Wprowadzenie do statystyki dla. chemików testowanie hipotez

Transkrypt

1 chemików testowanie hipotez Michał Daszykowski, Ivana Stanimirova Instytut Chemii Uniwersytet Śląski w Katowicach Ul. Szkolna Katowice www: mdaszyk@us.edu.pl istanimi@us.edu.pl Zadanie Stosując pewną metodę analityczną o znanej precyzji, dla jednej próbki uzyskano po sześć wyników oznaczeń składnika A. Na poziomie istotności 0,05 i 0,0 ustal, które z wyników oznaczeń można uznać za odległe: 6,00; 6,05; 5,99; 6,03; 5,97 i 6,0 g dm -3 chemików

2 Rozwiązanie - zadanie Ustalamy przedział ufności wokół wartości średniej. Mając na względzie, dysponujemy wynikami tylko 6 oznaczeń, ogólna postać przedziału ufności jest opisana następującym wzorem: ± t ( α/, n )( / n ) 6,0 0,09 0,03 Wartości ytyczne dla jednostronnego rozkładu t 0,05 0,05 0,0 0,005 6,34,706 3,8 63,657,90 4,303 6,965 9,95 3,353 3,8 4,54 5,84 4,3,776 3,747 4,604 5,05,57 3,365 4,03 6,943,447 3,43 3,707 7,895,365,998 3,499 8,860,306,896 3,355 9,833,6,8 3,50 0,8,8,764 3,69 Rozwiązanie - zadanie () ε t ( 0,05/,6 )( / n ),57 ( 0,03/ 6) ± ε 6,0± 0,03 0,03 5,98 6,04 () ε t ( 0,0/,6 )( / n ) 4,03 ( 0,03/ 6) ± ε 6,0± 0,05 0,05 5,96 6,06 chemików

3 Rozwiązanie - zadanie Na 95% poziomie ufności wyniki 5,97 i 6,05 można uznać jako odległe. Na 99% poziomie ufności nie stwierdza się wyników odległych. Zadanie Analizując zawartość witaminy B w partii tabletek preparatu b-kompleks uzyskano następujące wyniki: 5,0; 4,95; 4,99; 4,97 i 5,00 mg. Wiedząc, że deklarowana przez producenta zawartość witaminy B w preparacie wynosi 5,00 mg, ustal, czy zawartość aktywnego składnika w analizowanej partii preparatu różni się istotnie na poziomie istotności 0,05. chemików 3

4 Rozwiązanie zadanie Należy dokonać porównania wartości średniej uzyskanych wyników z wartością deklarowaną. Testujemy następujące hipotezy: H 0 : 0 H : 0 By zbadać słuszność hipotez, możemy: () skonstruować przedział ufności wokół wartości średniej () wykorzystać test t. Rozwiązanie zadanie Sposób : Konstrukcja przedziału ufności na oeślonym poziomie istotności dla zbioru wyników Hipoteza zerowa będzie spełniona, jeśli wartość deklarowana znajdzie się w przedziale ufności. 0 0 chemików 4

5 Rozwiązanie zadanie ± t ( α/, n )( / n ) 4,98 0,0 ± t 4,98 ( 0,05/,5 )( / n ) ±,78( 0,0/ 5) 4,98 ± 0,0 Wartości ytyczne dla jednostronnego rozkładu t 0,05 0,05 0,0 0,005 6,34,706 3,8 63,657,90 4,303 6,965 9,95 3,353 3,8 4,54 5,84 4,3,776 3,747 4,604 5,05,57 3,365 4,03 6,943,447 3,43 3,707 7,895,365,998 3,499 8,860,306,896 3,355 9,833,6,8 3,50 0,8,8,764 3,69 Rozwiązanie zadanie Skonstruowany przedział ufności zawiera wartość deklarowaną, a zatem spełniona jest hipoteza zerowa. H 0 : 0 4,96 5,00 H : 0 chemików 5

6 Rozwiązanie zadanie Sposób : t-test 0 t 0 t / n 4,98 5,00,4 0,0/ 5 t t H t ( ),78 0,05/,5 -,4,78 H 0 Zadanie 3 Dla dwóch partii leku oznaczono zawartość aktywnego składnika, uzyskując wyników oznaczeń: partia : partia : 4,; 3,97; 3,95; 4,00; 3,93 i 4,00 mg 3,97; 4,05; 3,97; 4,05 i 4,03 mg Ustal, czy zawartość aktywnego składnika w pierwszej i drugiej partii różnią się statystycznie istotnie przyjmując poziom ufności 95% (zakładamy, iż dwie partie charakteryzują się porównywalną wariancją). chemików 6

7 Rozwiązanie zadanie 3 Ponieważ w zadaniu założono, iż dwie partie mają porównywalną wariancję, nie ma potrzeby sprawdzać słuszności użycia t-testu porównującego dwie średnie. Pozostaje nam zatem sprawdzić hipotezy następującej postaci (test dwustronny): H 0 : 0 H : 0 Rozwiązanie zadanie 3 t w ( /n + /n ) t t H 0 w ( n - ) + ( n ) n + n - chemików 7

8 Rozwiązanie zadanie 3 3,99 0,06 0,004 4,0 0,04 0,00 w ( n - ) + ( n ) ( 6 -) 0,004 + ( 5-) 0,003 n + n ,00 Rozwiązanie zadanie 3 t w 0,003 ( /n + /n ) 3,99 4,0 ( /6 + /5) 0,67-0,67,6 H 0 t ( ),6 0,05/,6 + 5 Wartości ytyczne dla jednostronnego rozkładu t 0,05 0,05 0,0 0,005 6,34,706 3,8 63,657,90 4,303 6,965 9,95 3,353 3,8 4,54 5,84 4,3,776 3,747 4,604 5,05,57 3,365 4,03 6,943,447 3,43 3,707 7,895,365,998 3,499 8,860,306,896 3,355 9,833,6,8 3,50 0,8,8,764 3,69 chemików 8

9 Rozwiązanie zadanie 3 Jeśli w treści zadania nie byłoby założenia o równości wariancji dwóch grup próbek, wówczas należałoby sprawdzić testem F, czy faktycznie wariancje są równe (statystycznie istotnie): H 0 : H : F >, F ( 0,05/,5,4 ) 9, 36 Liczba stopni swobody n ,79 799,50 864,6 899,58 9,85 937, 948, 956,66 963,8 968,63 Liczba stopni swobody n 38,5 39,00 39,7 39,5 39,30 39,33 39,36 39,37 39,39 39,40 3 7,44 6,04 5,44 5,0 4,88 4,73 4,6 4,54 4,47 4,4 4, 0,65 9,98 9,60 9,36 9,0 9,07 8,98 8,90 8,84 5 0,0 8,43 7,76 7,39 7,5 6,98 6,85 6,76 6,68 6,6 6 8,8 7,6 6,60 6,3 5,99 5,8 5,70 5,60 5,5 5,46 7 8,07 6,54 5,89 5,5 5,9 5, 4,99 4,90 4,8 4,76 8 7,57 6,06 5,4 5,05 4,8 4,65 4,53 4,43 4,36 4,30 9 7, 5,7 5,08 4,7 4,48 4,3 4,0 4,0 4,03 3,96 0 6,94 5,46 4,83 4,47 4,4 4,07 3,95 3,85 3,78 3,7 chemików 9

10 Rozwiązanie zadanie 3 0,004 F 0,00 F F H 0 < 9,36 Z 95% pewnością można stwierdzić, iż nie ma statystycznie istotnych różnic pomiędzy wariancjami dwóch grup. Zadanie 4 Dla dwóch partii produkowanego odczynnika zmierzono jego gęstość, uzyskując następujące wyniki pomiarów: partia :,;,85;,97;,9 i,6 g cm -3 partia :,;,03;,07;,3 i,00 g cm -3 Ustal, czy te dwie partie wyprodukowanego odczynnika różnią się istotnie od siebie przyjmując poziom ufności 95%. chemików 0

11 Rozwiązanie zadanie 4 Sprawdzamy za pomocą testu F, czy faktycznie wariancje dwóch grup próbek są równe (statystycznie istotnie). Testujemy następujące hipotezy: H 0 : H : F >, Rozwiązanie zadanie 4 F ( 0,05/,4,4 ) 9, 60,64 0,376 F 0,388 0,388,068 0,054 0,009 47,53 > F H 0,009 Z 95% pewnością możemy twierdzić, że wariancje dwóch grup są statystycznie istotnie różne. chemików

12 Rozwiązanie zadanie 4 Ponieważ wariancje dwóch grup są statystycznie istotnie różne, dlatego porównanie wartości średnich dwóch grup przeprowadzany z użyciem testu Cochrana. C C t t wartość ytyczna rozkładu t dla ( /n ) + ( /n ) ( /n ) + t ( /n ) ( /n + ( /n ) oeślonego poziomu istotności i n - stopni swobody t wartość ytyczna rozkładu dla oeślonego poziomu istotności i swobody t 0,05/,4 ( ) t ( ),78 0,05/,4 Rozwiązanie zadanie 4 Testujemy następujące hipotezy: H 0 : 0 H : 0 C 3,06 C t,78 ( /n ) + ( /n ) ( /( n ) ) + t / ( n ) /( n ) + / n ( ) ( ) ( ( )),64,068 0,388/ 4 + 0,009 / 4,78 0,388/ 4 +,78 0,009/ 4 0,388/ 4 +,78 0,009/ 4 chemików

13 Rozwiązanie zadanie 4 C > C H 3,06 >,78 H Z 95% ufnością możemy stwierdzić, iż dwie partie odczynnika różnią się statystycznie istotnie ze względu na gęstość. Zadanie 5 Dla dwóch partii benzyn wyznaczono ich średnią liczbę oktanową, na podstawie 35 i 40 próbek. Wynosiły odpowiednio 95,05 i 95,60. Wiedząc, że wariancja pomiaru dla pierwszej partii wynosi 0,50, a drugiej 0,43 oceń, czy różnią się istotnie od siebie w sensie statystycznym na poziomie ufności 95%. chemików 3

14 Rozwiązanie zadanie 5 Na wstępie weryfikujemy, czy wariancje dwóch grup są statystycznie istotnie równe na poziomie istotności 0,05: H 0 : H : n 95, ,50 n 95, ,43 Rozwiązanie zadanie 5 F ( 0,05/,34, 40), 9 F 0,50,6 < F H 0 0,43 Wariancje dwóch grup są równe na poziomie istotności 0,05. chemików 4

15 Rozwiązanie zadanie 5 Ponieważ mamy estymowane wariancje i relatywnie dużą liczbę pomiarów możemy przyjąć wartości ytyczne dla rozkładu normalnego. Testujemy następujące hipotezy: H 0 : 0 H : 0 z /n + /n Rozwiązanie zadanie 5 z /n + /n 0,55 0, ,007 95,05 95,60 0,5 / ,43/ 40 0,55 3,44 0,05 z z H 3,44 >,96 H 0 z ( 0,05/ ), 96 chemików 5

16 Rozwiązanie zadanie 5 Z 95% pewnością można stwierdzić, iż dwie partie benzyn mają różną liczbę oktanową. chemików 6