Charakterystyczne wielkości i równania Mechanika materiałów i konstrukcji budowlanych, studia II stopnia rok akademicki 2012/2013 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko
Tematyka wykładu 1 Założenia dla teorii płyt cienkich 2 Hipotezy Kirchhoffa-Love a 3 Równania dla teorii płyt cienkich 4 Siły przekrojowe i warunki brzegowe 5 Płyty umiarkowanie grube
Definicja płyty Dźwigar powierzchniowy jest specyficznym ciałem odkształcalnym, w którym jeden wymiar (grubość) jest wyraźnie mniejszy od dwóch pozostałych. Płyta jest dźwigarem powierzchniowym, na który może działać obciążenie zgodne z kierunkiem prostopadłym do płaszczyzny środkowej P 0. Takie obciążenie wywołuje ugięcia. Rozkład naprężeń po grubości płyty jest liniowy. W. Kolendowicz. Mechanika budowli dla architektów. Arkady, Warszawa, 1993.
Teorie dla płyt zginanych W modelu obliczeniowym nakłada się różne więzy kinematyczne i statyczne na zachowanie się płyty w zależności od jej grubości. Więzy Kirchhoffa-Love a dla płyt cienkich, gdzie h L < 1 10. Więzy Mindlina-Reissnera dla płyt umiarkowanie grubych. Dla obu przypadków obowiązują inne równania kinematyczne związki pomiędzy przemieszczeniami a odkształceniami. Kiedy stosuje się teorię cienkich dźwigarów powierzchniowych? płyty h L < 1 10 powłoki h R min < 1 20 1 30
Główne założenia dla liniowej teorii cienkich dźwigarów powierzchniowych A Obowiązuje zasada zesztywnienia, tzn. przemieszczenia są na tyle małe, że równania rownowagi można odnosić do nieodkształconego ustroju. Obowiązują liniowe związki geometryczne Cauchy ego między przemieszczeniami i odkształceniami. B Materiał jest liniowo sprężysty, tzn. obowiązuje uogólnione prawo Hooke a.
Założenia zawężające rozważania dla liniowej teorii cienkich dźwigarów powierzchniowych a Dźwigar jest jednorodny (w szczególności nieuwarstwiony) o stałej grubości h(ξ 1, ξ 2 ) = const., gdzie ξ 1 i ξ 2 są współrzędnymi powierzchniowymi. b Materiał jest izotropowy o stałych: E moduł Younga ν współczynnik Poissona α t - współczynnik rozszerzalności cieplnej c Rozpatrywane są zagadnienia przy obciążeniach przykładanych statycznie, tzn. będziemy pomijali siły bezwładności i energię kinetyczną.
Wielkości poszukiwane w modelu 3D płyty dla punktu P(x, y, z) z powierzchni równo oddalonej od środkowej Pole przemieszczeń: u(x, y, z) = {u, v, w} Pole odkształceń: ɛ(x, y, z) = {ε x, ε y, ε z, γ xy, γ xz, γ yz } Pole naprężeń: σ(x, y, z) = {σ x, σ y, σ z, τ xy, τ xz, τ yz } Rozkłady naprężeń w zginanych płytach h x y σ x (z) σ y (z) τyz (z) τ xz (z) τyx(z) τ xy (z) z
Hipotezy Kirchhoffa-Love a dla płyt Hipoteza kinematyczna Odcinek po deformacji pozostaje prosty: u(x, y, z) = ϑ x (x, y, 0) z, v(x, y, z) = ϑ y (x, y, 0) z, prostopadły do odkształconej powierzchni środkowej: ϑ x (x, y, 0) = w, ϑ y (x, y, 0) = w, γ xz = γ yz = 0 oraz niewydłużony: ε z (x, y, z) = 0. Płaszczyzna Oxz Płaszczyzna Oyz analogicznie
Hipotezy Kirchhoffa-Love a dla płyt Hipoteza statyczna Naprężenie σ z jest tak małe w porównaniu z pozostałymi składowymi tensora naprężeń, że dla wszystkich punktów płyty (powłoki) można przyjąć w związkach fizycznych: σ z (ξ 1, ξ 2, z) 0.
Komplet równań dla punktu P(x, y, z) z powierzchni równo oddalonej od środkowej Równania kinematyczne ε (z) x ε (z) z = u(z) x =, ε(z) y = u(z) y, γ(z) xy = u(z) x w (z) z = 0, γ (z) xz = 0, γ (z) yz = 0 Równania równowagi σ x τ xy τ xz + τyx + σy + τyz + τzx z + ˆb x = 0, + τzy z + ˆb y = 0, + σz z + ˆb z = 0 Równania fizyczne ( σ x (z) = E 1 ν ε (z) 2 x + νε (z) y σ (z) z = 0 ), σ (z) y = E ( 1 ν ε (z) 2 y + u(z) y, ) + νε (z) x, τ xy (z) = E 2(1+ν) γ(z) xy
Wielkości poszukiwane w modelu 2D płyty dla punktu P 0 (x, y, 0) z powierzchni środkowej Pole przemieszczeń uogólnionych: u m (x, y, 0) = {w} Pole odkształceń uogólnionych: e m (x, y, 0) = {κ x, κ y, χ xy }, e t (x, y, 0) = {0, 0} Pole naprężeń uogólnionych: momenty zginające s m (x, y, 0) = {m x, m y, m xy } siły poprzeczne s t (x, y, 0) = {t x, t y } z y m y t y m yx m xy t x m x x Dane jest pole obciążeń powierzchniowych: ˆp = {ˆp z }.
Komplet równań dla punktu P 0 (x, y, 0) z powierzchni środkowej Równania kinematyczne κ x = 2 w 2, κ y = 2 w 2, χ xy = 2 2 w Równania równowagi t x + ty + ˆp z = 0, m x + mxy t x = 0, m xy + my t y = 0 Równania fizyczne m x = D m (κ x + νκ y ), m y = D m (κ y + νκ x ), m xy = D m (1 ν) 2 χ xy gdzie: D m = Eh3 12(1 ν 2 ) sztywność płytowa
Komplet równań dla punktu P 0 (x, y, 0) z powierzchni środkowej zapis macierzowy Równania kinematyczne e m = [3 1] [3 1] Lm [1 1] um, gdzie: Lm = [3 1] Równania równowagi (L m ) [1 3] T s m [3 1] = ˆp [1 1] 2 / 2 2 / 2 2 2 / Równania fizyczne s m = [3 1] [3 3] Dm e m [3 1], gdzie: Dm = [3 3] Dm 1 ν 0 ν 1 0 1 ν 0 0 2
Relacje sformułowań 3D i 2D P P 0 h x y σx(z) σy(z) τyz(z) τxz(z) τyx(z) τxy(z) z my y ty mxy myx tx mx x z Powrót z powierzchni środkowej na równo oddaloną P P 0 ε (z) x = κ x z, ε (z) y = κ y z, γ (z) xy = κ xy z, σ x = 12mx h z, σ 3 y = 12my h z, τ 3 xy = 12mxy h z 3 Przejście na powierzchnię środkową P 0 m x = t x = +h/2 h/2 σ x z dz, m y = +h/2 h/2 τ xz dz, t y = +h/2 h/2 +h/2 h/2 P σ y z dz, m xy = τ yz dz +h/2 h/2 τ xy z dz,
Zastępcza siła poprzeczna i siła narożna Zastępcza siła poprzeczna t n = t n + mns s Siła narożna A = m ns + m + ns
Warunki brzegowe Warunki kinematyczne, statyczne lub mieszane dla podstawowych typów brzegów płyty x y z brzeg swobodny nieobciążony: t n = 0, m n = 0 s w n ϑn brzeg zamocowany (utwierdzony): brzeg przegubowo podparty (zawiasowo): w = 0, ϑ n = 0 w = 0, m n = 0 naroże K K podparte: w = 0 swobodne: A = 0
Momenty główne Główne momenty zginające: m I,II = 1 2 (m x + m y ) ± 1 2 (m x m y ) 2 + 4m 2 xy Kierunki główne: tg(2α) = 2mxy m x m y
Warunki brzegowe IVA) warunki brzegowe krawędziowe: a) kinematyczne: w = ŵ, ϑ n = ˆϑ n, b) statyczne: t ν = t ν + m νs = ˆt ν, m ν = ˆm ν, s c) mieszane (jeden warunek kinematyczny, drugi statyczny); IVB) warunki brzegowe w narożu: a) statycze lub b) kinematyczne: V i = 2m xy = 0 lub w i = 0.
Równanie przemieszczeniowe zginanej płyty Równanie równowagi płyty prostokątnej wyrażone przez momenty t x = mx + myx, mxy ty = + my, 2 m x 2 + 2 2 m xy + 2 m y 2 = ˆp z(x, y). Równanie przemieszczeniowe cienkiej płyty prostokątnej zgodne z teorią K-L 4 w 4 + 2 4 w 2 2 + 4 w 4 = ˆp z D m.
Warunki brzegowe Przykładowe warunki brzegowe zapisano dla poniższej płyty: dla x = 0, y [0, b]: w = 0, ϑ ν = ϑ x = w,x = 0, dla x = a, y [0, b]: m ν = m x = D m (w,xx + νw,yy ) = ˆm, t ν = t x = t x + m xy,y = D m [w,xx + (2 ν)w,yy ],x = 0, dla y = 0, x [0, a]: w = 0, m ν = m y = 0, dla y = b, x [0, a]: m ν = m y = D m (w,yy + νw,xx ) = 0, t ν = t y = t y + m yx,x = D m [w,yy + (2 ν)w,xx ],y = ˆt, dla x = a, y = b: V = 2m xy = D m (1 ν)w,xy = 0.
Równania teorii Mindlina-Reissnera (M-R) płyt umiarkowanie grubych Umiarkowanie grube płyty zginane są opisane równaniami tzw. teorii trójparametrowej Mindlina-Reissnera. Występują trzy niezależne uogólnione przemieszczenia: ugięcie w(x, y) i dwa kąty obrotów normalnej ϑ x, ϑ y. W opisie deformacji płyt muszą być uwzględniane teraz dodatkowo - oprócz giętnych - efekty związane z poprzecznym ścinaniem. Odcinek początkowo normalny do płaszczyzny środkowej doznaje obrotów ϑ x, ϑ y, ale różnych od obrotów stycznej do odkształconej powierzchni środkowej, opisanych za pomocą pochodnych w/, w/.
Równania teorii Mindlina-Reissnera (M-R) płyt umiarkowanie grubych W wyprowadzanych równaniach, obok kątów ϑ x, ϑ y posługujemy się alternatywnie kątami ϕ x, ϕ y, których indeksy wynikają z faktu, do której osi układu są równoległe ich wektory. Między wymienionymi kątami zachodzą relacje ϑ x = ϕ y, ϑ y = ϕ x.
Przemieszczenia wg teorii Mindlina-Reissnera (M-R) płyt umiarkowanie grubych Deformacja płyty zgodnie z teorią Mindlina-Reissnera jest opisana za pomocą wzorów u(x, y, z) = zϑ x = zϕ y, v(x, y, z) = +zϑ y = zϕ x, ε x(x, y, z) = z ϑx ε y (x, y, z) = +z ϑy ( ) ϑx γ xy (x, y, z) = z + ϑy γ xz(x, y, z) = w w +ϑx = +ϕy 0, = z ϕy ϕx = z = z κx(x, y, 0), ( ϕy = z ϕx = z κy (x, y, 0), w γyz(x, y, z) = ) = z χ xy (x, y, 0), w +ϑy = ϕx 0.
Komplet równań płyt umiarkowanie grubych Mindlina-Reissnera W dowolnym punkcie na płaszczyźnie środkowej definiujemy: wektor przemieszczenia u m (1 1)(x, y) = {w(x, y)} [m] wektor kątów obrotu normalnej (niezależnych od ugięcia) ϑ (2 1) (x, y) = {ϑ x, ϑ y } = {+ϕ y, ϕ x } [ - ] wektor odkształceń płytowych e (5 1) = {e m, e t }: giętnych i poprzecznego ścinania e m (3 1) (x, y) = {κ x, κ y, χ xy } [1/m] e t (2 1) (x, y) = {γ xz, γ yz } [-] wektor uogólnionych sił przekrojowych s m (5 1) = {m, t}: momentów oraz sił poprzecznych: m (3 1) (x, y) = {m x, m y, m xy } [knm/m] t (2 1) (x, y) = {t x, t y } [kn/m].
Komplet równań płyt umiarkowanie grubych Mindlina-Reissnera I) równania kinematyczne (5): κ x = + ϑx = + ϕy, ϑy κy = + = ϕx, ϑx χxy = + ϑy = ϕy ϕx, γ xz = w + ϑx = w + ϕy, II) równania równowagi (3): w w γyz = + ϑy = ϕx, t x + ty m + ˆpz = 0, x + myx t x = 0, m xy + my ty = 0,
Komplet równań płyt umiarkowanie grubych Mindlina-Reissnera III) równania fizyczne (5): m x = D m (κ x + νκ y ), m y = D m (κ y + νκ x), m xy = D m (1 ν) 2 χ xy, gdzie D m = Eh 3 12(1 ν 2 ), t x = D t γ xz, t y = D t γ yz, gdzie D t = kgh, G = IV) warunki brzegowe: a) kinematyczne: w = ŵ, ϑ ν = ˆϑ ν, ϑ s = ˆϑ s, b) statyczne: t ν = ˆt ν, m ν = ˆm ν, m νs = ˆm νs. E 2(1 + ν)
Równanie przemieszczeniowe zginanej płyty Równania przemieszczeniowe umiarkowanie grubej płyty prostokątnej M-R W celu powiązania trzech pól w(x, y), ϑ x (x, y), ϑ y (x, y) wyprowadza się trzy równania przemieszczeniowe: D m [ 2 ϑ x 2 D m [ 2 ϑ y 2 D t [ + ν 2 ϑ y + ν 2 ϑ x ( w + ϑx + (1 ν) 2 + (1 ν) 2 ) + 2 ϑ x 2 ϑ x ( )] w + ϑy + ˆp z = 0, (1 ν) 2 ϑ y + 2 2 + (1 ν) 2 2 ϑ y 2 ] D t ( w ) + ϑx = 0, ) = 0. ] D t ( w + ϑy
Literatura M. Radwańska. Ustroje powierzchniowe. Podstawy teoretyczne oraz rozwiązania analityczne i numeryczne. Skrypt PK, Kraków, 2009. A. Borkowski, Cz. Cichoń, M. Radwańska, A. Sawczuk, Z. Waszczyszyn. Mechanika budowli. Ujęcie komputerowe. T.3, rozdz.9, Arkady, Warszwa, 1995. W. Starosolski. Konstrukcje żelbetowe. T. 1,2 i 3, wyd. XII, PWN, Warszawa, 2008.