ROZDZIAŁ 5 ROZDZIAŁ 5

ROZDZIAŁ 5 ROZDZIAŁ 5 75

J. German: PODSTAWY MECHAIKI KOMPOZYTÓW WŁÓKISTYCH ROZDZIAŁ 5 PODSTAWOWE TYPY LAMIATÓW WARSTWOWYCH LAMIATY SYMETRYCZE I ATYSYMETRYCZE Podane w poprzednim rozdziale posacie unormowanej macierzy szywności arczowej [A], macierzy szywności sprzężeń [B] i macierzy szywności gięnej [D] doyczą laminaów o całowicie dowolnej sewencji warsw. W więszości jedna przypadów mamy do czynienia z laminaami warswowymi o specyficznej budowie, charaeryzującej się oreśloną regularnością w uładzie warsw. Celowe jes zaem wprowadzenie pewnej lasyfiacji laminaów, obejmującej podsawowe ich ypy, a aże oreślenie wspomnianych wcześniej macierzy dla ych specyficznych onfiguracji, gdyż z reguły dają się one wyrazić prościej niż wynia o z zależności ogólnych. 5.. Klasyfiacja ompozyów 5... Definicje, oreślenia W celu uławienia dalszej leury zosaną poniżej podane wszysie użye w olejnych rozdziałach oreślenia, definicje i wyniające z nich wniosi. Ze względu na bra w nieórych przypadach dobrych polsich odpowiedniów erminów anglojęzycznych, podano obo użyych erminów polsich ich oryginały angielsie. Warswa laminau - pod pojęciem ym rozumie się grupę połączonych ze sobą pojedynczych warsw ompozyowych o ej samej orienacji. Przyładowo w laminacie o odzie [ /9 /-45 ] są rzy warswy, zn., 9 i -45. Lamina symeryczny. Lamina jes symeryczny, jeżeli zachodzą nasępujące waruni θ(z) θ(-z) (5.) ij (z) ij (-z) (5.) Pierwszy z ych warunów oznacza symerię ułożenia warsw wzg. płaszczyzny środowej (symeria geomeryczna), a drugi symerię modułów szywności (symeria maeriałowa). W dalszej części srypu przyjmuje się, że drugi warune jes zawsze spełniony (chyba, że wyraźnie będzie powiedziane inaczej), co oznacza, że rozparywane będą laminay złożone z warsw ego samego maeriału ompozyowego. Lamina anysymeryczny. Przy założeniu symerii maeriałowej, warune anysymerii laminau doyczy wyłącznie jego cech geomerycznych i ma posać θ(z) - θ(-z) (5.) Lamina regularny. Jes o ai lamina, w órym wszysie warswy mają ę samą grubość, zn. i / i,,..., (5.4) gdzie oznacza liczbę warsw laminau, - jego grubość. 76

ROZDZIAŁ 5 Lamina zrównoważony *). W celu zdefiniowania ego pojęcia oznaczmy symbolem K liczbę warsw o różnej orienacji ąowej (np. w laminacie [4 5 / - / -4 5 / - ], K ). Laminaem zrównoważonym będziemy nazywać lamina, w órym objęościowy udział ych warsw jes ai sam, zn. v i / K i,,...,k (5.5) Lamina o poprzecznym uładzie warsw lub róo lamina poprzeczny (ang. cross-ply laminae) - lamina sładający się wyłącznie z warsw i 9. Lamina o ąowym uładzie warsw lub róo lamina ąowy (ang. angle-ply laminae) - lamina sładający się wyłącznie z warsw +α, -α. Lamina dowolny - lamina o całowicie dowolnym uładzie geomerycznym warsw ( zn. ani nie symeryczny, ani nie anysymeryczny). Z podanych powyżej definicji, a aże prosych rozważań geomerycznych wyniają nasępujące wniosi Każdy lamina symeryczny musi się sładać z nieparzysej liczby warsw. Wynia o z fau, że wszysie warswy znajdujące się po jednej sronie powierzchni środowej mają swoich "bliźniaów" po jej przeciwnej sronie. Wyjąe sanowi warswa środowa, przez órą przechodzi płaszczyzna środowa, w związu z czym jes ona "jedynaiem", a zaem liczba warsw musi być liczbą nieparzysą ("n+"). Każdy lamina anysymeryczny musi się sładać z parzysej liczby warsw. Dowód pozosawmy jao ćwiczenie dla czyelnia. Lamina symeryczny i regularny nie może być zrównoważony. Regularność oznacza, że grubości wszysich warsw są idenyczne. Z symerii wynia, że lamina słada się z par warsw, co w połączeniu z pierwszym swierdzeniem prowadzi do onluzji, że objęościowy udział ażdej pary musi być ai sam. ie doyczy o jedna warswy środowej laminau, óra nie worzy pary, jej udział objęościowy musi zaem być dwuronie mniejszy od udziału pozosałych warsw. W efecie lamina nie może być zrównoważony. Lamina symeryczny i zrównoważony nie może być regularny. Ta własność jes onsewencją rozumowania odwronego do przedsawionego powyżej. Lamina anysymeryczny, a poprzeczny, ja i ąowy jes zawsze zrównoważony. Lamina anysymeryczny obu ypów można zapisać ogólnie w posaci...α a /-α b /α c /-α d /α d /-α c /α b /-α a... (5.6) Dla laminau poprzecznego przez "α" należy rozumieć onfigurację, a przez "-α" - 9. Z (5.6) wynia, że liczba pojedynczych warsw "α" wynosi...+a+c+d+b+..., a warsw "- α" -...+b+d+c+a+..., czyli yle samo, co oznacza, że aże objęościowy udział obu ypów warsw musi być ai sam, a o z olei oznacza, że lamina musi być zrównoważony. Jeżeli dodaowo zachodzi warune... a b c d..., o lamina jes aże regularny. Lamina anysymeryczny, o dowolnym ułożeniu warsw może nie być zrównoważony. Jao dowód wysarcza przyład powierdzający ezę - [ /5 /-4 /4 /-5 /- ]. Widać, że v v- / ; v 5 v- 5 /6 ; v 4 v- 4 /4. *) Oreślenie "lamina zrównoważony" używane jes w lieraurze w odniesieniu do laminaów ąowych i oznacza laminay o jednaowej ilości warsw +α i -α. Definicja wprowadzona powyżej obejmuje ę syuację jao przypade szczególny. 77

J. German: PODSTAWY MECHAIKI KOMPOZYTÓW WŁÓKISTYCH 5... Klasyfiacja ompozyów Doonanie lasyfiacji wszysich możliwych ompozyów jes niemal niewyonalne ze wzg. na wielość ryeriów, wedle órych można przeprowadzić aą lasyfiację, ja i wręcz nieograniczoną swobodę w szałowaniu ich uładu geomerycznego. Gdyby uwzględnić ompozyy hybrydowe zn. aie, w órych warswy różnią się maeriałem, o sopień ompliacji radyalnie rośnie. Klasyfiacja przedsawiona w ym rozdziale przyjmuje jao ryerium lasyfiacji cechy geomeryczne ompozyów, a ponado ogranicza się do ompozyów (pojedyncze warswy i laminay) najczęściej sosowanych. Klasyfiacja a przedsawiona jes na rys. 5., na órym uwidoczniono aże możliwe ombinacje różnych cech laminaów. a jej podsawie, w nasępnych podrozdziałach będą podane macierze szywności dla poszczególnych ypów ompozyów. Dla lepszego zrozumienia ej lasyfiacji, w abeli 5. zamieszczono zesawienie ypów, z podaniem przyładowych odów laminaów. Doonana lasyfiacja służy przede wszysim wprowadzeniu porządu i przejrzysości w nazewnicwie laminaów (można powiedzieć, że w pewnym sopniu ma ona ai sam cel ja podział maeriałów "sandardowych - np. na sale węglowe, nisowęglowe, sopowe, żeliwo, saliwo, sopy, meale olorowe id.). ie można naomias powiedzieć, że z przynależnością do ażdej z wyróżnionych las wiążą się zawsze uproszczenia w budowie np. macierzy szywności. IZOTROPOWA SPECJALIE ORTOTROPOWA OGÓLIE ORTOTROPOWA WARSTWA LAMIAT SYMETRYCZY ATYSYMETRYCZY WARSTWY IZOTROPOWE UASI-IZOTROPOWY DOWOLY KĄTOWY POPRZECZY DOWOLY KĄTOWY POPRZECZY R, Z R, Z R, Z R, Z R, Z R, Z R, Z R, Z R, Z - regularny, zrównoważony R, Z - regularny, niezrównoważony R, Z - nieregularny, zrównoważony R, Z - nieregularny, niezrównoważony Rys. 5.. Klasyfiacja podsawowych laminaów i pojedynczych warsw. Częso bywa a, że uproszczenia wysępują, ale nieograniczona dowolność w ułożeniu warsw laminaów, nawe należących do ej samej grupy, uniemożliwia ich wspólny zapis formalny i zarazem formalny zapis ych uproszczeń (przyładowo - z ych samych warsw można zbudować laminay o odach: [/9 / /9/ /9/ /9 /], [ /9 //9/ /9//9 / ], [ /9 / /9 / /9 / ], id., wszysie należące do grupy laminaów symerycznych, poprzecznych, zrównoważonych, a przecież różniące się liczbą warsw, ich grubością i olejnością). W olejnych rozdziałach będą omówione podsawowe grupy ompozyów, wraz z możliwie najprosszymi, ogólnymi posaciami macierzy szywności. Obliczenia do nich prowadzące będą pominięe, gdyż w wielu przypadach są długie, a dla czyelnia zapewne nużące. 78

ROZDZIAŁ 5 KOFIGURACJA LAMIATU CECHY LAMIATU Poprzeczna Kąowa Dowolna Regularny, zrównoważony nie isnieje nie isnieje nie isnieje SYMETRYCZY Regularny, niezrównoważony /9/ α/-α /α // ieregularny, zrównoważony /9 / α/-α /α / / ieregularny, niezrównoważ. /9 / α/-α /α / / Regularny, zrównoważony /9 α/-α //-/9 ATY- Regularny, niezrównoważony nie isnieje nie isnieje 9///-/9/ SYMETRYCZY ieregularny, zrównoważony /9 / /9 α/-α /α /-α 9// /- /9/ ieregularny, niezrównoważ. nie isnieje nie isnieje 9// /- /9/ TABELA 5.. Przyłady odów ypowych laminaów 5.. Kompozyy symeryczne Podsawową i ważną właściwością wszysich ompozyów symerycznych, bez względu na ich dalsze cechy, jes o, że macierz szywności sprzężeń jes macierzą zerową B ij (5.7) Wynia o wpros z posaci równania (4.6), oreślającego elemeny ej macierzy. Ze względu na symerię, ażdej warswie odpowiada jej zwierciadlane odbicie względem płaszczyzny środowej, różniące się jedynie znaiem współrzędnej środa ciężości. Ta więc sumy odpowiednich iloczynów dla ażdej pary warsw muszą się zerować. Z ego samego powodu co powyżej, w ompozyach symerycznych nie mogą wysąpić wypadowe momeny ermiczne, zn. {M T } {} (5.8) To sprawia m.in., że laminay symeryczne nie wyazują endencji do ulegania zwichrzeniu w czasie uwardzania po procesie laminacji. W onsewencji równań (5.7) i (5.8) równania fizyczne dla ompozyu symerycznego są zawsze rozprzęgnięe i przyjmują posać { } o [ A]{ ε } { M} o [ D]{ κ } (5.9) (5.) Po odwróceniu powyższych równań, odszałcenia w dowolnej warswie laminau wyrażają się związiem {} [ A] { } + z [ D] { M} ε (5.) Korzysając z równania (4.5), równania fizyczne, oreślające naprężenia w "-ej" warswie laminau symerycznego można zapisać w posaci T { } [ ] [ A] { } + [ ] {[ A] { } { α} T } + z [ ] [ D] { M} σ (5.) Dla sanu arczowego równanie o upraszcza się do posaci T { } [ ] [ A] { } + [ ] {[ A] { } { α} T } σ (5.) Dalsze uproszczenia, doyczące w szczególności macierzy szywności arczowej i zginania, możliwe są dla laminaów charaeryzujących się nie ylo symerią, ale dodaowo innymi, specyficznymi cechami budowy geomerycznej. 79

J. German: PODSTAWY MECHAIKI KOMPOZYTÓW WŁÓKISTYCH 5... Pojedyncze warswy Indywidualna warswa, z oczywisych powodów zawsze jes symeryczna względem płaszczyzny środowej. ie worzy ona oczywiście laminau, ale dla ławiejszego zrozumienia dalszych rozważań zosaną u przypomniane podsawowe wiadomości jej doyczące. W równym sopniu odnoszą się one również do specyficznego rodzaju laminau, jaim jes uład wielu pojedynczych warsw połączonych ze sobą, idenycznych pod względem maeriałowym i ułożonych w idenyczny sposób geomeryczny. Tai lamina marosopowo worzy jedną warswę. Omówiona będzie aże warswa izoropowa, óra może być ompozyem (np. ompozy z drobno pocięymi włónami, losowo rozłożonymi w marycy), ale z reguły nim nie jes. Uład różnych warsw izoropowych sanowi już jedna lasyczny lamina (np. bimeale), oeż celowe jes włączenie do analizy aże pojedynczej warswy izoropowej. Warswa izoropowa Jedyne dwie niezależne sałe sprężyse dla warswy izoropowej o moduł Younga E i współczynni Poissona ν. Moduł ścinania G jes zależny od dwu poprzednich. Macierz szywności, dobrze znana z eorii sprężysości, ma posać [ ] ν K ν ( ν ) / E K (5.4) ( ν ) Można ją aże uzysać jao szczególny przypade anizoropii, orzysając np. ze związów (.4), ładąc w nich E E E, ν ν ν. Ze względu na fa, że maeriał izoropowy jes niewrażliwy na zmianę ierunu, zreduowana i ransformowana macierz szywności muszą być oczywiście idenyczne. Wyazanie ego rywialnego sposrzeżenia w oparciu o zależności obowiązujące dla maeriału anizoropowego może sanowić dobry sprawdzian poprawności ych zależności. Korzysając z macierzy (5.4), naychmias widać z równań (.), że współczynnii ransformacyjne U i U wynoszą, zaś pozosałe przyjmują posać U K U 4 K ν U 5 K ( - ν) / (5.5) Biorąc pod uwagę (5.5) i zależności ransformacyjne ujęe w abeli. ławo swierdzić, że prowadzą one dla przypadu izoropii do oczeiwanego rezulau, gdyż isonie orzymujemy z nich, że [ ] [ ] (5.6) Korzysając z równań (4.5) i (4.7) orzymujemy macierze szywności arczowej i gięnej [ A ] [ ] (5.7) [ D] [ ] / (5.8) Warswa ompozyowa w onfiguracji osiowej (warswa specjalnie ororopowa) Zreduowana macierz szywności [] oreślona jes przez związe (.4) i ma posać (5.9). Macierz ransformowana jes w ym przypadu ożsama z macierzą zreduowaną. Korzysając z ogólnych posaci macierzy szywności arczowej - równanie (4.5) i szywności zginania - równanie (4.7), orzymujemy szczególne posacie ych macierzy dla warswy specjalnie ororopowej w formie równań odpowiednio (5.) i (5.) [ ] [ ] E ν ν E ν ν ν E ν ν ν E ν ν G (5.9) [ A ] [ ] (5.) 8

ROZDZIAŁ 5 [ D] [ ] / (5.) Warswa ompozyowa w onfiguracji nieosiowej (warswa ogólnie ororopowa) Zreduowana macierz szywności ma posać (5.9). Macierze: ransformowaną, szywności arczowej i zginania orzymuje się w wyniu zasosowania procedury przedsawionej na rysunu 4.5. Posaci ych macierzy dla warswy ogólnie ororopowej są osaecznie nasępujące [ A ] [ ] (5.) [ D] [ ] / (5.) ależy u zwrócić uwagę na fa, że w warswie ogólnie ororopowej, w odróżnieniu od specjalnie ororopowej, wysępuje sprzężenie syczne (zn. sprzężenie sił osiowych x i y z odszałceniami ąowymi γ xy), ja i sprzężenie normalne (sprzężenie sił sycznych xy z odszałceniami liniowymi ε x i ε y ), gdyż A 6 i A 6 mają warości różne od zera ( w warswie specjalnie ororopowej są równe zero). Podsumowanie a zaończenie rozważań doyczących pojedynczych warsw a izoropowych, ja i ororopowych, należy zauważyć, że niezależnie od ypu warswy macierze szywności arczowej i zginania można zapisać w posaci [ A ] [ ] (5.4) [ D] [ ] / (5.5) Po odwróceniu ych zależności orzymujemy [ A] [ ] / (5.6) [ D ] [ ] / (5.7) Z równania (4.54) wynia, że weor sił ermicznych w przypadu pojedynczej warswy jes oreślony związiem { } T T [ ]{} α (5.8) Po wsawieniu powyższych zależności do równania fizycznego w posaci (5.) i wyorzysaniu zależności macierzowej [ ][ ] [] orzymujemy równania oreślające naprężenia w pojedynczej warswie w posaci { } { } + z { M} (5.9) σ (5.) Z równań (5.) widać, że w ompozycie jednowarswowym naprężenia całowie, na óre sładają się naprężenia mechaniczne i cieplne nie zależą od różnicy emperaury uwardzania (laminacji) i esploaacji, choć same naprężenia ermiczne przy T są niezerowe. 5... Laminay o ąowym ułożeniu warsw Symeryczne laminay ąowe o aie laminay, w órych warswy są ułożone symerycznie względem płaszczyzny środowej i órych położenie oreślone jes wyłącznie ąem ± α. Korzysając ze wzorów ransformacyjnych zamieszczonych w abeli., sruurę ransformowanych macierzy szywności dla warsw +α i warsw -α można przedsawić nasępująco 8

J. German: PODSTAWY MECHAIKI KOMPOZYTÓW WŁÓKISTYCH + α i j 6 6 66 6 α, i j 6 (5.) 66 Przypomnijmy aże, że warune symerii powoduje, że lamina musi się sładać z nieparzysej liczby warsw, órą oznaczmy symbolem. Liczbę warsw +α oznaczmy P, a liczbę warsw -α - lierą R. Muszą zachodzić waruni P + R P R ± (5.) Objęościowy udział dowolnej "-ej" warswy wynosi v / gdzie - grubość warswy "", - całowia grubość laminau. (5.) W celu wyznaczenia unormowanej macierzy szywności arczowej [A] należy obliczyć współczynnii oreślone równaniem (4.4) i wyorzysać zależności podane w abeli 4.. Każdy ze współczynniów V * i można rozłożyć na część odpowiadającą warswom +α i część odpowiadającą warswom -α. Dla przyładu oreślmy pierwszy z nich V P R * v cos α + v cos( α) (5.4) Wyorzysując parzysość funcji cos α oraz związe P R v + v (5.5) orzymujemy V cos α V cos 4α V V sin α V4 V sin 4 α (5.6) gdzie P R V v v (5.7) Elemeny unormowanej macierzy szywności arczowej mają wówczas posaci przedsawione poniżej w formie abelarycznej U U A U cos α cos 4α A U - cos α cos 4α A U 4 - cos 4α A66 U 5 - cos 4α A6 / V sin α V sin 4α A6 / V sin α - V sin 4α TABELA 5.. Unormowana macierz szywności arczowej dla ąowego laminau symerycznego. Z posaci abeli 5.. wyniają dwa podsawowe wniosi : 8

ROZDZIAŁ 5 w ąowych laminaach symerycznych, w ogólnym przypadu wysępuje sprzężenie syczne i normalne, gdyż A 6 i A 6 są różne od zera, A, A, A, A 66 dla ażdego ąowego laminau symerycznego nie zależą od objęościowego udziału warsw ± α, są więc aie same ja dla pojedynczej warswy α (parz - abela.). Osaecznie zaem mają nasępującą posać A /, A /, A /, A66 / 66 (5.8) Elemeny macierzy szywności zginania, po wyorzysaniu (5.8), (5.), (5.) i prosych przeszałceniach orzymują posaci C D D C (5.9) C 66 D D 66 C D 6 P CR gdzie 6 6 ( C ) D ( C ) 6 P CR (5.4) C v + v z c P c C P v + v z (5.4) C R R v + v z c C P + CR C (5.4) Dalsze uproszczenia możliwe są w przypadu szczególnych ypów laminaów symerycznych, ja laminay regularne i zrównoważone. Laminay symeryczne, ąowe, regularne Regularność oznacza, że wszysie warswy (,,..., ) w laminacie mają aą samą grubość, zn. / (5.4) co oznacza, że również objęościowy udział ażdej warswy jes ai sam (zauważmy, że mimo ego lamina nie jes zrównoważony) i wynosi v / (5.44) Współczynnii oreślone równaniami (5.7) i (5.4), po prosych przeszałceniach, dają się eraz wyrazić zależnościami V C P (5.45) + P z c P c C P + z (5.46) 8

J. German: PODSTAWY MECHAIKI KOMPOZYTÓW WŁÓKISTYCH C R R + R z c Analiza uładu warsw w przeroju laminau pozwala znaleźć ogólne zależności oreślające współrzędne środów ciężości poszczególnych warsw. Odpowiednie obliczenia zosaną u pominięe, a czyelni może poraować je jao zadanie do samodzielnego rozwiązania. Wysępujące w (5.46) sumy dają się w wyniu ych obliczeń wyrazić prosymi związami P R z z z c c c P R ( P ) ( R ) (5.47) Współczynnii oreślone równaniem (5.46) po wyorzysaniu (5.47) przyjmują posać P R C, CP ( 4P ), CR ( 4R ) (5.48) a sładowe macierzy szywności zginania są oreślone formułami D 66, D, D, D66 (5.49) 6 6 D6 ( C P C R), D6 ( C P C R) (5.5) gdzie C P C R jeżeli jeżeli P R + P R Sładowe unormowanej macierzy szywności arczowej wynoszą (rów. 5.8, 5.45, ab. 5.. i.) (5.5) A /, A /, A /, A66 / 66 (5.5) A P 6 6 6 6 A Laminay symeryczne, ąowe, zrównoważone P (5.5) Zrównoważenie laminau oznacza, że objęościowy udział warsw +α i -α jes ai sam i wynosi v α v α. 5 (5.54) Z równania (5.7) i (5.6) wyniają wówczas zależności V (5.55) V * cosα V * * cos4α V * V 4 (5.56) Biorąc powyższe pod uwagę, a aże (5.8) i abelę 5., orzymujemy elemeny unormowanej macierzy szywności arczowej w posaci 84

ROZDZIAŁ 5 A /, A /, A /, A66 / 66 (5.57) A A6 6 Widać, że w porównaniu z laminaem ąowym regularnym, w laminacie zrównoważonym nie wysępują sprzężenia zarówno syczne, ja i normalne. W odniesieniu do macierzy szywności zginania zrównoważenie laminau ąowego nie powoduje żadnych uproszczeń, a jej elemeny są oreślone ogólnymi zależnościami dla laminau symerycznego, zn. równaniami (5.9), (5.4) i (5.4). 5... Laminay o poprzecznym ułożeniu warsw Symeryczne laminay poprzeczne charaeryzują się ym, że sładają się wyłącznie z ułożonych symerycznie względem płaszczyzny środowej warsw oreślonych ąami i 9, sąd bierze się ich nazwa. Posaci ransformowanych macierzy szywności dla warsw i 9 wyniają wpros z definicji zreduowanej macierzy szywności dla warswy w onfiguracji osiowej i mają nasępującą sruurę 9 9 i j, i j i j ij (5.58) 66 66 iech oznacza całowią ilość warsw, P - liczbę warsw, a R - liczbę warsw 9. Celem wyznaczenia unormowanej macierzy szywności arczowej [A] i macierzy szywności zginania [D], należy zasosować procedurę analogiczną do ej z p. 5... W jej wyniu orzymujemy V * v v 9 * V * V * V 4 (5.59) W onsewencji powyższych zależności unormowana macierz szywności arczowej w formie sabelaryzowanej przyjmuje posać U U A / U v v 9 A / U v v 9 A U 4 - A66 U 5 - A6 A6 TABELA 5.. Unormowana macierz szywności arczowej dla poprzecznego laminau symerycznego. Z abeli 5. wypływają dwa isone sposrzeżenia : w żadnym symerycznym laminacie poprzecznym nie wysępuje ani sprzężenie syczne, ani normalne ( A 6 A 6 ), A i A 66 dla ażdego symerycznego laminau poprzecznego nie zależą od objęościowego udziału warsw i 9, są zaem idenyczne dla wszysich laminaów należących do ej lasy i wynoszą (por. równanie (.) i abela 5..) A / A66 / 66 (5.6) 85

J. German: PODSTAWY MECHAIKI KOMPOZYTÓW WŁÓKISTYCH Elemeny macierzy szywności zginania w ogólnym przypadu symerycznego laminau poprzecznego można zapisać w posaci (czyelniowi pozosawmy przeprowadzenie odpowiednich obliczeń) D E CP + CR E E D CP + CR (5.6) E C 66 D D 66 C (5.6) D6 6 D (5.6) gdzie C, CP, CR są oreślone równaniem (5.4). Uproszczenia w posaciach podanych macierzy wysępują dla specyficznych ypów symerycznych laminaów poprzecznych zn. laminaów regularnych oraz zrównoważonych. Laminay symeryczne, poprzeczne, regularne Ze względu na formalną zgodność wszysich rozważań doyczących środów ciężości poszczególnych warsw ompozyu regularnego, poprzecznego i przedsawionego wcześniej ompozyu regularnego, ąowego (warswy są formalnie równoważne warswom +α, a warswy 9 - warswom -α ), obowiązują u zależności (5.4) - (5.48), a ponado zachodzi związe P P P v, v 9 v v 9 (5.64) Wyorzysując wspomniane powyżej związi, a aże (5.6), abelę 5. i macierz (5.9) orzymujemy sładowe unormowanej macierzy szywności arczowej w posaci P E + P A / P E + P A E / E (5.65) / A 66 66 A / A (5.66) A6 6 gdzie E i E oznaczają odpowiednio podłużny i poprzeczny moduł Younga dla warswy ororopowej. Sładowe macierzy szywności zginania wyniają z równań (5.6), (5.6), (5.6) (z wyorzysaniem (5.48) i (5.9)) i wynoszą E ( ) 4P + R ( 4R ) D P (5.67) E E ( ) 4P + R ( 4R ) D P (5.68) E D 66 D66 D 6 D 6 (5.69) Laminay symeryczne, poprzeczne, zrównoważone Z warunu zrównoważenia wynia, że v 9 9 v. 5 v v (5.7) i w onsewencji - widać o z abeli 5. - żaden z elemenów macierzy szywności arczowej nie zależy od objęościowego udziału warsw i 9. Osaecznie zaem mają one posać (wyorzysano u pomocniczo równania (.)) 86

ROZDZIAŁ 5 E + A / A / (5.7) E A / A 66 66 / A (5.7) A6 6 Zrównoważenie laminau nie powoduje żadnych uproszczeń w ogólnej posaci macierzy szywności zginania, a więc ma ona posać oreśloną równaniami (5.6), (5.6) i (5.6) z wyorzysaniem współczynniów oreślonych związiem (5.4). 5.. Kompozyy anysymeryczne Laminay anysymeryczne o aie laminay, w órych dowolna warswa o onfiguracji oreślonej ąem +α ma po przeciwnej sronie płaszczyzny środowej swego "odpowiednia" w posaci warswy oreślonej ąem -α. Warswy worzące "anysymeryczną parę" mają idenyczną grubość, różnią się naomias znaiem współrzędnej "z" środów ciężości. Lamina może być anysymeryczny ylo wówczas, gdy słada się z parzysej liczby warsw. Przyjmuje się radycyjnie, że anysymerycznym odpowiedniiem warswy jes warswa 9 i na odwró. ależy zauważyć iż w ym przypadu pojęcie anysymerii musi być rozumiane w sposób czyso umowny. Z geomerycznej definicji anysymerii wynia bowiem, że warswą anysymeryczną do warswy jes również warswa. Spełnia ona oczywiście zarazem warune symerii, a więc przyładowo lamina o odzie [, ] byłby z punu widzenia geomerii jednocześnie symeryczny, ja i anysymeryczny. W celu uninięcia ej dwuznaczności, a jednocześnie wyróżnienia lasy laminaów o parzysej liczbie na przemian leżących warsw wyłącznie i 9, przyjęo w mechanice ompozyów wspomnianą na wsępie umowę. Dla ażdej pary anysymerycznych warsw zachodzą zależności ( parz abela.) α α α α 6 6, 6 6 (5.7) Z ogólnych posaci macierzy szywności arczowej - rów. (5.5) oraz szywności gięnej - rów. (5.8), oraz po wyorzysaniu podanej definicji laminau anysymerycznego wraz ze związami (5.7), wynia wpros wniose o zerowaniu się w ażdym laminacie anysymerycznym ych elemenów macierzy, óre związane są ze sprzężeniem sycznym i normalnym, zn. A6 6, A (5.74) D6 6, D (5.75) Inne uproszczenia w macierzach [A], [B], [D] w ogólnym przypadu anysymerii laminau nie wysępują i w celu oreślenia ych macierzy należy wyorzysać procedurę przedsawioną na rysunu 4.5. Są one naomias możliwe w laminaach o specjalnej onfiguracji warsw, a mianowicie anysymerycznych laminaach ąowych i poprzecznych. 5... Laminay o ąowym ułożeniu warsw, zrównoważone Z podanych na począu ego rozdziału definicji, oreśleń i własności laminaów wynia, że ażdy lamina anysymeryczny, ąowy musi aże być zrównoważony. Transformowane macierze szywności dla warsw +α i -α, worzących lamina ąowy mają posać (5.). Wyniające z niej równości + α α ij ij i, j, i j 6 (5.76) powodują, że dla wsaźniów ja w (5.76) elemeny macierzy ransformowanej ij wysępujące pod znaami sum w wyrażeniach (4.5), (4.6) i (4.7) mogą być wyłączone przed e znai. Osaecznie zaem unormowana macierz szywności arczowej ma nasępujące sładowe A6 6, A (5.77) A /, A /, A /, A66 / 66 (5.78) 87

J. German: PODSTAWY MECHAIKI KOMPOZYTÓW WŁÓKISTYCH Z ych samych powodów co powyżej, a aże dlaego, że suma współrzędnych środów ciężości wszysich warsw w laminacie anysymerycznym musi się zerować, elemeny macierzy szywności sprzężeń przyjmują posać B 66 B B B (5.79) B c ( ) z i i 6 i6, (5.8) Posać macierzy szywności gięnej w laminacie anysymerycznym, ąowym upraszcza się jedynie na sue warunu (5.76), a jej elemeny są oreślone nasępująco / c D z ij ij + i, j, i j 6 (5.8) D6 6, D (5.8) Laminay anysymeryczne, ąowe, regularne Równania (5.77) i (5.78) nie ulegają żadnym uproszczeniom w przypadu laminaów regularnych, zaem macierz szywności arczowej jes oreślona związami A / A / A / A 66 66 A, A6 6 / (5.8) Analiza położenia środów ciężości poszczególnych warsw i wyorzysanie definicji regularności laminau (5.4) pozwalają zapisać elemeny macierzy szywności sprzężeń nasępująco B 66 B B B (5.84) 6 6 B6 ±, B 6 ± (5.85) Wyrażenia (5.85) należy brać ze znaiem "+" wówczas, gdy srajną warswą laminau po dodaniej sronie osi "z " jes warswa +α. W przeciwnym przypadu obowiązuje zna "-". Ilusruje o poniższy rysune. + α α (5.85) zna + (5.85) zna - z z Analizując współrzędne środów ciężości warsw, można aże poazać, że macierz szywności gięnej dla laminau anysymerycznego, ąowego i regularnego można wyrazić związami D D (5.86) D D 66 66 D 6 D 6 (5.87) 88

ROZDZIAŁ 5 Czyelni może poraować wyprowadzenie związów (5.85) i (5.86) jao zadanie do samodzielnego rozwiązania. Waro zwrócić więszą uwagę na posać elemenów B6 i B6 macierzy sprzężeń. Z (5.85) widać, że ich warości zależą odwronie proporcjonalnie od ilości warsw, worzących lamina. Ta więc dla laminau o usalonej grubości wraz ze wzrosem liczby warsw maleje efe sprzężenia sanu arczowego i gięnego. Z ego punu widzenia nie jes obojęne, czy z czerech lamin +α i czerech lamin -α wyonany zosanie anysymeryczny lamina o odzie [- α / α / - α / α ] czy eż lamina o odzie [- α / α / - α / α /- α / α / - α / α ]. Grubość obu jes aa sama, ale ilość warsw w pierwszym wynosi 4, a w drugim 8. Sprzężenie sanu arczowego i gięnego w drugim przypadu będzie zaem mniej widoczne. 5... Laminay o poprzecznym ułożeniu warsw, zrównoważone Transformowane macierze szywności dla warsw i 9 mają posaci ij ij (5.88) 66 9 ij 9 ij 66 Przypomnijmy, że ażdy lamina anysymeryczny, poprzeczny musi być aże zrównoważony, a więc z równań (4.9) i (4.4) wyniają zależności v 9. * v 5 (5.89) * * * V V V4, V (5.9) Korzysając z abeli 4. oraz równań (.), macierz szywności arczowej dla dowolnego laminau anysymerycznego, poprzecznego można zapisać w nasępującej posaci E + A / A / (5.9) E A / A 66 66 / A (5.9) A6 6 Macierz sprzężeń orzymujemy z równania (4.6) z wyorzysaniem macierzy szywności warsw i 9 - rów. (5.88). Zauważmy, że (4.6) dla laminau poprzecznego można przedsawić w posaci sumy B i j i j / / c 9 c ( z ) + i j ( z ) 9 (5.9) Ze względu na o, że ażdej warswie odpowiada warswa 9 o ej samej grubości, ale przeciwnym znau współrzędnej środa ciężości - musi zachodzić relacja / / c c ( z ) ( z ) 9 (5.94) Łącząc (5.9) i (5.94) orzymujemy B ij / 9 c ( ij ij ) ( z ) (5.95) 89

J. German: PODSTAWY MECHAIKI KOMPOZYTÓW WŁÓKISTYCH Osaecznie zaem elemeny macierzy szywności sprzężeń dla dowolnego anysymerycznego laminau poprzecznego wyrażają się zależnościami B 66 6 6 B B B (5.96) / c ( ) ( ) B z B B (5.97) (5.98) Macierz szywności zginania jes oreślona równaniem (4.7), óre w analizowanym przypadu można zapisać jao sumę dwóch członów, z órych pierwszy związany jes z warswami, a drugi warswami 9 D / / c 9 c ij ij z + + ij z + 9 (5.99) Wyorzysując ponownie o, że ażdej warswie odpowiada warswa 9 o ej samej grubości, ale przeciwnym znau współrzędnej środa ciężości, ja również fa wysępowania ych współrzędnych w obu sumach w równaniu (5.99) w drugiej poędze, ławo wyazać iż musi zachodzić warune / / c c c + + + z z z 9 / (5.) Osanie z powyższych wyrażeń oznacza, że sumowanie należy wyonać po wszysich warswach leżących po jednej sronie osi "z". Łącząc (5.99) i (5.) orzymujemy D / 9 ( ij + ij ) S S c + ij z gdzie (5.) Osaecznie macierz szywności gięnej ma sładowe ( ) D + S D D D S D 66 66S (5.) D6 6 D (5.) Laminay anysymeryczne, poprzeczne, regularne Macierz szywności arczowej oreślona jes równaniami (5.9) i (5.9). Macierz szywności sprzężeń wynia z wcześniejszych rozważań ego rozdziału oraz analizy współrzędnych środów ciężości warsw, órą pozosawmy jao zadanie dla czyelniów. Jao rezula odpowiednich obliczeń orzymujemy nasępującą posać macierzy [B] B B B E ± 4 E B B66 B6 B 6 (5.4) Przy obliczaniu sładowej B zna "+" obowiązuje wówczas, gdy srajną warswą laminau po dodaniej sronie osi "z" jes warswa 9. W przypadu, gdy warswą srajną jes warswa, należy wziąć B ze znaiem "-". Poazano o na poniższym rysunu. 9

ROZDZIAŁ 5 (5.4) zna + (5.4) zna - 9 z z Macierz szywności zginania orzymuje się wpros z (5.) i (5.), po uwzględnieniu, że grubości wszysich warsw są jednaowe ( / ). Analizując położenie środów ciężości warsw można ponado wyazać, że zachodzi związe / c z ( ) 4 Współczynni S wynosi eraz S /, a elemeny macierzy [D] wyrażają się związami (5.5) D D D 4 E + E D 66 D66 (5.6) D D6 6 Elemeny macierzy szywności arczowej, sprzężeń i zginania dla laminaów symerycznych i anysymerycznych, ąowych i poprzecznych przedsawiono w formie abel w Dodau. 5.4. Kompozyy quasi-izoropowe Kompozyami quasi-izoropowymi oreśla się ompozyy o aiej budowie, że elemeny macierzy szywności arczowej [A] w dowolnym uładzie odniesienia (x, y) spełniają waruni A A (5.7) A 6 A 6 (5.8) A [ A ] 66 A (5.9) Zauważmy, że w maeriale izoropowym (por. p. 5..) macierz szywności [], ja i w onsewencji macierz szywności arczowej [A] spełniają aie właśnie waruni. Formalne podobieńswo macierzy [A] dla maeriałów izoropowych i pewnej szczególnej lasy ompozyów sprawia, że zosały one nazwane quasi-izoropowymi. azwa a, ja o będzie poazane, jes w pełni adewana aże i z ego powodu, że marosopowo ompozyy quasi-izoropowe zachowują się ja maeriały izoropowe, zn. ich charaerysyi maeriałowe nie zmieniają się przy obrocie uładu odniesienia. Są o jedna w dalszym ciągu ompozyy z ich wszysimi charaerysycznymi cechami, ja choćby ą, że naprężenia po grubości zmieniają się soowo od warswy do warswy (na sue różnych szywności warsw), co różni je od "zwyłego" maeriału izoropowego - sąd w nazwie przedrose "quasi". Klasycznym przyładem ompozyu quasi-izoropowego jes ompozy o marycy zbrojonej losowo rozłożonymi włónami, co oznacza jednaowe prawdopodobieńswo ich rozmieszczenia w dowolnym ierunu. Można aże wyobrazić sobie zamias jednej warswy losowo zbrojonej, lamina o wielu warswach jednoierunowo zbrojonych, ale losowo rozłożonych po grubości. W pierwszym przypadu przyjmuje się, a w drugim można o udowodnić, że współczynnii oreślone równaniem (4.4) zerują się * V i i,,, 4 (5.) Biorąc o pod uwagę oraz orzysając z abeli 4.. możemy wyznaczyć macierz szywności arczowej. Jej sładowe mają posać 9

J. German: PODSTAWY MECHAIKI KOMPOZYTÓW WŁÓKISTYCH A / A / U A 66 U 5 A6 6 / (5.) A A / U 4 (5.) Spełnienie warunów (5.7) i (5.8) jes naychmias widoczne, zaś warune (5.9) jes ławy do wyazania po wsawieniu za U i wielości wyniających ze związów (.). Zauważmy, że elemeny macierzy [A] wyrażają się jedynie przez U, U 4 i U 5, a zaem wielości niezmiennicze dla warswy ompozyu przy jej obrocie względem dowolnego uładu odniesienia. Sanowi o dowód niezmienniczości aże macierzy szywności arczowej, a jednocześnie dowód quasi-izoropowości ompozyu. Cechę quasi-izoropii posiadają nie ylo wspomniane powyżej ompozyy o losowym rozładzie włóien w warswie, czy eż warsw w laminacie, ale aże "sandardowe" laminay warswowe o bardzo specyficznym ułożeniu warsw w przeroju. Podsawowe sewencje warsw dla ej lasy laminaów mają ody [ / ±π / ] i [ / ±π /4 / 9 ]. a ich bazie można worzyć inne laminay (np. [6 / / -6 ], [ 9 / 45 / / -45 ] ip.) quasi-izoropowe. Zauważmy, że w dla pierwszej sewencji - ąy między ierunami włóien wynoszą π / [rd], a dla drugiej π /4 [rd] - poazano o na rys. 5.. warswa warswa +6 6 6 6 6 6 6 warswa -6 warswa warswa 45 warswa -45 45 45 warswa 9 45 45 45 45 45 45 Lamina ypu π / Lamina ypu π / 4 Rys. 5.. Podsawowe ypy laminaów quasi-izoropowych. Liczba warsw w pierwszym przypadu wynosiła rzy, a w drugim czery. Uogólniając e sposrzeżenia można powiedzieć, że dowolny lamina o "m" grupach warsw (przez grupę warsw należy rozumieć zbiór wszysich warsw o ej samej onfiguracji, nie oniecznie połączonych ze sobą w warswę lub warswy), pomiędzy ierunami órych zawary jes ą π/m [rd] jes quasi-izoropowy, pod waruniem, że objęościowy udział ych warsw czyni zadość równaniom (5.). Lamina o pierwszej sewencji warsw nosi w związu z ym nazwę laminau "π / ", a drugi "π /4 ". W celu wyznaczenia quasi-izoropowych sałych inżyniersich zasosujemy procedurę opisaną w p. 4..5 rozdziału 4. Zapiszmy (5.) - (5.) w posaci macierzy A ij U U4 U (5.) U 5 Macierz odwrona do macierzy [A] ma ogólną posać A A A A A A A A ij (5.4) A A A66 9

ROZDZIAŁ 5 Korzysając z (5.) i (5.4) wyznaczamy na podsawie równań (4.44) poszuiwane quasiizoropowe sałe inżyniersie U + 4 E x E y E U 5 (5.5) U U 4 ν xy ν yx ν G xy G U 5 U Wyrażają się one poprzez niezmiennii, są więc niezależne od onfiguracji laminau, a zależą jedynie od rodzaju maeriału ompozyowego. Mamy więc idenyczną syuację ja dla onwencjonalnych maeriałów izoropowych. Laminay quasi-izoropowe mają nad nimi jedna ę zaleę, że onsruując odpowiednio lamina (zn. dobierając właściwy maeriał i ułożenie warsw) można uzysać e same warości sałych inżyniersich co dla maeriału lasycznego, przy iludziesięcioprocenowej oszczędności na ciężarze - (parz - przyład ). 5.5. Kompozyy o warswach izoropowych Rozważmy bardzo szczególny przypade maeriału ompozyowego, a mianowicie lamina zbudowany z warsw izoropowych. Ze względu na izoropię rozróżnianie zreduowanej i ransformowanej macierzy szywności raci sens. Macierz szywności dla "-ej" warswy ma zgodnie z (5.4) posać [ ] ν K ν ( ν ) / K E (5.6) ( ν ) Dla laminaów o dowolnym ułożeniu warsw macierze szywności arczowej [A], sprzężeń [B] i gięnej [D] należy wyznaczyć z ogólnych wzorów oreślających e macierze zn. (4.5), (4.6) i (4.7). Laminaem symerycznym nazywamy w omawianym przypadu lamina, órego warswy symerycznie położone względem płaszczyzny środowej mają aie same grubości oraz moduł Younga i współczynni Poissona. Z ogólnych rozważań doyczących symerii laminaów wynia, że macierz sprzężeń [B] jes wówczas macierzą zerową. Inne isone uproszczenia nie wysępują. 5.6. Przyłady Przyład Wyznaczyć odszałcenia i naprężenia w warswach laminau [, 9 ] s wyonanego z ompozyu grafi/eposyd (T/eposyd Vicoex74), dla órego sałe maeriałowe wynoszą E 7 GPa, E.4, GPa, G 4.8 GPa, ν., poddanego działaniu jednoosiowego obciążenia o warości M/m. Grubość pojedynczej warswy ompozyowej wynosi.5x -4 m. Analizowany lamina jes symeryczny, w związu z czym macierz szywności sprzężeń [B] zeruje się (równanie (5.5)) - nie wysępuje w nim zaem sprzężenie sanów arczowych i gięnych. Biorąc pod uwagę sposób jego obciążenia swierdzamy, że mamy do czynienia wyłącznie ze sanem arczowym zn. weor momenów wypadowych {M} {}. ie uwzględniamy ponado obciążeń ermicznych, co oznacza, że weor sił ermicznych { T } {}. Odszałcenia wyrażają się zaem równaniem (5.) zreduowanym do posaci {} [ A] { } ε (5.7) gdzie weor sił wypadowych ma posać { } (5.8) 9

J. German: PODSTAWY MECHAIKI KOMPOZYTÓW WŁÓKISTYCH warswa x y warswa 9 warswa Rys. 5.. Lamina [, 9 ] s poddany jednoosiowemu rozciąganiu. Odszałcenia wyrażają się zaem równaniem (5.) zreduowanym do posaci {} [ A] { } ε (5.7) gdzie weor sił wypadowych ma posać (5.8) { } a mocy założenia przyjęego w lasycznej eorii laminacji (rozdz. 4), odszałcenia we wszysich warswach są aie same. aprężenia warswowe są różne dla różnych warsw, ale sałe po ich grubości. Wyznaczamy je z równania (5.), óre w ym przypadu reduuje się do posaci { } [ ] [ A] { } σ (5.9) Ta więc chcą oreślić odszałcenia i naprężenia należy wyznaczyć macierz szywności arczowej [A] dla całego laminau, a ponado ransformowane macierze szywności dla poszczególnych warsw. Wyorzysamy wynii uzysane w przyładzie rozdziału 4. Macierz szywności warswy w jej głównych osiach maeriałowych ma posać (4.6) 7. 9. (5.) 4. 8 [ ].. [ MPa] Macierze ransformowane dla warsw i 9 orzymujemy wpros z (5.) bez onieczności sosowania zależności ransformacyjnych (abela.), co wynia z fau, że uład osi maeriałowych (, ) warswy i uład odniesienia (x, y) porywają się, a w przypadu warswy 9 osie (, ) "zamieniają się miejscami". Ta więc ransformowane macierze szywności mają sładowe 7. 9. (5.) 4. 8 [ ].. [ MPa].. [ ]. 7. 9 [ MPa] 9 4. 8 94

ROZDZIAŁ 5 Macierz szywności arczowej [A] dla laminau [, 9 ] s orzymana przez pomnożenie macierzy unormowanej (ab. 4. (dla n) - rozdz. 4, przył. ) przez grubość laminau 6.5 - [m], ma posać 79. 6 M 7. m [ A] 4. 55 4. 96 4. 55 zaś macierz do niej odwrona ma posać [ A] 6. 7 4. 4. 7. 8 88. 89 4 M m Korzysając z równania (5.7) orzymujemy nasępujące warości odszałceń ε x 6. 7 4 4 (5.) (5.) ε y 4. (5.4) γ xy aprężenia warswowe obliczamy z równania (5.9) z uwzględnieniem ransformowanych macierzy szywności (5.). Osaecznie naprężenia warswowe wynoszą 746 { σ } 4. 4 [ MPa] { } 6. 7 [ MPa] 6. 9 σ 9 (5.5) W celu sprawdzenia poprawności uzysanych wyniów sprawdźmy warune równowagi sił (na jednosę długości), óry ma posać 9 9 + 9 (5.6) Elemenarne rachuni pozwalają zapisać równanie równowagi w posaci 9 + (5.7) 9 9 Lub w równoważnej posaci naprężeniowej σ σ v + σ v (5.8) x x x 9 9 gdzie σ x oznacza naprężenie wypadowe, a v i v 9 objęościowe udziały warsw, odpowiednio i 9, óre wynoszą v /, v 9 /. Wsawiając do (5.8) naprężenia warswowe σ x i σ x9 ze związów (5.5) orzymamy naprężenie wypadowe σ x 666.6 MPa Odpowiadająca mu siła wypadowa, óra musi być równa warości obciążenia zewnęrznego, wynosi σ x M/m i jes w isocie równa sile obciążającej. Oreślmy jeszcze redysrybucję siły zewnęrznej między warswy i 9. Siły e wynoszą: 95

J. German: PODSTAWY MECHAIKI KOMPOZYTÓW WŁÓKISTYCH σ x σ x.87 M/m 9 σ x9 9 σ x9 4.7 M/m Widać zaem, że udział warswy 9 (dwuronie grubszej od łącznej grubości warsw ) w przenoszeniu obciążenia jes bardzo mały - o. %. Główną rolę odgrywają u warswy, a więc e, w órych włóna są równoległe do ierunu obciążenia. Powierdza o wspomnianą w rozdz. dominującą rolę włóien w przenoszeniu sił, a zarazem zniome pod ym względem znaczenie marycy (w warswie 9 właśnie maryca poddana jes działaniu siły zewnęrznej). Problemaya a będzie szerzej przedsawiona w rozdz. 7. Zauważmy jeszcze, że mimo iż obciążenie działa w ierunu osi x, o w obu warswach pojawiły się niezerowe naprężenia normalne σ y. Wobec brau sił zewnęrznych o ierunu osi y, wypadowe naprężenie σ y musi być oczywiście równe zero. Korzysając w odniesieniu do naprężeń σ y z równania analogicznego do (5.8), ławo sprawdzić, że isonie a jes. Z (5.4) widać eż, że suiem symerycznej budowy jes bra odszałceń ąowych laminau. Przyład. Wyznaczyć charaerysyi maeriałowe quasi-izoropowego ompozyu grafi/eposyd o losowo rozłożonych warswach ( bądź losowo rozłożonych włónach w warswie ) o sałych echnicznych w głównych osiach maeriałowych wynoszących: E 7 GPa, E GPa, G 5 GPa, ν.5 (ν ( E / E )ν.47). Poszuiwane wielości wyznaczymy orzysając z zależności (5.5). ależy więc najpierw obliczyć warości elemenów zreduowanej macierzy szywności [] - równanie (5.9), a nasępnie niezmienniów U, U 4 i U 5 - równanie (.). W wyniu obliczeń orzymujemy 7.6 GPa,.7 GPa,.5 GPa, 66 5 GPa, U 7.88 GPa, U 4.97 GPa, U 5 4.46 GPa. uasi-izoropowe sałe sprężyse wynoszą E 64. GPa, ν., G U 5 E / [ (+ ν )] 4.5 GPa. Przeglądając ablice sałych maeriałowych onwencjonalnych maeriałów izoropowych ławo zauważyć, że powyższe warości są bardzo zbliżone do charaerysy aluminium, dla órego wynoszą one E 7 GPa, ν., G 6 GPa. Ta więc zamias elemenu aluminiowego można zasosować elemen ompozyowy quasi-zoropowy o niemal idenycznych cechach sprężysych, ale znacznie od niego lżejszy. W przypadu aluminium i ompozyu grafi/eposyd różnica w ciężarze właściwym wynosi o. 4 procen! Przyład. Obliczyć unormowane macierze szywności arczowej [A] dla laminaów [- 6,, 6] - yp A i [, 9] - yp B - w uładach : wyjściowym i obróconym względem niego o. Wyjściowy uł. współrzędnych (x, y) wynia wpros z odów laminaów - poazano o na poniższym rysunu. lamina A 6 x - 6 lamina B 9 x y y 96

ROZDZIAŁ 5 Lamina A Biorąc pod uwagę, że objęościowy udział wszysich warsw jes ai sam i wynosi /, wszysie współczynnii oreślone równaniem (4.4) zerują się. Dzięi emu elemeny unormowanej macierzy szywności arczowej mają posać A / A / U A / U 4 A 66 U 5 / A A6 6 Wyrażają się one poprzez niezmiennii, a ponado spełnione są waruni quasi-izoropii (5.7)- (5.9). Ta więc lamina [-6/ / 6] jes quasi-izoropowy. Lamina B Zasosowanie idenycznej procedury, ja dla laminau A prowadzi do nasępujących rezulaów * * * * V V V 4 V A + / A / U U A / U 4 U A66 U 5 U / A A6 6 Dwa pierwsze waruni quasi-izoropii są spełnione, naomias warune (5.9) nie jes spełniony, co widać po wyonaniu elemenarnych obliczeń. Przechodząc do nowego uładu (x', y') obróconego wzg. (x, y), powinniśmy uzysać powierdzenie ego, że lamina A jes quasi-izoropowy, a lamina B nie jes, zn. macierz szywności arczowej dla pierwszego powinna pozosać nie zmieniona, a dla drugiego przeciwnie. W uładzie (x', y') laminay A i B mają ody odpowiednio [ 9/- / ] i [-/6 ]. lamina A x' lamina B x' - 6-9 y' y' Posępując wg idenycznych zasad ja poprzednio, orzymujemy dla laminau A * * * * V V V V 4 Macierz szywności arczowej nie ulega zaem zmianie przy obrocie uładu, co oznacza, że lamina jes quasi-izoropowy. W przypadu laminau B * * * * 4 V V V. 5 V. 866 A / A / U 5. U A / U + 5. U A / U + 5. U A /. 866 U A /. 866 U 6 6 4 66 5 Macierz szywności arczowej w uładzie nowym różni się od ej w uładzie wyjściowym, lamina B nie jes więc laminaem quasi-izoropowym. 97

J. German: PODSTAWY MECHAIKI KOMPOZYTÓW WŁÓKISTYCH 98