ANALIZA SZEREGÓW CZASOWYCH A STATYSTYCZNY POMIAR RYZYKA

ANALIZA SZEREGÓW CZASOWYCH A STATYSTYCZNY POMIAR RYZYKA

Sudia Ekonomiczne ZESZYTY NAUKOWE WYDZIAŁOWE UNIWERSYTETU EKONOMICZNEGO W KATOWICACH

ANALIZA SZEREGÓW CZASOWYCH A STATYSTYCZNY POMIAR RYZYKA Redakor naukowy Grażyna Trzpio Kaowice 0

Komie Redakcyjny Krysyna Lisiecka (przewodnicząca), Anna Lebda-Wyborna (sekrearz), Halina Henzel, Anna Kosur, Maria Michałowska, Grażyna Musiał, Irena Pyka, Sanisław Sanek, Sanisław Swadźba, Janusz Wywiał, Teresa Żabińska Komie Redakcyjny Wydziału Informayki i Komunikacji Tadeusz Trzaskalik (redakor naczelny), Mariusz Żyniewski (sekrearz), Andrzej Bajdak, Sanisław Sanek, Grażyna Trzpio Rada Programowa Lorenzo Faorini, Mario Glowik, Miloš Král, Bronisław Micherda, Zdeněk Mikoláš, Marian Noga, Gwo-Hsiung Tzenga Recenzen Józef Sawicki Redakor Karolina Koluch Skład eksu Urszula Grendys Copyrigh by Wydawnicwo Uniwersyeu Ekonomicznego w Kaowicach 0 ISBN 978-83-7875-036-9 ISSN 083-86 Wszelkie prawa zasrzeżone. Każda reprodukcja lub adapacja całości bądź części niniejszej publikacji, niezależnie od zasosowanej echniki reprodukcji, wymaga pisemnej zgody Wydawcy WYDAWNICTWO UNIWERSYTETU EKONOMICZNEGO W KATOWICACH ul. Maja 50, 40-87 Kaowice, el. 3 5 77 635, fax 3 5 77 643 www.wydawnicwo.ue.kaowice.pl, e-mail: wydawnicwo@ue.kaowice.pl

SPIS TREŚCI WPROWADZENIE.......................................... 7 Grażyna Trzpio: EKSTREMALNA REGRESJA KWANTYLOWA..... Summary................................................... 0 Grażyna Trzpio: O WŁASNOŚCIACH TRANSFORMUJĄCYCH MIAR RYZYKA.............................................. Summary................................................... 36 Alicja Ganczarek-Gamro: MODELE O-GARCH W OCENIE RYZYKA PORTFELA INWESTYCJI NA RYNKU DNIA NASTĘPNEGO.. 37 Summary................................................... 48 Agnieszka Orwa-Acedańska: OCENA RYZYKA PORTFELA W ALOKACJI ODPORNEJ PRZY RÓŻNYCH TYPACH ROZKŁADÓW PODEJŚCIE SYMULACYJNE.............. 49 Summary................................................... 66 Grażyna Trzpio, Agnieszka Orwa-Acedańska: KWANTYLOWA ANALIZA STYLU NA PRZYKŁADZIE WYBRANYCH FUNDUSZY INWESTYCYJNYCH AKCJI................... 67 Summary................................................... 83 Grażyna Trzpio, Przemysław Jeziorski: ZASTOSOWANIE SKOINTEGROWANYCH MODELI VAR NA MIĘDZYNARODOWYCH RYNKACH FINANSOWYCH... 85 Summary................................................... 98 Grażyna Trzpio, Dominik Krężołek: JEDNOCZYNNIKOWY MODEL SHARPE A ANALIZA EMPIRYCZNA NA PRZYKŁADZIE WYBRANYCH WALORÓW RYNKU METALI NIEŻELAZNYCH....................................... 99 Summary................................................... 09

Grażyna Trzpio, Jusyna Majewska: METODY IDENTYFIKACJI OBSERWACJI JEDNORAZOWYCH I DŁUGOTRWAŁYCH ANALIZA PORÓWNAWCZA NA ŚWIATOWYCH RYNKACH KAPITAŁOWYCH...................................... Summary................................................... Alicja Ganczarek-Gamro, Jusyna Majewska: ODPORNA ESTYMACJA ZMIENNOŚCI NA RYNKU ENERGII ELEKTRYCZNEJ....... 3 Summary................................................... 37 Agnieszka Orwa-Acedańska, Anna Ojrzyńska: STATYSTYCZNA ANALIZA STRUKTURY DEMOGRAFICZNEJ CZŁONKÓW 39 OFE.................................................. Summary................................................... 54 Grażyna Trzpio, Joanna Tomanek: SZACOWANIE STRUKTURY TERMINOWEJ STÓP PROCENTOWYCH................... 55 Summary................................................... 64

WPROWADZENIE Saysyczne miary opisowe warości badanych zmiennych dały począek rozwojowi meodologii pomiaru ryzyka związanej z miarami ryzyka. Począkowo ryzyko było posrzegane jedynie w odniesieniu do rynków kapiałowych i koncenrowano się na pomiarze ryzyka z wykorzysaniem miar zmienności. Kolejnym krokiem modelowania jes ilościowa reprezenacja ryzyka w usalonym horyzoncie czasowym, a nasępnie reprezenacja ryzyka poprzez wyznaczenie prawdopodobieńswa dla zadanych scenariuszy. Tego rodzaju podejście zapocząkowało rozwój konsrukcji miar ryzyka zwanych miarami zagrożenia. Nasępnie pojawiła się grupa prac badawczych podejmująca zagadnienie własności ych miar, a co za ym idzie użyeczności w badaniach i zasosowaniach prakycznych. Meodologia w ym obszarze badań wykorzysuje meody symulacyjne Mone Carlo, analizy danych hisorycznych, jak również nieklasyczny opis saysyczny, np. regresję kwanylową. Kwanylowe miary ryzyka mają zasosowanie jako miary eksremalne dla pesymisycznych scenariuszy. Opierając się na akim podejściu, wykorzysuje się miary warości zagrożonej oraz warunkowe miary warości zagrożonej z ograniczeniami na warości lub yp rozkładu. Opisywane miary są wyznaczane dla empirycznych szeregów czasowych będących punkem wyjścia do analiz z wykorzysaniem meodologii sochasycznych opisów szeregów czasowych. Przedmioem badań było zasosowanie meodologii saysycznej analizy szeregów czasowych do opisu ryzyka z wykorzysaniem miar zmienności oraz miar zagrożenia na rynku kapiałowym i erminowym oraz na rynkach owarowych: w obrocie mealami oraz na rynku energii. Arykuł Grażyny Trzpio owierający niniejszy Zeszy Naukowy ma charaker eoreycznego wprowadzenia w meodologię eorii regresji kwanylowej w ogonach rozkładów. Omówiono w nim w szczególności eksremalne własności regresji kwanylowej dla dużej próby. To szczególne badanie ma znaczenie aplikacyjne w konekście szeregów czasowych o wysokiej częsoliwości. Drugi arykuł ej Auorki o uporządkowanie własności ransformujących miar ryzyka. Omówione własności wychodzą naprzeciw nasępującym problemom: zapewniają, że ransformująca miara ryzyka wykorzysa wszyskie informacje z rozkładu prawdopodobieńswa sra oraz że użyje odpowiednio ych informacji.

8 WPROWADZENIE Tema wielowymiarowego modelowania na rynku energii porusza arykuł Alicji Ganczarek-Gamro. Omówiono w nim klasyczne wielowymiarowe modele GARCH: modele VECH oraz BEKK, kóre w ogólnej swojej posaci wymagają esymacji wielu paramerów. W części badawczej wykorzysano wielowymiarowy model czynnikowy O-GARCH do esymacji ryzyka zmiany warości porfela złożonego z konraków na energię elekryczną. Meodologiczne podejście do sosowanych w prakyce modeli przyjmuje w swoim arykule Agnieszka Orwa-Acedańska. Rozważa ważny problem ryzyka esymacji, rozumiany w konekście ryzyka inwesycji jako możliwość poniesienia sray w wyniku błędów esymacji paramerów modeli. Auorka podejmuje ocenę przydaności meody alokacji odpornej, przeprowadzając badanie, w jakim sopniu warość rzeczywisego ryzyka porfela przekracza usaloną warość dopuszczalnego ryzyka. Porównaniu warości rzeczywisego ryzyka porfeli i dopuszczalnego ryzyka służy zasosowanie meod symulacji rozkładu populacji. Grażyna Trzpio i Agnieszka Orwa-Acedańska połączyły meodologię klasycznego modelu analizy sylu Sharpe a z pewną szczególną wersją regresji kwanylowej w badaniach rynku funduszy inwesycyjnych akcji. Zbadały wpływ pewnych czynników na cały rozkład warunkowy sóp zwrou funduszu poprzez modelowanie warunkowych kwanyli sóp zwrou wybranych funduszy inwesycyjnych zrównoważonych. Przedsawiły uogólnienie modelu analizy sylu Sharpe a do modelu wielorakiej regresji kwanylowej z ograniczeniami na paramery (kwanylowa analiza sylu). W arykule Grażyny Trzpio i Przemysława Jeziorskiego podjęo meodologię wekorowych modeli auoregresyjnych (VAR), kóre pozwalają na modelowanie wielowymiarowych szeregów czasowych. Modele VAR zakładają, że modelowane szeregi czasowe posiadają własność sacjonarności. Isnienie niesacjonarności szeregów czasowych uniemożliwia bezpośrednią implemenację modeli VAR. Podjęa analiza obejmuje wykorzysanie własności ych modeli oraz szacowanie modeli VAR w odniesieniu do wybranych szeregów czasowych z rynku kapiałowego. Model czynnikowy opisuje poziom sopy zwrou poprzez dekompozycję czynników na właściwe wszyskim akywom i specyficzne dla konkrenie analizowanego waloru. To podejście przyjęli Grażyna Trzpio i Dominik Krężołek w swoim arykule, przedsawiając rzy podsawowe grupy modeli czynnikowych: makroekonomiczne, fundamenalne oraz saysyczne. Badania empiryczne skoncenrowano na rynku meali. Problem wysępowania obserwacji odsających w szeregach czasowych jes przedmioem rozważań zarówno na płaszczyźnie prakycznej, jak i eoreycznej. W arykule Grażyny Trzpio i Jusyny Majewskiej przedsawiono

WPROWADZENIE 9 klasyczną procedurę idenyfikacji obserwacji nieypowych wykorzysującą esymację paramerów klasyczną meodą największej wiarygodności oraz zmodyfikowaną procedurę wykorzysującą odporną meodę esymacji paramerów (τ-esymację). Zweryfikowano porównywane meody na danych empirycznych pochodzących z parkieów świaowych. Zasosowanie podejścia odpornego w modelowaniu na rynku energii można znaleźć w arykule Alicji Ganczarek-Gamro i Jusyny Majewskiej. Na podsawie noowań z polskiej Towarowej Giełdy Energii dokonano analizy zidenyfikowanych gwałownych skoków zmienności cen energii elekrycznej oraz zasosowano odporne meody esymacji paramerów modeli GARCH. Celem arykułu Agnieszki Orwa-Acedańskiej i Anny Ojrzyńskiej jes saysyczny opis srukury demograficznej członków Owarych Funduszy Emeryalnych oraz zmian ej srukury w okresie badawczym 999-009. Do analizy zmian srukury demograficznej członków OFE ogółem oraz według płci i wieku zasosowano wybrane saysyczne wskaźniki demograficzne. Uzupełnienie opisu srukury demograficznej sanowi klasyfikacja funduszy pod względem srukury członków według różnych grup wiekowych. Grażyna Trzpio i Joanna Tomanek podejmują zagadnienie szacowania paramerów modeli przybliżających srukurę erminową sóp procenowych w aspekcie aproksymacji krzywej dochodowości. Najszerszym podejściem modelowania sóp procenowych jes aproksymacja całej krzywej dochodowości poprzez esymację pewnej funkcji opisującej wszyskie sopy procenowe, przy czym paramery ej funkcji mają prakyczną inerpreację. Zasosowano dwa modele: Nelsona-Siegela oraz Svenssona. Model Svenssona jes rozwinięciem modelu Nelsona-Siegela. Model en pozwala na większą elasyczność w modelowaniu krzywej dzięki dwóm dodakowym paramerom. Przedsawiono również oszacowanie modelu Svenssona. Przedsawione arykuły są wynikiem badań sauowych prowadzonych w zespole badawczym składającym się z młodych naukowców, adiunków oraz dokoranów, worzących dynamiczną grupę poszukującą nowego ujęcia znanych podejść do opisu ryzyka w szeregach czasowych. Wykorzysanie znanych meodologii, ale zasosowanych w badaniach w odmiennych konfiguracjach, pozwala na wskazanie obszarów badań wcześniej niezauważalnych bądź nie dość osro widzianych. Auorzy mają nadzieję, że przedsawione Czyelnikowi wyniki badań pobudzą do refleksji i pyań, co zawsze jes począkiem nowych badań. Grażyna Trzpio

Grażyna Trzpio EKSTREMALNA REGRESJA KWANTYLOWA Wprowadzenie Omawiana meoda regresji regresja kwanylowa wyznacza esymaory warunkowych kwanyli (Koenker, Basse, 978) objaśnianej zmiennej Y na podsawie warości zmiennych objaśniających X. Auorzy rozwinęli regresję medianową Laplace a (88) (bezwzględny minimalny esymaor) oraz uogólnili zwykłe kwanyle wyznaczane dla próby w zbiór regresji kwanylowych. Regresja kwanylowa jes ważnym narzędziem w esymacji warunkowych kwanyli wyjaśnianej zmiennej Y, w przypadku gdy dysponuje się macierzą kowariancji X. Może być wykorzysywana nie ylko do mierzenia efeków zmian warości w cenrum rozkładu, ale również w prawym lub lewym ogonie rozkładu. Poniżej przedsawiono eorię regresji kwanylowej w ogonach rozkładów. W arykule w szczególności zosaną omówione eksremalne własności dla dużej próby (eksremalny porządek oraz cenralny porządek) esymaorów regresji kwanylowej dla modelu liniowego regresji kwanylowej z obcięym ogonem rozkładu do isonego minimum rozważanej dziedziny oraz domknięe pod warunkiem ekwiwalenności ogona względem warości regresorów. Takie założenia w modelowaniu łączą ograniczenia eorii warości eksremalnych z homoscedasycznością i heeroscedasycznością liniowej specyfikacji analizy regresji. W dużych próbach eksremalny porządek regresji kwanylowej jes słabo zbieżny do funkcjonałów całek sochasycznych procesu Poissona zależnego od regresorów, podczas gdy cenralna kwanylowa regresja oraz jej funkcjonały są zbieżne do wekora o rozkładzie normalnym macierzy kowariancji zależnym od paramerów w ogonie oraz rozkładu paramerów. Regresja kwanylowa ma wiele zasosowań w badaniach empirycznych oraz wiele opracowań eoreycznych. W wielu ważnych zasosowaniach regresji kwanylowej wysępują sudia łączne z obserwacją wysępujących warości eksremalnych. W ekonomerycznych zasosowaniach można wskazać badania wykorzysujące analizę czynnikową, kóra uwzględnia eksremalne warości (przykładowo: dolna warość wagi noworodków, Abrevaya, 00) czy analizę wysokich noowań na aukcjach (zob. Donald, Paarsch, 993) oraz esymację czynników wysokiego ryzyka finansowego (zob. Tsay, 00; Chernozhukov, Umansev, 00).

Grażyna Trzpio. Regresja kwanylowa Zmienna Y jes zmienną objaśnianą o warościach w R, naomias X = (, X ) jes wekorem zmiennych objaśniających o wymiarach d (zazwyczaj ransformowane zmienne wejściowe) *. Warunkową dysrybuanę zmiennej Y przy usalonej warości X = x zapiszemy jako F Y ( x). Zadaniem jes wyznaczenie FY ( τ x) = inf{ y : FY ( y x) >τ }, gdzie τ jes bliskie zeru. Rozparujemy próbę {Y, X, =,,T}, gdzie X X, kóra generuje model probabilisyczny z warunkową funkcją kwanylową: F Y ( τ x) = x' β ( τ ) dla τ, x X (.) Funkcja β( ) jes nieparameryczną funkcją τ, kóre jeżeli = (0, ) również odpowiada modelowi sochasycznemu z losowymi paramerami: Y = X β(ε) oraz ε = U(0, ), X X. (.) Ważne jes, aby było spełnione równanie. przy dodakowych ograniczeniach: = [0, η] dla pewnego 0 < η < oraz x X, kóry jes zwarym podzbiorem R d (.3). Różne modele liniowe (.) mogą być sosowane dla różnych podzbiorów danych generujących różne macierze kowariancji X (przykładowo mogą być rozparywane w lokalnym sąsiedzwie danego x o, wówczas model liniowy (.) może być rakowany jako rozwinięcie Taylora). Model (.) ma fundamenalne znaczenie w eoreycznej i empirycznej lieraurze o regresji kwanylowej. Jego przyszłe zasosowania o możliwość wyznaczania kwanylowej specyfikacji efeku kowariancji w znanym modelowaniu liniowym. Wykorzysamy nasępujące podejście meodologiczne: połączymy liniowy model z ograniczeniami na ogonie rozkładu, zaczerpnięymi z eorii warości eksremalnych, aby uzasadnić własności asympoyczne. Wnioskowanie o warościach β(τ) wykorzysuje w regresji kwanylowej saysyki ˆ β ( τ ) zdefiniowane jako rozwiązanie problemu wyznaczenia minimum absolunych asymerycznych odchyleń: gdzie ˆ β ( τ ) = arg min ρ τ ( u ) = ( τ I ( u 0)) u **. T d β R = ' ρ ( Y X β ) τ (.4) * Zapis x oznacza wekor x z pominięciem pierwszej składowej x. ** I[A] = if A is rue, I[A] = 0 oherwise.

EKSTREMALNA REGRESJA KWANTYLOWA 3 Regresja Laplace a (88) medianowa regresja jes szczególnym przypadkiem ego zadania, wówczas ρ / ( u ) = u /. Saysyki ˆ β ( τ ) są nauralnym uogólnieniem kwanyli z próby do przypadku ciągłego. W przypadku zadania jednowymiarowego kwanyl rzędu τ może być wyznaczony jako rozwiązanie powyższego problemu (bez kowariancji), wówczas X =. Aby wprowadzić własności β(τ) dla dużych prób w ogonach rozkładów, wyróżnimy rzy ypy regresji kwanylowej w próbie zgodnie z eorią warości eksremalnych * : a) eksremalny porządek ciągu: τ T 0, τ T T k > 0, b) wewnęrzny porządek ciągu: τ T 0, τ T T, c) cenralny porządek ciągu: τ (0,), jes usalone, T. Będziemy rozparywać saysyki ˆ β ( τ ) dla eksremalnych i wewnęrznych porządków ciągów, a nasępnie zapiszemy saysyki spełniające równocześnie założenia jako eksremalne regresje kwanylowe, przyjmując oznaczenie ˆ( β τ T ). Oznacza o, że pominiemy zapis T w przyjęym oznaczeniu τ T (jeżeli nie spowoduje o niezrozumienia).. Teoria warości eksremalnych a model liniowy regresji kwanylowej Mamy zmienną losową U z dysrybuaną F u oraz najmniejszą warością (ang. lower end-poin) s u = 0 lub s u = oraz nasępujące możliwe ogony rozkładów (Resnik, 987): ypu jeżeli z s u = 0 lub s u = v F u ( z + va( z)) ~ F ( z) e, v R, ξ 0, u ypu jeżeli z s u = ξ u F u (vz) ~ v F ( z), v > 0, ξ > 0, ypu 3 jeżeli z s u = 0 ξ u F u (vz) ~ v F ( z), v > 0, ξ < 0 z gdzie a( z) = F ( v) dv / F ( z), dla z > s u. su u u * Osanie sformułowanie odpowiada klasycznej eorii.

4 Grażyna Trzpio Liczba ξ jes nazywana indeksem ogona (ang. exreme value index), naomias F u z ogonem ypu -3 należy do rodziny minimum przyciągania w dziedzinie (a(z) ~ b(z), co zapisujemy nasępująco: a(z)/b(z) granica wyznaczana jes po z). Warunek. Dla modelu zapisanego jako. isnieje odwzorowanie, linia pomocnicza (auxiliary line) x a x β r aka, że: U = Y X β r wraz z s U = 0 lub s U = (.) dla pewnych F u ypu, lub 3 w ogonach: F U ( z x) ~ K(x) F u (z) (.) K( ) > 0 jes ciągłą ograniczoną funkcją na X. Bez sray ogólności można przyjąć, że K(x) =, x = μ X oraz F ( z) F ( z x). u = Warunek. Dysrybuana rozkładu X = (, X ) jes wekorem zmiennych objaśniających o wymiarach d, F X ma zwarą dziedzinę X oraz EXX określone dodanio. Bez sray ogólności można przyjąć, że μ X = EX = = (,0,,0). Jeżeli Y ma skończoną dolną warość, czyli Xβ(0) >, wówczas, co wynika z warunku, β r β(0), zaem U = Y X β(0) 0 ma najmniejszą warość wynoszącą 0, co wynika z przyjęej konsrukcji. W przypadku nieograniczonym Xβ(0) = nie wskażemy rozwiązania i nie dopasujemy pomocniczej linii. Zapisany warunek jes założeniem podsawowym. Po pierwsze, warunek wymaga od ogonów zmiennej U = Y X β r, dla pewnych β r, aby były w minimum przyciągania w dziedzinie, kóra jes nieparameryczną klasą rozkładów (Resnick, 987; Embrechs, Kliippelberg, Mikosch, 997). W ym sensie specyfikacja warunku jes semiparameryczna. Przykłady. oraz. prezenują pewne modele regresji spełniające warunek. Po drugie, warunek wymaga, aby dla dowolnych x', x" X, z FU ( z x ) oraz z FU ( z x ) miały ogony równoważne co do sałej. Ten warunek jes uzasadniony poprzez domknięcie dziedziny do minimum ważności z minimum przyciągania w dziedzinie przy równoważności ogonów własność.9 w Resnick (987). Własność zawarości zbioru X w warunku jes konieczna, co wynika z eorii granic dla regresji kwanylowej; granica (w szczególnych przypadkach) może ogólnie się zmienić. W zasosowaniach zwarość może być narzucona przez obcięe explicie obserwacje zależne od ego, czy X X. W ym przy- U

EKSTREMALNA REGRESJA KWANTYLOWA 5 padku liniowy model (.) z założenia może być zasosowany ylko do warości X w X. Zasadniczo, im mniejszy zbiór X, ym mniej resrykcyjny jes linowy model (Chaudhuri, 99). Również obcięcie X do X eliminuje wpływ odsających warości na graniczną dysrybuanę, a wnioskowanie przebiega jak w przypadku cenralnej regresji kwanylowej. Poniższe wierdzenie wskazuje (Chernozhukov, 005), jaką reprezenację może mieć K(x) określone w warunku. Twierdzenie. Przy spełnieniu warunku i dla pewnego c R d : x c e, dla FU, ypu, ξ = 0 / ξ K ( x) = ( x c), dla FU, ypu, ξ > 0 (.3) / ξ ( x c), dla FU, ypu 3, ξ < 0 gdzie μ X c = dla ogonów ypu i 3, μ X c = 0 dla ypu oraz x c > 0 dla wszyskich x X dla ogonów ypu i 3. Przykład. Rozważmy model regresji ze zmienną przesunięcia: Y= X β + U (.4) gdzie U jes niezależne od X, oraz rozparzmy przypadek aki, że U jes w minimum przyciągania w dziedzinie. Jeżeli dolna warość dziedziny U jes skończona, o jes unormowana do zera. Jes o szczególny przypadek z warunku, gdzie X β r X β Y X β, K(X) = p.w. Przedsawiony proces generujący dane (.4) był wielokronie wykorzysywany w pracach związanych z regresją (Huber, 973; Rao, 965). Różne sandardowe modele przeżycia czy dożycia również wykorzysują model.4 po ransformacji danych, przykładowo model Coxa z rozkładem hazardu Weibulla. Również wiele eoreycznych prac wykorzysuje równanie.4. Ważne jes, że model en jes zgodny z warunkiem. Przykład. Rozważmy model regresji ze zmienną skali i przesunięcia: Y = X β + X σ V, V jes niezależne od X (.5) gdzie X σ > 0 (p.w.) jes funkcją skali, naomias V jes w minimum przyciągania w dziedzinie z ξ 0. Wówczas równanie.5 implikuje nasępującą liniową funkcję warunkowych kwanyli: F ( τ x) X ' β + X ' σ F ( τ ) (.6) Y = V

6 Grażyna Trzpio Wówczas dla X β r X β, U Y X β r = X σ V, gdzie P(X σ V z X) ~ ξ ( X σ ) F ( z), jeżeli z 0 lub, zaem warunek jes spełniony dla V ξ F U F V oraz K(X) = ( X σ ). Proces generujący dane.5 wykorzysano w pracach Koneker, Basse (98), Guenbrunner, Jureckowa (99), He (997). Przykład.3 Rozważmy model regresji kwanylowej ze zmienną przesunięcia: Zauważyliśmy, że warunek spełniają ogólne modele sochasyczne zapisane równaniami.4 i.5 Dodajmy, że z warunku wynika, iż F U (u X) = F V (u X) są niezależne jedynie w ogonach. W obydwu przypadkach a słaba niezależność określa wymagania co do X, przykładowo negaywny wpływ na najwyższe i najniższe kwanyle, ale dodani wpływ na kwanyle blisko mediany. I odwronie, zauważmy, że z równania.6 oraz.4 i.5 wynika en specyficzny wniosek w odniesieniu do kwanyli. Zaem warunek uzasadnia własność heerogeniczności modelu., pozwalając na wnioskowanie o wekorze kowariancji eksremalnych kwanyli, kóry jes odmienny od wekora kowariancji środkowych kwanyli. 3. Asympoyczność porządku eksremalnego kwanylowej regresji Rozparzymy ciąg τ i, i =,..., l, aki, że τ i T k i > 0, jeżeli T, oraz odpowiednią znormalizowaną saysykę regresji kwanylowej Z ˆ ( ) jako: Zˆ ( k) a T T T k i ( ˆ( β τ ) β b ) (3.) gdzie ˆ β ( τ ) jes regresją kwanylową, βr współczynnikiem linii pomocniczej zdefiniowanej w (.), e l = (, 0,...)' R d, a (a T, b T ) są normalizowanymi kanonicznymi sałymi określonymi nasępująco dla ogona: r Te ypu ypu at = F, a u = bt Fu T T a, T T = / Fu T = 0 b (3.)

EKSTREMALNA REGRESJA KWANTYLOWA 7 ypu 3 a = / Fu, T T b T = 0 gdzie F u jes zdefiniowane w warunku. Dodakowo rozważmy scenrowaną saysykę: ˆ c Z T ( k) a T ( ˆ( β τ ) β ( τ )) (3.3) oraz proces punkowy dla U = Y X β r jako proces Poissona. Twierdzenie (eksremalny porządek kwanylowej regresji * ) Zakładamy spełnienie warunku W i W, dodakowo {Y,, X } są niezależne i o akim samym rozkładzie. Wówczas, jeżeli τt k > 0 oraz T : Zˆ ' + [ k X z + ( x' z u) dn( u, x ] d T ( k) Z ( k) arg min μ Ζ ) (3.4) z gdzie Z (k) jes wyznaczone jednoznacznie dla wekorów należących do Ζ, + gdzie ( x ' z u) = ( u x' z) ( x' z u), Ζ = R d dla ogonów ypu oraz 3, naomias Ζ = {z R d : max x X z x 0} dla ogonów ypu. Dodakowo: d ˆ c c ZT ( k) Z ( k) Z ( k) η( k) (3.5) gdzie c + ln ke, ξ η ( k) = k c, ξ k c, ypu ypu ypu 3 W przypadku τt 0 esymaor orzymywany poprzez rozwiązanie zadania programowania liniowego był w przypadku modelu regresji ze zmienną przesunięcia (przykład.) rozwiązaniem zadania: max X ' β d β R akie, że Y X ' β, dla wszyskich T, gdzie X = T T = X. * Chernozhukov (005).

8 Grażyna Trzpio 4. Asympoyczność porządku cenralnego kwanylowej regresji Aby zapisać asympoyczny wynik dla środkowych regresji kwanylowych, zapiszemy dodakowy warunek. Po pierwsze jes wymagane isnienie kwanylowej funkcji gęsości F U ( τ x) / τ x' β ( τ ) / τ oraz jej regularność. Po drugie równoważność warunkowego rozkładu, zakładanego w warunku, musi być wzmocniona równoważnością w ogonie warunkowego rozkładu kwanylowej funkcji gęsości. Warunek 3. Dodakowo do założeń W i W, dla ξ zdefiniowanego jako indeks ogona *, zachodzi: a) b) F U ( τ x) F τ ~ U ( K( x)) w x X, τ τ F u ( τ ) jes regularna w 0 z wykładnikiem ξ. τ Nasępujące wierdzenie określa słabą zbieżność ẐT oraz wszyskich Zˆ T ( l). Ponieważ τ 0, granica zależy jedynie od ξ oraz c, ak jak w wierdzeniu poprzednim, ale ponieważ τt, granica ma rozkład normalny. Twierdzenie 3 (eksremalny porządek kwanylowej regresji ** ) Zakładamy spełnienie warunków -3 oraz {Y,, X }są niezależne i o akim samym rozkładzie. Wówczas, jeżeli τt 0 oraz τ 0: T d Z ˆ Z = N(0, ), = Q Ω 0 ξ Ω 0 H QXQH ξ ( m ) gdzie dla ξ = 0 inerpreujemy wielkość ξ /( m ) jako (ln m) oraz: Q H E[ H ( X )] XX, Q X EXX H(x) x c, dla ogonów ypu i 3 H(x), dla ogonów ypu. ξ * Por. punk 3. ** Chernozhukov (005).

EKSTREMALNA REGRESJA KWANTYLOWA 9 Osaecznie a T (l) może być zasąpione przez: zaem: a T τlt / X '( ˆ( β mlτ ) ˆ( β mτ )) τlt ( l) / X '( ˆ( β mlτ ) ˆ( β mτ )) p, gdzie X = T T = X. Podsumowanie W pracy omówiono eorię regresji kwanylowej w ogonach rozkładów. W szczególności przedsawiono eksremalne własności dla dużej próby (eksremalny porządek oraz cenralny porządek) esymaorów regresji kwanylowej dla modelu liniowego regresji kwanylowej z obcięym ogonem rozkładu do isonego minimum rozważanej dziedziny i domknięe pod warunkiem ekwiwalenności ogona względem warości regresorów. Lieraura Abrevaya J. (00): The Effecs of Demographics and Maernal Behavior on he Disribuion of Birh Oucomes. Empirical Economics, 6, s. 47-57. Chamberlaing G. (994): Quanile Regression, Censoring, and he Srucure of Wages. W: Advances in Economerics: Sixh World Congress Red. C. Sims. Cambridge Universiy Press. Chaudhuri P. (99): Nonparameric Esimaes of Regression Quaniles and Their Local Bahadur Represenaion. Ann. Sais., 9, s. 760-777. Chernozhukov V. (998): Nonparameric Exreme Regression Quaniles. Working Paper. Presened a Princeon Economerics Seminar, Sanford Universiy, December 998. Chernozhukov V. (005): Exremal Quanile Regression. The Annals Of Saisics, Vol. 33, No., s. 806-839. Chernozhukov V., (999): Condiional Exremes and Near-Exremes: Esimaion, Inference, and Economic Applicaions. Ph.D. Disseraion, Dep. Economics, Sanford Universiy, available a: www.mi.edu/tvchern. Chernozhukov V., Umansev L. (00): Condiional Value-A-Risk: Aspecs of Modeling and Esimaion. Empirical Economics, 6, s. 7-9. Donald S.G., Paarsch H.J. (993): Piecewise Pseudo-maximum Likelihood Esimaion in Empirical Models of Aucions. Inerna. Econom. Rev., 34, s. -48.

0 Grażyna Trzpio Embrechs P., Kluppelberg C., Mikosch T. (997): Modelling Exremal Evens. Springer, Berlin. Guenbrunner C., Jureckova J. (99): Regression Rank Scores and Regression Quaniles. Ann. Sais., 0, s. 305-330. He X. (997): Quanile Curves wihou Crossing. Amer Sais., 5, s. 86-9. Huber P.J. (973): Robus Regression: Asympoics, Conjecures and Mone Carlo. Ann. Sais.,, s. 799-8. Koenker R., Basse, G.S. (978): Regression Quaniles. Economerica, 46, s. 33-50. Koenker R., Basse G.S. (98): Robus Tess for Heeroscedasiciy Based on Regression Quaniles. Economerica, 50, s. 43-6. Laplace P.-S. (88): Theorie Analyique Des Probabiliis. Ediions Jacquesgabay (995), Paris. Rao C.R. (965): Linear Saisical Inference and Is Applicaions. Wiley, New York. Resnick S.I. (987): Exreme Values, Regular Variaion, and Poin Processes. Springer, New York. Tsay R.S. (00): Analysis of Financial Time Series. Wiley, New York. EXTREMAL QUANTILE REGRESSION' Summary Quanile regression is an imporan ool for esimaion of condiional quaniles of a response Y given a vecor of covariaes X. I can be used o measure he effec of covariaes no only in he cener of a disribuion, bu also in he upper and lower ails. This paper describe a heory of quanile regression in he ails. Specifically, i obains he large sample properies of exremal (exreme order and inermediae order) quanile regression esimaors for he linear quanile regression model wih he ails resriced o he domain of minimum aracion and closed under ail equivalence across regressor values.

Grażyna Trzpio O WŁASNOŚCIACH TRANSFORMUJĄCYCH MIAR RYZYKA Wprowadzenie W osanich laach miara Value a Risk (VaR α ) była wybierana w insyucjach do pomiaru ryzyka jako miara ryzyka rynkowego. Podsawową zaleą VaR α, w porównaniu z innymi miarami ryzyka jes fak, że kiedy zasosuje się ę miarę do dowolnego insrumenu finansowego, orzymuje się ocenę ryzyka wyrażoną jako sraa w jednoskach pieniężnych. Dodakowo VaR α jes sosunkowo prosa w zasosowaniu w ocenie różnych ryzyk na różnych rynkach. Pomimo ej uniwersalności wielu auorów wymienia słabości ej miary jako miary ryzyka, ponieważ nie posiada własności subaddyywności lub wypukłości, dodakowo jes rudna do wykorzysania w zadaniach opymalizacyjnych, ponieważ może mieć kilka lokalnych warości minimalnych (Basak, Shapiro, 00). Arzner, Delbaen i Eber (997) sformułowali pyanie: jakie własności powinna posiadać miara ryzyka dla różnych ryzyk w skończenie wymiarowej przesrzeni probabilisycznej? Auorzy zaproponowali zbiór własności dla miary ryzyka ak, aby była koherenną miarą ryzyka: subaddyywność, ranslację inwarianną, dodanią homogeniczność i monooniczność. Ich praca zosała rozszerzona do ogólnej przesrzeni probabilisycznej przez Delbaena (00). Wraz z koncepcją koherennych miar ryzyka oraz ich własności pojawiły się różne zbiory miar, każde z innymi własnościami: miar wypukłych (Föllmer, Shied, 00; Frielli, Rosazza, 00), miar spekralnych (Acerbi, 00) lub miar odchyleń (Rockafellar, Uryasev, Zabarankin, 006). Aksjomay charakeryzujące miary ryzyka podzielono na rzy grupy: racjonalne, addyywne oraz o charakerze ylko echnicznym. Auorzy zdeerminowali swoje miary ryzyka jako funkcjonał zależny od ekonomicznych własności modelu, akich jak oczekiwana użyeczność lub ransformowana użyeczność (Denui i in., 006). Goovaers i inni (003b) uzyskali wiele miar ryzyka poprzez wyznaczenie minimum ograniczenia Markowa przyjęego dla ogona rozkładu.

Grażyna Trzpio Poniżej omówiono miary ryzyka, kóre nie spełniają wszyskich własności wymaganych, aby uniknąć niewłaściwych decyzji. Zapisano, czym jes zupełność, kórą powinny mieć wszyskie miary ryzyka. Nasępnie w zależności od przyjęej miary ryzyka pokazano dodakowe zbiory własności definiujące miary wyczerpujące oraz adapacyjne.. Własności miar ryzyka Przesrzeń prób zapiszemy jako Ω, nasępnie jako X: Ω R zapiszemy zmienną losową opisującą sray lub zyski (ryzyko) powiązane z pewną inwesycją, w pewnym usalonym okresie inwesycji w czasie [0, T]. Rozważymy przesrzeń probabilisyczną (Ω, P) oraz zbiór wszyskich ryzyk zapiszemy jako X. Jes o zbiór wszyskich funkcji rzeczywisych na Ω. Miarę ryzyka definiujemy nasępująco: Definicja.. Miarą ryzyka jes funkcja ρ : X R. Jeżeli warość ρ(x) związana z miarą ρ do ryzyka X jes dodania, może być inerpreowana jako minimalna kwoa pieniężna, jaką agen musi dodać do pozycji X, poprzez inwesycje o sopie wolnej od ryzyka. Przeciwnie, jeżeli ρ(x) jes ujemne, wówczas wielkość ρ(x) może być usunięa, bez ryzyka, z bieżącej pozycji. VaR α może być zdefiniowane nasępująco (dla warości rynkowej inwesycji i może być zapisane w bardziej ogólnym konekście) (Duffie, Pan, 997): Dla usalonego horyzonu czasowego T oraz usalonego poziomu ufności α 00%, VaR α jes poziomem sra na rynku, kóre mogą być przekroczone z prawdopodobieńswem nie większym niż α. VaR α zazwyczaj odpowiada na pyanie: Jaka jes minimalna sraa pojawiająca się w ( α) 00% najgorszych przypadkach sopy zwrou w porfelu? Przy akiej inerpreacji ej miary widać, że VaR α jes α-kwanylem rozkładu sra. Definicja.. Dla ryzyka X w usalonym okresie [0, T] oraz przy usalonym 0 < α <, Value a Risk jes zdefiniowana jako: VaR α (X) = sup{x R P(X x) > α}.

O WŁASNOŚCIACH TRANSFORMUJĄCYCH MIAR RYZYKA 3 Jedną z największych zale VaR α jes fak, że niezależnie od insrumenu finansowego, do kórego sosuje się ę miarę, wynik jes wyrażony sraą pieniężną. Dodakowo dość ławo wyznaczyć warości ej miary dla różnych ryzyk, ale pomimo uniwersalności nie mamy zachowanych wielu własności. Poniżej zapisano zbiór własności, kóre powinny spełniać koherenne miary ryzyka. Definicja.3. Miara ryzyka ρ jes nazywana koherenną wedy i ylko wedy, gdy spełnia nasępujące aksjomay (Arzner i in., 997; Trzpio, 004a, 006, 008):. Subaddyywność: dla dowolnych X, Y X, wówczas ρ(x + Y) ρ(x) + ρ(y).. Dodania homogeniczność: dla dowolnych X X oraz λ 0, wówczas ρ(λ X) = λρ(x). 3. Translacja inwarianna: dla usalonego X X oraz dowolnych a R, wówczas 4. Monooniczność: ρ(x + a) = ρ(x) + a. dla X, Y X akich, że X Y, wówczas ρ(x) ρ(y). Miary posiadające e własności są opisywane poprzez rozparywane scenariusze. Wybór miary ryzyka zaczyna być rakowany równoważnie z wyborem zbioru uogólnionych scenariuszy (Song, Yan, 006). Dla rozkładu sra alernaywną miarą do VaR α jes Condiional Value a Risk (CVaR α ), zapisywana również jako Condiional Tail Expecaion (CTE). CVaR α odpowiada na pyanie: Jaka jes oczekiwana sraa pojawiająca się w ( α) 00% najgorszych przypadków przy zamknięciu pozycji? Definicja.4. Dla ryzyka X na (Ω, P) oraz dla poziomu ufności 0 < α <, CVaR α definiujemy jako (Arzner i in., 997): α CVaRα ( X ) = ( ). α VaR X d Z definicji wynika, że dla dowolnych ryzyk X CVaR α (X) VaR α (X). Własności CVaR α są korzysniejsze niż VaR α : zachodzi subaddywność oraz jes o miara wypukła, zaem jes o miara koherenna. 0

4 Grażyna Trzpio W badaniach podjęo (Föllmer, Shied, 00) ema zmian poziomu ryzyka rynkowego. Zauważono, że ryzyko rośnie nieliniowo wraz z rosnącą warością pozycji rynkowej. Przykładowo możliwe jes, że ryzyko płynności pojawia się wraz ze wzrosem warości pozycji: w syuacji gdy warość pozycji rośnie kilkukronie (pomnożenie przez odpowiednio duży współczynnik). Nasępuje zmiana warunku dodaniej homogeniczności oraz subaddyywności na wypukłość (Frielli, Rosazza, 00). Definicja.5. Miara ryzyka ρ jes nazwana wypukłą wedy i ylko wedy, gdy (Föllmer, Shied, 00): ρ[λ X + ( λ)y] λρ(x) + ( λ) ρ(y), dla dowolnych ryzyk X na (Ω, P) oraz wagi λ [0, ]. Wypukłość implikuje, że dywersyfikacja nie podnosi ryzyka, ponieważ warość ryzyka zdywersyfikowanego porfela λ X + ( λ)y jes mniejsza lub równa przeważonej średniej indywidualnych warości ryzyka. Koherenne miary ryzyka, wypukłe miary ryzyka mogą mieć reprezenacje w posaci scenariuszy.. Transformujące miary ryzyka Rozparzymy zbiór funkcji μ: F [0, ) zdefiniowanych na σ-algebrze F akich, że μ( ) = 0 oraz A B μ(a) μ(b), dla A, B F. Jeżeli μ(a B) μ(a) + μ(b), dla wszyskich A, B F, wówczas funkcję μ nazywamy subaddyywną. Definicja. *. Transformująca funkcja g: [0, ] [0, ] jes funkcją niemalejącą oraz aką, że g(0) = 0 oraz g() =. Dualna ransformująca funkcja dla g jes definiowana jako: g ~ (u) = g( u), u [0, ]. () Rozparzymy szczególny przypadek μ(a) = g[p(x A)]:= P (A), gdzie g jes funkcją ransformującą, P miarą probabilisyczną na σ-algebrze zbiorów Borelowskich B oraz X zmienną losową. Tak określona funkcja * Trzpio (004a, 006a, 006b).

O WŁASNOŚCIACH TRANSFORMUJĄCYCH MIAR RYZYKA 5 μ jes funkcją ransformującą prawdopodobieńswo P. Zauważmy, że P nie jes rzeczywisą miarą probabilisyczną, jes zazwyczaj nazywana ransformowanym prawdopodobieńswem. Analogicznie rozparzymy funkcję dualną ~ ~ μ ( A ) = g~ [ P( X A)]: = P * ( A ). Przesudiujemy miary ryzyka dla insrumenów finansowych oraz akuarialnych zdefiniowanych jako całka Choquea dla zmiennej losowej porfela zysków oraz sra: * + * ~ * ρ ( X ) = XdP = X dp X dp, g jeżeli wszyskie całki są zbieżne (Denneberg, 994). Rozparzymy specjalne przypadki ransformujących prawdopodobieńswo miar ryzyka. Można pokazać, że całka Choquea dla zmiennej losowej X, z funkcją ransformującą zapisaną odpowiednio jako g, jes równoważna * warości oczekiwanej zmiennej losowej X względem ransformującego rozkładu P (z odpowiednią dysrybuaną rozkładu F oraz funkcją przeżycia S = F ) ** : * * E P * ( X ) = S ( x) dx F ( x) dx = g [ S( x)] dx ~ g[ F( x)] dx = 0 0 = g[ S( x)] dx { g[ S( x)]} dx = ρ ( X ). 0 0 Taka ransformująca miara ryzyka jes wówczas warością oczekiwaną nowej zmiennej losowej, dla kórej prawdopodobieńswa są przeważone (na nowo określone). Z konsrukcji ych miar wynika, że ransformujące miary ryzyka spełniają kilka własności z definicji.3. Z własności całki Choquea oraz niezależnego wyboru funkcji ransformującej wynika, że miara spełnia własność ranslacji inwariannej oraz jes dodanio homogeniczna, monooniczna oraz co-monooniczno-addyywna. Dodakowo można pokazać, że dla dodanich sra ransformująca miara ryzyka jes koherenna wedy i ylko wedy, gdy jes wypukła (Wirch, Hardy, 00). Osaecznie można pokazać, że jeżeli g jes wypukła, w rezulacie ransformacji miara ryzyka jes spekralna (Gzyl, Mayoral, 008). W zależności od wyboru funkcji ransformującej orzymujemy różne miary ryzyka. Specjalnymi przypadkami są VaR α, CVaR α oraz miara Wang a WT (Wang, 000; Trzpio, 004a). 0 g 0 () * Odwrona dysrybuana. ** Wang (996).

6 Grażyna Trzpio VaR α jako miara ryzyka wykorzysuje jedynie informację o częsości sra, nie ich warości (wysokości, a zaem dokliwości poniesionych sra). Przykładowo podwojenie maksymalnych sra nie ma wpływu na warość VaR α. Rozważając kolejne własności, zapisujemy VaR α jako całkę Choquea z odpowiednią funkcją ransformującą prawdopodobieńswo. Wykorzysamy funkcję ransformującą: 0, 0 u < α g( u) =,, α < u wówczas VaR α możemy zapisać równoważnie jako: (3) VaR α = g[ S ( x)] dx g[ S ( x)] dx = + dx = x X X 0 gdzie xα jes α-kwanylem rozkładu zmiennej losowej X. 0 Funkcja ransformująca g dla VaR α jes niemalejąca, oraz g(0) = 0 i g() =, jes odcinkami sała, ale nie jes wypukła. Zaem miara ryzyka powiązana z ą funkcją ransformującą nie jes koherenna. Dla porównania, miara ryzyka CVaR α wykorzysuje zarówno częsoliwość (prawdopodobieńswo), jak i oczekiwane warości sra przekraczających warość VaR α. Ta miara może również być zapisana jako całka Choquea w odniesieniu do funkcji ransformującej: u, 0 u < α g( u) = α. (4), α < u Zapisana posać g sanowi, że jes o niemalejąca funkcja ransformującą, kóra jes ciągła oraz wypukła, ale nie jes różniczkowalna. Ponieważ g jes wypukła, CVaR α jes miarą spekralną oraz koherenną. xα 0 α, 3. Zupełne ransformujące miary ryzyka Jeden z problemów pojawiający się przy sosowaniu CVaR α jes aki, że wykorzysujemy jedynie wybrane warości przekroczenia sra wyznaczonych przez VaR α, pomijając warość mniejszych sra, mniejszych niż α-kwanyl. W pewnych przypadkach może o leżeć u podsaw błędnych decyzji, co pokażemy na przykładzie. Miara a jes nieodporna na eksremalne sray.

O WŁASNOŚCIACH TRANSFORMUJĄCYCH MIAR RYZYKA 7 Przykład 3.. Rozważmy dwa porfele A oraz B z rozkładami sra P A oraz P B zapisanymi w abeli. Rzeczywise oraz CVaR α ransformowane rozkłady sra porfeli A i B Sraa P A (x) P * A ( x) P B (x) * ( x) 0 0,6 0 9 0,6 0 0 0,4 0,4 W abeli zapisano ransformowane rozkłady sra P * A oraz P B Tabela P * B z wykorzysaniem funkcji g zapisanej równaniem (4) dla α = 0,95. Zauważmy, że oczekiwana warość poziomu przekroczeń sra jes aka sama dla obydwu porównywanych porfeli. Wykorzysując równanie (), zauważamy, że analogicznie CVaR 0,95 = 0 dla obydwu porfeli. Sray są dodanie w porfelu B, fakycznie porfel B dominuje sochasycznie porfel A. Zaem miara ryzyka powinna wskazać, że porfel B jes bardziej ryzykowny. Funkcja ransformująca dla CVaR α przypisuje warość zero do wszyskich kwanyli poniżej poziomu isoności α. Ta obserwacja pozwala na wprowadzenie zmian w założeniach funkcji ransformującej g ak, żeby była dodania (nierówność osra). W nasępnym przykładzie wykorzysujemy definicję funkcji ransformującej, kóra przyjmuje warość zero w rzeczywisym rozkładzie, g(0) = 0 (miara ryzyka dalej charakeryzuje się niezgodnością). Przykład 3.. Rozparzymy nasępującą funkcję ransformującą: 50u, 0 u < 0,0 ( g u) = 0,5u, 0,0 u < 0,5. (5) u, 0,5 < u Jes o funkcja ciągła, nieróżniczkowalna w u = 0,0 i u = 0,5 oraz sała w przedziale [0,0; 0,5]. Rozparzmy ponownie dwa porfele, z akim samym poziomem maksymalnych sra wynoszącym, ale różnym poziomem środkowych sra dla porfela A wynosi oraz dla porfela B przyjmuje warość 0 (abela ).

8 Grażyna Trzpio Tabela Rzeczywise oraz g ransformowane rozkłady sra porfeli A i B Sraa P A (x) P * A ( x) P B (x) * ( x) 0 0,6 0,5 0,6 0,5 0,39 0 0 0,375 0 0,05 0,5 0,0 0,5 Transformująca miara ryzyka generowana przez g wynosi 5,5 dla obydwu porfeli. Oczywiście porfel A jes bardziej ryzykowny niż B, ponieważ sray są większe bądź równe 0 z prawdopodobieńswem 0,4. Problem nie leży zaem w różniczkowalności funkcji ransformującej, ale wynika ze sałej warości g w przedziale (Wang, 00); racimy jednocześnie informacje z począkowego rozkładu sra. Obliczając ransformowane prawdopodobieńswa, zauważamy, że wynoszą zero dla środkowych sra obydwu porfeli, odchodząc od rzeczywisych różnych od siebie prawdopodobieńsw dla warości oraz 0 począkowych rozkładów sra. Nauralnie pojawia sie pyanie, czy różniczkowalność ma największe znaczenie oraz czy problem nie leży w wypukłości funkcji ransformującej. Odpowiedź jes negaywna, ponieważ zamieniając g na inną wypukłą funkcję, przykładowo:, 0 3 3 ( u u < g u) =. (6) 4 u, u 3 3 3 Wykorzysując g, uzyskujemy wyższą warość ransformującej miary ryzyka dla porfela A (około ) niż dla B (około 0,3). Podsawowa różnica jes nasępująca: g nie ma warości sałej w przedziale, niezależnie od wypukłości lub wklęsłości, ponieważ wykorzysuje wszyskie informacje począkowego rozkładu sra. Wyjaśnimy o precyzyjniej, wprowadzając koncepcję zupełności. Definicja 3.. Rozparzymy zmienną losową X oraz ransformującą miarę ryzyka ρg generowaną przez ρg(x) = EP (X) zgodnie z równaniem. Powiemy, że ρg jes zupełną ransformującą miarą ryzyka, jeżeli: P B

O WŁASNOŚCIACH TRANSFORMUJĄCYCH MIAR RYZYKA 9 S(x ) = S(x ) S (x ) = S (x ), x, x [0, ), (7) gdzie S jes funkcją przeżycia ransformującego rozkładu. Oczywiście powyższą definicję można zapisać równoważnie, wykorzysując rozkłady prawdopodobieńswa P oraz P. Można sprawdzić, że zarówno VaR α, jak i CVaR α nie są zupełnymi miarami ryzyka, ponieważ ransformująca funkcja dla VaR α jes sała we wszyskich ych dziedzinach i z ego powodu miara CVaR α jes sała w przedziale [ α, ). To wyjaśnia, częściowo, problem niespójności pojawiający się przy sosowaniu CVaR α. Przykładem zupełnej ransformującej miary ryzyka jes ransformacja Wanga (Wang, 000), kóry wybrał parameryczną rodzinę funkcji symerycznych wokół zera, zaem a ransformacja zachowuje szczególne własności począkowej dysrybuany. Miara WT * jes zdefiniowana nasępująco: g λ (u) = Φ[Φ (u) + λ], u [0, ], (8) gdzie Φ jes dysrybuaną rozkładu sandaryzowanego normalnego. Paramer λ jes nazywany rynkową ceną ryzyka oraz odzwierciedla ryzyko sysemayczne. W przypadku ransformujących miar ryzyka warunkiem wysarczającym jes, aby ich odpowiednia funkcja ransformująca była ściśle rosnąca. Dla dowolnych ransformujących miar ryzyka, dla kórych funkcja ransformująca jes wypuka, ale nie jes ściśle wypukła, nie zabezpieczamy sanowczo porządku ograniczenia sra. Twierdzenie 3. (Balbás, Garrido, Mayoral, 008). Jeżeli P * będzie ransformującym prawdopodobieńswem definiowanym przez ransformująca funkcję g określoną równaniem (), wówczas nasępujące warunki są równoważne:. ρg jes zupełna: S(x ) = S(x ) S (x ) = S (x ), x, x [0, ).. G jes rosnąca. Zauważmy, że ransformująca funkcja zdefiniowana równaniem (6) jes rosnąca, ale ransformująca funkcja generowana przez CVaR α (równanie (4)) rosnąca nie jes. * Wang s Transform.

30 Grażyna Trzpio 4. Wyczerpujące ransformujące miary ryzyka Podsawową różnicą w zasosowaniu wypukłych lub wklęsłych funkcji ransformujących jes jako rezula miara ryzyka, kóra jes superaddyywna lub subaddyywna, odpowiednio. Ponieważ nie jes wysarczające, aby miara ryzyka była subaddyywna (odpowiednio superaddyywna) oraz aby wykorzysywała wszyskie informacje począkowego rozkładu sra, czyli aby była zupełna, więc jeseśmy zaineresowani, aby miara ryzyka była subaddyywna (co jes synonimem koherencyjności w przypadku ransformujących miar ryzyka). Zdefiniujemy nowy zbiór wyczerpujących miar ryzyka, kóre są koherenne oraz zupełne. Definicja 4.. Rozparzymy zmienną losową X oraz ransformującą miarę ryzyka ρg generowaną przez ρg(x) = EP (X) zgodnie z równaniem. Powiemy, że ρg jes wyczerpującą ransformującą miarą ryzyka, jeżeli jes koherenna oraz zupełna. Z wierdzenia 3. wynika, że ransformujące miary ryzyka są wyczerpujące, jeżeli ich ransformująca funkcja g jes wypukła oraz ściśle rosnąca. Uwaga 4.. Rozparzymy ransformującą miarę ryzyka ρg generowaną przez g. Wówczas ρg jes wyczerpująca wedy i ylko wedy, gdy g jes wypukła oraz ściśle rosnąca. Wniosek z powyższej uwagi jes nasępujący: warunkiem koniecznym i wysarczającym, żeby scharakeryzować wyczerpujące ransformujące miary ryzyka jes, aby g miało warość jedynie dla x =. Uwaga 4.. Rozparzymy ransformującą miarę ryzyka ρg generowaną przez g. Jes o miara wyczerpująca wedy i ylko wedy, gdy g jes wypukła oraz g(x) <, x <. Ta osania własność nie ma zasosowania do ransformujących miar ryzyka generowanych przez wypukłe funkcje g, czyli dla superaddywnych oraz zupełnych ransformujących miar ryzyka. Przykładowo ransformująca funkcja z równania (6) jes aka, że g( ) <, ale nie generuje zupełnych ransformujących miar ryzyka.

O WŁASNOŚCIACH TRANSFORMUJĄCYCH MIAR RYZYKA 3 5. Adapacyjne ransformujące miary ryzyka Zdefiniowano zupełne ransformujące miary ryzyka, aby zapewnić wykorzysanie informacji z począkowego rozkładu sra. Nauralne jes pyanie: kiedy zupełność jes wysarczająca, aby ominąć ypowe przypadki niespójności zilusrowane w przykładzie 3.? W ym punkcie pokażemy, jak można na nie odpowiedzieć oraz sformułujemy dodakowe warunki niezbędne do ego, aby określić funkcję ransformującą. Przykład 5.. Rozparzymy nasępującą ransformującą funkcję: 3 u, 0 u < g 3 ( u) = (9) u +, u oraz nasępujące rozkłady sra dla dwóch rozłącznych porfeli (abela 3). Rzeczywise oraz g 3 ransformowane rozkłady sra porfeli A i B Sraa P A (x) P * A ( x) P B (x) * ( x) 0 0,5 0,5 0,45 0,5,8 0,35 0,475 0,375 0565 5,9 0, 0,3 8 0,5 0,875 P B Tabela 3 Zdefiniowana funkcja g 3 jes wypukła oraz spełnia równanie (7), zaem odpowiednia miara ryzyka jes adapacyjna. Wyznaczamy aką samą warość miary ryzyka wynoszącą /8 =,65 dla obydwu porfeli, pomimo iż porfel A jes bardziej ryzykowny niż B, z większą maksymalną sraą. Ten rodzaj niespójności nie wynika z braku różniczkowalności funkcji ransformującej określonej równaniem (9), ale raczej ze srukury odcinkowo-liniowej. Taki wynik orzymujemy przy ransformacji, kóra przeważy różne prawdopodobieńswa równoważnie. Wszyskie warości spełniające zależność: 0 S X (x) < / w przykładzie 4. są przeważone przez współczynnik wynoszący 3/, zaem warość począkowa S X (x) = / po przeważeniu saje się /, niezależnie od warości S X (x), j. od począkowego rozkładu sra oraz od warości.

3 Grażyna Trzpio Zauważmy, że zarówno VaR α, jak i CVaR α są również dwoma przykładami odcinkowo-liniowych funkcji ransformujących. Dla wypukłych odcinkowo-liniowych funkcji ransformujących mamy aką samą niespójność z powodu sałego nachylenia i są one rezulaem sałego współczynnika ważącego. Ponieważ współczynnik nachylenia zadaje nowy rozkład (przeważa) odcinkowo-liniową funkcję, jak w równaniu (9), więc można mierzyć przeważony rozkład dla ogólnej funkcji ransformującej g w punkcie x (ponieważ g (x) jes angensem sycznej do g w punkcie x). Funkcje ransformujące, kóre prowadzą do koherennych miar ryzyka, wykorzysują rozkład przeważony przez współczynnik większy niż dla dużych sra, ponieważ przypisujemy im nachylenie, czyli prawdopodobieńswo wyższe niż począkowe. I odwronie, małe sray mają mniejsze prawdopodobieńswo niż wyznaczone przez począkowy rozkład. Analogicznie dla wypukłych miar ryzyka prawdziwe jes odwrone zachowanie: współczynnik ważenia jes mniejszy niż dla dużych sra. Wypukła ransformująca funkcja uwydania duże sray, zagęszczając prawy ogon ransformowanego rozkładu. Zobaczmy, jak CVaR α oraz g przypisują zerowe prawdopodobieńswa (a właściwie ransformowane funkcje przeżycia g[s X (x)], kóre są sałe na podprzedziale), co oznacza, że nie wykorzysujemy informacji w pewnej części począkowego rozkładu. Nasępujące wierdzenie łączy en fragmen dyskusji o warościach współczynnika ważenia z koncepcją wyczerpujących miar ryzyka. Wykorzysuje również ideę różniczkowalności Wanga dla funkcji ransformujących. Twierdzenie 5. (Balbás, Garrido, Mayoral, 008). Jeżeli g będzie wypukłą (wklęsłą) ransformującą funkcją aką, że g(u) u dla dowolnych u (0, ), wówczas d (0, ) akie, że g (u) ( ), dla wszyskich u [0, d] oraz g (u) ( ), dla wszyskich u [d, ]. Uwaga 5.. Ponieważ wymagamy, aby g była ylko wypukła, wówczas d w wierdzeniu 5. może nie być jedyne. Aby rozwiązanie było jedyne, musimy założyć, że g była ściśle wypukła. Twierdzenie 5. implikuje nasępujący wniosek: inwesorzy przeważają przez współczynnik większy niż w przedziale (0, d), czyli dla eksremalnych sra {x [0, ): S X (x) < d}. To przekszałca ogon rozkładu sra zagęszczając warości w ogonie rozkładu. Odpowiednio, współczynnik przeważenia jes mniejszy niż dla {x [0, ): S X (x) > d}.

O WŁASNOŚCIACH TRANSFORMUJĄCYCH MIAR RYZYKA 33 W konkluzji koherenne ransformujące miary ryzyka są warościami oczekiwanymi dla nowego rozkładu z mniej ciężkim ogonem niż począkowy rozkład. Zauważmy, że w przykładzie 5. inwesor przypisuje duże wagi sraom, kóre prawdopodobieńswo przeżycia mają mniejsze niż /; współczynnik kierunkowy funkcji ransformującej zmienia warość z 3/ na / dla d = /. Nauralne jes pyanie: w jakim punkcie zwronym powinniśmy przeważać współczynnikiem większym niż? Wykorzysując wierdzenie 5., mamy zredukowaną odpowiedź do warości d, akiej, że ransformacja S (x) > S(x), jeżeli S(x) < d, ale S (x) < S(x), gdy S(x) > d. Dla VaR α oraz CVaR α en punk zwrony dla zmiany wag jes dokładnie w α-kwanylu. W przypadku CVaR α wagi przypisane warościom większym niż α-kwanyl są maksymalne (największa możliwa warość g, kóra spełnia warunek g(0) = 0), ale jes minimalna (czyli zero) dla warości mniejszej niż α-kwanyl. W świele problemu niespójności zilusrowanego przez przykład 5. oraz porzeby miary, aby ochronić przed eksremalnymi sraami, zapiszemy własność dla ransformującej miary ryzyka kóra zachowa dywersyfikację (czyli wypukłość). Definicja 5.. Transformująca miara ryzyka jes nazywana adapacyjną wedy, gdy ransformująca funkcja:. g jes ściśle wypukła, czyli że g jes ściśle malejąca.. lim g ( u) = oraz lim g ( u) = 0. u + 0 u 0 Warunek g (0) = jes wymagany, aby zapisać możliwe nieograniczone warości dla eksremalnych sra prawego ogona (Wang, 996). Adapacyjna miara ryzyka przeważa różne sray w różny sposób, przypisując najmniejsze ransponowane prawdopodobieńswa sraom bliskim zero, naomias duże sray, orzymując maksymalne prawdopodobieńswa. Adapacyjne miary ryzyka są wyczerpujące, ale odwrone swierdzenie nie jes prawdziwe. CVaR α nie jes adapacyjną miarą ryzyka, ponieważ: g (u) = 0, dla u [ α, ] oraz pochodna jes sała g (u) = dla u [0, α]. α Transformująca miara ryzyka generowana przez g 3 zapisana równaniem (9) 3 również nie jes adapacyjna, ponieważ jej pochodna jes sała g 3 ( u) =, dla u [0, /] oraz wynosi g 3 ( u) =, dla u [/, ].

34 Grażyna Trzpio Inne przykłady funkcji ransformujących są nasępujące: funkcja dualnej mocy (he dual-power) g DP oraz proporcjonalna funkcja hazardu g PH zapisane nasępująco (Trzpio, 004a, 006): ν g DP = ( u), u [0, ], ν (0) γ g PH = u, u [0, ], γ. () Obydwie e funkcje spełniają pierwszy warunek definicji 5. dla ν, γ >. Transformująca funkcja dualnej mocy ma granicę równą zero dla u, ale nieprawdziwa jes pierwsza granica warunku (lim u 0 + g DP (u) = ν < ). Dla porównania, g PH ma skończoną granicę dla u 0 +, ale nieprawdziwa jes pierwsza granica warunku (ponieważ lim u g PH (u) = γ). Zaem nie są o miary adapacyjne. Dla konrasu miara ransformująca WT gλ z równania 7 jes przykładem adapacyjnej miary ryzyka (Wang, 000 warości pochodnej g λ(u) dla 0 oraz dla ). W abeli 4 zapisano warunki, jakie spełniają omawiane ransformujące miary ryzyka. Własności ransformujących miar ryzyka Tabela 4 Miara Koherenna Zupełna Wyczerpująca Adapacyjna Warunek VaR α Nie Nie Nie Nie Nie CVaR α Tak Nie Nie Nie Nie g 3 Tak Tak Tak Nie Nie g DP (ν > ) Tak Tak Tak Nie Tak g PH (γ > ) Tak Tak Tak Nie Tak WT Tak Tak Tak Tak Tak Podsumowanie W arykule przedsawiono wybrane własności ransformujących miar ryzyka. Omówiono kilka zbiorów miar ryzyka o różnych własnościach i przeprowadzono dyskusję ych własności. Przedsawiono własności miar ryzyka, wykorzysując własności różniczkowalności funkcji ransformujących. W abeli podsumowującej rozważania (abela 4) zebrano własności spełniane przez omówione miary ryzyka.