Przenoszenie niepewności Uwaga wstępna: pojęcia niepewność pomiarowa i błąd pomiarow są stosowane wmiennie. Załóżm, że wielkość jest funkcją wielkości,,, dla którch niepewności (,, ) są znane (wnikają z dokładności urządzeń, oszacowania ekspermentatora, wcześniejszch obliczeń itp.). Jeżeli błęd te są niezależne i przpadkowe, to niepewność wznaczenia wielkości obliczam metodą Gaussa (MG): ( ) ( ) ( ) (1) Prz czm błąd ten jest nie większ, niż zwkła suma: Przkład: Niech będzie następującą funkcją zmiennch i. Zmierzono i, otrzmując wniki: i. Ile wnosi wznaczona wartość wraz z jej niepewnością? Rozwiązanie: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ) ( ) Najlepszm przbliżeniem wartości jest: Niepewność wnosi: Zapisujem wnik w eleganckiej formie: ( ) 1
W pewnch przpadkach metoda ta bardzo się upraszcza: 1. Jeżeli ma postać sum i różnic:, to: ( ) ( ) ( ) ( ) 2. Jeżeli ma postać sum składników o takiej samej niepewności, czli: Wted: Stuacja taka wstępuje na przkład wted, gd na wadze o maksmalnm udźwigu 2 kg i dokładności ±, g mam odważć około 3 kg substancji. Załóżm, że odważliśm: - za pierwszm razem (1996, ±,) g, - za drugim razem (13,3 ±,) g. (Jak widać, rozdzielczość tej wagi jest równa,1 g, ale nas interesuje dokładność, która wnosi, g). Niepewność: Odważliśm zatem ( ) substancji. 3. Jeżeli ma postać ilocznu i ilorazu,, to: ( ) ( ) ( ) ( ) 2
Niepewności parametrów wznaczonch z równania kierunkowego prostej Często, gd zależność międz pewnmi parametrami jest liniowa ( ), fizczną interpretację ma współcznnik kierunkow ( ) lub wraz woln ( ) równania kierunkowego otrzmanej prostej. W takich przpadkach z ekspermentu otrzmujem (często dopiero po pewnch obliczeniach) dskretne wartości oraz odpowiadające im wartości. Naszm zadaniem jest znalezienie parametrów i (i ich niepewności: i ) równania prostej, która najlepiej aproksmuje punkt doświadczalne. Najczęściej użwa się w tm celu metod najmniejszch kwadratów. Zwkła metoda najmniejszch kwadratów (MNK) Arkusze kalkulacjne (np. MS Ecel) oferują funkcję pozwalającą na aproksmację punktów doświadczalnch linią prostą prz pomoc zwkłej metod najmniejszch kwadratów. W MS Ecelu jest to funkcja REGLINP zwracająca tablicę danch:,, (inaczej ), ( ),, i inne. Jak widać, otrzmujem w wniku nie tlko współcznnik kierunkow i wraz woln, ale również oszacowanie ich niepewności ( i ), współcznnik determinacji będąc miarą jakości korelacji * oraz oszacowanie niepewności wielkości na podstawie odchlenia standardowego. Tu pojawia się bardzo ważna uwaga: tak oszacowana niepewność ma niewiele wspólnego z rzeczwistmi niepewnościami tej wielkości otrzmanmi w doświadczeniu. Podobnie, i oszacowane tą metodą powinn budzić pewien niepokój, ponieważ nie uwzględniają rzeczwistch niepewności określonch w doświadczeniu dla poszczególnch punktów pomiarowch. Staje się to zrozumiałe, gd się spojrz na poniższe wkres: 2 2 1 1 1 1 1 2 3 4 6 1 2 3 4 6 Wkres 1 Wkres 2 * Jednak nie należ mlić go ze współcznnikiem korelacji (Pearsona). Jest on określon w przeciwieństwie do współcznnika determinacji tlko dla zależności liniowch (wówczas zachodzi ) i przjmuje wartości od do, a jego znak jest zgodn ze znakiem współcznnika kierunkowego prostej. 3
Wkres przedstawiają dwa identczne zbior punktów zależności ( ), ale na wkresie 2 punkt te są obarczone większmi niepewnościami (przjęto brak niepewności ). Wznaczone metodą najmniejszch kwadratów współcznniki i są w obu przpadkach identczne, ale w drugim przpadku ich niepewności (i ) powinn bć WIĘKSZE, niż w pierwszm. Jednak zwkła metoda najmniejszch kwadratów (dostępna np. w arkuszu Ecel) w obu przpadkach poda TAKIE SAME wartości niepewności. Dzieje się tak dlatego, że są one szacowane na podstawie odchleń standardowch (czli na podstawie rozrzutu punktów ekspermentalnch, które na obu wkresach są jednakowe), a nie na podstawie rzeczwistch niepewności (i ) wnikającch z charakterstki aparatów i warunków ekspermentu. Jeśli znam błęd ekspermentalne (na podstawie znajomości aparatu i metodki pomiarowej), powinniśm ich użć do ocen niepewności wznaczonch parametrów. W tm celu niepewności otrzmane z Ecela ( ) powinn bć poprawione poprzez pomnożenie przez stosunek błędu do odchlenia standardowego obliczonego na podstawie różnic pomiędz wartościami obliczonmi a ekspermentalnmi. Ten ostatni parametr można otrzmać z funkcji REGLINP. (2) Zwkła metoda najmniejszch kwadratów zawodzi również wted, gd poszczególne punkt pomiarowe są obarczone różnmi niepewnościami. Rozważm poniższ przkład. 2 2 1 1 1 1 1 2 3 4 6 1 2 3 4 6 Wkres 3 Wkres 4 Oba powższe wkres przedstawiają dwa takie same zbior punktów ekspermentalnch wraz z niepewnościami. Dwa pomiar, tzn. prz = 3 oraz prz = 4, został wkonane z większą dokładnością, niż pozostałe. Przedstawiono też dwie propozcje przeprowadzenia przez te punkt prostej. Na wkresie 3 widzim aproksmację prz użciu zwkłej metod najmniejszch kwadratów w tm przpadku prosta nie przechodzi w odpowiedniej bliskości punktów wznaczonch z większą dokładnością (omija ich słupki błędów). Wdaje się zatem, że lepsze dopasowanie jest przedstawione na Wkresie 4. Został tu uwzględnion fakt, że pomiar wkonane z większą dokładnością są istotniejsze (mają większą wagę). 4
Podsumowując zwkła metoda najmniejszch kwadratów może bć uznana za odpowiednią, gd niepewności poszczególnch pomiarów są w przbliżeniu takie same. Dotcz to również stuacji, kied błęd ekspermentalne są nieznane w tm przpadku po prostu ze względów praktcznch zakładam równość niepewności dla wszstkich punktów ekspermentalnch. W przeciwnm wpadku (często zresztą spotkanm w praktce laboratorjnej), powinniśm zastosować ważoną metodę najmniejszch kwadratów (WMNK) Ważona metoda najmniejszch kwadratów (WMNK) Opisane wżej problem rozwiązuje ważona metoda najmniejszch kwadratów. Efekt jej zastosowania jest przedstawion na wkresie 4. Zostanie ona opisana poniżej w formie uwzględniającej ekspermentalne niepewności zarówno, jak i. Ważona metoda najmniejszch kwadratów opis jednego z wariantów. Wprowadzam wagi statstczne przpisane każdemu punktowi zależności ( ): ( ) ( ) ( ) ( ) (3) Gdzie: niepewność (wnikająca np. z dokładności urządzenia, wcześniejszch obliczeń metodą różniczki zupełnej itp.), dodatkowa niepewność wnikająca z przeniesienia błędu na (dzięki temu w wadze danego pomiaru uwzględniam również ), którą szacujem stosując metodę różniczki zupełnej dla równania (chwilowo zakładam, że ): współcznnik kierunkow prostej obliczon ze zwkłej metod najmniejszch kwadratów, niepewność (wnikająca np. z dokładności urządzenia, wcześniejszch obliczeń metodą różniczki zupełnej itp.) (4) Interpretacja wag statstcznch jest bardzo prosta: im dokładniej ustaliliśm położenie punktu o współrzędnch ( ) (czli im mniejsze jest i ), tm ważniejsz jest dan pomiar (czli tm większe ). Będziem stosować pewne uproszczenie w zapisie sum: gdzie liczba punktów pomiarowch. Najlepsze przbliżenia stałch i są określone wzorami:
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) Gdzie: ( ) ( ) ( ) Natomiast niepewności i są równe: Ważona metoda najmniejszch kwadratów przkład krok po kroku. Załóżm, że w pomiarach otrzmaliśm następując zbiór punktów i ich niepewności: Lp. Δ eksp Δ eksp 1 1,,3 4,3 2, 2 2,,3 6,7 2, 3 3,,3 8,1 1, 4 4,,2 11, 1,,,2 1, 1, 6 6,,1 17, 1, 2, 1, 1,,,, 1, 2, 3, 4,, 6, Wznaczam współcznnik kierunkow zwkłą metodą najmniejszch kwadratów (funkcja REGLINP w MS Ecel): Stosownie do podanch wżej wzorów liczm wagi, następnie wszstkie potrzebne sum (jest tu przdatna funkcja SUMA.ILOCZYNÓW w MS Ecel), parametr i oraz ich błęd: Lp. Δ eksp Δ pb w 1 2,,78,22 Σw = 2,9 Σw = 12,83 6 a = 2,69 Δa =,37
2 2,,78,22 3 1,,78,3 4 1,,2,4 1,,2,79 6 1,,26,94 Wnik: Σw = 37,28 Σw 2 = 63,93 Σw = 184,23 Δ = 2,84 b =,93 Δb = 1,7 Ze zwkłej metod najmniejszch kwadratów: UWAGA: Może się zdarzć, że błęd 2 oszacowane zwkłą metodą najmniejszch kwadratów będą większe, niż te wnikające 1 z metod ważonej. Dzieje się tak wted, gd rozrzut punktów ekspermentalnch wokół prostej (ich odchlenie standardowe) jest większ, niż określon przez ekspermentatora błąd mierzonej wielkości (wkres obok). Najprawdopodobniej oznacza to, że istnieją 1 dodatkowe, źródła błędów, nieprzewidziane przez ekspermentatora. W takim przpadku bardziej wiargodne oszacowanie otrzmujem ze zwkłej metod najmniejszch kwadratów. 1 2 3 4 6 i 7
Badanie istotności współcznnika regresji prostoliniowej Niejednokrotnie w trakcie laboratorium należ określić, cz pewien parametr wpłwa na wielkość mierzoną lub wznaczaną. Można się na przkład spodziewać, że przewodność roztworu zależ od temperatur, lecz nie zależ od głębokości zanurzenia termometru. Kied na pierwsz rzut oka niełatwo stwierdzić istnienie zależności, przeprowadza się test istotności współcznnika kierunkowego prostej. Stawiam hipotezę że współcznnik kierunkow prostej jest równ : Hipotezę Hipoteza zerowa: Hipoteza alternatwna: werfikujem za pomocą testu t-studenta następującej postaci: () Gdzie oraz to odpowiednio: współcznnik kierunkow prostej najlepiej aproksmującej punkt doświadczalne i błąd standardow tego współcznnika. Porównujem następnie wartość z wartością graniczną na wmaganm poziomie istotności (najczęściej ) i dla danej liczb stopni swobod (, gdzie jest liczbą pomiarów). Tę wartość odcztujem w tablicach rozkładu t-studenta. odrzucam hipotezę przjmujem hipotezę, stwierdzam, że zależność wstępuje, stwierdzam brak zależności Przkład: Weźm następując zbiór punktów doświadczalnch: 1 2 2 9 3 4 7 4 Parametr prostej i ich błęd standardowe oraz współcznnik determinacji obliczono prz pomoc funkcji REGLINP w MS Ecelu. 2 1 1 1 2 3 4 Hipoteza zerowa: Hipoteza alternatwna: Obliczam: 8
Dobieram odpowiedni poziom istotności: jeżeli chcem sprawdzić hipotezę na poziomie ufności 9% (czli chcem mieć 9- procentową pewność, że zależność międz i wstępuje), to dobieram poziom istotności sprawdzim również, co się stanie, jeżeli będziem mniej rgorstczni i starcz nam 9% pewność; wówczas poziom istotności: W każdm przpadku liczba stopni swobod jest równa Odcztujem z tablic rozkładu t-studenta wartość na obu poziomach istotności: Z porównania z obliczoną wartością wnika, że: ponieważ, to na poziomie istotności, należ zaakceptować hipotezę o braku zależności międz i, ponieważ, to na poziomie istotności,1 odrzucam hipotezę zerową i stwierdzam, że zależność wstępuje. Dokładniejsze obliczenia wkazałb, że mam mniej więcej 92-procentową pewność, że zależ od (innmi słow, że wstępuje korelacja międz tmi wielkościami, czli że współcznnik kierunkow tej zależności jest różn od ). Uwaga: w tablicach rozkładu t-studenta dwojako definiuje się poziom istotności może on dotczć jedno- lub dwustronnego obszaru krtcznego. Ponieważ w obu przpadkach użwa się tego samego smbolu ( ), może to prowadzić do nieporozumień. Należ zawsze upewnić się, która definicja jest użwana w danch tablicach. W razie konieczności należ skorzstać z zależności: W powższm przkładzie testowano hipotez dwustronne (sprawdzano, cz współcznnik kierunkow jest różn od, prz czm mógł bć zarówno większ, jak i mniejsz od ), dlatego użto poziomu istotności dla obszaru dwustronnego. 9
Literatura: Talor, J. R., Wstęp do analiz błędu pomiarowego, PWN, Warszawa 211 Respondowski, R., Opracowanie wników pomiarów fizcznch, Wdawnictwo Politechniki Śląskiej, Gliwice 199 Czermiński, J., Iwasiewicz, A., Paszek, Z., Sikorski, A., Metod statstczne w doświadczalnictwie chemicznm, wd. II, PWN, Warszawa 1974 Inne polecane pozcje: Brandt, S., Analiza danch, PWN, Warszawa 22 Urbański, M.K., Opracowanie danch doświadczalnch (skrpt do przedmiotu prowadzonego na Wdziale Fizki PW), http://www.if.pw.edu.pl/~murba/odd_skrpt.pdf 1