Niepewności pomiarów

Transkrypt

1 Niepewności pomiarów Międzynarodowa Organizacja Normalizacyjna (ISO) w roku 1995 opublikowała normy dotyczące terminologii i sposobu określania niepewności pomiarów [1]. W roku 1999 normy zostały opublikowane w języku polskim [2] i od tego czasu ich stosowanie jest wymagane prawem, podobnie jak układu jednostek SI. 1. Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement, ISO, Switzerland Wyrażanie niepewności pomiaru: Przewodnik, Główny Urząd Miar, Warszawa Niepewności pomiarów - Kazimierz Pater 1/19

2 Wszystkie pomiary obarczone są niepewnościami, których nie można całkowicie wyeliminować. Niepewność pomiaru jes t nieodłączną cechą pomiaru i charakteryzuje rozrzut wyników pomiaru. Niepewności pomiarów - Kazimierz Pater 2/19

3 Terminologia Niepewność standardowa u(x) (standard uncertainty) wyniku pomiaru bezpośredniego wielkości X obliczana jest metodami statystycznymi lub wynika z niepewności wzorcowania przyrządu pomiarowego, eksperymentatora i/lub tablicowej. Złożona niepewność standardowa u c (y) (combined standard uncertainty) jest niepewnością wielkości złożonej, na którą składają się wielkości mierzone bezpośrednio. Złożona niepewność standardowa jest obliczana z prawa przenoszenia niepewności pomiaru. Niepewności pomiarów - Kazimierz Pater 3/19

4 Niepewność rozszerzona U lub U(y) (expanded uncertainty) jest miarą przedziału otaczającego wynik pomiaru, w którym powinna się znaleźć mierzona wielkość. Wartość U oblicza się mnożąc niepewność standardową przez bezwymiarowy współczynnik rozszerzenia k, który przyjmujemy arbitralnie w oparciu o własną wiedzę i doświadczenie. Niepewności pomiarów - Kazimierz Pater 4/19

5 Niepewności pomiarów bezpośrednich Seria pomiarów Ocena niepewności pomiaru wielokrotnego opiera się na analizie statystycznej serii składającej się z N wyników pojedynczych pomiarów (x 1, x 2,... x i,...x N ). Za wynik pomiaru przyjmuje się średnią arytmetyczną wszystkich wyników poszczególnych pomiarów z serii: N x= 1 N i=1 x i, (1) Niepewności pomiarów - Kazimierz Pater 5/19

6 Niepewnością standardową serii pomiarów jes t eksperymentalne odchylenie standardowe średniej arytmetycznej poszczególnych wyników serii: N u x = x x i 2 i=1 N N 1, (2) Jeżeli seria zawiera zbyt mało pomiarów ( N<6 ), wynik dany wzorem (2) należy pomnożyć przez współczynnik z rozkładu Studenta zależny od ilości pomiarów i przyjętego poziomu ufności. Niepewności pomiarów - Kazimierz Pater 6/19

7 Regresja liniowa Celem regresji liniowej jest optymalne dopasowanie prostej regresji do zbioru n par punktów doświadczalnych { (x 1,y 1 ), (x 2,y 2 ),... (x n,y n ) }. Sposób obliczania niepewności standardowych współczynników prostej regresji: y = ax + b, można zaliczyć do metod statystycznych. Do regresji liniowej stosuje się najczęściej metodę najmniejszych kwadratów, nie dlatego że jest to metoda ścisła w sensie matematycznym, ale dla jej stosunkowej prostoty. Gdy słuszne jest założenie, że punkty eksperymentalne zmierzono z jednakowymi niepewnościami, metoda najmniejszych kwadratów sprowadza się do zastosowania wzorów podanych na następnej stronie. Niepewności pomiarów - Kazimierz Pater 7/19

8 a= n x i y i x i y i n x i 2 x i 2, (3) b= n x 2 i y i x i x i y i n x 2 i x i 2 u a = n y i ax i b 2 n x i 2 x i 2,u b =u a 2 x i n, (4) Niepewności pomiarów - Kazimierz Pater 8/19

9 Pomiar jednokrotny Gdy dostępny jest tylko jeden wynik pomiaru albo gdy wyniki nie wykazują rozrzutu, niepewność standardową ocenia się na podstawie niepewności wzorcowania W przyrządów pomiarowych lub/i niepewności wynikającej z wiedzy i doświadczenia eksperymentatora E oraz tzw. niepewności tablicowej T. Niepewność standardowa jednokrotnego pomiaru wielkości x wyraża się wzorem: 2 u x = Δ W 3 Δ E 3 Δ T 3 2 2, (5) Niepewności pomiarów - Kazimierz Pater 9/19

10 Niepewność wzorcowania przyrządów analogowych W przyrządzie analogowym o jego niepewności wzorcowania W stanowi klasa przyrządu podawana jako procent maksymalnej wartości możliwej do zmierzenia na wybranym zakresie przyrządu: W = klasa x zakres/100, (6) Przy obliczaniu niepewności standardowej oprócz podanej wyżej wartości należy uwzględnić niepewność odczytu ze skali przyrządu, którą zwykle przyjmujemy arbitralnie jako równą wartości 0,5 do 1 działki skali wybranego zakresu. Niepewności pomiarów - Kazimierz Pater 10/19

11 Niepewność wzorcowania przyrządów cyfrowych W celu określenia niepewności wzorcowania przyrządu cyfrowego musimy zajrzeć do instrukcji, gdzie znajdziemy informację o sposobie obliczania niepewności wzorcowania, podaną zwykle w postaci: W = C 1 % x rdg + C 2 x dgt, (7) gdzie współczynnik C 1 oznacza procent wielkości wskazywanej (mierzonej), a C 2 jest krotnością rozdzielczości przyrządu (krotnością ostatniej wyświetlanej cyfry ). W = 1% x 57, x 0,01=0,58 + 0,02=0,60. Niepewności pomiarów - Kazimierz Pater 11/19

12 Niepewność eksperymentatora i tablicowa Ważnymi przyczynkiem do niepewności pomiarów jednokrotnych jest niepewność eksperymentatora E, której wielkość eksperymentator sam określa korzystając ze swego doświadczenia i wiedzy. Niepewnościami obarczone są również wyniki zaczerpnięte z literatury, tablic matematycznych lub kalkulatora. Jeśli brak jest jakiejkolwiek informacji o niepewności takiej danej, przyjmujemy że niepewność tablicowa T jest równa 10 jednostkom ostatniego miejsca rozwinięcia dziesiętnego danej wielkości. Na przykład, jeżeli do obliczeń przyjmujemy g=9,81 m/s 2 to przyjmujemy też, że U(g)=0,10 m/s 2. Niepewności pomiarów - Kazimierz Pater 12/19

13 Niepewności pomiarów złożonych Prawo przenoszenia niepewności W większości pomiarów fizycznych szukana wielkość nie daje się zmierzyć bezpośrednio, ale jest obliczana z zależności funkcyjnej: Y = f(x), gdzie X = (x 1,x 2,x 3,...x j,...x K ) oznacza wyniki pomiarów K wielkości x j mierzonych bezpośrednio. Zgodnie z prawem przenoszenia niepewności, niepewność standardowa pomiaru złożonego obliczana jest na podstawie znanych niepewności standardowych pomiarów bezpośrednich Niepewności pomiarów - Kazimierz Pater 13/19

14 Niepewność pomiarów nieskorelowanych. W pomiarach nieskorelowanych każdą wielkość mierzy się w innym, niezależnym doświadczeniu, a współczynniki korelacji między wielkościami mierzonymi są małe, co interpretujemy jako brak korelacji. Złożoną niepewność standardową u c (Y) dla pomiarów nieskorelowanych oblicza się korzystając z prawa przenoszenia niepewności pomiarów bezpośrednich nieskorelowanych w postaci: K u c Y = j=1 f X x j 2 u x j 2, (8) Niepewności pomiarów - Kazimierz Pater 14/19

15 Niepewność pomiarów skorelowanych Pomiary należy uznać za skorelowane zawsze wtedy, gdy dane wielkości są mierzone na jednym stanowisku pomiarowym w tym samym czasie. Obliczanie złożonej niepewności standardowej w takim przypadku jest bardzo skomplikowane. Można obejść ten problem wykonując serię pomiarów na danym stanowisku pomiarowym, tj. dokonując wielokrotnie pomiarów złożonych. Przyjmuje się wtedy, że wynikiem pomiaru złożonego jest wartość średnia serii pomiarów złożonych obliczana według wzoru (1), a złożoną niepewność standardową wyniku określa wzór (2), według którego obliczamy niepewność standardową serii pomiarów. Niepewności pomiarów - Kazimierz Pater 15/19

16 Prawo przenoszenia niepewności maksymalnej Przepisy ISO dopuszczają rachunek niepewności złożonej oparty na metodzie różniczki zupełnej: k Y = j=1 f X x x j j, (9) gdzie: x j jest w praktyce niepewnością wzorcowania przyrządu jakim uzyskano wynik x j. W analogiczny sposób można też stosować metodę pochodnej logarytmicznej. Niepewności pomiarów - Kazimierz Pater 16/19

17 Niepewność rozszerzona i zapisywanie wyników Dla celów komercyjnych, przemysłowych, zdrowia i bezpieczeństwa zachodzi konieczność podania miary niepewności, która określa przedział otaczający wynik pomiaru zawierający dużą, z góry określoną, część wyników, jakie można przypisać wielkości mierzonej. Niepewność spełniającą powyższy warunek nazywa się niepewnością rozszerzoną i oznacza symbolem U(y) lub U. Definiuje się ją wzorem U(y) = k u c (y), gdzie k nazywa się współczynnikiem rozszerzenia. Jest to umownie przyjęta liczba, wybrana tak, by w przedziale y ± U(y) znalazła się większość wyników pomiaru potrzebna do danych zastosowań. W przepisach ISO przyjmuje się wartość k między 2 a 3. Niepewności pomiarów - Kazimierz Pater 17/19

18 Przyjmuje się zasadę zapisywania niepewności z dokładnością do dwu cyfr znaczących. Wynika stąd, że wynik pomiaru powinien być zapisany z taką liczbą cyfr znaczących, aby ostatnie dwie odpowiadały niepewności. Spośród dwu sposobów skrótowego zapisu wartości mierzonej i jej niepewności utrwala się zasada, by zapis z użyciem symbolu "±" stosować wyłącznie do niepewności rozszerzonej, np. g =(9,81 ± 0,11) m/s 2, natomiast zapis z użyciem nawiasów stosuje się do niepewności standardowej, np. g = 9,817(63) m/s 2. W obu powyższych przykładach zapisów zastosowano zasadę podawania dwóch cyfr znaczących niepewności. Niepewności pomiarów - Kazimierz Pater 18/19

19 Podstawowe zasady oceny niepewności pomiaru Wielkość Niepewność standardowa dla serii pomiarów. Symbol i sposób obliczania N u x = x x i 2 i=1 N N 1 Niepewność standardowa gdy znana jest niepewność wzorcowania lub inna. u x = Δ W 3 Δ E 3 Δ T Złożona niepewność standardowa dla nieskorelowanych wielkości. u c Y = K j =1 f X 2 u x x j 2 j Złożona niepewność standardowa dla k skorelowanych wielkości metodą różniczki. Y = f X j =1 x j x j Niepewność rozszerzona. U(y) = k *u(y) ( 2< k < 3 ) Zalecany zapis niepewności. standard - g = 9,817 m/s 2, u(g) = 0,063 m/s 2 lub g = 9,817(63) m/s 2 rozszerzona - g = 9,81 m/s 2, U(g) = 0,11 m/s 2 lub g =(9,81±0,11) m/s 2 (zasada podawania 2 cyfr znaczących niepewności) Niepewności pomiarów - Kazimierz Pater 19/19