f x f x(x, y) (1.1) f(x, y, z) = xyz (1.5)

Podobne dokumenty
Matematyka z el. statystyki, # 4 /Geodezja i kartografia I/

Analiza Matematyczna MAEW101 MAP1067

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,

Funkcje dwóch zmiennych

1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia

Rachunek różniczkowy funkcji dwóch zmiennych

Wykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu r

I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji.

Rachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n

1 Pochodne wyższych rzędów

FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH

8. Funkcje wielu zmiennych - pochodne cząstkowe

y(t) = y 0 + R sin t, t R. z(t) = h 2π t

1 Funkcje elementarne

Funkcje dwóch zmiennych

Pochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji.

Funkcje wielu zmiennych

Całki krzywoliniowe. SNM - Elementy analizy wektorowej - 1

Analiza Matematyczna MAEW101 MAP1067

Analiza matematyczna i algebra liniowa Pochodna funkcji

RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych. Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych

y f x 0 f x 0 x x 0 x 0 lim 0 h f x 0 lim x x0 - o ile ta granica właściwa istnieje. f x x2 Definicja pochodnych jednostronnych

Funkcje dwóch zmiennych, pochodne cząstkowe

Analiza Matematyczna MAEW101

1 Równania różniczkowe zwyczajne

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1

5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego

II. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH

Opracowanie: mgr Jerzy Pietraszko

Funkcje wielu zmiennych (wykład 14; )

Zadania z analizy matematycznej - sem. II Całki nieoznaczone

1 Funkcja wykładnicza i logarytm

Wykład 15. Matematyka 3, semestr zimowy 2011/ listopada 2011

Wykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem. 3. CAŁKA POTRÓJNA

Tekst na niebiesko jest komentarzem lub treścią zadania b; stąd b = (6 π 3)/12. 3 Wzór stycznej: 2 x + 6 π

Pochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych

WYDZIAŁ INFORMATYKI I ZARZĄDZANIA, studia niestacjonarne ANALIZA MATEMATYCZNA1, lista zadań 1

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki nieoznaczone

Blok V: Ciągi. Różniczkowanie i całkowanie. c) c n = 1 ( 1)n n. d) a n = 1 3, a n+1 = 3 n a n. e) a 1 = 1, a n+1 = a n + ( 1) n

AB = x a + yb y a + zb z a 1

III. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE

Funkcje wielu zmiennych

3. Funkcje wielu zmiennych

Funkcje wielu zmiennych

Funkcje Andrzej Musielak 1. Funkcje

Elementy rachunku różniczkowego i całkowego

1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji.

Granica funkcji wykład 4

Pochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do rachunku błędów pomiarowych

Analiza Matematyczna MAEW101

Wykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne.

Pochodne. Zbigniew Koza. Wydział Fizyki i Astronomii

Matematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 12

22 Pochodna funkcji definicja

1 Funkcja wykładnicza i logarytm

Obliczanie pochodnej funkcji. Podstawowe wzory i twierdzenia. Autorzy: Tomasz Zabawa

Matematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 9

1 Równania różniczkowe drugiego rzędu

Zastosowania pochodnych

1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną?

Analiza matematyczna 2 zadania z odpowiedziami

22. CAŁKA KRZYWOLINIOWA SKIEROWANA

Równania różniczkowe zwyczajne

Kurs wyrównawczy - teoria funkcji holomorficznych

ANALIZA MATEMATYCZNA 2 zadania z odpowiedziami

Informacja o przestrzeniach Hilberta

ANALIZA MATEMATYCZNA 1

Pochodna funkcji c.d.-wykład 5 ( ) Funkcja logistyczna

Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji

1 Całki funkcji wymiernych

ANALIZA MATEMATYCZNA 1

DEFINICJA. E-podręcznik pod redakcją: Vsevolod Vladimirov Autor: Tomasz Zabawa

Wykład VI. Badanie przebiegu funkcji. 2. A - przedział otwarty, f D 2 (A) 3. Ekstrema lokalne: 4. Punkty przegięcia. Uwaga!

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji, przebieg zmienności funkcji

Granice funkcji-pojęcie pochodnej

6. Całka nieoznaczona

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE. Wiele obiektywnych prawidłowości przyrodniczych udaje się zapisać w postaci równości formalnej

12. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH. z = x + y jest R 2, natomiast jej

Funkcja f jest ograniczona, jeśli jest ona ograniczona z

f(x + x) f(x) . x Pochodne ważniejszych funkcji elementarnych (c) = 0 (x α ) = αx α 1, gdzie α R \ Z (sin x) = cos x (cos x) = sin x

Wykład 3 Równania rózniczkowe cd

Wykład z analizy. Tydzień 10 i 11. Różniczkowanie funkcji wielu zmiennych

Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz

3. Znaleźć długość krzywej l = {y = x, 0 x 1}. 4. Obliczyć objętość bryły powstałej w wyniku obrotu dookoła osi OX krzywej

Wykład 10: Całka nieoznaczona

1 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych

METODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE W INŻYNIERII CHEMICZNEJ

Materiały do ćwiczeń z matematyki. 3 Rachunek różniczkowy funkcji rzeczywistych jednej zmiennej

ELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji:

Wykłady 11 i 12: Całka oznaczona

MATEMATYKA I SEMESTR WSPIZ (PwZ) 1. Ciągi liczbowe

Wykład 11. Informatyka Stosowana. Magdalena Alama-Bućko. 18 grudnia Magdalena Alama-Bućko Wykład grudnia / 22

Wykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady

24. CAŁKA POWIERZCHNIOWA ZORIENTOWANA

ELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji:

Procesy stochastyczne 2.

5. Całka nieoznaczona

Funkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa.

ANALIZA MATEMATYCZNA 2

Transkrypt:

1 Pochodne cząstkowo Pochodną cząstkową funkcji dwóch zmiennych z = f(x, y) względem zmiennej x oznaczamy i definiujemy jako granicę f(x + h, y) f(x, y) lim h 0 h natomiast pochodną cząstkową względem zmiennej y definiujemy f x(x, y) (1.1) f(x, y + h) f(x, y) lim h 0 h i oznaczamy y f y(x, y) (1.4) Analogicznie definiujemy pochodne cząstkowe funkcji wielu zmiennych. W praktyce obliczenie pochodnych cząstkowych sprowadza się do obliczenie pochodnej względem jakiejś zmiennej i potraktowania innych zmiennych jako stałe. (1.2) (1.3) Zadanie 1. Oblicz pochodne cząstkowe funkcji f(x, y, z) = xyz (1.5) Licząc pochodną cząstkową względem zmiennej x, taktujemy zmienne y i z jako stałe, czyli można powiedzieć, że rozważamy funkcję postaci f(x) = ax, gdzie a = yz jest stałe. Stąd = xyz = 1 yz (1.6) analogicznie postępujemy z pozostałymi zmiennymi i pochodnym cząstkowymi y = xz, z Zadanie 2. Oblicz pochodne cząstkowe funkcji = xy (1.7) f(x, y) = x y (1.8) f(x, y) = sin( x y ) (1.9) f(x, y, z) = tan(x) arcsin(xy) ln(xyz) (1.10) f(x, y, z) = e x sin(yz) + z y 3x (1.11) f(x, y, z) = x yz (1.12) 1

f(x, y, z) = arctan(ln(x + yz))e y x (1.13) f(x, y, z) = a x ln(xy) e z (1.14) (1.8) liczymy pochodną po jako pochodną typu xa, czyli traktujemy y jako stałą, więc = yxy 1 (1.15) pochodna po y to natomiast pochodna funkcji wykładniczej o podstawie x, więc y = xy ln x (1.16) Kolejny przykład (1.9) to funkcja złożona, dla pochodnej po x mamy funkcję typu sin ax natomiast dla pochodnej po y mamy funkcję typu sin a y, więc oraz = a cos ax = 1 y cos x y (1.17) y = a cos a y ( 1 y 2 ) = x y 2 cos(x y ) (1.18) Przykład (1.10) będzie trzeba traktować jako iloczyn funkcji. W przypadku zmiennej x mamy sytuację tan(x) arcsin(xa) ln(xb) (1.19) więc czyli = 1 tan arcsin(ax) ln(xb) + cos 2 x = arcsin(xy) ln(xyz) cos 2 x Pochodna cząstkowa po y to natomiast x 1 (ax) + b a ln(xb) + tan x arcsin(ax) 2 xb y tan x ln(xyz) 1 x2 y 2 y = tan ln(xyz)x x( 1 x2 y + arcsin(xy) ) 2 y + tan x arcsin(xy) x (1.20) (1.21) (1.22) pochodna po z to pochodna funkcji typu a ln(bz) czyli z = tan x arcsin(xy)1 z (1.23) 2

Przykład (1.11) to w pierwszym przypadku = aeax + c( 3) ln zz 3x = sin(yz)e x sin(yz) 3z y z 3x ln z (1.24) po y mamy y = cos(yz)xzex sin(yz) + z y 3x ln z (1.25) po z z = xy cos(yz)ex sin(yz) + (y 3x)z y 3x 1 (1.26) Przykład (1.11). Dla zmiennej x jest to funkcja typu x a, więc = yz x yz 1 (1.27) dla y jest to funkcja złożona. Złożenie funkcji a y i funkcji y b, czyli y Pochodna po z jest to funkcja złożona typu a g(z). Czyli = ln x xyz y z 1 z (1.28) z = ln a ag(z) g z = ln a ag(z) ln y y z = ln x ln y x yz y z (1.29) W następnych przykładach postępujemy tak samo. 2 Różniczki Różniczką funkcji f(x) nazywamy zmianę funkcji względem zmian zmiennej niezależnej. Oznaczamy ją jako f = df x (2.1) dx gdy przechodzimy do infinitezymalnych przyrostów nasza definicja zamienia się df = f dx (2.2) Zadanie 3. Oblicz różniczkę funkcji f(x) = sin x. Zgodnie z naszym wzorem df = cos xdx (2.3) 3

Zadanie 4. Oszacuj wielkość (2.01) 3 + e 2.01. Jest to funkcja typu f(x) = x 3 + e x. Żeby oszacować powyższe wyrażenie korzystamy ze wzoru f(x + dx) f(x) + df (2.4) Pochodna funkcji f(x) to wartość funkcji w punkcie x = 2 to f = 3x 2 + e x (2.5) 2 3 + e 2 8 + 7.39 = 15.39 (2.6) Natomiast część z różniczki w punkcie x = 2 o przyroście dx = 0.01 to 3 (2) 2 0.01 + e 2 0.01 12 0.01 + 7.38 0.01 0.12 + 0.07 = 0.19 (2.7) więc z dokładnością do dwóch liczb po przecinku mamy Zadanie 5. Oszacuj wielkość (2.01) 3 + e 2.01 = 15.39 + 0.19 15.58 (2.8) z = 4.02 (2.9) z = log 2 2.02 (2.10) W pierwszym przykładzie mamy funkcję typu x. Pochodna więc tej funkcji to Czyli z = 1 1 (2.11) 2 x 1 4.02 4 + 2 0.02 = 2 + 0.005 = 2.005 (2.12) 4 W drugim przykładzie mamy funkcję f = log 2 x,, stąd 2.1 Różniczka zupełna log 2 (2.02) log 2 2 + 1 2 ln 2 0.02 1 + 1 0.02 1.014 (2.13) 2 0.69 Różniczkę zupełną dla funkcji f(x, y, z) definiujemy jako df = dx + y dy + dz (2.14) z 4

Zadanie 6. Oblicz różniczkę zupełną funkcji F F (x 1, x 2,..., x n ) = x 1 + x 2 +... + x n (2.15) F (x, y, z) = x 2 y 2 z (2.16) F (x, y, z) = sin(xy ) z y (2.17) W pierwszym przypadku jest to funkcja, która jest kombinacją liniową funkcji jednej zmiennej postaci f(x) = x, więc różniczka zupełna sprowadzi się do n df = dx i (2.18) i=1 W drugim przypadku musimy policzyć pochodne cząstkowe, które wynoszą odpowiednio stąd = 2xy2 z, y = 2x2 yz, z = x2 y 2 (2.19) df = 2xy 2 zdx + 2x 2 yzdy + x 2 y 2 dz (2.20) Ostatni przykład ma bardziej skomplikowane pochodne cząstkowe. Pochdona po x to po y po z = cos xy z y yx y 1 (2.21) y = cos xy ln xx y z y ln zz y sin x y z 2y = z y x y ln x cos(x y ) z y sin x y ln z (2.22) czyli różniczka zupełna jest postaci df = z = y sin(xy ) (2.23) z y 1 cos xy yx y 1 dx + (z y x y ln x cos(x y ) z y sin x y ln z)dy y sin(xy ) dz (2.24) z y zy 1 Zadanie 7. Oblicz przybliżoną wartość wyrażenia (2.01) 3 (3.03)(4.02) 2. Jest to wyrażenie postaci x 3 yz 2. Stąd wystarczy policzyć różniczkę zupełną i dodać do funkcji w punktach x = 2, y = 3, z = 4. Więc stąd df = 3x 2 yz 2 dx + x 3 z 2 dy + 2x 3 yzdz (2.25) (2.01) 3 (3.03)(4.02) 2 8 3 16 + 3 4 3 16 0.01 + 8 16 0.03 + 2 8 3 4 0.02 = 384 + 5.76 + 3.84 + 3.84 = 397.44 (2.26) 5