Zestw wzoów mtemtycznych zostł pzygotowny dl potzeb egzminu mtulnego z mtemtyki obowiązującej od oku 00. Zwie wzoy pzydtne do ozwiązni zdń z wszystkich dziłów mtemtyki, dltego może służyć zdjącym nie tylko podczs egzminu, le i w czsie pzygotowń do mtuy. Zestw ten zostł opcowny w entlnej Komisji Egzmincyjnej we współpcy z pcownikmi wyższych uczelni oz w konsultcji z ekspetmi z okęgowych komisji egzmincyjnych. Mmy ndzieję, że zestw, któy pzygotowliśmy mtuzystom, spełni swoje zdnie i pzyczyni się do egzmincyjnych sukcesów. Publikcj współfinnsown pzez UE w mch Euopejskiego Funduszu Społecznego. Publikcj jest dystybuown bezpłtnie. SPIS TREŚI. Wtość bezwzględn liczby.... Potęgi i piewistki.... Logytmy... 4. Silni. Współczynnik dwuminowy... 5. Wzó dwuminowy Newton... 6. Wzoy skóconego mnożeni... 7. iągi... 8. Funkcj kwdtow... 4 9. Geometi nlityczn... 4 0. Plnimeti... 6. Steeometi.... Tygonometi... 4. Kombintoyk... 5 4. Rchunek pwdopodobieństw... 5 5. Pmety dnych sttystycznych... 6 6. Tblic wtości funkcji tygonometycznych... 7
. WRTŚĆ EZWZGLĘN LIZY Wtość bezwzględną liczby zeczywistej x definiujemy wzoem: x dl x 0 x = x dl x < 0 Liczb x jest to odległość n osi liczbowej punktu x od punktu 0. W szczególności: x 0 x = x l dowolnych liczb x, y mmy: x+ y x + y x y x + y x y = x y x x = y y l dowolnych liczb oz 0 mmy wunki ównowżne: x x + Pondto, jeśli y 0, to x x lub x +. PTĘGI I PIERWISTKI Niech n będzie liczbą cłkowitą dodtnią. l dowolnej liczby definiujemy jej n tą potęgę: n =... n zy Piewistkiem ytmetycznym że b n =. n stopni n z liczby 0 nzywmy liczbę b 0 tką, W szczególności, dl dowolnej liczby zchodzi ówność: =. Jeżeli < 0 oz liczb n jest niepzyst, to n ozncz liczbę b < 0 tką, że b n =. Piewistki stopni pzystych z liczb ujemnych nie istnieją. * Niech m, n będą liczbmi cłkowitymi dodtnimi. efiniujemy: dl 0 : n = n oz 0 = m n dl 0 : = n m m dl > 0 : n = n m Niech, s będą dowolnymi liczbmi zeczywistymi. Jeśli > 0 i b > 0, to zchodzą ówności: s s = +s = s ( ) = s s ( b) = b = b b Jeżeli wykłdniki, s są liczbmi cłkowitymi, to powyższe wzoy obowiązują dl wszystkich liczb 0 i b 0.
. LGRYTMY Niech > 0 i. Logytmem log c liczby c > 0 pzy podstwie nzywmy wykłdnik b potęgi, do któej nleży podnieść podstwę, by otzymć liczbę c: log c = b b = c Równowżnie: log c = c l dowolnych liczb x > 0, y > 0 oz zchodzą wzoy: x log ( x y ) = log x + log y log x = log x log = log x log y y Wzó n zminę podstwy logytmu: jeżeli > 0,, b > 0, b oz c > 0, to log c log b c = log b log x oz lg x ozncz log0 x. 4. SILNI. WSPÓŁZYNNIK WUMINWY Silnią liczby cłkowitej dodtniej n nzywmy iloczyn kolejnych liczb cłkowitych od do n włącznie: n! =... n Pondto pzyjmujemy umowę, że 0! =. l dowolnej liczby cłkowitej n 0 zchodzi związek: ( n + )! = n! ( n + ) * l liczb cłkowitych n, k spełnijących wunki 0 k n definiujemy współczynnik n dwuminowy (symbol Newton): k n n! = k k!( n k )! Zchodzą ówności: n n ( n )( n )... ( n k + ) =... k k n n n = = k n k 0 n = n 5. WZÓR WUMINWY NEWTN l dowolnej liczby cłkowitej dodtniej n oz dl dowolnych liczb, b mmy: n n n n n n ( + b ) = n + n b +... + n k b k +... + b n + b n 0 k n n
6. WZRY SKRÓNEG MNŻENI l dowolnych liczb, b: ( + b ) = + b + b ( b) = b + b ( + b ) = + b + b + b ( b ) = b + b b l dowolnej liczby cłkowitej dodtniej n oz dowolnych liczb, b zchodzi wzó: n b n = ( b ) ( n + n b +... + n k b k +... + b n + b n ) W szczególności: b = ( b )( + b ) = ( )( + ) b = ( b ) ( + b + b ) = ( ) ( + + ) + b = ( + b ) ( b + b ) + = ( + ) ( + ) n = ( ) ( + +... + n ) 7. IĄGI iąg ytmetyczny Wzó n n ty wyz ciągu ytmetycznego ( n ) o piewszym wyzie i óżnicy : n = + ( n ) Wzó n sumę S n = + +... + n początkowych n wyzów ciągu ytmetycznego: Sn = + ( n ) + n n = n Między sąsiednimi wyzmi ciągu ytmetycznego zchodzi związek: + n = n n + dl n iąg geometyczny Wzó n n ty wyz ciągu geometycznego ( n ) o piewszym wyzie i ilozie q: n = q n dl n Wzó n sumę S n = + +... + n początkowych n wyzów ciągu geometycznego: qn dl q Sn = q n dl q = Między sąsiednimi wyzmi ciągu geometycznego zchodzi związek: n = n n + dl n Pocent skłdny Jeżeli kpitł początkowy K złożymy n n lt w bnku, w któym opocentownie lokt wynosi p % w skli ocznej, to kpitł końcowy K n wyż się wzoem: p K n = K + 00 n
8. FUNKJ KWRTW Postć ogóln funkcji kwdtowej: f ( x ) = x + bx + c, 0, x R. Wzó kżdej funkcji kwdtowej możn dopowdzić do postci knonicznej: b Δ f ( x ) = ( x p ) + q, gdzie p =, q =, Δ = b 4c 4 Wykesem funkcji kwdtowej jest pbol o wiezchołku w punkcie o współzędnych ( p, q ). Rmion pboli skieowne są do góy, gdy > 0, do dołu, gdy < 0. Liczb miejsc zeowych funkcji kwdtowej f ( x ) = x + bx + c (liczb piewistków tójminu kwdtowego, liczb zeczywistych ozwiązń ównni x + bx + c = 0 ), zleży od wyóżnik Δ = b 4c : jeżeli Δ < 0, to funkcj kwdtow nie m miejsc zeowych (tójmin kwdtowy nie m piewistków zeczywistych, ównnie kwdtowe nie m ozwiązń zeczywistych), jeżeli Δ = 0, to funkcj kwdtow m dokłdnie jedno miejsce zeowe (tójmin kwdtowy m jeden piewistek podwójny, ównnie kwdtowe m dokłdnie b jedno ozwiąznie zeczywiste): x = x = jeżeli Δ > 0, to funkcj kwdtow m dw miejsc zeowe (tójmin kwdtowy m dw óżne piewistki zeczywiste, ównnie kwdtowe m dw ozwiązni zeczywiste): b Δ b + Δ x = x = Jeśli Δ 0, to wzó funkcji kwdtowej możn dopowdzić do postci iloczynowej: f ( x ) = ( x x )( x x ) Wzoy Viéte Jeżeli Δ 0 to x + x = b x x = c 9. GEMETRI NLITYZN dcinek ługość odcink o końcch w punktch = ( x, y ), = ( x, y ) dn jest y wzoem: = ( x x ) + ( y y ) = ( x, y ) Współzędne śodk odcink : x + x y + y, 4 = ( x, y ) x
Wektoy Post JJJG Współzędne wekto : JJJG = [ x x, y y ] G G Jeżeli u = [u, u ], v = [ v, v ] są wektomi, zś jest liczbą, to G G G u + v = [u + v, u + v ] u = [ u, u ] Równnie ogólne postej: x + y + = 0, gdzie + 0 (tj. współczynniki, nie są ównocześnie ówne 0). Jeżeli = 0, to post jest ównoległ do osi x; jeżeli = 0, to post jest ównoległ do osi y; jeżeli = 0, to post pzechodzi pzez początek ukłdu współzędnych. y Jeżeli post nie jest ównoległ do osi y, to m on ównnie kieunkowe: y = x + b Liczb to współczynnik kieunkowy postej: = tg Współczynnik b wyzncz n osi y punkt, w któym dn post ją pzecin. y = x + b b x Równnie kieunkowe postej o współczynniku kieunkowym, któ pzechodzi pzez punkt P = ( x0, y0 ) : y = ( x x0 ) + y0 Równnie postej, któ pzechodzi pzez dw dne punkty = ( x, y ), = ( x, y ) : ( y y )( x x ) ( y y )( x x ) = 0 Post i punkt dległość punktu P = ( x0, y0 ) od postej o ównniu x + y + = 0 jest dn wzoem: x0 + y0 + + P postych wie poste o ównnich kieunkowych y = x + b y = x + b spełniją jeden z nstępujących wunków: są ównoległe, gdy = są postopdłe, gdy = twozą kąt osty ϕ i tgϕ = + 5
wie poste o ównnich ogólnych: x + y + = 0 x + y + = 0 są ównoległe, gdy = 0 są postopdłe, gdy + = 0 twozą kąt osty ϕ i tgϕ = + Tójkąt Pole tójkąt o wiezchołkch = ( x, y ), = ( x, y ), = ( x, y ), jest dne wzoem: ( x x )( y y ) ( y y )( x x ) Śodek ciężkości tójkąt, czyli punkt pzecięci jego śodkowych, m współzędne: x + x + x y + y + y, PΔ = Pzeksztłceni geometyczne G pzesunięcie o wekto u = [, b ] pzeksztłc punkt = ( x, y ) n punkt = ( x +, y + b ) symeti względem osi x pzeksztłc punkt = ( x, y ) n punkt = ( x, y ) symeti względem osi y pzeksztłc punkt = ( x, y ) n punkt = ( x, y ) symeti względem punktu (, b ) pzeksztłc punkt = ( x, y ) n punkt = ( x, b y ) jednokłdność o śodku w punkcie ( 0,0 ) i skli s 0 pzeksztłc punkt = ( x, y ) n punkt = ( sx, sy ) Równnie okęgu Równnie okęgu o śodku w punkcie S = (, b ) i pomieniu > 0 : ( x ) + ( y b) lub = x + y x by + c = 0 gdy = + b c > 0 0. PLNIMETRI echy pzystwni tójkątów F 6 E
To, że dw tójkąty i EF są pzystjące ( Δ Δ EF ), możemy stwiedzić n podstwie kżdej z nstępujących cech pzystwni tójkątów: cech pzystwni bok bok bok : odpowidjące sobie boki obu tójkątów mją te sme długości: = E, = F, = EF cech pzystwni bok kąt bok : dw boki jednego tójkąt są ówne odpowidjącym im bokom dugiego tójkąt oz kąt zwty między tymi bokmi jednego tójkąt m tką smą mię jk odpowidjący mu kąt dugiego tójkąt, np. = E, = F, ) = )EF cech pzystwni kąt bok kąt : jeden bok jednego tójkąt m tę smą długość, co odpowidjący mu bok dugiego tójkąt oz miy odpowidjących sobie kątów obu tójkątów, pzyległych do boku, są ówne, np. = E, ) = )EF, ) = )EF echy podobieństw tójkątów F E To, że dw tójkąty i EF są podobne ( Δ ~ Δ EF ), możemy stwiedzić n podstwie kżdej z nstępujących cech podobieństw tójkątów: cech podobieństw bok bok bok : długości boków jednego tójkąt są popocjonlne do odpowiednich długości boków dugiego tójkąt, np. = = E F EF cech podobieństw bok kąt bok : długości dwóch boków jednego tójkąt są popocjonlne do odpowiednich długości dwóch boków dugiego tójkąt i kąty między tymi pmi boków są pzystjące, np. =, ) = )EF E F cech podobieństw kąt kąt kąt : dw kąty jednego tójkąt są pzystjące do odpowiednich dwóch kątów dugiego tójkąt (więc też i tzecie kąty obu tójkątów są pzystjące): ) = )EF, ) = )EF, ) = )FE 7
Pzyjmujemy oznczeni w tójkącie :, b, c długości boków, leżących odpowiednio npzeciwko wiezchołków,, γ p = + b + c obwód tójkąt b, β, γ miy kątów pzy wiezchołkch,, β c h, hb, hc wysokości opuszczone z wiezchołków,, R, pomienie okęgów opisnego i wpisnego Twiedzenie Pitgos (wz z twiedzeniem odwotnym do niego) W tójkącie kąt γ jest posty wtedy i tylko wtedy, gdy + b = c. Związki miowe w tójkącie postokątnym Złóżmy, że kąt γ jest posty. Wówczs: hc = γ b hc. c b c = c sin = c cos β = b tg = b tgβ +b c R= c = = p c hc = β Twiedzenie sinusów = b + c bc cos b = + c c cos β c = + b b cos γ b c = = = R sin sin β sin γ Twiedzenie cosinusów Tójkąt ównoboczny Wzoy n pole tójkąt PΔ = h = b hb = c hc długość boku h wysokość tójkąt PΔ = b sin γ PΔ sin β sin γ = = R sin sin β sin γ sin h= PΔ bc = = p = 4R PΔ = p ( p )( p b )( p c ) 8 4
Twiedzenie Tles Jeżeli poste ównoległe i pzecinją dwie poste, któe pzecinją się w punkcie, to. = Twiedzenie odwotne do twiedzeni Tles Jeżeli poste i pzecinją dwie poste, któe pzecinją się w punkcie oz =, to poste i są ównoległe. zwookąty b Tpez zwookąt, któy m co njmniej jedną pę boków ównoległych. Wzó n pole tpezu: +b P= h h E h ϕ b Romb zwookąt, któy m dwie py boków ównoległych jednkowej długości. Wzoy n pole ombu: P = h = sin = h Równoległobok zwookąt, któy m dwie py boków ównoległych. Wzoy n pole ównoległoboku: P = h = b sin = sin ϕ eltoid zwookąt, któy m oś symetii, zwiejącą jedną z pzekątnych. Wzó n pole deltoidu: P = 9
Koło Wzó n pole koł o pomieniu : P = π bwód koł o pomieniu : b = π Wycinek koł Wzó n pole wycink koł o pomieniu i kącie śodkowym wyżonym w stopnich: P = π 60 ługość łuku wycink koł o pomieniu i kącie śodkowym wyżonym w stopnich: l = π 60 Kąty w okęgu Mi kąt wpisnego w okąg jest ówn połowie miy kąt śodkowego, optego n tym smym łuku. Miy kątów wpisnych w okąg, optych n tym smym łuku, są ówne. Twiedzenie o kącie między styczną i cięciwą ny jest okąg o śodku w punkcie i jego cięciw. Post jest styczn do tego okęgu w punkcie. Wtedy ) = ), pzy czym wybiemy ten z kątów śodkowych, któy jest opty n łuku znjdującym się wewnątz kąt. 0
Twiedzenie o odcinkch siecznej i stycznej ne są: post pzecinjąc okąg w punktch i oz post styczn do tego okęgu w punkcie. Jeżeli poste te pzecinją się w punkcie P, to P P = P. P kąg opisny n czwookącie γ β N czwookącie możn opisć okąg wtedy i tylko wtedy, gdy sumy mi jego pzeciwległych kątów wewnętznych są ówne 80 : δ + γ = β + δ = 80 kąg wpisny w czwookąt c W czwookąt wypukły możn wpisć okąg wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości jego pzeciwległych boków są ówne: b d +c =b+d
. STEREMETRI Twiedzenie o tzech postych postopdłych k l P m Post k pzebij płszczyznę w punkcie P. Post l jest zutem postokątnym postej k n tę płszczyznę. Post m leży n tej płszczyźnie i pzechodzi pzez punkt P. Wówczs post m jest postopdł do postej k wtedy i tylko wtedy, gdy jest postopdł do postej l. znczeni P pole powiezchni cłkowitej Pp pole powiezchni podstwy Pb pole powiezchni bocznej V objętość Postopdłościn H G E F P = ( b + bc + c ) V = bc gdzie, b, c są długościmi kwędzi postopdłościnu c b Gnistosłup posty I J H F Pb = p h V = Pp h G h E gdzie p jest obwodem podstwy gnistosłup
stosłup S V = Pp h gdzie h jest wysokością ostosłup h E Wlec Pb = π h h P = π ( + h ) V = π h gdzie jest pomieniem podstwy, h wysokością wlc Stożek S Pb = π l P = π ( + l ) h l V = π h gdzie jest pomieniem podstwy, h wysokością, l długością twozącej stożk Kul P = 4π 4 V = π gdzie jest pomieniem kuli
. TRYGNMETRI efinicje funkcji tygonometycznych y y x cos = y tg =, gdy x 0 x sin = M=(x, y) M gdzie = x + y > 0 jest pomieniem wodzącym punktu M x Wykesy funkcji tygonometycznych y = sin x y = tg x y = cos x Związki między funkcjmi tego smego kąt sin + cos = sin tg = cos dl π + kπ k cłkowite Niektóe wtości funkcji tygonometycznych 0 0 sin 0 cos tg 0 0 45 60 90 6 4 π π 4 π π 0 nie istnieje
Funkcje sumy i óżnicy kątów l dowolnych kątów, β zchodzą ówności: sin ( + β ) = sin cos β + cos sin β sin ( β ) = sin cos β cos sin β cos ( + β ) = cos cos β sin sin β cos ( β ) = cos cos β + sin sin β Pondto mmy ówności: tg + tgβ tg tgβ tg ( + β ) = tg ( β ) = tg tgβ + tg tgβ któe zchodzą zwsze, gdy są okeślone i minownik pwej stony nie jest zeem. Funkcje podwojonego kąt sin = sin cos cos = cos sin = cos = sin. KMINTRYK Wicje z powtózenimi Liczb sposobów, n któe z n óżnych elementów możn utwozyć ciąg, skłdjący się z k niekoniecznie óżnych wyzów, jest ówn nk. Wicje bez powtózeń Liczb sposobów, n któe z n óżnych elementów możn utwozyć ciąg, skłdjący się z k ( k n ) óżnych wyzów, jest ówn n ( n )... ( n k + ) = n! ( n k )! Pemutcje Liczb sposobów, n któe n óżnych elementów możn ustwić w ciąg, jest ówn n!. Kombincje Liczb sposobów, n któe spośód n óżnych elementów możn wybć k ( 0 k n ) n elementów, jest ówn. k 4. RHUNEK PRWPIEŃSTW Włsności pwdopodobieństw 0 P ( ) dl kżdego zdzeni Ω P (Ω) = Ω zdzenie pewne P ( ) = 0 zdzenie niemożliwe (pusty podzbió Ω ) P ( ) P ( ) gdy Ω P ( ) = P ( ), gdzie ozncz zdzenie pzeciwne do zdzeni P ( ) = P ( ) + P ( ) P ( ), dl dowolnych zdzeń, Ω P ( ) P ( ) + P ( ), dl dowolnych zdzeń, Ω 5
Twiedzenie: Klsyczn definicj pwdopodobieństw Niech Ω będzie skończonym zbioem wszystkich zdzeń elementnych. Jeżeli wszystkie zdzeni jednoelementowe są jednkowo pwdopodobne, to pwdopodobieństwo zdzeni Ω jest ówne P ( ) = Ω gdzie ozncz liczbę elementów zbiou, zś Ω liczbę elementów zbiou Ω. 5. PRMETRY NYH STTYSTYZNYH Śedni ytmetyczn Śedni ytmetyczn n liczb,,..., n jest ówn: + +... + n = n Śedni wżon Śedni wżon n liczb,,..., n, któym pzypisno odpowiednio dodtnie wgi w, w,..., wn jest ówn: w + w +... + wn n w + w +... + wn Śedni geometyczn Śedni geometyczn n nieujemnych liczb,,..., n jest ówn: n... n Medin Mediną upoządkownego w kolejności niemlejącej zbiou n dnych liczbowych... n jest: dl n niepzystych: n + (śodkowy wyz ciągu) dl n pzystych: n + n + (śedni ytmetyczn śodkowych wyzów ciągu) Wincj i odchylenie stnddowe Wincją n dnych liczbowych,,..., n o śedniej ytmetycznej jest liczb: ( ) + ( ) σ = +... + ( n ) + +... + n ( ) n n dchylenie stnddowe σ jest piewistkiem kwdtowym z wincji. 6 =
6. TLI WRTŚI FUNKJI TRYGNMETRYZNYH [ ] 0 4 5 6 7 8 9 0 4 5 6 7 8 9 0 4 5 6 7 8 9 0 4 5 6 7 8 9 40 4 4 4 44 45 sin cos β tg β [ ] 0,0000 0,075 0,049 0,05 0,0698 0,087 0,045 0,9 0,9 0,564 0,76 0,908 0,079 0,50 0,49 0,588 0,756 0,94 0,090 0,56 0,40 0,584 0,746 0,907 0,4067 0,46 0,484 0,4540 0,4695 0,4848 0,5000 0,550 0,599 0,5446 0,559 0,576 0,5878 0,608 0,657 0,69 0,648 0,656 0,669 0,680 0,6947 0,707 0,0000 0,075 0,049 0,054 0,0699 0,0875 0,05 0,8 0,405 0,584 0,76 0,944 0,6 0,09 0,49 0,679 0,867 0,057 0,49 0,44 0,640 0,89 0,4040 0,445 0,445 0,466 0,4877 0,5095 0,57 0,554 0,5774 0,6009 0,649 0,6494 0,6745 0,700 0,765 0,756 0,78 0,8098 0,89 0,869 0,9004 0,95 0,9657,0000 90 89 88 87 86 85 84 8 8 8 80 79 78 77 76 75 74 7 7 7 70 69 68 67 66 65 64 6 6 6 60 59 58 57 56 55 54 5 5 5 50 49 48 47 46 45 [ ] 46 47 48 49 50 5 5 5 54 55 56 57 58 59 60 6 6 6 64 65 66 67 68 69 70 7 7 7 74 75 76 77 78 79 80 8 8 8 84 85 86 87 88 89 90 7 sin cos β tg β [ ] 0,79 0,74 0,74 0,7547 0,7660 0,777 0,7880 0,7986 0,8090 0,89 0,890 0,887 0,8480 0,857 0,8660 0,8746 0,889 0,890 0,8988 0,906 0,95 0,905 0,97 0,96 0,997 0,9455 0,95 0,956 0,96 0,9659 0,970 0,9744 0,978 0,986 0,9848 0,9877 0,990 0,995 0,9945 0,996 0,9976 0,9986 0,9994 0,9998,0000,055,074,06,504,98,49,799,70,764,48,486,599,600,664,7,8040,8807,966,050,445,460,559,475,605,7475,904,0777,709,4874,7 4,008 4,5 4,7046 5,446 5,67 6,8 7,54 8,44 9,544,40 4,007 9,08 8,66 57,900 44 4 4 4 40 9 8 7 6 5 4 0 9 8 7 6 5 4 0 9 8 7 6 5 4 0 9 8 7 6 5 4 0
Poweed by TPF (www.tcpdf.og)