Zadania z forcingu. Marcin Kysiak. Semestr zimowy r. ak. 2002/2003

Transkrypt

1 Zadania z forcingu Marcin Kysiak Semestr zimowy r. ak. 2002/2003 Dokument ten zawiera zadania omówione przeze mnie na ćwiczeniach do wykładu monograficznego dr. A. Krawczyka "Zdania nierozstrzygalne w teorii mnogości" oraz kilka zadań dodatkowych, które nie zostały omówione z braku czasu. Zadania podzielone zostały na trzy kategorie: zadania zwykłe, które każdy uczestnik ćwiczeń powinien umieć rozwiązać. zadania trudniejsze, oznaczone symbolem. Przeznaczone są one dla osób zainteresowanych, niekoniecznie związane są bezpośrednio z tematyką wykładu, lecz do ich rozwiązania nie potrzeba dodatkowej wiedzy. zadania bardzo trudne, oznaczone symbolem. Przeznaczone są dla osób szczególnie zainteresowanych teorią mnogości. Przyznaję, że najczęściej nie znam ich rozwiązania używającego tylko wiedzy z naszego wykładu. 1

2 Spis treści 1 Liczby porzadkowe 3 2 Liczby kardynalne 4 3 Hierarchia von Neumanna 5 4 Absolutność 7 5 Modele dla teorii mnogości 9 6 Niezależność aksjomatu ufundowania 11 7 Rozszerzenia generic 11 8 Lemat o -systemach 11 9 Forcing i algebry Boole a Forcing ameba Dominowanie funkcji Produkty i iteracje Aksjomat Martina Własność c.c.c. 17 2

3 1 Liczby porzadkowe Definicja 1.1. Zbiór z nazwiemy zbiorem przechodnim, jeżeli x, y x y z x z. Zad Sprawdź, że następujące warunki są równoważne: x jest przechodni, x x, x P(x). Zad Wykaż, że następujące zbiory są przechodnie:, { }, {, { }}, {, { }, {, { }}}. Definicja 1.2. Liczbą porządkową nazwiemy zbiór α, który jest przechodni i dobrze uporządkowany przez relację α = { x, y α α : x y}. Będziemy pisać α On dla oznaczenia faktu, że α jest liczbą porządkową. Jeżeli α, β On, to powiemy, że α < β, gdy α β. Zad Wykaż, że każdy element liczby porządkowej jest liczbą porządkową. Zad Wykaż, że jeżeli α, β są liczbami porządkowymi oraz α β, to α jest odcinkiem początkowym w β. Zad Wykaż, że jeżeli α, β On to α β α β. Zad Wykaż, że jeżeli α jest liczbą porządkową, to α {α} jest liczbą porządkową, która jest bezpośrednim następnikiem α. Zad Wykaż (nie odwołując się do aksjomatu ufundowania/regularności), że jeżeli α On, to α α. Zad Niech α, β będą liczbami porządkowymi. Wykaż, że zachodzi dokładnie jeden z przypadków: α β β α α = β. Zad Wykaż, że każdy dobry porządek jest izomorficzny z dokładnie jedną liczbą porządkową. Zad Wykaż, że jeżeli X jest dowolnym zbiorem liczb porządkowych, to X jest liczbą porządkowa. Ponadto zauważ, że X = sup X. 3

4 2 Liczby kardynalne Definicja 2.1. Liczbą kardynalną nazywamy liczbę porządkową, która nie jest równoliczna z żadną mniejszą liczbą porządkową. Zad Wykaż, że istnieje najmniejsza nieprzeliczalna liczba kardynalna (oznaczana symbolem ω 1 ). Wykaż, że każda liczba kardynalna ma bezpośredni następnik. Zad Dla nieskończonej liczby porządkowej α zdefiniujmy ℵ(α) = sup{ot( α, ) : dobry porządek na α}, gdzie "ot" oznacza typ porządkowy dobrego porządku, czyli jedyną liczbę porządkową z nim izomorficzną. Udowodnij, że ℵ(α) jest najmniejszą liczbą kardynalną większą od α. Zad Wykaż, że supremum dowolnego zbioru liczb kardynalnych jest liczbą kardynalną. Zad Udowodnij, że dla dowolnej liczby kardynalnej κ ω zachodzi κ κ = κ. Definicja 2.2. Niech x ξ : ξ < η, η Lim będzie rosnącym ciągiem liczb porządkowych. Powiemy, że γ = lim x ξ : ξ < η, gdy γ = sup{x ξ : ξ < η}. Dla α Lim definiujemy cf(α) = min{η Lim : x ξ : ξ < η α lim x ξ : ξ < η = α}. Zad Zauważ, że cf(α) jest dobrze określona oraz że cf(α) α. Zad Niech α Lim. Wykaż, że cf(α) jest równa min{η Lim : x ξ : ξ < η ξ < η x ξ α sup{x ξ : ξ < η} = α}. Zad Wykaż, że jeżeli α Lim, to cf(α) Card. Zad Wykaż, że dla κ Card cf(κ) = min{ A : A [κ] <κ A = κ}. 4

5 Zad Wykaż, że cf(ω α ) = cf(α). Definicja 2.3. Powiemy, że liczba kardynalna κ jest: regularna, jeśli cf(κ) = κ, singularna, jeśli cf(κ) < κ. Zad Zauważ, że: ω jest regularna, ω 1 jest regularna, dla dowolnego κ Card liczba κ + jest regularna. Podaj przykład liczby singularnej. Zad Udowodnij, że cf(2 ω ) > ω. Zad ( ) Udowodnij, że dla dowolnego κ Card zachodzi cf(2 κ ) > κ. Zad Wykaż, że następujące warunki są równoważne dla nieprzeliczalnej regularnej κ Card: H(κ) = ZFC, H(κ) = R κ, κ jest silnie nieosiągalna. 3 Hierarchia von Neumanna Definicja 3.1. Hierarchię von Neumanna definiujemy następująco: R 0 =, R α+1 = P(R α ), R β = α<β R α dla β Lim. Zad Wykaż, że dla dowolnego α On zbiór R α jest przechodni. Zad Wykaż, że jeżeli α < β, to R α R β. 5

6 Definicja 3.2. Dla dowolnego zbioru x definiujemy jego rangę następująco: rank(x) = min{α On : x R α+1 }. Zad Udowodnij, że dla dowolnego zbioru x rank(x) = sup{rank(y) + 1 : y x}. Zauważ, że y x rank(y) < rank(x) oraz, że rank(α) = α dla α On. Zad Udowodnij, że dla dowolnej liczby porządkowej α R α = {x : rank(x) < α}. Zad Udowodnij na gruncie pozostałych aksjomatów, że aksjomat ufundowania (regularności) jest równoważny zdaniu x α On x R α. Definicja 3.3. Dla dowolnego zbioru x definiujemy jego domknięcie przechodnie trcl(x) następująco: T 0 = x, T n+1 = T n, trcl(x) = n ω T n. Zad Wykaż, że trcl(x) jest najmniejszym zbiorem przechodnim zawierającym x. Definicja 3.4. Dla κ Card definiujemy: H(κ) = {x : trcl(x) < κ}. Zad Wykaż, że dla każdego κ Card H(κ) jest zbiorem przechodnim. Zauważ, że H(ω) = R ω. 6

7 4 Absolutność Definicja 4.1. Dla zbioru (lub klasy) M i formuły ϕ definiujemy relatywizację ϕ do M, oznaczaną ϕ M, następująco: ( ϕ) M = (ϕ M ), (ϕ ψ) M = ϕ M ψ M, ( x ϕ) M = x M ϕ M. Innymi słowy, ϕ M powstaje z ϕ przez ograniczenie wszystkich kwantyfikatorów do M. Definicja 4.2. Niech M N będą zbiorami lub klasami. Powiemy, że formuła ϕ o n zmiennych wolnych jest absolutna względem M, N, jeżeli dla dowolnych a 1,..., a n M ϕ M (a 1,..., a n ) ϕ N (a 1,..., a n ), absolutna w górę względem M, N, jeżeli dla dowolnych a 1,..., a n M ϕ M (a 1,..., a n ) ϕ N (a 1,..., a n ), absolutna w dół względem M, N, jeżeli dla dowolnych a 1,..., a n M ϕ N (a 1,..., a n ) ϕ M (a 1,..., a n ). Powiemy, że ϕ jest absolutna (absolutna w górę, absolutna w dół) względem M, jeżeli jest absolutna (odpowiednio: absolutna w górę, absolutna w dół) względem M, V. Definicja 4.3. Formuła ϕ jest formułą klasy 0, jeżeli wszystkie kwantyfikatory w ϕ są ograniczone zmiennymi tej formuły, czyli są postaci x y lub x y, gdzie y jest zmienną naszej formuły. Formuła ϕ jest klasy Σ 1, jeżeli jest postaci x 1,..., x n ψ, gdzie ψ 0. Formuła ϕ jest klasy Π 1, jeżeli jest postaci x 1,..., x n ψ, gdzie ψ 0. Zad Wykaż, że: 7

8 formuły 0 są absolutne dla modeli przechodnich, formuły Σ 1 są absolutne w górę dla modeli przechodnich, formuły Π 1 są absolutne w dół dla modeli przechodnich. Zad Zauważ, że aksjomaty ekstensjonalności i ufundowania można zapisać w postaci Π 1. Zad Wykaż, że następujące formuły są absolutne dla przechodnich modeli ZFC: x y, z = {x, y}, z = x, y, y = x, x jest parą uporządkowaną, x jest funkcją x jest funkcją różnowartościową, x jest funkcją na y, x jest przechodni, x On, x = ω, x ω, R dobrze porządkuje x. Zad Sprawdź, czy następujące formuły są absolutne dla przechodnich modeli ZFC: x Card, x = ω 1, x = 2 ω, y = P(x). 8

9 5 Modele dla teorii mnogości Zad Zauważ, że na gruncie pozostałych aksjomatów aksjomat wyróżniania wynika z aksjomatu zastępowania. Zad Zauważ, że istnieje najmniejszy zbiór induktywny, tzn. taki zbiór induktywny, który jest zawarty w każdym innym zbiorze induktywnym. Zad Które z następujących aksjomatów ZFC: aksjomat zbioru pustego, aksjomat ekstensjonalności, aksjomat pary, aksjomat sumy, aksjomat zbioru potęgowego są spełnione w R, <? Zad. 5.4 (Lemat Mostowskiego o kolapsie). Niech N, E będzie strukturą ufundowaną spełniającą aksjomat ekstensjonalności. Udowodnij, że istnieje zbiór przechodni M taki, że struktura M, jest izomorficzna z N, E. Zad Zauważ, że z zadania 5.4 wynika łatwo zadanie 1.9. Zad Wytłumacz różnicę pomiędzy założeniem ufundowania relacji E w zadaniu 5.4, a założeniem, że N, E spełnia aksjomat ufundowania. Zad ( ) Zakładając Con(ZFC) wykaż, że istnieje model N, E = ZFC, który nie jest izomorficzny z żadnym modelem postaci M, dla M przechodniego. Zad Dla zadanego skończonego fragmentu T ZFC skonstruuj przeliczalny model przechodni M, = T. Zad ( ) Znajdź błąd w poniższym paradoksalnym rozumowaniu: Niech T będzie skończonym fragmentem ZFC oraz niech ϕ będzie koniunkcja T. Z twierdzenia o refleksji istnieje α On taka, że R α = ϕ, zatem T jest niesprzeczny. Z twierdzenia o zwartości wiemy, że skoro dowolny skończony fragment ZFC jest niesprzeczny to cała teoria ZFC jest niesprzeczna. Zatem pokazaliśmy niesprzeczność ZFC, co przeczy twierdzeniu Goedla. 9

10 Zad Wykaż, że R ω = ZFC Inf + Inf. Zad Wykaż, że jeżeli M jest przechodnim modelem dla ZFC Inf, to M, = Inf wtedy i tylko wtedy, gdy ω M. Zad Wykaż, że dla dowolnej granicznej liczby porządkowej α > ω, zbiór R α jest modelem dla ZFC Schemat Zastępowania. Definicja 5.1. Liczbę kardynalną κ > ω nazwiemy nieosiągalną, jeżeli κ jest regularna oraz graniczna, tzn. λ < κ λ + < κ, silnie nieosiągalną, jeżeli κ jest regularna oraz silnie graniczna, tzn. λ < κ 2 λ < κ. Zad Wykaż, że dla dowolnego λ Card istnieje silnie graniczna liczba kardynalna κ > λ. Zad Wykaż, że jeżeli κ jest silnie nieosiągalna, to R κ = ZFC. Zad Wykaż, że Con(ZFC) Con(ZFC + "nie istnieje liczba silnie nieosiągalna"). Zad Wykaż, że ZFC Con(ZFC) Con(ZFC + "istnieje liczba silnie nieosiągalna"). Zad Wykaż, że Con(ZFC) Con(ZFC + "nie istnieje liczba nieosiągalna"). Możesz powołać się na fakt, że Zad ( ) Wykaż, że Con(ZFC) Con(ZFC + GCH). ZFC Con(ZFC) Con(ZFC + "istnieje liczba nieosiągalna"). 10

11 6 Niezależność aksjomatu ufundowania Symbol ZFC oznacza teorię mnogości bez aksjomatu ufundowania. Zad Udowodnij, że Zad ( ) Udowodnij, że Con(ZFC ) Con(ZFC). Con(ZFC ) Con(ZFC + FA), gdzie FA oznacza aksjomat ufundowania. Zad ( ) Dla zbioru x zdefiniujmy x = {y x : z x y z}. Niech ϕ będzie zdaniem: istnieje zbiór przechodni x taki, że x nie jest przechodni. Zauważ, że ZFC ϕ; Udowodnij, że Con(ZFC ) Con(ZFC + ϕ). 7 Rozszerzenia generic Zad Udowodnij, że jeżeli P M jest rozdzielczym pojęciem forcingu a filtr G P jest P -generic nad M, to M M[G]. Zad Napisz nazwy na {x, y} oraz x, y mając dane nazwy ẋ, ẏ dla x, y M[G]. Zad Napisz nazwę na P(x) mając daną nazwę ẋ dla x M[G]. 8 Lemat o -systemach Definicja 8.1. Rodzinę zbiorów A nazwiemy -systemem, jeżeli istnieje zbiór r taki, że a, b A a b a b = r. Zad. 8.1 ( -lemat). Wykaż, że każda nieprzeliczalna rodzina zbiorów skończonych zawiera nieprzeliczalny -system. 11

12 9 Forcing i algebry Boole a Definicja 9.1. Podzbiór A przestrzeni topologicznej nazwiemy zbiorem regularnym otwartym, jeżeli A = int(ā). Zad Wykaż, że dla dowolnego podzbioru A przestrzeni topologicznej zbiór int(ā) jest regularny otwarty. Zad Wykaż, że rodzina zbiorów regularnych otwartych przestrzeni topologicznej X z następującymi działaniami: A B = A B, A + B = int(a B), A = X \ Ā jest zupełną algebrą Boole a. Zauważ, że porządek w tej algebrze Boole a to zwykła inkluzja. Od teraz zakładamy, że każdy forcing jest rozdzielczy, tzn. spełnia warunek: p, q p q r p r q. Zad Zauważ, że forcing rozdzielczy w powyższym sensie i nie mający elementów minimalnych spełnia warunek p q, r < p q r. Definicja 9.2. Na pojęciu forcingu P, definiujemy topologię τ P, której bazą jest rodzina {[p] : p P }, gdzie [p] = {q P : q p}. Zad Sprawdź, że powyższa definicja jest poprawna, tzn., że rodzina {[p] : p P } jest bazą pewnej topologii. Zad Sprawdź, że zbiory postaci [p] są regularne otwarte w topologii τ P. Zad Sprawdź, że funkcja p [p] jest zanurzeniem P na gęsty podzbiór algebry Boole a zbiorów regularnych otwartych w τ P. Zad Zauważ, że dla każdej algebry Boole a B istnieje dokładnie jedna z dokładnością do izomorfizmu zupełna algebra Boole a B, taka, że B jest jej gęstą podalgebrą. 12

13 Definicja 9.3. Niech M = ZFC. Powiemy, że pojęcia forcingu P, Q M są równoważne: dla dowolnego filtru G P P -generic nad M istnieje filtr G Q Q-generic nad M taki, że M[G P ] = M[G Q ], dla dowolnego filtru G Q Q-generic nad M istnieje filtr G P P -generic nad M taki, że M[G P ] = M[G Q ]. Uwaga. Tak zdefiniowana równoważność forcingów zależy oczywiście a priori od M. Wszelkie założenia związane z tym pojęciem dotyczące własności forcingów należy interpretować wewnątrz M. W szczególności w zadaniu 9.13 zakładamy, że w M spełnione jest, że interesujące nas forcingi sa przeliczalne. Zad Wykaż, że jeżeli P, jest pojęciem forcingu a Q zbiorem gęstym w P, to Q, Q Q jest pojęciem forcingu równoważnym P,. Zad Wykaż, że każde dwa przeliczalne, liniowe porządki gęste bez końców są izomorficzne. Zad Wykaż, że każde dwie przeliczalne bezatomowe algebry Boole a są izomorficzne. Zad Wykaż, że każde dwa zupełne liniowe gęste porządki liniowe bez końców zawierające przeliczalny podzbiór gęsty są izomorficzne. Zad Wykaż, że każde dwie zupełne bezatomowe algebry Boole a zawierające przeliczalny podzbiór gęsty są izomorficzne. Zad Wykaż, że każde dwa przeliczalne pojęcia forcingu są równoważne. Zad Wykaż, że następujące pojęcia forcingu są równoważne: C = 2 <ω,, algebra ilorazowa Bor(2 ω )/M, gdzie M oznacza rodzinę zbiorów I kategorii Baire a w 2 ω. Definicja 9.4. Dla bezatomowej zupełnej algebry Boole a B definiujemy ϕ( x 1,..., x n ) B = {b B : b ϕ( x 1,..., x n )}. Zad Niech M = ZFC, M = B jest zupełną bezatomową algebrą Boole a." Niech G będzie filtrem B-generic nad M. Sprawdź, że M[G] = ϕ(x 1,..., x n ) ϕ( x 1,..., x n ) B G. 13

14 10 Forcing ameba Definicja Forcing ameba to rodzina otwartych podzbiorów 2 ω miary mniejszej od 1 z porządkiem U V U V. 2 Zad Zauważ, że w przestrzeni 2 ω jest tylko przeliczalnie wiele podzbiorów otwarto-domkniętych. Definicja Mówimy, że forcing P jest σ-linked, jeżeli P = n ω P n, gdzie każdy zbiór P n składa się z elementów parami niesprzecznych. Zad Zauważ, że każdy σ-linked forcing ma własność c.c.c.. Zad Sprawdź, że forcing ameba jest σ-linked. 11 Dominowanie funkcji Definicja Dla f, g ω ω powiemy, że f g, gdy m ω n > m f(n) g(n). b = min{ A : A ω ω g ω ω f A f g}. d = min{ A : A ω ω g ω ω f A g f}. Zad Rozważmy następującą własność algebry Boole a: ( ) a nm = 1 a nm = 1. n ω m ω n ω f ω ω m<f(n) Załóżmy, że M = B jest zupełną bezatomową algebrą Boole a o własności. Niech G będzie B-generic nad M. Wykaż, że: f ω ω M[G] g ω ω M f g. Zad Sprawdź, że algebra ilorazowa Bor([0, 1])/N ma własność, gdzie N oznacza rodzinę podzbiorów [0, 1] miary zewnętrznej 0. Zad Sprawdź, że algebra ilorazowa Bor([0, 1])/N ma własność c.c.c.. 14

15 Zad Sprawdź, że algebra ilorazowa Bor([0, 1])/M dodaje liczbę nieograniczoną, tzn. istnieje nazwa f taka, że g ω ω Wskazówka: skorzystaj z zadań 9.13 i f ǧ. Zad Wykaż, że algebra C = Bor([0, 1])/M nie dodaje liczby dominującej, tzn. jeżeli G jest C-generic nad M, to f M[G] ω ω g M ω ω g f. Definicja Symbol C ω2 oznacza standardowy forcing dodający ω 2 liczby Cohena, tzn. C ω2 = {p p : dom(p) 2 dom(p) [ω 2 ] <ω }. Porządkiem w zbiorze C ω2 jest odwrotna inkluzja, tzn. funkcja jest warunkiem silniejszym od wszystkich swoich obcięć. Zad (Lemat Hausdorffa). Wykaż, że dla dowolnych κ, λ Card (κ + ) λ = κ λ κ +. Zad Wykaż, że jeżeli M = CH, to M Cω 2 = c = ω2. Zad Wykaż, że jeżeli M = CH, to M Cω 2 = b = ω1. Zad Wykaż, że jeżeli M = CH, to M Cω 2 = d = ω2. Zad ( ) Wykaż, że Con(ZFC) Con(ZFC + ω 1 = d < c = ω 2 ). 12 Produkty i iteracje Zad Niech M = ZFC będzie przeliczalnym modelem przechodnim, P M - pojęciem forcingu, G - filtrem P -generic nad M. Wykaż, że zbiór G G nie jest P P -generic nad M. Zad Wykaż, że C C C C Ċ, gdzie C to forcing Cohena 2<ω, a oznacza równoważność forcingów w sensie definicji 9.3. Niech B oznacza algebrę Bor([0, 1])/N. Zad ( ) Wykaż, że B Ḃ B. Zad ( ) Wykaż, że B B B. 15

16 13 Aksjomat Martina Zad Wykaż, że: MA(ω) MA(c) Zad Zauważ, że CH MA. Ponadto zauważ, że założenie o własności c.c.c. częściowego porządku nie jest istotne przy założeniu CH. Podaj przykład pojęcia forcingu P i rodziny F mocy ω 1 złożonej z gęstych podzbiorów P takiej, że nie istnieje filtr P -generic nad F. Wywnioskuj z powyższego przykładu, że przy założeniu CH założenie o własności c.c.c. jest w MA istotne (tzn. wersja bez założenia c.c.c. jest sprzeczna z ZFC + CH). Zad Wykaż, że MA(κ) jest równoważny MA(κ) ograniczonemu do porządków c.c.c. mocy κ. Definicja Dla n ω oraz f ω ω definiujemy n, f = {g ω ω : g n = f n i ω f(i) g(i)}. Warunkami forcingu "dominating" D są zbiory n, f dla n ω oraz f ω ω ; porządkiem jest inkluzja (tzn. mniejszy zbiór jest warunkiem silniejszym). Zad Wykaż, że n 1, f 1 n 2, f 2 wtedy i tylko wtedy, gdy n 2 n 1, i ω f 2 (i) f 1 (i) oraz f 1 n 2 = f 2 n 2. Definicja Powiemy, że forcing P jest σ-scentrowany, gdy P = n P n, gdzie każdy P n jest scentrowany, tzn. p, q P n r P n r p, q. Zad Zauważ, że każdy σ-scentrowany forcing ma własność c.c.c. Zad Udowodnij, że forcing D jest σ-scentrowany. Zad Wykaż, że MA b = c. 16

17 Zad Wykaż, że przy założeniu MA zbiór R nie jest sumą mniej niż c zbiorów pierwszej kategorii Baire a. Zad Wykaż, że przy założeniu MA zbiór [0, 1] nie jest sumą mniej niż c zbiorów miary Lebesgue a zero. Zad Wykaż, że przy założeniu MA suma mniej niż c podzbiorów R miary Lebesgue a zero jest miary Lebesgue a zero. Zad ( ) Wykaż, że przy założeniu MA suma mniej niż c podzbiorów R pierwszej kategorii jest pierwszej kategorii. 14 Własność c.c.c. Definicja Powiemy, że przestrzeń topologiczna ma własność c.c.c., jeżeli nie istnieje w niej nieprzeliczalna rodzina zbiorów otwartych parami rozłącznych. Zad Wykaż, że dla dowolnego κ Card przestrzeń 2 κ na własność c.c.c.. Zad Wykaż, że jeżeli produkt dowolnych dwóch przestrzeni topologicznych c.c.c. jest c.c.c., to produkt dowolnej rodziny przestrzeni c.c.c. jest c.c.c.. Zad Wykaż, że przy założeniu MA w dowolna przestrzeń c.c.c. spełnia następujący warunek: W dowolnej nieprzeliczalnej rodzinie zbiorów otwartych istnieje nieprzeliczalna podrodzina o własności skończonych przecięć (tzn. każda jej skończona podrodzina ma niepuste przecięcie). Zad Wykaż, że przy założeniu MA produkt dowolnej rodziny przestrzeni c.c.c. jest c.c.c. (wskazówka: skorzystaj z zadania 14.2). Zad Wykaż, że własność "P jest pojęciem forcingu o własności c.c.c." nie jest absolutna dla przechodnich modeli ZFC (wskazówka: rozważ drzewo Suslina). 17