ALGEBRA Z GEOMETRIĄ PIERŚCIEŃ WIELOMIANÓW

Transkrypt

1 ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 PIERŚCIEŃ WIELOMIANÓW Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 6, Typeset by Jakub Szczepanik.

2 Plan 2/10 1 Co to są wielomiany i jak się je mnoży? 2 Co to jest stopień wielomianu i jak go używać? 3 Jak dzielić wielomian przez wielomian? 4 Czym się różnią wielomiany od funkcji wielomianowych? 5 Jak faktoryzować wielomian na prostsze wielomiany?

3 Wielomiany 3/10 Definition Pierścieniem wielomianowym nad pierścieniem R nazywamy pierścień monoidalny R[N], gdzie N jest monoidem liczb naturalnych ze względu na dodawanie. Elementy pierścienia wielomianów nazywamy wielomianami. Kluczowym wielomianem jest x R[N] zdefiniowany wzorem xm) := Obliczmy x n := x }... {{ x } ): n-razy x }... {{ x } )m) = n-razy m 1,..., m n N, m m n = m { 1 dla m = 1 0 dla m 1. xm 1 )... xm n ) = { 1 dla m = n 0 dla m n.

4 Ogólna postać wielomianu Naturalne jest oznaczenie przez x 0 elementu neutralnego ze względu na splatanie, bo wtedy { x 0 1 dla m = 0 m) = 0 dla m 0. Widać że α R[N] : α = n αk)x k, gdzie rβ)m) := rβm). n Istotnie, αk)x k) m) = n αk)x k m) = αm). Pierścień R jest podpierścieniem R[N] przez włożenie R r rx 0 R[N]. Element neutralny x 0 zazwyczaj oznaczamy przez 1, a R utożsamiamy z jego obrazem w R[N]. 4/10

5 Mnożenie wielomianów 5/10 Dwa dowolne wielomiany możemy wymnożyć w następująco: m ) n ) r k x k m n s l x l = r k x k) s l x l) l=0 = = = l=0 m n l=0 m n l=0 m+n N N=0 r k s l x k x l ) r k s l x k+l r k s N k ) x N. Dla N = m + n suma N r k s N k ma tylko jeden element, bo tylko dla k = m indeks przy r jest m i indeks przy s jest n. Zatem współczynnik przy najwyższej potędze x to r m s n.

6 Stopień wielomianu Definition Stopniem wielomianu nazywamy odwzorowanie R[N] \ {0} r k x k deg max{k N r k 0} N. k N Jeśli R nie ma dzielników zera, tzn. xy = 0 x = 0 lub y = 0), to stopień wielomianu zadaje homomorfizm monoidów: deg1) = 0 oraz α, β R[N] \ {0} : degα β) = deg α + deg β. Istotnie, m ) n )) deg r k x k m+n N ) ) s l x l = deg r k s N k x N l=0 N=0 m ) n ) = m + n = deg r k x k + deg s l x l. l=0 6/10

7 Dzielenie wielomianów 7/10 Theorem o dzieleniu wielomianów) Niech R będzie pierścieniem bez dzielników zera, β R[N] \ {0}. Załóżmy że r R : β degβ)) r = 1 = rβ degβ)). Wtedy α R[N]! γ, δ) R[N] 2 : ) α = β γ + δ i δ = 0 lub degδ) < degβ). Dowód: Zauważmy najpierw że, dzięki brakowi dzielników zera, jeżeli γ 0, to β γ 0 oraz degβ γ) = degβ) + degγ) degβ) > degδ). Stąd β γ + δ 0 oraz degβ γ + δ) = degβ) + degγ). Zatem, jeżeli α = 0, jedynym rozwiązaniem równania α = β γ + δ jest γ = 0, δ = 0. Podobnie, jeżeli degβ) > degα), to jedynym rozwiązaniem równania α = β γ + δ jest γ = 0, δ = α. Załóżmy teraz że α 0 i degα) degβ). Niech α 1 := α β βdegβ)) 1 αdegα))x degα) degβ)).

8 Ewaluacja wielomianu Wtedy α = β βdegβ)) 1 αdegα))x degα) degβ)) + α 1 oraz degα1 ) < degα) lub α 1 = 0 ). Po skończonej ilości iteracji tej procedury otrzymamy α k = β βdegβ)) 1 α k degα k ))x degα k) degβ) ) + α k+1, degβ) degα k ) oraz degα k+1 ) < degβ) lub α k+1 = 0 ). Podstawiając do wzoru na α wszystkie pozostałe wzory otrzymujemy α = β γ + α k+1. Udowadnia to istnienie rozwiązania. Jedyność wynika z braku dzielników zera. Istotnie, niech β γ + δ = β γ + δ. Wtedy β γ γ ) = δ δ. Zatem, jeżeli γ γ, to degβ) degβ) + degγ γ ) = degδ δ), co nie jest możliwe. Dlatego γ = γ, skąd δ = δ. Ewaluacją w r R nazywamy odwzorowanie n n ) R[N] r k x k ev r evr r k x k := n r k r k R. Jeśli R jest przemienny, to ev r jest homomorfizmem pierścieni. 8/10

9 Funkcje wielomianowe Definition Funkcją wielomianową f α wielomianu α R[N] nazywamy odwzorowanie R r f α r) := ev r α) R. Definition Pierścieniem całkowitym dziedziną całkowitą) nazywamy przemienny pierścień bez dzielników zera. Theorem Jeśli R jest nieskończonym pierścieniem całkowitym, to odwzorowanie R[N] α f α MapR, R) jest injektywnym homomorfizmem pierścieni. 1 Pierścień R[N] jest całkowity R jest całkowity. 2 Jeśli R jest przemienny, to R[N] α f α MapR, R) jest homomorfizmem pierścieni. 3 Jeśli R jest niezerowym skończonym pierścieniem, to R[N] α f α MapR, R) nie jest injekcją, bo R[N] jest zbiorem nieskończonym a MapR, R) skończonym. 9/10

10 Dowód: Niech r 1,..., r n będą różnymi pierwiastkami α. Całkowitość R implikuje faktoryzację α = β x r 1 )... x r n ). Teraz ze wzoru degβ γ) = degβ) + degγ) mamy n degα). 10/10 Definition Pierwiastki i faktoryzacja Pierwiastkiem α R[N] nazywamy r R f α r) = 0. Theorem Dla dowolnego pierścienia R, jeśli r R jest pierwiastkiem α R[N], to β R[N] : α = β x r). Dowód: Niech α =: n m=0 α m x m. Zauważmy że m 1 ) m N \ {0, 1} : x m r m = r k x m 1 k x r). Zatem α = α f α r) = n m=0 α m x m r m ) = β x r). Corollary Jeśli R jest pierścieniem całkowitym i α R[N] \ {0}, to α może mieć co najwyżej degα) różnych pierwiastków.