3.7.. Reducja dowolego uładu sił do sił i par sił Dowolm uładem sił będiem awać uład sił o liiach diałaia dowolie romiescoch w prestrei. tm pucie ajmiem się sprowadeiem (reducją) taiego uładu sił do ajprostsej postaci, cli do ajprostsego uładu sił rówoważego daemu uładowi sił. Załóżm, że mam dowol uład sił P o putach prłożeia A (, 2,..., ), ja a rs. 3.2. celu reducji tego uładu prjmijm dowol put awa bieguem reducji. Położeie sił P w stosuu do biegua reducji iech oreślają wetor r. bieguie reducji prłóżm sił P ora sił o preciwch wrotach: P P. Taie postępowaie ie wpłie a miaę sutów mechaicch, poieważ uład 2 sił prłożoch w pucie jest rówoważ eru. osewecji otrmaliśm sił P bieżch w bieguie reducji ora par sił P i P prłożoch odpowiedio w putach A i o mometach rówch mometowi sił P wględem biegua, cli ( ) P r P. A P P P A A r r -P -P -P P P x P Rs. 3.2. Reducja dowolego prestreego uładu sił iadomo, że uład sił bieżch w bieguie reducji moża astąpić jedą siłą, rówą ich sumie geometrcej (wór 3.0), rówież prechodącą pre put bieżości. Podobie uład par sił możem astąpić jedą parą rówoważą o momecie rówm sumie geometrcej mometów par sładowch (wór 3.22). ożem atem apisać:
P, ( P ) r P, (3.24) iłę awam wetorem główm, a momet mometem główm. Defiicje wetora główego i mometu główego możem ująć słowie: etorem główm uładu sił awam sumę geometrcą wsstich sił prłożoą w dowolie obram bieguie reducji : P. (3.25) ometem główm uładu sił wględem biegua reducji awam sumę geometrcą mometów wsstich sił wględem tego biegua: r P. (3.26) Na podstawie powżsch roważań możem stwierdić, co astępuje: Dowol uład sił diałającch a ciało stwe moża astąpić uładem rówoważm sładającm się jedej sił prłożoej w dowolie obram bieguie reducji ora par sił o momecie. celu obliceia współrędch wetora główego i mometu główego prjmiem w bieguie reducji prostoąt uład współrędch x,, (rs. 3.2). Poadto ałożm, że w tm uładie są ae współręde P,P i P sił P ora współręde x i wetorów, 2,..., x, r ( ) oreślającch put prłożeia tch sił. Po oaceiu współrędch wetora główego pre x, i a podstawie twierdeia o rucie sum współręde te będą rówe sumie rutów wsstich sił a poscególe osie uładu współ rędch: x P x, P, P. (3.27) Po oaceiu współrędch mometu główego pre x, i i uwględieiu worów (2.4) współręde te będą rówe sumie mometów wsstich sił wględem odpowiedich osi uładu współrędch:
x x ( P P ), ( P x x P ( x ) P Px. ), (3.28) trmae salare wor (3.27) i (3.28) są rówoważe wetorowm worom (3.25) i (3.26). Ab dwa dowole uład sił bł wajemie rówoważe, waruiem oiecm i wstarcającm jest, ab ich wetor główe i momet główe wględem tego samego biegua reducji bł rówe.
3.7.2. Twierdeie o momecie główm Ze woru (3.25) wia, że wetor głów ie ależ od wboru biegua reducji, cli wetor głów jest iemieiiem uładu sił w operacji mia biegua reducji. omet głów wra e miaą biegua reducji ulegie miaie godie astępującm twierdeiem, am jao twierdeie o momecie główm: omet głów dowolego uładu sił wględem dowolego biegua jest rów mometowi główemu wględem iego dowolego biegua powięsoemu o momet wetora główego prłożoego w bieguie wględem biegua. celu udowodieia tego twierdeia prjmijm, że da jest dowol uład sił P prłożoch w putach A (, 2,..., ), tórego momet głów wględem biegua reducji jest da worem (3.26). Zastaówm się, ja miei się momet głów, jeżeli biegu reducji preiesiem do putu (rs. 3.22). A P A P A P r A Rs. 3.22. Ilustracja do twierdeia o momecie główm Zgodie defiicją momet głów wględem owego biegua reducji wraża wór: A P Po podstawieiu do tego woru ależości wiającej rs. 3.22:. otrmam: A + r ( + r ) P P + r P.
Po uwględieiu, że pierwsa suma po prawej stroie tego rówaia jest wetorem główm (wór 3.35), a druga mometem główm wględem biegua (wór 3.36), otrmujem dowód twierdeia o momecie główm: +. (3.29)
3.7.3. arui rówowagi dowolego uładu sił pucie 3.7. udowodioo, że dowol prestre uład sił diałającch a ciało stwe moża sprowadić do uładu prostsego, sładającego się wetora główego prłożoego w bieguie reducji i par sił o momecie, wam mometem główm, wględem tego biegua. ielości te, godie e worami (3.24), moża ująć w astępując sposób: P, r P. (3.30) Z powżsch ależości wia, że uład sił będie rówoważ eru, gd arówo wetor głów, ja i momet głów będą rówe eru: 0 ora 0. Z porówaia worów (3.30) i (3.3) wiają dwa astępujące wetorowe warui rówowagi: arui te moża wraić słowie: (3.3) P 0, r P 0. (3.32) Ab dowol uład sił bł w rówowade, waruiem oiecm i wstarcającm jest, b suma sił i suma ich mometów wględem dowolego putu bł rówe eru. iadomo, że dowole wetor będą rówe eru, jeżeli ich współręde w prjętm uładie współrędch będą rówe eru. Zatem, ab wetor (3.30) bł rówe eru, ich współręde wrażoe worami (3.27) i (3.28) musą bć rówe eru. tąd otrmujem seść rówań rówowagi: Px 0, P 0, P 0, (3.33) x 0, 0, 0. Ab dowol uład sił bł w rówowade, sum rutów wsstich sił a tr osie uładu współrędch ora sum mometów wsstich sił wględem tch osi musą bć rówe eru. Z otrmach rówań rówowagi (3.33) wia, że w agadieiach dotcącch rówowagi ciała stwego poddaego diałaiu dowolego uładu sił możem wacć seść iewiadomch. prpadu więsej licb iewiadomch mam do cieia agadieiem statcie iewacalm, tórego ie moża rowiąać a grucie stati ciała stwego. Rówaia rówowagi (3.33) dotcą dowolego prestreego uładu sił i jao taie awierają w sobie warui rówowagi prostsch uładów sił. Prładowo dla prestreego bieżego uładu sił omówioego w p. 3.4 momet głów wględem putu bieżości będie rów eru, cli rówaia mometów będą tożsamościowo spełioe, a atem otrmam tlo tr rówaia rówowagi w postaci (3.6) i (3.7).
3.7.4. Reducja dowolego uładu sił do srętia iadomo p. 3.7., że dowol uład sił moża astąpić uładem rówoważm sładającm się wetora główego prłożoego w dowolm bieguie ora par sił o momecie. pucie 3.7.2 powiediao, że wetor głów po miaie biegua reducji a i (p. ) ie ulegie miaie, atomiast momet głów miei się godie twierdeiem o momecie główm wg woru (3.29). +. (a) Pomóżm salarie obie stro powżsego rówaia pre wetor głów : ( ) +. (b) Iloc miesa wstępując po prawej stroie tego rówaia jest rów eru, poieważ godie ależością (2.3) możem apisać: ( ) ( ) 0. Rówaie (b) prbiere atem postać: pcost. (3.34) idim, że iloc salar wetora główego i mometu główego jest wielością stałą, ieależą od wboru biegua reducji. ielość p wstępującą w rówaiu (3.34) awam parametrem uładu sił. Jeżeli ąt międ wetorami i ora międ i oacm odpowiedio pre α i α, ja a rs. 3.23, to rówaie (3.34) możem apisać w poiżsej postaci: cosα cosα cost albo Iloc cosα cosα cost. (3.35) cosα i cosα są rutami mometów główch i a ierue wetora główego. Zatem rówaia (3.35) wia, że rut mometu główego a ierue wetora główego rówież ie ależ od wboru biegua α α Rs. 3.23. Rut mometu główego a ierue wetora główego
reducji i jest wielością stałą, cli jest obo wetora główego drugim iemieiiem uładu sił. ażem tera, że moża aleźć tai biegu reducji, że momet będie rówoległ do wetora główego (rs. 3.24). Tai uład sił będiem awać srętiiem. rętiiem awam uład sładając się sił i par sił o momecie rówoległm do sił. Dla waceia mometu (mometu srętia) ora położeia putu, cli wetora, prjmiem, że da jest wetor głów i momet głów wględem dowolego biegua (rs. 3.24). Na podstawie rówaia (3.34) i rs. 3.24 możem apisać: stąd moduł mometu,. (3.36) Po pomożeiu tego woru pre wetor jedostow o ieruu wetora główego otrmam wór a momet : ( ) 2. (3.37) l x Rs. 3.24. Reducja prestreego uładu sił do srętia omet możem rówież wacć twierdeia o momecie główm pre podstawieie we wore (3.29) amiast :
+. (3.38) celu waceia wetora, cli położeia putu, porówam stroami wor (3.37) i (3.38): ( ) +. 2 Po preiesieiu mometu a prawą stroę i sprowadeiu do wspólego miaowia możem apisać: ( ) ( ). 2 Lici po prawej stroie jest rowiięciem podwojoego ilocu wetorowego (2.34). Po odpowiedim prestawieiu wraów po lewej stroie mam ostatecie: ( ). (3.39) 2 Łatwo sprawdić, że ogóle rowiąaie tego rówaia wetorowego ma postać: ( ) + λ, (3.40) 2 gdie λ jest dowolą wielością salarą ta dobraą, ab iloc λ miał wmiar długości. trmae rówaie (3.40) jest wetorowm rówaiem prostej l prechodącej pre put i rówoległej do wetora główego. Prostą tę awam osią cetralą uładu sił lub osią srętia. Po wprowadeiu w pucie (rs. 3.24) uładu współrędch x,, i oaceiu współrędch putu w tm uładie pre x, i wetorowe rówaie osi cetralej (3.40) możem predstawić w postaci trech parametrcch rówań salarch:
x x x 2 2 2 x x + λ x, + λ, + λ. (3.4) becie ropatrm scególe prpadi uładów sił sprowadoch do srętia. a) Gd wetor głów 0 i momet 0, to e woru (3.38) wia, że momet głów jest taże rów eru, 0, cli uład sił jest rówoważ eru (wor 3.3). b) Jeżeli wetor 0, a momet 0, to e woru (3.38) otrmujem, cli ajprostsm uładem, do jaiego moża sprowadić da uład, jest para sił. c) Jeżeli 0,a 0, to uład moża sprowadić do jedej sił diałającej wdłuż osi cetralej, cli do wpadowej. tm prpadu e woru (3.37) wia bepośredio, że iloc salar wetora główego i mometu główego jest rów eru. aca to, że momet głów jest prostopadł do wetora główego. Zatem aalitc warue istieia wpadowej ma postać: 0. (3.42) d) Jeżeli 0i 0, to sręti jest ajprostsm uładem, do jaiego moża reduować da uład sił.