RUGOWNIK SYLVESTERA I JAKOBIAN
|
|
- Anna Górska
- 4 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 RUGOWNIK SYLVESTERA I JAKOBIAN Arkadiusz P loski (Kielce) Pojecie rugownika należy do algebry klasycznej W ostatnich latach w zwiazku ze wzrostem znaczenia metod efektywnych algebry ukaza lo sie wiele podreczników i artyku lów poświeconych temu pojeciu Jednak nie wszystkie użyteczne w lasności rugownika sa dostatecznie znane: do nich należy formu la dla rugownika jako jakobianu pewnego ciagu wielomianów Celem tego artyku lu jest przypomnienie tej formu ly należacej do Nasha (por [8], str 412) i zastosowanie jej do dowodu lematu Hensela (por [6], Rozdzia l I i [9]) Klasyczny wyk lad w lasności rugownika Czytelnik znajdzie w podreczniku A Mostowskiego i M Starka [7] Wiele interesujacych twierdzeń o rugowniku można znaleźć w podrecznikach [2] oraz [3] gdzie mimo encyklopedycznego charakteru tych ksiażek zwiazek z jakobianem nie jest wspomniany Z nowszych artyku lów o rugowniku cytujemy [4], autorzy podaja tam jawny opis jednomianów wystepuj acych w rugowniku Szereg zastosowań tytu lowego pojecia Czytelnik znajdzie w artyku lach [10, 11, 12] 1 Rugownik Niech m > 0 i n > 0 bed a liczbami ca lkowitymi Ustalmy dwa ciagi zmiennych A = (A 0,, A n ), B = (B0,, B m ) i rozważmy wielomiany jednej zmiennej X o ogólnych wspó lczynnikach F ( A, X) = A 0 X n + A 1 X n A n oraz G( B, X) = B 0 X m +B 1 X m 1 + +B m Sa to elementy pierścienia Z[ A, B][X] W pierścieniu tym rozważamy ciag wielomianów P 0 (X) = X m 1 F (X), P 1 (X) = X m 2 F (X),, P m 1 (X) = F (X), P m (X) = X n 1 G(X), P m+1 (X) = X n 2 G(X),, P m+n 1 (X) = G(X) Napiszmy P i (X) = c i0 ( A, B)X m+n 1 + c i1 ( A, B)X m+n c i,m+n 1 ( A, B)X m+n 1 dla i = 0, 1,, m + n 1 i rozważmy macierz SY L( A, B) = [c ij ( A, B)] i=0,1,,m+n 1 j=0,1,,m+n 1 Macierz wyżej zdefiniowana nazywamy macierza Sylvestera Pierwsze m wierszy macierzy Sylvestera zawiera ciag A 0,, A n oraz zera, ostatnie n wierszy tej macierzy zawiera ciag B 0,, B m oraz zera Rugownikiem Sylvestera (dalej krótko: rugownikiem) nazywamy wyznacznik R( A, B) = det SY L( A, B) Z[ A, B] PRZYK LAD Niech n = 3 i m = 2 Wówczas F ( A, X) = A 0 X 3 + A 1 X 2 + A 2 X + A 3, G( B, X) = B 0 X 2 + B 1 X + B 2 Mamy 1
2 a wi ec XF ( A, X) = A 0 X 4 + A 1 X 3 + A 2 X 2 + A 3 X + 0 F ( A, X) = 0 X 4 + A 0 X 3 + A 1 X 2 + A 2 X + A 3 X 2 G( B, X) = B 0 X 4 + B 1 X 3 + B 2 X X + 0 XG( B, X) = 0 X 4 + B 0 X 3 + B 1 X 2 + B 2 X + 0 G( B, X) = 0 X X 3 + B 0 X 2 + B 1 X + B 2 R( A, B) = A 0 A 1 A 2 A A 0 A 1 A 2 A 3 B 0 B 1 B B 0 B 1 B B 0 B 1 B 2 Przypomnijmy podstawowa w lasność rugownika W lasność 1 Niech K bedzie cia lem i niech a = (a 0,, a n ) K n+1 i b = (b 0,, b m ) K m+1 bed a takimi ciagami, że a 0 0 lub b 0 0 Wtedy wielomiany F ( a, X), G( b, X) K[X] maja wspólny dzielnik dodatniego stopnia wtedy i tylko wtedy, gdy R( a, b) = 0 Dowód Wprost z definicji rugownika wynika, że warunek R( a, b) = 0 zachodzi dok ladnie wtedy, gdy ciag wielomianów X m 1 F ( a, X),, F ( a, X), X n 1 G( b, X),, G( b, X) jest liniowo zależny nad cia lem K Oznacza to, że istnieja Φ(X), Ψ(X) K[X] nie równe jednocześnie zero takie, że Φ(X)F ( a, X) = Ψ(X)G( b, X) przy czym obie strony równości sa stopnia m + n 1 Jest to równoważne z istnieniem wspólnego podzielnika dodatniego stopnia wielomianów F ( a, X), G( b, X) (por [7], Lemat na stronie 103) 2 Rugownik i jakobian Zatrzymujemy oznaczenia wprowadzone wyżej Rozważmy tożsamość (1) F ( A, X)G( B, X) = = Q 0 ( A, B)X m+n + Q 1 ( A, B)X m+n Q m+n ( A, B) w pierścieniu Z[ A, B][X] Jest wi ec Q 0 ( A, B) = A 0 B 0, Q 1 ( A, B) = A 0 B 1 + A 1 B 0,, Q m+n ( A, B) = A n B m Mamy W lasność 2 (21) SY L( A, B) = J(Q1,, Qm+n) J(B 1,,B m,a 1,,A n), (22) R( A, B) = ( 1) mn det J(Q1,, Qm+n) J(A 1,,A n,b 1,,B m) (macierz Jacobiego wielomianów Q 1,, Q m+n ), 2
3 Dowód Różniczkujac tożsamość (1) wzgledem zmiennych B 1,, B m, A 1,, A n otrzymujemy (2) X m 1 F ( A, X) = Q1 B 1 B 1 B 1 F ( A, X) = Q1 B m B m B m X n 1 G( B, X) = Q1 A 1 A 1 A 1 G( B, X) = Q1 A n A n A n W lasność (21) wynika bezpośrednio z formu l (2) i definicji macierzy Sylvestera W lasność (22) otrzymujemy z w lasności (21) 3 Lemat Hensela Niech k[[ X]] bedzie pierścieniem szeregów formalnych p zmiennych X = (X 1,, X p ) o wspó lczynnikach w ciele k Rozważmy ciag P = (P 1,, P q ) (k[[ X]][Y ]) q wielomianów zmiennych Y = (Y 1,, Y q ) i niech c = (c 1,, c q ) k q Mamy nastepuj ace Twierdzenie o funkcjach uwik lanych Za lóżmy, że P (0, c) = 0 oraz det J(P1,,Pq) J(Y 1,,Y q) (0, c) 0 Wtedy istnieje jedyny ciag szeregów potegowych C( X) = (C 1 ( X),, C q ( X)) taki, że C( 0) = c oraz P ( X, C( X)) = 0 Twierdzenie powyższe jest natychmiastowym wnioskiem z twierdzenia o szeregach uwik lanych (por [5], Twierdzenie 71, gdzie autorzy rozważaja szeregi o wspó lczynnikach rzeczywistych Podany tam dowód przenosi sie bez zmian na przypadek dowolnego cia la) Stosujac formu l e Nasha (22) i podane wyżej twierdzenie udowodnimy s lynny Lemat Hensela Niech F ( X, Y ) = c 0 ( X)Y N + c 1 ( X)Y N c N ( X) k[[ X]][Y ] bedzie wielomianem stopnia N > 1 Zak ladamy, że istnieja ciagi (a 1,, a n ) k n i (b 1,, b m ) k m n, m > 0, m + n = N takie, że (α) F ( 0, Y ) = ( ) ( ) c 0 (0)Y n + a 1 Y n a n Y m + b 1 Y m b m jest rozk ladem wielomianu F ( 0, Y ) na czynniki wzglednie pierwsze Wówczas istnieje jedyny rozk lad postaci (β) F ( X, ( Y ) = c 0 ( X)Y n + a 1 ( X)Y n a n ( X) ) ( Y m + b 1 ( X)Y m b m ( X) ) w k[[ X]][Y ] taki, że a i (0) = a i dla i = 1,, n oraz b j (0) = b j dla j = 1,, m Dowód Nawiazuj ac do oznaczeń wprowadzonych w 1 tego artyku lu oznaczmy A = (A 1,, A n ), B = (B 1,, B m ) oraz a = (a 1,, a n ) i b = (b 1,, b m ) 3
4 Rozważmy wielomiany (3) q i ( X, A, B ) = Q i (c 0 ( X), A, 1, B ) k[[ X]][ A, B ] dla i = 1, 2,, m + n Z (1) otrzymujemy ( c 0 ( X)Y n + A 1 Y n A n ) (Y m + B 1 Y m B m ) = (4) = c 0 ( X)Y m+n + q 1 ( X, A, B )Y m+n q m+n ( X, A, B ) a z w lasności Nasha (22) (5) det J(q 1,, q m+n ) J(A 1,, A n, B 1,, B m ) ( X, A, B ) = ( 1) mn R(c 0 ( X), A, 1, B ) Podstawienie elementów 0 k p, a k n i b k m na miejsce zmiennych X, A, B w formule (4) i za lożenie (α) implikuja (6) q i ( 0, a, b ) = c i ( 0) dla i = 1,, m + n To samo podstawienie i formu la (5) pokazuje, że (7) det J(q 1,, q m+n ) J(A 1,, A n, B 1,, B m ) ( 0, a, b ) = ( 1) mn R(c 0 ( 0), a, 1, b ) Oznaczmy teraz p i ( X, A, B ) = q i ( X, A, B ) c i ( X) dla i = 1,, m + n Jest wi ec na mocy (6) i (7): (8) p i ( 0, a, b ) = 0 dla i = 1,, m + n oraz det J(p 1,, p m+n ) J(A 1,, A n, B 1,, B m ) ( 0, a, b ) 0 gdyż R(c 0 ( 0), a, b ) jako rugownik wzglednie pierwszych wielomianów c 0 ( 0)Y n + a 1 Y n a n i Y m + b 1 Y m b m jest 0 Stosujac twierdzenie o funkcjach uwik lanych do ciagu p = (p 1,, p m+n ) i punktu ( 0, a, b ) stwierdzamy, że istnieje jedyny ciag (a 1 ( X),, a n ( X), b 1 ( X),, b m ( X)) k[[ X]] m+n taki, że (a 1 ( 0),, a n ( 0), b 1 ( 0),, b m ( 0)) = (a 1,, a n, b 1,, b m ) oraz p( X, a 1 ( X),, a n ( X), b 1 ( X),, b m ( X)) = 0 w k[[ X]] m+n Warunki te a równoważne warunkom (β) co dowodzi lematu Hensela s Uwagi 1) W podanym przez nas dowodzie lematu Hensela pierścień szeregów formalnych k[[ X]] można zastapić przez dowolny pierścień lokalny A, w którym prawdziwe jest twierdzenie o funkcjach uwik lanych w cytowanej przez nas formie W szczególności lemat Hensela prawdziwy jest dla pierścienia k{ X} zbieżnych szeregów o wspó lczynnikach w ciele z waluacja zupe lna k 4
5 2) Wyprowadzenie lematu Hensela z użyciem formu ly Nasha dla rugownika pojawia si e w pracach [6, 9] Najbardziej popularny dowód lematu Hensela w geometrii analitycznej opiera si e na twierdzeniu przygotowawczym Weierstrassa (por [1] i [5]) Dowód ten jest krótki w przypadku gdy cia lo k jest algebraicznie domkni ete, przypadek dowolnego cia la k wymaga dodatkowych rozważań 3) M Nagata wprowadzi l na poczatku lat 50-tych minionego wieku pojecie pierścienia Hensela jako pierścienia lokalnego, w którym prawdziwy jest lemat Hensela Pojecie to studiowane by lo przez wielu autorów i dzisiaj umieszczane jest w kursach algebry przemiennej Dobre wprowadzenie do przedmiotu Czytelnik znajdzie w monografii [6] 4) Cz esto lemat Hensela jest formu lowany w s labszej formie: dla wielomianów unormowanych Jednak przedstawiona w tym artykule mocniejsza postać pozwala na porównanie lematu Hensela z twierdzeniem przygotowawczym Weierstrassa (por wniosek z lematu Hensela podany niżej) Przypomnijmy, że wielomianem wyróżnionym stopnia m > 0 nazywamy wielomian postaci Y m + b 1 ( X)Y m b m ( X) k[[ X]] taki, że b 1 ( 0) = = b m ( 0) = 0 Wniosek (Twierdzenie przygotowawcze dla wielomianów) Niech F ( X, Y ) = c 0 ( X)Y N + c 1 ( X)Y N c N ( X) k[[ X]][Y ] bedzie wielomianem stopnia N takim, że rzad m = ord F ( 0, Y ) jest dodatni i skończony Wtedy F ( X, Y ) = U( X, Y )W ( X, Y ) w k[[ X]][Y ] gdzie U( 0, 0) 0 zaś W ( X, Y ) jest wielomianem wyróżnionym (koniecznie stopnia m) Para U, W jest jedyna Dowód Gdy m = N wniosek jest trywialny, za lóżmy wiec, że m < N Mamy zatem F ( 0, Y ) = c 0 ( 0)Y N + c 1 ( 0)Y N c N m ( 0)Y m = (c 0 ( 0)Y N m + c 1 ( 0)Y N m 1 + +c N m ( 0))Y m i istnienie rozk ladu wynika z lematu Hensela bo c N m ( 0) 0 na mocy definicji liczby m Aby sprawdzić jednoznaczność za lóżmy, że F = UW w k[[ X]][Y ] gdzie U( 0, 0) 0 oraz W jest wielomianem wyróżnionym Jest zatem U( 0, Y ) = c 0 ( 0)Y N m + c 1 ( 0)Y N m c N m ( 0) i W ( 0, Y ) = Y m a wiec jedyność pary U, W wynika z jednoznaczności w lemacie Hensela Oczywiście powyższy wniosek prawdziwy jest także dla szeregów zbieżnych i ogólnie dla wielomianów zmiennej Y o wspó lczynnikach w pierścieniu lokalnym, w którym prawdziwe jest twierdzenie o funkcjach uwik lanych Literatura [1] S S Abhyankar, Local Analytic Geometry, Academic Press 1964, [2], Lectures on Algebra, vol I, World Scientific 2006, [3] F Apèry, J P Jouanolou, Élimination Le cas d une variable, Hermann 2007, [4] I M Gelfand, M M Kapranov and A V Zelevinsky, Newton Polytopes of the Classical Resultant and Discriminant, Advances in Math 84 (1990), , 5
6 [5] St Lojasiewicz, J Stasica, Analiza formalna i funkcje analityczne, Wydawnictwo Uniwersytetu Jagiellońskiego 2005, [6] J S Milne, Étale Cohomology, Princeton 1980, [7] A Mostowski i M Stark, Elementy algebry wyższej, Warszawa 1965, [8] J Nash, Real Algebraic Manifolds, Annals of Math vol 56, No 3, November 1952, [9] A P loski, Remarque sur le lemme de Hensel, Bull Acad Polon Sci Sér Sci Math 28 (1980), n o 3-4, , [10], Teoria eliminacji i niezmienniki algebraiczne, I Konferencja Zastosowań Niezmienników Algebraicznych, Warszawa, listopada 1994, str 21-30, [11], Efektywne Twierdzenie o Zerach, Materia ly XVIII Konferencji Szkoleniowej z Geometrii Analitycznej i Algebraicznej, Lódź 1997, str 45-51, [12], Wstep do lokalnej teorii krzywych algebraicznych, Materia ly na XXVIII Konferencje Szkoleniowa z Geometrii Analitycznej i Algebraicznej Zespolonej, Lódź 2007, str SYLVESTER RESULTANT AND JACOBIAN Summary For any integers n > 0 and m > 0 we take interminates A = (A 0,, A n ), B = (B0,, B m ) and X and let R( A, B) be the Sylvester resultant of the polynomials F (X) = A 0 X n + A 1 X n A n and G(X) = B 0 X m + B 1 X m B m Let F (X)G(X) = Q 0 ( A, B)X m+n + Q 1 ( A, B)X m+n Q m+n ( A, B) in Z[ A, B][X] In this article we recall that R( A, B) = ( 1) mn J(Q1,, Qm+n) det J(A 1,,A n,b 1,,B m) (see J Nash, Annals of Math vol 56, No 3, November 1952, page 412) Then using the above formula and the Implicit Function Theorem we prove Hensel s lemma for polynomials with coefficients in the formal (convergent) power series rings 6
Wyk lad 12. (ii) najstarszy wspó lczynnik wielomianu f jest elementem odwracalnym w P. Dowód. Niech st(f) = n i niech a bedzie
1 Dzielenie wielomianów Wyk lad 12 Ważne pierścienie Definicja 12.1. Niech P bedzie pierścieniem, który może nie być dziedzina ca lkowitości. Powiemy, że w pierścieniu P [x] jest wykonalne dzielenie z
Bardziej szczegółowoWyk lad 11 1 Wektory i wartości w lasne
Wyk lad 11 Wektory i wartości w lasne 1 Wektory i wartości w lasne Niech V bedzie przestrzenia liniowa nad cia lem K Każde przekszta lcenie liniowe f : V V nazywamy endomorfizmem liniowym przestrzeni V
Bardziej szczegółowoWyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste
Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste 1 Konstrukcja pierścienia wielomianów Niech P bedzie dowolnym pierścieniem, w którym 0 1. Oznaczmy przez P [x] zbiór wszystkich nieskończonych ciagów o wszystkich
Bardziej szczegółowoWYK LAD 2: PODSTAWOWE STRUKTURY ALGEBRAICZNE, PIERWIASTKI WIELOMIANÓW, ROZK LAD FUNKCJI WYMIERNEJ NA U LAMKI PROSTE
WYK LAD 2: PODSTAWOWE STRUKTURY ALGEBRAICZNE, PIERWIASTKI WIELOMIANÓW, ROZK LAD FUNKCJI WYMIERNEJ NA U LAMKI PROSTE Definicja 1 Algebra abstrakcyjna nazywamy teorie, której przedmiotem sa dzia lania na
Bardziej szczegółowoWyk lad 14 Formy kwadratowe I
Wyk lad 14 Formy kwadratowe I Wielomian n-zmiennych x 1,, x n postaci n a ij x i x j, (1) gdzie a ij R oraz a ij = a ji dla wszystkich i, j = 1,, n nazywamy forma kwadratowa n-zmiennych Forme (1) można
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera
Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera Określenie podpierścienia Definicja 9.. Podpierścieniem pierścienia (P, +,, 0, ) nazywamy taki podzbiór A P, który jest pierścieniem ze wzgledu
Bardziej szczegółowoWyk lad 8 macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego
Wyk lad 8 Rzad macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego 1 Określenie rz edu macierzy Niech A bedzie m n - macierza Wówczas wiersze macierzy A możemy w naturalny sposób traktować jako wektory przestrzeni
Bardziej szczegółowoWyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera
Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera 1 Odwracanie macierzy I n jest elementem neutralnym mnożenia macierzy w zbiorze M n (R) tzn A I n I n A A dla dowolnej macierzy A M n (R) Ponadto z twierdzenia
Bardziej szczegółowoWyk lad 14 Cia la i ich w lasności
Wyk lad 4 Cia la i ich w lasności Charakterystyka cia la Określenie cia la i w lasności dzia lań w ciele y ly omówione na algerze liniowej. Stosujac terminologie z teorii pierścieni możemy powiedzieć,
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Operacje elementarne na uk ladach wektorów Niech α 1,..., α n bed dowolnymi wektorami przestrzeni liniowej V nad cia lem K. Wyróżniamy nastepuj ace operacje
Bardziej szczegółowoWyk lad 4 Warstwy, dzielniki normalne
Wyk lad 4 Warstwy, dzielniki normalne 1 Warstwy grupy wzgl edem podgrupy Niech H bedzie podgrupa grupy (G,, e). W zbiorze G wprowadzamy relacje l oraz r przyjmujac, że dla dowolnych a, b G: a l b a 1 b
Bardziej szczegółowo13. Cia la. Rozszerzenia cia l.
59 13. Cia la. Rozszerzenia cia l. Z rozważań poprzedniego paragrafu wynika, że jeżeli wielomian f o wspó lczynnikach w ciele K jest nierozk ladalny, to pierścień ilorazowy K[X]/(f) jest cia lem zawieraja
Bardziej szczegółowoRozdzia l 11. Przestrzenie Euklidesowe Definicja, iloczyn skalarny i norma. iloczynem skalarnym.
Rozdzia l 11 Przestrzenie Euklidesowe 11.1 Definicja, iloczyn skalarny i norma Definicja 11.1 Przestrzenia Euklidesowa nazywamy par e { X K,ϕ }, gdzie X K jest przestrzenia liniowa nad K, a ϕ forma dwuliniowa
Bardziej szczegółowoWyk lad 5 W lasności wyznaczników. Macierz odwrotna
Wyk lad 5 W lasności wyznaczników Macierz odwrotna 1 Operacje elementarne na macierzach Bardzo ważne znaczenie w algebrze liniowej odgrywaja tzw operacje elementarne na wierszach lub kolumnach macierzy
Bardziej szczegółowoGrupy i cia la, liczby zespolone
Rozdzia l 1 Grupy i cia la, liczby zespolone Dla ustalenia uwagi, b edziemy używać nast epuj acych oznaczeń: N = { 1, 2, 3,... } - liczby naturalne, Z = { 0, ±1, ±2,... } - liczby ca lkowite, W = { m n
Bardziej szczegółowoIndeks odwzorowania zmiennej zespolonej wzgl. krzywej zamknietej
Indeks odwzorowania zmiennej zespolonej wzgl edem krzywej zamkni etej 1. Liczby zespolone - konstrukcja Hamiltona 2. Homotopia odwzorowań na okr egu 3. Indeks odwzorowania ciag lego wzgledem krzywej zamknietej
Bardziej szczegółowoP (x, y) + Q(x, y)y = 0. g lym w obszrze G R n+1. Funkcje. zania uk ladu (1) o wykresie przebiegaja
19. O ca lkach pierwszych W paragrafie 6 przy badaniu rozwia zań równania P (x, y) + Q(x, y)y = 0 wprowadzono poje cie ca lki równania, podano pewne kryteria na wyznaczanie ca lek równania. Znajomość ca
Bardziej szczegółowoWyk lad 7 Metoda eliminacji Gaussa. Wzory Cramera
Wyk lad 7 Metoda eliminacji Gaussa Wzory Cramera Metoda eliminacji Gaussa Metoda eliminacji Gaussa polega na znalezieniu dla danego uk ladu a x + a 2 x 2 + + a n x n = b a 2 x + a 22 x 2 + + a 2n x n =
Bardziej szczegółowoWyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Baza przestrzeni liniowej Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Powiemy, że podzbiór X V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeśli X jest zbiorem
Bardziej szczegółowoCia la i wielomiany Javier de Lucas
Cia la i wielomiany Javier de Lucas Ćwiczenie 1. Za lóż, że (F, +,, 1, 0) jest cia lem i α, β F. w laściwości s a prawd a? Które z nastȩpuj acych 1. 0 α = 0. 2. ( 1) α = α. 3. Każdy element zbioru F ma
Bardziej szczegółowoWyk lad 4 Dzia lania na macierzach. Określenie wyznacznika
Wyk lad 4 Dzia lania na macierzach Określenie wyznacznika 1 Określenie macierzy Niech K bedzie dowolnym cia lem oraz niech n i m bed a dowolnymi liczbami naturalnymi Prostokatn a tablice a 11 a 12 a 1n
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 9 Baza i wymiar liniowej Baza liniowej Niech V bedzie nad cia lem K Powiemy, że zbiór wektorów {α,, α n } jest baza V, jeżeli wektory α,, α n sa liniowo niezależne oraz generuja V tzn V = L(α,,
Bardziej szczegółowoWyk lad 2 Podgrupa grupy
Wyk lad 2 Podgrupa grupy Definicja 2.1. Pod grupy (G,, e) nazywamy taki podzbiór H G, że e H, h 1 H dla każdego h H oraz h 1 h 2 H dla dowolnych h 1, h 2 H. Jeśli H jest grupy G, to bedziemy pisali H G.
Bardziej szczegółowoWyk lad 6 Podprzestrzenie przestrzeni liniowych
Wyk lad 6 Podprzestrzenie przestrzeni liniowych 1 Określenie podprzestrzeni Definicja 6.1. Niepusty podzbiór V 1 V nazywamy podprzestrzeni przestrzeni liniowej V, jeśli ma on nastepuj ace w lasności: (I)
Bardziej szczegółowoSterowalność liniowych uk ladów sterowania
Sterowalność liniowych uk ladów sterowania W zadaniach sterowania docelowego należy przeprowadzić obiekt opisywany za pomoc a równania stanu z zadanego stanu pocz atkowego ẋ(t) = f(x(t), u(t), t), t [t,
Bardziej szczegółowoRACHUNEK OPERATOROWY MIKUSIŃSKIEGO I JEGO ZASTOSOWANIE DO RÓWNAŃ
RACHUNEK OPERATOROWY MIKUSIŃSKIEGO I JEGO ZASTOSOWANIE DO RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH Tomasz Kochanek 1 Twierdzenie Titchmarsha Symbolem C[, ) oznaczać bedziemy przestrzeń wszystkich zespolonych funkcji ciag
Bardziej szczegółowog liczb rzeczywistych (a n ) spe lnia warunek
. Czy jest prawda, że a) R y R z R y + yz + = 0 ; b) R y R z R y + yz + 0 ; c) R y R z R y + yz + = 0 ; d) R y R z R y + yz + 0? 2. Czy jest prawdziwa nierówność a) ctg > ; b) tg < cos ; c) cos < sin ;
Bardziej szczegółowoFormy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2017
Formy kwadratowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2017 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2017 1 / 10 Definicja Funkcja
Bardziej szczegółowoPierwiastki aproksymatywne. niecharakterystyczne. S. Brzostowski
1 Pierwiastki aproksymatywne niecharakterystyczne S. Brzostowski Denicja pierwiastka aproksymatywnego. 2 2 Denicja pierwiastka aproksymatywnego. Denicja 1. R - pierscien przemienny z 1, f 2 R[Y ] - wielomian
Bardziej szczegółowoDziedziny Euklidesowe
Dziedziny Euklidesowe 1.1. Definicja. Dziedzina Euklidesowa nazywamy pare (R, v), gdzie R jest dziedzina ca lkowitości a v : R \ {0} N {0} funkcja zwana waluacja, która spe lnia naste ce warunki: 1. dla
Bardziej szczegółowoA. Strojnowski - Twierdzenie Jordana 1
A Strojnowski - Twierdzenie Jordana 1 Zadanie 1 Niech f b edzie endomorfizmem skończenie wymiarowej przestrzeni V nad cia lem charakterystyki różnej od 2 takim, że M(f) nie jest diagonalizowalna ale M(f
Bardziej szczegółowoRachunek zdań - semantyka. Wartościowanie. ezyków formalnych. Semantyka j. Logika obliczeniowa. Joanna Józefowska. Poznań, rok akademicki 2009/2010
Logika obliczeniowa Instytut Informatyki Poznań, rok akademicki 2009/2010 1 formu l rachunku zdań Wartościowanie i sta le logiczne Logiczna równoważność 2 Model formu ly Formu la spe lniona Formu la spe
Bardziej szczegółowoWyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm
Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm 1 Grupa ilorazowa Niech H b edzie dzielnikiem normalnym grupy G. Oznaczmy przez G/H zbiór wszystkich warstw lewostronnych grupy G wzgl edem podgrupy
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Przekszta lcenia liniowe i ich zastosowania
Wyk lad 9 Przekszta lcenia liniowe i ich zastosowania 1 Przekszta lcenia liniowe i ich w lasności Definicja 9.1. Niech V i W bed przestrzeniami liniowymi. Przekszta lcenie f : V W spe lniajace warunki:
Bardziej szczegółowoUproszczony dowod twierdzenia Fredricksona-Maiorany
Uproszczony dowod twierdzenia Fredricksona-Maiorany W. Rytter Dla uproszczenia rozważamy tylko teksty binarne. S lowa Lyndona sa zwartymi reprezentacjami liniowymi s lów cyklicznych. Dla s lowa x niech
Bardziej szczegółowoWyk lad 11 Przekszta lcenia liniowe a macierze
Wyk lad 11 Przekszta lcenia liniowe a macierze 1 Izomorfizm przestrzeni L(V ; W ) i M m n (R) Twierdzenie 111 Niech V i W bed a przestrzeniami liniowymi o bazach uporzadkowanych (α 1,, α n ) i (β 1,, β
Bardziej szczegółowow teorii funkcji. Dwa s lynne problemy. Micha l Jasiczak
Równania różniczkowe czastkowe w teorii funkcji. Dwa s lynne problemy. Micha l Jasiczak Horyzonty 2014 Podstawowy obiekt wyk ladu: funkcje holomorficzne wielu zmiennych Temat: dwa problemy, których znane
Bardziej szczegółowoPierścień wielomianów jednej zmiennej
Rozdział 1 Pierścień wielomianów jednej zmiennej 1.1 Definicja pierścienia wielomianów jednej zmiennej Definicja 1.1 Niech P będzie dowolnym pierścieniem. Ciąg nieskończony (a 0, a 1,..., a n,...) elementów
Bardziej szczegółowoEkonomia matematyczna i dynamiczna optymalizacja
Ekonomia matematyczna i dynamiczna optymalizacja Ramy wyk ladu i podstawowe narz edzia matematyczne SGH Semestr letni 2012-13 Uk lady dynamiczne Rozwiazanie modelu dynamicznego bardzo czesto można zapisać
Bardziej szczegółowoRozdzia l 10. Najważniejsze normalne logiki modalne
Rozdzia l 10. Najważniejsze normalne logiki modalne 1. Logiki modalne normalne Definicja. Inwariantny zbiór formu l X jȩzyka modalnego L = (L,,,,, ) nazywamy logik a modaln a zbazowan a na logice klasycznej
Bardziej szczegółowoWyk lad 1 Podstawowe struktury algebraiczne
Wyk lad 1 Podstawowe struktury algebraiczne 1 Dzia lanie w zbiorze Majac dane dowolne dwa przedmioty a b możemy z nich utworzyć pare uporzadkowan a (a b) o poprzedniku a i nastepniku b. Warunek na równość
Bardziej szczegółowo1 Przestrzenie unitarne i przestrzenie Hilberta.
Przestrzenie unitarne i przestrzenie Hilberta.. Wykazać, że iloczyn skalarny w przestrzeni wektorowej X nad cia lem K ma nastepuj ace w lasności: (i) x, y + z = x, y + x, z, (ii) x, λy = λ x, y, (iii)
Bardziej szczegółowo25 lutego 2013, godzina 23: 57 strona 1. P. Urzyczyn: Materia ly do wyk ladu z semantyki. Logika Hoare a
25 lutego 2013, godzina 23: 57 strona 1 P. Urzyczyn: Materia ly do wyk ladu z semantyki Logika Hoare a Rozważamy najprostszy model imperatywnego jezyka programowania z jednym typem danych. Wartości tego
Bardziej szczegółowoNiezb. ednik matematyczny. Niezb. ednik matematyczny
Niezb ednik matematyczny Niezb ednik matematyczny Liczby zespolone I Rozważmy zbiór R R (zbiór par liczb rzeczywistych) i wprowadźmy w nim nastepuj ace dzia lania: z 1 + z 2 = (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 )
Bardziej szczegółowoCO TO SĄ BAZY GRÖBNERA?
CO TO SĄ BAZY GRÖBNERA? Wykład habilitacyjny, Toruń UMK, 5 czerwca 1995 roku Andrzej Nowicki W. Gröbner, 1899-1980, Austria. B. Buchberger, Austria. H. Hironaka, Japonia (medal Fieldsa). Bazy, o których
Bardziej szczegółowoWyk lad 10 Przestrzeń przekszta lceń liniowych
Wyk lad 10 Przestrzeń przekszta lceń liniowych 1 Określenie przestrzeni przekszta lceń liniowych Niech V i W bed a przestrzeniami liniowymi Oznaczmy przez L(V ; W ) zbór wszystkich przekszta lceń liniowych
Bardziej szczegółowoElementy logiki i teorii mnogości Wyk lad 1: Rachunek zdań
Elementy logiki i teorii mnogości Wyk lad 1: Rachunek zdań Micha l Ziembowski m.ziembowski@mini.pw.edu.pl www.mini.pw.edu.pl/ ziembowskim/ October 2, 2016 M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii
Bardziej szczegółowoAlgebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, cz
Algebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, cz eść druga Anna Romanowska 22 października 2015 Pierścienie i cia la.1 Idea ly i pierścienie ilorazowe Definicja.11. Pierścień, w którym wszystkie idea ly
Bardziej szczegółowoFormy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2009
Formy kwadratowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2009 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2009 1 / 15 Definicja Niech V, W,
Bardziej szczegółowoFUNKCJE LICZBOWE. x 1
FUNKCJE LICZBOWE Zbiory postaci {x R: x a}, {x R: x a}, {x R: x < a}, {x R: x > a} oznaczane sa symbolami (,a], [a, ), (,a) i (a, ). Nazywamy pó lprostymi domknie tymi lub otwartymi o końcu a. Symbol odczytujemy
Bardziej szczegółowoWykład 14. Elementy algebry macierzy
Wykład 14 Elementy algebry macierzy dr Mariusz Grządziel 26 stycznia 2009 Układ równań z dwoma niewiadomymi Rozważmy układ równań z dwoma niewiadomymi: a 11 x + a 12 y = h 1 a 21 x + a 22 y = h 2 a 11,
Bardziej szczegółowoVI. Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów
VI. 1. Równanie różniczkowe liniowe n-tego rzędu o zmiennych współczynnikach Niech podobnie jak w poprzednim paragrafie K = C lub K = R. Podobnie jak w dziedzinie rzeczywistej wprowadzamy pochodne wyższych
Bardziej szczegółowoWNIOSKOWANIE W MODELU REGRESJI LINIOWEJ
WNIOSKOWANIE W MODELU REGRESJI LINIOWEJ Dana jest populacja generalna, w której dwuwymiarowa cecha (zmienna losowa) (X, Y ) ma pewien dwuwymiarowy rozk lad. Miara korelacji liniowej dla zmiennych (X, Y
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie wektorowe, liniowa niezależność Javier de Lucas
Przestrzenie wektorowe, liniowa niezależność Javier de Lucas Ćwiczenie 1. W literaturze można znaleźć pojȩcia przestrzeni liniowej i przestrzeni wektorowej. Obie rzeczy maj a tak a sam a znaczenie. Nastȩpuj
Bardziej szczegółowoTeoria miary WPPT IIr. semestr zimowy 2009 Wyk lady 6 i 7. Mierzalność w sensie Carathéodory ego Miara Lebesgue a na prostej
Teoria miary WPPT IIr. semestr zimowy 2009 Wyk lady 6 i 7. Mierzalność w sensie Carathéodory ego Miara Lebesgue a na prostej 27-28/10/09 ZBIORY MIERZALNE WZGLȨDEM MIARY ZEWNȨTRZNEJ Niech µ bȩdzie miar
Bardziej szczegółowoZadania o liczbach zespolonych
Zadania o liczbach zespolonych Zadanie 1. Znaleźć takie liczby rzeczywiste a i b, aby zachodzi ly równości: a) a( + i) + b(4 i) 6 i, b) a( + i) + b( + i) 8i, c) a(4 i) + b(1 + i) 7 1i, ( ) a d) i + b +i
Bardziej szczegółowoTeoria rugownika i wyróżnik ciała. Projekt zaliczeniowy: Algebraiczna Teoria Liczb I
Teoria rugownika i wyróżnik ciała. Projekt zaliczeniowy: Algebraiczna Teoria Liczb I Bazyli Klockiewicz 22 czerwca 2014 1 Rugownik pary wielomianów oraz wyróżnik wielomianu. Poniższe stwierdzenia opisują
Bardziej szczegółowoWersja testu D 14 września 2011 r. 1. Czy prawda jest, że a) x Z y Z y 2 = 2 ; b) x Z y Z x 2 = 1 ; c) x Z y Z x 2 = 2 ; d) x Z y Z y 2 = 1?
1. Czy prawda jest, że a) x Z y Z y 2 = 2 ; b) x Z y Z x 2 = 1 ; c) x Z y Z x 2 = 2 ; d) x Z y Z y 2 = 1? 2. Czy prawda jest, że a) 5 8 1 jest podzielne przez 4 ; b) 5 7 1 jest podzielne przez 4 ; c) 3
Bardziej szczegółowoOSOBNO ANALITYCZNYCH
Uniwersytet Jagielloński Instytut Matematyki Zbigniew B locki ZBIORY OSOBLIWOŚCI FUNKCJI OSOBNO ANALITYCZNYCH Praca magisterska Promotor: Prof. dr hab. Józef Siciak Kraków 99 .Wstȩp. Jeśli Ω jest zbiorem
Bardziej szczegółowoWyk lad 3 Wyznaczniki
1 Określenie wyznacznika Wyk lad 3 Wyznaczniki Niech A bedzie macierza kwadratowa stopnia n > 1 i niech i, j bed a liczbami naturalnymi n Symbolem A ij oznaczać bedziemy macierz kwadratowa stopnia n 1
Bardziej szczegółowoRozdzia l 3. Relacje binarne
Rozdzia l 3. Relacje binarne 1. Para uporz adkowana. Produkt kartezjański dwóch zbiorów Dla pary zbiorów {x, y} zachodzi, jak latwo sprawdzić, równość {x, y} = {y, x}. To znaczy, kolejność wymienienia
Bardziej szczegółowoUdowodnimy najpierw, że,,dla dostatecznie dużych x liczby a k x k i a 0 + a 1 x + + a k x k maja ten sam znak. a k
WIELOMIANY STOPNIA WYŻSZEGO NIŻ DWA Przypominamy, że wielomianem k tego stopnia nazywamy funkcje f postaci f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + + a k x k, gdzie wspó lczynnik a k jest liczba różna od 0. Piszemy
Bardziej szczegółowodr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;
Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia
Bardziej szczegółowoPokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem
Zestaw zadań 9: Przestrzenie wektorowe. Podprzestrzenie () Wykazać, że V = C ze zwykłym dodawaniem jako dodawaniem wektorów i operacją mnożenia przez skalar : C C C, (z, v) z v := z v jest przestrzenią
Bardziej szczegółowoPierścienie grupowe wyk lad 3. lewych podmodu lów prostych. Ogólniej, aby roz lożyć dany pierścień na sume. prosta
Pierścienie rupowe wyk lad 3 Już wiemy, że alebre rupowa CG skończonej rupy G można roz lożyć na sume lewych podmodu lów prostych Oólniej, aby roz lożyć dany pierścień na sume prosta jeo dwóch podmodu
Bardziej szczegółowoProstota grup A n. Pokażemy, że grupy A n sa. proste dla n 5. Dowód jest indukcyjny i poprzedzimy go lematem.
Prostota grup A n. Pokażemy, że grupy A n sa proste dla n 5. Dowód jest indukcyjny i poprzedzimy go lematem. 1 2 0. Twierdzenie Schura Zassenhausa W tym rozdziale zajmiemy sie bardzo użytecznym twierdzeniem,
Bardziej szczegółowoPODSTAWOWE W LASNOŚCI W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH
PODSTAWOWE W LASNOŚCI DZIA LAŃ I NIERÓWNOŚCI W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH W dalszym cia gu be dziemy zajmować sie g lównie w lasnościami liczb rzeczywistych, funkcjami określonymi na zbiorach z lożonych
Bardziej szczegółowoc n (z z 0 ) n (2) Powiemy, że szereg Laurenta (2) jest zbieżny, jeśli każdy z szeregów zdefiniowanych w (1) jest f(z). Sume
Szeregi Laurenta, punkty osobliwe izolowane, klasyfikacja funkcji ze wzgl edu na osobliwości Dane s dwa szeregi postaci c n (z z 0 ) n i c n (z z 0 ) n. (1) n=1 1 Pierwszy z tych szeregów jest zbieżny
Bardziej szczegółowoWYK LAD 5: GEOMETRIA ANALITYCZNA W R 3, PROSTA I P LASZCZYZNA W PRZESTRZENI R 3
WYK LAD 5: GEOMETRIA ANALITYCZNA W R 3, PROSTA I P LASZCZYZNA W PRZESTRZENI R 3 Definicja 1 Przestrzenia R 3 nazywamy zbiór uporzadkowanych trójek (x, y, z), czyli R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} Przestrzeń
Bardziej szczegółowoFunkcje analityczne. Wykład 1. Co to są i do czego służą funkcje analityczne? Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017)
Funkcje analityczne Wykład 1. Co to są i do czego służą funkcje analityczne? Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017) Paweł Mleczko Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu 1. Sprawy organizacyjne
Bardziej szczegółowoVII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.
VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. W rozdziale tym zajmiemy się dokładniej badaniem stabilności rozwiązań równania różniczkowego. Pojęcie stabilności w
Bardziej szczegółowo1 Elementy logiki i teorii mnogości
1 Elementy logiki i teorii mnogości 11 Elementy logiki Notatki do wykładu Definicja Zdaniem logicznym nazywamy zdanie oznajmujące, któremu przysługuje jedna z dwu logicznych ocen prawda (1) albo fałsz
Bardziej szczegółowoPOCHODNA KIERUNKOWA. DEFINICJA Jeśli istnieje granica lim. to granica ta nazywa siȩ pochodn a kierunkow a funkcji f(m) w kierunku osi l i oznaczamy
POCHODNA KIERUNKOWA Pochodne cz astkowe funkcji f(m) = f(x, y, z) wzglȩdem x, wzglȩdem y i wzglȩdem z wyrażaj a prȩdkość zmiany funkcji w kierunku osi wspó lrzȩdnych; np. f x jest prȩdkości a zmiany funkcji
Bardziej szczegółowoP. Urzyczyn: Materia ly do wyk ladu z semantyki. Uproszczony 1 j. ezyk PCF
29 kwietnia 2013, godzina 23: 56 strona 1 P. Urzyczyn: Materia ly do wyk ladu z semantyki Uproszczony 1 j ezyk PCF Sk ladnia: Poniżej Γ oznacza otoczenie typowe, czyli zbiór deklaracji postaci (x : τ).
Bardziej szczegółowoZastosowania wyznaczników
Zastosowania wyznaczników Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 7.wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2012 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2012 1 / 17
Bardziej szczegółowoWyk lad 13 Funkcjona ly dwuliniowe
1 Izomorfizmy kanoniczne Wyk lad 13 Funkcjona ly dwuliniowe Definicja 13.1. Niech V i W bed przestrzeniami liniowymi. Funkcje ξ : V W R nazywamy funkcjona lem dwuliniowym, jeżeli i a,b R α,β V γ W ξa α
Bardziej szczegółowoRozdzia l 10. Formy dwuliniowe i kwadratowe Formy dwuliniowe Definicja i przyk lady
Rozdzia l 10 Formy dwuliniowe i kwadratowe 10.1 Formy dwuliniowe 10.1.1 Definicja i przyk lady Niech X K b edzie przestrzenia liniowa nad cia lem K, dim(x K ) = n. Definicja 10.1 Przekszta lcenie ϕ : X
Bardziej szczegółowoProcesy Stochastyczne - Zestaw 1
Procesy Stochastyczne - Zestaw 1 Zadanie 1 Niech ξ i η bed a niezależnymi zmiennymi losowymi o rozk ladach N (0, 1). Niech X = ξ +η i Y = ξ η. Znaleźć rozk lad (X, Y ) i rozk lad warunkowy L X ( Y ). Zadanie
Bardziej szczegółowoAproksymacja. j<k. L 2 p[a, b] l 2 p,n X = Lemat 1. Wielomiany ortogonalne P 0,P 1,...,P n tworza przestrzeni liniowej Π n. Dowód.
Metody numeryczne Paweł Zieliński p. 1/19 Lemat 1. Wielomiany ortogonalne P 0,P 1,...,P n tworza bazę przestrzeni liniowej Π n. Dowód. Lemat 2. Dowolny wielomian Q j stopnia j niższego od k jest prostopadły
Bardziej szczegółowoStatystyka w analizie i planowaniu eksperymentu
29 marca 2011 Przestrzeń statystyczna - podstawowe zadania statystyki Zdarzeniom losowym określonym na pewnej przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω można zazwyczaj na wiele różnych sposobów przypisać jakieś
Bardziej szczegółowo(α + β) a = α a + β a α (a + b) = α a + α b (α β) a = α (β a). Definicja 4.1 Zbiór X z dzia laniami o wyżej wymienionych w lasnościach
Rozdzia l 4 Przestrzenie liniowe 4.1 Przestrzenie i podprzestrzenie 4.1.1 Definicja i podstawowe w lasności Niech X z dzia laniem dodawania + b edzie grupa przemienna (abelowa). Oznaczmy przez 0 element
Bardziej szczegółowoWyk lad 5. Natalia Nehrebecka Stanis law Cichocki. 7 listopada 2015
Wyk lad 5 Natalia Nehrebecka Stanis law Cichocki 7 listopada 2015 N. Nehrebecka Plan zaj eć 1 Sprowadzenie modelu nieliniowego do liniowego 2 w modelu liniowym Elastyczność w modelu logliniowym Semielastyczność
Bardziej szczegółowoz n n=1 S n nazywamy sum a szeregu. Szereg, który nie jest zbieżny, nazywamy rozbieżnym. n=1
3 Szeregi zespolone 3. Szeregi liczbowe Mówimy, że szereg o wyrazach zespolonych jest zbieżny, jeżeli ci ag jego sum czȩściowych {S n }, gdzie S n = z + z +... + jest zbieżny do granicy w laściwej. Granicȩ
Bardziej szczegółowoStatystyka w analizie i planowaniu eksperymentu
31 marca 2014 Przestrzeń statystyczna - podstawowe zadania statystyki Zdarzeniom losowym określonym na pewnej przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω można zazwyczaj na wiele różnych sposobów przypisać jakieś
Bardziej szczegółowoPEWNE ZASTOSOWANIA TEORII DYSTRYBUCJI I RACHUNKU OPERATOROWEGO W TEORII RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH
PEWNE ZASTOSOWANIA TEORII DYSTRYBUCJI I RACHUNKU OPERATOROWEGO W TEORII RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH WŁADYSŁAW KIERAT Oliver Heaviside w latach 1893-1899 opublikował trzytomową monografię: Elektromagnetic Theory,
Bardziej szczegółowoAlgebra i jej zastosowania ćwiczenia
Algebra i jej zastosowania ćwiczenia 14 stycznia 2013 1 Kraty 1. Pokazać, że każda klasa kongruencji kraty (K, +, ) jest podkrata kraty (K, +, ). 2. Znaleźć wszystkie kongruencje kraty 2 3, gdzie 2 jest
Bardziej szczegółowoSTYSTYSTYKA dla ZOM II dr inż Krzysztof Bryś Wykad 1
1 STYSTYSTYKA dla ZOM II dr inż Krzysztof Bryś Wykad 1 Klasyczny Rachunek Prawdopodobieństwa. 1. Pojȩcia wstȩpne. Doświadczeniem losowym nazywamy doświadczenie, którego wynik nie jest znany. Posiadamy
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa z geometrią. wykład I
Algebra liniowa z geometrią wykład I 1 Oznaczenia N zbiór liczb naturalnych, tutaj zaczynających się od 1 Z zbiór liczb całkowitych Q zbiór liczb wymiernych R zbiór liczb rzeczywistych C zbiór liczb zespolonych
Bardziej szczegółowoFormy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2011
Formy kwadratowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2011 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2011 1 / 16 Definicja Niech V,
Bardziej szczegółowoDiagonalizacja macierzy i jej zastosowania
Diagonalizacja macierzy i jej zastosowania Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 9. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2011 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień
Bardziej szczegółowo1. Zadania z Algebry I
1 Zadania z Algebry I Z 11 Znaleźć podgrupy grup Z 12, Z 8, D 6 i D 12 i narysować graf zawierań mie dzy nimi Z 12 Niech Q 8 := j, k GL(2, C), gdzie j, k sa macierzami: j = ( ) i 0 0 i k = ( 0 ) 1 1 0
Bardziej szczegółowoKryptografia - zastosowanie krzywych eliptycznych
Kryptografia - zastosowanie krzywych eliptycznych 24 marca 2011 Niech F będzie ciałem doskonałym (tzn. każde rozszerzenie algebraiczne ciała F jest rozdzielcze lub równoważnie, monomorfizm Frobeniusa jest
Bardziej szczegółowoAM1.2 zadania 14. Zadania z numerami opatrzonymi gwiazdka
AM.2 zadania 4 Tekst poprawiony 24 kwietnia 206 r. Zadania 26, 28, 29, 3, 33, 34, 35, 36, 40, 42, 62 i inne z wykrzyknikiem obok numeru sa obowiazkowe! Zadania z numerami opatrzonymi gwiazdka można napisać
Bardziej szczegółowoAlgebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, czȩść druga
Algebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, czȩść druga Anna Romanowska January 29, 2016 4 Kraty i algebry Boole a 41 Kraty zupe lne Definicja 411 Zbiór uporza dkowany (P, ) nazywamy krata zupe lna,
Bardziej szczegółowo1 Formy hermitowskie. GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie. Paweł Bechler
GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie Wersja z dnia 23 stycznia 2014 Paweł Bechler 1 Formy hermitowskie Niech X oznacza przestrzeń liniową nad ciałem K. Definicja 1. Funkcję φ : X X K nazywamy
Bardziej szczegółowoNormy wektorów i macierzy
Rozdzia l 3 Normy wektorów i macierzy W tym rozdziale zak ladamy, że K C. 3.1 Ogólna definicja normy Niech ψ : K m,n [0, + ) b edzie przekszta lceniem spe lniaj acym warunki: (i) A K m,n ψ(a) = 0 A = 0,
Bardziej szczegółowo1 Określenie pierścienia
1 Określenie pierścienia Definicja 1. Niech P będzie zbiorem, w którym określone są działania +, (dodawanie i mnożenie). Mówimy, że struktura (P, +, ) jest pierścieniem, jeżeli spełnione są następujące
Bardziej szczegółowoZagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego. Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka
Zagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka Ogólne zagadnienie PL Znajdź taki wektor X = (x 1, x 2,..., x n ), który minimalizuje kombinacje liniow a przy ograniczeniach
Bardziej szczegółowoWielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria
Wielomiany dr Tadeusz Werbiński Teoria Na początku przypomnimy kilka szkolnych definicji i twierdzeń dotyczących wielomianów. Autorzy podręczników szkolnych podają różne definicje wielomianu - dla jednych
Bardziej szczegółowoAnaliza dla informatyków 1 DANI LI1 Pawe l Domański szkicowe notatki do wyk ladu
Analiza dla informatyków 1 DANI LI1 Pawe l Domański szkicowe notatki do wyk ladu Wyk lad 4 1. Zbiory otwarte i domkniȩte Pojȩcia które teraz wprowadzimy można rozpatrywać w każdej przestrzeni metrycznej
Bardziej szczegółowo