Mieczysław Wilk Mielec, 2008

Podobne dokumenty
Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Elementy algebry i analizy matematycznej II

( ) σ v. Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Analiza płaskiego stanu naprężenia.

f x f y f, jest 4, mianowicie f = f xx f xy f yx

Liniowy model decyzyjny Sytuacja decyzyjna: Firma produkuje dwa

12. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH. z = x + y jest R 2, natomiast jej

Programowanie nieliniowe optymalizacja funkcji wielu zmiennych

Pochodna funkcji wykład 5

Wykład 10. Funkcje wielu zmiennych

PROPAGACJA BŁĘDU. Dane: c = 1 ± 0,01 M S o = 7,3 ± 0,1 g Cl 2 /1000g H 2 O S = 6,1 ± 0,1 g Cl 2 /1000g H 2 O. Szukane : k = k =?

Definicja wartości bezwzględnej. x < x y. x =

Scenariusz lekcji Zwierciadła i obrazy w zwierciadłach

Diagram relacji między zmiennymi (Scatter Diagram)

Równania różniczkowe cząstkowe

Całkowanie przez podstawianie i dwa zadania

Rozwiązywanie belek prostych i przegubowych wyznaczanie reakcji i wykresów sił przekrojowych 6

Asymptoty funkcji. Pochodna. Zastosowania pochodnej

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

14. Grupy, pierścienie i ciała.

Minimalizacja kosztów

Mikroekonomia II. Narz ¾edzia matematyczne. f 0 (x) = 0. f (x) = 5. f 0 (x) = ax a 1 = ax a 1. f (x) = p x = x 1 2. d (bf(x)) dx.

Róniczka. f x. V Vx. Zadanie 4. Znale maksymalny błd bezwzgldny i wzgldny powstały przy obliczaniu objtoci stoka, jeli promie podstawy wynosi

Równania różniczkowe cząstkowe

KURS FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH

) q przyłożona jest w punkcie o współrzędnej x = x + x. Przykład Łuk trójprzegubowy.

CZERWIEC MATEMATYKA - poziom podstawowy. Czas pracy: 170 minut. Instrukcja dla zdającego

Ekstrema funkcji dwóch zmiennych

Projektowanie dróg i ulic

Funkcje wielu zmiennych

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Zajęcia 1-2

Pierwiastki kwadratowe z liczby zespolonej

[L] Rysunek Łuk wolnopodparty, paraboliczny wymiary, obciążenie, oznaczenia.

Automatyka. Treść wykładów: Układ kombinacyjny AND. Układ sekwencyjny synchroniczny. Układ sekwencyjny asynchroniczny. Układ sekwencyjny synchroniczny

SKRYPT Z MATEMATYKI. Wstęp do matematyki. Rafał Filipów Piotr Szuca

ZADANIE 1 Poniżej znajduje się fragment wykresu funkcji y = f (x). ZADANIE 2 Na podstawie podanego wykresu funkcji f







Krzywe na płaszczyźnie.

25. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE PIERWSZEGO RZĘDU. y +y tgx=sinx

nie wyraŝa zgody na inne wykorzystywanie wprowadzenia niŝ podane w jego przeznaczeniu występujące wybranym punkcie przekroju normalnego do osi z

Zmienne losowe typu ciągłego. Parametry zmiennych losowych. Izolda Gorgol wyciąg z prezentacji (wykład III)











3.2. Podstawowe własności funkcji. Funkcje cyklometryczne, hiperboliczne. Definicję funkcji f o dziedzinie X i przeciwdziedzinie Y mamy w 3A5.

Wybrane metody przybliżonego. wyznaczania rozwiązań (pierwiastków) równań nieliniowych

Karta informacyjna grupowego ubezpieczenia na życie i dożycie Top Medica

Matematyka 1 (Wydziaª Architektury) Lista 1 - funkcje elmenetarne. 2. Rozwi za nast puj ce równania lub nierówno±ci:

19. Wybrane układy regulacji Korekcja nieliniowa układów. Przykład K s 2. Rys Schemat blokowy układu oryginalnego

Wykład Analiza jakościowa równań różniczkowych

UKŁADY JEDNOWYMIAROWE. Część III UKŁADY NIELINIOWE

Przenoszenie niepewności

Przedziały ufności i testy parametrów. Przedziały ufności dla średniej odpowiedzi. Interwały prognoz (dla przyszłych obserwacji)

KONKURS MATEMATYCZNY DLA UCZNIÓW GIMNAZJUM ETAP REJONOWY

Automatyka. Treść wykładów: Układ sekwencyjny synchroniczny. Układ kombinacyjny AND. Układ sekwencyjny asynchroniczny. Układ sekwencyjny synchroniczny

Badanie wyników nauczania z matematyki

Z funkcji zdaniowej x + 3 = 7 można otrzymać zdania w dwojaki sposób:

MATURA PRÓBNA 2 KLASA I LO

ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI

Interpolacja. Układ. x exp. = y 1. = y 2. = y n

Równania różniczkowe

Pucku, ul. Elizy Orzeszkowej 5, Puck, woj. pomorskie, tel , faks

MES polega na wyznaczaniu interesujących nas parametrów w skończonej ilości punktów. A co leży pomiędzy tymi punktami?

Paweł Strawiński Ćwiczenia

"Pies" P i e s \0. Prawidłowy zapis wymaga wykorzystania funkcji strcpy() z pliku nagłówkowego string.h: char txt[10]; strcpy(txt, Pies );

FUNKCJA KWADRATOWA. 2. Rozwiąż nierówności: na przedziale x < 2; 3. Wyznacz wartość najmniejszą i największą funkcji f ( x)

Rozwiązywanie układu równań metodą przeciwnych współczynników

(rachunek różniczkowy dot. funkcji ciągłych)

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY PRZYKŁADOWY ZESTAW ZADAŃ NR 1. Czas pracy 150 minut

RACHUNEK CAŁKOWY FUNKCJI DWÓCH ZMIENNYCH

Test 2. Mierzone wielkości fizyczne wysokość masa. masa walizki. temperatura powietrza. Użyte przyrządy waga taśma miernicza

Zadania na IV etap Ligi Matematyczni-Fizycznej klasa II

Cykl III ćwiczenie 3. Temat: Badanie układów logicznych

Temat: Zastosowania pochodnej

a, b funkcji liniowej y ax + b

potrafi przybliżać liczby (np. ) K

Ż Ę ć Ć ć ć Ą

Usługa składu, druku i dostawy do Urzędu do Spraw Kombatantów i Osób Represjonowanych biuletynu Kombatant w 2011 roku.

PN-EN , PN-EN , PN-EN

Wykład 4 Testy zgodności. dystrybuanta rozkładu populacji dystrybuanty rozkładów dwóch populacji rodzaj rozkładu wartości parametrów.

W. Guzicki Zadanie 30 z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1

Ćwiczenie 1. Optyczna filtracja sygnałów informatycznych.

Założenia prognostyczne WPF

Rozwiązywanie belek prostych i przegubowych wyznaczanie reakcji i wykresów sił przekrojowych 4-5

Rozwiązanie równań stanu dla układów liniowych - pola wektorowe

Warsztat pracy matematyka

Ć w i c z e n i e K 2 b

Stan naprężenia. Przykład 1: Tarcza (płaski stan naprężenia) Określić siły masowe oraz obciążenie brzegu tarczy jeśli stan naprężenia wynosi:

Transkrypt:

Mieczsław Wilk Mielec, 008

lastcznść unkcji jednej zmiennej stwierdza ile prcent ( w przbliŝeniu wzrśnie lub zmaleje wartść tej unkcji, gd jej zmienna rzeczwista wzrśnie 1%. A t ilustracja graiczna elastcznści unkcji: ( ( 1, 01 (? % ( 0 1, 01 wzrst 1 % Rsunek 1. lastcznści unkcji jednej zmiennej Zakładając, Ŝe unkcja ma w punkcie pchdną, t elastcznść tej unkcji kreśla wzór: ( ( ( % Uwaga: JeŜeli będziem dknwać analiz eknmicznej wnikającej z wkresu przebiegu zmiennści unkcji t bierzem pd uwagę tlk ddatnie pzim ( ddatnie argument unkcji i zakładam, Ŝe ś dciętch 0X dtcz np.: dchdów, a ś rzędnch 0Y wdatków ( mŝem równieŝ przjąć, Ŝe, np.: ś 0X dtcz wdatków irm na prdukcję, a ś 0Y dtcz ewentualnch zsków lub strat irm.

Prz analizie eknmicznej unkcji knieczne jest dpwiednie wniskwanie wnikające ze znaku elastcznści unkcji. PniŜsz rsunek przedstawia wszstkie mŝliwe przpadki dtczące np.: zsków i strat irm w zaleŝnści d trzmaneg znaku elastcznści unkcji: ( ( B ( A 0 A B C D ( D ( C Rsunek. Analiza eknmiczna elastcznści unkcji Analiza eknmiczna wnikająca z pwŝszeg wkresu: A. Zsk liczn d pzimu A będzie rósł jeŝeli, wdatki wzrsną 1 % - elastcznść unkcji będzie miała wartść ddatnią. B. Zsk liczn d pzimu B będzie malał jeŝeli, wdatki wzrsną 1 % - elastcznść unkcji będzie miała wartść ujemną. C. Strata liczna d pzimu C będzie rsnąć jeŝeli, wdatki wzrsną 1 % - elastcznść unkcji będzie miała wartść ddatnią. D. Strata liczna d pzimu D będzie maleć jeŝeli, wdatki wzrsną 1 % - elastcznść unkcji będzie miała wartść ujemną.

Przkład 1. Oblicz elastcznść unkcji: ( raz pdaj interpretację uzskaneg wniku. - bliczam pchdną unkcji:, w punkcie, ( ( 7 ( ( 7 - bliczam wartść pchdnej unkcji w punkcie: 7 16 108 ( - bliczam wartść unkcji w punkcie: 8 - bliczam elastcznść unkcji: ( ( ( 8,6 % - interpretacja uzskaneg wniku: JeŜeli argument unkcji: (, wzrśnie 1% licząc d punktu:, t wartść unkcji ( zmniejsz się,6 %, b wartści unkcji są ujemne w pbliŝu punktu.

JeŜeli chcielibśm bliczć ile zmieni się prcentwa wartść unkcji: (, licząc d inneg pzimu, np.: d punktu, t naleŝ wknać bliczenia: 7 6 67 0 ( 6 6 1 16 ( ( ( 0 6 16 1 0,1 % c prwadzi d stwierdzenia, Ŝe wartść tej unkcji zmniejsz się 0,1 % licząc d pzimu, b wartści unkcji są ddatnie w pbliŝu punktu. JeŜeli chcielibśm bliczć ile zmieni się prcentwa wartść unkcji: (, licząc d jeszcze inneg pzimu, np.: d punktu 10, t naleŝ wknać bliczenia: 10 7 10 10 10000 700 700 ( 10 881 881 10 10 10 1000 1 ( 10 ( 10 ( 10 10 700 881 1 1000 10 0,8 % c prwadzi d stwierdzenia, Ŝe wartść tej unkcji wzrśnie kł 0,8 % licząc d pzimu 10, b wartści unkcji są ddatnie w pbliŝu punktu 10.

JeŜeli chcielibśm bliczć ile zmieni się prcentwa wartść unkcji: (, licząc d jeszcze inneg pzimu, np.: d punktu 10, t naleŝ wknać bliczenia: ( 10 ( 10 700 881 1000 1 ( 10 ( 10 ( 10 ( 10 0,8 % c prwadzi d stwierdzenia, Ŝe wartść tej unkcji wzrśnie kł 0,8 % licząc d pzimu 10, b wartści unkcji są ujemne w pbliŝu punktu 10. Wnisek: Ab kreślić cz wartść unkcji: cz wzrśnie cz zmaleje, naleŝ zawsze brać pd uwagę wartść unkcji w punkcie ( cz ddatnia, cz ujemna raz znak blicznej elastcznści unkcji. Wskazówka: Prz bliczaniu elastcznści unkcji, d kilku róŝnch pzimów, mŝna bliczenia sbie uprścić pprzez następujące bliczenia: wiem, Ŝe: raz w naszm wzrcwm przkładzie: ( 7, czli: i ( ( ( 7 ( ( ( ( 7 % D pwŝszeg wzru mŝem pdstawiać za zadane w treści zadania wartści pzimów, c znacznie ułatwi bliczenia. 6

lastcznść unkcji dwóch zmiennej ( stwierdza ile prcent ( w przbliŝeniu wzrśnie lub zmaleje wartść tej unkcji, gd jedna zmienna niezaleŝna ( lub wzrśnie 1%. lastcznści cząstkwe unkcji dwóch zmiennch deiniujem: ( ( ( ( ( ( Przkład. Oblicz elastcznści cząstkwe unkcji: ( w punkcie i raz pdaj jej interpretację. Rsunek. Funkcja dwóch zmiennch parablida ( 7

8 % 1,7 0 Wnisek: JeŜeli zmienna niezaleŝna wzrśnie 1 % licząc d pzimu w punkcie: i t wartść unkcji wzrśnie 1,7 %. % 0, 18 Wnisek: JeŜeli zmienna niezaleŝna wzrśnie 1 % licząc d pzimu w punkcie: i t wartść unkcji wzrśnie 0, %.

Przkład. Oblicz elastcznści cząstkwe unkcji: ( w punkcie i 6 raz pdaj jej interpretację. Rsunek. Funkcja dwóch zmiennch unkcja ptęgwa ( ( ( ( ( ( 8 8 ( ( ( 6 % Wnisek: JeŜeli zmienna niezaleŝna wzrśnie 1 % licząc d pzimu w punkcie: i 6 t wartść unkcji ( wzrśnie %.

( ( ( ( ( 1 1 ( ( ( 6 % Wnisek: JeŜeli zmienna niezaleŝna wzrśnie 1 % licząc d pzimu 6 w punkcie: i 6 t wartść unkcji ( wzrśnie %. Zadania d samdzielneg rzwiązwania: 1. Oblicz elastcznść unkcji: ( pdaj jej interpretacje.. Oblicz elastcznść unkcji: ( w punkcie: w punkcie: raz raz pdaj jej interpretacje.. Oblicz elastcznść unkcji: ( pdaj jej interpretacje. w punkcie: raz 1. Oblicz elastcznści cząstkwe unkcji: ( i 6 raz pdaj jej interpretację. w punkcie 6. Oblicz elastcznści cząstkwe unkcji: ( e w punkcie 1 i raz pdaj jej interpretację. 10