Część 3 5. KONSTRUKCJE STATYCZNIE WYZNACZALNE 5. KONSTRUKCJE STATYCZNIE WYZNACZALNE 5.. WARUNEK KONIECZNY STATYCZNEJ WYZNACZALNOŚCI PŁASKICH KONSTRUKCJI PRĘTOWYCH Na wstępie przypomnijmy, że podział na konstrukcje statycznie wyznaczalne i niewyznaczalne ma sens tylko wtedy, gdy w równaniach równowagi pomijamy deformacje konstrukcji. Oznacza to, że w tym i w dalszych rozdziałach trzeciej części podręcznika akceptujemy zasadę zesztywnienia. Zasadnicze problemy konstrukcji statycznie wyznaczalnych omówimy przede wszystkim na przykładach płaskich układów prętowych obciążonych w swej płaszczyźnie. W każdej płaskiej konstrukcji prętowej można wyszczególnić trzy rodzaje prętów, różniących się liczbą sił brzegowych. Pierwszą grupę stanowią pręty obustronnie przegubowo połączone z resztą konstrukcji, w których występują cztery nieznane Rys. 5. siły brzegowe (rys. 5.a). Liczbę tych prętów oznaczymy przez p. Druga grupa, określona liczbą p, to pręty z jednej strony połączone przegubowo, a z drugiej utwierdzone, o pięciu składowych siłach brzegowych (rys. 5.b). Pręty obustronnie utwierdzone w liczbie p 3 mają sześć składowych sił brzegowych (rys. 5.c). Dla każdego z wyszczególnionych prętów można ułożyć trzy równania równowagi. Wobec tego liczbę nieznanych sił brzegowych wyraża zależność: ( 4p 3p ) + ( 5p 3p ) + ( 6p 3p ) = p + p + 3p 3 3 3. Poszczególne pręty są połączone między sobą w węzłach, dla których także można ułożyć równania równowagi. Rozróżniamy dwa rodzaje węzłów. Pierwszy to węzły, w których wszystkie pręty są połączone przegubowo (rys. 5.d). Dla każdego takiego węzła można ułożyć tylko dwa równania równowagi sił (równanie momentów jest spełnione tożsamościowo). Liczbę węzłów przegubowych oznaczymy przez w. Drugi rodzaj stanowią wszystkie inne węzły w liczbie w, w których choćby dwa pręty są między sobą połączone w sposób sztywny (rys. 5.e, f). Dla każdego takiego węzła można ułożyć trzy równania równowagi (dwie sumy rzutów sił i suma momentów). Ostatecznie liczba niewiadomych sił: n = p + p + 3p w w. (5.) 3 Liczba n określa stopień statycznej niewyznaczalności konstrukcji. Trzeba dodać, że w liczbie prętów p oraz węzłów w i w należy uwzględnić wszystkie pręty i węzły podporowe. Przykłady zastosowania wzoru (5.) podano na rys. 5., na którym w nawiasach zaznaczono liczbę prętów podporowych.
Część 3 5. KONSTRUKCJE STATYCZNIE WYZNACZALNE Rys. 5. W układach statycznie wyznaczalnych liczba n musi być równa zeru (por. np. rys. 5.b): n = p + p + 3p + w 3w =. (5.) Stosownie do uwag z p. 4. przypominamy, że jest to tylko warunek konieczny. Mechaniczne stosowanie wzorów (5.) lub (5.) prowadzi do istotnych błędów. Zdarza się bowiem tak, że w pewnych fragmentach konstrukcja może być przesztywniona (statycznie niewyznaczalna), a w innych geometrycznie zmienna. Wówczas globalna wartość n dla całej konstrukcji jest różnicą między stopniem statycznej niewyznaczalności fragmentu przesztywnionego n a liczbą stopni swobody części geometrycznie zmiennej s, tzn. n = n s. Przykłady takich pułapek ilustrują rys. 5.d, e. Ogólnym sposobem identyfikacji układów geometrycznie zmiennych jest badanie rzędu macierzy zgodności geometrycznej (por. p. 4..4). 5.. OBLICZANIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH W tym punkcie zilustrujemy analityczną postać metody statycznej i metodę kinematyczną. W metodzie statycznej wykorzystuje się ogólną zasadę wyznaczania sił wewnętrznych, polegającą na badaniu równowagi jednej myślowo wydzielonej części konstrukcji. Metoda kinematyczna opiera się na równaniu pracy wirtualnej przy wirtualnym stanie przemieszczeń ułożonym dla układu ciał idealnie sztywnych połączonych stosownie dobranymi więzami (równanie (4.8)). Przyczyną pojawienia się reakcji podporowych R i sił wewnętrznych Y są obciążenia F. W równaniach równowagi wielkości te występują zawsze w pierwszej potędze; tworzą zatem funkcje liniowe. Wobec tego dla przyczyny (obciążenia) i skutków (reakcje, siły wewnętrzne) obowiązuje zasada superpozycji: RF (,..., Fm) = R( F) + R( F) +... + Rm( Fm), (5.3) Y( F,..., Fm) = Y( F) + Y( F) +... + Ym( Fm), przy czym indeksy reakcji i sił wewnętrznych odpowiadają kolejnym numerom obciążeń. Równania (5.3) są słuszne dla dowolnego materiału, również nieliniowego. Jedynym ograniczeniem jest przyjęcie zasady zesztywnienia. Dla jasności trzeba jednak dodać, że zasada superpozycji na ogół nie
Część 3 5. KONSTRUKCJE STATYCZNIE WYZNACZALNE 3 dotyczy naprężeń. Wyjątek stanowią układy kratowe i pewne inne przypadki szczególne. Rozszerzenie zasady superpozycji nie tylko na naprężenia ale i na odkształcenie i przemieszczenie jest słuszne dla materiałów liniowo-sprężystych. Przykład 5... Przykłady zastosowania metody statycznej Obliczyć siły w prętach kratownicy przedstawionej na rys. 5.3a. Rys. 5.3
Część 3 5. KONSTRUKCJE STATYCZNIE WYZNACZALNE 4 Rozwiązanie Osie prętów kratownicy tworzą siatkę trójkątną, co przy trzech składowych reakcji świadczy o tym, że konstrukcja jest geometrycznie niezmienna (s = ) i statycznie wyznaczalna (n = ). a. Obliczenie reakcji Sprawdzenie: Px = H P = ; H = P, M4 = 3aV 5, ap 5, ap= ; V = P, M = 3aV4 + 5, ap 5, ap= ; V4 = 5, P. Pz = 5, P V V4 =. b. Obliczenie sił w prętach Podzielimy kratownicę na dwie części przekrojem β β (rys. 5.3b). Mamy do dyspozycji trzy równania równowagi, z których można wyznaczyć trzy siły: Z, Z 6 i Z 9. Zakładamy pierwotnie, że siły te są dodatnie, czyli zwroty ich odpowiadają rozciąganiu prętów. Rozważmy przykładowo równowagę prawej części kratownicy. Ułożymy kolejno równanie równowagi momentów względem punktów, i 5. Uzyskamy wówczas rozprzężenie układu równań liniowych względem niewiadomych Z 9, Z 6 i Z : M = 3a 5, P a 5, P+ Z9 r =, Pa 5 Z9 = r P / =, 4 M = a 5, P a 5, P Z6 r =, Pa Z6 = r P / =, 3Pa 3 5 M5 = a 5P+ Z r5 = Z =,, / r5 = P. 4 Wartość siły Z 9 można uważać za iloraz momentu sił zewnętrznych rozważanej części kratownicy względem punktu i ramienia siły Z 9 względem tego punktu: Z 9 = M (P)/r. Punkt jest punktem przecięcia osi pozostałych dwóch prętów przekroju β β, tzn. prętów Z i Z 6. Podobnie obliczamy Z 6 = M (P)/r oraz Z = M 5 (P)/r 5. Ogólnie można zapisać, że M P Z k ( ) i =. (5.4) rk () i Przedstawiony wyżej sposób wyznaczania sił w prętach kratownicy nosi nazwę metody Rittera, a punkt k nazywa się punktem Rittera. Wszystkie siły w prętach kratownicy, łącznie z reakcjami, można również obliczyć z równań równowagi myślowo wyciętych węzłów kratownicy, czyli za pomocą tzw. metody równoważenia węzłów. Jest to najogólniejsza metoda analityczna rozwiązywania kratownic. W naszym zadaniu otrzymujemy (rys. 5.3c): Węzeł "": Px = H + Z7 + Z cosα = Pz = V Z sin α =,
Część 3 5. KONSTRUKCJE STATYCZNIE WYZNACZALNE 5 Węzeł "": Px = P Z + Z cosα + Z cosα + Z9 cosα = Pz = Z8 + Z sinα Z sin α =, Węzeł "": Px = Z + Z + Z o cosα 3 cos45 = Pz = Z + Z = + Z o sinα cos 45 =, Węzeł "3": Px = Z3 = Pz = Z4 =, Węzeł "4": Px = Z Z Z o 5 5 cos45 = Pz = V Z Z o 4 4 cos 45 =, Węzeł "5": Px = Z5 Z6 Z9 cosα = Pz = 5, P Z Z9 sin α =, Węzeł "6": Px = Z6 Z7 = Pz = Z8 =. W powyższych równaniach występuje jedenaście niewiadomych sił w prętach Z i (i =,,..., ) oraz trzy reakcje podporowe H, V i V. Łączna liczba równań odpowiada zatem liczbie niewiadomych. Rozwiązanie tego układu istnieje, jeżeli jego wyznacznik główny jest różny od zera. Zerowa wartość tego wyznacznika świadczy o tym, że układ jest geometrycznie zmienny. W rozważanym zadaniu otrzymujemy rozwiązanie jednoznaczne, a obliczane wartości sił w prętach kratownicy zamieszczono w tablicy I (kolumna 4). Tablica I Nr l i A i Z Zi li i Z Z i l i E i Zi li i Ei Ai Ei Ai Zi li [m] [m ] [kn] [ ] [m] [kn/m ] [m] [m] [m] 3 4 5 6 7 8 9 3,35 44,7 7 7,49 4 3,35 33,5, 7 5,6 4 3 3,,77,3 7 4 4 3,,77 7 5 3, 3 4 3,,77 8 5, 4,6 4 6 3, 3 4, 8, 4 7 3, 3 4, 8, 4 8,5 4 8 9 3,35 4, 8 9,38 4 3, 3 4 45,,77,8 8,5 4 5,9 4 4,4 4,4, 7 9,5 4 9,5 4 565 4 7,45 4 353 4
Część 3 5. KONSTRUKCJE STATYCZNIE WYZNACZALNE 6 Przykład Wyznaczyć reakcje i siły wewnętrzne w belce przedstawionej na rys. 5.4a. Rys. 5.4 Rozwiązanie Obciążenie belki określa funkcja ciągła: (a) q x q x q q x z ( ) = ( ) = + l. a. Obliczenie reakcji (rys. 5.4a) Px = HB, l MB = VAl q( x)( l x) dx =, l V q q x A = + ( l x) dx = q l+ q l l, l 6 l MA = VBl q( x) xdx =, VB = ql q l ql q l l + = + 3 3.
Część 3 5. KONSTRUKCJE STATYCZNIE WYZNACZALNE 7 Sprawdzenie: l l P V V q x dx q l q l q q x z = A + B ( ) = + + dx =. l b. Obliczenie sił wewnętrznych (rys. 5.4b) Dokonamy myślowego rozcięcia belki przekrojem α α, usytuowanym w odległości x od lewej podpory. Na płaszczyznach przekroju występują siły wewnętrzne N(x), Q(x) i M(x). W celu wyznaczenia tych sił zbadamy równowagę jednej z części belki. Przykładowo dla lewej części otrzymujemy równania: skąd Px = N( x) =, x Pz = VA + q( x) dx + Q( x) =, x (b) Qx V q q x dx V q x q x ( ) = A + = A, l l x MC = VA x q x x x dx M c = ( )( ) ( ), skąd (c) M( x) = V x q x q x A 3. 6 l Wykresy funkcji Q(x) i M(x) przedstawiono na rys. 5.4c, d. Łatwo zauważyć, że stosownie do wzorów (4.6) wartość bezwzględna funkcji obciążenia q(x) jest pochodną funkcji siły poprzecznej Q(x), a siła poprzeczna Q(x) jest z kolei pochodną funkcji momentu zginającego M(x). Oznacza to, że wykres q(x) jest wykresem tangensa kąta nachylenia stycznej do krzywej Q(x), a wykres Q(x) jest wykresem tangensa kąta nachylenia stycznej do krzywej M(x). Zilustrowano to rysunkami 5.4c, d. Ekstremum funkcji M(x) wypada dla przekroju x = x, w którym siła poprzeczna jest równa zeru: Q(x ) =. Warto zwrócić uwagę, że jeżeli wykres M(x) odłożymy po stronie włókien rozciąganych, to od lewej strony ku prawej wykres M(x) opada, gdy Q(x) >, natomiast wznosi się, gdy Q(x) <. Jest to ogólna prawidłowość słuszna dla prętów zginanych poprzecznie. W przypadku szczególnym, gdy q = i q, otrzymujemy rozwiązanie dla belki równomiernie obciążonej (q = q = const, por. rys. 5.5a). Dla q, q = (obciążenie trójkątne) wykresy sił wewnętrznych obrazuje rysunek 5.5b.
Część 3 5. KONSTRUKCJE STATYCZNIE WYZNACZALNE 8 Rys. 5.5 Przykład 3 Obliczyć reakcje i siły wewnętrzne w belce wspornikowej, obciążonej siłami skupionymi (rys. 5.6a). Rys. 5.6
Część 3 5. KONSTRUKCJE STATYCZNIE WYZNACZALNE 9 Rozwiązanie a. Obliczenie reakcji P x =, P = V P P P + P = ; V = P+ 3P+ P 3P = 3P, z 3 4 MA = M + P a+ P a+ P3 3a P4 4a = Pa. M = Pa 3P a P 3a+ 3P 4a = Pa. b. Obliczenie sił wewnętrznych Równania sił wewnętrznych zmieniają się w punktach przyłożenia sił skupionych. Równania te układamy, dokonując kolejno przekrojówα, α, α3 i α4, usytuowanych w poszczególnych przedziałach, w których obciążenie q(x) jest funkcją ciągłą. W rozważanym zadaniu w każdym z tych przedziałów obciążenie to jest równe zeru (q(x) = ). Ostatecznie otrzymujemy: < x< a: Qx ( ) = V = 3P= const, Mx ( ) = M + V x= P( a+ 3x); a< x< a: Qx ( ) = V P = P= const, Mx ( ) = M P + V x P( x a) = Px; a< x< 3a: Qx ( ) = V P P = P= const, M( x) = M + V x P( x a) P ( x a) = P( 6a x); 3a< x< 4a: Qx ( ) = V P P P3 = P4 = 3P= const, M( x) = M + V x P( x a) P( x a) P3( x 3a) = 3P( 4a x). Wykresy funkcji Q(x) i M(x) przedstawiają rys. 5.6b, c. Widzimy, że funkcja Q(x) jest nieciągła, gdyż dla x = ka, (k =,, 3, 4) przyjmuje dwie wartości: lewostronną Q l (ka) i prawostronną Q p (ka). Różnica tych wartości Q l (ka) Q p (ka) = P k i odpowiada sile skupionej przyłożonej w tym punkcie. Moment zginający jako całka z funkcji sił poprzecznych Q(x) jest ciągłą linią łamaną. W związku z tym ekstremalna wartość momentu wypada w tym przekroju, w którym siła poprzeczna zmienia znak, tzn. w punkcie : Mmax = M( a) = Pa+ 3P a Pa = 4 Pa. Łatwo zauważyć, że różnica tangensów kątów załamania γ k oraz γ k wykresu momentu zginającego w punkcie x = ka jest równa sile skupionej przyłożonej w tym punkcie (por. rys. 5.6c). Spostrzeżenie to ma duże znaczenie przy wyznaczaniu przemieszczeń belek sprężystych.
Część 3 5. KONSTRUKCJE STATYCZNIE WYZNACZALNE Przykład 4 Obliczyć belkę ciągłą przegubową przedstawioną na rys. 5.7a. Rozwiązanie a. Wyznaczenie reakcji podporowych Występuje pięć składowych reakcji podporowych: V, V 4, V 8, H 8 i M 8. Do dyspozycji mamy trzy równania równowagi dla całej belki oraz dwa warunki zerowania się momentów zginających w przegubach 5 i 7: (M 5 = M 7 = ). Równania te wystarczają do wyznaczenia niewiadomych reakcji podporowych: (e) Px H8 3 =, (f) M5 = V 7, 5 3 6 + V4 5, =, (g) M7 = V, 5 3 + V4 5, 5 3 =, (h) M5 = M5 + 3 45 4 V8 7 M8 =, (i) M7 = M7 V8 3 M8 =. Z równań (f) i (g) można wyznaczyć reakcje V i V 4, a z równań (h) oraz (i) reakcje V 8 i M 8. Ostatecznie otrzymujemy: V = 43 kn, V 4 = 33 kn, V 8 = 9 kn, H 8 = 3 kn, M 8 = 87kN m. Rys. 5.7
Część 3 5. KONSTRUKCJE STATYCZNIE WYZNACZALNE Te same wyniki uzyskamy, jeżeli belkę ciągłą podzielimy na trzy belki składowe. Belka 5 7 opiera się na belkach 5 i 7 8. Taka dekompozycja zadania bardzo ułatwia zarówno obliczenie reakcji podporowych, jak i sił wewnętrznych pod warunkiem przestrzegania odpowiedniej sekwencji obliczeń belek składowych: najpierw liczymy belkę 5 7 a następnie belki 5 i 7 8 obciążone reakcjami przegubów V 5 i V 7 (por. rys. 5.7b). Równowaga belki 5 7 wymaga, by V 5 = V 7 = 6 kn. Dzięki tej informacji wartości V 8 i M 8 można obliczyć w głowie : V 8 = V 7 45 = 9 kn, M 8 = (V 7 45) 3 = 87kN m. Łatwo sprawdzić, że obliczenie reakcji V i V 4 dla belki 5 prowadzi również do wartości wyznaczonych wcześniej. b. Wyznaczenie sił wewnętrznych Ograniczymy się tylko do obliczenia sił wewnętrznych w charakterystycznych punktach belki. Przebieg funkcji między tymi punktami określimy na podstawie zależności różniczkowych (4.5) i obliczeń pomocniczych. Siły poprzeczne: l p Q = ; Q = V = 43kN, l Q = Q3 = Q4 = 43 3 = 7 kn, p l Q4 = Q5; Q6 = 7 + 33 = 6 kn, p l Q6 = Q7 = 6 3 = 6 kn, p l Q7 = Q8 = 6 + 45 = 9 kn = V8, P Q8 =. Momenty zginające: x M M x x 43 43 5 5, =, ( ) = =, = 46, kn m, M = 43 3 3, 5 = 39 kn m, P M3 = 43 4, 5 6 3 = 3, 5 kn m, M3 = M3 =, 5 kn m, M4 = 6, 5 = 4 kn m, M5 =, M6 = 6 = 3 kn m, M7 =, M8 = 3kN m. Siły normalne: N(x) = H 8 = 3 kn = const. Wykresy sił wewnętrznych podano na rys. 5.7c, d, e. Przykład 5 Wyznaczyć siły wewnętrzne w układzie trójprzegubowym przedstawionym na rys. 5.8. Rozwiązanie a. Obliczenie reakcji podporowych Cztery składowe reakcji V H V H A A B B,,, obliczamy z trzech równań równowagi dla całego układu oraz jednego równania wyrażającego zerową wartość momentu zginającego w przegubie C (M C = ).
Część 3 5. KONSTRUKCJE STATYCZNIE WYZNACZALNE MB = VA 8 46 + =, VA = = 5 kn, 8 MA = VB 8+ + 4 =, VB = = 5 kn, 8 MC = VA 4 4 HA 4= HA = 5 4 8 = 5 P = H H + =, H = 5+ = 5 kn. Rys. 5.8
Część 3 5. KONSTRUKCJE STATYCZNIE WYZNACZALNE 3 b. Obliczenie sił wewnętrznych W obliczeniach elementów łukowych i prętów o osi załamanej bardzo użyteczne są wzory wynikające z rys. 5.8b: N = Ncosα Qsin α, Q= Nsinα + Qcos α, (5.5) gdzie N i Q oznaczają siły normalną i poprzeczną, obliczone jak dla belki poziomej. Dla łuku kołowego AC mamy: X = R ( sin a ), Y = R cosa, N = 5 kn, Q =V C= VA qx = 5 4( sin a ) = 5 + 4sina, skąd N( α) = 5 cos α ( 5+ 4 sin α)sin α, Q( α) = 5 sin α+ ( 5+ 4 sin α)cos α, (j) M( ) V X q X α = A HA Y= R( sin α) VA qr( sin α) HARcosα = = [ ( sin α)( + 4sin α) cos α]. Potwierdzeniem poprawności uzyskanego wyniku jest to, że jest spełniona zależność (4.8) 3 : dm dm = = 5(sinα + 3 cosα 8 sinαcos α) =Q( α). ds R dα Na odcinku pochyłym CE kąt α = α i jest ujemny: cos α = 8, ; sin α = 6,. Wobec tego: NC p = ND l = 58, ( 5) ( 6, ) = 3kN, QC p = QD l = 5 ( 6, ) + ( 5) ( 8, ) = 9 kn, MC =, ND p = NE l = 5, 8 ( 5) (, 6) = 9 kn, QD p = QE l = 5 (, 6) + ( 5) (, 8) = 3 kn, MD = VB, 3 HB = 5, 33 5 = 3 kn m. Na odcinku EB mamy: QEB = HB = 5 kn = const, NEB = VB = 5 kn = const, ME = HB = 5kN m. Wykresy sił wewnętrznych przedstawia rys. 5.9.
Część 3 5. KONSTRUKCJE STATYCZNIE WYZNACZALNE 4 Rys. 5.9
Część 3 5. KONSTRUKCJE STATYCZNIE WYZNACZALNE 5 Przykład 6 Wyznaczyć reakcje podporowe i siły wewnętrzne w płaskim łuku kołowym utwierdzonym całkowicie w punkcie A i obciążonym w punkcie B siłą P, prostopadłą do płaszczyzny łuku. Temat zadania objaśnia rys. 5.a. Rys. 5.
Część 3 5. KONSTRUKCJE STATYCZNIE WYZNACZALNE 6 Rozwiązanie a. Obliczenie reakcji Poszukujemy składowych reakcji w przekroju utwierdzonym. Są to trzy siły R X, R Y i R Z oraz trzy momenty C X, C Y i C Z, odniesione do globalnego układu osi X, Y, Z. Wykorzystujemy sześć równań równowagi (por. p. 4.): skąd PX = RX =, PY = RY =, PZ = RZ + P=, MXi = CX + P r =, MYi = CY P r =, MZi = CZ =, R = R =, C = oraz R = P, C = P r, C = P r. X Y Z Z X Y Siły te zaznaczono na rys. 5.b z uwzględnieniem aktualnych zwrotów. b. Siły wewnętrzne Siły wewnętrzne wyznaczymy z równań równowagi wyciętej części pręta (rys.5.b). Dodatnie zwroty tych sił pokrywają się ze zwrotami osi lokalnego układu współrzędnych x, y z, względem którego układamy równania równowagi: Px = N =, Py = Qy =, Pz = Qz P =, Mxi = M P r( cos α) P rsin α =, Myi = My P rsinα + P rsinα + P rcos α =, Mzi = Mz =. Na podstawie powyższego dostajemy: (k) Qz = P, My = Pr cos α, M = Pr( sin α). Pozostałe siły wewnętrzne są równe zeru. Wykresy funkcji M y ( α) i M ( α) przedstawia rys. 5.d. 5... Przykłady zastosowania metody kinematycznej. Linie wpływu wielkości statycznych Metoda kinematyczna opiera się na wykorzystaniu zależności (4.8a), przedstawiającej równanie pracy wirtualnej dla układu ciał idealnie sztywnych: ( i i ) F d ds =. s Równanie to mówi, że praca obciążeń rzeczywistych na wirtualnych przemieszczeniach układu jest równa zeru. Nieodkształcalność elementów tego układu wynika z przyjęcia zasady zesztywnienia.
Część 3 5. KONSTRUKCJE STATYCZNIE WYZNACZALNE 7 Rys. 5. Dla ilustracji podejścia kinematycznego rozważymy belkę swobodnie podpartą z rys. 5., poddaną obciążeniu q(x) = q = const (por. również rys. 5.5a). W przekroju usytuowanym w odległości x od lewej podpory usuniemy więz uniemożliwiający obrót przekroju i jednocześnie jako obciążenie zewnętrzne wprowadzimy reakcję tego więzu, czyli moment zginający M(x). Dzięki temu belka staje się układem dwóch tarcz sztywnych o jednym stopniu swobody, poddanym działaniu obciążenia q i dwóch momentów skupionych M(x) (por. rys. 5.b). Dopuszczalną kinematykę wirtualną tego układu określa jednoznacznie bardzo małe przemieszczenie (rys. 5.c). Pracę obciążeń zewnętrznych na wirtualnych przemieszczeniach można zapisać jako iloczyn momentów tych obciążeń względnych biegunów obrotu obu tarcz i odpowiednich kątów obrotu. Stosownie do równania (4.8a) mamy: (l) q x x ψi + q( l x) ( l x) ψii M( x) ψi M( x) ψii =. Ponieważ przemieszczenie jest bardzo małe, ψ I = / x oraz II = /( l x ). Wobec tego równanie (l) można zapisać w postaci: q x + q ( l x) M( x) M( x) =, x ( l x) x ( l x ) skąd po podzieleniu przez oraz po prostych przekształceniach otrzymujemy wzór na moment zginający: M( x) = q x( l x) = q lx q x, który pokrywa się z równaniem (c) z przykładu dla q =. Zwróćmy uwagę na interesujące własności metody kinematycznej: w celu obliczenia wybranej wielkości statycznej (siły wewnętrznej lub oddziaływania podpory) należy usunąć ten więz, którego reakcją jest poszukiwana wielkość statyczna; uzyskany w ten sposób układ o jednym stopniu swobody ma kinematykę niezależną od obciążenia; do wyznaczenia wybranej siły wewnętrznej nie potrzeba obliczać reakcji podpór lub innych sił wewnętrznych; otrzymujemy zawsze jedno równanie jednej niewiadomej.
Część 3 5. KONSTRUKCJE STATYCZNIE WYZNACZALNE 8 Z powyższego wynika, że równanie (4.8a) stanowi po prostu pewną kombinację liniową równań równowagi. Opisane własności metody kinematycznej wykorzystuje się również w układach statycznie niewyznaczalnych. W dalszym ciągu zastosujemy metodę kinematyczną do wyznaczenia wybranych reakcji podporowych i sił wewnętrznych w przykładach rozwiązanych już w p. 5.., gdzie stosowano metodę statyczną. Obliczymy reakcję podporową V 4 w kratownicy z przykładu. W tym celu trzeba usunąć pionowy pręt podporowy i przyłożyć reakcję tego więzu, czyli siłę V 4. Otrzymujemy jedną tarczę sztywną o jednym stopniu swobody, określonym przez bardzo mały kąt ψ (rys. 5.a, b). Równanie (4.8a) przyjmuje postać: P a ψ + 5, P a ψ V4 3a ψ =, skąd V 4 =,5 P. Łatwo zauważyć, że równanie pracy wirtualnej w tym przypadku odpowiada sumie momentów sił względem punktu. Rys. 5. W celu obliczenia siły Z trzeba usunąć pręt 5. Otrzymujemy w ten sposób układ czterech tarcz sztywnych o jednym stopniu swobody (rys. 5.c). Określenie kinematyki tego układu wymaga nieco więcej uwagi. Okazuje się, że tarcza III pozostaje nieruchoma, a kinematykę określa przemieszczenie punktu 5 (rys. 5.d). Zależność (4.8a) prowadzi do równania: skąd P a + 5, P Z =, a Z =, 5 P=, 5 = 45 kn. Wyznaczymy obecnie siłę poprzeczną w przedziale 3 dla belki wspornikowej z przykładu 3. Należy umożliwić tylko pionowe przemieszczenia względne obu części belki w tym przedziale. Odpowiada to wprowadzeniu podpory ślizgowej (rys. 5.3a). Kinematykę wirtualną tego układu ilustruje rys. 5.3b. Na podstawie równania (4.8a) możemy napisać: Q3 + 3P + P 3P =, skąd Q3 = P.
Część 3 5. KONSTRUKCJE STATYCZNIE WYZNACZALNE 9 Rys. 5.3 Korzyści metody kinematycznej najlepiej widać na przykładzie belki ciągłej (przykład 4). Na rysunkach 5.4b h przedstawiono kinematyki wirtualne do wyznaczenia wielkości V4, V8, M8, Q3, Q4 oraz N45. Nowym elementem jest podpora teleskopowa, którą wprowadzamy w celu wyznaczenia siły normalnej. Z rysunku 5.4 wynika równanie pracy wirtualnej: 3 = N 45 =, skąd N 45 = 3 kn. Omówimy obecnie wykorzystanie faktu, że kinematyki wirtualne obowiązują dla dowolnego obciążenia konstrukcji. Jeżeli przemieszczenia wirtualne przyjmiemy w ten sposób, że mnożnik poszukiwanej wielkości statycznej jest równy jedności, to rzędne przemieszczeń wirtualnych η(x) odpowiadają tzw. linii wpływu tej wielkości statycznej. Linie wpływu są więc odpowiednio przeskalowaną kinematyką wirtualną służącą do wyznaczenia poszukiwanej wielkości statycznej. Dla układów statycznie wyznaczalnych są to zawsze funkcje odcinkowo-liniowe. Linie wpływu zależą tylko od wymiarów geometrycznych i warunków brzegowych. Sens linii wpływu objaśnimy na przykładzie reakcji V 4. Stosownie do podanych uwag rzędne linii wpływu reakcji V 4 są równe pionowym przemieszczeniom wirtualnym przy założeniu, że = (rys. 5.4b). Otrzymane w ten sposób wartości funkcji η(x) interpretujemy jako wartości reakcji V 4 wywołane przez pionową siłę P =, usytuowaną w odległości x od początku układu współrzędnych. Jeśli działa większa liczba sił skupionych P i, momentów skupionych M i oraz obciążeń ciągłych q(x) i m(x) rozłożonych odpowiednio w przedziałach (a, b) i (c, d), to wartość siły V 4 wynosi: gdzie V P M d b d j d 4 = i η η η i + j + qx ( ) η( xds ) + mx ( ) dx dx dx, i j j a c η j - oznaczają rzędne wypadające w punktach przyłożenia sił skupionych P j, dη j dxj - wartości tangensa kąta nachylenia stycznej do linii η(x) w punktach przyłożenia momentów skupionych M j.
Część 3 5. KONSTRUKCJE STATYCZNIE WYZNACZALNE Rys. 5.4 Przytoczymy sposoby przeskalowania niektórych dalszych wykresów. Na rysunku 5.4d mnożnikiem momentu zginającego M 8 w równaniu pracy wirtualnej jest kąt ϕ =. Z proporcji geometrycznej wynika zatem, że rzędna linii wpływu w przegubie 7 wynosi η 7 = 3m. W przypadku momentu M wymagamy, by suma kątów ϕi i ϕii była równa jedności ( ϕi + ϕii =). Suma ta jest bowiem mnożnikiem momentu M w równaniu pracy wirtualnej. Mamy więc: + =, skąd = η = 5, m. 3 3 Dla siły poprzecznej trzeba tak dobrać Q 3 i kąt ϕ, by wzajemne przemieszczenie pionowe obu części belki w punkcie 3 było równe, czyli ϕ 45, + ϕ 5, =, skąd ϕ = m. 6
Część 3 5. KONSTRUKCJE STATYCZNIE WYZNACZALNE Wobec tego rzędne z lewej i prawej strony punktu 3 wynoszą (rys. 5.4f): l η3 η3 6 45 75 p =, =,, = 5, = 5,. 6 Znaki rzędnych wynikają z umowy znaku siły poprzecznej i definicji rzędnej linii wpływu. Obliczymy teraz wartość Q 3 na podstawie linii wpływu z rys. 5.4f: 3 Q3 75, = x dx = + 3 5 7 45 6 = ( ), kn., Warto dodać, że linie wpływu najczęściej wyznacza się jednak metodą statyczną. Dotyczy to przede wszystkim łuków i ram, ponieważ badanie kinematyki wirtualnej układu jest nieco bardziej złożone. Statyczna metoda wyznaczania linii wpływu jest dokładnie omówiona w każdym podręczniku mechaniki budowli. Rys. 5.5
Część 3 5. KONSTRUKCJE STATYCZNIE WYZNACZALNE Na zakończenie obliczymy jeszcze reakcję poziomą H A i moment zginający M E w konstrukcji trójprzegubowej rozważanej w przykładzie 5. Odpowiednie kinematyki obrazuje rys. 5.5a, b. Dla porządku umówimy się, że dodatnie kąty ψ i dodatnie momenty zginające mają zwroty zgodne z ruchem wskazówek zegara. Z rysunku 5.5a wynika, że ψi = ψii = ψ. Wobec tego równanie (4.8a) przyjmuje postać: skąd ( H A 8) ψ + ( 4 ) ψ ) =, I II 8 4 H A = = 5kN. 8 Przy wyznaczaniu momentu M E zależności między kątami obrotu poszczególnych tarcz sztywnych są następujące: ψ = ψ = ψ, 7 ψ = ψ, ψ = 7 ψ. I II II III III Równanie (4.8a) przyjmuje postać: 4 ψ + ( 6) ψ M ψ + M ψ + M ψ =. I II E II E II E III Po uwzględnieniu zależności między kątami otrzymujemy: 8 ψ + ψ + M E ( ψ + 7ψ) =, skąd M E = 8 + = 5 kn m. 8 Widać, że wyznaczone wartości H A i M E pokrywają się z rezultatami przykładu 5. 5.3. OBLICZANIE PRZEMIESZCZEŃ KONSTRUKCJI LINIOWO-SPRĘŻYSTYCH 5.3.. Wiadomości ogólne Dysponujemy wieloma metodami wyznaczania przemieszczeń uogólnionych w konstrukcjach liniowo-sprężystych. Są to metody: całkowania równania różniczkowego linii ugięcia, obciążenia krzywiznami (metoda Mohra) oraz metody energetyczne wykorzystujące: twierdzenie Clapeyrona, twierdzenie o minimum energii dopełniającej (twierdzenie Castigliano (4.)), równania pracy wirtualnej przy wirtualnym stanie sił (4.6). Pierwsze dwie metody zilustrowano w rozdziale 9. Tutaj omówimy przede wszystkim zastosowanie równania pracy wirtualnej (4.6), gdyż obowiązuje ono dla największej klasy zadań. Dodamy tu, że twierdzenie Castigliano obejmuje w zasadzie tylko wpływy mechaniczne i prowadzi w końcu do takich samych zależności jak równanie (4.6), natomiast twierdzenie Clapeyrona jest ograniczone do bardzo rzadko występujących przypadków szczególnych. Równanie (4.6) ma postać: ( qu x + qv y + qw + mxψ + myϕy + mzϕz) ds= s = ( N λ + Qyβy + Qzβz + Mθ + M yky + Mzkz ) ds, s
Część 3 5. KONSTRUKCJE STATYCZNIE WYZNACZALNE 3 przy czym w układach liniowo-sprężystych rzeczywiste odkształcenia uogólnione opisują wzory: N Qy Q λ = + λ β = + β β = z, y y, z + βz, EA ( GA / k ) ( GA / k ) M M y M θ = + θ, ky = + ky, kz = z + k GJ EJ EJ s y z y z z (5.6) lub krócej Y e i i D e = + i, i =,,..., 6, (5.6a) i gdzie Y i oraz D i - oznaczają siły wewnętrzne oraz odpowiednie sztywności przekroju. Rys. 5.6 Komentarza wymagają dodatkowe człony oznaczone indeksem. Człony te wyrażają odkształcenia uogólnione wywołane przez czynniki niemechaniczne (temperaturę, skurcz) lub wstępne deformacje technologiczne (błędami wykonania). Uwzględnienie tych ostatnich służy do wyznaczenia przemieszczeń realnej konstrukcji względem projektowanej (idealnej) konfiguracji osi prętów przy założeniu idealnego wykonania konstrukcji. Omówimy przykładowo wpływ temperatury. Przyjmijmy, że temperatura wszystkich włókien w chwili t podczas montażu danego pręta Tt ( ) = T m (por. rys. 5.6c). Przypuśćmy, że po pewnym czasie, w chwili t > t, nastąpiła stabilizacja rozkładu temperatur. Temperatura górnych skrajnych włókien na całej szerokości przekroju b g jest stała i wynosi Tg( t, zg). Podobnie temperatura dolnych skrajnych włókien wynosi Td( t, zd). Rozkład temperatur na wysokości przekroju jest na ogół nieznany. Dlatego zazwyczaj zakłada się, że rozkład ten jest liniowy i nie zależy od współrzędnej y (rys. 5.6d). Liniowy rozkład temperatur spełnia tożsamościowo równanie przewodnictwa cieplnego dla procesu ustalonego w czasie. Przyrost temperatury T() z = Tt (,) z Tt ( ) na wysokości przekroju (rys. 5.6e) można rozłożyć na równomierne ogrzanie całego przekroju o wartości T c (rys. 5.6f) oraz liniowe nierównomierne ogrzanie, określone różnicą temperatur w dolnych i górnych skrajnych włóknach T v (rys. 5.6g).
Część 3 5. KONSTRUKCJE STATYCZNIE WYZNACZALNE 4 Mamy więc: Tz () = T T c + v, h (5.7) gdzie Tc = Td ζ + Tg ( ζ) Tm, Tv = Td Tg, (5.8) przy czym h jest wysokością przekroju, a ζ = zg / h i określa położenie środka ciężkości przekroju. W materiale izotropowym zmiana temperatury nie wywołuje zmiany kątów odkształcenia postaciowego, lecz jedynie zmianę objętości. Mamy więc: (a) z εx = εz = αt Tc + αt, v h (b) =, γ xz gdzie α T - oznacza współczynnik rozszerzalności liniowej. Wpływ odkształceń w kierunku prostopadłym do osi pręta ε z jest nieznaczny i nie bierze się go pod uwagę. Natomiast z budowy wzorów (a) i (b) wnioskujemy, że: gdzie λ x i κ y - są opisane wzorami: x x y xz z ε = λ + k z, γ = β =, (5.9) λ x = αt Tc, κ y = αt Tv. h (5.) Stosując wzory (5.9) i (5.), trzeba pamiętać o założeniach upraszczających, które przyjęto przy określeniu pola temperatury. Przy dowolnym rozkładzie temperatur na wysokości przekroju pręta stosowanie klasycznej teorii prętów jest już nieuzasadnione. 5.3.. Przykłady zastosowania równania pracy wirtualnej do wyznaczania przemieszczeń Do ilustracji obliczania przemieszczeń konstrukcji wykorzystamy przykłady 6, zamieszczone w p. 5... Rozważymy na wstępie belkę swobodnie podpartą z przykładu, poddaną działaniu obciążenia równomiernego (por. rys. 5.5a i 5.7a, b, c). Przyjmiemy, że belka ma przekrój stały (A = const, J = const) oraz jest jednorodna (E = const, G = const). Wyznaczymy przemieszczenie pionowe punktu, leżącego w połowie rozpiętości.
Część 3 5. KONSTRUKCJE STATYCZNIE WYZNACZALNE 5 Rys. 5.7 Lewa strona równania (4.6) wyraża pracę wirtualnych sił zewnętrznych na przemieszczeniach rzeczywistych. Ponieważ poszukujemy przemieszczenia rzeczywistego, trzeba przyjąć takie obciążenie wirtualne, które wykonuje pracę tylko na tym przemieszczeniu. Będzie to siła pionowa P zaczepiona w punkcie (rys. 5.7d). Po prawej stronie równania występują rzeczywiste odkształcenia uogólnione, wyrażone wzorami (5.6), oraz wirtualne siły wewnętrzne, będące w równowadze z obciążeniem P. W układach statycznie wyznaczalnych istnieje tylko jedno statycznie dopuszczalne pole wirtualnych sił wewnętrznych. Są to siła poprzeczna Q( x) i moment zginający M( x), wywołane przez działanie obciążenia P na rozpatrywaną belkę statycznie wyznaczalną. Wykresy Q( x) i M( x) podano na rys. 5.7e, f. Równanie (4.6) przyjmuje postać: l Q (c) P Q GA k = + M M β + + dx k EJ. Ponieważ na belkę działa tylko obciążenie rzeczywiste q, więc czynniki β i k są równe zeru. Po uwzględnieniu antysymetrii wykresów Q( x) i Q( x), symetrii wykresów M( x) i M( x) oraz fakty, że GA = const i EJ = const, otrzymujemy:
Część 3 5. KONSTRUKCJE STATYCZNIE WYZNACZALNE 6 l/ l/ k P = Qx ( ) Qx ( ) dx+ M( x) M( x) dx GA EJ = l/ l/ k ( d) P ql qx dx+ Px qlx qx dx. GA EJ Z budowy wzoru (d) wynika, że obie strony tego równania można podzielić przez P. Po podzieleniu otrzymujemy: l/ k ql (e) = + qx dx x qlx qx dx. GA EJ W zależności (e) celowo pozostawiono nadkreślenia, by zaznaczyć wielkości wirtualne. Widzimy zatem, że dla wygody obliczeń warto przyjąć, iż siła wirtualna P =. Ten chwyt rachunkowy można stosować w każdym przypadku, gdyż zależności między obciążeniem wirtualnym a wirtualnymi siłami wewnętrznymi są zawsze liniowe, co wynika z liniowości równań równowagi. Po wykonaniu całkowania równania (e) otrzymujemy: l/ l/ 3 k qlx qx ql x qx = + = GA EJ 6 4 kql 5 ql = + = ( Q) + ( M). 8GA 384 EJ Ten sam wynik otrzymujemy, stosując całkowanie sposobem Wiereszczagina (por. dodatek): k ql l ql l l q = + + 8 3 4 8 l l l. GA EJ 3 8 Pierwszy składnik wzoru na określa wpływ odkształceń postaciowych (sił poprzecznych) (Q), a drugi wpływ zginania (momentów zginających) (M). Określimy udział obu składników w wartości ugięcia : 4 5 ql 48EJ 96k = + = + + 384 5 5 i ( M) ( ν ), EJ GAl l przy czym ν oznacza współczynnik Poissona, a i promień bezwładności. Jeżeli smukłość pręta s, określona stosunkiem l/i, jest duża, to drugi składnik nawiasu kwadratowego w stosunku do jedności jest mały. Dlatego dla prętów cienkich (smukłych) wpływ odkształceń postaciowych pomijamy. Przy dominującym wpływie momentów zginających przemieszczenia można obliczać z zależności przybliżonej: M k ds. (5.) s Na rysunku 5.7g przedstawiono obciążenie wirtualne, które stosuje się przy obliczaniu kąta obrotu przekroju w punkcie B. Obciążenie to jest momentem skupionym, wykonującym pracę na poszukiwanym kącie obrotu B. Wykres momentów wirtualnych M( x) podano na rys. 5.7g. Dla belki z rys. 5.7a według zależności przybliżonej (5.) otrzymujemy:
Część 3 5. KONSTRUKCJE STATYCZNIE WYZNACZALNE 7 l 3 M( x) ql B = M( x) dx =. EJ 4EJ Kąt B jest ujemny, co oznacza, że ma zwrot niezgodny ze zwrotem wirtualnego momentu skupionego działającego na podporze B (por. rys. 5.7a, g). W nawiązaniu do przykładu 6 wyznaczymy kąt skręcania przekroju usytuowanego w punkcie B (por. rys. 5.). Należy zatem w tym punkcie przyłożyć wirtualny moment skręcający M B = (rys. 5.8a) i wyznaczyć wewnętrzne siły wirtualne. Łatwo stwierdzić, że tylko moment zginający M y ( α ) i moment skręcający M ( α ) są różne od zera. Z sumy rzutów momentów na lokalne osie x i y otrzymujemy (rys. 5.8b): M y ( α) = cos α, M ( α) = sinα. Wobec powyższego, stosownie do równania (4.6), można napisać: π/ M y ( α) ( ) B = ( M + = + = y k y M ) ds M y ( ) M( ) M α θ α α rdα EJ y GJs s π/ cos α( Pr cos α) sin α Pr( sin α) = r + dα. EJ y GJs Jeżeli pręt jest jednorodny i pryzmatyczny, to EJ y = const i EJ s = const. Wówczas π/ π/ B = d + d EJy GJs = π EJ + π Pr cos αα (sin α sin α) α Pr. y GJ s 4 4 Obliczona wartość kąta skręcania jest ścisła tylko w tych przypadkach, gdy deformacja następuje bez deplanacji przekroju (skręcanie swobodne). Ma to miejsce wówczas, gdy przekrój pręta jest kołowy lub cylindryczny (rurowy). Jeżeli dla przykładu pręt ma przekrój cienkościenny otwarty, to trzeba najpierw określić moment odpowiadający skręcaniu swobodnemu Mv(α), a prawą stronę równania (4.6) zapisać w postaci (4.9). Wpływ czynników niemechanicznych zilustrujemy na przykładzie konstrukcji trójprzegubowej w przykładzie 5 (rys. 5.8a). Rys. 5.8
Część 3 5. KONSTRUKCJE STATYCZNIE WYZNACZALNE 8 Wyznaczymy poziome przemieszczenie punktu C wywołane kolejno przez: ) osiadanie podpór, ) zmianę temperatury, 3) błędy wykonania. Wszystkie te czynniki uwzględniono na rys. 5.9a. W celu wyznaczenia poszukiwanego przemieszczenia obciążamy konstrukcję jednostkową poziomą siłą wirtualną zaczepioną w punkcie C. Obciążenie to łącznie z łatwymi do wyznaczenia reakcjami podpór i wykresem momentów zginających przedstawiono na rys. 5.9b. Wykres sił normalnych N podano na rys. 5.9c. Jak się okaże, wirtualne siły poprzeczne Q nie będą występowały w dalszych obliczeniach. Rys. 5.9. Osiadanie podpór W układach statycznie wyznaczalnych osiadanie podpór nie wywołuje deformacji poszczególnych prętów konstrukcji, czyli wszystkie uogólnione odkształcenia rzeczywiste e i (i =,,..., 6) są równe zeru. Zatem prawa strona wzoru (4.6) znika, a po lewej pozostają składniki prac zewnętrznych sił wirtualnych na rzeczywistych przemieszczeniach C, u A, v A, u B i V B :
Część 3 5. KONSTRUKCJE STATYCZNIE WYZNACZALNE 9 P C + HA ua + VA va + HB ub + VB vb =. Uwzględniając wartości sił wirtualnych i znanych osiadań podpór otrzymujemy: 4 + C (, ) (, ) +, +, =, skąd C =, m.. Zmiana temperatury Przyjmijmy, że środek ciężkości wszystkich prętów wypada w połowie wysokości, czyli ξ =,5. Wysokości prętów są następujące: h AC =,3 m; h CE =,5 m; h BE =, m. Współczynnik rozszerzalności termicznej α T =, 5 [ C ]. Stosownie do umowy znaku krzywizn otrzymujemy (T d = T w = 8 C, T g = T z = 3 C, T m = C): o Tc = Td ξ+ Tg( ξ) Tm = 8 5, + 3 5, = 4 C, o Tv = Td Tg = 8 3 = C, 5 4 λ = αt Tc =., 4 =, 68, k AC T Tv hac 5 ( ) 4 = α / =, = 48, m, 3, 5 ( ) 4 kce =, = 576, m, 5, 5 ( ) 4 k BE =, = 7, m., Równanie (4.6) przyjmuje postać (por. rys. 5.9): π/ C = ( Nλ+ Mk) ds= [ N( α) λ + M( α) k AC ] Edα + s 5 + NCE lce λ + kce M ( x) dx + NBE lbe λ + kbe M ( x3) dx3 = π/ 4 4 = [(sinα + cos α) 68, + 4(sinα + cos α ) ( 48, )] 4dα + 4 + + 7 5 68 5 4 4 (, ) (, ) ( 576, ) + ( 5, ) ( 68, ) + + = + 4 4 4 4 4 ( 7, ) 8, 66, 3, 64 = 9, 98 m. 3. Błędy wykonania Promień łuku AC jest większy od wartości nominalnej R = 4 m o R =, m. W związku z tym zmiana krzywizny wynosi
Część 3 5. KONSTRUKCJE STATYCZNIE WYZNACZALNE 3 3 k AC = = = 69, m. R+ R R 4, 4 Ponieważ kąt rozwarcia łuku nadal wynosi π/, to względna zmiana długości: λ ( R+ R R) R, AC = = = = 5,. R R 4 Normalnie prosta oś pręta CE jest załamana w połowie długości (punkt D). Kąt załamania o ϕ = 3 =, 5 rad. Krzywiznę tego pręta wyraża funkcja: k CE = ϕ δ( x a) = 5, δ( x 5, ), gdzie δ ( x a) oznacza funkcję Diraca *), a znak minus wynika z umowy znaku krzywizny (rozciągane są górne włókna). Równanie (4.6) przybiera postać: π/ 5 c = N( α) λ AC + M( α) AC Rdα + M( x) ϕ δ( x a) dx = [ k ] π/ 3 = [(sinα + cos α) 5, + 4(sinα + cos α ) 69, ] 4dα + M( a) ϕ. Wartość drugiego składnika stojącego poza całką wynika z własności filtracji funkcji δ. Po wykonaniu całkowania otrzymujemy: C = + + = + = 5 4 π 69 3 4,, (, 5) 9,, 3 339, m. 4 Rozważmy teraz belkę wspornikową z rys. 5.a. Mamy obliczyć ugięcia pionowe punktów, 3, 4 i 5. W tym celu należałoby ustawić kolejno w tych punktach siły wirtualne P = i na podstawie równania (4.6) obliczać wartości 5. Istnieje wszelako inna, na ogół mniej pracochłonna możliwość można obliczyć kąty obrotu cięciw linii ugięcia (rys. 5.a). Znajomość tych kątów pozwala w sposób czysto geometryczny wyznaczyć linię łamaną odpowiadającą położeniu cięciw po odkształceniu. Uzyskujemy w ten sposób przybliżoną linię ugięcia, przy czym w punktach załamania wartości ugięć są ścisłe. Wyznaczanie kształtu łamanej linii ugięcia można bardzo usprawnić, jeżeli przypomnimy sobie, że różnica tangensów kątów załamania wykresu momentów zginających jest równa sile skupionej działającej na belkę w tym punkcie (por. przykład 3). Dla małych kątów można przyjąć, że tgγi tgγi = γi γi = ψi. Przybliżony kształt linii ugięcia odpowiada zatem kształtowi wykresu momentów zginających w belce obciążonej siłami skupionymi (tzw. ciężarkami sprężystymi) równymi kątom ψ i, które można traktować jako skoncentrowane krzywizny. *) Informacje o funkcji delta zawarto w p..3
Część 3 5. KONSTRUKCJE STATYCZNIE WYZNACZALNE 3 Rys. 5. Okazuje się zatem, że doszliśmy do pewnej odmiany metody obciążenia krzywiznami (metoda Mohra). W celu spełnienia warunków brzegowych trzeba przyjąć odpowiedni zastępczy schemat statyczny belki, zgodnie z zasadami podanymi w rozdziale. Omówiony sposób obliczania ugięć nosi nazwę metody ciężarów sprężystych. Ciężarki sprężyste to różnice kątów obrotu cięciw ψ i. Pozostaje jeszcze wyznaczenie wartości ciężarów. Wykorzystuje się tu równanie pracy wirtualnej (4.6). W celu obliczenia kąta obrotu cięciwy i, i należy obliczyć ugięcia i oraz i, a następnie różnicę i i podzielić przez odległość sąsiednich punktów a i : γ i i i =. a i Operacje dzielenia przez a i oraz odejmowania można przeprowadzić wcześniej przez wprowadzenie pary sił wirtualnych o wartościach a i Podobnie obliczamy kąt obrotu sąsiedniej cięciwy: γ i i i = +, a i co odpowiada przyłożeniu pary sił wirtualnych o wartościach a i. Kąt ψ i, odpowiadający dodatniej krzywiźnie (wydłużenie dolnych włókien), wynosi γi γi. Aby wyznaczyć ten kąt, trzeba przyłożyć
Część 3 5. KONSTRUKCJE STATYCZNIE WYZNACZALNE 3 dwie przeciwnie skierowane pary sił o wartościach a i oraz a i. W rezultacie otrzymujemy trzy siły wirtualne:, +,. ai ai ai ai Działają one odpowiednio w punktach i, i, i +. Obciążenie to wraz z wykresem momentu wirtualnego M i ilustruje rysunek 5.b. Przy obliczaniu ciężarów uwzględnimy tylko wpływ momentów zginających pochodzących od obciążenia rzeczywistego (rys. 5.c): EJ ψ M M dx a Pa Pa a 3 = =, 9, = 55,, 3 EJ ψ M M dx a Pa Pa a 3 3 9 3 7 = =,,, + 33, = 85,, 3 EJ ψ3 M3 M dx a a = = 3 7 3 33 +, 7, Pa = Pa, 3 3 3 3 7 EJ ψ 4 = M4 M dx = a +, 4, Pa = 9, Pa. a 3 Ugięcia punktów, 3, 4 i 5 w belce zastępczej obliczone jako momenty zginające spowodowane ciężarkami sprężystymi, ilustruje rys. 5.d. Rys. 5.. Na zakończenie obliczymy zbliżenie węzłów 3 i 5 w kratownicy z przykładu. Zmiany długości prętów wynikają z działania obciążeń zewnętrznych przyłożonych w węzłach i 5 oraz błędów wykonania: pręt jest o cm za krótki, pręt 3 o 3 cm za długi, a pręt o 8 cm za krótki (por. rys. 5.a). Ponieważ interesuje nas zbliżenie węzłów 3 i 5, przyjmujemy dwie jednostkowe siły wirtualne zaczepione w tych
Część 3 5. KONSTRUKCJE STATYCZNIE WYZNACZALNE 33 węzłach. Linie działania tych sił pokrywają się z linią 3 5, a ich zwroty są przeciwne (rys. 5.b). Jednoczesne działanie tak obranych sił wirtualnych pozwala na bezpośrednie wyznaczenie poszukiwanego przemieszczenia z równania pracy wirtualnej (4.6). Siły wewnętrzne Z i pochodzące od obciążenia wirtualnego zestawiono w tablicy I (kolumna 5). Równanie (4.6) przyjmuje postać: li li = = = N i λi dx Z i λ i dx Z i l i, (5.) i i= przy czym l i oznacza wydłużenie pręta i: Zl li = l ii i +, (5.3) EA i i gdzie l i jest tutaj wydłużeniem wynikającym z czynników niemechanicznych (np. błędy wykonania, wpływ temperatury), A i jest przekrojem pręta i, a E i modułem sprężystości tego pręta. Po podstawieniu zależności (5.3) do wzoru (5.) otrzymujemy: Zl = Z l + Z ii i i i = + EA P, (5.4) i i i i gdzie P - oznacza przemieszczenie od wpływów niemechanicznych, - przemieszczenie wywołane przez obciążenia zewnętrzne. Wzór (5.4) jest charakterystyczną postacią wzoru (4.6), przystosowaną do obliczania przemieszczeń układów kratowych. Sumowanie według wzoru (5.4) zawiera tablica I. Wzajemne zbliżenie węzłów 3 i 5 : =,353 m; P =,745 m. Zatem =, 353, 745 =, 33555 m,336 m.