Zadania z forcingu. Marcin Kysiak. Semestr zimowy r. ak. 2002/2003

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Zadania z forcingu. Marcin Kysiak. Semestr zimowy r. ak. 2002/2003"

Transkrypt

1 Zadania z forcingu Marcin Kysiak Semestr zimowy r. ak. 2002/2003 Dokument ten zawiera zadania omówione przeze mnie na ćwiczeniach do wykładu monograficznego dr. A. Krawczyka "Zdania nierozstrzygalne w teorii mnogości" oraz kilka zadań dodatkowych, które nie zostały omówione z braku czasu. Zadania podzielone zostały na trzy kategorie: zadania zwykłe, które każdy uczestnik ćwiczeń powinien umieć rozwiązać. zadania trudniejsze, oznaczone symbolem. Przeznaczone są one dla osób zainteresowanych, niekoniecznie związane są bezpośrednio z tematyką wykładu, lecz do ich rozwiązania nie potrzeba dodatkowej wiedzy. zadania bardzo trudne, oznaczone symbolem. Przeznaczone są dla osób szczególnie zainteresowanych teorią mnogości. Przyznaję, że najczęściej nie znam ich rozwiązania używającego tylko wiedzy z naszego wykładu. 1

2 Spis treści 1 Liczby porzadkowe 3 2 Liczby kardynalne 4 3 Hierarchia von Neumanna 5 4 Absolutność 7 5 Modele dla teorii mnogości 9 6 Niezależność aksjomatu ufundowania 11 7 Rozszerzenia generic 11 8 Lemat o -systemach 11 9 Forcing i algebry Boole a Forcing ameba Dominowanie funkcji Produkty i iteracje Aksjomat Martina Własność c.c.c. 17 2

3 1 Liczby porzadkowe Definicja 1.1. Zbiór z nazwiemy zbiorem przechodnim, jeżeli x, y x y z x z. Zad Sprawdź, że następujące warunki są równoważne: x jest przechodni, x x, x P(x). Zad Wykaż, że następujące zbiory są przechodnie:, { }, {, { }}, {, { }, {, { }}}. Definicja 1.2. Liczbą porządkową nazwiemy zbiór α, który jest przechodni i dobrze uporządkowany przez relację α = { x, y α α : x y}. Będziemy pisać α On dla oznaczenia faktu, że α jest liczbą porządkową. Jeżeli α, β On, to powiemy, że α < β, gdy α β. Zad Wykaż, że każdy element liczby porządkowej jest liczbą porządkową. Zad Wykaż, że jeżeli α, β są liczbami porządkowymi oraz α β, to α jest odcinkiem początkowym w β. Zad Wykaż, że jeżeli α, β On to α β α β. Zad Wykaż, że jeżeli α jest liczbą porządkową, to α {α} jest liczbą porządkową, która jest bezpośrednim następnikiem α. Zad Wykaż (nie odwołując się do aksjomatu ufundowania/regularności), że jeżeli α On, to α α. Zad Niech α, β będą liczbami porządkowymi. Wykaż, że zachodzi dokładnie jeden z przypadków: α β β α α = β. Zad Wykaż, że każdy dobry porządek jest izomorficzny z dokładnie jedną liczbą porządkową. Zad Wykaż, że jeżeli X jest dowolnym zbiorem liczb porządkowych, to X jest liczbą porządkowa. Ponadto zauważ, że X = sup X. 3

4 2 Liczby kardynalne Definicja 2.1. Liczbą kardynalną nazywamy liczbę porządkową, która nie jest równoliczna z żadną mniejszą liczbą porządkową. Zad Wykaż, że istnieje najmniejsza nieprzeliczalna liczba kardynalna (oznaczana symbolem ω 1 ). Wykaż, że każda liczba kardynalna ma bezpośredni następnik. Zad Dla nieskończonej liczby porządkowej α zdefiniujmy ℵ(α) = sup{ot( α, ) : dobry porządek na α}, gdzie "ot" oznacza typ porządkowy dobrego porządku, czyli jedyną liczbę porządkową z nim izomorficzną. Udowodnij, że ℵ(α) jest najmniejszą liczbą kardynalną większą od α. Zad Wykaż, że supremum dowolnego zbioru liczb kardynalnych jest liczbą kardynalną. Zad Udowodnij, że dla dowolnej liczby kardynalnej κ ω zachodzi κ κ = κ. Definicja 2.2. Niech x ξ : ξ < η, η Lim będzie rosnącym ciągiem liczb porządkowych. Powiemy, że γ = lim x ξ : ξ < η, gdy γ = sup{x ξ : ξ < η}. Dla α Lim definiujemy cf(α) = min{η Lim : x ξ : ξ < η α lim x ξ : ξ < η = α}. Zad Zauważ, że cf(α) jest dobrze określona oraz że cf(α) α. Zad Niech α Lim. Wykaż, że cf(α) jest równa min{η Lim : x ξ : ξ < η ξ < η x ξ α sup{x ξ : ξ < η} = α}. Zad Wykaż, że jeżeli α Lim, to cf(α) Card. Zad Wykaż, że dla κ Card cf(κ) = min{ A : A [κ] <κ A = κ}. 4

5 Zad Wykaż, że cf(ω α ) = cf(α). Definicja 2.3. Powiemy, że liczba kardynalna κ jest: regularna, jeśli cf(κ) = κ, singularna, jeśli cf(κ) < κ. Zad Zauważ, że: ω jest regularna, ω 1 jest regularna, dla dowolnego κ Card liczba κ + jest regularna. Podaj przykład liczby singularnej. Zad Udowodnij, że cf(2 ω ) > ω. Zad ( ) Udowodnij, że dla dowolnego κ Card zachodzi cf(2 κ ) > κ. Zad Wykaż, że następujące warunki są równoważne dla nieprzeliczalnej regularnej κ Card: H(κ) = ZFC, H(κ) = R κ, κ jest silnie nieosiągalna. 3 Hierarchia von Neumanna Definicja 3.1. Hierarchię von Neumanna definiujemy następująco: R 0 =, R α+1 = P(R α ), R β = α<β R α dla β Lim. Zad Wykaż, że dla dowolnego α On zbiór R α jest przechodni. Zad Wykaż, że jeżeli α < β, to R α R β. 5

6 Definicja 3.2. Dla dowolnego zbioru x definiujemy jego rangę następująco: rank(x) = min{α On : x R α+1 }. Zad Udowodnij, że dla dowolnego zbioru x rank(x) = sup{rank(y) + 1 : y x}. Zauważ, że y x rank(y) < rank(x) oraz, że rank(α) = α dla α On. Zad Udowodnij, że dla dowolnej liczby porządkowej α R α = {x : rank(x) < α}. Zad Udowodnij na gruncie pozostałych aksjomatów, że aksjomat ufundowania (regularności) jest równoważny zdaniu x α On x R α. Definicja 3.3. Dla dowolnego zbioru x definiujemy jego domknięcie przechodnie trcl(x) następująco: T 0 = x, T n+1 = T n, trcl(x) = n ω T n. Zad Wykaż, że trcl(x) jest najmniejszym zbiorem przechodnim zawierającym x. Definicja 3.4. Dla κ Card definiujemy: H(κ) = {x : trcl(x) < κ}. Zad Wykaż, że dla każdego κ Card H(κ) jest zbiorem przechodnim. Zauważ, że H(ω) = R ω. 6

7 4 Absolutność Definicja 4.1. Dla zbioru (lub klasy) M i formuły ϕ definiujemy relatywizację ϕ do M, oznaczaną ϕ M, następująco: ( ϕ) M = (ϕ M ), (ϕ ψ) M = ϕ M ψ M, ( x ϕ) M = x M ϕ M. Innymi słowy, ϕ M powstaje z ϕ przez ograniczenie wszystkich kwantyfikatorów do M. Definicja 4.2. Niech M N będą zbiorami lub klasami. Powiemy, że formuła ϕ o n zmiennych wolnych jest absolutna względem M, N, jeżeli dla dowolnych a 1,..., a n M ϕ M (a 1,..., a n ) ϕ N (a 1,..., a n ), absolutna w górę względem M, N, jeżeli dla dowolnych a 1,..., a n M ϕ M (a 1,..., a n ) ϕ N (a 1,..., a n ), absolutna w dół względem M, N, jeżeli dla dowolnych a 1,..., a n M ϕ N (a 1,..., a n ) ϕ M (a 1,..., a n ). Powiemy, że ϕ jest absolutna (absolutna w górę, absolutna w dół) względem M, jeżeli jest absolutna (odpowiednio: absolutna w górę, absolutna w dół) względem M, V. Definicja 4.3. Formuła ϕ jest formułą klasy 0, jeżeli wszystkie kwantyfikatory w ϕ są ograniczone zmiennymi tej formuły, czyli są postaci x y lub x y, gdzie y jest zmienną naszej formuły. Formuła ϕ jest klasy Σ 1, jeżeli jest postaci x 1,..., x n ψ, gdzie ψ 0. Formuła ϕ jest klasy Π 1, jeżeli jest postaci x 1,..., x n ψ, gdzie ψ 0. Zad Wykaż, że: 7

8 formuły 0 są absolutne dla modeli przechodnich, formuły Σ 1 są absolutne w górę dla modeli przechodnich, formuły Π 1 są absolutne w dół dla modeli przechodnich. Zad Zauważ, że aksjomaty ekstensjonalności i ufundowania można zapisać w postaci Π 1. Zad Wykaż, że następujące formuły są absolutne dla przechodnich modeli ZFC: x y, z = {x, y}, z = x, y, y = x, x jest parą uporządkowaną, x jest funkcją x jest funkcją różnowartościową, x jest funkcją na y, x jest przechodni, x On, x = ω, x ω, R dobrze porządkuje x. Zad Sprawdź, czy następujące formuły są absolutne dla przechodnich modeli ZFC: x Card, x = ω 1, x = 2 ω, y = P(x). 8

9 5 Modele dla teorii mnogości Zad Zauważ, że na gruncie pozostałych aksjomatów aksjomat wyróżniania wynika z aksjomatu zastępowania. Zad Zauważ, że istnieje najmniejszy zbiór induktywny, tzn. taki zbiór induktywny, który jest zawarty w każdym innym zbiorze induktywnym. Zad Które z następujących aksjomatów ZFC: aksjomat zbioru pustego, aksjomat ekstensjonalności, aksjomat pary, aksjomat sumy, aksjomat zbioru potęgowego są spełnione w R, <? Zad. 5.4 (Lemat Mostowskiego o kolapsie). Niech N, E będzie strukturą ufundowaną spełniającą aksjomat ekstensjonalności. Udowodnij, że istnieje zbiór przechodni M taki, że struktura M, jest izomorficzna z N, E. Zad Zauważ, że z zadania 5.4 wynika łatwo zadanie 1.9. Zad Wytłumacz różnicę pomiędzy założeniem ufundowania relacji E w zadaniu 5.4, a założeniem, że N, E spełnia aksjomat ufundowania. Zad ( ) Zakładając Con(ZFC) wykaż, że istnieje model N, E = ZFC, który nie jest izomorficzny z żadnym modelem postaci M, dla M przechodniego. Zad Dla zadanego skończonego fragmentu T ZFC skonstruuj przeliczalny model przechodni M, = T. Zad ( ) Znajdź błąd w poniższym paradoksalnym rozumowaniu: Niech T będzie skończonym fragmentem ZFC oraz niech ϕ będzie koniunkcja T. Z twierdzenia o refleksji istnieje α On taka, że R α = ϕ, zatem T jest niesprzeczny. Z twierdzenia o zwartości wiemy, że skoro dowolny skończony fragment ZFC jest niesprzeczny to cała teoria ZFC jest niesprzeczna. Zatem pokazaliśmy niesprzeczność ZFC, co przeczy twierdzeniu Goedla. 9

10 Zad Wykaż, że R ω = ZFC Inf + Inf. Zad Wykaż, że jeżeli M jest przechodnim modelem dla ZFC Inf, to M, = Inf wtedy i tylko wtedy, gdy ω M. Zad Wykaż, że dla dowolnej granicznej liczby porządkowej α > ω, zbiór R α jest modelem dla ZFC Schemat Zastępowania. Definicja 5.1. Liczbę kardynalną κ > ω nazwiemy nieosiągalną, jeżeli κ jest regularna oraz graniczna, tzn. λ < κ λ + < κ, silnie nieosiągalną, jeżeli κ jest regularna oraz silnie graniczna, tzn. λ < κ 2 λ < κ. Zad Wykaż, że dla dowolnego λ Card istnieje silnie graniczna liczba kardynalna κ > λ. Zad Wykaż, że jeżeli κ jest silnie nieosiągalna, to R κ = ZFC. Zad Wykaż, że Con(ZFC) Con(ZFC + "nie istnieje liczba silnie nieosiągalna"). Zad Wykaż, że ZFC Con(ZFC) Con(ZFC + "istnieje liczba silnie nieosiągalna"). Zad Wykaż, że Con(ZFC) Con(ZFC + "nie istnieje liczba nieosiągalna"). Możesz powołać się na fakt, że Zad ( ) Wykaż, że Con(ZFC) Con(ZFC + GCH). ZFC Con(ZFC) Con(ZFC + "istnieje liczba nieosiągalna"). 10

11 6 Niezależność aksjomatu ufundowania Symbol ZFC oznacza teorię mnogości bez aksjomatu ufundowania. Zad Udowodnij, że Zad ( ) Udowodnij, że Con(ZFC ) Con(ZFC). Con(ZFC ) Con(ZFC + FA), gdzie FA oznacza aksjomat ufundowania. Zad ( ) Dla zbioru x zdefiniujmy x = {y x : z x y z}. Niech ϕ będzie zdaniem: istnieje zbiór przechodni x taki, że x nie jest przechodni. Zauważ, że ZFC ϕ; Udowodnij, że Con(ZFC ) Con(ZFC + ϕ). 7 Rozszerzenia generic Zad Udowodnij, że jeżeli P M jest rozdzielczym pojęciem forcingu a filtr G P jest P -generic nad M, to M M[G]. Zad Napisz nazwy na {x, y} oraz x, y mając dane nazwy ẋ, ẏ dla x, y M[G]. Zad Napisz nazwę na P(x) mając daną nazwę ẋ dla x M[G]. 8 Lemat o -systemach Definicja 8.1. Rodzinę zbiorów A nazwiemy -systemem, jeżeli istnieje zbiór r taki, że a, b A a b a b = r. Zad. 8.1 ( -lemat). Wykaż, że każda nieprzeliczalna rodzina zbiorów skończonych zawiera nieprzeliczalny -system. 11

12 9 Forcing i algebry Boole a Definicja 9.1. Podzbiór A przestrzeni topologicznej nazwiemy zbiorem regularnym otwartym, jeżeli A = int(ā). Zad Wykaż, że dla dowolnego podzbioru A przestrzeni topologicznej zbiór int(ā) jest regularny otwarty. Zad Wykaż, że rodzina zbiorów regularnych otwartych przestrzeni topologicznej X z następującymi działaniami: A B = A B, A + B = int(a B), A = X \ Ā jest zupełną algebrą Boole a. Zauważ, że porządek w tej algebrze Boole a to zwykła inkluzja. Od teraz zakładamy, że każdy forcing jest rozdzielczy, tzn. spełnia warunek: p, q p q r p r q. Zad Zauważ, że forcing rozdzielczy w powyższym sensie i nie mający elementów minimalnych spełnia warunek p q, r < p q r. Definicja 9.2. Na pojęciu forcingu P, definiujemy topologię τ P, której bazą jest rodzina {[p] : p P }, gdzie [p] = {q P : q p}. Zad Sprawdź, że powyższa definicja jest poprawna, tzn., że rodzina {[p] : p P } jest bazą pewnej topologii. Zad Sprawdź, że zbiory postaci [p] są regularne otwarte w topologii τ P. Zad Sprawdź, że funkcja p [p] jest zanurzeniem P na gęsty podzbiór algebry Boole a zbiorów regularnych otwartych w τ P. Zad Zauważ, że dla każdej algebry Boole a B istnieje dokładnie jedna z dokładnością do izomorfizmu zupełna algebra Boole a B, taka, że B jest jej gęstą podalgebrą. 12

13 Definicja 9.3. Niech M = ZFC. Powiemy, że pojęcia forcingu P, Q M są równoważne: dla dowolnego filtru G P P -generic nad M istnieje filtr G Q Q-generic nad M taki, że M[G P ] = M[G Q ], dla dowolnego filtru G Q Q-generic nad M istnieje filtr G P P -generic nad M taki, że M[G P ] = M[G Q ]. Uwaga. Tak zdefiniowana równoważność forcingów zależy oczywiście a priori od M. Wszelkie założenia związane z tym pojęciem dotyczące własności forcingów należy interpretować wewnątrz M. W szczególności w zadaniu 9.13 zakładamy, że w M spełnione jest, że interesujące nas forcingi sa przeliczalne. Zad Wykaż, że jeżeli P, jest pojęciem forcingu a Q zbiorem gęstym w P, to Q, Q Q jest pojęciem forcingu równoważnym P,. Zad Wykaż, że każde dwa przeliczalne, liniowe porządki gęste bez końców są izomorficzne. Zad Wykaż, że każde dwie przeliczalne bezatomowe algebry Boole a są izomorficzne. Zad Wykaż, że każde dwa zupełne liniowe gęste porządki liniowe bez końców zawierające przeliczalny podzbiór gęsty są izomorficzne. Zad Wykaż, że każde dwie zupełne bezatomowe algebry Boole a zawierające przeliczalny podzbiór gęsty są izomorficzne. Zad Wykaż, że każde dwa przeliczalne pojęcia forcingu są równoważne. Zad Wykaż, że następujące pojęcia forcingu są równoważne: C = 2 <ω,, algebra ilorazowa Bor(2 ω )/M, gdzie M oznacza rodzinę zbiorów I kategorii Baire a w 2 ω. Definicja 9.4. Dla bezatomowej zupełnej algebry Boole a B definiujemy ϕ( x 1,..., x n ) B = {b B : b ϕ( x 1,..., x n )}. Zad Niech M = ZFC, M = B jest zupełną bezatomową algebrą Boole a." Niech G będzie filtrem B-generic nad M. Sprawdź, że M[G] = ϕ(x 1,..., x n ) ϕ( x 1,..., x n ) B G. 13

14 10 Forcing ameba Definicja Forcing ameba to rodzina otwartych podzbiorów 2 ω miary mniejszej od 1 z porządkiem U V U V. 2 Zad Zauważ, że w przestrzeni 2 ω jest tylko przeliczalnie wiele podzbiorów otwarto-domkniętych. Definicja Mówimy, że forcing P jest σ-linked, jeżeli P = n ω P n, gdzie każdy zbiór P n składa się z elementów parami niesprzecznych. Zad Zauważ, że każdy σ-linked forcing ma własność c.c.c.. Zad Sprawdź, że forcing ameba jest σ-linked. 11 Dominowanie funkcji Definicja Dla f, g ω ω powiemy, że f g, gdy m ω n > m f(n) g(n). b = min{ A : A ω ω g ω ω f A f g}. d = min{ A : A ω ω g ω ω f A g f}. Zad Rozważmy następującą własność algebry Boole a: ( ) a nm = 1 a nm = 1. n ω m ω n ω f ω ω m<f(n) Załóżmy, że M = B jest zupełną bezatomową algebrą Boole a o własności. Niech G będzie B-generic nad M. Wykaż, że: f ω ω M[G] g ω ω M f g. Zad Sprawdź, że algebra ilorazowa Bor([0, 1])/N ma własność, gdzie N oznacza rodzinę podzbiorów [0, 1] miary zewnętrznej 0. Zad Sprawdź, że algebra ilorazowa Bor([0, 1])/N ma własność c.c.c.. 14

15 Zad Sprawdź, że algebra ilorazowa Bor([0, 1])/M dodaje liczbę nieograniczoną, tzn. istnieje nazwa f taka, że g ω ω Wskazówka: skorzystaj z zadań 9.13 i f ǧ. Zad Wykaż, że algebra C = Bor([0, 1])/M nie dodaje liczby dominującej, tzn. jeżeli G jest C-generic nad M, to f M[G] ω ω g M ω ω g f. Definicja Symbol C ω2 oznacza standardowy forcing dodający ω 2 liczby Cohena, tzn. C ω2 = {p p : dom(p) 2 dom(p) [ω 2 ] <ω }. Porządkiem w zbiorze C ω2 jest odwrotna inkluzja, tzn. funkcja jest warunkiem silniejszym od wszystkich swoich obcięć. Zad (Lemat Hausdorffa). Wykaż, że dla dowolnych κ, λ Card (κ + ) λ = κ λ κ +. Zad Wykaż, że jeżeli M = CH, to M Cω 2 = c = ω2. Zad Wykaż, że jeżeli M = CH, to M Cω 2 = b = ω1. Zad Wykaż, że jeżeli M = CH, to M Cω 2 = d = ω2. Zad ( ) Wykaż, że Con(ZFC) Con(ZFC + ω 1 = d < c = ω 2 ). 12 Produkty i iteracje Zad Niech M = ZFC będzie przeliczalnym modelem przechodnim, P M - pojęciem forcingu, G - filtrem P -generic nad M. Wykaż, że zbiór G G nie jest P P -generic nad M. Zad Wykaż, że C C C C Ċ, gdzie C to forcing Cohena 2<ω, a oznacza równoważność forcingów w sensie definicji 9.3. Niech B oznacza algebrę Bor([0, 1])/N. Zad ( ) Wykaż, że B Ḃ B. Zad ( ) Wykaż, że B B B. 15

16 13 Aksjomat Martina Zad Wykaż, że: MA(ω) MA(c) Zad Zauważ, że CH MA. Ponadto zauważ, że założenie o własności c.c.c. częściowego porządku nie jest istotne przy założeniu CH. Podaj przykład pojęcia forcingu P i rodziny F mocy ω 1 złożonej z gęstych podzbiorów P takiej, że nie istnieje filtr P -generic nad F. Wywnioskuj z powyższego przykładu, że przy założeniu CH założenie o własności c.c.c. jest w MA istotne (tzn. wersja bez założenia c.c.c. jest sprzeczna z ZFC + CH). Zad Wykaż, że MA(κ) jest równoważny MA(κ) ograniczonemu do porządków c.c.c. mocy κ. Definicja Dla n ω oraz f ω ω definiujemy n, f = {g ω ω : g n = f n i ω f(i) g(i)}. Warunkami forcingu "dominating" D są zbiory n, f dla n ω oraz f ω ω ; porządkiem jest inkluzja (tzn. mniejszy zbiór jest warunkiem silniejszym). Zad Wykaż, że n 1, f 1 n 2, f 2 wtedy i tylko wtedy, gdy n 2 n 1, i ω f 2 (i) f 1 (i) oraz f 1 n 2 = f 2 n 2. Definicja Powiemy, że forcing P jest σ-scentrowany, gdy P = n P n, gdzie każdy P n jest scentrowany, tzn. p, q P n r P n r p, q. Zad Zauważ, że każdy σ-scentrowany forcing ma własność c.c.c. Zad Udowodnij, że forcing D jest σ-scentrowany. Zad Wykaż, że MA b = c. 16

17 Zad Wykaż, że przy założeniu MA zbiór R nie jest sumą mniej niż c zbiorów pierwszej kategorii Baire a. Zad Wykaż, że przy założeniu MA zbiór [0, 1] nie jest sumą mniej niż c zbiorów miary Lebesgue a zero. Zad Wykaż, że przy założeniu MA suma mniej niż c podzbiorów R miary Lebesgue a zero jest miary Lebesgue a zero. Zad ( ) Wykaż, że przy założeniu MA suma mniej niż c podzbiorów R pierwszej kategorii jest pierwszej kategorii. 14 Własność c.c.c. Definicja Powiemy, że przestrzeń topologiczna ma własność c.c.c., jeżeli nie istnieje w niej nieprzeliczalna rodzina zbiorów otwartych parami rozłącznych. Zad Wykaż, że dla dowolnego κ Card przestrzeń 2 κ na własność c.c.c.. Zad Wykaż, że jeżeli produkt dowolnych dwóch przestrzeni topologicznych c.c.c. jest c.c.c., to produkt dowolnej rodziny przestrzeni c.c.c. jest c.c.c.. Zad Wykaż, że przy założeniu MA w dowolna przestrzeń c.c.c. spełnia następujący warunek: W dowolnej nieprzeliczalnej rodzinie zbiorów otwartych istnieje nieprzeliczalna podrodzina o własności skończonych przecięć (tzn. każda jej skończona podrodzina ma niepuste przecięcie). Zad Wykaż, że przy założeniu MA produkt dowolnej rodziny przestrzeni c.c.c. jest c.c.c. (wskazówka: skorzystaj z zadania 14.2). Zad Wykaż, że własność "P jest pojęciem forcingu o własności c.c.c." nie jest absolutna dla przechodnich modeli ZFC (wskazówka: rozważ drzewo Suslina). 17

Wstęp do Matematyki (4)

Wstęp do Matematyki (4) Wstęp do Matematyki (4) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Liczby kardynalne Jerzy Pogonowski (MEG) Wstęp do Matematyki (4) Liczby kardynalne 1 / 33 Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Struktury formalne, czyli elementy Teorii Modeli

Struktury formalne, czyli elementy Teorii Modeli Struktury formalne, czyli elementy Teorii Modeli Szymon Wróbel, notatki z wykładu dra Szymona Żeberskiego semestr zimowy 2016/17 1 Język 1.1 Sygnatura językowa Sygnatura językowa: L = ({f i } i I, {P j

Bardziej szczegółowo

Algebrą nazywamy strukturę A = (A, {F i : i I }), gdzie A jest zbiorem zwanym uniwersum algebry, zaś F i : A F i

Algebrą nazywamy strukturę A = (A, {F i : i I }), gdzie A jest zbiorem zwanym uniwersum algebry, zaś F i : A F i Algebrą nazywamy strukturę A = (A, {F i : i I }), gdzie A jest zbiorem zwanym uniwersum algebry, zaś F i : A F i A (symbol F i oznacza ilość argumentów funkcji F i ). W rozważanych przez nas algebrach

Bardziej szczegółowo

n=0 Dla zbioru Cantora prawdziwe są wersje lematu 3.6 oraz lematu 3.8 przy założeniu α = :

n=0 Dla zbioru Cantora prawdziwe są wersje lematu 3.6 oraz lematu 3.8 przy założeniu α = : 4. Zbiory borelowskie. Zbiór wszystkich podzbiorów liczb naturalnych będziemy oznaczali przez ω. Najmniejszą topologię na zbiorze ω, w której zbiory {A ω : x A ω \ y}, gdzie x oraz y są zbiorami skończonymi,

Bardziej szczegółowo

Co to są liczby naturalne i czemu ich nie ma?! Adam Kolany

Co to są liczby naturalne i czemu ich nie ma?! Adam Kolany Co to są liczby naturalne i czemu ich nie ma?! Adam Kolany Co to są liczby naturalne i czemu ich nie ma?! Adam Kolany Załóżmy, że wiemy co to są liczby naturalne... Język (I-go rzędu): V, { F n : n IN

Bardziej szczegółowo

Wykład 10. Stwierdzenie 1. X spełnia warunek Borela wtedy i tylko wtedy, gdy każda scentrowana rodzina zbiorów domkniętych ma niepusty przekrój.

Wykład 10. Stwierdzenie 1. X spełnia warunek Borela wtedy i tylko wtedy, gdy każda scentrowana rodzina zbiorów domkniętych ma niepusty przekrój. Wykład 10 Twierdzenie 1 (Borel-Lebesgue) Niech X będzie przestrzenią zwartą Z każdego pokrycia X zbiorami otwartymi można wybrać podpokrycie skończone Dowód Lemat 1 Dla każdego pokrycia U przestrzeni ośrodkowej

Bardziej szczegółowo

Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki.

Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki. 3. Funkcje borelowskie. Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki. (1): Jeśli zbiór Y należy do rodziny F, to jego dopełnienie X

Bardziej szczegółowo

Metalogika (1) Jerzy Pogonowski. Uniwersytet Opolski. Zakład Logiki Stosowanej UAM

Metalogika (1) Jerzy Pogonowski. Uniwersytet Opolski. Zakład Logiki Stosowanej UAM Metalogika (1) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Uniwersytet Opolski Jerzy Pogonowski (MEG) Metalogika (1) Uniwersytet Opolski 1 / 21 Wstęp Cel: wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. 1. Relacje

Matematyka dyskretna. 1. Relacje Matematyka dyskretna 1. Relacje Definicja 1.1 Relacją dwuargumentową nazywamy podzbiór produktu kartezjańskiego X Y, którego elementami są pary uporządkowane (x, y), takie, że x X i y Y. Uwaga 1.1 Jeśli

Bardziej szczegółowo

2 Rodziny zbiorów. 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11

2 Rodziny zbiorów. 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11 M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11 2 Rodziny zbiorów 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów Niech X będzie niepustym zbiorem. Rodzinę indeksowaną zbiorów {A i } i I 2 X nazywamy rozbiciem zbioru X

Bardziej szczegółowo

Uwaga 1. Zbiory skończone są równoliczne wtedy i tylko wtedy, gdy mają tyle samo elementów.

Uwaga 1. Zbiory skończone są równoliczne wtedy i tylko wtedy, gdy mają tyle samo elementów. Logika i teoria mnogości Wykład 11 i 12 1 Moce zbiorów Równoliczność zbiorów Def. 1. Zbiory X i Y są równoliczne (X ~ Y), jeśli istnieje bijekcja f : X Y. O funkcji f mówimy wtedy, że ustala równoliczność

Bardziej szczegółowo

1. Funkcje monotoniczne, wahanie funkcji.

1. Funkcje monotoniczne, wahanie funkcji. 1. Funkcje monotoniczne, wahanie funkcji. Zbiór X będziemy nazywali uporządkowanym, jeśli określona jest relacja zawarta w produkcie kartezjańskim X X, która jest spójna, antysymetryczna i przechodnia.

Bardziej szczegółowo

Równoliczność zbiorów

Równoliczność zbiorów Logika i Teoria Mnogości Wykład 11 12 Teoria mocy 1 Równoliczność zbiorów Def. 1. Zbiory X i Y nazywamy równolicznymi, jeśli istnieje bijekcja f : X Y. O funkcji f mówimy wtedy,że ustala równoliczność

Bardziej szczegółowo

Zadania do Rozdziału X

Zadania do Rozdziału X Zadania do Rozdziału X 1. 2. Znajdź wszystkie σ-ciała podzbiorów X, gdy X = (i) {1, 2}, (ii){1, 2, 3}. (b) Znajdź wszystkie elementy σ-ciała generowanego przez {{1, 2}, {2, 3}} dla X = {1, 2, 3, 4}. Wykaż,

Bardziej szczegółowo

Topologia zbioru Cantora a obwody logiczne

Topologia zbioru Cantora a obwody logiczne Adam Radziwończyk-Syta Michał Skrzypczak Uniwersytet Warszawski 1 lipca 2009 http://students.mimuw.edu.pl/~mskrzypczak/dokumenty/ obwody.pdf Zbiór Cantora Topologia Definicja Przez zbiór Cantora K oznaczamy

Bardziej szczegółowo

IMIĘ NAZWISKO... grupa C... sala Egzamin ELiTM I

IMIĘ NAZWISKO... grupa C... sala Egzamin ELiTM I IMIĘ NAZWISKO............................ grupa C... sala 10... Egzamin ELiTM I 02.02.15 1. 2. 3. 4.. 1. (8 pkt.) Niech X a,b = {(x, y) R 2 : (x b) 2 + (y 1 b )2 a 2 } dla a, b R, a > 0, b 0. Wyznaczyć:

Bardziej szczegółowo

1 Zbiory. 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =.

1 Zbiory. 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =. 1 Zbiory 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =. 1.3 Pokazać, że jeśli A, B oraz (A B) (B A) = C C, to A = B = C. 1.4 Niech {X t } będzie rodziną niepustych

Bardziej szczegółowo

zbiorów domkniętych i tak otrzymane zbiory domknięte ustawiamy w ciąg. Oznaczamy

zbiorów domkniętych i tak otrzymane zbiory domknięte ustawiamy w ciąg. Oznaczamy 5. Funkcje 1 klasy Baire a. Pod koniec XIX i początkiem XX wieku kilku matematyków zajmowało się problemami dotyczącymi klasyfikacji funkcji borelowskich: między innymi R. Baire, E. Borel, H. Lebesgue

Bardziej szczegółowo

Piotr Zakrzewski. Teoria mnogości. (skrypt wykładu) (wersja z )

Piotr Zakrzewski. Teoria mnogości. (skrypt wykładu) (wersja z ) Piotr Zakrzewski Teoria mnogości (skrypt wykładu) (wersja z 22.01.2018) WSTĘP Skrypt obejmuje aktualny program (dostępny na stronie https://usosweb.mimuw. edu.pl/kontroler.php?_action=actionx:katalog2/przedmioty/pokazprzedmiot(kod:

Bardziej szczegółowo

Wykład ze Wstępu do Logiki i Teorii Mnogości

Wykład ze Wstępu do Logiki i Teorii Mnogości Wykład ze Wstępu do Logiki i Teorii Mnogości rok ak. 2016/2017, semestr zimowy Wykład 1 1 Wstęp do Logiki 1.1 Rachunek zdań, podstawowe funktory logiczne 1.1.1 Formuła atomowa; zdanie logiczne definicje

Bardziej szczegółowo

1 Działania na zbiorach

1 Działania na zbiorach M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 1 1 1 Działania na zbiorach W rozdziale tym przypomnimy podstawowe działania na zbiorach koncentrując się na własnościach tych działań, które będą przydatne w dalszej

Bardziej szczegółowo

O pewnych związkach teorii modeli z teorią reprezentacji

O pewnych związkach teorii modeli z teorią reprezentacji O pewnych związkach teorii modeli z teorią reprezentacji na podstawie referatu Stanisława Kasjana 5 i 12 grudnia 2000 roku 1. Elementy teorii modeli Będziemy rozważać język L składający się z przeliczalnej

Bardziej szczegółowo

Rozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji

Rozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji Rozdział 6 Ciągłość 6.1 Granica funkcji Podamy najpierw dwie definicje granicy funkcji w punkcie i pokażemy ich równoważność. Definicja Cauchy ego granicy funkcji w punkcie. Niech f : X R, gdzie X R oraz

Bardziej szczegółowo

TEST A. A-1. Podaj aksjomaty przestrzeni topologicznej według W. Sierpińskiego: aksjomaty

TEST A. A-1. Podaj aksjomaty przestrzeni topologicznej według W. Sierpińskiego: aksjomaty TEST A A-1. Podaj aksjomaty przestrzeni topologicznej według W. Sierpińskiego: aksjomaty T 1 przestrzeni. Czym ta aksjomatyka różni się od aksjomatyki zbiorów otwartych? A-2. Ile różnych zbiorów otwartych

Bardziej szczegółowo

Egzamin z logiki i teorii mnogości, rozwiązania zadań

Egzamin z logiki i teorii mnogości, rozwiązania zadań Egzamin z logiki i teorii mnogości, 08.02.2016 - rozwiązania zadań 1. Niech φ oraz ψ będą formami zdaniowymi. Czy formuła [( x : φ(x)) ( x : ψ(x))] [ x : (φ(x) ψ(x))] jest prawem rachunku kwantyfikatorów?

Bardziej szczegółowo

G. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28

G. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28 G. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28 1.9 Zadania 1.9.1 Niech R będzie pierścieniem zbiorów. Zauważyć, że jeśli A, B R to A B R i A B R. Sprawdzić, że (R,, ) jest także pierścieniem w sensie

Bardziej szczegółowo

A-1. Podaj aksjomaty przestrzeni topologicznej według W. Sierpińskiego: aksjomaty

A-1. Podaj aksjomaty przestrzeni topologicznej według W. Sierpińskiego: aksjomaty A-1. Podaj aksjomaty przestrzeni topologicznej według W. Sierpińskiego: aksjomaty T 1 przestrzeni. Czym ta aksjomatyka różni się od aksjomatyki zbiorów otwartych? A-2. Wyprowadź z aksjomatów topologii

Bardziej szczegółowo

Wykłady ostatnie. Rodzinę P podzbiorów przestrzeni X nazywamy σ - algebrą, jeżeli dla A, B P (2) A B P, (3) A \ B P,

Wykłady ostatnie. Rodzinę P podzbiorów przestrzeni X nazywamy σ - algebrą, jeżeli dla A, B P (2) A B P, (3) A \ B P, Wykłady ostatnie CAŁKA LBSGU A Zasadnicza różnica koncepcyjna między całką Riemanna i całką Lebesgue a polega na zamianie ról przestrzeni wartości i przestrzeni argumentów przy konstrukcji sum górnych

Bardziej szczegółowo

Elementy teorii mnogości. Część II. Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im.

Elementy teorii mnogości. Część II. Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Elementy teorii mnogości. II 1 Elementy teorii mnogości Część II Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Elementy teorii mnogości.

Bardziej szczegółowo

F t+ := s>t. F s = F t.

F t+ := s>t. F s = F t. M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 1 1 Wiadomości wstępne 1.1 Przestrzeń probabilistyczna z filtracją Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną i niech F = {F t } t 0 będzie rodziną

Bardziej szczegółowo

Notatki z Analizy Matematycznej 1. Jacek M. Jędrzejewski

Notatki z Analizy Matematycznej 1. Jacek M. Jędrzejewski Notatki z Analizy Matematycznej 1 Jacek M. Jędrzejewski Wstęp W naszym konspekcie będziemy stosowali następujące oznaczenia: N zbiór liczb naturalnych dodatnich, N 0 zbiór liczb naturalnych (z zerem),

Bardziej szczegółowo

W pewnym mieście jeden z jej mieszkańców goli wszystkich tych i tylko tych jej mieszkańców, którzy nie golą się

W pewnym mieście jeden z jej mieszkańców goli wszystkich tych i tylko tych jej mieszkańców, którzy nie golą się 1 Logika Zdanie w sensie logicznym, to zdanie oznajmujące, o którym da się jednoznacznie powiedzieć, czy jest fałszywe, czy prawdziwe. Zmienna zdaniowa- to symbol, którym zastępujemy dowolne zdanie. Zdania

Bardziej szczegółowo

Rodzinę spełniającą trzeci warunek tylko dla sumy skończonej nazywamy ciałem (algebrą) w zbiorze X.

Rodzinę spełniającą trzeci warunek tylko dla sumy skończonej nazywamy ciałem (algebrą) w zbiorze X. 1 σ-ciała Definicja 1.1 (σ - ciało) σ - ciałem (σ - algebrą) w danym zbiorze X (zwanym przestrzenią) nazywamy rodzinę M pewnych podzbiorów zbioru X, spełniającą trzy warunki: 1 o M; 2 o jeśli A M, to X

Bardziej szczegółowo

Algebrę L = (L, Neg, Alt, Kon, Imp) nazywamy algebrą języka logiki zdań. Jest to algebra o typie

Algebrę L = (L, Neg, Alt, Kon, Imp) nazywamy algebrą języka logiki zdań. Jest to algebra o typie 3. Wykłady 5 i 6: Semantyka klasycznego rachunku zdań. Dotychczas rozwinęliśmy klasyczny rachunek na gruncie czysto syntaktycznym, a więc badaliśmy metodę sprawdzania, czy dana formuła B jest dowodliwa

Bardziej szczegółowo

A i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami.

A i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3 25 3 Miara 3.1 Definicja miary i jej podstawowe własności Niech X będzie niepustym zbiorem, a A 2 X niepustą rodziną podzbiorów. Wtedy dowolne odwzorowanie : A

Bardziej szczegółowo

1 Relacje i odwzorowania

1 Relacje i odwzorowania Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X

Bardziej szczegółowo

Indukcja. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak

Indukcja. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Indukcja Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Charakteryzacja zbioru liczb naturalnych Arytmetyka liczb naturalnych Jedną z najważniejszych teorii matematycznych jest arytmetyka

Bardziej szczegółowo

Teoria miary. Matematyka, rok II. Wykład 1

Teoria miary. Matematyka, rok II. Wykład 1 Teoria miary Matematyka, rok II Wykład 1 NAJBLIŻSZY CEL: Nauczyć się mierzyć wielkość zbiorów. Pierwsze przymiarki: - liczność (moc) zbioru - słabo działa dla zbiorów nieskończonych: czy [0, 1] powinien

Bardziej szczegółowo

Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone

Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone Rozdział 4 Ciągi nieskończone W rozdziale tym wprowadzimy pojęcie granicy ciągu. Dalej rozszerzymy to pojęcie na przypadek dowolnych funkcji. Jak zauważyliśmy we wstępie jest to najważniejsze pojęcie analizy

Bardziej szczegółowo

7. Miara, zbiory mierzalne oraz funkcje mierzalne.

7. Miara, zbiory mierzalne oraz funkcje mierzalne. 7. Miara, zbiory mierzalne oraz funkcje mierzalne. Funkcję rzeczywistą µ nieujemną określoną na ciele zbiorów S będziemy nazywali miarą, gdy dla dowolnego ciągu A 0, A 1,... zbiorów rozłącznych należących

Bardziej szczegółowo

domykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów

domykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów 1 of 8 2012-03-28 17:45 Logika i teoria mnogości/wykład 5: Para uporządkowana iloczyn kartezjański relacje domykanie relacji relacja równoważności rozkłady zbiorów From Studia Informatyczne < Logika i

Bardziej szczegółowo

Zbiory liczbowe widziane oczami topologa

Zbiory liczbowe widziane oczami topologa Zbiory liczbowe widziane oczami topologa Aleksander Błaszczyk Instytut Matematyki Uniwersytetu Ślaskiego Brenna, 25 wrzesień 2018 Aleksander Błaszczyk (UŚ) Zbiory liczbowe widziane oczami topologa Brenna,

Bardziej szczegółowo

Logika Stosowana. Wykład 1 - Logika zdaniowa. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017

Logika Stosowana. Wykład 1 - Logika zdaniowa. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Logika Stosowana Wykład 1 - Logika zdaniowa Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 1 / 30 Plan wykładu 1 Język

Bardziej szczegółowo

Uzupełnienia dotyczące zbiorów uporządkowanych (3 lutego 2011).

Uzupełnienia dotyczące zbiorów uporządkowanych (3 lutego 2011). Uzupełnienia dotyczące zbiorów uporządkowanych (3 lutego 2011). Poprzedniczka tej notatki zawierała błędy! Ta pewnie zresztą też ; ). Ćwiczenie 3 zostało zmienione, bo żądałem, byście dowodzili czegoś,

Bardziej szczegółowo

Teoria miary. WPPT/Matematyka, rok II. Wykład 5

Teoria miary. WPPT/Matematyka, rok II. Wykład 5 Teoria miary WPPT/Matematyka, rok II Wykład 5 Funkcje mierzalne Niech (X, F) będzie przestrzenią mierzalną i niech f : X R. Twierdzenie 1. NWSR 1. {x X : f(x) > a} F dla każdego a R 2. {x X : f(x) a} F

Bardziej szczegółowo

Logika Matematyczna 16 17

Logika Matematyczna 16 17 Logika Matematyczna 16 17 Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Semantyka KRP (3) Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna 16 17 Semantyka KRP (3) 1 / 24

Bardziej szczegółowo

(b) Suma skończonej ilości oraz przekrój przeliczalnej ilości zbiorów typu G α

(b) Suma skończonej ilości oraz przekrój przeliczalnej ilości zbiorów typu G α FUNKCJE BORELOWSKIE Rodzinę F podzbiorów zbioru X (tzn. F X) będziemy nazywali ciałem gdy spełnione są warunki: (1) Jeśli zbiór Y F, to dopełnienie X \ Y też należy do rodziny F. (2) Jeśli S F jest skończoną

Bardziej szczegółowo

Metalogika (14) Jerzy Pogonowski. Uniwersytet Opolski. Zakład Logiki Stosowanej UAM

Metalogika (14) Jerzy Pogonowski. Uniwersytet Opolski. Zakład Logiki Stosowanej UAM Metalogika (14) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Uniwersytet Opolski Jerzy Pogonowski (MEG) Metalogika (14) Uniwersytet Opolski 1 / 92 Plan wykładu Plan

Bardziej szczegółowo

Informacja o przestrzeniach Sobolewa

Informacja o przestrzeniach Sobolewa Wykład 11 Informacja o przestrzeniach Sobolewa 11.1 Definicja przestrzeni Sobolewa Niech R n będzie zbiorem mierzalnym. Rozważmy przestrzeń Hilberta X = L 2 () z iloczynem skalarnym zdefiniowanym równością

Bardziej szczegółowo

Ośrodkowość procesów, proces Wienera. Ośrodkowość procesów, proces Wienera Procesy Stochastyczne, wykład, T. Byczkowski,

Ośrodkowość procesów, proces Wienera. Ośrodkowość procesów, proces Wienera Procesy Stochastyczne, wykład, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, wykład, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1136 27 luty, 2012 Ośrodkowość procesów Dalej zakładamy, że (Ω, Σ, P) jest zupełną przestrzenią miarową. Definicja.

Bardziej szczegółowo

Teoria miary i całki

Teoria miary i całki Teoria miary i całki Spis treści 1 Wstęp 3 2 lgebra zbiorów 5 3 Pierścienie, ciała, σ ciała zbiorów. 7 3.1 Definicja pierścienia ciała i σ ciała............... 7 3.2 Pierścień, ciało i σ ciało generowane

Bardziej szczegółowo

System BCD z κ. Adam Slaski na podstawie wykładów, notatek i uwag Pawła Urzyczyna. Semestr letni 2009/10

System BCD z κ. Adam Slaski na podstawie wykładów, notatek i uwag Pawła Urzyczyna. Semestr letni 2009/10 System BCD z κ Adam Slaski na podstawie wykładów, notatek i uwag Pawła Urzyczyna Semestr letni 2009/10 Rozważamy system BCD ze stałą typową κ i aksjomatami ω κ κ i κ ω κ. W pierwszej części tej notatki

Bardziej szczegółowo

Robert Kowalczyk. Zbiór zadań z teorii miary i całki

Robert Kowalczyk. Zbiór zadań z teorii miary i całki Robert Kowalczyk Zbiór zadań z teorii miary i całki 2 Zadanie 1 Pokazać, że poniższe dwie definicje σ-ciała M są równoważne: (i) Rodzinę M podzbiorów przestrzeni X nazywamy σ-ciałem jeżeli zachodzą następujące

Bardziej szczegółowo

(4) x (y z) = (x y) (x z), x (y z) = (x y) (x z), (3) x (x y) = x, x (x y) = x, (2) x 0 = x, x 1 = x

(4) x (y z) = (x y) (x z), x (y z) = (x y) (x z), (3) x (x y) = x, x (x y) = x, (2) x 0 = x, x 1 = x 2. Wykład 2: algebry Boole a, kraty i drzewa. 2.1. Algebra Boole a. 1 Ważnym dla nas przykładem algebr są algebry Boole a, czyli algebry B = (B,,,, 0, 1) typu (2, 2, 1, 0, 0) spełniające własności: (1)

Bardziej szczegółowo

Podstawy logiki i teorii mnogości Informatyka, I rok. Semestr letni 2013/14. Tomasz Połacik

Podstawy logiki i teorii mnogości Informatyka, I rok. Semestr letni 2013/14. Tomasz Połacik Podstawy logiki i teorii mnogości Informatyka, I rok. Semestr letni 2013/14. Tomasz Połacik 9 Relacje 9.1 Podstawowe pojęcia 9.1 Definicja (Relacja). Relacją (binarną) nazywamy dowolny podzbiór produktu

Bardziej szczegółowo

Topologia I Wykład 4.

Topologia I Wykład 4. Topologia I Wykład 4. Stefan Jackowski 24 października 2012 Przeciąganie topologii przez rodzinę przekształceń X zbiór. f = {f i : X Y i } i I rodziną przekształceń o wartościach w przestrzeniach topologicznych

Bardziej szczegółowo

1 Funktory i kwantyfikatory

1 Funktory i kwantyfikatory Logika, relacje v07 egzamin mgr inf niestacj 1 1 Funktory i kwantyfikatory x X x X Φ(x) dla każdego x X (= dla wszystkich x) zachodzi formuła Φ(x) Φ(x) istnieje x X takie, że (= dla pewnego x) zachodzi

Bardziej szczegółowo

Korzystając z własności metryki łatwo wykazać, że dla dowolnych x, y, z X zachodzi

Korzystając z własności metryki łatwo wykazać, że dla dowolnych x, y, z X zachodzi M. Beśka, Wstęp do teorii miary, Dodatek 158 10 Dodatek 10.1 Przestrzenie metryczne Niech X będzie niepustym zbiorem. Funkcję d : X X [0, ) spełniającą dla x, y, z X warunki (i) d(x, y) = 0 x = y, (ii)

Bardziej szczegółowo

I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych.

I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych. I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych. 1. Elementy logiki matematycznej. 1.1. Rachunek zdań. Definicja 1.1. Zdaniem logicznym nazywamy zdanie gramatyczne

Bardziej szczegółowo

5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów.

5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów. 5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów. Algebra jest jednym z najstarszych działów matematyki dotyczącym początkowo tworzenia metod rozwiązywania równań

Bardziej szczegółowo

B jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ.

B jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ. 8 Baza i wymiar Definicja 8.1. Bazą przestrzeni liniowej nazywamy liniowo niezależny układ jej wektorów, który generuję tę przestrzeń. Innymi słowy, układ B = (v i ) i I wektorów z przestrzeni V jest bazą

Bardziej szczegółowo

Wykłady... b i a i. i=1. m(d k ) inf

Wykłady... b i a i. i=1. m(d k ) inf Wykłady... CŁKOWNIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH Zaczniemy od konstrukcji całki na przedziale domkniętym. Konstrukcja ta jest, w gruncie rzeczy, powtórzeniem definicji całki na odcinku domkniętym w R 1. Przedziałem

Bardziej szczegółowo

Niech X bȩdzie dowolnym zbiorem. Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x y zamiast x, y P ) o w lasnościach:

Niech X bȩdzie dowolnym zbiorem. Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x y zamiast x, y P ) o w lasnościach: Teoria miary WPPT IIr semestr zimowy 2009 Wyk lad 4 Liczby kardynalne, indukcja pozaskończona DOBRY PORZA DEK 14/10/09 Niech X bȩdzie dowolnym zbiorem Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x

Bardziej szczegółowo

ZBIORY BORELOWSKIE I ANALITYCZNE ORAZ ICH ZASTOSOWANIA.

ZBIORY BORELOWSKIE I ANALITYCZNE ORAZ ICH ZASTOSOWANIA. ZBIORY BORELOWSKIE I ANALITYCZNE ORAZ ICH ZASTOSOWANIA. PIOTR ZAKRZEWSKI 1. Wykłady 1/2 Definicja 1.1. Przestrzeń polska to przestrzeń topologiczna ośrodkowa, metryzowalna w sposób zupełny. Przykład 1.2.

Bardziej szczegółowo

Topologia I*, jesień 2012 Zadania omawiane na ćwiczeniach lub zadanych jako prace domowe, grupa 1 (prowadzący H. Toruńczyk).

Topologia I*, jesień 2012 Zadania omawiane na ćwiczeniach lub zadanych jako prace domowe, grupa 1 (prowadzący H. Toruńczyk). Topologia I*, jesień 2012 Zadania omawiane na ćwiczeniach lub zadanych jako prace domowe, grupa 1 (prowadzący H. Toruńczyk). Zadania w dużej mierze pochodzą z zestawu zadań w rozdziale 8 skryptu autorów

Bardziej szczegółowo

LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW

LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW Logika Logika jest nauką zajmującą się zdaniami Z punktu widzenia logiki istotne jest, czy dane zdanie jest prawdziwe, czy nie Nie jest natomiast istotne o czym to zdanie mówi Definicja

Bardziej szczegółowo

Metalogika (12) Jerzy Pogonowski. Uniwersytet Opolski. Zakład Logiki Stosowanej UAM

Metalogika (12) Jerzy Pogonowski. Uniwersytet Opolski. Zakład Logiki Stosowanej UAM Metalogika (12) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Uniwersytet Opolski Jerzy Pogonowski (MEG) Metalogika (12) Uniwersytet Opolski 1 / 204 Plan wykładu Plan

Bardziej szczegółowo

O pewnych klasach funkcji prawie okresowych (niekoniecznie ograniczonych)

O pewnych klasach funkcji prawie okresowych (niekoniecznie ograniczonych) (niekoniecznie ograniczonych) Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza, Poznań Będlewo, 25-30 maja 2015 Funkcje prawie okresowe w sensie Bohra Definicja Zbiór E R nazywamy względnie

Bardziej szczegółowo

Eliza Wajch, Geometria z Topologią, wykład 1, 2012/2013

Eliza Wajch, Geometria z Topologią, wykład 1, 2012/2013 Eliza Wajch Wykłady i ćwiczenia z geometrii analitycznej z elementami topologii w UPH w Siedlcach w semestrze zimowym roku akad. 2012/2013. Literatura podstawowa: 1. K. Kuratowski, A. Mostowski: Teoria

Bardziej szczegółowo

Topologia - Zadanie do opracowania. Wioletta Osuch, Magdalena Żelazna, Piotr Kopyrski

Topologia - Zadanie do opracowania. Wioletta Osuch, Magdalena Żelazna, Piotr Kopyrski Topologia - Zadanie do opracowania Wioletta Osuch, Magdalena Żelazna, Piotr Kopyrski 5 grudnia 2013 Zadanie 1. (Topologie na płaszczyźnie) Na płaszczyźnie R 2 rozważmy następujące topologie: a) Euklidesową

Bardziej szczegółowo

Teoria Mnogości wykład

Teoria Mnogości wykład Uniwersytet Warszawski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Teoria Mnogości wykład Wykładowca: Piotr Zakrzewski Notatki spisał: Grzegorz Bokota Poprawki: Filip Rupniewski i Piotr Zakrzewski 16 czerwca

Bardziej szczegółowo

1. Struktury zbiorów 2. Miara 3. Miara zewnętrzna 4. Miara Lebesgue a 5. Funkcje mierzalne 6. Całka Lebesgue a. Analiza Rzeczywista.

1. Struktury zbiorów 2. Miara 3. Miara zewnętrzna 4. Miara Lebesgue a 5. Funkcje mierzalne 6. Całka Lebesgue a. Analiza Rzeczywista. Literatura P. Billingsley, Miara i prawdopodobieństwo, PWN, Warszawa 1997, P. R. Halmos, Measure theory, Springer-Verlag, 1994, W, Kołodziej, naliza matematyczna, PWN, Warszawa 1978, S. Łojasiewicz, Wstęp

Bardziej szczegółowo

020 Liczby rzeczywiste

020 Liczby rzeczywiste 020 Liczby rzeczywiste N = {1,2,3,...} Z = { 0,1, 1,2, 2,...} m Q = { : m, n Z, n 0} n Operacje liczbowe Zbiór Dodawanie Odejmowanie Mnożenie Dzielenie N Z Q Pytanie Dlaczego zbiór liczb wymiernych nie

Bardziej szczegółowo

Zasada indukcji matematycznej

Zasada indukcji matematycznej Zasada indukcji matematycznej Twierdzenie 1 (Zasada indukcji matematycznej). Niech ϕ(n) będzie formą zdaniową zmiennej n N 0. Załóżmy, że istnieje n 0 N 0 takie, że 1. ϕ(n 0 ) jest zdaniem prawdziwym,.

Bardziej szczegółowo

3 Abstrakcyjne kompleksy symplicjalne.

3 Abstrakcyjne kompleksy symplicjalne. 3 Abstrakcyjne kompleksy symplicjalne. Uwaga 3.1. Niech J będzie dowolnym zbiorem indeksów, niech R J = {(x α ) α J J α x α R} będzie produktem kartezjańskim J kopii R, niech E J = {(x α ) α J R J x α

Bardziej szczegółowo

Kierunek i poziom studiów: Matematyka, studia I stopnia, rok 1 Sylabus modułu: Wstęp do matematyki (Kod modułu: 03-MO1N-12-WMat)

Kierunek i poziom studiów: Matematyka, studia I stopnia, rok 1 Sylabus modułu: Wstęp do matematyki (Kod modułu: 03-MO1N-12-WMat) Uniwersytet Śląski w Katowicach str. 1 Kierunek i poziom studiów: Matematyka, studia I stopnia, rok 1 Sylabus modułu: Wstęp do matematyki (Kod modułu: 03-MO1N-12-WMat) 1. Informacje ogólne koordynator

Bardziej szczegółowo

Elementy Teorii Miary i Całki

Elementy Teorii Miary i Całki Elementy Teorii Miary i Całki c Lech Drewnowski Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. dama Mickiewicza w Poznaniu Poznań 2008 http://main2.amu.edu.pl/ drewlech/dydaktyka.html http://main2.amu.edu.pl/

Bardziej szczegółowo

Metody probabilistyczne

Metody probabilistyczne Metody probabilistyczne 2. Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 10.10.2017 1 / 33 Klasyczna definicja prawdopodobieństwa

Bardziej szczegółowo

Wykład 21 Funkcje mierzalne. Kostrukcja i własności całki wzglȩdem miary przeliczalnie addytywnej

Wykład 21 Funkcje mierzalne. Kostrukcja i własności całki wzglȩdem miary przeliczalnie addytywnej Wykład 2 Funkcje mierzalne. Kostrukcja i własności całki wzglȩdem miary przeliczalnie addytywnej czȩść II (opracował: Piotr Nayar) Definicja 2.. Niech (E, E) bȩdzie przestrzenia mierzalna i niech λ : E

Bardziej szczegółowo

Zadania z Analizy Funkcjonalnej I Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?

Zadania z Analizy Funkcjonalnej I Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi? Zadania z Analizy Funkcjonalnej I - 1 1. Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi? a) X = R, d(x, y) = arctg x y ; b) X = R n, d(x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + max i 3 x i

Bardziej szczegółowo

7 Twierdzenie Fubiniego

7 Twierdzenie Fubiniego M. Beśka, Wstęp do teorii miary, wykład 7 19 7 Twierdzenie Fubiniego 7.1 Miary produktowe Niech i będą niepustymi zbiorami. Przez oznaczmy produkt kartezjański i tj. zbiór = { (x, y : x y }. Niech E oraz

Bardziej szczegółowo

Ultrafiltry. Dominik KWIETNIAK, Kraków. 1. Ultrafiltry

Ultrafiltry. Dominik KWIETNIAK, Kraków. 1. Ultrafiltry W niniejszym artykule zero nie jest liczbą naturalną! Ultrafiltry Dominik KWIETNIAK, Kraków Artykuł ten stanowi zapis referatu jaki został wygłoszony na XLVII Szkole Matematyki Poglądowej Ekstrema. Przedstawiono

Bardziej szczegółowo

Metoda kategorii Baire a w przestrzeniach metrycznych zupełnych

Metoda kategorii Baire a w przestrzeniach metrycznych zupełnych Metoda kategorii Baire a w przestrzeniach metrycznych zupełnych Michał Czapek michal@czapek.pl www.czapek.pl 8 IX AD MMXIII Streszczenie Celem pracy jest zaprezentowanie jednej z metod dowodzenia istnienia

Bardziej szczegółowo

Dekompozycje prostej rzeczywistej

Dekompozycje prostej rzeczywistej Dekompozycje prostej rzeczywistej Michał Czapek michal@czapek.pl www.czapek.pl 26 X AD MMXV Streszczenie Celem pracy jest zwrócenie uwagi na ciekawą różnicę pomiędzy klasami zbiorów pierwszej kategorii

Bardziej szczegółowo

Wykład 1: Przestrzeń probabilistyczna. Prawdopodobieństwo klasyczne. Prawdopodobieństwo geometryczne.

Wykład 1: Przestrzeń probabilistyczna. Prawdopodobieństwo klasyczne. Prawdopodobieństwo geometryczne. Rachunek prawdopodobieństwa MAP1151 Wydział Elektroniki, rok akad. 2011/12, sem. letni Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz Wykład 1: Przestrzeń probabilistyczna. Prawdopodobieństwo klasyczne. Prawdopodobieństwo

Bardziej szczegółowo

Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych

Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych Marcin Michalski 14.11.014 1 Wprowadzenie Jedną z intuicji na temat liczb rzeczywistych jest myślenie o nich jako liczbach,

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki i teorii mnogości

Elementy logiki i teorii mnogości Elementy logiki i teorii mnogości Zdanie logiczne Zdanie logiczne jest to zdanie oznajmujące, któremu można przypisać określoną wartość logiczną. W logice klasycznej zdania dzielimy na: prawdziwe (przypisujemy

Bardziej szczegółowo

Wstęp do Matematyki (2)

Wstęp do Matematyki (2) Wstęp do Matematyki (2) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Własności relacji Jerzy Pogonowski (MEG) Wstęp do Matematyki (2) Własności relacji 1 / 24 Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ BAZY PRZESTRZENI WEKTOROWYCH

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ BAZY PRZESTRZENI WEKTOROWYCH ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 BAZY PRZESTRZENI WEKTOROWYCH Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 11, 18.12.2013 Typeset by Jakub Szczepanik. Istnienie bazy Tak jak wśród wszystkich pierścieni wyróżniamy

Bardziej szczegółowo

Przykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych

Przykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Niech Ω będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych. Definicja 1 Rodzinę S zdarzeń losowych (zbiór S podzbiorów zbioru

Bardziej szczegółowo

BOGDAN ZARĘBSKI ZASTOSOWANIE ZASADY ABSTRAKCJI DO KONSTRUKCJI LICZB CAŁKOWITYCH

BOGDAN ZARĘBSKI ZASTOSOWANIE ZASADY ABSTRAKCJI DO KONSTRUKCJI LICZB CAŁKOWITYCH BOGDAN ZARĘBSKI ZASTOSOWANIE ZASADY ABSTRAKCJI DO KONSTRUKCJI LICZB CAŁKOWITYCH WSTĘP Zbiór liczb całkowitych można definiować na różne sposoby. Jednym ze sposobów określania zbioru liczb całkowitych jest

Bardziej szczegółowo

Filtry i nety w przestrzeniach topologicznych

Filtry i nety w przestrzeniach topologicznych Filtry i nety w przestrzeniach topologicznych Magdalena Ziębowicz Streszczenie W referacie zostaną przedstawione i scharakteryzowane pojęcia związane z filtrami i ultrafiltrami, ciągami uogólnionymi oraz

Bardziej szczegółowo

Kombinowanie o nieskończoności. 3. Jak policzyć nieskończone materiały do ćwiczeń

Kombinowanie o nieskończoności. 3. Jak policzyć nieskończone materiały do ćwiczeń Kombinowanie o nieskończoności. 3. Jak policzyć nieskończone materiały do ćwiczeń Projekt Matematyka dla ciekawych świata spisał: Michał Korch 22 marzec 2018 Szybkie przypomnienie z wykładu Prezentacja

Bardziej szczegółowo

Wykład z Analizy Matematycznej 1 i 2

Wykład z Analizy Matematycznej 1 i 2 Wykład z Analizy Matematycznej 1 i 2 Stanisław Spodzieja Łódź 2004/2005 http://www.math.uni.lodz.pl/ kfairr/analiza/ Wstęp Książka ta jest nieznacznie zmodyfikowaną wersją wykładu z analizy matematycznej

Bardziej szczegółowo

vf(c) =, vf(ft 1... t n )=vf(t 1 )... vf(t n ).

vf(c) =, vf(ft 1... t n )=vf(t 1 )... vf(t n ). 6. Wykład 6: Rachunek predykatów. Język pierwszego rzędu składa się z: symboli relacyjnych P i, i I, gdzie (P i ) oznaczać będzie ilość argumentów symbolu P i, symboli funkcyjnych f j, j J, gdzie (f j

Bardziej szczegółowo

. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami:

. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami: 9 Wykład 9: Przestrzenie liniowe i podprzestrzenie Definicja 9 Niech F będzie ciałem Algebrę (V, F, +, ), gdzie V, + jest działaniem w zbiorze V zwanym dodawaniem wektorów, a jest działaniem zewnętrznym

Bardziej szczegółowo

VI. Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów

VI. Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów VI. 1. Równanie różniczkowe liniowe n-tego rzędu o zmiennych współczynnikach Niech podobnie jak w poprzednim paragrafie K = C lub K = R. Podobnie jak w dziedzinie rzeczywistej wprowadzamy pochodne wyższych

Bardziej szczegółowo

Konstrukcja von Neumanna liczb naturalnych. Definicja 1 0 := - liczba naturalna zero. Jeżeli n jest liczbą naturalną, to następną po niej jest liczba

Konstrukcja von Neumanna liczb naturalnych. Definicja 1 0 := - liczba naturalna zero. Jeżeli n jest liczbą naturalną, to następną po niej jest liczba Konsekt wykładu ELiTM 7 Konstrukcje liczbowe Konstrukcja von Neumanna liczb naturalnych. Definicja 1 0 - liczba naturalna zero. Jeżeli n jest liczbą naturalną, to nastęną o niej jest liczba n {n} n. Istnienie

Bardziej szczegółowo

Informacja o przestrzeniach Hilberta

Informacja o przestrzeniach Hilberta Temat 10 Informacja o przestrzeniach Hilberta 10.1 Przestrzenie unitarne, iloczyn skalarny Niech dana będzie przestrzeń liniowa X. Załóżmy, że każdej parze elementów x, y X została przyporządkowana liczba

Bardziej szczegółowo