1 Pierwiastki aproksymatywne niecharakterystyczne S. Brzostowski
Denicja pierwiastka aproksymatywnego. 2
2 Denicja pierwiastka aproksymatywnego. Denicja 1. R - pierscien przemienny z 1, f 2 R[Y ] - wielomian moniczny zmiennej Y stopnia k; l 2 N - dzielnik k taki, _ze 1=l 2 R.
2 Denicja pierwiastka aproksymatywnego. Denicja 1. R - pierscien przemienny z 1, f 2 R[Y ] - wielomian moniczny zmiennej Y stopnia k; l 2 N - dzielnik k taki, _ze 1=l 2 R. Wielomian moniczny g 2 R[Y ] spe lniaj acy, warunek deg Y (f g l ) < k k=l jest zwany pierwiastkiem aproksymatywnym l-ego stopnia z f. B, edziemy go oznaczac przez l p f.
2 Denicja pierwiastka aproksymatywnego. Denicja 1. R - pierscien przemienny z 1, f 2 R[Y ] - wielomian moniczny zmiennej Y stopnia k; l 2 N - dzielnik k taki, _ze 1=l 2 R. Wielomian moniczny g 2 R[Y ] spe lniaj acy, warunek deg Y (f g l ) < k k=l jest zwany pierwiastkiem aproksymatywnym l-ego stopnia z f. B, edziemy go oznaczac przez l p f. Twierdzenie p 1. Przy powy_zszych za lo_zeniach l-ty pierwiastek aproksymatywny l f z f istnieje i jest wyznaczony jednoznacznie.
Przyk lad 1. Dla f = Y k + a 1 Y k k=l + ::: + a k k=l 3
3 Przyk lad 1. Dla f = Y k + a 1 Y k k=l + ::: + a k k=l gdy_z p l f = Y k=l + a 1 l, ( l p f) l = (Y k=l + a 1 l )l = Y l +a 1 Y k k=l +sk ladniki ni _zszego stopnia
3 Przyk lad 1. Dla f = Y k + a 1 Y k k=l + ::: + a k k=l gdy_z p l f = Y k=l + a 1 l, ( l p f) l = (Y k=l + a 1 l )l = Y l +a 1 Y k k=l +sk ladniki ni _zszego stopnia Dla f = Y k + a 1 Y k 1 + ::: + a k
3 Przyk lad 1. Dla f = Y k + a 1 Y k k=l + ::: + a k k=l gdy_z p l f = Y k=l + a 1 l, ( l p f) l = (Y k=l + a 1 l )l = Y l +a 1 Y k k=l +sk ladniki ni _zszego stopnia Dla f = Y k + a 1 Y k 1 + ::: + a k k p f = Y + a 1 k,
3 Przyk lad 1. Dla f = Y k + a 1 Y k k=l + ::: + a k k=l gdy_z p l f = Y k=l + a 1 l, ( l p f) l = (Y k=l + a 1 l )l = Y l +a 1 Y k k=l +sk ladniki ni _zszego stopnia Dla f = Y k + a 1 Y k 1 + ::: + a k p k a 1 f = Y + p 1 f = f. k,
Dla f = Y 6 + 6Y 5 + 9Y 4 + 6Y 3 + 19Y 2 Y + 12 4
Dla f = Y 6 + 6Y 5 + 9Y 4 + 6Y 3 + 19Y 2 Y + 12 mamy f = ((Y + 1) 3 3Y + 2) 2 + Y 2 Y + 3, 4
4 Dla f = Y 6 + 6Y 5 + 9Y 4 + 6Y 3 + 19Y 2 Y + 12 mamy f = ((Y + 1) 3 3Y + 2) 2 + Y 2 Y + 3, a wi, ec p 2 f = (Y + 1) 3 3Y + 2,
4 Dla f = Y 6 + 6Y 5 + 9Y 4 + 6Y 3 + 19Y 2 Y + 12 mamy f = ((Y + 1) 3 3Y + 2) 2 + Y 2 Y + 3, a wi, ec p 2 f = (Y + 1) 3 p 6 f = (Y + 1). 3Y + 2,
4 Dla f = Y 6 + 6Y 5 + 9Y 4 + 6Y 3 + 19Y 2 Y + 12 mamy f = ((Y + 1) 3 3Y + 2) 2 + Y 2 Y + 3, a wi, ec p 2 f = (Y + 1) 3 p 6 f = (Y + 1). 3Y + 2, Ponadto f = (Y 2 + 2Y 1) 3 + 10Y 3 + 28Y 2 7Y + 13
4 Dla f = Y 6 + 6Y 5 + 9Y 4 + 6Y 3 + 19Y 2 Y + 12 mamy f = ((Y + 1) 3 3Y + 2) 2 + Y 2 Y + 3, a wi, ec p 2 f = (Y + 1) 3 p 6 f = (Y + 1). 3Y + 2, Ponadto f = (Y 2 + 2Y 1) 3 + 10Y 3 + 28Y 2 7Y + 13 czyli p 3 f = (Y 2 + 2Y 1).
Ci, agi charakterystyczne i twierdzenie Abhankara i Moha. 5
5 Ci agi, charakterystyczne i twierdzenie Abhankara i Moha. Za lo_zenia Podstawowe. f = Y k + a 1 (X)Y k 1 + ::: + a k - nierozk ladalny i moniczny element K ((X)) [Y ] ; K = K; char K = 0, deg Y f = k.
5 Ci agi, charakterystyczne i twierdzenie Abhankara i Moha. Za lo_zenia Podstawowe. f = Y k + a 1 (X)Y k 1 + ::: + a k - nierozk ladalny i moniczny element K ((X)) [Y ] ; K = K; char K = 0, deg Y f = k. Na mocy twierdzenia Newtona, f t k ; Y = Y "2U k (K) (Y y ("t)) dla pewnego y (t) 2 K ((t)) ; y (t) = X j2z y j t j (przez U k (K) oznaczamy zbior f" 2 K : " k = 1g).
6 Nast, epnie, niech m = (m 0 ; : : : ; m h ) - charakterystyka f,
6 Nast, epnie, niech m = (m 0 ; : : : ; m h ) - charakterystyka f, d = (d 1 ; : : : ; d h+1 ); gdzie d h+1 = 1, - malej acy, ci ag, podzielnikow liczby k okreslony wzorami d i = gcd(m 0 ; : : : ; m i 1 ) dla 1 6 i 6 h + 1, tzn. w szczegolnosci k = d 1 < d 2 < ::: < d h+1 = 1:
7 Okreslamy rownie_z nast epuj, ace, pochodne ci agi, charakterystyczne: s = (s 0 ; : : : ; s h+1 ); k lad ac, s 0 := m 0, s i := m 1 d 1 + P (m j m j 1 ) d j ; dla 1 6 i 6 h; oraz s h+1 := +1; 26j6i
7 Okreslamy rownie_z nast epuj, ace, pochodne ci agi, charakterystyczne: s = (s 0 ; : : : ; s h+1 ); k lad ac, s 0 := m 0, s i := m 1 d 1 + P (m j m j 1 ) d j ; dla 1 6 i 6 h; oraz s h+1 := +1; 26j6i r = (r 0 ; : : : ; r h+1 ); k lad ac, r 0 := m 0, r i := s i d i ; dla 1 6 i 6 h; oraz r h+1 := +1;
7 Okreslamy rownie_z nast epuj, ace, pochodne ci agi, charakterystyczne: s = (s 0 ; : : : ; s h+1 ); k lad ac, s 0 := m 0, s i := m 1 d 1 + P (m j m j 1 ) d j ; dla 1 6 i 6 h; oraz s h+1 := +1; 26j6i r = (r 0 ; : : : ; r h+1 ); k lad ac, r 0 := m 0, r i := s i d i ; dla 1 6 i 6 h; oraz r h+1 := +1; k lad ac, n i = d i d i+1 ; dla 1 6 i 6 h. n = (n 1 ; :::; n h );
7 Okreslamy rownie_z nast epuj, ace, pochodne ci agi, charakterystyczne: s = (s 0 ; : : : ; s h+1 ); k lad ac, s 0 := m 0, s i := m 1 d 1 + P (m j m j 1 ) d j ; dla 1 6 i 6 h; oraz s h+1 := +1; 26j6i r = (r 0 ; : : : ; r h+1 ); k lad ac, r 0 := m 0, r i := s i d i ; dla 1 6 i 6 h; oraz r h+1 := +1; k lad ac, n i = d i d i+1 ; dla 1 6 i 6 h. n = (n 1 ; :::; n h ); p Przy powy_zszych oznaczeniach b edziemy, mowic, _ze l f jest " charakterystyczny" b adz, _ze jest charakterystycznego stopnia", jesli " l = d j przy pewnym j 2 f1; :::; h + 1g:
Twierdzenie 2. [Abhyankar-Moh] Niech b, ed, a spe lnione Za lo_zenia Podstawowe. Jesli lp f jest charakterystyczny, tzn. l = di przy pewnym 1 6 i 6 h + 1, wtedy: 8
8 Twierdzenie 2. [Abhyankar-Moh] Niech b ed, a, spe lnione Za lo_zenia Podstawowe. Jesli lp f jest charakterystyczny, tzn. l = di przy pewnym 1 6 i 6 h + 1, wtedy: 1. lp f jest nierozk ladalnym elementem pierscienia K ((X)) [Y ],
8 Twierdzenie 2. [Abhyankar-Moh] Niech b ed, a, spe lnione Za lo_zenia Podstawowe. Jesli lp f jest charakterystyczny, tzn. l = di przy pewnym 1 6 i 6 h + 1, wtedy: 1. lp f jest nierozk ladalnym elementem pierscienia K ((X)) [Y ], 2. jesli 2 6 i 6 h + 1 to dla dowolnego pierwiastka Puiseux z(t) wielomianu l p f (t; Y ) istnieje " 2 Uk (K) taki, _ze ord t y ("t) z t k = m i,
8 Twierdzenie 2. [Abhyankar-Moh] Niech b ed, a, spe lnione Za lo_zenia Podstawowe. Jesli lp f jest charakterystyczny, tzn. l = di przy pewnym 1 6 i 6 h + 1, wtedy: 1. lp f jest nierozk ladalnym elementem pierscienia K ((X)) [Y ], 2. jesli 2 6 i 6 h + 1 to dla dowolnego pierwiastka Puiseux z(t) wielomianu l p f (t; Y ) istnieje " 2 Uk (K) taki, _ze ord t y ("t) z t k = m i, 3. p l ord t f t k ; y (t) = r i.
Wyniki i przyk lady. 9
9 Wyniki i przyk lady. Twierdzenie 3. Niech b ed, a, spe lnione Za lo_zenia Podstawowe. Jesli lp f jest niecharakterystyczny, tzn. l jest liczb a, naturaln a, tak a,, _ze ljk, l =2 fd 1 ; :::; d h+1 g, to przyjmuj ac, i := maxf1 6 j 6 h + 1 : ljd j g, mamy:
9 Wyniki i przyk lady. Twierdzenie 3. Niech b ed, a, spe lnione Za lo_zenia Podstawowe. Jesli lp f jest niecharakterystyczny, tzn. l jest liczb a, naturaln a, tak a,, _ze ljk, l =2 fd 1 ; :::; d h+1 g, to przyjmuj ac, i := maxf1 6 j 6 h + 1 : ljd j g, mamy: 1. punkt 1. twierdzenia 2 nie jest prawdziwy (poni_zej podamy stosowne przyk lady),
9 Wyniki i przyk lady. Twierdzenie 3. Niech b ed, a, spe lnione Za lo_zenia Podstawowe. Jesli lp f jest niecharakterystyczny, tzn. l jest liczb a, naturaln a, tak a,, _ze ljk, l =2 fd 1 ; :::; d h+1 g, to przyjmuj ac, i := maxf1 6 j 6 h + 1 : ljd j g, mamy: 1. punkt 1. twierdzenia 2 nie jest prawdziwy (poni_zej podamy stosowne przyk lady), 2. dla ka_zdego pierwiastka Puiseux z (t) wielomianu l p f (t; Y ) istnieje " 2 U k (K) taki, _ze ord t y ("t) z t k > m i,
9 Wyniki i przyk lady. Twierdzenie 3. Niech b ed, a, spe lnione Za lo_zenia Podstawowe. Jesli lp f jest niecharakterystyczny, tzn. l jest liczb a, naturaln a, tak a,, _ze ljk, l =2 fd 1 ; :::; d h+1 g, to przyjmuj ac, i := maxf1 6 j 6 h + 1 : ljd j g, mamy: 1. punkt 1. twierdzenia 2 nie jest prawdziwy (poni_zej podamy stosowne przyk lady), 2. dla ka_zdego pierwiastka Puiseux z (t) wielomianu l p f (t; Y ) istnieje " 2 U k (K) taki, _ze ord t y ("t) z t k > m i, 3. p l ord t f t k ; y (t) d i > r i l.
10
11 (Nie)rozk ladalnosc niecharakterystycznych pierwiastkw aproksymatywnych Przyk lad 2. X = t 48 ; Y = t 36 + t 6 + t 5 - parametryzacja
11 (Nie)rozk ladalnosc niecharakterystycznych pierwiastkw aproksymatywnych Przyk lad 2. X = t 48 ; Y = t 36 + t 6 + t 5 - parametryzacja f = Y 48 +a 1 (X)Y 47 +:::+a 48 (X) 2 C ((X)) [Y ] - nierozk ladalny i moniczny wielomian wi a_z, acy, t a, parametryzacj e,
11 (Nie)rozk ladalnosc niecharakterystycznych pierwiastkw aproksymatywnych Przyk lad 2. X = t 48 ; Y = t 36 + t 6 + t 5 - parametryzacja f = Y 48 +a 1 (X)Y 47 +:::+a 48 (X) 2 C ((X)) [Y ] - nierozk ladalny i moniczny wielomian wi a_z, acy, t a, parametryzacj e, Mo_zna sprawdzic, _ze dla l = 2, lp f = Y 24 + ::: rozszczepia si e, na trzy nierozk ladalne czynniki nad C ((X)) [Y ]: f = f 1 f 2 f 3,
11 (Nie)rozk ladalnosc niecharakterystycznych pierwiastkw aproksymatywnych Przyk lad 2. X = t 48 ; Y = t 36 + t 6 + t 5 - parametryzacja f = Y 48 +a 1 (X)Y 47 +:::+a 48 (X) 2 C ((X)) [Y ] - nierozk ladalny i moniczny wielomian wi a_z, acy, t a, parametryzacj e, Mo_zna sprawdzic, _ze dla l = 2, lp f = Y 24 + ::: rozszczepia si e, na trzy nierozk ladalne czynniki nad C ((X)) [Y ]: f = f 1 f 2 f 3, przy czym ka_zdy z nich ma pierwiastek Puiseux postaci t 3=4 + t 1=8 + o t 1=8 + sk ladniki wy _zszego rz edu:,
12 Ci ag, dalszy przyk ladu... X = t 48 ; Y = t 36 + t 6 + t 5 - rozwa_zana parametryzacja
12 Ci ag, dalszy przyk ladu... X = t 48 ; Y = t 36 + t 6 + t 5 - rozwa_zana parametryzacja Obserwacja: dzielnik l = 2 wydaje si, e byc bardzo " regularny", gdy_z tutaj d = (d 1 ; d 2 ; d 3 ; d 4 ) = (48; 12; 6; 1)
12 Ci ag, dalszy przyk ladu... X = t 48 ; Y = t 36 + t 6 + t 5 - rozwa_zana parametryzacja Obserwacja: dzielnik l = 2 wydaje si, e byc bardzo " regularny", gdy_z tutaj d = (d 1 ; d 2 ; d 3 ; d 4 ) = (48; 12; 6; 1) czyli d 4 = 1j2jd 3 = 6,
12 Ci ag, dalszy przyk ladu... X = t 48 ; Y = t 36 + t 6 + t 5 - rozwa_zana parametryzacja Obserwacja: dzielnik l = 2 wydaje si e, byc bardzo regularny", gdy_z tutaj " d = (d 1 ; d 2 ; d 3 ; d 4 ) = (48; 12; 6; 1) czyli d 4 = 1j2jd 3 = 6, a wi ec, mo_zna o niego uzupe lnic wyjsciowy ci ag, d bez zmiany innych wyrazow tego ci agu,, a pomimo to w lasnosc nierozk ladalnosci si e, nie zachowuje.
12 Ci ag, dalszy przyk ladu... X = t 48 ; Y = t 36 + t 6 + t 5 - rozwa_zana parametryzacja Obserwacja: dzielnik l = 2 wydaje si e, byc bardzo regularny", gdy_z tutaj " d = (d 1 ; d 2 ; d 3 ; d 4 ) = (48; 12; 6; 1) czyli d 4 = 1j2jd 3 = 6, a wi ec, mo_zna o niego uzupe lnic wyjsciowy ci ag, d bez zmiany innych wyrazow tego ci agu,, a pomimo to w lasnosc nierozk ladalnosci si e, nie zachowuje. Zauwa_zmy jednak, _ze nie mo_zna uzupe lnic" tej parametryzacji w taki " sposob, by uzyskac ci ag, podzielnikow charakterystycznych postaci d 0 = (48; 12; 6; 2; 1).
13 Przyk lad 3. Latwo jest rownie_z podac przyk lady id ace, w przeciwnym kierunku. X = t 18 ; Y = t 12 + t 2 + t 1 - parametryzacja
13 Przyk lad 3. Latwo jest rownie_z podac przyk lady id ace, w przeciwnym kierunku. X = t 18 ; Y = t 12 + t 2 + t 1 - parametryzacja f = Y 18 + ::: - minimalny wielomian moniczny tej parametryzacji
13 Przyk lad 3. Latwo jest rownie_z podac przyk lady id ace, w przeciwnym kierunku. X = t 18 ; Y = t 12 + t 2 + t 1 - parametryzacja f = Y 18 + ::: - minimalny wielomian moniczny tej parametryzacji l = 3
13 Przyk lad 3. Latwo jest rownie_z podac przyk lady id ace, w przeciwnym kierunku. X = t 18 ; Y = t 12 + t 2 + t 1 - parametryzacja f = Y 18 + ::: - minimalny wielomian moniczny tej parametryzacji l = 3 Mamy p l inco t f t 6 ; t 4 + Ut = 9U 2 6, co oznacza, _ze l p f jest nierozk ladalny.
14 p Twierdzenie 4. Niech b ed, a, spe lnione Za lo_zenia Podstawowe. Niech l f b edzie, niecharakterystyczny, tzn. l jest liczb a, naturaln a, tak a,, _ze ljk, l =2 fd 1 ; :::; d h+1 g. Przyjmijmy i := maxf1 6 j 6 h + 1 : ljd j g. Jesli l > d i+1, to:
14 p Twierdzenie 4. Niech b ed, a, spe lnione Za lo_zenia Podstawowe. Niech l f b edzie, niecharakterystyczny, tzn. l jest liczb a, naturaln a, tak a,, _ze ljk, l =2 fd 1 ; :::; d h+1 g. Przyjmijmy i := maxf1 6 j 6 h + 1 : ljd j g. Jesli l > d i+1, to: 2 0. dla ka_zdego pierwiastka Puiseux z (t) wielomianu l p f (t; Y ) istnieje " 2 U k (K) taki, _ze ord t y ("t) z t k = m i,
14 p Twierdzenie 4. Niech b ed, a, spe lnione Za lo_zenia Podstawowe. Niech l f b edzie, niecharakterystyczny, tzn. l jest liczb a, naturaln a, tak a,, _ze ljk, l =2 fd 1 ; :::; d h+1 g. Przyjmijmy i := maxf1 6 j 6 h + 1 : ljd j g. Jesli l > d i+1, to: 2 0. dla ka_zdego pierwiastka Puiseux z (t) wielomianu l p f (t; Y ) istnieje " 2 U k (K) taki, _ze ord t y ("t) z t k = m i, 3 0. p l ord t f t k ; y (t) d i = r i l.
15 Przyk lad 4. Niech X = t 18, Y = t 12 + at 3 + bt 1 ; gdzie a; b s a, zmiennymi nad C, i niech l = 2. Wtedy l = 2 < d i+1 = 3, wi ec, za lo_zenie twierdzenia 4 nie jest spe lnione.
15 Przyk lad 4. Niech X = t 18, Y = t 12 + at 3 + bt 1 ; gdzie a; b s a, zmiennymi nad C, i niech l = 2. Wtedy l = 2 < d i+1 = 3, wi ec, za lo_zenie twierdzenia 4 nie jest spe lnione. Pomimo tego p l inco t f t 6 ; t 4 + Zt 1 = 27=2 Z( 2Z 2 + 3a 2 ).
15 Przyk lad 4. Niech X = t 18, Y = t 12 + at 3 + bt 1 ; gdzie a; b s a, zmiennymi nad C, i niech l = 2. Wtedy l = 2 < d i+1 = 3, wi ec, za lo_zenie twierdzenia 4 nie jest spe lnione. Pomimo tego p l inco t f t 6 ; t 4 + Zt 1 = 27=2 Z( 2Z 2 + 3a 2 ). Wnioskujemy, _ze l p f ma dwa niesprz, e_zone pierwiastki Puiseux. Jeden z nich jest bardzo ciekawej postaci: z 1 (t) = t 2=3 + p 6=2 a t 1=6 + sk ladniki wy _zszego rzedu.
15 Przyk lad 4. Niech X = t 18, Y = t 12 + at 3 + bt 1 ; gdzie a; b s a, zmiennymi nad C, i niech l = 2. Wtedy l = 2 < d i+1 = 3, wi ec, za lo_zenie twierdzenia 4 nie jest spe lnione. Pomimo tego p l inco t f t 6 ; t 4 + Zt 1 = 27=2 Z( 2Z 2 + 3a 2 ). Wnioskujemy, _ze l p f ma dwa niesprz, e_zone pierwiastki Puiseux. Jeden z nich jest bardzo ciekawej postaci: z 1 (t) = t 2=3 + p 6=2 a t 1=6 + sk ladniki wy _zszego rzedu. Wobec y(t) = t 12 + at 3 + bt 18, mamy w konsekwencji info t y (t) z 1 t 18 = a (1 p 6=2)t 3 :
15 Przyk lad 4. Niech X = t 18, Y = t 12 + at 3 + bt 1 ; gdzie a; b s a, zmiennymi nad C, i niech l = 2. Wtedy l = 2 < d i+1 = 3, wi ec, za lo_zenie twierdzenia 4 nie jest spe lnione. Pomimo tego p l inco t f t 6 ; t 4 + Zt 1 = 27=2 Z( 2Z 2 + 3a 2 ). Wnioskujemy, _ze l p f ma dwa niesprz, e_zone pierwiastki Puiseux. Jeden z nich jest bardzo ciekawej postaci: z 1 (t) = t 2=3 + p 6=2 a t 1=6 + sk ladniki wy _zszego rzedu. Wobec y(t) = t 12 + at 3 + bt 18, mamy w konsekwencji info t y (t) z 1 t 18 = a (1 p 6=2)t 3 : Ponadto mamy tak_ze ord t lp f t 18 ; y (t) = r 2 d 2 l = 81, dla ka_zdego niezerowego a.
16 Problemy Problem 1. Czy mo_zna opuscic za lo_zenie l > d i+1 w twierdzeniu 4?
16 Problemy Problem 1. Czy mo_zna opuscic za lo_zenie l > d i+1 w twierdzeniu 4? Problem 2. Jesli lp f jest rozk ladalny w K ((X)) [Y ], to czy stopnie jego czynnikow dziel a, k?
16 Problemy Problem 1. Czy mo_zna opuscic za lo_zenie l > d i+1 w twierdzeniu 4? Problem 2. Jesli lp f jest rozk ladalny w K ((X)) [Y ], to czy stopnie jego czynnikow dziel a, k? Problem 3. Jak przeniesc powy_zsze rezultaty na przypadek rozk ladalnego wielomianu f?
16 Problemy Problem 1. Czy mo_zna opuscic za lo_zenie l > d i+1 w twierdzeniu 4? Problem 2. Jesli lp f jest rozk ladalny w K ((X)) [Y ], to czy stopnie jego czynnikow dziel a, k? Problem 3. Jak przeniesc powy_zsze rezultaty na przypadek rozk ladalnego wielomianu f? Problem 4. Czy dla dowolnego rozk ladalnego f 2 K ((X)) [Y ] istnieje nierozk ladalny F 2 K ((X)) [Y ] taki, _ze lp F = f dla pewnej liczby naturalnej lj deg Y F?
17 Literatura [A] Abhyankar, S. S. Expansion Techniques in Algebraic Geometry, Tata Institute of Fundamental Research, Bombay, 1977. [A-M 1] Abhyankar, S. S. & Moh, T. T. Newton-Puiseux expansion and generalized Tschirnhausen transformation I, II, J. reine angew. Math. 260, 47-83 and 261, 29-54 (1973). [A-M 2] Abhyankar, S. S. & Moh, T. T. Embeddings of the Line in the Plane, J. reine angew. Math. 276, 148-166 (1975). [G-P] Gwozdziewicz, J., P loski, A. On the approximate roots of polynomials, Annales Polonici Mathematici LX.3, 199-210 (1995) [M] Moh, T. T. On the Concept of Approximate Roots for Algebra, Journal of Algebra 65, 347-360 (1980).
18 [P1] P loski, A. Pierwiastki aproksymatywne wielomianow wed lug S. S. Abhyankara i T. T. Moha, Materia ly XIV Konferencji Szkoleniowej z Teorii Zagadnien Ekstremalnych, Wyd. U L., Lodz, 45-52 (1993). [P2] P loski, A. Twierdzenia podstawowe o pierwiastkach aproksymatywnych wielomianow, Materia ly XV Konferencji Szkoleniowej z Analizy i Geometrii Zespolonej, Wyd. U L., Lodz, 51-61 (1994). [S] Sathaye, A. Generalized Newton-Puiseux Expansions and Abhyankar-Moh Semigroup Theorem, Invent. math. 74, 149-157 (1983).