Moik Fijńczk Adrzej Fijńczk Repeorium z wrch dziłów memki szkolej Wdwicwo Uiwerseu Łódzkiego Łódź 8
RECENZENT Arur Broszewicz OKŁADKĘ PROJEKTOWAŁA Brr Grzejszczk Wdrukowo z dosrczoch Wdwicwu UŁ goowch meriłów KsiąŜk współfisow przez Uię Europejską w rmch Europejskiego Fuduszu Społeczego Coprigh Moik Fijńczk, Adrzej Fijńczk, 8 Wdwicwo Uiwerseu Łódzkiego 8 Wdie Nkłd egz Ark druk, Ppier kl III, 8 g, 7 Zm //9 Drukri Uiwerseu Łódzkiego 9- Łódź, ul Lidle 8 ISBN 978-8-7-8-
Spis reści Wsęp Eleme logiki Rchuek zdń 7 Zsosowie rchuku zdń do dowodzei wierdzeń Kwfikor Zior Rchuek ziorów Licz urle 9 Licz wmiere i licz rzeczwise Wrość ezwzględ licz rzeczwisej Przekszłcie wrżeń lgericzch Rozkłdie wrżeń lgericzch cziki 8 Dziłi ułmkch lgericzch Dziłi poęgch Ogóle włsości fukcji Pojęcie fukcji 7 Moooiczość i różowrościowość Dlsze włsości fukcji Skłdie i odwrcie fukcji Fukcj liiow Włsości podswowe Rówi i ierówości liiowe Ukłd rówń i ierówości liiowch 8 Fukcj kwdrow Włsości podswowe Wzor Viee i ich zsosowi 7 Nierówości kwdrowe 7 Fukcj kwdrow w ukłdch rówń 77 7 Wielomi 7 Włsości podswowe 8 7 Pierwiski wielomiu 8 7 Rówi i ierówości wielomiowe 88 7 Wzor Viee 9
Spis reści 8 Fukcje wmiere 8 Dowole i szczególe fukcje wmiere 97 8 Rówi i ierówości wmiere 99 9 Fukcje pierwiskowe i poęgowe 9 Fukcje pierwiskowe i poęgowe orz ich wkres 9 Rówi i ierówości pierwiskowe Fukcje wkłdicze Włsości podswowe 8 Rówi i ierówości wkłdicze 9 Fukcje logrmicze Logrm Podswowe włsości fukcji logrmiczch Rówi i ierówości logrmicze 8 Ciągi liczowe Ogóle włsości ciągów Ciągi rmecze i ciągi geomercze 7 Grice ciągów liczowch Szereg geomercz Trgoomeri Ką płski i jego mir 7 Ką skierow Fukcje rgoomercze Fukcje rgoomercze sum, różic i wielokroości rgumeów8 Wzor redukcje Rówi i ierówości rgoomercze Ideks
Wsęp Memk wsępuje w różch wersjch w progrmch szeregu kieruków sudiów wższch Może o ć jede przedmio oejmując jwżiejsze zgdiei memki wższej, jk rówież miej lu więcej spreczowe jej dził kie, jk liz memcz, lger, geomeri, rchuek prwdopodoieńsw, ip Okzuje się, że ich opowie wmg odpowiediego przgoowi z zkresu memki szkolej A z m w różie! Prezeow książk jes próą wjści przeciw porzeom sudeów Jes o zwięzłm kompedium wiedz oejmującm sępującą prolemkę z zkresu memki elemerej: eleme logiki i eorii ziorów rodzje licz i ich włsości dziłi wrżeich lgericzch ogóle włsości fukcji fukcje elemere i ich włsości ciągi liczowe rgoomeri Celowo zosł pomiięe kie dził, jk rchuek prwdopodoieńsw, geomeri, cz rchuek różiczkow Są oe owiem z reguł wkłde od podsw w rkcie sudiów Nleż zdwć soie sprwę z ego, że memk o ie lko pojęci i ich włsości, le rówież, może przede wszskim, umiejęość posługiwi się imi Dlego omwi merił eorecz zosł ogo zilusrow przkłdmi Repeorium ie jes ssemczm wkłdem krok po kroku, le uporządkowiem i uzupełieiem posidch już widomości Dje o możliwość uorom wkorzsi w merile przkłdowm fukcji i oieków memczch, kóre zosą dokłdiej opise i omówioe w dlszej części oprcowi Z uwgi powższe, książk jes główie dresow do ch solweów szkół średich, kórm memk szkol porze jes do kouowi uki sudich wższch Jedk może ć o rówież pomoc już uczącm uczcielom memki, jk rówież wszskim osoom zieresowm omwią prolemką A ułwić czelikowi poruszie się po książce, zoprzo zosł o w spis reści orz ideks Pomiię zosł omis lierur ze względu jej ogrom Jej zgromdzeie lu wselekcjoowie wdwło się iecelowe Auorz
Eleme logiki Rchuek zdń Począki rchuku zdń dują się III wiek pe Jes o jede z jprosszch ssemów logiki formlej Może o służć do sprwdzi poprwości wioskowń, czli kich procesów mślowch, podczs kórch drogą odpowiediego posępowi z pewej licz zdń uwżch z prwdziwe wprowdzm owe zdie, kóre uzjem z prwdziwe W logice zdiem zwm swierdzeie, kóremu możem przpisć w sposó jedozcz, w rmch dej uki, jedą z dwóch oce: prwd lu fłsz Zdi ozczm zwkle młmi liermi łcińskimi p, q, r Zdie p: Wszskie ką wewęrze rójką rówooczego mją mirę jes zdiem prwdziwm w geomerii euklidesowej Przpisujem mu wrość logiczą, pisząc w p Nomis zdie q: Wszskie licz pierwsze są liczmi ieprzsmi jes zdiem fłszwm, gdż w rmece przjmuje się, że jes liczą pierwszą Dlego ozczjąc przez wrość logiczą kiego zdi, piszem smoliczie w q Zuwżm, że w memce isieją zdi, kóre posidją usloą wrość logiczą, choć ie porfim jej podć Są o zw hipoez memcze Z hipoez Goldch z 7 r mówi: Kżd licz przs większ iż jes sumą dwóch licz pierwszch Do chwili oecej memkom ie udło się i udowodić prwdziwości ego wierdzei, i podć korprzkłd, kór ę hipoezę olł W memce, oprócz zdń, posługujem się częso zw fukcjmi zdiowmi zwmi rówież formmi zdiowmi Rówie posci ie jes zdiem, o ie posid wrości logiczej Jeżeli omis miejsce podswim kokreą liczę rzeczwisą, o powsie rówość, kór jes prwdziw lo fłszw Np dl orzmujem rówość prwdziwą, dl rówość fłszwą Niech X ędzie pewą przesrzeią zwierjącą przjmiej jede eleme Wrżeie ϕ, w kórm wsępuje zmie i kóre sje się zdiem prwdziwm lu fłszwm, gd w miejsce podswim dowol eleme z przesrzei X, zwm fukcją zdiową jedej zmieej o zkresie zmieości X Przkłdmi fukcji zdiowch o zkresie zmieości rówm ziorowi wszskich licz rzeczwisch R są rówi,
8 Eleme logiki si, orz ierówości, si >, > Pojęcie fukcji zdiowej możem rozszerzć fukcję zdiową większej licz zmiech; przkłdowo rówie jes fukcją zdiową dwóch zmiech O elemecie zioru X mówim, że spełi fukcję zdiową ϕ, jeżeli zdie ϕ jes zdiem prwdziwm Ziór elemeów spełijącch fukcję zdiową ϕ o zkresie X ozczm smolem { X : ϕ } Alogicze ozczei oowiązują dl fukcji zdiowch większej licz zmiech Przkłd Ziór { : } orz, podczs gd ziór { : } R worzą dokłdie dwie licz R skłd się z wszskich licz rzeczwisch ie miejszch iż i ie większch iż Z dch zdń lu fukcji zdiowch możem worzć owe zdi lu fukcje zdiowe z pomocą słów lu zwroów: i, lu, jeżeli, o, wed i lko wed, gd Nzwm je fukormi zdiowórczmi lu spójikmi logiczmi Swierdzeie W m roku Adś zdł murę i wjechł do Aglii uzm z fłszwe, jeżeli Adś ie zdł mur Podoie gd okzło się, że Adś ie wjechł do Aglii, o cłą wpowiedź uzliśm z fłszwą Oczwiście, jeżeli Adś i ie zdł mur, i ie pojechł do Aglii, o sze swierdzeie kże ie jes prwdziwe Zdie W m roku Adś zdł murę i wjechł do Aglii jes prwdą, gd o zdrzei zszł, z Adś zdł murę orz pojechł do Aglii Spójik i ozczm smolem zwm zkiem koiukcji Zdie p q zwm koiukcją lu iloczem logiczm zdń p i q Koiukcj p q jes zdiem prwdziwm, jeżeli odw zdi p i q są zdimi prwdziwmi; w pozosłch przpdkch koiukcj jes zdiem fłszwm Możem o zpisć prz pomoc eli zero-jedkowej: wp wq wp q
Rchuek zdń 9 Jeżeli ϕ i ψ są fukcjmi zdiowmi zmieej o zkresie zmieości X, o mówim, że eleme X spełi fukcję zdiową ϕ ψ, jeżeli zdie ϕ ψ jes zdiem prwdziwm; z jeżeli odw zdi ϕ i ψ są zdimi prwdziwmi Słsząc progozę Juro ędą opd śiegu lu deszczu, uzm ją z fłszwą, jeżeli sępego di ie spdie i śieg, i deszcz Jeżeli omis spdie sm deszcz lu sm śieg, lo śieg z deszczem, o progozę uzm z prwdziwą Zmis słow lu użwm smolu zwego zkiem lerw lu sum logiczej Oo lic zero-jedkow dl lerw: wp wq wp q Alogiczie defiiujem lerwę dwóch fukcji zdiowch Zpis jes skrócom zpisem wrżei > lu Jes o lerw dwóch fukcji zdiowch: > orz Częso w mowie pooczej zdi łączoe spójikmi wsępują w skrócoej formie lu różej posci W zdiu Kowlski jes korem filmowm lu erlm wrżeie erlm jes skróem zdi Kowlski jes korem erlm Nomis zdie Kowlski jes korem filmowm, owk erlm jes koiukcją dwóch zdń: Kowlski jes korem filmowm i owk jes korem erlm Czsmi w zdiu pojwi się wrżeie odpowidjące kóremuś ze spójików, le ie ędące spójikiem logiczm, p Ai i Zuzi są przjciółkmi Zsówm się, kied wpowiedź Jeżeli ędziesz grzecz, o dosiesz czekoldę uzm z prwdziwą Jeżeli Jsio ł grzecz i dosł czekoldę lu ł iegrzecz i ie dosł czekold, o iewąpliwie oieic ł prwdziw Jeżeli Jsio ł grzecz i mimo o ie dosł czekold, o oieic ł fłszw Wąpliwości udzi przpdek, gd Jsio ł iegrzecz, mimo o dosł czekoldę Wrew pozorom ie zosł złm złożo oieic Nie preczuje o, co się sie, jeżeli Jsio ędzie iegrzecz Może się zdrzć, że odwiedzi go w m czsie ci i mimo, że Jsio ł iegrzecz, orzmł od ci w prezecie czekoldę Zdie jeżeli p, o q zpisujem smoliczie w posci p q i zwm implikcją lu wikiem o poprzediku p i sępiku q W jęzku
Eleme logiki memczm implikcj m ieco szersze zczeie iż słowo wikie w jęzku pooczm Mówiąc pooczie jeżeli p, o q, mm lko mśli, że q jes sępswem p W logice memczej spójik e jes preczjie zdefiiow Implikcj jes fłszw jedie wed, gd poprzedik jes zdiem prwdziwm, sępik fłszwm Poiżej zmieszczo zosł lic zero-jedkow dl implikcji: wp wq wp q Swierdzei: jeżeli dzieli się przez, o dzieli się przez, jeżeli dzieli się przez, o dzieli się przez, jeżeli dzieli się przez, o dzieli się przez, w sesie logiki są zdimi prwdziwmi Nomis zdie jeżeli dzieli się przez, o dzieli się przez jes zdiem fłszwm Osim ze wspomich spójików jes zwro wed i lko wed, kór ozczm smolem zwm zkiem rówowżości Zgodie z iuicją rówowżość dwóch zdń uzm z swierdzeie prwdziwe, jeżeli o e zdi mją ę smą wrość logiczą wp wq wpq Fukor rówowżości, jk rówież i implikcji, może ć zsosow kże do worzei rdziej złożoch fukcji zdiowch Rówowżością dwóch fukcji zdiowch jes wrżeie licz url dzieli się przez wed i lko wed, gd dzieli się przez i jedocześie dzieli się przez Dochczs omówioe fukor zdiowórcze pozwlją worzć owe zdi lu fukcje zdiowe z dwóch zdń lu fukcji zdiowch Nzwm je dlego fukormi dwurgumeowmi W logice użw się częso rówież fukor jedorgumeowego, kór zmiei wrość logiczą zdi przeciwą Zdie p zwm egcją zdi p i czm ieprwd, że p Zmis p sosowe są rówież zpis: ~p, p
Rchuek zdń wp w p Jeżeli ϕ jes fukcją zdiową o zkresie zmieości X, o przjmujem, że eleme X spełi fukcję ϕ wed i lko wed, gd zdie ϕ jes zdiem fłszwm Z pomocą fukorów zdiowórczch możem worzć róże schem zdń lu fukcji zdiowch złożoch W ukch ścisłch szczególą rolę odgrwją schem zdń złożoch o ej włsości, że kżde zdie podpdjące pod e schem jes zdiem prwdziwm ez względu wrość logiczą zdń, z kórch jes oo zudowe Są o zw uologie zwe rówież prwmi logiczmi lu prwmi rchuku zdń Njczęściej sosowmi kimi prwmi są: i p p prwo podwójego zprzeczei; ii p qq p prwo przemieości lerw; iii p qq p prwo przemieości koiukcji; iv p q r p q r prwo łączości lerw; v p q r p q r prwo łączości koiukcji; vi p q p q prwo de Morg dl koiukcji; vii p q p q prwo de Morg dl lerw; viii p q r p q p r prwo rozdzielości koiukcji względem lerw; i p q r p q p r prwo rozdzielości lerw względem koiukcji; p qp q prwo zprzeczei implikcji; i p q q p prwo korpozcji; ii p q q r p r prwo przechodiości implikcji
Eleme logiki Zsosowie rchuku zdń do dowodzei wierdzeń Twierdzei w memce mją częso posć implikcji, p jeżeli wróżik fukcji kwdrowej f jes ujem, o fukcj ie m miejsc zerowch lu jeżeli czworoką jes romem, o jego przekąe są prosopdłe Poprzedik kiej implikcji zwm złożeiem wierdzei, jej sępik ezą W pierwszm z wierdzeń mm: złożeie: wróżik fukcji kwdrowej f jes ujem, ez: fukcj f ie m miejsc zerowch Jeżeli wierdzeie m posć implikcji Z T, o Z zwm wrukiem doseczm wsrczjącm o, zszło T, T wrukiem koieczm o, zszło Z W drugim z zcowch wierdzeń fk, że czworoką jes romem jes wrukiem doseczm prosopdłość przekąch ego czworoką, osi włsość z kolei wrukiem koieczm o, czworoką ł romem Mjąc de wierdzeie w posci implikcji Z T, możem zudowć formlie dodkowo rz ie wierdzei, ie przesądzjąc o ich prwdziwości Te czer wierdzei worzą zw logicz kwdr wierdzeń i oszą zw: Z T wierdzeie prose, T Z wierdzeie odwroe, T Z wierdzeie przeciwswe, Z T wierdzeie przeciwe Z prw korpozcji wik, że wierdzei prose i przeciwswe są jedocześie prwdziwe lu jedocześie fłszwe, z Z T Z T Tką smą włsość mją wierdzei odwroe i przeciwe, z T Z T Z Nomis wierdzei prose i odwroe ie muszą ć jedocześie zdimi prwdziwmi, choć może się k zdrzć Przkłd Zudujem czer wierdzei worzące kwdr logicz wierdzeń Przpdek, gd wierdzeie prose i przeciwswe są prwdziwe, wierdzeie odwroe i przeciwe fłszwe Twierdzeie prose: Jeżeli licz url dzieli się przez, o licz dzieli się przez
Zsosowi rchuku zdń do dowodzeie wierdzeń Twierdzeie odwroe: Jeżeli licz url dzieli się przez, o licz dzieli się przez Twierdzeie przeciwswe: Jeżeli licz url ie dzieli się przez, o licz ie dzieli się przez Twierdzeie przeciwe: Jeżeli licz url ie dzieli się przez, o licz ie dzieli się przez Twierdzeie Pigors jko przpdek, gd wszskie wierdzei są prwdziwe Twierdzeie prose: Jeżeli rójką jes prosoką, o kwdr długości jdłuższego oku jes rów sumie kwdrów długości dwóch pozosłch oków Twierdzeie odwroe: Jeżeli w rójkącie kwdr długości jdłuższego oku jes rów sumie kwdrów długości dwóch pozosłch oków, o rójką jes prosoką Twierdzeie przeciwswe: Jeżeli w rójkącie kwdr długości jdłuższego oku ie jes rów sumie kwdrów długości dwóch pozosłch oków, o rójką ie jes prosoką Twierdzeie przeciwe: Jeżeli rójką ie jes prosoką, o kwdr długości jdłuższego oku ie jes rów sumie kwdrów długości dwóch pozosłch oków Kwfikor Wżą rolę w formułowiu wierdzeń i defiicji, oprócz fukorów zdiowórczch, odgrwją wrżei isieje, dl kżdego Słow e ozcze są specjlmi smolmi Zdie: Dl kżdej licz rzeczwisej zchodzi > R > lu krócej zpisujem w posci > R zpisujem R lu Zdie: Isieje k licz rzeczwis, że R Ogólie: jeżeli p jes fukcją zdiową o zkresie zmieości X, o zdie Dl kżdego Xzchodzi p zpisujem p i logiczie X zdie Isieje kie X, że zchodzi p zpisujem p X Smole i zwm odpowiedio kwfikorem ogólm i kwfikorem szczegółowm Sosow jes rówież smolik orz ozczeie odpowiedio kwfikor ogólego i kwfikor szczegółowego
Eleme logiki Kwfikor wiążąc zmieą fukcji zdiowej mogą przekszłcić jes ę fukcję zdiową w zdie Swierdzeie R zdiem prwdziwm, swierdzeie R zdiem fłszwm Kwfikor sosuje się rówież w przpdkch fukcji zdiowch większej 7 jes zdiem prwdziwm, zdie licz zmiech Np 7 R R R > R R zdiem fłszwm Z drugiej sro wrżeie pozosje fukcją zdiową jedej zmieej, gdż jedie zmie zosł związ prz pomoc kwfikor Sosując jedocześie kwfikor i fukor zdiowórcze, leż zwrócić uwgę sposó użci wisów Przkłdowo, wrżeie p q jes zdiem, omis w implikcji p q lko X poprzedik p jes zdiem, sępik q jes fukcją zdiową X W kosekwecji w m przpdku cłe wrżeie jes fukcją zdiową Przjmujem u zsdę, że kwfikor m pierwszeńswo przed fukormi zdiowórczmi X
Rchuek ziorów Zior Jedm z podswowch pojęć wsępującch w memce jes pojęcie zioru Dził memki, kór d włsości ziorów, zw eorią mogości Rozwiął się o w XIX wieku, z jego wórcę uwż jes G Cor Mówiąc o kokrem ziorze podjem zwkle wruki, jkie spełiją eleme do iego leżące Przkłdowo, możem rozwżć ziór wszskich rozwiązń rówi lu ziór wszskich licz rzeczwisch spełijącch ierówość > Elememi zioru ie muszą ć licz, p moż uworzć ziór wszskich sudeów pewej wższej uczeli, ziór wszskich rójkąów rówormiech, ip Wgode jes wprowdzeie pojęci zioru pusego, ozczego smolem, jko zioru, kór ie zwier żdego elemeu Ziór rozwiązń rówi, kóre są liczmi cłkowimi, jes ziorem pusm Zdie jes elemeem zioru A zpisujem smoliczie A, omis zdie ie jes elemeem zioru A zpisujem A Ziór skłdjąc się ze skończoej licz elemeów zpis w posci {,,, },, może ć, Niech A i B ędą dowolmi ziormi Mówim, że ziór A jes zwr w ziorze B, jeżeli kżd eleme zioru A leż do zioru B Ziór A zwm wed podziorem zioru B, ziór B dziorem zioru A, co zpisujem smoliczie A B Zk zw się zkiem ikluzji Użwjąc smoliki rchuku zdń, mm więc: A B A B Zuwżm przkłdowo, ziór licz urlch jes podziorem zioru wszskich licz rzeczwisch, ziór licz wmierch jes dziorem zioru wszskich rozwiązń rówi Dw zior są rówe, jeżeli mją e sme eleme, z A B A B Rówmi ędą zior rozwiązń rówi w ziorze licz rzeczwisch i ziór rozwiązń rówi w m smm ziorze
Zior Wprowdźm ozczei jczęściej użwch ziorów liczowch, kórch eleme zosą liżej opise w sępch prgrfch ego rozdziłu Ozczei e są powszechie użwe, choć ieco różią się od ozczeń użwch w szkole średiej: ziór licz urlch, ziór licz urlch dodich, Z ziór licz cłkowich, Q ziór licz wmierch, R ziór licz rzeczwisch, R ziór licz rzeczwisch dodich Zchodzą sępujące ikluzje: Z Q R ; R R Sumą ziorów A i B, w zpisie A B, zwm ziór złożo z wszskich elemeów, kóre leżą do zioru A lu leżą do zioru B i kór ich elemeów ie zwier A B { : A B} Iloczem ziorów A i B, ozczm smolem A B, zwm ziór, kór zwier wszskie eleme leżące jedocześie do ziorów A orz B i kór ich elemeów ie zwier A B { : A B} Ilocz ziorów zwm eż częścią wspólą lu przekrojem ch ziorów Zior A i B zwm rozłączmi, jeżeli A B Różicą ziorów A i B, zpiswą smolem A \ B, zwm ziór, do kórego leżą e i lko e eleme, kóre leżą do zioru A i ie leżą do zioru B A \ B { : A B} Jeżeli A jes podziorem usloego zioru X, o sosowe jes ozczeie: A X \ A Ziór A zw się dopełieiem zioru A lu dokłdiej dopełieiem zioru A do przesrzei X Poiewż dziłi ziorch są określoe przez dziłi zdich, o prw rchuku ziorów są logicze do prw rchuku zdń Tezę ę wjśi poiższ el:
Rchuek ziorów 7 Prwo Zior Zdi przemieość iloczu/koiukcji A B B A p q q p przemieość sum/lerw A B B A p q q p łączość A B C A B C p q r p q r iloczu/koiukcji łączość A B C A B C p q r p q r sum/lerw rozdzielość iloczu/koiukcji względem sum/lerw rozdzielość sum/lerw względem iloczu/koiukcji A B C A C B C p q r p r q r A B C A C B C p q r p r q r prwo de Morg A B ' A' B' p q p q prwo de Morg A B ' A' B' p q p q Zdefiiujm erz pewe wże podzior zioru licz rzeczwisch R Zkłdm, że, R, prz czm < Wed przedziłem owrm o końcch orz zwm ziór ; { R : < < }; domkięm o końcch orz zwm ziór [ ; ] { R : }; domkięo-owrm o końcch orz zwm ziór [ ; { R : < }; owro-domkięm o końcch orz zwm ziór ; ] { R : < }; lewosroie owrm ieogriczom o począku zwm ziór ; { R : > }; lewosroie domkięm ieogriczom o począku zwm ziór [ ; { R : }; prwosroie owrm ieogriczom o końcu zwm ziór ; { R : < }; prwosroie domkięm ieogriczom o końcu zwm ziór ; ] { R : } Zmis wisów kwdrowch [ orz ] użwe są rówież odpowiedio smole orz Zjdziem ziór Przkłd Niech A [ ; ; 7, B [ ; ] ; A B A' B \ A'
8 Zior B B A A 7 R Mm: A B [ ; ] ;, A ' ; [; ] [7;, A B A' ; ] [; [7;, B \ A [ ; ; ], B \ A' ; [ ; ] ; [ A B A' ] B \ A' ; [ ; ] [; ] ; [7; Niech R orz ε R ędą liczmi uslomi Wed ooczeiem puku o promieiu ε zwm przedził ε ; ε, sąsiedzwem puku o promieiu ε sumę przedziłów ε ; ; ε Ziór A R zwm ogriczom z gór, jeżeli isieje k licz M, że dl kżdego elemeu zioru A zchodzi ierówość M Liczę M zwm wed ogriczeiem górm zioru A Alogiczie defiiujem ziór ogriczo z dołu i jego ogriczeie dole, zsępując ierówość M ierówością M Ziór zwm ogriczom, jeżeli jes o jedocześie ogriczo z gór i z dołu Kresem górm zioru A, ozczm smolem sup A, zwm jmiejszą z licz ogriczjącą e ziór z gór o ile o isieje Kresem dolm zioru A, ozczm smolem if A, zwm jwiększą z licz ogriczjącą e ziór z dołu o ile o isieje Przkłdowo, R jes ziorem ogriczom z dołu, le ie jes ziorem ogriczom z gór Kresem dolm ego zioru jes licz Zuwżm, że w m przpdku kres dol zioru R ie leż do R Oczwiście ziór R ie posid kresu górego
9 Licz urle Liczmi urlmi zwm licz:,,,,,,,, Ziór ich ozczm lierą A więc {,,,, } W srożej Grecji ie zo zer, pojwiło oo zczie późiej Częso wkorzsw ziór licz urlch dodich ozczm smolem, j {,,, } W ziorze licz urlch moż wróżić pewe wże jego podzior kie jk ziór licz pierwszch, ziór licz złożoch Liczą pierwszą zwm kżdą liczę urlą większą od, kórej jedmi dzielikmi są orz Kżdą liczę urlą większą od, kór ie jes pierwsz zwm liczą złożoą Tk więc ziór licz urlch możem przedswić jko sumę zioru licz pierwszch, zioru licz złożoch orz dwuelemeowego zioru {, } Kżd licz złożo jes iloczem licz pierwszch Rozkłd e jes jedozcz z dokłdością do kolejości czików Ziór licz urlch posid dwie rdzo wże włsości: i isieje jmiejsz licz url, z ; ii dl kżdej licz urlej isieje ezpośredio po iej wsępując licz Tę włsość zioru licz urlch wkorzsuje się do wprowdzei pewego wżego sposou dowodzei wierdzeń Worźm soie ciąg przekźików rdiowch: k k k A sgł mógł przejść przez wszskie przekźiki muszą zjść dw fk: sgł musi ć ziicjow w przekźiku ; przekźiki, jk sm zw wskzuje, muszą posidć włsość przekzwi, o zcz jeżeli sgł dorze do kóregoś z przekźików, o pewo zosie wsł do sępego przekźik Opise wżej doświdczeie sugeruje m sępując sposó dowodzei wierdzeń doczącch licz urlch Według ego schemu wierdzeie ędzie prwdziwe dl wszskich licz urlch, jeżeli: wierdzeie jes prwdziwe dl licz ;
Zior wierdzeie m włsość przekzwi, z jeżeli jes prwdziwe dl dowolie wrej licz k, o jes oo prwdziwe dl licz k Oczwiście dwie sgłu możem rozpocząć ie od scji, le od dowolej scji Do ego sposou dowodzei wierdzeń upowżi s poiższ zsd idukcji memczej: Niech ędzie de pewe wierdzeie doczące licz urlch Jeżeli wierdzeie jes prwdziwe dl pewej licz urlej ; z przpuszczei, że wierdzeie zchodzi dl licz urlej k, gdzie k, wik, że wierdzeie zchodzi rówież dl licz k, o wówczs wierdzeie jes prwdziwe dl wszskich licz urlch kich, że Przkłd Wkżem, że dl licz urlch, prwdziw jes ierówość > Rozwiązie Sprwdzm zw wruek począkow, przjmując : L > P Nsępie sprwdzm wruek zw krokiem idukcjm W m celu zkłdm, że k jes dowolą liczą urlą ie miejszą iż Tzw złożeiem idukcjm jes ierówość k k >, zś zw ezą idukcją ierówość > k k Dowód kroku idukcjego przeieg sępująco: Lk Lk > Pk k k k k k k k k k > k Pk k k k Ozcz o, że wierdzeie m włsość przekzwi A więc moc zsd idukcji d ierówość jes prwdziw dl wszskich licz urlch ie miejszch iż
Licz urle Pokżem, że dl kżdej licz urlej licz jes podziel przez Rozwiązie Wruek począkow dl Mm L Jes o oczwiście licz podziel przez Krok idukcj Niech k ędzie dowolie wrą liczą urlą Wed złożeie idukcje możem zpisć wrukiem k k m, m Z ezę idukcją wrukiem k k l l Z Dowód kroku idukcjego wgląd wed sępująco: k 7 k k k k 9 k k m m k Wsrcz zem położć l m 9, o oczwiście l Z N moc zsd idukcji memczej rozwże wierdzeie jes więc prwdziwe dl wszskich licz urlch c Pokżem, że prosch, prmi ierówoległch i kich, że żde rz ie przechodzą przez jede puk, dzieli płszczzę części Rozwiązie Krok począkow dl jes oczwis, gdż jed pros dzieli płszczzę dwie części Przechodząc do kroku idukcjego, uslm dowolą dodią liczę urlą k Złożeie idukcje ozcz, k k k że k prosch dzieli płszczzę części, ez idukcj, że k k k kich prosch dzieli płszczzę części Dowód kroku idukcjego Możem przjąć, że k prosch powsło w wiku dołączei dodkowej prosej do ukłdu k prosch T dod pros przeci poprzedie k prosch w k różch pukch, kóre dzielą ją k odcików dw z ich są półprosmi Kżd z ch odcików dzieli część, w kórej jes zwr, dwie części W kosekwecji ow ilość części wosi k k k k k k k N moc zsd idukcji memczej rozwże wierdzeie jes więc prwdziwe dl wszskich licz urlch dodich
Zior Wprowdźm erz dw smole wsępujące w memce, doczące licz urlch Niech Smol! czj sili moż zdefiiowć sępująco:!!! Łwo zuwżm, że dl zchodzi rówość! Przkłd Mm! 98 99 98!99 99 99 98! 98! 98! Niech, k orz k Wówczs zw smol ewo określo wzorem:! k k! k! W iekórch oprcowich dl k > kłdzie się k Smol Newo posid włsości: i ; ii ; iii dl k ; k k iv dl k ; k k k v k! 9 Przkłd 9 8 8!! k jes
Licz urle 7 7 7!! 7 7 7 Pode włsości pozwlją m uikięcie uciążliwch oliczeń w celu wzczei wrości smoli Newo Zudujm sępującą licę: k k k k Sosując włsości smoli Newo, wioskujem, że w k zudowej lic liczmi wsępującmi końcu i począku kżdego wiersz są jedkmi Nomis kżd i licz jes sumą dwóch licz poprzediego wiersz sąsidującch z ią Z uwgi opise zleżości wspomi lic, zw rójkąem Pscl, m posć: id W -m wierszu umerując je od soją kolejo licz:
Zior,,,,, Dodjm, że rójką Pscl umożliwi, mi, uzskiwie w wgod sposó rozwiięć wrżeń posci Zuwżm zkończeie prgrfu, że ziór licz cłkowich Z jes rozszerzeiem zioru licz urlch Skłd o się z licz urlch i licz do ich przeciwch: Z,,,,,,,,,, { } Licz wmiere i licz rzeczwise Liczą wmierą zwm kżdą liczę, kór dje się przedswić w posci p, gdzie p, q są liczmi cłkowimi orz q Ziór licz q wmierch ozczm lierą Q Liczę wmierą moż wrzić w posci ilorzu licz cłkowich wiele sposoów, p Wśród ich jes ki, że licz sojące 8 w licziku i miowiku są względie pierwsze Mówim wed, że d ułmek jes ieskrcl Ziór licz wmierch jes uporządkow, z dl kżdch dwóch różch licz wmierch moż orzec, kór z ich jes miejsz od drugiej W ziorze Q wkole są podswowe dziłi rmecze dodwie, odejmowie, możeie i dzieleie, jko wiki orzmujem rówież licz wmiere Jed wjąek sowi dzieleie przez zero, kóre jes ieokreśloe Częso sosową poscią licz wmierej jes jej rozwiięcie dziesięe Odoujm ciekwe wierdzeie: Licz jes wmier wed i lko wed, gd m skończoe lu okresowe rozwiięcie dziesięe Ziór licz wmierch m wżą włsość, kórej ie mił ziór licz urlch i cłkowich, miowicie, dl kżdch dwóch licz wmierch moż zleźć rzecią liczę wmierą, kór leż międz imi Dl licz i może o ć p licz Dlego mówim, że ziór licz wmierch jes gęs Łwo widć, że licz wmierch leżącch pomiędz i jes ieskończeie wiele
Licz wmiere i licz rzeczwise Isieją licz, kóre mją ieskończoe ieokresowe rozwiięci dziesięe Nzwm je liczmi iewmiermi Przkłdową liczą iewmierą jes długość przekąej kwdru o oku jedoskowm, kże sosuek długości owodu okręgu do długości jego średic Eleme sumą zioru licz wmierch Q i zioru licz iewmierch Q zwm liczmi rzeczwismi Sosujem u ozczeie R Q Q Ziór licz rzeczwisch posid pewą włsość, kórej ie posidł poprzedie zior, miowicie, włsość ciągłości Wrż się o sępującm wierdzeiem: Kżd ogriczo z gór z dołu podziór zioru licz rzeczwisch posid kres gór dol Przkłd Niech { : < } A Q W ziorze licz wmierch ziór A jes ogriczo, le ie m kresu górego Tmczsem w ziorze licz rzeczwisch kres ki isieje i jes im licz iewmier Geomerczie włsość ciągłości ozcz, że oś liczow jes liią ciągłą ie m dziur, z kżdemu pukowi osi liczowej odpowid pew licz rzeczwis i odwroie, kżdej liczie rzeczwisej jes przporządkow odpowiedi puk osi liczowej Podo moż wkzć, że ziór licz wmierch jes gęs w ziorze licz rzeczwisch, co ozcz, że w kżdm ooczeiu licz rzeczwisej leż ieskończeie wiele licz wmierch Ziór licz iewmierch jes kże gęs w ziorze licz rzeczwisch Wrość ezwzględ licz rzeczwisej Wrością ezwzględą lu modułem licz rzeczwisej zwm odległość puku osi liczowej o współrzędej od puku o współrzędej Ozczm ją smolem Z ej geomerczej defiicji wrości ezwzględej wikją chmis sępujące włsości: i ; R ii ; R
Zior R R R R R R R iii ; iv ; v < < < ; vi > < > Powższe włsości pozwlją rozwiązć wiele rówń i ierówości, w kórch wsępuje wrość ezwzględ Rozwżm dl przkłdu ierówość < δ, gdzie jes dą liczą rzeczwisą, δ dą dodią liczą rzeczwis, iewidomą Z defiicji wrości ezwzględej wik, że rozwiązimi ierówości są wszskie licz, dl kórch odległość puku o współrzędej od puku jes miejsz iż δ Ozcz o, że δ < <δ δ ; δ Widzim więc, że ierówość W kosekwecji < δ opisuje ooczeie puku o promieiu δ Do pewch zsosowń defiicj geomercz wrości ezwzględej jes iewgod Łwiej wówczs operowć rówowżą jej defiicją lgericzą: ; ; < Z defiicji ej wikją sępujące włsości: R vii ; viii ;, R i ; \{} R R ;, R i, R Przkłd Rozwiążem wre ierówości modułowe
Wrość ezwzględ licz rzeczwisej 7 Rozwiązie Podswijąc, przekszłcm dą ierówość do posci Z defiicji geomerczej wik więc, że Wrcjąc do począkowej iewidomej mm, skąd 7 Podswm sępie s Wówczs s 7, czli 7 s lu s 7 W kosekwecji 7 lu 7, zem lu Ziorem rozwiązń dej ierówości jes sum przedziłów [ ; ] [ ; ] < 9 Rozwiązie Będziem szukć rozwiązń ej ierówości w odpowiedich podziorch zioru licz rzeczwisch Podzior e mją ę włsość, że w kżdm z ich wrżei wsępujące pod modułmi są słego zku lu przjmują wrość Rozprzm więc rz przpdki ; Wed < 9 > W rozprwm przedzile rozwiązimi są licz z przedziłu ; [;, Wed < 9 > Wszskie licz z dego przedziłu są więc rozwiązimi [,; Wed < 9 < Zem [,; Resumując, ziorem rozwiązń lizowej ierówości jes ziór ; [;, [,;, czli przedził ;
Przekszłcie wrżeń lgericzch Rozkłdie wrżeń lgericzch cziki Pierwszm zgdieiem, kóre omówim, jes kwesi rozkłdu wrżeń lgericzch cziki, z przekszłci ich do posci iloczu dwóch lu większej licz wrżeń lgericzch Wrżeie lgericze rozkłdm zwkle cziki jprossze, z kie, kóre się już cziki ie rozkłdją Njczęściej, rozłożć wrżeie lgericze cziki leż: włączć wspól czik poz wis; zsosowć do cłego wrżei lu jego części wzor uproszczoego możei; pogrupowć skłdiki wrżei lgericzego w kie grup, kóre zwierją wspól czik, jedkow dl wszskich grup; zsosowć ze wierdzeie posć iloczow fukcji kwdrowej, wierdzeie Bezou, ip lu i włs pomsł Podswowmi wzormi skrócoego możei są: i ; ii ; iii ; iv ; v ; vi ; vii ; viii ; c c c c i ; ; i k k k Przkłd Rozłożm cziki de wrżei
Rozkłdie wrżeń lgericzch cziki 9 9 v u v u v u c 8 9 8 9 7 d 8 e c c c c c c c : c c c c c c f v u v u v u v v u u v u u v v u u v v u g Przkłd Zjdziem jmiejszą wrość wrżei 8 orz puk,, w kórm jes o przjmow Rozwiązie Mm 8 Zem wrość jmiejsz rów jes przjmow wed, gd
Przekszłcei wrżeń lgericzch orz, z gd i Dziłi ułmkch lgericzch Dziłi ułmkch lgericzch są logicze do dziłń ułmkch liczowch A dodć lo odjąć ułmki lgericze, sprowdzm je do wspólego miowik, sępie dodjem lu odejmujem licziki prz iezmieioch miowikch Po pomożeiu ułmk lgericzego przez ułmek lgericz orzmujem ułmek, kórego liczik jes iloczem liczików dch ułmków, miowik iloczem miowików A podzielić de wrżeie przez ułmek lgericz leż pomożć je przez odwroość ego ułmk Przkłd Doprowdzim do jprosszej posci poiższe ułmki 8 ; 8 : : ; c
Dziłi ułmkch lgericzch ; d ; e 7 9 9 9 ; 9 7 9 7 9 f :
Przekszłcei wrżeń lgericzch : : ;,,, Dziłi poęgch Niech R orz Poęgą o podswie i wkłdiku z- wm liczę zdefiiową sępująco: ; N moc dodkowej umow dl R \ {} defiiujem poęgę o wkłdiku zerowm przjmując, że Jeżeli R \ {} i, o poęgą o podswie i wkłdiku cłkowim ujemm zwm liczę Jeżeli \{}, o pierwiskiem rmeczm - ego sopi z licz ieujemej zwm liczę rzeczwisą ieujemą spełijącą rówie Ozczm go smolem Isieie i jedozczość rozwiązi ego rówi wik z zsd ciągłości zioru licz rzeczwisch Zuwżm, że jeśli < i jes liczą przsą, o rówie ie m rozwiązń Określm omis pierwisek sopi ieprzsego z licz ujemej w sępując sposó: jeżeli < i k, gdzie k, o Resumując, z powższch defiicji wik, że jeżeli jes liczą ieprzsą, o dl kżdego isieje w ziorze R dokłdie jede pierwisek rmecz Gd omis jes liczą przsą, o w ziorze R
Dziłi poęgch pierwisek rmecz isieje wed i lko wed, gd Oczwiście wed jes o rówież określo jedozczie Niech w ędzie liczą wmierą różą od zer Wówczs liczę ę moż zwsze przedswić, i o lko w jede sposó, w posci ułmk p ieskrclego kiego, że p Z q W związku z m dl dowolego q, > możem przjąć, że w q p ; q, p ; q Uwg Moż wkzć, że złożeie ieskrclości ułmk q p ie jes koiecze Nomis pomiięcie złożei > i pró zdefiiowi poęgi o wkłdiku wmierm w logicz sposó prowdzi do sprzeczości, gdż p 7 7 7 79, gd mczsem 7 Defiicj poęgi o wkłdiku rzeczwism wmg zjomości pojęci kresu zioru i zsd ciągłości licz rzeczwisch lu gric ciągu A miowicie, iech ędzie liczą rzeczwisą dodią, dowolą liczą rzeczwisą Gd, połóżm w { w w< } E : Q Dowodzi się, że jes o ziór iepus i ogriczo z gór i dlego isieje jego kres gór Zem poprw jes defiicj w sup{ : w< w Q} Jeżeli < <, o woec poprzediego możem przjąć, że Ie podejście do poęgi o wkłdiku rzeczwism opier się pojęciu gric ciągu liczowego Widomo, że kżd licz rzeczwis jes gricą ciągu licz wmierch Mogą o ć przkłd ciągi jej przliżeń z iedomirem orzme przez odpowiedie ociie rozwiięć dziesięch Moż udowodić dl dowolego R, że jeżeli ciąg licz wmierch w w jes zież do licz, o ciąg łwo widć, że jeżeli i ciąg licz wmierch posid skończoą gricę Podo q jes zież do, o
Przekszłcei wrżeń lgericzch lim lim q w Rzeczwiście, wed ciąg,,,,,,, q w q w q w,, q w jes kże zież do Podo ciągi w i q są podciągmi ciągu zieżego,,,,,, q w q w q w, więc są zieże do ej smej gric, co e ciąg Możem więc dl R i R przjąć, że, lim w gdzie w jes dowolm ciągiem licz wmierch zieżm do Dl dowolch dodich licz rzeczwisch i orz dowolch i prwdziwe są sępujące wzor: i ; ii ; iii ; iv ; v ; vi ; vii Jeżeli >, o ; > > viii Jeżeli, < < o ; < > i Jeżeli > i, o Przkłd Zjdziem wrość wrżei dl, Rozwiązie Mm 9
Dziłi poęgch Uprościm wrżeie :, w Rozwiązie Mm ; w > c Uprościm wrżeie : w Rozwiązie Zchodzą rówości w ; > > d Uprościm wrżeie w Rozwiązie Mm
Przekszłcei wrżeń lgericzch w ; >
Pojęcie fukcji Ogóle włsości fukcji Częso dm sosuki międz różmi wielkościmi, kóre są ze soą k związe, że kżdej wrości pierwszej z ich odpowid ściśle określo wrość drugiej Mm wówczs do cziei z fukcją Niech X, Y ędą dowolmi iepusmi ziormi Jeżeli kżdemu elemeowi zioru X zosł przporządkow dokłdie jede eleme ze zioru Y, o mówim, że zosł określo fukcj f odwzorowując ziór X w ziór Y Smoliczie piszem f : X Y Eleme przporządkow elemeowi zwm wrością fukcji f w pukcie lu orzem elemeu i ozczm smolem f Mówią o m kże zpis: f, f :, f : f Ziór X, ozcz smolem D f, zwm dziedzią fukcji f, eleme zioru X rgumemi fukcji f Jeżeli ziór wrości fukcji, z ziór f D f Y : f jes rów Y, o mówim, że fukcj f D f odwzorowuje X Y Np fukcj f : R Y określo wzorem jes odwzorowiem w ziór Y, gd Y R, i odwzorowiem ziór Y, gd Y [ ; Przkłd Zdefiiujem kilk fukcji posci f : X Y X Y R, f : Jes o fukcj rzeczwis jedej zmieej X { s, : s R R}, Y R, f : s, s W m przpdku f jes fukcją rzeczwis dwóch zmiech c X Y uslo płszczz Π, v r uslo wekor Przporządkowując dowolemu pukowi A Π ki puk B Π, że AB v, r r orzmujem fukcję przekszłcjąc Π Π, ozczą smolem Tr v, kór zw się rslcją o wekor v r d X, Y R, f : Jes o fukcj określo ziorze licz urlch; fukcje ego rodzju zwe są kże ciągmi liczowmi e X R, Y Z, f : m{ : Z}
8 Ogóle włsości fukcji Odwzorowie f zw się częścią cłkowią licz, fukcją eier, fukcją podłogi Zmis f jczęściej pisze się [] lu dl Q f X R, Y {, }, f dl Q Jes o fukcj Dirichle M o wiele ciekwch włsości, w dlszej części oprcowi ędziem się do iej odwołwć Uwg Częso zdrz się, że podje się jedie wzór defiiując fukcję liczową ez spreczowi jej dziedzi X lu zioru Y Uwż się wówczs, że dziedzią fukcji jes jwiększ ziór, kórm wrżeie określjące ę fukcję m ses Nzw jes o czsem dziedzią urlą fukcji Jko ziór Y, jeżeli ie jes wrźie określo, przjmuje się ziór wszskich licz rzeczwisch R W dlszm ciągu zjmowć się ędziem przpdkiem, gd i Y R X R Jeżeli fukcje f i g mją wspólą dziedzię, j D D D, o moż f g zdefiiowć sumę, różicę, ilocz orz ilorz fukcji f i g Fukcje e defiiujem w sępując sposó: f g : f g dl D ; f g : f g dl D ; f g : f g dl D ; f g : f g dl D \{ : g } Miejscem zerowm fukcji f : X Y zwm kżd puk X f Np fukcj f określo wzorem o ej włsości, że si f m ieskończeie wiele miejsc zerowch Są imi wszskie licz posci k, gdzie k jes dowolą liczą cłkowią, różą od Dwie fukcje D f D g, f : D Y i g : D Y zwm rówmi, jeżeli: f f g D f g
Pojęcie fukcji 9 Przkłd Fukcje: f : określo ziorze R orz g : określo ziorze R\{} ie są rówe, gdż ich dziedzi są róże Fukcje f : i g : określoe R ie są rówe, poiewż dl < przjmują róże wrości, p f 8, g 8 c Fukcje f : si cos i g : określoe R są rówe Niech f ędzie fukcją przekszłcjącą X w Y Czsmi isieje porze rozwżi fukcji f części jej dziedzi, p pewm podziorze A zioru X Przkłdowo, jczęściej fukcję f : si określm ziorze licz rzeczwisch, le czsmi może ć wgodm rozprwie jej lko przedzile ; W kim przpdku określm ową fukcję posci g : A Y, przjmując, że g f dl A Ozczm ją smolem f A i zwm ocięciem fukcji f do zioru A Wkresem fukcji f : D Y zwm ziór W f {, f } : f D f Wkres fukcji liczowch są więc podziormi płszczz ukłdu współrzędch Nie zwsze moż je jedk rsowć Ze względu gęsość zioru licz wmierch i zioru licz iewmierch w ziorze licz rzeczwisch prz prgrf wkresu fukcji Dirichle ie d się rsowć, chociż o isieje Wkres wielu fukcji możem orzmć z wkresów fukcji elemerch sosując prose przekszłcei płszczz Opiszem jwżiejsze kie przekszłcei w przpdku, gd D R Przesuwjąc wkres fukcji f o wekor v [, ], orzmujem wkres fukcji f Rezulem przesuięci wkresu fukcji f o wekor v [, ] jes wkres fukcji f f
Ogóle włsości fukcji W wiku przesuięci wkresu fukcji f o wekor v [, ] orzmujem wkres fukcji f Odijjąc wkres fukcji f smerczie względem osi OX, orzmujem wkres fukcji f Odijjąc wkres fukcji f smerczie względem osi OY, orzmujem wkres fukcji f Odijjąc wkres fukcji f smerczie względem począku ukłdu współrzędch, orzmujem wkres fukcji f 7 Wkresem fukcji f jes sum dwóch ziorów: wkresu fukcji f ocięej do przedziłu [ ; orz wkresu fukcji f ocięej do przedziłu ; 8 Wkresem fukcji f jes sum ch części wkresów fukcji f i fukcji f, kóre leżą powżej lu osi OX 9 A z wkresu fukcji f orzmć wkres fukcji f, gdzie, leż kżd puk wkresu fukcji f o współrzędch, przekszłcić w puk, A z wkresu fukcji f orzmć wkres fukcji f, gdzie, leż kżd puk wkres fukcji f o współrzędch, przekszłcić w puk, Przkłd Nszkicujm wkres fukcji f si Rozwiązie Zuwżm wsępie, że wzór defiiując fukcję f moż przekszłcić do posci f si orz, że dziedzią fukcji jes ziór R Szkicujem jpierw wkres fukcji g si i sępie prz pomoc kolejch modfikcji uzskujem wkres owch fukcji k, końcu dojść do wkresu fukcji f Są o sępujące fukcje: g si
Pojęcie fukcji Przekszłceie 9: Przekszłceie : Przekszłceie : Przekszłceie 8: 7 si g g 7 7 si g f 7 g g si 7 si g g
Ogóle włsości fukcji Moooiczość i różowrościowość W rkcie rozwiązwi pewego pu ierówości i rówń p logrmiczch, wkłdiczch, pierwiskowch mją zsosowie: włsość moooiczości i włsość różowrościowości fukcji Fukcję f zwm: rosącą ziorze A D f wed i lko wed, gd < f < f ;, A mlejącą ziorze, A A D f wed i lko wed, gd < f > f ; ierosącą ziorze A D f wed i lko wed, gd < f f ;, A iemlejącą ziorze A D f wed i lko wed, gd < f f ;, A moooiczą ziorze A, jeżeli jes o rosąc, mlejąc, ierosąc lu iemlejąc m ziorze Fukcje rosące i mlejące zwm kże fukcjmi ściśle moooiczmi `Przkłd Rozwżm proporcjolość odwroą, j fukcj określoą wzorem dl R \{}: D f
Moooiczość i różowrościowość Jes o mlejąc zrówo przedzile ;, jk i przedzile ;, woec czego jes o fukcj przedziłmi mlejąc Z drugiej sro dskuow fukcj ie jes mlejąc cłej swojej dziedziie, gdż p f < f Podoie fukcj g ; R \{} jes przedziłmi rosąc, choć ie jes fukcją rosącą Fukcj eier f [ ] jes iemlejąc cłej swojej dziedziie, co powierdz jej wkres: c Fukcj Dirichle prz przkłd począku rozdziłu ie jes moooicz w żdm z przedziłów Jk ło wspomie wcześiej, pojęcie fukcji moooiczej jes przde do rozwiązwi pewch pów ierówości Korzs się u z sępującch wierdzeń: Jeżeli fukcj f jes rosąc swojej dziedziie, o dl dowolch, D f zchodzi rówowżość f < f < Jeżeli fukcj f jes mlejąc swojej dziedziie, o dl dowolch, D f zchodzi rówowżość f < f > Przkłd Rozwiążem ierówość > Rozwiązie Skorzsm z fku, że fukcj przedziłu [ ; Mm f ocię do jes rosąc Dziedzią ierówości jes przedził [ ; > >
Ogóle włsości fukcji Jeżeli >, o lew sro osiej ierówości jes dodi, prw ujem, więc dl kich ierówość jes prwdziw Jeżeli [ ; ], o oie sro są ieujeme i możem skorzsć z zcowego wżej wierdzei Zem > > 8 9 8< 8 < < <, skąd w rozwżm przpdku ; ], co moż wwioskowć lizując zki i wrości czików orz W kosekwecji ierówość jes prwdziw dl ; Fukcję f : D Y zwm różowrościową ziorze A, f jeżeli różm elemeom ze zioru A przporządkowuje o róże wrości, z, gd zchodzi wruek f f, A Może o ć zsąpio wrukiem rówowżm f f, A Z powższego wik, że kżd wrość fukcji jes przjmow przez fukcję lko jede rz Dl fukcji o wrościch liczowch geomerczie ozcz o, że dowol pros rówoległ do osi OX przeci wkres fukcji w co jwżej jedm pukcie Łwo zuwżć, że fukcje ściśle moooicze pewm ziorze są m ziorze różowrościowe Odwroe wikie ie jes prwdziwe Przkłd Niech fukcj f określo przedzile [ ; ] ędzie zdefiiow sępująco: dl ;, f dl ; Jes o różowrościow, le ie jes ściśle moooicz przedzile [ ; ]: D f
Moooiczość i różowrościowość Przkłd Fukcj f jes różowrościow przedziłch ; orz ;, le ie jes o różowrościow cłej swojej dziedziie Fukcj g jes omis różowrościow cłej swojej dziedziie, kórą jes ziór R f g Duże zczeie prkcze m sępujące wierdzeie: Jeżeli fukcj f jes różowrościow swojej dziedziie, o dl dowolch rgumeów, D f zchodzi rówowżość f f Zsosowi różowrościowości do rozwiązwi rówń zosą omówioe dokłdiej prz okzji omwii włsości poszczególch fukcji Terz ogriczm się do dwóch przkłdów Przkłd Rozwiążem poiższe rówi 7 Rozwiązie Sosując wzór sześci różic, sprowdzm rówie do posci R jes oczwise, że roz- Dzięki różowrościowości fukcji wiąziem rówi jes licz Rozwiązie Dziedzią rówi jes przedził [ ; Rozwiążem rówie meodą rówń rówowżch, korzsjąc z zcowego wżej wierdzei i fku, że fukcj f ocię do przedziłu [ ; jes różowrościow Mm
Ogóle włsości fukcji 9 Dl > 9 rówie ie posid rozwiązń, poiewż wed prw jego sro jes ujem, lew ieujem Dl [ ; 9] mm omis sępujące rówowżości: 9 i dlego jes pierwiskiem rozwią- Licz zwego rówi leż do przedziłu [ ; 9] Dlsze włsości fukcji 88 9 Mówim, że fukcj f : D f Y przjmuje ziorze A D f wrość jwiększą Y, jeżeli isieje ki puk A, że f orz dl kżdego A zchodzi ierówość f f Odpowiedio, fukcj f : D f Y przjmuje ziorze A D f wrość jmiejszą Y, jeżeli isieje ki puk A, że f orz dl kżdego A zchodzi ierówość f f Przkłd Fukcj f przjmuje wrość jwiększą rówą i jmiejszą rówą ziorze [ ; ], omis ziorze ; przjmuje lko wrość jmiejszą rówą, le ie przjmuje wrości jwiększej Fukcję f zwm ogriczoą ziorze A D f, jeżeli isieją kie słe m i M, że dl kżdego A zchodzi ierówość m f M, z, gd m f M m, M R A Przkłdowo, fukcj sius jes ogriczo R, omis proporcjolość odwro ie jes ogriczo cłej swojej dziedziie Wkres fukcji jes ogm źródłem iformcji doczącch włsości ej fukcji
Dlsze włsości fukcji 7 Przkłd Przpuśćm, że poiższ rsuek przedswi wkres pewej fukcji określoej przedzile [ ; ]: Widzim, że: ziorem wrości fukcji jes przedził [ ; ]; f 7 9; c f, f, f ; d f { } [ ; 7] [ 9; ]; e f 8 8; f f ; g f [ ; ] [ 8; ] {8}; h f < ; ; i fukcj rośie przedziłch [ ; ] ; 8 j fukcj mleje przedziłch [ ; ], [ ; ] orz [ ]; orz [ 8 ; ] Wśród wszskich fukcji zmieej rzeczwisej o wrościch rzeczwisch wróżi się e, kórch wkres mją pewe smerie, f, f, f, f
8 Ogóle włsości fukcji Fukcję D f f : D f D ; f D f f f R zwm fukcją przsą, jeżeli: Uwg Z wruków i wik, że oś OY ukłdu współrzędch jes osią smerii wkresu fukcji przsej f Przkłd Oo przkłd wkresów fukcji przsch: l Dodjm, że zwę ej fukcji moż skojrzć z fkem, że jedomi sopi przsego, j fukcje posci f, gdzie, są fukcjmi przsmi Rozwżm erz fukcje, dl kórch począek ukłdu współrzędch jes środkiem smerii ich wkresów, f, f, f, f
Fukcję D f f : D f D ; f D f f f Dlsze włsości fukcji 9 R zwm fukcją ieprzsą, jeżeli Uwg Z wruków i wik, że począek ukłdu współrzędch jes środkiem smerii wkresu fukcji ieprzsej f Przkłd Oo wkres przkłdowch fukcji ieprzsch: [ ] [ ] Fukcjmi ieprzsmi są międz imi fukcje rgoomercze sius, ges, coges orz jedomi sopi ieprzsego, j fukcje posci f, gdzie i Fukcję f : R zwm okresową, jeżeli isieje k licz D f dodi T, że T D T D ; D f f T f D f f f Liczę T zwm okresem fukcji f Geomerczie powższ defiicj ozcz, że jeżeli wkres fukcji okresowej o okresie T przesuiem o wekor v [T,] orzmm e sm wkres lu u [ T,], o
Ogóle włsości fukcji Przkłd Podm wkres przkłdowch fukcji okresowch v r [, ] si si v r [, ] [] Jeżeli isieje jmiejsz okres T fukcji f, o zwm go okresem zsdiczm lu podswowm Fukcj sł określo R jes fukcją okresową, le ie m okresu zsdiczego Okresem ej fukcji jes kżd licz rzeczwis dodi Njczęściej spokmi fukcjmi okresowmi są fukcje rgoomercze Okres zsdicz fukcji sius i cosius wosi, zś dl fukcji ges i coges jes o rów Skłdie i odwrcie fukcji Niech f : X Y, g : Y W ędą fukcjmi Złożeiem lu superpozcją fukcji f orz g zwm fukcję go f : X W określoą wzorem g o f g f dl X Alogiczie określm złożeie większej licz fukcji X Y go f W f gf f g
Skłdie i odwrcie fukcji Przkłd Niech f si, g, R Wówczs si f o g f g f, g o f g f gsi si Uwg Powższe przkłd wskzują, że skłdie fukcji ie jes przemiee Podo defiicję superpozcji fukcji go f możem rozszerzć przpdek gd f : X Y, g : U W gdzie Y U Mówim, że fukcj f : X Y odwzorowuje ziór X ziór Y w sposó wzjemie jedozcz, jeżeli jes o fukcj różowrościow i przekszłc ziór X Y Niech fukcj f odwzorowuje X Y w sposó wzjemie jedozcz Fukcją odwroą do fukcji f zwm fukcję f : Y X zdefiiową wrukiem f f X Y Dl kżdej fukcji różowrościowej f przekszłcjącej X Y isieje dokłdie jed fukcj odwro i jes o różowrościow Przkłd Niech f 7 dl [ ; Zjdziem fukcję odwroą fukcji f Fukcj f przekszłc wzjemie jedozczie przedził [ ; przedził [ ;, gdż f Kłdąc i wzczjąc sąd, orzmujem: ; orz [ ;, więc Zmieijąc rolmi zmiee i, Poiewż [ orzmujem i w kosekwecji f Widć prz m, że D ;, f D ; [ [ f f Z defiicji fukcji odwroej wik, że jeśli puk, leż do wkresu fukcji odwrclej f : X Y, o puk, leż do wkresu
Ogóle włsości fukcji fukcji f : Y X Gd R X i Y R, o krzwe o rówich f i f, ędące wkresmi fukcji f i f, są smercze względem prosej o rówiu Ilusruje o poiższ rsuek: f f
Fukcj liiow Włsości podswowe Fukcją liiową zwm fukcję o dziedziie rówej ziorowi licz rzeczwisch, określoą wzorem f, gdzie i są uslomi liczmi rzeczwismi Liczę zwm współczikiem kierukowm fukcji, liczę wrzem wolm W szczególm przpdku, gd, fukcj liiow m posć f i jes fukcją słą Wkresem fukcji liiowej jes lii pros przechodząc przez puk o współrzędch, Jeżeli, o pros jes chlo do osi OX pod kim kąem φ, że gφ ; jeżeli, o wspomi pros jes rówoległ do osi OX ;, φ P,,, Uwg Kąem chlei prosej l do osi OX, przecijącą ę oś w pukcie P o współrzędch,, zwm ką skierow φ, kórego rmieiem począkowm jes półpros zwr w osi OX wchodząc z puku P, do kórej leżą wszskie puk o współrzędch, ;, rmieiem końcowm część prosej l, dl kórej mirą ką φ jes liczą z przedziłu [ ; Fukcj liiow f jes: i mlejąc, gd < ; ii rosąc, gd > ; iii sł, gd
Fukcj liiow Fukcj liiow f : i m jedo miejsce zerowe, gd ; ii ie m miejsc zerowch, gd i ; iii m ieskończeie wiele miejsc zerowch, gd W m przpdku kżd licz rzeczwis jes miejscem zerowm ej fukcji Rówi i ierówości liiowe Rówiem liiowm zwm rówie posci, gdzie, R Jego rozwiąziem jes miejsce zerowe fukcji f Jeżeli, o rówie liiowe zwm rówiem pierwszego sopi Z poprzedich rozwżń wik, że rówie liiowe z jedą iewidomą: posid jedo rozwiązie posci, gd ; zwm je wówczs rówiem ozczom; ie m rozwiązń, jeżeli i ; zwm je wówczs rówiem sprzeczm; posid ieskończeie wiele rozwiązń, jeżeli i Co więcej, wówczs kżd licz rzeczwis jes rozwiąziem ego rówi i dlego zwm je rówiem ożsmościowm ierówością liiową zwm kżdą z ierówości posci <, >,,, gdzie, R W pewch sucjch cłą rodzię rówń lu ierówości d się opisć prz pomoc jedego rówi z prmerem lu ierówości z prmerem Dl zilusrowi zgdiei rozwżm sępującą sucję W zkłdzie produkującm ki dzie kosz produkcji skłdją się kosz słe woszące zł dzieie i orz kosz zmiee zleże od rodzju dej ki i wgrodzeń rooików Nleż k zplowć produkcję, kosz ie przekroczł zł dzieie Złóżm, że dego di produkow jes ki lko jedego rodzju Jeżeli kosz zmiee woszą zł z mer ieżąc wprodukowej ki, o zplowć dzieą produkcję leż rozwiązć ierówość, gdzie ozcz ilość merów ieżącch produkowej ki Jeżeli omis kosz
Rówi i ierówości liiowe zmiee wzrosą do zł z mer ieżąc wprodukowej ki, o logicz ierówość m posć Zgdieie powższe w przpdku ogólm opisuje ierówość, gdzie prmer jes koszem zmiem wprodukowi mer ieżącego ki W dm przpdku leż złożć, że > Przkłd Rozwiążem rówie z prmerem m: m m m Rozwiązie Po przekszłceich rówowżch orzmujem sępujące rówie liiowe: m m Przeprowdźm dskusję ego rówi ze względu wrość m Jeżeli m i m, o dzieląc oie sro rówi przez m, orzmm, że W m przpdku rówie jes ozczoe i posid m jedo rozwiązie Jeżeli m, o rówie m posć i jes rówiem sprzeczm Jeżeli m, o rówie m posć i jes rówiem ożsmościowm Kżd licz rzeczwis jes rozwiąziem ego rówi Rówiem liiowm z dwiem iewidommi zwm kżde rówie posci c, ierówością liiową z dwiem iewidommi kżdą z ierówości posci c<, c>, c, c, gdzie przjmiej jed z licz lu jes róż od zer Zsrzeżeie, że przjmiej jede ze współczików, jes róż od powoduje, że wkresem rówi liiowego jes lii pros o rówiu c Wkresem ierówości liiowej jes jed z półpłszczz wzczoch przez prosą o rówiu c, ez lu z ą prosą w zleżości od zku ierówości Szczegół wjśiją poiższe przkłd Przkłd: Rozwiążem rówie Rozwiązie Zchodzi rówowżość
Fukcj liiow Ziorem rozwiązń rówi jes więc ziór pr licz posci,, gdzie jes dowolą liczą rzeczwisą A przedswić grficzie zlezio ziór rozwiązń, leż rsowć wkres fukcji liiowej f : Kżd puk leżąc ej prosej m współrzęde, kóre spełiją de rówie i odwroie, kżde rozwiązie rówi jes prą licz ędącch współrzędmi pewego puku leżącego ej prosej W ekoomii częso rozwż się ierówości liiowe z dwiem iewidommi Ziór rozwiązń kich ierówości przedswi się ogół grficzie Rozwiążem ierówość < Rozwiązie Podoie jk poprzedio, mm: < > A, A, A, N przedswiom rsuku: puk A m rzędą ; puk A m rzędą > ; puk A m rzędą <
Rówi i ierówości liiowe 7 Rozwiązimi ierówości są pr licz, kóre są współrzędmi puków leżącch w zzczom oszrze d prosą o rówiu Przkłdem kiej pr jes, c Rozwiążem ierówość < Rozwiązie Prose o rówich i dzielą płszczzę ukłdu współrzędch czer oszr, wewąrz kórch wrżei wsępujące pod zkmi modułów mją słe zki Nierówość m posć <, czli < < < > > Nierówość m posć <, czli < Nierówość m posć <, czli > > > < < Nierówość m posć <, czli > Poiższ rsuek przedswi zlezio ziór rozwiązń oszr zcieiow:,,,,
8 Fukcj liiow Ukłd rówń i ierówości liiowch Ukłdem dwóch rówń liiowch z dwom iewidommi zwm koiukcję dwóch rówń ego pu Koiukcję ę zpisujem w posci: c c Rozwiąziem ukłdu dwóch rówń liiowch z dwiem iewidommi jes pr licz spełijącch o rówi ukłdu Ukłd ki może posidć jedo rozwiązie ukłd ozczo, ieskończeie wiele rozwiązń ukłd ieozczo lu ie posidć rozwiązń ukłd sprzecz Z defiicji rówi liiowego z dwom iewidommi wik, że i Jeżeli jedo z rówń ie spełi ego wruku, o sje się oo rówiem sprzeczm lu ożsmościowm i wówczs ki ukłd jes ukłdem sprzeczm lu rówowżm jedemu z rówń z dwiem iewidommi; oczwiście, jeżeli o rówi są rówimi ożsmościowmi, o rozwiąziem ukłdu jes dowol pr licz rzeczwisch Przpomijm ze meod rozwiązwi ukłdów rówń liiowch Przkłd Rozwiążem ukłd rówń 7 czerem meodmi Rozwiązi Meod przez podswieie Poleg o wzczeiu jedej iewidomej z jedego z rówń i podswieiu jej do drugiego rówi W e sposó drugie rówie sje się rówiem z jedą iewidomą 7 7 7 7 7 Meod przeciwch współczików Nzw ej meod ierze się sąd, że wsępie możm jedo lu o rówi ukłdu przez odpowiedio dore licz po o, orzmć ukłd rówowż, w kórm współcziki poprzedzjące jedą z iewidomch mją przeciwe zki Dodjąc sępie
Ukłd rówń i ierówości liiowch 9 sromi o rówi ego ukłdu, orzmujem rówie, kóre wrz z jedm z poprzedich rówń worz kolej ukłd, w kórm jedo z rówń zwier lko jedą iewidomą i kór jes rówowż ukłdowi wjściowemu 7 W rozwżm przpdku rówie możm sromi przez i dodjem sromi do rówi elimiując w e sposó iewidomą Te dw kroki możem zroić jedocześie 7 7 7 Meod grficz Poleg o rsowiu liii prosch opisch rówimi ukłdu Współrzęde puku przecięci się ch prosch są rozwiązimi ukłdu rówń 7 7 7, 7 7 Z rsuku widć, że isieje jedo rozwiązie ukłdu Możem odczć, że jes im pr licz, Poiewż jedk rsuek jes iedoskołm odiciem rzeczwisości memczej, leż dokoć sprwdzei, cz pr licz, rzeczwiście spełi rozwż ukłd Meod wzczikow Opier się o sępującm wierdzeiu: Niech ędzie d ukłd dwóch rówń liiowch z dwom iewidommi, posci
Fukcj liiow c c, kórego współcziki spełiją wruki: i Ozczm: W W c c, c c c, W c c c i Jeżeli W, o ukłd jes ozczo i posid jedo rozwiązie określoe wzormi W W, W W ii Jeżeli W W W, o ukłd jes ieozczo, z posid o ieskończeie wiele rozwiązń Jes o rówowż kżdemu ze swoich rówń iii Jeżeli W orz W lu W, o ukłd jes sprzecz mm: skąd W rozwżm przkłdzie,,, i dlego W, 7 7 W 7, W 7, W W W, W Przkłd Spróujem rozwiązć ukłd rówń,7, meodą wzczikową Rozwiązie Mm W,7,,7