System finansowy gospodarki. Zajęcia nr 5 Matematyka finansowa

Transkrypt

1 System finansowy gospodarki Zajęcia nr 5 Matematyka finansowa

2 Wartość pieniądza w czasie 1 złoty posiadany dzisiaj jest wart więcej niż 1 złoty posiadany w przyszłości, np. za rok. Powody: Suma posiadana dzisiaj może być z powodzeniem zainwestowana i przynieść zyski; W gospodarce występuje zjawisko inflacji; Zobowiązaniu zwrotu pożyczonych pieniędzy towarzyszy ryzyko jego niespełnienia; Każdy podmiot chce posiadać pieniądze wcześniej, gdyż wcześniej może za nie nabyć określone dobra.

3 Podejmowanie decyzji mających skutki pieniężne Przy podejmowaniu decyzji finansowych należy strumienie pieniężne doprowadzić do porównywalności, a więc określić ich wartość na określony moment czasowy. Może to być wartość bieżąca lub wartość przyszła. Przyjęcie określonego punktu odniesienia (momentu czasowego, w którym dokonuje się porównań) zależy od preferencji podmiotu przeprowadzającego analizę finansową.

4 Procent prosty i składany Procent prosty stosuje się dla okresów krótszych niż rok. Procent składany natomiast dla okresów dłuższych niż rok. Dla okresów krótszych od roku stosuje się procent składany wówczas, gdy występuje kapitalizacja odsetek. Odsetki to nic innego jak cena pieniądza.

5 Procent prosty t K n K 0 (1 i ) 360 Gdzie: K n kapitał końcowy; K 0 kapitał początkowy; i stopa procentowa; t czas (np. okres lokaty, pożyczki).

6 Procent prosty Jeżeli w trakcie pożyczki nastąpiła zmiana oprocentowania, to stosujemy następujący wzór: K n K 0 t t ( 1 i 1 i i n tn ) 360 Gdzie: i 1 - i n - zmienne stopy procentowe; t 1 - t n długość obowiązywania danych stóp procentowych.

7 Procent prosty Przykład 1 Założono w banku lokatę w wysokości zł na 3 miesiące przy stopie procentowej w skali rocznej 10%. Oblicz odsetki oraz kapitał końcowy.

8 Przykład 2 Kontrahent A udzielił kontrahentowi B pożyczki w wysokości 300 zł na 6 miesięcy. Partnerzy ustalili, że przez 4 miesiące będzie obowiązywała stopa 12%, a przez 2 kolejne 15%. Tego typu ustalenie było wynikiem antycypacji przez kontrahentów podwyżki stóp procentowych przez bank centralny. Oblicz kwotę do spłacenia przez kontrahenta B. Patrycja Chodnicka Zakład Bankowości i Rynków Finansowych WZ UW

9 Zagadnienie stopy równoważnej Stopa równoważna jest to taka stopa, której użycie nie zmienia wielkości kapitału końcowego. Przykład 3 Wniesiono do banku depozyt w wysokości zł na 3 miesiące przy stopie procentowej w skali rocznej 10%. Oblicz kapitał końcowy przy pomocy stopy rocznej oraz równoważnych: miesięcznej i kwartalnej. Patrycja Chodnicka Zakład Bankowości i Rynków Finansowych WZ UW

10 Procent składany K n K 0 (1 i) n i K K (1 ) n 0 m Gdzie: i stopa procentu składanego; n liczba lat; n m m liczba podokresów (np. miesięcy, kwartałów), a więc kapitalizacji w roku.

11 Procent składany Jeżeli z okresu na okres zmienia się stopa procentowa, wtedy stosujemy następujący wzór: m n i i K K n 0 m m Gdzie: i 1 - i n zmienne stopy procentowe; m 2 n 2 i n m n m n n n m 1 m n liczba podokresów (kapitalizacji) dla długości obowiązywania danej stopy procentowej; n 1 n n liczba lat dla długości obowiązywania danej stopy procentowej.

12 Przykład 4 Do banku pan X wpłacił kwotę zł na 3 lata. Przez pierwszy rok obowiązywała stopa 16% w skali rocznej, zaś kapitalizacja wkładów odbywała się co miesiąc. Przez kolejne 2 lata stopa wynosiła 14% w rozrachunku rocznym, zaś wkłady kapitalizowano kwartalnie. Oblicz kapitał końcowy na koniec 3 roku.

13 Stopa równoważna procentu składanego Przykład 5 Założono lokatę w wysokości j.p. na 12% na rok wg procentu prostego i składanego. Oblicz kapitał końcowy przy pomocy miesięcznych stóp równoważnych procentu prostego i składanego.

14 Wniosek z przykładu: Bez względu na liczbę kapitalizacji kapitał końcowy pozostaje ten sam. Wzór dla przejścia w procencie składanym ze stopy rocznej na równoważną (dla krótszego okresu, np. miesiąca, kwartału itp.) i m1 i m 1 1 Gdzie: i m stopa równoważna (miesięczna, kwartalna itp.); m liczba okresów kapitalizacji (liczba podokresów).

15 Efektywna roczna stopa procentowa Efektywna roczna stopa procentowa to stopa uwzględniająca całościowy faktyczny przychód z kapitału (przy odsetkach otrzymywanych) lub też całościowy koszt kapitału (przy odsetkach płaconych). Efektywna roczna stopa procentowa od kredytu jest to stopa, która uwzględnia wszystkie koszty obsługi długu, w tym prowizje i zróżnicowanie okresów spłaty (kapitalizacji) odsetek. Zależy zatem od: nominalnej stopy procentowej; częstotliwości spłaty (okresów, w których występuje kapitalizacja); wysokości prowizji i innych kosztów.

16 Efektywna roczna stopa procentowa od odsetek z lokaty r efo (1 r nom m ) m 1 Gdzie: r efo efektywna roczna stopa procentowa od odsetek; r nom roczna stopa nominalna; m liczba okresów kapitalizacji w roku.

17 Przykład 6 Nominalna stopa roczna lokaty wynosi 30%. Bank zastosował kapitalizację dwumiesięczną. Podaj rzeczywistą (efektywną) roczną stopę procentową. Patrycja Chodnicka Zakład Bankowości i Rynków Finansowych WZ UW

18 Stopa efektywna przy kosztach prowizji r p = p(1+r nom ) r r nom m (1 ) 1 efo m r ef = r p + r o

19 Przykład 7 Roczna pożyczka o wysokości 3000 zł. Jej spłata odbywa się co 2 miesiące. Oprocentowanie nominalne wynosi 8%. Została pobrana jednorazowa prowizja w wysokości 2%. Oblicz efektywną stopę procentową tej pożyczki.

20 Realna roczna stopa zwrotu Zależność między nominalną stopą zwrotu, realną stopą zwrotu i stopą inflacji przedstawia równanie Fishera: 1 + r nom = (1 + r real ) (1 + i) Zatem: Gdzie: r real r nom 1 i r nom stopa nominalna (w jednym okresie); r real stopa realna (w jednym okresie); i stopa inflacji (w jednym okresie). i

21 Przykład 8 Do banku zostaje złożony depozyt na jeden rok. Nominalne oprocentowanie depozytu wynosi 40%. Analitycy przewidują, że w ciągu najbliższego roku inflacja ukształtuje się na poziomie 35%. Oblicz realną roczną stopę zwrotu.

22 Realna efektywna stopa procentowa Przykład 9 Pożyczka w wysokości zł. Jej spłata odbywa się co 3 miesiące. Stopa nominalna pożyczki wynosi 15%. Inflacja 1,6%. Obliczyć roczne efektywne oprocentowanie pożyczki.

23 Procent składany kapitalizowany z góry Odsetki w tego typu lokacie obliczane są i kapitalizowane z góry. K n K 0 (1 i) n

24 Przykład 10 Oblicz wartość końcową depozytu o wartości j.p. po 4 latach, liczonego dla porównania procentem składanym kapitalizowanym z dołu oraz z góry przy stopie 10%.

25 Dyskontowanie Oś czasu K 0 K n Dyskontowanie Dyskontowanie to proces przechodzenia z wartości przyszłych na bieżące (z K 2 na K 0, lecz uwaga także z K 2 na K 1 itp.) Dyskontowanie odnosi się do różnych funkcji (mechanizmów) wzrostu (zarówno do procentu prostego, składanego, jak i innych)

26 Dyskonto handlowe Dyskonto matematyczne Odsetki handlowe O K n i t 360 Odsetki matematyczne (proste) O K 0 i t 360 Dyskonto handlowe K 0 K (1 Rachunek w stu K n n 1 i i K 0 t ) 360 t 360 Dyskonto matematyczne K Rachunek od sta K n n 0 t K 0 1 (1 i K i 360 t ) 360

27 Przykład 11 Pan Maciek zapragnął kupić sobie skuter. W tym celu udał się do dwóch sklepów. W pierwszym sklepie zaproponowano mu, by zapłacił zł gotówką, a zł po roku. W drugim natomiast warunki były następujące: zł gotówką i zł po dwóch latach. Która z propozycji jest korzystniejsza, jeśli przyjmie się stopę dyskonta w wysokości 11%? Patrycja Chodnicka Zakład Bankowości i Rynków Finansowych WZ UW

28 Przykład 12 Pan Jakub prowadzi interesy z panem Maćkiem. Postanowił kupić od pana Maćka towary o wartości 100 j.p. Niestety pan Jakub nie miał w chwili zakupu pieniędzy. Dlatego pan Maciek udzielił mu kredytu kupieckiego zabezpieczonego wekslem. Weksel płatny jest za 3 miesiące od daty przekazania towaru. Obaj panowie zgodzili się, że odsetki będą liczone procentem prostym podług stopy 10%. Określ sumę wekslową, jaką pan Jakub musi spłacić panu Maćkowi.

29 C.d przykładu Pan Maciek tego samego dnia, w którym otrzymał weksel od pana Jakuba, zorientował się, że może zrobić dobry interes na zakupie akcji prywatyzowanego banku państwowego. Niestety jednak zamiast gotówki dysponował tylko wekslem otrzymanym od pana Jakuba. Nie zastanawiając się wiele, udał się do najbliższego banku, gdzie zdyskontował weksel handlowo również podług stopy 10%.

30 Przykład 13 Hurtownik sprzedał detaliście partię zabawek. Detalista zapłacił za partię wekslem płatnym w terminie 3 miesięcy. Suma wekslowa została policzona od sta przy stopie 25% i wyniosła j.p. Hurtownik, 20 dni przed datą zapadalności weksla, zdyskontował walor w banku przy stopie 27% (banki stosują dyskonto handlowe). Oblicz cenę partii zabawek oraz kwotę wypłaconą hurtownikowi przez bank. Dyskonto matematyczne cena partii zabawek Dyskonto handlowe kwota wypłacona hurtownikowi przez bank Patrycja Chodnicka Zakład Bankowości i Rynków Finansowych WZ UW

31 Przykład 14 Zdyskontowano w banku weksel o sumie nominalnej zł. Zrobiono to na dwa miesiące przed terminem zapadalności. Stopa dyskonta w skali rocznej wyniosła 20%. Ile otrzymano w zamian? (dyskonto handlowe w przypadku weksli)

32 Przykład 15 Kowalski zdyskontował w banku weksel na kwotę zł na 1 miesiąc przed terminem zapadalności. Otrzymał zł. Jaka była stopa dyskonta w skali rocznej jaka zastosował bank?

33 Tabela wzorów służących do porównania stóp nominalnych, okresowych (równoważnych) i efektywnych dla 1 roku Stopa okresowa Stopa nominalna Stopa efektywna r (1 i m i 1 ) m m 1 i m r i1 m ( 1 ) m i1 i m m 1 i 1 m ( m 1 r 1) Gdzie: r efektywna stopa roczna; i 1 nominalna stopa roczna; i m (nominalna) stopa okresowa; m liczba okresów (kapitalizacji).

34 Dziękuję za uwagę