (x i ). Zamieniając kolejność sumowania na mocy twierdzeń o arytmetyce granic,mamyµ(a)= A n. 5. Które z poniższych zdań są fałszywe, a które prawdziwe? Odpowiedzi nie trzeba uzasadniać. Za dobrą odpowiedź dodajemy 1 punkt, za złą odejmujemy 1 punkt. Brak odpowiedzi nie jest punktowany. (a)jeślia n jestwstępującymlubzstępującymciągiemzbiorówmierzalnych(wpewnejprzestrzenimierzalnej),tolima n jestzbiorem mierzalnym. (b) Każde σ-ciało jest rodziną monotoniczną. (c)µ(a\b)=µ(a) µ(b). (d)jeśliµjestmiarąi A n =,toµ( A n )= µ(a n ). (e)zbiorytypuf σ sąborelowskie. T(wtedy granice są odpowienio przeliczalną sumą lub przeliczalnym przekrojem); T(skoro jest zamknięte na wszystkie przeliczalne sumy i przekroje, to tym bardziej na monotoniczne); N(niejesttaknp.gdyA B= iµ(b)>0); N(za słabe założenie); T(F σ toprzeliczalnesumyzbiorówdomkniętych,więcborelowskich). 3

4 I kolokwium ze Wstępu do Teorii Miary Grupa B 1. (a)udowodnić,żelima n limb n lim(a n B n ). (b) Znaleźć granice górną i dolną ciągu zbiorów: B n =( 2n, n) [ ( 1) n +2,3 ( 1)n 2 n 3 n a)jeślixnależydoa n dlaprawiewszystkichn,totymbardziejnależy doa n B n dlaprawiewszystkichb n.zatemlima n lim(a n B n ). PodobniedlaB n. b)dlakażdegoxzprzedzialu(2,3)istniejetakien 0,żedlan>n 0 zachodzi2+ 1 x<3 1.Zatem(2,3) lima 2 n 3 n n.każdaliczba ujemnanależydo( 2n, n)dlaconajwyżejskończeniewielun,akażda dodatnia, za wyjątkiem przedziału(2, 3) do co najwyżej skończenie wielu[2 1,3+ 1 ).Zatem(2,3)=limA 2 n 3 n n Dodatkowo,punkty2,3należądoA n dlanieparzystychn.punkty z(,2) (3, )należądoconajwyżejskończeniewielua n,więc lima n =[2,3]. 2. Znaleźć σ-ciało generowane w Z przez rodzinę wszystkich trzyelementowych zbiorów postaci{n, 2n, 3n}(n Z). Odpowiedź uzasadnić. Dowiedziemy,żejestto2 Z,czylirodzinawszystkich podzbiorów Z. Jest jasne, że jest to σ-ciało, bo skoro zawiera wszystkie podzbiory Z, to jest zamknięte na wszystkie możliwe operacje mnogościowe. Oczywiście, zawiera też zbiory trzyelementowe danej postaci, bo zawiera wszystkie podzbiory. Wystarczy więc uzasadnić, że każdy zbiór da się uzyskać z trzyelementowych zbiorów postaci{n, 2n, 3n} przez działania nie wyprowadzające(ogólnie) poza σ-ciało. Ponieważ każdy podzbiór Z jest przeliczalną sumą zbiorów jednoelementowych, wystarczy wygenerować zbiory jednoelementowe. Ale {n}={n,2n,3n}\{2n,4n,6n}\{3n,6n,9n}. 3. Zdefiniujmy σ-ciało borelowskie B na R jako najmniejsze σ-ciało zawierające wszystkie przedziały otwarte. Udowodnić, że B jest generowane przezrodzinę{[q, ):q Q}. ). 4

5 Oznaczmy przez A σ-ciało generowane przez daną rodzinę.zauważmy,żedlakażdejliczbya Rmamy (a, )= [q n, ), gdy(q n )jestmalejącymciągiemliczbwymiernychzbieżnymdoa.podobnie, [a, )= [q n, ), gdy(q n )jestrosnącymciągiemliczbwymiernychzbieżnymdoa.zatem półproste(a, ),[a, )należądoadlawszystkicha R.Ponieważ, dladowolnycha<b Rmamy (a,b)=(a, ) ( [b, ) ) c, każdyprzedziałotwartymusinależećdoa.czylib A. Z drugiej strony,(, q) można zapisać, na przykład, jako przeliczalną sumęprzedziałowotwartych (q n,q).zatem[q, )=(,q) c należydob,czylia B. 4.Niech(X,F)będzieprzestrzeniąmierzalną.Czyfunkcjazbioruµ:F [0, ] określona wzorem liczność A, gdy A jest skończony µ(a)=, w przeciwnym wypadku jestmiarą?(przyjmujemyzgodniezintuicją: + =, +a=, >adlakażdeja R.) Miara jest nieujemną przeliczalnie addytywną funkcją zbioru spełniającą przypisująca zbiorowi pustemu 0. Skoro µ jest licznością zbioru, to jest nieujemna(ewentualnie + ). Ponadto licznośćzbiorupustegowynosi0,więcµ( )=0.Rozważmyterazciąg (A n )zbiorówparamirozłącznych.niecha= A n.jeśliktóryśz A n jestnieskończony,toateż,więcmamyµ(a)= µ(a n )=. Załóżmywięc,żeA n sąskończone.jeśliajestnieskończony,tomusinieskończeniewielespośroda n musibyćniepustych.zatemszereg µ(a n )manieskończeniewieleskładnikówniemniejszychniżjeden,więc µ(a n )= =µ(a).jeślizaśajestskończony,to prawiewszystkiea n musząbyćpuste.ponieważsumalicznościdwóch (zatem i skończonej liczby) skończonych zbiorów rozłącznych jest równa liczności ich sumy, mamy tezę. 5

6 5. Które z poniższych zdań są fałszywe, a które prawdziwe? Odpowiedzi nie trzeba uzasadniać. Za dobrą odpowiedź dodajemy 1 punkt, za złą odejmujemy 1 punkt. Brak odpowiedzi nie jest punktowany. (a)jeśli(a n )jestciągiemzbiorówmierzalnych(wpewnejprzestrzeni mierzalnej),toliminf n A n ilimsup n A n sązbioramimierzalnymi. (b)niech{a t :t T}będziedowolną(niekoniecznieprzeliczalną) rodzinązbiorówmiaryzero.wtedyµ( t TA t )=0. (c) Przekrój rodziny σ-ciał jest zawsze σ-ciałem. (d)jeśliµjestmiarąiµ(a B)=µ(A)+µ(B),toAiBsąrozłączne. (e)zbiorytypug δ sąborelowskie. T(granice górna polegają na zastosowaniu przeliczalnego przekroju i przeliczalnej sumy); N(cała przestrzeń może być sumą zbiorów miary zero, np. dla R zbiorów jednopunktowych); T(to po prostu trzeba wiedzieć); N(przekrój może być niepusty, ale miary zero); T(G δ toprzeliczalneprzekrojezbiorówotwartych,więcborelowskich). 6