Wykład 1 Maemayka 2, semesr leni 21/211 Kolejny wykład poświęcony jes rozwiązywaniu liniowych równań wyższego rzędu(w wymiarze 1, zn na jedną funkcję Ogólna posać akiego równania o (1) d k x d kα k 1() dk 1 x d k 1+α k 2() dk 2 x d k 2+ +α 1() dx d +α ()x+β(), gdzie zwyczajowo wyraz z najwyższą poęgą zosawiliśmy po lewej sronie Właściwym posępowaniem okazuje się zamiana jednego równania rzędu k na układ k równań rzędu pierwszego poprzez wprowadzenie pomocniczych funkcji (2) y (),y 1 (),,y k 1 () akich,żeniewiadomafunkcjaxox()y (),pierwszapochodna dx() y 1 (x)iakdalej, d ażdopochodnejrzęduk 1: dk 1 x() y d k 1 k 1 ()Równanie(1)Zasępujemyukładem dy d y 1 dy 1 d y 2 (3) dy k 2 d dy k 1 d y k 1 α k 1 ()y k 1 +α k 2 ()y k 2 + +α 1 ()y 1 +α ()y +β() Powyższy układ jes układem liniowym, kóry można akże zapisać w posaci macierzowej: y 1 y y 1 1 y 1 y 2 y 2 (4) d d y k 2 y k 1 1 α α 1 α 2 α k 2 α k 1 y k 2 y k 1 + Wiemy już, że ogólna meoda rozwiązywania ego rodzaju równań jes znana w przypadku, kiedy macierz układu równań jes sała, zn niezależna od zmiennej Oznacza o, że funkcje α i sąsałe:α i ()α i Wakimprzypadkuukładrównań(4)rozwiązywaćmożnasosując wszyskie poznane wcześniej echniki Ze względu jednak na specyficzną posać macierzy układu równań można uzyskać(prosszą) meodę dososowaną do ego przypadku Tym bardziej, że ineresujenasylkopierwszawspółrzędna,czylifunkcjay Pozosałefunkcjemożnawyznaczyć różniczkujący odpowiedniowielerazyzeoriidoyczącejukładówrównańliniowychwiadomo, że powinniśmy uzyskać k liniowo niezależnych rozwiązań 1 b()
2 Oznaczamy macierz układu równań przez A A iwyznaczamywielomiancharakerysycznyω A : (5) ω A (λ)de 1 1 1 α α 1 α 2 α k 2 α k 1 λ 1 λ 1 λ λ 1 α α 1 α 2 α k 2 α k 1 λ sosujemy rozwinięcie Laplace a względem pierwszego wiersza: ( λ)de λ 1 λ (1)de λ 1 α 1 α 2 α k 2 α k 1 λ 1 λ λ 1 α α 2 α k 2 α k 1 λ pierwszą macierz zosawiamy, drugą rozwijamy względem pierwszej kolumny: (6) ( λ)de λ 1 λ (1)( 1) k α de λ 1 α 1 α 2 α k 2 α k 1 λ 1 λ λ 1 Teraz pierwsza macierz ma aką samą posać jak macierz wyjściowa Różnią się liczbą wierszy i kolumn Każda z ych macierzy charakeryzowana jes przez liczbę kolumn i wierszy oraz wyrazy macierzowe z osaniego wiersza Wprowadzamy więc oznaczenie D k (α,α 1,,α k 1 ) nawyznacznikmacierzyk k,kórawosanimwierszumaliczbyα,α 1,,α k 1,jakw(5) Ponieważ wyznacznik drugiej macierzy w(6) jes równy 1, wynik doychczasowych rachunków w nowych oznaczeniach ma posać D k (α,α 1,,α k )( λ)d k 1 (α 1,,α k )+( 1) p+1 α
3 WyznacznikD k (α,α 1,,α k )liczymykorzysajączrekurencji: D k (α,α 1,,α k )( λ)d k 1 (α 1,,α k )+( 1) k+1 α ( λ) ( λ)d k 2 (α 2,,α k )+( 1) k α 1 +( 1) k+1 α ( λ) 2 D k 2 (α 2,,α k )+( 1) k+1 α 1 λ+α ( λ) 2 ( λ)d k 3 (α 3,,α k )+( 1) k 1 α 2 +( 1) k+1 α 1 λ+α ( λ) 3 D k 3 (α 3,,α k )+( 1) k+1 α 2 λ 2 +α 1 λ+α ( λ) k 2 D 2 (α k 1,α k )+( 1) k+1 α k 3 λ k 3 + +α 2 λ 2 +α 1 λ+α WyznacznikD 2 (α k 1,α k )obliczamyjużbezpośrednio λ 1 D 2 (α k 1,α k )de ( λ) α k 2 α k 1 λ 2 α k 1 λ α k 2 i wsawiamy do rachunku: ( λ) k 2 D 2 (α k 1,α k )+( 1) k+1 α k 3 λ k 3 + +α 2 λ 2 +α 1 λ+α ( λ) k 2 (λ 2 α k 1 λ α k 2 )+( 1) k+1 α k 3 λ k 3 + +α 2 λ 2 +α 1 λ+α ( 1) k λ k +( 1) k 1 α k 1 λ k 1 +( 1) k 1 α k 2 λ k 2 +( 1) k+1 α k 3 λ k 3 + +α 2 λ 2 +α 1 λ+α Warunek czyli ( 1) k λ k +( 1) k+1 α k 1 λ k 1 +α k 2 λ k 2 +α k 3 λ k 3 + +α 2 λ 2 +α 1 λ+α ma więc posać ( 1) k( λ k α k 1 λ k 1 + +α 2 λ 2 +α 1 λ+α ) ω A (λ) D k (α,α 1,,α k ) (7) λ k α k 1 λ k 1 + +α 2 λ 2 +α 1 λ+α To samo równanie orzymalibyśmy sosując radycyjne(i w ym wypadku dużo prossze) rozumowanie:załóżmy,żerozwiązaniemrównania(1)jesfunkcja x()e λ Wówczas d n x() d n λ n e λ Po wsawieniu ej propozycji rozwiązania do równania orzymujemy warunek na λ w posaci idenycznejz(7)załóżmyeraz,żeλ i dlai1rsąpierwiaskamirównaniacharakerysycznego,oznaczmyeżprzezn i kronośćpierwiaskaλ i Mamywedyr kin 1 +n 2 + +n r k Każdemu rzeczywisemu rozwiązaniu równania charakerysycznego odpowiada rozwiązanie równanie różniczkowego e λ i Rozwiązań ych jes najwyżej r(zazwyczaj jes o mniej niż k) Jedynie w przypadku, kiedy wszyskie pierwiaski są rzeczywise i jednokrone orzymujemy komple k niezależnych rozwiązań równania(1) Prose podsawienie, kóre można zasosować, żeby orzymać równanie charakerysyczne, nie daje odpowiedzi na pyanie skąd wziąć brakujące rozwiązania, jeśli równanie charakerysyczne ma pierwiaski rzeczywise wielokrone, zespolone jednokrone lub
4 zespolone wielokrone Trzeba sięgnąć do doświadczeń z rozwiązywania układów równań liniowych nie pochodzących od równań wyższego rzędu Rozwiązanie(4) ma, jak wiadomo posać: y C y 1 C 1 y k 1 exp(a) C k 1 Nas ineresuje jedynie pierwsza współrzędna, czyli iloczyn pierwszego wiersza macierzy exp(a) przez wekor złożony ze sałych C Wyznaczając warości funkcji exp na różnych macierzach swierdziliśmy, że isonie jednokronym warościom własnym macierzy A odpowiadają wyrazy ypue λ,alezauważyliśmyakże,żejeśliwarośćwłasnajesdwukronairzeczywisaow macierzypojawiająsiędodakowowyrażeniae λ,ajeśliwarośćwłasnaλjesczysourojona orzymujemy kombinacje funkcji sin i cos Opierając się więc na doświadczeniu możemy podać przepis na konsruowanie fundamenalnego układu rozwiązań dla dowolnego zesawu warości własnych: (1)Rzeczywisajednokronawarośćwłasna:λ i R,n i 1,rozwiązaniejesposaci Ce λ i, pojedynczej warości własnej odpowiada jeden dowolny paramer C (2)Rzeczywisadwukronawarośćwłasna:λ i R,n i 2,rozwiązaniejesposaci (C 1 +C )e λ i, podwójnejwarościwłasnejodpowiadajądwadowolneparameryc 1,C (3)Ogólnie:Rzeczywisan-kronawarośćwłasna:λ i R,n i n,rozwiązaniejes posaci (C n 1 n 1 +C n 2 n 2 + +C 1 +C )e λ i, n-kronejwarościwłasnejodpowiadandowolnychparamerówc n 1,,C (4)Zespolonajednokronawarośćwłasna:λ j C,n j 1Wakiejsyuacjiwarość własnaλ j a+bimazawszedoparywarośćwłasnąsprzężonąλ j a biparze sprzężonych jednokronych warości własnych odpowiada rozwiązanie e a (Csin(b)+Dcos(b)), mające dwa dowolne paramery (5)Zespolonadwukronawarośćwłasna:λ j C,n j 2Równieżwakiejsyuacji warośćwłasnaλ j a+bimazawszedoparydwukronąwarośćwłasnąsprzężoną λ j a biparzesprzężonychdwukronychwarościwłasnychodpowiadarozwiązanie e a (C 1 +c )sin(b)+(d 1 +D )cos(b), mające w sumie czery dowolne paramery (6)Ogólnie:Zespolonan-kronawarośćwłasna:λ j C,n j nwarośćwłasna λ j a+bimazawszedoparyn-kronąwarośćwłasnąsprzężonąλ j a biparze sprzężonych n-kronych warości własnych odpowiada rozwiązanie e a (C n 1 n 1 + +C 1 +c )sin(b)+(d n 1 n 1 + +D 1 +D )cos(b), mające w sumie 2n dowolnych paramerów
Przykład 1(absurdalny) Znaleźć ogólne rozwiązanie równania d 7 x x x x x x d 7 12d6 d 6+61d5 d 5 174d4 d 4+38d3 d 3 344d2 d 2+228dx d 72x Jes o liniowe jednorodne równanie siódmego rzędu Odpowiednie równanie charakerysyczne ma posać λ 7 12λ 6 +61λ 5 174λ 4 +38λ 3 344λ 2 +228λ 72 Równanie charakerysyczne zapisane w posaci iloczynowej(nad R) o: (λ 2 2λ+2) 2 (λ 2)(λ 3) 2, anad C: λ (1+i) 2 λ (1 i) 2 (λ 2)(λ 3) 2 Mamy więc: parę podwójnych zespolonych warości własnych i odpowiadające im rozwiązanie λ 1 (1+i), λ 2 (1 i), n 1 n 2 2 x()e (A+B)sin()+(C+D)cos(), jednąpojedyncząrzeczywisąwarośćwłasnąλ 3 2,n 3 1zrozwiązaniem x()ee 2 ijednąpodwójną,rzeczywisąwarośćwłasnąλ 4 3,n 4 2zrozwiązaniem x()(f+g)e 3 Ogólne rozwiązanie naszego równania siódmego sopnia ma więc posać x()e (A+B)sin()+(C+D)cos()+Ee 2 +(F+G)e 3 W dalszym ciągu zajmiemy się poszukiwaniem szczególnego rozwiązania równania niejednorodnego Najefekywniejszą meodą poszukiwania ego rozwiązania jes zgadywanie Znane są ogólne zasady przewidywania posaci rozwiązania w zależności od posaci niejednorodności O ym powiemy za chwilę Zdarza się jednak, że niejednorodność nie jes ypowa, wedy rzeba uciec się do meody uzmienniania sałych Pamięać jednak musimy, że meoda uzmiennania sałych zosała wymyślona dla równań rzędu pierwszego a nie rzędu drugiego i wyższych Można ją zaem sosować po przejściu od równania rzędu wyższego do układu równań rzędu pierwszego Omówimy o na przykładzie równania drugiego rzędu: d 2 x dx (8) d 2+α 1 d +α xb(), w innej noacji ẍ+α 1 ẋ+α xb() Wiadomo,żerównaniejednorodne(RJ)madwaniezależnerozwiązaniaOznaczmyjex 1 ix 2 RORJ zapisać możemy w posaci (9) x()c 1 x 1 ()+C 2 x 2 () Odpowiedni dla(8) układ równań o d y (1) d y 1 1 α α 1 y y 1 + b() 5
6 Rozwiązaniem ego układu jes funkcja o warościach wekorowych y () x() C1 x (11) 1 ()+C 2 x 2 () y 1 () ẋ() C 1 ẋ 1 ()+C 2 ẋ 2 () Sałe uzmienniamy w rozwiązaniu(11) poszukując rozwiązania układu równań(1), a nie w rozwiązaniu(9)poszukującrozwiązaniarównania(8)!trakujemyjakzwyklesałec 1 ic 2 jako funkcjec 1 ()ic 2 ()Rozwiązanieukładurównań(1)przewidujemywposaci y () C1 ()x (12) 1 ()+C 2 ()x 2 () y 1 () C 1 ()ẋ 1 ()+C 2 ()ẋ 2 () Po zróżniczkowaniu d y () d C1 ()x 1 ()+C 2 ()x 2 () d y 1 () d C 1 ()ẋ 1 ()+C 2 ()ẋ 2 () Ċ1 ()x 1 ()+Ċ2()x 2 () + Ċ 1 ()ẋ 1 ()+Ċ2()ẋ 2 () wsawiamy do równania: Ċ1 ()x 1 ()+Ċ2()x 2 () Ċ 1 ()ẋ 1 ()+Ċ2()ẋ 2 () C1 ()ẋ + 1 ()+C 2 ()ẋ 2 () C 1 ()ẍ 1 ()+C 2 ()ẍ 2 () 1 α α 1 C1 ()ẋ 1 ()+C 2 ()ẋ 2 () C 1 ()ẍ 1 ()+C 2 ()ẍ 2 () C1 ()x 1 ()+C 2 ()x 2 () C 1 ()ẋ 1 ()+C 2 ()ẋ 2 () + b() Częściniebieskieupraszczająsię,bowekorzłożonyzx 1,x 2 ipochodnychjesrozwiązaniem równania jednorodnego Zosaje Ċ1 ()x 1 ()+Ċ2()x 2 (), Ċ 1 ()ẋ 1 ()+Ċ2()ẋ 2 () b() co można zapisać nasępująco x1 x 2 ẋ 1 ẋ 2 Ċ1 Ċ 2 b() Macierz złożona z rozwiązań jes odwracalna, bo rozwiązania są niezależne Orzymujemy więc wzorynaċ1iċ 2 : 1 Ċ1 x1 x 2 ẋ 1 ẋ 2 b() Ċ 2 Przykład 2 Znaleźć rozwiązanie ogólne równania ẍ 2ẋ+x 1 e Szukamy(RORJ): Równanie charakerysyczne ma posać λ 2 2λ+1(λ 1) 2 Mamy jedną dwukroną warość własną λ 1, zaem fundamenalny układ rozwiązań składa sięz x 1 ()e i x 2 ()e
7 Zapisujemy(RORJ) zależne od dwóch dowolnych sałych x o Ae +Be Układ równań pierwszego rzędu odpowiadający równaniu drugiego rzędu ma posać d y 1 y (13) + 1 d y 1 1 2 y 1 e Rozwiązaniem ogólnym układu jednorodnego jes wekor y () xo () Ae +Be y 1 () ẋ o () Ae +B(e +e ) W powyższym wekorze rakujemy sałe A, B jako funkcje zmiennej i wsawiamy do(13) e e Ȧ e +Ḃ e e e +e +A e +B +e 2e +e ( ) 1 e e A 1 2 e +B e +e + 1 e Wyrazy niebieskie i czerwone(wraz z macierzą) upraszczają się, bo wekory e e e, i e +e sąrozwiązaniamiukładujednorodnegopozosajerównanienapochodneȧiḃ e e Ȧ e +Ḃ e +e 1, e kóre inaczej można zapisać w posaci e e WyznaczamyȦiḂ: A Ḃ e e +e A Ḃ e 1+ 1 1 e 1 1 e 1 1 i szukamy funkcji pierwonych: 1 A ( 1)d +cons, B dlog +cons Orzymujemy nasępujące rozwiązanie szczególne: x s ( )e +log e Pierwszy składnik jes proporcjonalny do jednego z rozwiązań fundamenalnych, można więc go pominąć Osaecznie(RORN) jes posaci x()ae +Be +log( )e Meodę zgadywania omówimy na nasępującym przykładzie
8 Przykład 3 Znaleźć rozwiązanie ogólne równania ẍ x2cos+e Powyższe równanie jes równaniem liniowym drugiego rzędu o sałych współczynnikach z dwiema niejednorodnościami(niejednorodnością, kóra jes sumą dwóch wyrazów) W akiej syuacji rozwiązanie szczególne jes sumą odpowiednich rozwiązań orzymanych oddzielnie dla każdego wyrazu Zaczynamy jak zwykle od(rorj) Równanie charkerysyczne λ 2 1(λ 1)(λ+1) madwapierwiaskiλ 1 1iλ 2 1Fundamenalnyukładrozwiązańo (RORJ) ma posać x 1 ()e, x 2 ()e x o ()Ae +Be Nie będziemy eraz uzmienniać sałych A i B, ylko spróbujemy odgadnąć posać rozwiązania szczególnegozaczynamyodpierwszejniejednorodności,znb 1 ()2cosWśródrozwiązań RJniemafunkcji cos,ani sin,znniejednorodnośćjesnierezonansowarozwiązanie szczególne przewidujemy w posaci podobnej do niejednorodności, czyli Różniczkujemyprzewidywanex s dwarazy x s ()(a+b)cos+(c+d)sin ẋ s ()(a+d+c)cos+( a b+c)sin, ẍ s ()( a+ b+2c)cos+( 2a d c)sin iwsawiamydorównaniazniejednorodnościąb 1 (): ( a+ b+2c)cos+( 2a d c)sin (a+b)cos+(c+d)sin2cos ( 2a 2b+2c)cos+( 2c 2a 2d)sin2cos Zporównaniaprawejilewejsronywynikająwarunkinaa,b,c,d: Z powyższych równań orzymujemy 2a2 2b+2c 2c 2a 2d a 1, b, c, d1, zn x s () cos+sin Druganiejednorodnośćb 2 ()e jesakżeypowa(funkcjawykładnicza)ponieważjeso jednocześnie rozwiązanie RJ, mamy do czynienia z zw rezonansem Nazwa pochodzi z analizy równania oscylaora harmonicznego Jeśli siła wymuszająca drgania oscylaora ma ę samą częsoliwość co częsoliwość własna oscylaora(zn jes proporcjonalna do jednego z rozwiązań
równania oscylaora harmonicznego) mamy do czynienia właśnie z rezonansem, kórego objawem jes wzrasanie ampliudy drgań W akim przypadku przewidywana posać rozwiązania szczególnego powinna być nasępująca: x s ()ae, znsopieńwielomianumnożącegoe (wsamejniejednorodnościrówny)powinienzosać zwiększony W celu wyznaczenia warości paramerów a i b wsawiamy przewidywaną posać x s dorównaniazniejednorodnościąb 2 (): ẋ s ()(a+a)e, ẍ s ()(a+2a)e (a+2a)e ae e 2ae e Orzymaliśmywarośća 1 2 znx s() 1 2 e Pełnerozwiązanierównaniazobydwomaniejednorodnościami o x()ae +Be cos+sin+ 1 2 e Więcej informacji na ema zgadywania rozwiązań szczególnych dla ypowych niejednorodności będzie na ćwiczeniach 9