Procent prosty Def.: Procent prosty Zad. 1. Zad. 2. Zad. 3

Transkrypt

1 Procent prosty Zakładając konto w banku, decydujesz się na określone oprocentowanie tego rachunku. Zależy ono między innymi od czasu, w jakim zobowiązujesz się nie naruszać stanu konta, czyli tzw. lokaty terminowej, oraz od sposobu kapitalizacji odsetek i od oprocentowania kapitału K w stosunku rocznym. Def.: Procent prosty to sposób oprocentowania wkładu pieniężnego K, polegający na tym, że dochód w postaci odsetek nie jest doliczany do wkładu i nie procentuje wraz z nim w następnym okresie oszczędzania. Zad. 1. Trzy banki podają różne informacje o stopie oprocentowania procentu prostego. W banku A oprocentowanie roczne jest równe 12%, w banku B oprocentowanie półroczne jest równe 6%, a w banku C oprocentowanie kwartalne to 4%. Czy oferty banków się różnią? Zad. 2. W banku A na procencie prostym stopa oprocentowania w stosunku rocznym jest równa 10%. W banku tym można wypłacić należne odsetki w każdej chwili. Wpłaciłeś do tego banku kwotę 1000 zł. Oblicz, jaką kwotę odsetek będziesz mógł wypłacić po upływie: a) jednego roku, b) pięciu miesięcy, c) osiemdziesięciu dni. Zad. 3. Wpłaciłeś do banku kwotę 100 zł, która będzie oprocentowana 5% w stosunku rocznym bez kapitalizacji odsetek. Po ilu latach podwoisz swój kapitał? Procent prosty 1z7

2 Zad. 4 Wpłaciłeś do banku kwotę 100 zł bez kapitalizacji odsetek i po upływie pięciu lat otrzymałeś 10 zł odsetek. Oblicz oprocentowanie kapitału w stosunku rocznym. Zad. 5 Wpłaciłeś do banku kwotę 100 zł, oprocentowaną 12% w stosunku rocznym, baz kapitalizacji odsetek. Oblicz kwotę dochodu, którą przyniesie Ci ta lokata po upływie: a) jednego dnia, b) jednego miesiąca, c) jednego kwartału. Zad. 6 Pan Zenek wpłacił do banku, na pewną ustaloną liczbę lat, kwotę 1800 zł na procent prosty, spodziewając się 360 zł odsetek. Po upływie roku bank podniósł oprocentowanie o 1% i okazało się, że za ten krótszy okres odsetki też wyniosły 360 zł. Oblicz, na ile lat wpłacił swoje pieniądze pan Zenek i jakie oprocentowanie zaproponował bank w momencie składania lokaty, jeżeli nie ma kapitalizowania odsetek. Zad.7. Oblicz, ile odsetek zapłaci dłużnik wierzycielowi za pożyczkę kwoty zł, zaciągniętą w dniu l marca, a spłaconą 30 czerwca (tego samego roku), wiedząc że wierzyciel zaproponował oprocentowanie 20% w stosunku rocznym. Zad.8. Zamówiony towar został dostarczony z opóźnieniem. Oblicz opłatę za zwłokę na rzecz odbiorcy towaru przy rocznej stopie odsetek 12% (rok ma 365 dni), gdy przeterminowane zobowiązania nadawcy trafiło do odbiorcy z opóźnieniem: a) 5 dni na kwotę zł, b) 12 dni na kwotę zł, c) 73 dni na kwotę zł. Wynik zaokrągli] do l gr. Zad.9. Oblicz, w ciągu ilu dni pożyczona kwota zł przyniosła wierzycielowi l 600 zł odsetek, przy oprocentowaniu 8% w stosunku rocznym (rok ma 365 dni). Zad.10. W czasie 40-godzinnego tygodnia pracy w zakładzie produkuje się pewną liczbę części samochodowych. O ile procent powinna wzrosnąć wydajność pracy, by można było wdrożyć 35-godzinny tydzień pracy i pracodawca nie poniósłby strat? Zad.11. Klient wpłacił do banku zł na dwa lata, wybierając opcją bez kapitalizacji odsetek. Po dwóch latach otrzymał zł. Oblicz, jakie było oprocentowanie tej lokaty w stosunku rocznym. Zad.12. Klient wpłacił do banku zł. Kwota ta była oprocentowana 8% w stosunku rocznym. Oblicz, ile wpłacający może otrzymać z banku po 6 miesiącach oszczędzania, gdy: a) nie musi odprowadzać do skarbu państwa 19% podatku od zysku, b) od odsetek odprowadzi podatek w wysokości 19%. Zad.13. Przedsiębiorca ma zapłacić zł podatku dochodowego. Oblicz, ile będzie musiał zapłacić, jeżeli odsetki za spóźnienie wynoszą 13,5% w stosunku rocznym, a należny podatek wpłaca do urzędu skarbowego z opóźnieniem (nie uwzględniamy kary za spóźnienie, wynik zaokrąglij do l złotego): a) 10 dni, b) 30 dni, c) dwóch lat. Procent prosty 2 z 7

3 Procent składany Uwaga. Kapitalizacja odsetek to dopisanie odsetek do kapitału po upływie określonego czasu, które wraz z kapitałem procentują w następnym okresie. Przykład Pan Piotr zamierza założyć lokatę, wpłacając do banku na okres jednego roku kwotę l 000 zł. Bank proponuje mu do wyboru trzy lokaty: lokata rodzaju 1. - oprocentowanie kapitału 6% w stosunku rocznym z kapitalizacją odsetek po roku, lokata rodzaju 2. - oprocentowanie kapitału 5,8% w stosunku rocznym z kapitalizacją odsetek co pół roku, lokata rodzaju 3. - oprocentowanie kapitału 5,6% w stosunku rocznym z kapitalizacją odsetek co kwartał. Oceń, która z lokat jest najkorzystniejsza dla pana Piotra. Lokata rodzaju 1. Lokata rodzaju 2. 1 (Oprocentowanie: 5,8% 2,9% co pół roku. Kapitalizacja odsetek co pół roku.) Lokata rodzaju 3. (Oprocentowanie: 5,6% 1,4% co kwartał. Kapitalizacja odsetek co kwartał.) Odp.: Najkorzystniejsza jest lokata rodzaju 1., bo l 060 > l 058,84 > l 057,19. Procent prosty 3 z 7

4 Zad. 14. Z okazji narodzin wnuka dziadkowie wpłacili na jego konto l 000 zł, które zostało oprocentowane 5% w stosunku rocznym z kapitalizacją odsetek po każdym roku. Jakie saldo będzie na lokacie bankowej, gdy wnuk skończy 18 lat? Zad. 15. Ulokowałeś 100 zł na rachunku bankowym na okres czterech lat z kapitalizacją odsetek po roku. W ciągu tego okresu nastąpiły zmiany rocznej stopy procentowej, które były odpowiednio równe: 5%, 4%, 3%, 2%. Jaka była wartość twojej lokaty na koniec okresu oszczędzania? Zad.16. Oblicz wartość lokaty rocznej równej 200 zł, po okresie oszczędzania trzech lat, z kapitalizacją odsetek po roku, jeżeli w tym okresie stopy procentowe były odpowiednio równe 6%, 3% i 5% i każdego roku bank odsyłał do Urzędu Skarbowego 20% od odsetek, jako podatek dochodowy. Oszczędzanie systematyczne Zwykle na emeryturę, na mieszkanie, na kształcenie dzieci oszczędza się systematycznie, wpłacając co miesiąc określoną kwotę. Jeżeli stopa procentowa jest stała i kapitalizacja odsetek następuje na koniec każdego miesiąca, to obliczenie końcowego kapitału jest w miarę proste. Przykład Procent prosty 4z7

5 Pracodawca postanowił dodatkowo ubezpieczyć swój ego pracownika w funduszu emerytalnym i wpłacał na początku każdego miesiąca 100 zł. Fundusz ten gwarantował stałe oprocentowanie w stosunku rocznym 6%. Kapitalizacja odsetek następowała na koniec każdego miesiąca. Oblicz, jaki kapitał był na koncie pracownika po dwudziestu latach. Rozwiązanie. Pierwsze 100 zł leżało na koncie przez 240 miesięcy, czyli po 20 latach wpłacania kapitał od pierwszych 100 zł był równy Odp.: Po dwudziestu latach na koncie pracownika była kwota ,11 zł. Zad. 17. Młode małżeństwo, Ania i Paweł, postanowiło odkładać na kupno mieszkania, wpłacając co miesiąc l 000 zł. Bank zaproponował stałe oprocentowanie 5% w stosunku rocznym z kapitalizacją odsetek co miesiąc. Oblicz, jaką kwotą będą dysponować po czterech latach oszczędzania. Kredyty Sytuacje życiowe zmuszaj ą nas często do zaciągania kredytów, które spłacamy zwykle w jednakowych ratach. Za uruchomienie kredytu płacimy bankowi pewną kwotę. Przykład Chcesz wziąć na trzy miesiące kredyt w wysokości l 000 zł, oprocentowany 12% w stosunku rocznym. Bank za gotowość i uruchomienie kredytu pobiera jednorazową opłatę w kwocie równej 2,5% wartości udzielanego kredytu. a) Jaką kwotą będziesz dysponował, gdy bank uruchomi kredyt? b) Oblicz wielkość raty R, którą będziesz spłacał kredyt, jeżeli chcesz, by raty były takiej samej wielkości. c) Oblicz koszt zaciągnięcia kredytu. Rozwiązanie: a) Ponieważ bank pobiera opłatę za gotowość i uruchomienie kredytu w kwocie 2,5% jego wartości, więc otrzymasz kwotę: 97,5% zł = 975 zł. b) Jeśli K 1, K 2, K 3 są wartościami kredytu K na koniec każdego z trzech miesięcy po wpłaceniu raty, wtedy 1 12 K1 K q R, gdzie K = 1 000zł, q 1 1, 01, Procent prosty 5 z 7

6 c) Koszt zaciągnięcia kredytu stanowią: 1 - koszt obsługi spłaconych rat 3R-K = 3-340, = 20,06, 2 - koszt uruchomienia kredytu 25 zł, zatem koszt zaciągnięcia kredytu jest równy 20, ,00 = 45,06. Odp.: a) Za uruchomienie kredytu bank pobrał opłatę 25 zł. b) Kredytobiorca spłacił kredyt w trzech równych ratach po 340,02 zł. c) Koszt zaciągnięcia kredytu 45,06 zł. Zad.18. Oblicz wysokość raty R w przypadku, gdybyś chciał wziąć na trzy miesiące kredyt w kwocie l 000 złotych, którego oprocentowanie w stosunku rocznym jest równe 24%. Zad.19. Kwotę 1000 zł złożono w banku przy stopie procentowej 10% w skali roku. Wyznacz kapitał wraz z odsetkami po 5 latach, jeśli odsetki są dopisywane po upływie każdego roku. Zad.20. Jaką kwotę będę mieć na koncie po upływie dwóch lat, jeżeli wpłacę do banku 1000 zł, przy oprocentowaniu kapitału równym 4% w stosunku rocznym, z kapitalizacją odsetek co kwartał? Zad.21. Liczba ludności miasta wzrosła w ciągu dwóch lat z do mieszkańców. Oblicz w procentach roczny przyrost ludności, zakładając, że był on w tym czasie stały. Zad.22. Odsetki od dwóch kredytów budowlanych o całkowitej wysokości zł wynoszą rocznie zł. Stopa procentowa jednego kredytu jest równa 9%, a drugiego 10,5%. Oblicz wysokość każdego z kredytów. Zad.23. Miasto M ma obecnie mieszkańców. W ciągu ubiegłych 10 lat średni roczny przyrost liczby jego mieszkańców wynosił 3%. Ilu było mieszkańców w mieście M przed 10 laty? Wynik podaj z dokładnością do 1. Zad.24. Miasto N ma obecnie mieszkańców. Z długoletnich obserwacji wynika, że średni roczny przyrost liczby jego mieszkańców wynosi 5%. Ilu mieszkańców będzie miało to miasto za 10 lat? Zad.25. Pewna instytucja zaciągnęła w banku pożyczkę w wysokości zł, oprocentowaną według ustalonej rocznej stopy procentowej. Po roku instytucja zwróciła zł, natomiast pozostałą sumę wraz z odsetkami pożyczyła na rok następny na tych samych warunkach. Z końcem drugiego roku instytucja zwróciła zł, czym całkowicie spłaciła zaciągnięty dług. Jaka była roczna stopa oprocentowania pożyczki? Zad. 26. Załóżmy, że decydujesz się wpłacić l 000 zł na konto oprocentowane 5% w stosunku rocznym: 1 z kapitalizacją odsetek po roku, 2 bez kapitalizacji odsetek. Oblicz, jaki będzie stan Twojego konta po upływie: a) roku, b) dwóch lat, c) czterech lat. Zad.27. Procent prosty 6 z 7

7 Bogaty dziadek, w dniu Twoich urodzin, wpłacił Ci na konto kwotę złotych, oprocentowaną w stosunku rocznym 3 % z kapitalizacj ą odsetek po roku. Czy w swo-je osiemnaste urodziny będziesz już milionerką (milionerem)? Zad.28. Kwotę 1000 zł wpłacono na konto do banku przy oprocentowaniu 10% w skali roku z półroczną kapitalizacją odsetek. Ile pieniędzy możemy się spodziewać na tym koncie po półtora roku, gdy we wskazanym okresie nie będziemy dokonywać żadnych operacji? Zad.29. Jaki dochód przyniesie Ci po trzech latach lokata zł, która jest oprocentowana w stosunku rocznym w wysokości 8%, a odsetki są kapitalizowane co kwartał? Zad.30. Załóżmy, że zł zostało wpłacone do banku na konto oprocentowane w wysokości 12% w stosunku rocznym z kapitalizacją odsetek co kwartał. Ile lat musi upłynąć, aby suma na koncie przekroczyła zł? Zad.31. Menedżer otrzymał propozycję pracy w dwóch różnych firmach A i B na okres 5 lat. W firmie A zaplanowano mu kontrakt z pensją zł rocznie i podwyżką płacy o zł po każdym roku. W firmie B zaproponowano mu zł rocznie i zwiększenie płacy o 10% po każdym przepracowanym roku w stosunku do płacy z poprzedniego roku. Która propozycja płacy była korzystniejsza? Zad.32. Pan Kowalski podpisał z firmą wydobywającą ropę naftową umowę o pracę, w myśl której między innymi: a) okresem zatrudnienia są dwa kolejne lata, b) w okresie zatrudnienia firma pokrywa wydatki na życie" pracownika, c) miesięczne wynagrodzenie wynosi 5000 zł, d) po każdym przepracowanym miesiącu pensja będzie przelewana na konto bankowe; oprocentowanie wkładu na koncie jest równe 1% w skali miesiąca, kapitalizacja odsetek następuje co miesiąc, e) kwotę zgromadzoną na koncie otrzyma po wygaśnięciu kontraktu. Ile pieniędzy zarobi pan Kowalski? Podaj wynik z dokładnością do 1000 zł. Zad.33. Wiedząc, że wartość oszczędności K n przy systematycznym wpłacaniu kwoty K przez n okresów, przy stałym czynniku procentowym q (stałej stopie procentowej p) we wszystkich n okresach, dana jest wzorem rozwiąż poniższe zadanie. Od chwili narodzin wnuka dziadek wpłaca co roku na jego konto 100 złotych, oprocentowane w stosunku rocznym 2% z kapitalizacją odsetek po roku. Ile pieniędzy będzie miał wnuk, gdy skończy 1 8 lat? Podaj wynik z dokładnością do l zł. Zad. 34. Każda złotówka wpłacona do pewnego banku na lokatę jest oprocentowana 4% w stosunku rocznym. Wartość t kapitału z każdej złotówki po t latach opisuje wzór f ( t) y0 (1 0,04), gdzie y 0 jest wartością kapitału początkowego. a) Oblicz kapitał zgromadzony po 5 latach, jeżeli kapitałem początkowym była kwota 800 zł. Wynik zaokrąglij do l gr. b) Oblicz, po ilu latach wpłacona kwota 800 zł podwoi swoją wartość. Zad.35. Student zawarł z bankiem umowę o pewną lokatę na okres dwóch lat. W umowie ustalono, iż bank zapłaci odsetki o 5% wyższe niż roczna inflacja. Po dwuletnim okresie oszczędzania bez kapitalizacji odsetek, student otrzymał kwotę 5 907,20 zł. Ile złotych złożył w banku student, jeżeli inflacja w pierwszym roku wyniosła 2,6% a w drugim roku 4,8%? Zad.36. Oprocentowanie lokat długoterminowych w pewnym banku jest równe p%. Oblicz kwotę K wpłaconą do banku, by po n latach otrzymać kwotę d odsetek, gdy. a) p = 2%, n = 2, d = 808 zł, b) p = 4%, n = 3, d = 3 745,92 zł. Procent prosty 7 z 7