PROGNOZY I SYMULACJE

Forecasing is he ar of saing wha will happen, and hen explaining wh i didn. Ch. Chafield (986) PROGNOZY I SYMULACJE Kaarzna Chud Laskowska konsulacje: p. 400A środa -4 czwarek -4 srona inerneowa: hp://kc.sd.prz.edu.pl/

WYKŁAD V Szeregi czasowe wprowadzenie. Cech charakersczne szeregów czasowch. Uwagi 3. Tendencja 4. Wahania okresowe 5. Zale i rudności meod sosowanch do prognozowania szeregów czasowch 6. Idenfikacja składowch szeregu czasowego 7. Modele naiwne (rodzaje) przkład

. CECHY CHARAKTERYSTYCZNE SZEREGU CZASOWEGO SZEREG CZASOWY jes zbiorem obserwacji zmiennej, uporządkowanch względem czasu. (dni, godnie, miesiące, kwarał, laa) Z = Z - + α SZEREG CZASOWY SKŁADOWA SYSTEMATYCZNA TENDENCJA WAHANIA SKŁADOWA PRZYPADKOWA składnik przpadkow wahania przpadkowe biał szum WZROSTOWA SPADKOWA POZIOM STAŁY WAHANIA OKRESOWE WAHANIA CYKLICZNE ADDYTYWNE MULTIPLIKATYWNE 3

.. UWAGI Wiele zmiennch ekonomicznch oraz opisującch zjawiska ze świaa biznesu nie może bć dobrze prognozowanch. Przszłe warości ch zmiennch nie mogą bć przewidwane na podsawie ich warości hisorcznch. Odnosi się o szczególnie do cen walorów noowanch na rnkach (cen akcji). Z maemacznego punku widzenia eoria mówi, że ruch cen akcji są PROCESEM BŁĄDZENIA LOSOWEGO (RANDOM WALK). 4

.. TENDENCJA Tendencja rozwojowa (spadkowa) zwana rendem, jes długookresową skłonnością do jednokierunkowch zmian (wzrosu lub spadku) warości badanej zmiennej. Jes rozparwana jako konsekwencja działania sałego zesawu cznników. Może bć wznaczana, gd dsponuje się długim ciągiem obserwacji. Sał poziom prognozowanej zmiennej wsępuje wówczas, gd w szeregu czasowm nie ma endencji rozwojowej, warości zaś prognozowanej zmiennej osclują wokół pewnego (sałego) poziomu 900 000 800 000 700 000 600 000 500 000 400 000 300 000 00 000 śródlądow ranspor wodn 990 99 994 996 998 000 00 004 006 008 900 800 700 600 500 400 300 00 00 0 Przewoz pasażerów (koleje) [s. osób](l) Drogi publiczne o wardej nawierzchni [km](r 80 000 70 000 60 000 50 000 40 000 30 000 0 000 0 000 lu lu lu lu lu lu lu 5

.3. WAHANIA OKRESOWE Wahania ckliczne wrażają się w posaci długookresowch, rmicznch wahań warości zmiennej wokół endencji rozwojowej lub sałego (przecięnego) poziomu ej zmiennej. W ekonomii są one na ogół związane z cklem koniunkuralnm gospodarki. Wahania sezonowe są wahaniami warości obserwowanej zmiennej wokół endencji rozwojowej lub sałego poziomu ej zmiennej. Mają skłonność do powarzania się w określonm czasie, nie przekraczającm jednego roku, odzwierciedlają wpłw pogod lub kalendarza na działalność gospodarczą. Proces wodrębnienia poszczególnch składowch danego szeregu czasowego określa się mianem dekompozcji szeregu. Idenfikację poszczegól nch składowch szeregu czasowego konkrenej zmiennej umożliwia ocena wzrokowa sporządzonego wkresu. 90 80 70 60 50 40 30 0 0 0-0 35 469 703 937 7 405 639 873 07 34 575 809 8 35 586 80 054 88 5 756 990 4 458 69 E5 80000 60000 40000 0000 lu lu lu lu lu lu lu ranspor samochodow Liczba odloów w PL Gdańsk Elekrim (O) Elbudowa (O) 6

.3. WAHANIA OKRESOWE cd SPRZEDAŻ 30000 8000 6000 4000 000 0000 8000 6000 4000 000 W modelu addwnm zakłada się że, obserwowane warości zmiennej prognozowanej sanowią sumę (wszskich lub niekórch) składowch szeregu czasowego. =f()+g()+f() +ξ f()-funkcja czasu charakerzująca rend g()-funkcja czasu charakerzująca wahania okresowe f()-funkcja czasu charakerzujące wahania ckliczne ξ składnik losow 700 0000 600 S S S S S S S S S S S S W modelu muliplikawnm przjmuje się że, obserwowane warości zmiennej prognozowanej sanowią iloczn składowch szeregu czasowego. =f() g() f() ξ f()-funkcja czasu charakerzująca rend g()-funkcja czasu charakerzująca wahania okresowe f()-funkcja czasu charakerzujące wahania ckliczne ξ składnik losow SZEREG_G 500 400 300 00 00 0 ź-960-960 i-960 S-960 ź-959-959 i-959 S-959 ź-958-958 i-958 S-958 ź-957-957 i-957 S-957 ź-956-956 i-956 S-956 ź-955-955 i-955 S-955 ź-954-954 i-954 S-954 ź-953-953 i-953 S-953 ź-95-95 i-95 S-95 ź-95-95 i-95 S-95 ź-950-950 i-950 S-950 ź-949-949 i-949 S-949 7

. ZALETY I TRUDNOŚCI METOD STOSOWANYCH DO PROGNOZOWANIA SZEREGÓW CZASOWYCH ZALETY:. Do budow modelu niezbędne są jednie informacje empirczne odnoszące się do zmiennej prognozowanej.. Prz budowie prognoz nie wsępuje problem znajomości zmiennch objaśniającch w okresie prognozowanm, gdż zagadnienie sprowadza się do prosej eksrapolacji funkcji rendu przez nadanie odpowiedniej warości zmiennej czasowej w okresie prognozowanm. 3. Klasczne modele endencji rozwojowej wkorzswane do prognozowania są w przeważającej części linowe względem paramerów, lub dają się do akich sprowadzić sąd nie ma rudności z ich esmacją. 4. Ławo można ocenić dokładność budowanch prognoz, wkorzsując mierniki dokładności prognoz ex ane. TRUDNOŚCI: Do najważniejszch zalicza się:. Trafn wbór analicznej posaci modelu rendu będącego podsawą prognozowania. Wsępująca częso auokorelacja składnika reszowego. 8

3. IDENTYFIKACJA SKŁADOWYCH SZEREGU CZASOWEGO Wdaje się, że wbór opmalnego modelu opisującego zmienność rozważanego zjawiska w czasie powinien zawierać rz punk widzenia: Wiedza merorczna Nawe najlepsze meod analiczne nie zasąpią wiedz i (czemu nie?) inuicji badacza. Mimo więc, że zaprezenowane w dalszej części meod mogą się wdawać bardzo profesjonalne i enigmaczne nie zwalnia o nas z obowiązku krcznej ocen uzskiwanch za ich pomocą rezulaów. Jakość dopasowania do danch Sasczne krerium opmalnej meod prognozowania powinno zaspokajać chęć do zminimalizowania błędu prognoz. Niese, sosunkowo rzadko możem prognozować nie lko przszłą warość ineresującej nas cech lecz i jej błąd. Zwkle więc wbieram en model, kór najlepiej zachowwał się w przszłości i ufam, że będzie ak nadal. Analiza graficzna Zapoznanie się z graficzną prezenacją zmienności szeregu czasowego sanowi bardzo ważn eap analiz. Na ej podsawie możem dobrać sosowną klasę modeli, wchwcić ewenualne obserwacje odsające, określić rodzaj zmian losowch cz eż sezonowch. Od sporządzenia odpowiedniego wkresu badanie szeregu czasowego zwkle rozpocznam. 9

3. IDENTYFIKACJA SKŁADOWYCH SZEREGU CZASOWEGO STAŁY POZIOM TREND STAŁY POZIOM + WAHANIA SEZONOWE TREND + WAHANIA SEZONOWE STAŁY POZIOM + WAHANIA CYKLICZNE TREND + WAHANIA CYKLICZNE 0

3. IDENTYFIKACJA SKŁADOWYCH SZEREGU CZASOWEGO Idenfikację poszczególnch składowch szeregu czasowego konkrenej zmiennej umożliwia ocena wzrokowa sporządzonego wkresu. Umożliwia ona akże wkrcie obserwacji niepowch oraz punków zwronch. Wizualn przegląd danch może nasunąć wąpliwości co do sensowności pewnch obserwacji. Wsępowanie w szeregu czasowm obserwacji niepowch może w poważnm sopniu wpłnąć na rezula procesu konsrukcji prognoz. Ma o zwłaszcza duże znaczenie w szeregach złożonch z niedużej liczb obserwacji, w kórch efek wrównwania obserwacji niepowch przez powe (zw. efek średniowania) jes mniejsz. Konieczne może bć wówczas weliminowanie ego rodzaju obserwacji z szeregu czasowego. Punk zwrone - w punkach ch nasępuje zmiana kierunku endencji rozwojowej (ze wzrosowej na spadkową, i odwronie) bądź zmiana empa wzrosu lub spadku warości zmiennej. Wsępowanie punków zwronch, wpłwające w ison sposób na przebieg procesu prognozowania, może wmagać użcia określonch meod prognozowania, np. analogowch, heurscznch bądź oparch na funkcjach segmenowch, a nie na funkcjach analicznch endencji rozwojowej; w skrajnch przpadkach może nawe udaremniać prognozowanie (np. uniemożliwiając określenie modelu endencji rozwojowej lub analogowego z powodu zb małej liczb obserwacji bądź braku kompeennch eksperów).

4. Wbór odpowiedniej meod do prognozowania szeregu Meoda Składowe Horzon Zale Wad Model Naiwna Słaba jakość prognoz Średnich ruchomch Sał poziom Problem z doborem sałej k mechaniczn + Prose obliczenia Średniej ruchomej Jeden okres Wahania Szbkie prognozowanie Problem z doborem sałej k oraz wag mechaniczn ważonej Przpadkowe Wgładzanie wkładnicze model pros Problem z doborem parameru wgładzania α adapracjn Wgładzanie wkładnicze model Hola Prognoza krókookresowa Elasczność Problem z doborem paramerów wgładzania α,β adapacjn Model regresji liniowej Trend pełzając z wagami harmonicznmi Trend + Wahania Przpadkowe Prognoza króko i średnio okresowa Ławe obliczenia Możliwość wznaczenia błędu ex ane Możliwość wznaczenia błędu ex ane Adapacja do endencji Model może okazać się nie akualn, prognozowane zjawisko powinna charakerzować sała endencja liniowa Obliczenia złożone, problem z doborem sałej k, analicz n adapacjn Meoda wskaźnikowa Możliwość wznaczenia błędu ex ane Złożone obliczenia Wgładzanie wkładnicze Model Winersa ARIMA Meoda jednoimiennch okresów Analiza harmoniczna Trend (lub poziom sał) + Wahania sezonowe + Wahania Przpadkowe Prognoza krókookresowa Prognoza króko i średnio okresowa Prognoza krókookresowa Prognoza króko i średnio okresowa Możliwość wznaczenia błędu ex ane Dobra jakość prognoz Możliwość wznaczenia błędu ex ane Złożone obliczenia, problem z wborem paramerów wgładzania αβγ Złożone obliczenia, wmagana liczba obserwacji około 60, problem z doborem paramerów p,d,q, Wmagana sacjonarność szeregu Problem z doborem parameru α Złożone obliczenia adapacjn

5. OCENA MODELU OCENA PROGNOZY OCENA MODELU OCENA PROGNOZY OCENA JAKOŚCI MODELU JAKOŚĆ PROGNOZ EX POST I EX ANTE BŁĄD PROGNOZY DOPUSZCZALNOŚĆ PROGNOZY Q Y Y TRAFNOŚĆ PROGNOZY Może bć określon zarówno po upłwie czasu, na kór prognoza bła usalona, jak i przed upłwem ego czasu.

6. JAKOŚĆ PROGNOZ EX POST I EX ANTE Zjawiska i proces gospodarcze, dla kórch wznacza się prognoz zazwczaj mają charaker sochasczn. Dlaego zakłada się możliwość wsąpienia odchleń rzeczwisch warości zmiennej prognozowanej od posawionch prognoz. Dlaego sprawdza się dokładność posawionch prognoz za pomocą odpowiednich mierników. Mierniki e nazwa się mianem MIERNIKÓW TRAFNOŚCI (DOKŁADNOŚCI) PROGNOZ. Mierniki dokładności prognoz można podzielić na dwie grup: ) MIERNIKI DOKŁADNOŚCI PROGNOZ EX POST ) MIERNIKI DOKŁADNOŚCI PROGNOZ EX ANTE MIERNIKI DOKŁADNOŚCI PROGNOZ EX POST-służą do ocen oczekiwanch wielkości odchleń rzeczwisch warości zmiennej prognozowanej od posawionch prognoz. Warości ch mierników są podawane w chwili budow prognoz, dlaego są one sądami kórch prawdziwość może bć zwerfikowana dopiero po upłwie okresu, do kórego odnosi się prognozę. MIERNIKI DOKŁADNOŚCI PROGNOZ EX ANTE- wkorzsuje się do ocen rafności prognoz, ponieważ wrażają zaobserwowane odchlenia realizacji zmiennej prognozowanej od posawionch prognoz. 4

6.. TRAFNOŚĆ PROGNOZY - BŁĘDY EX POST. BEZWZGLĘDNY BŁĄD PROGNOZY. WZGLĘDNY BŁĄD PROGNOZY 3. ŚREDNI WZGLĘDNY BŁĄD PROGNOZ q 00 T T n n Informuje, jakie bło w chwili >n odchlenie prognoz od warości rzeczwisej zmiennej Y. Znak wskazuje cz warość bła wższa od prognoz (+) cz niższa (-). Informuje jakie bło w chwili >n odchlenie prognoz od warości rzeczwisej zmiennej Y liczone w % warości rzeczwisej. 00 Wjaśnia, jaki % rzeczwisej warości zmiennej Y sanowiło przecięne w przedziale werfikacji bezwzględne odchlenie prognoz od danch rzeczwisch T 4. ŚREDNI KWADRATOWY BŁĄD PROGNOZ 5. WSPÓŁCZYNNIK JANUSOWY 6. WSPÓŁCZYNNIK THEILA s T n n ( Informuje o przecięnch odchleniach prognoz od warości rzeczwisch w przedziale empircznej werfikacji prognoz. Jes ona porównwana z s. Wekor prognoz uznajem za zadowalając, jeśli s s T ( ) T n Określa relację sopnia dopasowania prognoz i n J n modelu do danch rzeczwisch. Jeśli J o uważa się, że dochczasowe prognoz są ( ˆ ) rafne. n I T n T ( n ) ) Przjmuje warość =0 gd prognoz są idealnie rafne

6. TRAFNOŚĆ PROGNOZY - BŁĘDY EX POST Błęd prognoz ex pos mogą bć wkorzsane do określenia dopuszczalności prognoz danej zmiennej pod nasępującmi warunkami: -nowo formułowane przesłanki powierdzają zasadność przesłanek przjęch do wznaczenia poprzedniej prognoz -do usalenia nowej prognoz wkorzsuje się ę samą meodę co poprzednio -przedział werfikacji poprzedniej prognoz jes aki sam jak żądan horzon nowej prognoz BŁĘDY PROGNOZ WYGASŁYCH są wkorzswane do określenia dopuszczalności prognoz, jeżeli nie jes możliwe skorzsanie z wcześniej podanch sposobów. Prognozą wgasłą jes prognoza wznaczona na aki czas, dla kórego jes znana prawdziwa warość zmiennej prognozowanej. Wznacza się je ak samo jak błęd ex pos. OCENA EKSPERTÓW eksperci powinni bć niezależni, nie związani z prognosą i odbiorcą prognoz oraz oddzielnie wpowiadać swoje opinie na podsawie informacji o wszskich krokach procedur prognoscznej i własnej wiedz o prognozowanm zjawisku. ŻADEN Z WYNIENIONYCH SPOSOBÓW NIE GWARANTUJE UZYSKANIA TRAFNEJ PROGNOZY, dlaego że przszłość nie jes w pełni przewidwalna.

6. DOPUSZCZALNOŚĆ PROGNOZY BŁĘDY EX ANTE Prognoza jes dopuszczalna, gd jes obdarzona przez jej odbiorcę sopniem zaufania wsarczającm do ego, b mogła bć wkorzsana do celu, dla kórego zosała usalona. Dopuszczalność prognoz jes określana w m samm czasie, w kórm wznacza się prognozę. Służ do wznaczania horzonu prognoz.. BEZWZGLĘDNY BŁĄD PROGNOZY - warość błędu maleje ze wzrosem dokładności oszacowań paramerów - maleje z wzrosem zmienności - rośnie ze wzrosem różnic. Bezwzględn błąd prognoz dla modelu liniowego V T v v n T n s 3. WZGLĘDNY BŁĄD PROGNOZY v 00 służ do porównwania dokładności prognoz różnch zmiennch

6.3 JAKOŚĆ MODELU.WSPÓŁCZYNNIK DETERMINACJI Jes miarą dopasowania liniowego modelu regresji do danch rzeczwisch. Gd szacowan jes MNK przbiera warości [0,] Im wższa jego warość m lepsze R n n ( ˆ ( ) ). SKORYGOWANY WSPÓŁCZYNNIK DETERMINACJI Jeżeli warość chce się wkorzsać do porównania jakości kilku modeli, w kórch liczba zmiennch objaśniającch jes różna. 3. ODCHYLENIE STANDARDOWE RESZT MODELU s ~ R n n ( n m n m R ˆ ) Informuje, jakie są przecięne odchlenia warości rzeczwisch zmiennej prognozowanej od eorecznch. Im mniejsza jes warość m lepsza jakość modelu. 4. WSPÓŁCZYNNIK WYRAZISTOŚCI w s 00 Informuje, jaką część warości Y sanowi jej odchlenie sandardowe resz. Jes więc charakerską zmienności losowej zmiennej Y. Tm lepsz model im mniejsza warość w.

7. MODELE NAIWNE Modele e zosał opare na bardzo prosch przesłankach doczącch przszłości, zakładającch, że nie wsąpią zmian w dochczasowm sposobie oddziałwania cznników określającch warości zmiennej prognozowanej, w wniku czego prognozowana zmienna będzie kszałowała się na m samm poziomie, lub wzrośnie albo zmaleje w m samm sopniu co w ubiegłm okresie. Meoda a umożliwia konsrukcję prognoz krókookresowej, na jeden, kolejn okres, czli na okres =n+. Może bć sosowana w razie niedużch wahań przpadkowch w szeregu zmiennej prognozowanej. Meod naiwne są prose czli ławe do zrozumienia, oraz szbkie i anie w zasosowaniu. Jakość prognoz jes raczej niska, nie dają eż możliwości określenia błędów prognoz ex ane. Służą do porównania rafności konsruowanch prognoz z innmi meodami oraz do ocen celowości sosowania innch meod prognozowania. Meod naiwne można sosować w przpadku gd współcznnik zmienności prognozowanej cech nie przekrocz 0%. Przjmuje się, że prognozę można uznać za rafną, jeśli jej błąd ex pos nie przekrocz 6% 9

7. MODELE NAIWNE -rodzaje i i i c c c c 4 ) ( ) ( ) ( endencja rozwojowa warość poprzednia powiększona o zaobserwowan przros endencja rozwojowa warość poprzednia powiększona o określon procen warość poprzednia powiększona jes o pewną sałą warość poprzednia powiększona o średni przros warości z zmiennej w dosępnm maeriale w przpadku danch kwaralnch prognoza zwerfikowana odpowiednim wskaźnikiem sezonowości 0

7. MODELE NAIWNE - przkład 30 0 Wielkość przewozu pasażerów w pewnej firmie ransporowej w ś. osób w kolejnch kwarałach la 007-009 przedsawia szereg: 05,, 08, 99, 0, 00, 08, 04, 98, 03, 08, 0. ) Cz w m przpadku można zasosować meodę naiwną? ) Wznaczć prognozę przewozu pasażerów na pierwsz kwarał 00 roku. 3) Ocenić rafność prognoz jeśli wiadomo, że rzeczwisa wielkość w m okresie wniosła 07 ś osób. Wielkość przewozu pasażerów s 4,5 s 4,5 V z 00% 00% 4,09% x 04,8 x 04, 08 0 00 3 0 [ sos..] 90 80 0 3 4 5 6 7 8 9 0 3 sał poziom + wahania przpadkowe BŁĄD EX POST 00 07 0 00 07 4,67%

7. MODELE NAIWNE przkład - do rozwiązania W pewnm przedsiębiorswie ransporowm liczbę przewozów pasażerów w ciągu roku w ujęciu miesięcznm przedsawia szereg: 70,70,704,699,73,75,73,74,696,699,703,705. ) Cz w m przpadku można zasosować meodę naiwną? ) Wznaczć prognozę przewozu pasażerów na kolejn okres. 3) Ocenić rafność prognoz jeśli wiadomo, że rzeczwisa wielkość w m okresie wniosła 700 osób. s x,3 70 V z Y 3??