System fiasowy gospodarki Zajęcia r 5 Matematyka fiasowa Wartość pieiądza w czasie 1 złoty posiaday dzisiaj jest wart więcej iż 1 złoty posiaday w przyszłości, p. za rok. Powody: Suma posiadaa dzisiaj może być z powodzeiem zaiwestowaa i przyieść zyski; W gospodarce występuje zjawisko iflacji; Zobowiązaiu zwrotu pożyczoych pieiędzy towarzyszy ryzyko jego iespełieia; ażdy podmiot chce posiadać pieiądze wcześiej, gdyż wcześiej może za ie abyć określoe dobra. 1
Podejmowaie decyzji mających skutki pieięże Przy podejmowaiu decyzji fiasowych ależy strumieie pieięże doprowadzić do porówywalości, a więc określić ich wartość a określoy momet czasowy. Może to być wartość bieżąca lub wartość przyszła. Przyjęcie określoego puktu odiesieia (mometu czasowego, w którym dokouje się porówań) zależy od preferecji podmiotu przeprowadzającego aalizę fiasową. Procet prosty i składay Procet prosty stosuje się dla okresów krótszych iż rok. Procet składay atomiast dla okresów dłuższych iż rok. Dla okresów krótszych od roku stosuje się procet składay wówczas, gdy występuje kapitalizacja odsetek. Odsetki to cea pieiądza. 2
Procet prosty 0 (1 Gdzie: kapitał końcowy; 0 kapitał początkowy; i stopa procetowa; t czas (p. okres lokaty, pożyczki). i t ) Procet prosty Jeżeli w trakcie pożyczki astąpiła zmiaa oprocetowaia, to stosujemy astępujący wzór: 0 t1 t2 ( 1 i1 i2 i t ) Gdzie: i 1 - i - zmiee stopy procetowe; t 1 - t długość obowiązywaia daych stóp procetowych. 3
Procet prosty Przykład Założoo w baku lokatę w wysokości 1 000 zł a 3 miesiące przy stopie procetowej w skali roczej 10%. Oblicz odsetki oraz kapitał końcowy. O (odsetki) = 1000 0,1 3/12 = 25 (zł.) = 1000 (1 + 0,1 3/12) = 1025 (zł.) Przykład otrahet A udzielił kotrahetowi B pożyczki w wysokości 300 zł a 6 miesięcy. Parterzy ustalili, że przez 4 miesiące będzie obowiązywała stopa 12%, a przez 2 koleje 15%. Tego typu ustaleie było wyikiem atycypacji przez kotrahetów podwyżki stóp procetowych przez bak cetraly. Oblicz kwotę do spłaceia przez kotraheta B. = 300 (1 + 0,12 4/12 + 0,15 2/12) = 319,5 (zł) 4
Zagadieie stopy rówoważej Stopa rówoważa jest to taka stopa, której użycie ie zmieia wielkości kapitału końcowego. Przykład Wiesioo do baku depozyt w wysokości 1 000 zł a 3 miesiące przy stopie procetowej w skali roczej 10%. Oblicz kapitał końcowy przy pomocy stopy roczej oraz rówoważych: miesięczej i kwartalej. = 1000 (1 + 0,1 3/12) = 1025 (zł) stopa rocza = 1000 (1 + 0,1/12 3) = 1025 (zł) stopa miesięcza = 1000 (1 + 0,1/4 1) = 1025 (zł) stopa kwartala Procet składay (1 i) Gdzie: 0 i 0 (1 ) m i stopa procetu składaego; liczba lat; m m liczba podokresów (p. miesięcy, kwartałów), a więc kapitalizacji w roku. 5
Procet składay Jeżeli z okresu a okres zmieia się stopa procetowa, wtedy stosujemy astępujący wzór: m11 m22 i 1 i 2 i 0 1 1 1 m1 m2 m Gdzie: i 1 - i zmiee stopy procetowe; m m 1 m liczba podokresów (kapitalizacji) dla długości obowiązywaia daej stopy procetowej; 1 liczba lat dla długości obowiązywaia daej stopy procetowej. Przykład Do baku pa X wpłacił kwotę 3 000 zł a 3 lata. Przez pierwszy rok obowiązywała stopa 16% w skali roczej, zaś kapitalizacja wkładów odbywała się co miesiąc. Przez koleje 2 lata stopa wyosiła 14% w rozrachuku roczym, zaś wkłady kapitalizowao kwartalie. Oblicz kapitał końcowy a koiec 3 roku. 0,16 3000(1 ) 12 112 = 4630,97 0,14 (1 ) 4 24 6
Dyskotowaie Oś czasu 0 1 2 0 Dyskotowaie Dyskotowaie to proces przechodzeia z wartości przyszłych a bieżące (z 2 a 0, lecz uwaga także z 2 a 1 itp.) Dyskotowaie odosi się do różych fukcji (mechaizmów) wzrostu (zarówo do procetu prostego, składaego, jak i iych) Przykład Pa Maciek zapragął kupić sobie skuter. W tym celu udał się do dwóch sklepów. W pierwszym sklepie zapropoowao mu, by zapłacił 10 000 zł gotówką, a 5 000 zł po roku. W drugim atomiast waruki były astępujące: 11 000 zł gotówką i 4 000 zł po dwóch latach. tóra z propozycji jest korzystiejsza, jeśli przyjmie się stopę dyskota w wysokości 11%? 01 02 5000 10000 (1 0,11) 4000 11000 (1 0,11) 1 2 14504,5 14246,5 Odp. orzystiejsza jest oferta sklepu drugiego. 7
Stopa rówoważa procetu składaego Przykład Założoo lokatę w wysokości 1 000 j.p. a 12% a rok wg procetu prostego i składaego. Oblicz kapitał końcowy przy pomocy miesięczych stóp rówoważych procetu prostego i składaego. Procet prosty = 1000 (1 + 0,12 1/1) = 1120 Miesięcza stopa rówoważa i m = 12%/12 miesięcy = 1%; zatem = 1000 (1 + 0,01 12) = 1120 Procet składay = 1000 (1 + 0,12) 1 = 1120 Miesięcza stopa rówoważa i m = 12 (1 0,12) 1 = 0,0095 = 0,95%; zatem = 1000 (1 + 0,0095) 12 = 1120 Wiosek z przykładu: Bez względu a liczbę kapitalizacji kapitał końcowy pozostaje te sam. Wzór dla przejścia w procecie składaym ze stopy roczej a rówoważą (dla krótszego okresu, p. miesiąca, kwartału itp.) Gdzie: i m m 1 i 1 1 i m stopa rówoważa (miesięcza, kwartala itp.); m liczba okresów kapitalizacji (liczba podokresów). 8
Efektywa rocza stopa procetowa Efektywa rocza stopa procetowa to stopa uwzględiająca całościowy faktyczy przychód z kapitału (przy odsetkach otrzymywaych) lub też całościowy koszt kapitału (przy odsetkach płacoych). Efektywa rocza stopa procetowa od kredytu jest to stopa, która uwzględia wszystkie koszty obsługi długu, w tym prowizje i zróżicowaie okresów spłaty (kapitalizacji) odsetek. Zależy zatem od: omialej stopy procetowej; częstotliwości spłaty (okresów, w których występuje kapitalizacja); wysokości prowizji i iych kosztów. Efektywa rocza stopa procetowa od odsetek z lokaty r efo Gdzie: rom m ( 1 ) 1 m r efo efektywa rocza stopa procetowa od odsetek; r om rocza stopa omiala; m liczba okresów kapitalizacji w roku. 9
Przykład Nomiala stopa rocza lokaty wyosi 30%. Bak zastosował kapitalizację dwumiesięczą. Podaj rzeczywistą (efektywą) roczą stopę procetową. r ef (1 0,3 ) 6 61 1 0,34 Jakub Górka Zakład Bakowości i Ryków Pieiężych Fiasowych WZ UW Reala rocza stopa zwrotu Zależość między omialą stopą zwrotu, realą stopą zwrotu i stopą iflacji przedstawia rówaie Fishera: Zatem: Gdzie: 1 + r om = (1 + r real ) (1 + i) r real r om stopa omiala (w jedym okresie); r real stopa reala (w jedym okresie); i stopa iflacji (w jedym okresie). rom i 1 i 10
Przykład Do baku zostaje złożoy depozyt a jede rok. Nomiale oprocetowaie depozytu wyosi 40%. Aalitycy przewidują, że w ciągu ajbliższego roku iflacja ukształtuje się a poziomie 35%. Oblicz oczekiwaą realą roczą stopę zwrotu. r real 0,4 0,35 1 0,35 0,037 3,7% Dyskoto hadlowe i matematycze (rachuek w stu i od sta ) Przykład Pa Jakub prowadzi iteresy z paem Maćkiem. Postaowił kupić od paa Maćka towary o wartości 100 j.p. Niestety pa Jakub ie miał w chwili zakupu pieiędzy. Dlatego pa Maciek udzielił mu kredytu kupieckiego zabezpieczoego wekslem. Weksel płaty jest za 3 miesiące od daty przekazaia towaru. Obaj paowie zgodzili się, że odsetki będą liczoe procetem prostym podług stopy 10%. Określ sumę wekslową, jaką pa Jakub musi spłacić pau Maćkowi. 3 100 1000,1 102,5 12 11
C.d przykładu Pa Maciek tego samego dia, w którym otrzymał weksel od paa Jakuba, zorietował się, że może zrobić dobry iteres a zakupie akcji prywatyzowaego baku państwowego. Niestety jedak zamiast gotówki dyspoował tylko wekslem otrzymaym od paa Jakuba. Nie zastaawiając się wiele, udał się do ajbliższego baku, gdzie zdyskotował weksel hadlowo rówież podług stopy 10%. 3 O 102,5 0,1 2,5625 12 O 0 102,5 2,5625 99,9375 Wiosek: Pa Maciek otrzymał miejszą kwotę pieiężą od pierwotego długu paa Jakuba, gdyż bak aliczył mu odsetki od sumy wekslowej, czyli od większej podstawy. Dyskoto hadlowe Dyskoto matematycze Odsetki hadlowe O i Dyskoto hadlowe Rachuek w stu t t 0 (1 i ) 0 t 1 i Odsetki matematycze (proste) t O 0 i Dyskoto matematycze Rachuek od sta 1 i 0 t t 0 (1 i ) 12
Przykład Hurtowik sprzedał detaliście partię zabawek. Detalista zapłacił za partię wekslem płatym w termiie 3 miesięcy. Suma wekslowa została policzoa od sta przy stopie 25% i wyiosła 16 000 j.p. 20 di przed datą zapadalości weksla hurtowik zdyskotował walor w baku przy stopie 27% (baki stosują dyskoto hadlowe). Oblicz ceę partii zabawek oraz kwotę wypłacoą hurtowikowi przez bak. Dyskoto matematycze cea partii zabawek 16000 3 1 0,25 12 0 15058,8 Dyskoto hadlowe kwota wypłacoa hurtowikowi przez bak 20 16000(1 0,27 ) 0 15760 Procet składay kapitalizoway z góry Odsetki w tego typu lokacie obliczae są i kapitalizowae z góry. 0 (1 i) 13
Przykład Oblicz wartość końcową depozytu o wartości 1 000 j.p. po 4 latach, liczoego dla porówaia procetem składaym kapitalizowaym z dołu oraz z góry przy stopie 10%. Wykoaj rysuki. 1000(1 0,1) 1000 (1 0,1) 4 4 1524,16 1464,1 Praca domowa Zadaie r 1 Spółka pragie ulokować depozyt w baku przy stałej stopie 16% roczie, aby móc podjąć po upływie roku 2 ml PLN, a po upływie astępego roku koleje 5 ml PLN. Proszę ustalić kwotę początkowego depozytu (jeda liczba!), aby spółka mogła w przyszłości zrealizować te dwie plaowae wypłaty. Zadaie r 2 Bak 26 kwietia przyjął do dyskota weksel a sumę 100 000 PLN płaty 9 maja. Zdyskotowaa wartość weksla wyiosła 98 800 PLN. Proszę podać obowiązującą w daym baku stopę dyskotową oraz spodziewaą roczą stopę zwrotu z tej operacji (obowiązuje dokładość do 0,01%). 14
Zadaie r 3 Aaliza oprocetowaia lokaty dla kilku wybraych baków była astępująca: 5% w stosuku półroczym przy miesięczej kapitalizacji 0,9% w stosuku miesięczym przy miesięczej kapitalizacji 1% w stosuku miesięczym przy półroczej kapitalizacji Porówaj propozycje baków wg tabeli. Stopa okresowa dla kapitalizacji Stopa okresowa Stopa omiala Stopa efektywa Tabela wzorów służących do porówaia stóp omialych, okresowych (rówoważych) i efektywych dla 1 roku Stopa okresowa Stopa omiala Stopa efektywa m r ( 1 ) 1 i m i m 1 i m i1 m r ( 1 ) 1 m i1 i m m m i1 m( 1 r 1) Gdzie: r efektywa stopa rocza; i 1 omiala stopa rocza; i m (omiala) stopa okresowa; m liczba okresów (kapitalizacji). 15
Dziękuję za uwagę 16