POWŁOKI GEOMETRIA POWIERZCHNI

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "POWŁOKI GEOMETRIA POWIERZCHNI"

Dominik Jarosław Sosnowski
5 lat temu
Przeglądów:

1 Mechanika materiałów i konstrukcji budowlanych, studia II stopnia rok akademicki 2012/2013 Instytut L-5, Wydzia Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko Maria Radwańska

2 Tematyka wykładu 1 Powłoka obiekt powierzchniowy 2 Opis geometryczny powierzchni definicje 3 Geometria wybranych powierzchni 4 Powierzchnia równo oddalona

3 Powłoka obiekt powierzchniowy Opis geometryczny powierzchni definicje Geometria wybranych powierzchni Konstrukcje powłokowe w przyrodzie Powierzchnia równo oddalona

wybranych powierzchni Powierzchnia równo

4 Powłoka obiekt powierzchniowy Opis geometryczny powierzchni definicje Geometria wybranych powierzchni Powierzchnia równo oddalona Inżynierskie konstrukcje powłokowe Przekrycia dachowe Podpory platform wiertniczych Wielogałęziowe powłoki Powłoki chłodni kominowych wegrzyn/coolingt.html jako podelementy konstrukcyjne

Definicja powłoki Konstrukcja powłokowa to

kraj.pl http://www.panoramio.com http://www.

pl Powierzchnia środkowa jako dwuwymiarowy

5 Definicja powłoki Konstrukcja powłokowa to ustrój powierzchniowy zakrzywiony Powierzchnia środkowa jako dwuwymiarowy obiekt geometryczny opisany współrzędnymi krzywoliniowymi ξ 1 i ξ 2 jest modelem całej powłoki.

6 Jak określić geometrię ustroju powierzchniowego? Geometria ustroju powierzchniowego jest określona za pomocą: układu współrzędnych, kształtu powierzchni środkowej, konturu brzegowego, rozkładu grubości. Kształt powierzchni środkowej jest scharakteryzowany w odpowiednim układzie współrzędnych krzywoliniowych za pomocą: dwóch parametrów Lamègo A α, dwóch promieni głównych krzywizn R α.

7 Równanie powierzchni środkowej Powierzchnia środkowa jest scharakteryzowana w układzie współrzędnych krzywoliniowych ξ α, (α = 1, 2). Położenie punktu można określić jednoznacznie za pomocą tych współrzędnych, które są utworzone z dwóch rodzin linii. Równanie powierzchni środkowej oraz powiązanie globalnych współrzędnych kartezjańskich (X, Y, Z) i lokalnych krzywoliniowych (ξ 1, ξ 2 ) przedstawiają zależności: r = X i X + Y i Y + Zi Z X = f 1 (ξ 1, ξ 2 ) Y = f 2 (ξ 1, ξ 2 ) Z = f 3 (ξ 1, ξ 2 )

8 Powłoka obiekt powierzchniowy Opis geometryczny powierzchni definicje Geometria wybranych powierzchni Powierzchnia równo oddalona Długości łuków i parametry Lame go Dwuwymiarowy wycinek na powierzchni powstaje w wyniku przecięcia linii: ξ1 = const. ξ1 + dξ1 = const. ξ2 = const. ξ2 + dξ2 = const. Wyróżniamy krzywą l, która przechodzi przez punkty P i M. Do określenia długości łuku dsα wzdłuż linii współrzędnych ξα : dsα = Aα dξα służą parametry Lame go, równe długościom wektorów stycznych gα : Aα = ~r,α = gα gdzie α = 1, 2

9 Powłoka obiekt powierzchniowy Opis geometryczny powierzchni definicje Geometria wybranych powierzchni Powierzchnia równo oddalona I tensor metryczny i I forma kwadratowa r dξ2 r dξ1 + r = r[ξ1 (λ), ξ2 (λ)] dr = ξ ξ2 dλ dλ = r,1 dξ1 + r,2 dξ2 1 dλ Długość łuku z krzywej l, parametryzowanej współrzędną λ, pomiędzy punktami P i M obliczamy jako: ds 2 = r,1 r,1 dξ12 + 2r,1 r,2 dξ1 dξ2 + r,2 r,2 dξ22 = = A21 dξ12 + 2A1 A2 cos(g1, g2 )dξ1 dξ2 + A22 dξ22 Wersory: r eα = A,αα = Agαα e 3 = n = e1 e2 I tensor metryczny: gαβ = gα gβ = r,α r,β ds 2 = g11 dξ12 + 2g12 dξ1 dξ2 + g22 dξ22 I forma kwadratowa

10 Powłoka obiekt powierzchniowy Opis geometryczny powierzchni definicje Geometria wybranych powierzchni II tensor metryczny i II forma kwadratowa m = n r = n dr + 12 d2 r +... = 12 n d2 r +... II tensor metryczny: bαβ = r,αβ n = r,α n,β 2m = b11 dξ12 + 2b12 dξ1 dξ2 + b22 dξ22 II forma kwadratowa Promienie krzywizny lub krzywizna linii l: 1 2m n d2 r k = lim r 2 0 = 2 R r ds 2 Powierzchnia równo oddalona

11 Promienie główne krzywizn i krzywizna Gaussa Względem tzw. głównych linii wspólrzędnych, dla których g 12 = b 12 = 0, obliczamy dwa ekstremalne promienie główne krzywizn R αα, dwie krzywizny k αα : k αα = 1 = b αα = b αα, gdzie α = 1, 2. R αα g αα k 2 2 H k + K = 0 A 2 α Parametry opisujące powierzchnię: średnia krzywizna H: H = 1 2 (k 1 + k 2 ) krzywizna Gaussa: K = k 1 k 2 = 1 1 R 1 R 2 Krzywizna Gaussa jest używana do klasyfikacji typu powierzchni.

12 Powierzchnia walcowa w cylindrycznych współrzędnych r = x i i i = x i 1 + R sinθ i 2 + R cosθ i 3 [ ] [ ] g1 1 i g α = = 1 g 2 R cosθ i 2 R sinθ i 3 e α = [ e1 e 2 ] [ = n = sinθ i 2 + cosθ i 3 ] 1 i 1 cosθ i 2 sinθ i 3 A 1 = 1 A 2 = R [ ] [ ] g11 g g αβ = = g 21 g 22 0 R 2 R 1 = R 2 = R K = 0 H = 1 2R x 1 = x = ξ 1 R e 2 e 1 i 1 i 2 x 2 = y r n i 3 x 3 = z ξ 2 = θ

13 Powierzchnia kulista w układzie sferycznym r = x i i i = R sinϕ sinθ i 1 + R cosϕ i 2 + R sinϕ cosθ i 3 g α = [ g1 g 2 ] [ cosϕ sinθ i1 sinϕ i = R 2 + cosϕ cosθ i 3 sinϕ cosθ i i 2 sinϕ sinθ i 3 ] e α = 1 R g α n = sinϕ sinθ i 1 + cosϕ i 2 + sinϕ cosθ i 3 A 1 = R A 2 = R sinϕ [ ] [ g11 g g αβ = 12 R 2 0 = g 21 g 22 0 R 2 sin 2 ϕ R 1 = R 2 = R K = 1 R 2 H = 1 R ] ξ 1 = ϕ i 3 i 2 x 2 = y P r(ϕ) R i 1 e 1 n e 2 x 1 = x x 3 = z ξ 2 = θ

14 Powierzchnia hiperboliczna w układzie kartezjańskim z(x, y) = k x y k = f a b m = k x n = k y r = x i i i = x i 1 + y i 2 + k x y i 3 g α = e α = [ e1 [ g1 ] = g 2 [ ] 1 i1 + n i 3 1 i 2 + m i 3 ] 1 = e m2 + n g 2 α n = n i 1 m i 2 + i m2 + n 2 A 1 1 A 2 1 g αβ = [ ] g11 g 12 = g 21 g 22 [ ] 1 + n 2 m n m n 1 + n 2 b i 1 x b i 2 e 1 n e 2 a f y z

15 Opis geometrii ustrojów powierzchniowych za pomocą czterech parametrów geometrycznych Parametrami geometrycznymi są parametry Lamègo A α oraz promienie główne krzywizn R α, gdzie α = 1, 2. Powłoka kulista Powłoka walcowa Powłoka stożkowa Powłoki mało wyniosłe Tarcze i płyty prostokątne Tarcze i płyty kołowe lub pierścieniowe

Powłoka obiekt powierzchniowy Opis geometryczny powierzchni definicje Geometria wybranych powierzchni Powierzchnia równo oddalona Geometria powierzchni równo oddalonej od

16 Powłoka obiekt powierzchniowy Opis geometryczny powierzchni definicje Geometria wybranych powierzchni Powierzchnia równo oddalona Geometria powierzchni równo oddalonej od środkowej r(z) = r + zn (z) (z) dsα = Aα dξα (z) Aα = Aα 1 + h 2 z (z) eα = z Rα h 2 1 (z) (z) r,α Aα (z) Rα n(z) n = Rα 1 + Rzα Π (z) powierzchnia równo oddalona Π powierzchnia środkowa

Podobne dokumenty

1 Charakterystyka ustrojów powierzchniowych. Anna Stankiewicz

1 Charakterystyka ustrojów powierzchniowych Anna Stankiewicz e-mail: astankiewicz@l5.pk.edu.pl Tematyka zajęć Przykłady konstrukcji inżynierskich Klasyfikacja ustrojów powierzchniowych Podstawowe pojęcia