Jak wybrać kredyt? Waldemar Wyka Instytut Matematyki Politechniki Łódzkiej. 22 listopada 2014

Transkrypt

1 Waldemar Wyka Instytut Matematyki Politechniki Łódzkiej 22 listopada 2014

2 Plan prezentacji 1 Powtórzenie 2 3 Plany spłaty długu - stałe raty Plany spłaty długu - stałe raty kapitałowe Plany spłaty długu - zwrot długu w ostatniej racie 4 - opóźniona spłata długu - dług z dodatkowymi opłatami

3 Powtórzenie procent prosty FV = PV (1 + it), procent składany FV = PV (1 + i) t, gdzie FV - wartość przyszła inwestycji; PV - wartość obecna inwestycji; i - stopa procentowa; t - okres inwestycji; ilość kapitalizacji odsetek.

4 Powtórzenie dyskonto proste PV = FV (1 dt), procent składany PV = FV (1 d) t, gdzie FV - wartość przyszła inwestycji; PV - wartość obecna inwestycji; d - stopa dyskontowa; t - okres inwestycji; ilość kapitalizacji odsetek.

5 Powtórzenie Zdefiniujmy sobie współczynnik dyskontujący, który będzie często używany do wyznaczania wartości obecnej ciągu płatności. współczynnik dyskontujący (v) lub inaczej współczynnik dyskontujący (v) v = i, v = 1 d, gdzie i - stopa procentowa; d - stopa dyskontowa.

6 Powtórzenie Często w róznych warunkach kredytowych, nie podaje się stopy procentowej i stopy dyskontowej. Poniżej są zależności na te stopy: lub dla stóp podokresowych ( 1 + i nominalna n (1 + i)(1 d) = 1, ) n ( 1 d nominalna n ) n = 1.

7 Powtórzenie Ale co zrobić, gdy mamy stopę nominalną, a potrzebujemy efektywną?? zależność ( (1 + i efektywna ) = 1 + i ) n nominalna. n

8 Powtórzenie Jak uwzględnić inflację?? zależność i rzeczywista = 1 + i 1 + i inflacji 1.

9 Renty Wartość obecna renty płatnej z góry (na początku każdego roku) w wysokości 1 w n latach ä n = 1 + v + v v n 1 = 1 v n 1 v = 1 v n. d Wartość przyszła (zakumulowana) renty płatnej z góry (na początku każdego roku) w wysokości 1 w n latach s n = (1 + i) n + (1 + i) n (1 + i) = (1 + i) (1 + i)n 1. i

10 Renty Wartość obecna renty płatnej z dołu (na końcu każdego roku) w wysokości 1 w n latach a n = v + v v n = v 1 v n 1 v = 1 v n. i Wartość przyszła (zakumulowana) renty płatnej z dołu (na końcu każdego roku) w wysokości 1 w n latach s n = (1 + i) n 1 + (1 + i) n = (1 + i)n 1. d

11 Renty Wartość obecna renty o ratach rosnących: 1,2,3,..,n, płatnej z dołu (na końcu każdego roku) (Ia) n = v + 2v nv n = ä n nv n. i Wartość przyszła (zakumulowana) (Is) n = (1 + i) n (Ia) n = s n n. d

12 Renty rosnące Wartość obecna renty o ratach rosnących: 1,2,3,..,n, płatnej z góry (na początku każdego roku) (I ä) n = 1 + 2v + 3v nv n 1 = (1 + i)(ia) n. Wartość przyszła (zakumulowana) (I s) n = (1 + i) n 1 (Ia) n.

13 Renty malejące Wartość obecna renty o ratach majlejących: n,n-1,..,2,1, płatnej z dołu (na końcu każdego roku) (Da) n = nv + (n 1)v v n = n a n. i Wartość obecna renty o ratach majlejących: n,n-1,..,2,1, płatnej z góry (na początku każdego roku) (Dä) n = n + (n 1)v v n 1 = (1 + i)(da) n.

14 Renty niezgodne ( 1 + i (m) m d (m) = ) m = 1 + i, i (m) 1 + i (m) m gdzie i (m) - jest nominalną roczną stopą przy m -krtotnej kapitalizacji w ciągu roku, równoważną rocznej stopie procentowej i, zaś d (m) będzie nominalną stopą dyskontową przy m-krotnej kapitalizacji:.

15 Renty niezgodne Wartość obecna renty płatnej z góry m razy w roku przez n lat w wysokości 1 m ä (m) n = 1 m + v 1/m m Wartość zakumulowana tej renty s (m) n v (nm 1)/m m = ä (m) n (1 + i) n = i d (m) s n = 1 v n d (m).

16 Renty niezgodne Wartość obecna renty płatnej z dołu m razy w roku przez n lat w wysokości 1 m a (m) n = v 1/m m + v 2/m m Wartość zakumulowana tej renty s (m) n v (nm)/m m = a (m) n (1 + i) n = i i (m) s n = 1 v n i (m).

17 Plany spłaty długu - stałe raty Plany spłaty długu - stałe raty kapitałowe Rata kredytu Wprowadźmy następujące oznaczenia: n- liczba spłat kredytu (liczba rat); r- stopa procentowa (koszt kredytu); D t - wielkość długu w chwili t; O t - t-ta rata odsetkowa; P O -wartość obecna odsetek; K t -t-ta rata kapitałowa; R t = O t + K t - rata kredytu; p- stopa prowizji za udzielenie kredytu.

18 Plany spłaty długu - stałe raty Plany spłaty długu - stałe raty kapitałowe Rata kredytu Przy spłacie długu obowiązuje zasada równoważności długu i jego spłaty: Wartość obecna długu D 0 jest równa wartości obecnej wszystkich rat. n D 0 = R t v t lub za pomocą wzorów na renty (kiedy wszystkie raty są równe): t=1 D 0 = Ra n

19 Plany spłaty długu - stałe raty Plany spłaty długu - stałe raty kapitałowe Rata kredytu Niech D s oznacza dług bieżący, wtedy s D s = D 0 (1 + r) s R t (1 + r) s t t=1 lub inaczej n D s = R t v s t t=s+1 D s - dług po spłacie s początkowych rat kredytu.

20 Plany spłaty długu - stałe raty Plany spłaty długu - stałe raty kapitałowe Rata kredytu Każdą ratę dzielimy na ratę odsetkową i ratę odsetkową R t = K t + O t, zakładamy, że raty kapitałowe spłacają dług n D 0 = K t. t=1 Mówimy, o bieżącej spłacie odseteg, gdy O t = rd t 1.

21 Plany spłaty długu - stałe raty Plany spłaty długu - stałe raty kapitałowe Rata kredytu Bieżący dług możemy zapisać w postaci t D t = D 0 K s, s=1 lub inaczej n D t = K s. s=t+1

22 Plany spłaty długu - stałe raty Plany spłaty długu - stałe raty kapitałowe Plany spłaty długu - stałe raty Załóżmy, że R t = R (stałe raty kredytu), wtedy n D 0 = R v t = Ra n r, t=1 gdzie a n r = (1 v n )/r. Stąd mamy, że rata kredytu wyznaczona jest ze wzoru R = D 0 a n r.

23 Plany spłaty długu - stałe raty Plany spłaty długu - stałe raty kapitałowe Plany spłaty długu - stałe raty Zatem w przypadku, gdy mamy stałe raty kredytu bieżący dług możemy przedstawić jako D t = R(v + v v n t ) = Ra n t. Wartość obecna odsetek (odsetki wycenione na chwilę t = 0) wynosi P O = R(a n nv n+1 ).

24 Plany spłaty długu - stałe raty Plany spłaty długu - stałe raty kapitałowe Plany spłaty długu - stałe raty kapitałowe Przyjmijmy, że K t = K dla każdego t, zatem K = D 0 /n. Wtedy dług bieżący jest postaci: ( D t = D 0 1 = t ). n Rata kredytu ma postać R t = K t + O t = K + rd t 1, więc ciąg rat R t jest ciągiem arytmetycznym o różnicy R t+1 R t = Kr i wyrazie pierwszym R 1 = K + rd 0 = K + rnk, czyli R t = (1 + (n t + 1)r)K.

25 Plany spłaty długu - stałe raty Plany spłaty długu - stałe raty kapitałowe Plany spłaty długu stałe raty kredytu Ponadto O t = rd t 1, zatem wartość obecna odsetek dana jest wzorem P O = (n a n )K.

26 Plany spłaty długu - stałe raty Plany spłaty długu - stałe raty kapitałowe Plany spłaty długu rosnące raty kapitałowe Niech K t = at dla każdego t. Przypomnijmy, że więc n D 0 = K t, t=1 a = 2D 0 n(n + 1). Zatem bieżący dług można przedstawić jako: D t = D 0 = t j=1 ( ) t(t + 1) K j = D 0 1. n(n + 1)

27 Plany spłaty długu - stałe raty Plany spłaty długu - stałe raty kapitałowe Plany spłaty długu malejące raty kapitałowe Podobnie postępujemy w przypadku malejących rat kapitałowych. O t = rd t 1 i R t = K t + O t. Postępując analogicznie, wyznaczamy przy malejących ratach K t = b(n t + 1) wartość b = 2D/(n(n + 1)), dług bieżący ma wówczas postać: D t = D 0 ( 1 gdzie O t = rd t 1 i R t = K t + O t. ) t(2n t + 1), n(n + 1)

28 Plany spłaty długu - stałe raty Plany spłaty długu - stałe raty kapitałowe Plany spłaty długu - zwrot długu w ostatniej racie Niech K n = D 0, a pozostałe raty kapitałowe są równe 0. Odsetki spłacamy na bieżąco, O t = D 0 r dla wszystkich T. Stąd R t = D 0 r dla t < n, R n D 0 r + D 0, D t = D 0, dla t < n oraz P O = D 0 (1 v n ).

29 - opóźniona spłata długu - opóźniona spłata długu - opóźniona spłata długu Jeśli K 1 = K 2 =.. = K s = 0 i K s+1 > 0, to mówimy, że spłata długu jest opóźniona o s. Okres od chwili 0 do s nazywamy okresem karencji. Gdy dłużnik nie płaci rat R 1,..R s (nie płaci odsetek), dług narasta do D(1 + r) s. Jeśli odsetki są płacone na bieżąco, to R t = rd 0 dla t s, zatem w chwili s dług wynosi D 0.

30 - opóźniona spłata długu - opóźniona spłata długu - dług z dodatkowymi opłatami Zwykle w racie oprócz długu i odsetek zawarta jest dodatkowa opłata G t, czyli R t = K t + O t + G t. W skład opłaty G t może wchodzić: prowizja (opłata za usługę), marża (opłata wynikająca z różnicy stóp procentowych po których pożyczkodawca udziela kredytu i przyjmuje kapitał w depozyt), opłata manipulacyjna, ubezpieczenie kredytu i inne. Najczęściej prowizja jest pobierana w chwili 0 lub w chwili spłaty proporcjonalnie do bieżącego długu lub raty kapitałowej, tzn. G t = pd t 1 G t = pk t, gdzie 0 < p < 1 jest ustaloną stopą prowizji.

31 - opóźniona spłata długu - opóźniona spłata długu Dziękuję za uwagę