Mieczsław Wilk Mielec, 008
lastcznść unkcji jednej zmiennej stwierdza ile prcent ( w przbliŝeniu wzrśnie lub zmaleje wartść tej unkcji, gd jej zmienna rzeczwista wzrśnie 1%. A t ilustracja graiczna elastcznści unkcji: ( ( 1, 01 (? % ( 0 1, 01 wzrst 1 % Rsunek 1. lastcznści unkcji jednej zmiennej Zakładając, Ŝe unkcja ma w punkcie pchdną, t elastcznść tej unkcji kreśla wzór: ( ( ( % Uwaga: JeŜeli będziem dknwać analiz eknmicznej wnikającej z wkresu przebiegu zmiennści unkcji t bierzem pd uwagę tlk ddatnie pzim ( ddatnie argument unkcji i zakładam, Ŝe ś dciętch 0X dtcz np.: dchdów, a ś rzędnch 0Y wdatków ( mŝem równieŝ przjąć, Ŝe, np.: ś 0X dtcz wdatków irm na prdukcję, a ś 0Y dtcz ewentualnch zsków lub strat irm.
Prz analizie eknmicznej unkcji knieczne jest dpwiednie wniskwanie wnikające ze znaku elastcznści unkcji. PniŜsz rsunek przedstawia wszstkie mŝliwe przpadki dtczące np.: zsków i strat irm w zaleŝnści d trzmaneg znaku elastcznści unkcji: ( ( B ( A 0 A B C D ( D ( C Rsunek. Analiza eknmiczna elastcznści unkcji Analiza eknmiczna wnikająca z pwŝszeg wkresu: A. Zsk liczn d pzimu A będzie rósł jeŝeli, wdatki wzrsną 1 % - elastcznść unkcji będzie miała wartść ddatnią. B. Zsk liczn d pzimu B będzie malał jeŝeli, wdatki wzrsną 1 % - elastcznść unkcji będzie miała wartść ujemną. C. Strata liczna d pzimu C będzie rsnąć jeŝeli, wdatki wzrsną 1 % - elastcznść unkcji będzie miała wartść ddatnią. D. Strata liczna d pzimu D będzie maleć jeŝeli, wdatki wzrsną 1 % - elastcznść unkcji będzie miała wartść ujemną.
Przkład 1. Oblicz elastcznść unkcji: ( raz pdaj interpretację uzskaneg wniku. - bliczam pchdną unkcji:, w punkcie, ( ( 7 ( ( 7 - bliczam wartść pchdnej unkcji w punkcie: 7 16 108 ( - bliczam wartść unkcji w punkcie: 8 - bliczam elastcznść unkcji: ( ( ( 8,6 % - interpretacja uzskaneg wniku: JeŜeli argument unkcji: (, wzrśnie 1% licząc d punktu:, t wartść unkcji ( zmniejsz się,6 %, b wartści unkcji są ujemne w pbliŝu punktu.
JeŜeli chcielibśm bliczć ile zmieni się prcentwa wartść unkcji: (, licząc d inneg pzimu, np.: d punktu, t naleŝ wknać bliczenia: 7 6 67 0 ( 6 6 1 16 ( ( ( 0 6 16 1 0,1 % c prwadzi d stwierdzenia, Ŝe wartść tej unkcji zmniejsz się 0,1 % licząc d pzimu, b wartści unkcji są ddatnie w pbliŝu punktu. JeŜeli chcielibśm bliczć ile zmieni się prcentwa wartść unkcji: (, licząc d jeszcze inneg pzimu, np.: d punktu 10, t naleŝ wknać bliczenia: 10 7 10 10 10000 700 700 ( 10 881 881 10 10 10 1000 1 ( 10 ( 10 ( 10 10 700 881 1 1000 10 0,8 % c prwadzi d stwierdzenia, Ŝe wartść tej unkcji wzrśnie kł 0,8 % licząc d pzimu 10, b wartści unkcji są ddatnie w pbliŝu punktu 10.
JeŜeli chcielibśm bliczć ile zmieni się prcentwa wartść unkcji: (, licząc d jeszcze inneg pzimu, np.: d punktu 10, t naleŝ wknać bliczenia: ( 10 ( 10 700 881 1000 1 ( 10 ( 10 ( 10 ( 10 0,8 % c prwadzi d stwierdzenia, Ŝe wartść tej unkcji wzrśnie kł 0,8 % licząc d pzimu 10, b wartści unkcji są ujemne w pbliŝu punktu 10. Wnisek: Ab kreślić cz wartść unkcji: cz wzrśnie cz zmaleje, naleŝ zawsze brać pd uwagę wartść unkcji w punkcie ( cz ddatnia, cz ujemna raz znak blicznej elastcznści unkcji. Wskazówka: Prz bliczaniu elastcznści unkcji, d kilku róŝnch pzimów, mŝna bliczenia sbie uprścić pprzez następujące bliczenia: wiem, Ŝe: raz w naszm wzrcwm przkładzie: ( 7, czli: i ( ( ( 7 ( ( ( ( 7 % D pwŝszeg wzru mŝem pdstawiać za zadane w treści zadania wartści pzimów, c znacznie ułatwi bliczenia. 6
lastcznść unkcji dwóch zmiennej ( stwierdza ile prcent ( w przbliŝeniu wzrśnie lub zmaleje wartść tej unkcji, gd jedna zmienna niezaleŝna ( lub wzrśnie 1%. lastcznści cząstkwe unkcji dwóch zmiennch deiniujem: ( ( ( ( ( ( Przkład. Oblicz elastcznści cząstkwe unkcji: ( w punkcie i raz pdaj jej interpretację. Rsunek. Funkcja dwóch zmiennch parablida ( 7
8 % 1,7 0 Wnisek: JeŜeli zmienna niezaleŝna wzrśnie 1 % licząc d pzimu w punkcie: i t wartść unkcji wzrśnie 1,7 %. % 0, 18 Wnisek: JeŜeli zmienna niezaleŝna wzrśnie 1 % licząc d pzimu w punkcie: i t wartść unkcji wzrśnie 0, %.
Przkład. Oblicz elastcznści cząstkwe unkcji: ( w punkcie i 6 raz pdaj jej interpretację. Rsunek. Funkcja dwóch zmiennch unkcja ptęgwa ( ( ( ( ( ( 8 8 ( ( ( 6 % Wnisek: JeŜeli zmienna niezaleŝna wzrśnie 1 % licząc d pzimu w punkcie: i 6 t wartść unkcji ( wzrśnie %.
( ( ( ( ( 1 1 ( ( ( 6 % Wnisek: JeŜeli zmienna niezaleŝna wzrśnie 1 % licząc d pzimu 6 w punkcie: i 6 t wartść unkcji ( wzrśnie %. Zadania d samdzielneg rzwiązwania: 1. Oblicz elastcznść unkcji: ( pdaj jej interpretacje.. Oblicz elastcznść unkcji: ( w punkcie: w punkcie: raz raz pdaj jej interpretacje.. Oblicz elastcznść unkcji: ( pdaj jej interpretacje. w punkcie: raz 1. Oblicz elastcznści cząstkwe unkcji: ( i 6 raz pdaj jej interpretację. w punkcie 6. Oblicz elastcznści cząstkwe unkcji: ( e w punkcie 1 i raz pdaj jej interpretację. 10