MATEMATKA MATERIAŁ POMOCNICZE DLA STUDENTÓW DO NAUKI MATEMATKI
KATOLICKI UNIWERSTET LUBELSKI JANA PAWAŁA II Wydził Zmiejscowy Prw i Nuk o Społeczeństwie w Stlowej Woli
Mri Borowsk MATEMATKA MATERIAŁ POMOCNICZE DLA STUDENTÓW DO NAUKI MATEMATKI H. Steihus (887-97): "Między duchem, mterią pośrediczy mtemtyk" (Npis płycie groej H. Steihus) Stlow Wol 5
Recezeci ukowi pro. zw. dr h. Edwrd Nowk Uiwersytet Ekoomiczy we Wrocłwiu Politechik Rzeszowsk pro. zw. dr h. Tdeusz Glc Politechik Wrocłwsk Wyższ Szkoł Zrządzi "EDUKACJA" we Wrocłwiu Redkcj techicz mgr Moik Pruch mgr Lucj Pruch Copyright y Mri Borowsk 5 Wersj elektroicz oprcowi pod dresem: moodle.zw.pl/mt/ ISBN 978-8-67-7- Druk i oprw: Wydwictwo Diecezjle i Drukri w Sdomierzu ul. Żeromskiego 4, 7-6 Sdomierz tel. 5 64 4 4,. 5 8 77 87 www.wds.pl, zmówiei@wds.com.pl 4
Spis treści Wstęp.... Zdi, ziory i liczy rzeczywiste..... Rchuek zdń i rchuek ziorów...... Podstwowe widomości o języku mtemtyczym...... Zdi złożoe i ich wrtości logicze...... Prw rchuku zdń (tutologie, prw logicze)... 5..4. Prw rchuku kwtyiktorów... 5..5. Ziory i dziłi ziorch... 6..6. Prw dziłń ziorch... 8.. Ziór licz rzeczywistych i jego podziory...... Ilustrcj gricz digrmch Ve...... Przedziły osi liczowej...... Rodzje przedziłów liczowych..... Wrtość ezwzględ i jej iterpretcj gricz... 4... Deiicj wrtości ezwzględej liczy rzeczywistej... 4... Podstwowe włsości wrtości ezwzględej liczy rzeczywistej... 4... Iterpretcj wrtości ezwzględej osi liczowej... 5..4. Wrtość ezwzględ, jko odległość między dwiem liczmi osi liczowej.. 5..5. Ziory osi liczowej opise rówimi i ierówościmi z wrtością ezwzględą... 6..6. Niektóre rówi z wrtością ezwzględą... 8..7. Niektóre ierówości z wrtością ezwzględą... 9.4. Potęgowie, pierwistkowie i logrytmowie....4.. Deiicj potęgi....4.. Prw dziłń potęgch....4.. Deiicj pierwistk -tego stopi z liczy....4.4. Prw dziłń pierwistkch....4.5. Logrytm i jego włsości... 5.4.6. Prw dziłń logrytmch... 6.5. Idukcj mtemtycz... 9.5.. Idukcj przyrodicz, idukcj mtemtycz... 9.5.. Zsd idukcji mtemtyczej... 9.5.. Schemt rozumowi w idukcji mtemtyczej... 4.6. Dwumi Newto... 4.6.. Pojęcie sili... 4.6.. Symol Newto... 4.6.. Trójkąt Pscl (dwie wersje)... 4.6.4. Wzór dwumiowy Newto... 4.6.5. Wzór ogóly k-ty wyrz rozwiięci we wzorze dwumiowym Newto... 4.6.6. Związek trójkąt Pscl ze wzorem Newto... 4.6.7. Wioski ze wzoru dwumiowego Newto... 4. Liczy zespoloe... 45.. Geez zioru licz zespoloych... 45.. Róże postcie licz zespoloych... 46... Postć lgericz liczy zespoloej... 46 5
... Iterpretcj geometrycz liczy zespoloej... 46.. Sprzężeie i licz przeciw... 46..4. Moduł liczy zespoloej... 47..5. Iterpretcj wektorow... 47..6. Bieguowy ukłd współrzędych... 48..7. Postć trygoometrycz liczy zespoloej... 5.. Dziłi w ziorze licz zespoloych... 5... Dodwie, odejmowie, możeie i dzieleie licz zespoloych... 5... Potęgowie i pierwistkowie licz zespoloych... 5... Wyre włsości licz zespoloych... 5. Fukcje i ich włsości... 55.. Fukcj, jko relcj... 55.. Włsości ukcji... 56... Podstwowe włsości ukcji... 56... Iterpretcj gricz podstwowych włsości ukcji... 6... Odczytywie włsości ukcji z jej wykresu... 64.. Przeksztłcei geometrycze wykresu ukcji... 68... Przesuięcie wykresu ukcji wzdłuż osi O (rówolegle do osi O)... 68... Przesuięcie wykresu ukcji wzdłuż osi O (rówolegle do osi O)... 68... Przesuięcie wykresu ukcji wzdłuż ou osi ukłdu współrzędych... 69..4. Przeksztłceie wykresu ukcji przez symetrię względem osi ukłdu współrzędych... 7..5. Przeksztłceie wykresu ukcji przez zmię skli... 7..6. Wykresy ukcji z wrtością ezwzględą... 74 4. Wielomiy i ukcje wymiere... 79 4.. Fukcj liiow... 79 4... Deiicj, wykres i włsości ukcji liiowej... 79 4... Rówi i ierówości liiowe (I-go stopi )... 8 4... Rówi liiowe z prmetrem... 8 4..4. Ukłdy rówń liiowych (I-go stopi ) z dwiem iewidomymi... 8 4..5. Ukłdy rówń liiowych z prmetrem... 85 4..6. Ukłdy rówń liiowych z wrtością ezwzględą... 86 4..7. Ukłdy trzech rówń liiowych z trzem iewidomymi... 87 4..8. Ukłdy ierówości liiowych... 89 4.. Fukcj kwdrtow... 94 4... Deiicj, wykres i włsości ukcji kwdrtowej... 94 4... Rówi i ierówości kwdrtowe z jedą iewidomą (drugiego stopi )... 98 4... Rówi i ierówości kwdrtowe iezupełe ( c )... 4..4. Przykłdy rówń sprowdzlych do rówń kwdrtowych... 4..5. Rówi stopi drugiego z dwiem iewidomymi... 4..6. Iormcj o ierówościch stopi drugiego z dwiem iewidomymi... 6 4..7. Ukłdy rówń, z których co jmiej jedo rówie jest rówiem kwdrtowym... 7 4..8. Rówi, ierówości i ukłdy rówń drugiego stopi z wrtością ezwzględą... 4..9. Rówi i ierówości kwdrtowe z prmetrem... 4... Ukłdy rówń drugiego stopi z prmetrem... 6 6
4.. Wielomiy i dziłi ich... 9 4... Pojęcie wielomiu... 9 4... Wielomiy stopi jedej zmieej rzeczywistej... 4... Dziłi wielomich... 4.4. Twierdzei o włsościch wielomiów... 5 4.4.. Schemt Horer... 5 4.4.. Twierdzei o stopiu sumy, różicy, iloczyu i ilorzu wielomiów... 6 4.4.. Twierdzei związe z rozkłdem wielomiu, z podzielością wielomiu przez dwumi orz z istieiem pierwistk wielomiu... 6 4.4.4. Wzory Viete dl wielomiów trzeciego i czwrtego stopi... 7 4.4.5. Metody rozkłdu wielomiów czyiki... 8 4.4.6. Rówi i ierówości wielomiowe... 9 4.5. Wyrżei i ukcje wymiere... 4 4.5.. Wyrżei wymiere i dziłi ich... 4 4.5.. Fukcje wymiere... 5 4.6. Rówi i ierówości wymiere... 9 4.6.. Deiicje: rówi i ierówości wymierej... 9 4.6.. Alogie między procedurą rozwiązywi rówń i ierówości wymierych.. 4 4.6.. Rówi i ierówości związe z ukcją homogriczą... 4 5. Fukcje trygoometrycze... 45 5.. Fukcje trygoometrycze kąt ostrego w trójkącie prostokątym... 45 5... Mir stopiow i łukow kąt... 45 5... Deiicje ukcji trygoometryczych kąt ostrego... 45 5... Wrtości ukcji trygoometryczych wyrych kątów... 46 5.. Fukcje trygoometrycze dowolego kąt... 48 5... Kąt skierowy w ukłdzie współrzędych... 48 5... Deiicje ukcji trygoometryczych dowolego kąt... 48 5... Wrtości ukcji trygoometryczych kątów ; 6... 49 5..4. Wzory redukcyje... 49 5.. Fukcje trygoometrycze zmieej rzeczywistej... 5 5... Deiicje ukcji trygoometryczych zmieej rzeczywistej... 5 5... Tel zmieości ukcji trygoometryczych w przedzile ;... 5 5... Okresowość ukcji trygoometryczych... 5 5..4. Wykresy ukcji trygoometryczych zmieej rzeczywistej... 5 5..5. Związki między ukcjmi trygoometryczymi... 5 5.4. Typy elemetrych rówń trygoometryczych... 56 6. Fukcje cyklometrycze... 59 6.. Arcus sius... 59 6.. Arcus cosius... 59 6.. Arcus tges... 6 6.4. Arcus cotges... 6 7. Fukcje potęgowe, wykłdicze i logrytmicze... 6 7.. Fukcj potęgow... 6 7... Potęg o wykłdiku rzeczywistym... 6 7... Deiicj, wykres i włsości ukcji potęgowej... 64 7.. Fukcj wykłdicz... 69 7... Deiicj, wykres i włsości ukcji wykłdiczej... 69 7
7... Rówi i ierówości wykłdicze... 7 7.. Fukcj logrytmicz... 7 7... Deiicj, wykres i włsości ukcji logrytmiczej... 7 7... Fukcj logrytmicz, jko odwrot do wykłdiczej... 75 7... Rówi i ierówości logrytmicze... 76 8. Ciągi, gric ciągu i szeregi liczowe... 8 8.. Ciąg, jko ukcj... 8 8.. Gric ciągu... 86 8... Pojęci pomocicze... 86 8... Deiicj gricy włściwej ciągu... 86 8... Ciągi zieże i ich włsości... 87 8..4. Deiicj gricy iewłściwej ciągu... 87 8..5. Włsości ciągów rozieżych do ieskończoości... 88 8..6. Niektóre grice ciągów... 89 8.. Szeregi liczowe... 9 8.. Pojęcie szeregu liczowego... 9 8... Prolem zieżości szeregu liczowego... 9 8... Przykłdy szeregów liczowych... 9 8..4 Wruek koieczy zieżości szeregu... 9 8..5. Wyre kryteri (wruki wystrczjące) zieżości szeregów... 94 8..6. Szereg potęgowy, jko szczególy przypdek szeregu ukcyjego... 96 9. Gric ukcji i ciągłość ukcji... 97 9.. Gric ukcji w pukcie... 97 9... Iormcje wstępe o gricy ukcji w pukcie (czyli: lim... 97 ): 9... Deiicj gricy ukcji w pukcie... 98 9... Zestwieie iormcji o gricy ukcji w pukcie i o symptotch pioowych... 9.. Gric ukcji w ieskończoości... 9... Iormcje wstępe o gricy ukcji w ieskończoości (czyli: ): lim... 9... Deiicj gricy ukcji w ieskończoości... 4 9... Zestwieie iormcji o gricy ukcji w ieskończoości ( ) i o symptotch poziomych... 8 9.. Zestwieie różych gric ukcji orz symptot pioowych i poziomych wrz z ich geometryczą iterpretcją... 8 9.4. Ciągłość ukcji... 9.4.. Ciągłość ukcji w pukcie D... 9.4.. Nieciągłość ukcji w pukcie D... 9.4.. Ciągłość ukcji w przedzile... 9.4.4. Włsości ukcji ciągłych.... Rchuek pochodych (rchuek różiczkowy)... 7.. Pochod ukcji jedej zmieej... 7 8
... Pojęci wstępe prowdzące do zdeiiowi pochodej ukcji jedej zmieej w pukcie... 7... Pojęcie pochodej ukcji jedej zmieej w pukcie... 8... Iterpretcj geometrycz ilorzu różicowego orz pochodej ukcji jedej zmieej w pukcie... 9..4. Pochod, jko ukcj wzory pochode.....5. Niektóre zstosowi pochodej... 5..6. Reguł de l'hospitl... 6..7. Pochod, mootoiczość i ekstremum ukcji jedej zmieej... 7..8. Njwiększ i jmiejsz wrtość ukcji w przedzile (ekstremum glole)....9. Drug pochod, wypukłość, wklęsłość i pukty przegięci... 4... Bdie przeiegu zmieości ukcji... 5... Prktycze zstosowie pochodej w zdich optymlizcyjych... 9.. Pochod ukcji dwóch (wielu) zmieych... 44... Fukcj rzeczywist dwóch zmieych rzeczywistych... 44... Pochode cząstkowe ukcji dwóch zmieych... 46... Ekstremum lokle ukcji dwóch zmieych... 48. Rchuek cłkowy... 5.. Określeie cłki ieozczoej... 5 F ukcji... 5... Fukcj pierwot... Cłk ieozczo ukcji... 5.. Wzory cłkowie... 5.. Podstwowe metody cłkowi... 5... Cłkowie przez podstwieie (przez zmię zmieych)... 5... Cłkowie przez części... 5.4. Cłk ozczo... 54 określoej.4.. Geez cłki ozczoej ukcji ciągłej i ieujemej przedzile,... 54.4.. Związek cłki ozczoej z cłką ieozczoą... 55.4.. Niektóre włsości cłki ozczoej... 55.5. Niektóre zstosowi cłki ozczoej... 57.6. Wyre rówi różiczkowe... 6.6.. Rówie różiczkowe, jko szczególy rodzj rówi ukcyjego... 6.6.. Metody cłkowi wyrych rówń różiczkowych... 6. Rchuek wektorowy... 65.. Wektory w ujęciu sytetyczym... 65... Deiicj wektor i pojęć z im związych... 65... Dziłi wektorch... 67... Włsości związe z dziłimi wektorch... 68..4. Iloczy sklry wektorów i jego włsości... 69..5. Spostrzeżei dotyczące rchuku wektorów... 7.. Wektory w ujęciu lityczym... 7... Alityczy opis puktu... 7... Alityczy opis wektor... 7... Długość wektor i długość odcik we współrzędych... 74..4. Dziłi wektorch płszczyźie w ujęciu lityczym... 75..5. Wruki: prostopdłości orz rówoległości wektorów... 77 9
..6. Kąt pry wektorów iezerowych płszczyźie... 78. Rchuek mcierzowy... 8.. Podstwowe iormcje o przestrzei wektorowej... 8... Przestrzeń wektorow... 8... Wże deiicje związe z przestrzeią wektorową... 8.. Mcierze... 8... Wprowdzeie pojęci mcierzy... 8... Rodzje mcierzy... 85... Dziłi mcierzch... 86..4. Rząd mcierzy... 88..5. Wyzczik mcierzy... 89..6. Mcierz odwrot... 9.. Ukłdy rówń liiowych... 95... Ukłd rówń liiowych o k iewidomych... 95... Rozwiązywie ukłdów rówń liiowych... 96... Iormcj o ukłdch ierówości liiowych... 8 Skorowidz... 9 Biliogri... Summry... 5
Wstęp Pulikcj t jest dresow do studetów różych kieruków studiów uczących się I (lu I i II) roku mtemtyki i prgących utrwlić, powtórzyć i usystemtyzowć swoją wiedzę i umiejętości w zkresie tego przedmiotu studich wrz z przypomieiem mteriłu ze szkoły średiej. Kompetecje te są iezęde w pomyślym przygotowywiu się ieżąco do zjęć z mtemtyki orz ilie do egzmiu z tego przedmiotu. Oprcowie prezetuje w sposó zwięzły i usystemtyzowy stdrdowy mterił progrmowy mtemtyki początkowych ltch szerokiego ogółu studiów wyższych wrz z oszerym przypomieiem iezędych widomości z zkresu (rówież rozszerzoego) szkoły średiej - tym rdziej, iż ogół studetmi różych kieruków studiów są solweci zkresu podstwowego mtemtyki ze szkoły średiej i ich mtemtycze kompetecje są zczie uoższe w porówiu z solwetmi po zkresie rozszerzoym tego przedmiotu. Treści merytorycze są poprte liczymi przykłdowo rozwiązymi zdimi, wzogcoymi wyczerpującym kometrzem wyjśijącym koleje etpy postępowi. Dooru większości przykłdowo rozwiązych zdń dokoł mgr A Jtczk. Mm dzieję, że iiejsze mteriły pomocicze - mimo, iż ie stowią oe systemtyczego wykłdu mtemtyki - ędą istotą pomocą edukcyją dl studetów różych kieruków studiów prgących uczyć się mtemtyki zdowljącym poziomie.
. Zdi, ziory i liczy rzeczywiste.. Rchuek zdń i rchuek ziorów... Podstwowe widomości o języku mtemtyczym Zdie (w logice) jest to wyrżeie w tryie orzekjącym, które jest: lo prwdziwe m wrtość logiczą, lo łszywe m wrtość logiczą. Symole zdń: p, q, r. Form zdiow (ukcj zdiow, predykt) określo w dziedziie D jest to wyrżie zwierjące zmieą (lu zmiee), które stje się zdiem, gdy w miejsce zmieej (lu zmieych) podstwimy zwę (lu zwy) dowolego elemetu (lu dowolych elemetów) zioru D. Symole orm zdiowych:,, y. Ziór elemetów spełijących ormę zdiową jest to ziór tych elemetów dziedziy D, które po podstwieiu w miejsce zmieych czyią z ormy zdiowej zdie prwdziwe. Fuktory zdiotwórcze, to stępujące spójiki: ieprwd, że - symol ~ (może występowć przed jedym zdiem) i - symol lu - symol (muszą łączyć co jmiej dw zdi) jeżeli..., to... - symol wtedy i tylko wtedy - symol Kwtyiktory są to stępujące zwroty: dl kżdego... - symol lo (kwtyiktor duży, ogóly) istieje, tkie że... - symol Kwtyiktory służą do udowi zdń. ~ p egcj lo (kwtyiktor mły, szczegółowy, egzystecjly)... Zdi złożoe i ich wrtości logicze p q p q koiukcj p q ltertyw p q implikcj p q rówowżość prwdziw, gdy o zdi są prwdziwe łszyw, gdy o zdi są łszywe łszyw, gdy z prwdy wyik łsz prwdziw, gdy o zdi mją te sme wrtości logicze
Uwg: W implikcji zdi proste p i q mją szczególe zwy p (poprzedik implikcji; złożeie; q (stępik implikcji; tez; wruek wystrczjący dl q ) wruek koieczy dl p ) Przykłdowe zdie Sprwdź, czy jest tutologią stępujące zdie: ) p q p q, ~ p q p ~ q. ) Kometrz Sprwdzmy metodą zerojedykową. Kostruujemy telę wpisując w kolumch kolejo zdi proste i corz rdziej złożoe występujące w zpisie sprwdzego zdi. W ostteczej kolumie jest cłe sprwdze zdie. W ) są sme jedyki, czyli zdie jest zwsze prwdziwe. Otrzyme w osttiej kolumie pierwsze zero świdczy o tym, że zdie ie ędzie zwsze prwdziwe i dlsze uzupełiie osttiej kolumy jest już zęde. ) p q q Rozwiązie p p q p p q p q Odp. Zdie jest tutologią. ) p q q p p q Odp. Zdie ie jest tutologią. ~ ~ q p ~ q ~ p q p ~ q ie jest tutologią 4
... Prw rchuku zdń (tutologie, prw logicze) Prwo egcji ~ ~ p egcji koiukcji ltertywy implikcji p q ~ p ~ q ~ p q ~ p ~ q ~ p q p ~ q ~ prw de Morg dl zdń tożsmości przemieości p p p p p p p q q p p q q p łączości p q r p q r p q r p q r przechodiości p q q r p r (trzytywości) trspozycji p q ~ q ~ p Podto: ) prw rozdzielości: p q r p q p r - koiukcji względem ltertywy p q r p q p r - ltertywy względem koiukcji ) związek implikcji z ltertywą: p q ~ p q p q p q q p c) związek rówowżości z implikcją: Jeżeli i )..4. Prw rchuku kwtyiktorów g są ormmi zdiowymi o zkresie zmieości, to: ~ ~ prw de Morg dl kwtyiktorów ~ ~ ) g g c) g g d) e) g g ) g g Podto: jeżeli y i y, to prw rozdzielości, jest ormą zdiową o zkresie zmieych 5
g) y y, y, y y, y, y y h), y, y y y prw przemieości Przykłdowe zdie Zpisz przy pomocy kwtyiktorów stępujące zdie: Nie m liczy turlej ujemej orz doprowdź go do prostszej postci i oceń jego wrtość logiczą. Kometrz Zwrot: ie m... ozcz, że ie istieje.... - to symol zioru licz turlych. Licz ujem, to licz miejsz od zer. N podstwie odpowiediego prw de Morg dl kwtyiktorów przeksztłcmy zudowe zdie. Zprzeczeie ~ ozcz. Otrzyme zdie, to: Kżd licz turl jest ieujem. ~ Rozwiązie ~ ~ Odp. Zdie to jest prwdziwe...5. Ziory i dziłi ziorch W mtemtyce istieją pojęci: deiiowle i iedeiiowle, czyli pierwote, których się ie deiiuje orz włsości, które się dowodzi, czyli twierdzei i tkie, które przyjmuje się ez dowodu zwe ksjomtmi. Ziór jest pojęciem pierwotym (ie m deiicji zioru). Ziory określmy poprzez podie włsości elemetów zioru (p. włsości wyrżoe poprzez ormę zdiową) lu poprzez podie wszystkich elemetów. Ziory ozczmy dużymi litermi letu łcińskiego: A, B, C, elemety zioru - zwykle młymi:,, c. Ziór pusty ozczmy:. Zdie: elemet leży do zioru A zpisujemy: czytmy ie leży. Dziłi ziorch deiiujemy z pomocą zdń logiczych. A. Symol: Rchuek zdń Rchuek ziorów Zdi Nzwy Ziory Nzwy Ziory, ormy zdiowe p, q zdi proste A A, B B ziory A B : p : q 6
~ p egcj A p q p ~ q koiukcj p q ltertyw A A A A B A\ B A B B B A dopełieie (uzupełieie zioru) iloczy (mogościowy ziorów) A :~ A B : p p q różic A \ B : p ~ q ziorów sum ziorów A B : p q p q implikcj p q rówowżość A A B A B A B B A B ikluzj (zwierie) ziorów rówość ziorów p p q q Ziory, których iloczy jest ziorem pustym ( A B ) zywmy rozłączymi. Uwg: Sum A A A Ai, A A Ai, to sum uogólio. i i Iloczy: A A A Ai, A A Ai, to iloczy uogólioy. i i W teorii ziorów oprócz iloczyu (mogościowego), czyli części wspólej ziorów A i B : A B, wyróżimy jeszcze iy iloczy ziorów zwy iloczyem krtezjńskim (produktem) ziorów A i B ozczoym: A B. Jest to ziór uporządkowych pr elemetów, tkich, że pierwszy elemet leży do pierwszego zioru, drugi - do drugiego zioru. Ztem A B, : A B. W szczególości: kwdrt krtezjński, to zioru, to A A A A. rzy A A A, zś -t potęg 7
Przykłdem iloczyu krtezjńskiego jest płszczyz z ukłdem współrzędych:..6. Prw dziłń ziorch Z odpowiedich prw logiczych moż wyprowdzić stępujące prw dziłń ziorch: ) A B B A; A B B A A B C A B C A B C A B C ) ; c) A B A B; d) AA A ; AA A A B C AB A C e) AB C AB A C ) A A; A g) A B A h) A A B ; B A B A B A B A A B B A B B A A B i) j) k) ABC A B A C A B A B (prw de Morg dl ziorów) l) ABC A B A C (prw rozdzielości) m) AB \ C A B \ A C ) A B B A (iloczy krtezjński ie jest przemiey) Przykłdowe zdie Sprwdź, czy rówość: A\ B AB jest prwdziw dl A, y : 4 y B, y : y., (prw rozdzielości) Podj iterpretcję griczą rozwiązi płszczyźie. 8
Kometrz Wyzczymy ziór A i podmy jego iterpretcję griczą. Rozwiązie 4 4 5 A, y : 5 y 4 5 6 A Wyzczymy ziór B i podmy jego iterpretcję griczą. y y y, : B y y y - - - B Wyzczymy ziór B B, y : y i podmy jego iterpretcję griczą. y y B, y : y - - - B' 9
Wyzczymy ziór iterpretcję griczą. A\ B i podmy jego A \ B - - - 4 5 6 Wyzczymy ziór A B i podmy jego iterpretcję griczą. A \ B, y : 5 y A B - - - 4 5 6 Ztem otrzymliśmy Formułujemy odpowiedź. A B, y : 5 y A\ B AB Odp. Pod w treści zdi rówość jest prwdziw... Ziór licz rzeczywistych i jego podziory... Ilustrcj gricz digrmch Ve,,,... ziór licz turlych,,... ziór licz turlych dodtich...,,,,,,... ziór licz cłkowitych c q : q c ziór licz wymierych Kżd licz wymier m rozwiięcie dziesięte ieskończoe okresowe lo skończoe (czyli o okresie zero).
ziór licz iewymierych, czyli mjących rozwiięcie dziesięte ieskończoe i ieokresowe (p.,4...,,4...,,7... ) Kżd licz rzeczywist m rozwiięcie dziesięte okresowe (ieskończoe lo skończoe, gdy okres jest rówy zero) gdy jest liczą wymierą, lo ieokresowe ieskończoe gdy jest liczą iewymierą. Licz rzeczywist m rozwiięcie dziesięte okresowe lu skończoe ALBO ieokresowe i ieskończoe jest licz wymierą jest liczą iewymierą - ziór licz rzeczywistych Wże spostrzeżei: ; ; ziór licz rzeczywistych dodtich (logiczie ozczmy, ) ziór licz rzeczywistych ujemych (logiczie ozczmy, ) Przykłdowe zdie Wyzcz liczy cłkowite i y ędące rozwiąziem rówi y y 5. Kometrz Przeksztłcimy lewą stroę rówi do postci iloczyu. Licz jest iloczyem licz cłkowitych i orz - i -. Ztem: y y 5 y y y y * Rozwiązie y ** Rozwiązujemy rówi (*) i (**). * y lu y lu y
Formułujemy odpowiedź. 5 lu y y ** y y y lu lu y y 4 Odp. Rozwiązimi rówi w ziorze licz cłkowitych są: 5,,, y y y y 4.... Przedziły osi liczowej Ziór licz rzeczywistych ilustruje oś liczow. Kżdej liczie rzeczywistej odpowid jedozczie wyzczoy pukt osi liczowej. Oś liczow, to prost z wyróżioym puktem, zwrotem dodtim i jedostką: (pukt zerowy) (zwrot dodti) (jedostk) (półoś ujem ) (półoś dodti ) Iymi wżymi podziormi licz rzeczywistych są przedziły liczowe. Przedziły liczowe są to ziory licz rzeczywistych większych (większych lu rówych) lu miejszych (miejszych lu rówych) od ustloej liczy, ewetulie liczy rzeczywistych zwrtych pomiędzy dowolymi liczmi:, i.... Rodzje przedziłów liczowych Niech Rodzj przedziłu, : : : Nzw Symol Iterpretcj osi liczowej prwostroie otwrty, ieogriczoy prwostroie domkięty, ieogriczoy lewostroie otwrty, ieogriczoy
: : : : : lewostroie domkięty ieogriczoy oustroie otwrty, ; ogriczoy oustroie domkięty ogriczoy lewostroie otwrty (prwostroie domkięty) ogriczoy prwostroie otwrty (lewostroie domkięty) ogriczoy ; ; ; Dziłi mogościowe ziorch: wyzczie sum, iloczyów i różic orz dopełień przedziłch liczowych ilustruje przykłdowe zdie. Przykłdowe zdie De są ziory A 4, i B,. Wyzcz ziory: ) A B ) A B c) A\ B d) B \ A e) A ) B Przedstw iterpretcję tych ziorów osi liczowej orz zpisz je przy pomocy ierówości. Kometrz Ziory A i B zzczymy osi liczowej, stępie wykomy pode dziłi. Wyzczoe ziory opiszemy przy pomocy ierówości. ) ) Rozwiązie -5-4 - - - 4 5 AB, A B : -5-4 - - - 4 5 A B 4, A B : 4
c) d) -5-4 - - - 4 5 A\ B 4, A \ B : 4-5 -4 - - - 4 5 e) B\ A, B \ A : ) -5-4 - - - 4 5 A,4, A : 4-5 -4 - - - 4 5 B, B :.. Wrtość ezwzględ i jej iterpretcj gricz... Deiicj wrtości ezwzględej liczy rzeczywistej d. ; gdy, ; gdy p. 5 5, o 5 ;, o... Podstwowe włsości wrtości ezwzględej liczy rzeczywistej Dl dowolych licz rzeczywistych, y prwdziwe są stępujące wruki: ) h) y y 4
) c) d) y y e) ; y y y ) y y g) y y i) j) k) l) m)... Iterpretcj wrtości ezwzględej osi liczowej Wrtość ezwzględ liczy : jest to odległość liczy od zer osi liczowej: -..4. Wrtość ezwzględ, jko odległość między dwiem liczmi osi liczowej Niech i. Odległość d między liczmi rzeczywistymi i wyosi : d d, gdyż Uwg: Jeśli, to d Wiosek: orz Np. 5 5 4 d d, gdyż -4-5 5
..5. Ziory osi liczowej opise rówimi i ierówościmi z wrtością ezwzględą ) w rówiu:, ( ), czyli chodzi o zlezieie licz, osi liczowej, odległych od liczy o odległość., dl, dl (-) (+) Ztem ;. ) w ierówości:, ( ), czyli chodzi o zlezieie licz, osi liczowej, odległych od liczy o odległość miejszą iż. (-) (+) Ztem ;. c) w ierówości:, ( ), czyli chodzi o zlezieie licz, osi liczowej, odległych od liczy o odległość miejszą lu rówą. (-) (+) Ztem ;. d) w ierówości:, ( ), czyli chodzi o zlezieie licz, osi liczowej, odległych od liczy o odległość większą iż. 6
, dl, dl (-) (+) Ztem ; ;. e) w ierówości:, ( ), czyli chodzi o zlezieie licz, osi liczowej, odległych od liczy o odległość większą lu rówą., dl, dl (-) (+) Ztem ; ;. Przykłdowe zdie, zpisz wyrżeie 5 4 ie używjąc symolu ) Dl wrtości ezwzględej. ) Zpisz wyrżeie 4 8, używjąc symolu wrtości ezwzględej. Kometrz Z deiicji wrtości ezwzględej otrzymujemy: 5,, i,, ztem dl, de wyrżeie możemy zpisć w rówowżej postci. ) Rozwiązie 5 5 dl, 5 5 dl, dl, dl, 5 4 5 4 5 4 8 9 Otrzymliśmy więc: 5 4 9 5 dl, 7
8 Przeksztłcmy wyrżeie pod pierwistkiem. ) 4 4 8 4 Korzystjąc z rówości otrzymujemy: Ztem mmy: 8 4 Formułujemy odpowiedź. Odp. ) 9 4 5 dl,, ) 8 4 dl...6. Niektóre rówi z wrtością ezwzględą ) Rówie ; jest rówowże ltertywie trzech rówń w poszczególych dziedzich częścich osi liczowej: dl dl dl Rówość t może yć: lo prwdziw lo łszyw (w zleżości od wrtości i ) i wtedy może tu yć lo ieskończeie wiele rozwiązń, lo ie yć ich wcle. (przedził ) Rozwiąziem są liczy spełijące poszczególe rówi i leżące do poszczególych dziedzi. ) Rówie c d c ; jest rówowże ltertywie czterech rówń w poszczególych dziedzich częścich osi liczowej: c d d c c d d c c d d c c d d c dl dl dl c dl c c Rozwiąziem są oliczoe liczy leżące do poszczególych dziedzi.
..7. Niektóre ierówości z wrtością ezwzględą ) Nierówość ; jest rówowż ltertywie trzech ierówości w poszczególych dziedzich częścich osi liczowej: dl dl dl Nierówość t może yć: lo prwdziw lo łszyw (w zleżości od wrtości i ) i wtedy może tu yć rozwiąziem przedził, lo. Rozwiąziem jest sum rozwiązń poszczególych ierówości w poszczególych dziedzich. ) Nierówość c; jest rówowż ltertywie czterech ierówości w poszczególych dziedzich częścich osi liczowej: dl dl dl dl c c c c c c c c Rozwiąziem jest sum rozwiązń poszczególych ierówości w poszczególych dziedzich. Uwg: Podziłu osi liczowej poszczególe części dokoujemy zzczjąc iej miejsc zerowe wyrżeń optrzoych wrtością ezwzględą. Przykłdowe zdie Rozwiąż rówie 4 4 6. Kometrz Zzczmy osi liczowej miejsc zerowe wyrżeń: 4 i 4, występujących pod wrtością ezwzględą. Przedstwimy osi liczowej rozwiązi ierówości 4, 4, 4, 4. 4 Rozwiązie 4 4 4 4 4 4 4 4 4 9
Zdeiiujemy występujące w rówiu wrtości ezwzględe. Rówie 4 4 6 jest rówowże ltertywie trzech rówń w poszczególych dziedzich. Kolejo rozwiążemy rówi (*), (**), (***). Wyzczymy rozwiązie rówi 4 4 6. Formułujemy odpowiedź. 4 4 dl, 4 4 dl, 4 4 4 dl, 4 4 dl, 4 4 4 6 dl, * lu 4 4 6 dl 4, ** 4 lu 4 4 6 dl 4, *** (*) 4 4 6 dl, 5 5, (**) 4 4 9 4 4 4 4 6 dl, 9 (***) 7 4 5, 4 4 4 4 6 dl, 5 7, rk rozwiązi, 9 Odp. Rozwiązimi rówi 4 4 6 są., 9 4 4 Przykłdowe zdie y Rozwiąż ukłd ierówości. y
Kometrz Pierwszą ierówość przedstwimy w postci koiukcji dwóch ierówości. Zzczymy jej rozwiązie w ukłdzie współrzędych. Rozwiązie y y y y y y - - y y Drugą ierówość przedstwimy w postci ltertywy dwóch ierówości. Zzczymy jej rozwiązie w ukłdzie współrzędych. y 4 y 4 y 4 y y y y -4-4 - Wyzczymy rozwiązie ukłdu ierówości. Jest oo częścią wspólą rozwiązń ou ierówości. -4 - - 4
.4. Potęgowie, pierwistkowie i logrytmowie.4.. Deiicj potęgi Potęg o podstwie i wykłdiku c c (wykłdik potęgi) (podstw potęgi) ) o wykłdiku turlym c : ;... ; czyików ) o wykłdiku cłkowitym ujemym c : ; ; c) o wykłdiku wymierym c : m - dodtim c ; m ; : m m ; m - ujemym c ; m ; : m ; m d) o wykłdiku iewymierym, p.,4,,4,5, 4 (ciąg zieży do ) (ciąg zieży do ),,,,,, ; Uwg: Potęg o wykłdiku rzeczywistym jest omówio w module 7... Przy stosowych złożeich mmy: m m ) m m ) m m c).4.. Prw dziłń potęgch d)
e) ) wzory skrócoego g) h) możei i).4.. Deiicj pierwistk -tego stopi z liczy Pierwistek -tego stopi z liczy ( ) (stopień pierwistk) d. (licz pod pierwistkiem) ; ; Dl i k ; k : ; \.4.4. Prw dziłń pierwistkch Przy stosowych złożeich mmy: m m ) ) c) m d) m e) ; dl ; k k ; dl k ; k Przykłdowe zdie Wykż, że pode liczy leżą do zioru licz turlych: k 4, 7 65 6 ; 475 475. 5 l, 4 ; m ; 9 4 5 9 4 5
Kometrz Wyzczymy k. Oliczymy potęgi, stępie wykomy dziłi rytmetycze. Njpierw ułmek okresowy zmieimy ułmek zwykły. Nstępie wyzczymy l. Wyzczymy m. Usuiemy iewymierość z miowików ułmków, stępie wykomy dodwie. Rozwiązie 4 5 k, 7 65 6 7 k 5 65 4 k 7 k 5 5 k 4 Niech 5 5, 4,44444.../ 4,4444... 4,4444...,4444... 9 4 4 9 4, 4 9 l, 4 4 9 m 9 4 5 9 4 5 9 4 5 9 4 5 9 4 59 4 5 9 4 5 9 4 5 9 4 5 9 4 5 9 4 5 9 4 5 9 4 5 9 4 5 9 4 5 9 4 5 88 88 9 4 5 9 4 5 8 4
Wyzczymy kwdrt liczy, stępie tę liczę. Licz jest sumą pierwistków kwdrtowych. Jest to licz ieujem. 475 475 475 475 475 475 475 475 475 4 484475 9 5 5 5 Formułujemy odpowiedź. Odp. Liczy 4 do zioru licz turlych..4.5. Logrytm i jego włsości Logrytm o podstwie z liczy logrytmowej. k, l, m 8, 5 leżą log (podstw logrytmu) (licz ; logrytmow) Złożei: jest to wykłdik c, do którego leży podieść podstwę, żey otrzymć liczę logrytmową : Logrytm o podstwie,, liczy dodtiej de c log c licz jest podstwą i logrytmu, i potęgi log c logrytmowie c potęgowie związek logrytmowi z potęgowiem Uwg : Logrytmowie, to opercj odwrot do potęgowi 5
Uwg : Potęgowie m dw dziłi do sieie odwrote: pierwistkowie i logrytmowie. I. Jeśli ze związku: c chcemy oliczyć podstwę, to pierwistkujemy: c c ; związek potęgowi z pierwistkowiem II. Jeśli ze związku: c chcemy oliczyć wykłdik c, to logrytmujemy: c c log ; Ztem związek potęgowi z logrytmowiem c pierwistkowie logrytmowie p. c ; c \ ; ; c log 5 5 9 5 5 log5 9 log 9 Uwg : Symol: 9 log 9 log (ez zpisu podstwy), to logrytm dziesięty (o podstwie ): log log (logiczie, jk ie pisze się dwójki przy pierwistku kwdrtowym: ). Symol: l to logrytm turly, czyli o podstwie e: l log (gdzie e licz Neper jest to lim e e,78 )., e jest liczą iewymierą: e.4.6. Prw dziłń logrytmch Niektóre prw dziłń logrytmch mją swoje odpowiediki w prwch dziłń potęgch. Przy stosowych złożeich mmy: 6
Lp... logrytmch Prw dziłń potęgch log log c log c c (sum logrytmów o tej smej podstwie) = log log c (różic logrytmów o tej smej podstwie) c (logrytm iloczyu) log c = (logrytm ilorzu) log c log (iloczy potęg o tej smej podstwie) = c : c (ilorz potęg o tej smej podstwie) c = c (potęg o sumie wykłdików) c (potęg o różicy wykłdików) c. (logrytm potęgi) = (iloczy wykłdik i logrytmu z podstwy potęgi) Oto pozostłe prw dziłń logrytmch: log 4. log log c log c, iczej log log c c (potęg potęgi) = (potęg o iloczyie wykłdików) 5. (zmi podstwy logrytmu) log log (zmi podstwy z liczą logrytmową) 6. log log 7. log log Uwg: Włsość (w w/w teli) dotyczy logrytmu ilorzu: log c i często jest mylo z ilorzem logrytmów. Nleży więc zpmiętć, że: ilorz log logrytmów to wyrżeie: log : log c, tomist logrytm log c ilorzu, to różic logrytmów: log log log c wspólej podstwie ). c (oczywiście przy 7
Przykłdowe zdie Wykż, że pr licz jest rozwiąziem ukłdu rówń: Kometrz log log4 9log, 5 7 i y log log log y log 9. y, 6 log 6 log 6 Rozwiązie Wyzczmy. log log 9 log 4, 5 log 9 log 7 log 9 log 4 log, 5 log 9 log 7 log 9 log 9 log 9 log log 9 log 7 log log 7 9 log log log log log y log log Wyzczmy y. Sprwdzimy, czy spełiją o rówi. i y y y y y y 7 7 6 6 log 6 log 6 log 6 4 log 6 log 6 log 6 log 6 4 log 6 log 6 log 6 log 6 4 log 6 log 6 log 6 log 6 log 6 log log y log 6 6 6 6 y y log log y log L log log log9 log 9 P. 9 8
Formułujemy odpowiedź. y., L, P Rozwiąziem dego ukłdu rówń jest pr licz i y..5. Idukcj mtemtycz.5.. Idukcj przyrodicz, idukcj mtemtycz Idukcj przyrodicz (iezupeł), to rozumowie uogólijące, prowdzące do sormułowi ogólego twierdzei podstwie oserwcji skończoej liczy przypdków. Jedk tkie rozumowie ie jest iezwode. Stosowie idukcji przyrodiczej w mtemtyce upowżi jedyie do sormułowi hipotezy, którą stępie leży udowodić. W mtemtyce zś stosujemy idukcję mtemtyczą. Idukcj mtemtycz (zupeł) jest to metod dowodzei twierdzeń dotyczących licz turlych..5.. Zsd idukcji mtemtyczej Niech T ozcz twierdzeie dotyczące licz turlych. Wówczs prwdziwe jest stępujące twierdzeie zwe zsdą idukcji mtemtyczej: Jeżeli: twierdzeie jest prwdziwe dl ustloej liczy turlej (p. T, ), czyli zchodzi i z prwdziwości twierdzei dl dowolej liczy turlej k wyik prwdziwość twierdzei dl liczy stępej: k, czyli prwdziw jest T k T k ; k, implikcj to twierdzeie jest prwdziwe dl kżdej liczy turlej. Dowód przeprowdzy metodą idukcji mtemtyczej zywmy dowodem idukcyjym. Skłd się o z dwóch etpów: T º sprwdzeie prwdziwości º wykzie prwdziwości implikcji Tk Tk ; k Etp º zywmy pierwszym krokiem idukcyjym, zś etp º - drugim krokiem idukcyjym. 9
4.5.. Schemt rozumowi w idukcji mtemtyczej k k T T k T k T Dowód idukcyjy: º sprwdzeie T dl (p. ), czyli T º zudowie implikcji: k T k T wrz z jej dowodem: Złożeie ; k k T Tez k T dowód º: k T k T Osttecz kokluzj mocy zsdy idukcji mtemtyczej: T Przykłdowe zdie Metodą idukcji mtemtyczej wykż, że dl kżdej liczy turlej dodtiej zchodzi rówość:... 4. Kometrz Rozwiązie Sprwdzimy słuszość twierdzei dl (etp ). P L P L 4 4 Formułujemy implikcję (etp ). Złożeie... dl k k k k Tez... k k k k Przeprowdzimy dowód implikcji (cd. etpu ). P L k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k 4 4 4... Formułujemy uzsdieie. N mocy º i º rówość
Przykłdowe zdie Wykż, że dl kżdej liczy turlej licz. Kometrz Skoro twierdzeie dotyczy licz turlych, więc udowodimy je metodą idukcji mtemtyczej. Sprwdzimy słuszość twierdzei dl (etp ).... 4 jest spełio przez kżdą dodtią liczę turlą. 9 6 6 Formułujemy implikcję (etp ). Złożeie 6k k 9 dl k 6 7 Tez k 9 k 9 9 Rozwiązie jest podziel przez Przeprowdzimy dowód implikcji (cd. etpu ). Formułujemy uzsdieie. 64 64 6k7 6k6 k 6k 6k 6k 6k 64 9 59 64 przez 6 k 9 9 64 9 64 9 64 9 k k k k 9 9 6k k k 9 559 6k k k 9 59 6 k 9 k k 64 9 64 55 k 55 - z złożei idukcyjego - jest jedym z czyików iloczyu, ztem 6k k k 9 59 N mocy º i º twierdzeie dl kżdej liczy turlej. - różic licz podzielych 9 6 jest prwdziwe Uwg: Zpis: czytmy: licz jest podziel przez ( dzieli ), czyli: licz jest dzielikiem liczy. 4
4.6. Dwumi Newto.6.. Pojęcie sili!! ; p. 4 4! 4,!,!. Uwg: Zpis! czytmy: sili..6.. Symol Newto ) Deiicj symolu k :! ;,!! k k k k k p. 45 9 8!!! 8 ) Niektóre włsości symolu Newto: () Dl : ; ; ; () Dl, k k k : ; k k k k k Uwg: Zpis: k czytmy: d k lu k po..6.. Trójkąt Pscl (dwie wersje)
4.6.4. Wzór dwumiowy Newto - wyrż kżdą turlą potęgę dwumiu : ;,, k k k k k w skrócie: k k k k..6.5. Wzór ogóly k-ty wyrz rozwiięci we wzorze dwumiowym Newto ;,,, k k k c k k.6.6. Związek trójkąt Pscl ze wzorem Newto.6.7. Wioski ze wzoru dwumiowego Newto ) k k k k ) Sum wszystkich współczyików we wzorze dwumiowym Newto :
(dl ) c) Sum wszystkich współczyików we wzorze dwumiowym Newto : (dl ) Przykłdowe zdie Wyzcz dwudziesty wyrz rozwiięci dwumiu, jeżeli widomo, że sum współczyików drugiego i trzeciego wyrzu rozwiięci wyosi 5. Kometrz Wyzczymy sumę współczyików wyrzu drugiego i trzeciego Rozwiązie!!! rozwiięci dwumiu.!!!!!! Wiedząc, że sum t wyosi 5 zpisujemy rówie, którego rozwiązie wyzczy wykłdik potęgi. Wyzczmy dwudziesty wyrz rozwiięci dwumiu. Formułujemy odpowiedź.! 5 dl 65 6 5 5 6 5 5 9 dl 5 5 59 5! 6! 9! 6 9 59 8 9 9 5 6 9! 45 45 678 9! 6 9 77 Odp. Dwudziestym wyrzem rozwiięci dwumiu jest 77. 44
Widomo, że. Liczy zespoloe.. Geez zioru licz zespoloych, stąd liczy ujeme ie mją i pierwistk kwdrtowego, i pierwistk żdego iego stopi przystego. Ztem rówi kwdrtowe o wyróżiku ujemym ( ) ie mją pierwistków rzeczywistych; ie są też rozkłdle czyiki liiowe o współczyikch 4 rzeczywistych wielomiy:, czy. Liczy zespoloe wprowdzoo w VI w. w związku z dimi sposoów rozwiązń rówń lgericzych. Np. rówie ie m rozwiązń w ziorze licz rzeczywistych, o w ie istieje. Ay uikąć tych trudości wprowdzoo tzw. "liczę urojoą" i, w odróżieiu od już poprzedio zych licz "rzeczywistych". Stąd ziór licz rzeczywistych uległ rozszerzeiu do zioru licz zespoloych, w którym wykole jest pierwistkowie licz ujemych. Więc zdie jest prwdziwe, gdyż i. Wrto więc zuwżyć, że, czyli. N przełomie I i wieku dl wielu mtemtyków słowo "licz" - ez przymiotików - ozczło liczę zespoloą. Oecie liczy zespoloe są iezędym rzędziem mtemtyki, izyki, czy elektrotechiki. 45
.. Róże postcie licz zespoloych... Postć lgericz liczy zespoloej z i; i z część rzeczywist liczy zespoloej z : re z część urojo liczy zespoloej z : im z Jeżeli, to z i jest liczą rzeczywistą. Ztem liczy rzeczywiste, to tkie liczy zespoloe, dl których im z.... Iterpretcj geometrycz liczy zespoloej Liczy zespoloe iterpretujemy jko pukty płszczyzy. Stąd liczie zespoloej z i z ukłdem współrzędych. opowid pukt o współrzędych, oś urojo z=+i (,) oś rzeczywist płszczyzy, z=i W szczególości:,. liczie (jedostce) urojoej odpowid pukt Oś rzeczywist (poziom) to oś liczow ilustrując ziór licz rzeczywistych. Płszczyz z ukłdem współrzędych to ilustrcj zioru licz zespoloych. Licz zespolo: z i ;,.. Sprzężeie i licz przeciw Sprzężeie liczy zespoloej: z i Licz przeciw: z i 46
z -z - - z Opercji sprzężei odpowid płszczyźie symetri osiow względem osi rzeczywistej O. Opercji przejści do liczy przeciwej odpowid płszczyźie symetri O,. środkow względem początku ukłdu współrzędych..4. Moduł liczy zespoloej z i z z=+i z ozcz odległość puktu o współrzędych,, czyli liczy zespoloej z i od początku ukłdu współrzędych. W szczególości wrtość ezwzględ liczy rzeczywistej zyw jest rówież modułem tej liczy. Licz zespolo z i i końcu w pukcie,...5. Iterpretcj wektorow Moduł z ozcz długość wektor z., to wektor z o początku w pukcie O, - z z -z - z z z 47
..6. Bieguowy ukłd współrzędych Krtezjński ukłd współrzędych płszczyźie tworzą dwie przecijące się osie liczowe prostopdłe (O i O ) o rówych jedostkch: P y, y Współrzęde krtezjńskie puktu P płszczyzy, to pr licz y., Bieguowy ukłd współrzędych płszczyźie tworzą: pukt O zwy ieguem i wychodząc z iego półoś dodti zw osią ieguową: r P r, oś ieguow Współrzęde ieguowe puktu P płszczyzy, to pr licz r,, gdzie r OP jest odległością puktu P od iegu, czyli długością wektor wodzącego OP, zś jest mirą (p. łukową) kąt chylei OP do osi ieguowej, czyli kąt skierowego o początkowym rmieiu wzdłuż osi ieguowej, końcowym jko wektor OP. We współrzędych ieguowych r, licz r i dl jedozczości przyjmujemy:. Przykłdowe zdie Zjdź: ) współrzęde ieguowe puktu P 4;4, ) współrzęde krtezjńskie puktu 4; Kometrz Współrzęde krtezjńskie to,, zś ieguowe to r,. Korzystmy z krtezjńskiego ukłdu współrzędych przyjmując jego początek z iegu, dodtią półoś O z oś ieguową. P. 6 Rozwiązie ) P 4;4, czyli 4, 4 Nleży więc zleźć r i. 48
P 4 r -4 4 4 Z trójkąt prostokątego o przyprostokątych długości 4 i 4 oliczy długość przeciwprostokątej r orz mirę kąt ostrego. Formułujemy odpowiedź. Współrzęde ieguowe to krtezjńskie to,. r,, zś N podstwie rysuku oliczmy r orz 4 4 8 4 8 4 si cos Stąd Zś 8 Odp. Współrzęde ieguowe puku 8; ) P 4; 6, czyli r 4, Nleży więc zleźć i. 6 P. r Alogiczie jk w ) korzystmy z trójkąt prostokątego rysuku z dwom ukłdmi współrzędych łożoymi sieie. Z wruku wyiermy, gdyż spełi wruek: 6, czyli rzęd puktu P jest ujem. Formułujemy odpowiedź. N podstwie dych wg rysuku mmy 6 cos si 6 r Czyli cos si 6 4 6 4 r r 4 Stąd ; Odp. Współrzęde krtezjńskie puktu P ;. 49
..7. Postć trygoometrycz liczy zespoloej Kżd licz zespolo z i d się przedstwić w postci trygoometryczej: z z cos i si. Wystrczy w tym celu posłużyć się współrzędymi ieguowymi z r z=+i r z ; cos ; si z z Mir kąt, to rgumet liczy zespoloej z : rg z k; k,,,. Czyli liczie zespoloej z odpowid ieskończeie wiele rgumetów. Argumet liczy z spełijący wruek: zyw się rgumetem główym tej liczy i ozcz się go Arg z. Czyli Przykłdowe zdie Przedstw liczę z i w postci trygoometryczej. Kometrz Nleży zleźć z orz posługując się wzorem z i wrukmi. Arg z. Rozwiązie z i, czyli, z. Oliczmy Wyzczmy wiedząc, że i cos si orz zjąc położeie puktu P w krtezjńskim ukłdzie współrzędych: - z P(,-) Kąt o mierze jest kątem ćwirtki czwrtej ( si cos ) Z włsości ukcji trygoometryczej (wzory redukcyje). Stąd 7 4 4 Ztem z i cos 7 7 4 isi 4 Odp. z cos isi. 4 4 5
.. Dziłi w ziorze licz zespoloych... Dodwie, odejmowie, możeie i dzieleie licz zespoloych Niech z i, z c di, gdzie,, c, d, i Wtedy: z z c d i z z c d i z z c d d c i z z c d c d z : z i, dl z z c d c d z Niech z z i, z z i cos si Wtedy: z z cos si z z z z cos i si z i z z W szczególości: i cos si, dl cos si z z Możąc liczy zespoloe w postci trygoometryczej wystrczy moduły pomożyć, ich rgumety dodć. Dzieląc zś liczy zespoloe - moduły dzielimy, rgumety odejmujemy.... Potęgowie i pierwistkowie licz zespoloych Niech i z z cos isi Wtedy z z cos isi dl z mmy: cos isi cos isi (wzór Moivre') z z cos isi, gdzie k,,,. orz k k Kżd licz zespolo m dokłdie pierwistków -tego stopi,,, k,,,. w w w dl poszczególych 5
Wszystkie -te pierwistki z liczy zespoloej z mją rówe moduły, O, i promieiu r z. czyli leżą do tego smego okręgu o środku Argumet kżdego z tych pierwistków różi się od rgumetu poprzediego pierwistk o, czyli wszystkie oe dzielą okrąg rówych części. Są więc wierzchołkmi -kąt oremego wpisego w te okrąg. W szczególości p. w, w,..., w 5, jko pierwistki szóstego stopi z liczy z, są wierzchołkmi sześciokąt oremego wpisego w okrąg z. W W W W 5 W W4... Wyre włsości licz zespoloych ) z z ) z z c) z z z d) z z z z e) z z z z z z ), z z z z z z z g), i h) Dodwie i możeie licz zespoloych jest przemiee i łącze, możeie - rozdziele względem dodwi. z z z z i) j) z z z z Przykłdowe zdie Określ, jką krzywą przedstwi rówie: z i z i. Kometrz Rozwiązie Przyjmujemy postć z iy zmist Niech z jko licz zespolo ędzie postci z iy, y,. 5
z i, gdyż z treści zdi wyik, że chodzi o pewą krzywą płszczyźie z ukłdem współrzędych O. Stosujemy wzór moduł liczy zespoloej. Pozywmy się pierwistków i wykoujemy wskze dziłi orz redukcję wyrzów podoych. Sprowdzjąc rówie okręgu do postci koiczej łtwo odczytujemy współrzęde jego środk i długość okręgu. Formułujemy odpowiedź. Więc rówie m postć: i y i y. Po oliczeiu modułów z kżdej ze stro, mmy rówość postci: y y Stąd otrzymujemy rówie: y y Jest to okrąg o rówiu: y 5 6 9 Odp. Jest to okrąg o środku w pukcie 5 4 S ; i promieiu długości r. 5
54
. Fukcje i ich włsości.. Fukcj, jko relcj Niech. Relcj w ziorze jest to dowoly podziór iloczyu krtezjńskiego, y : y y., p. Relcje posidją róże włsości. Fukcj jest szczególym przypdkiem relcji. Jeżeli kżdemu elemetowi jest przyporządkowy dokłdie jede elemet y, to ziorze zostł określo ukcj (odwzorowując ziór w ziór ), co zpisujemy: :, czyli : y ; y (dziedzi ukcji D ) (przeciwdziedzi D ) y (rgumet, zmie iezleż) (wrtość ukcji, zmie zleż) Uwg: Wykres ie jest wykresem ukcji, tylko pewej relcji. Jeśli kżd prost pioow m z wykresem ie więcej iż jede pukt wspóly, to wykres te jest wykresem ukcji. Fukcję moż określić wiele sposoów, p. podjąc jej wzór (przepis przyporządkowie ), czyli y. Jeżeli i, to jest to ukcj rzeczywist jedej zmieej rzeczywistej, p.: : y, (ukcj liczo-liczow). Jeżeli i, to jest to ukcj rzeczywist dwóch zmieych rzeczywistych, p.: :, y z y. Jeżeli i, to jest to ukcj rzeczywist wielu zmieych rzeczywistych, p. :,,, y Ziór : w. y y zywmy ziorem wrtości ukcji. Gdy, to odwzorowuje ziór, gdy zś odwzorowuje ziór w. Wykres ukcji : to ziór puktów, : y y y y Rówie to rówie wykresu ukcji. i i, to 55
ukcje mootoicze rgumety i wrtości ukcji są w odwrotej zleżości ukcje ściśle mootoicze rgumety i wrtości ukcji są w tej smej zleżości.. Włsości ukcji... Podstwowe włsości ukcji ) Miejsce zerowe ukcji jest to t wrtość rgumetu, dl której wrtość ukcji jest rów zero. Miejsc zerowych ukcji szukmy, rozwiązując rówie: (wrtość ukcji) (zero) ) Zki ukcji, to prolem zków wrtości ukcji. Ay wyzczyć te wrtości rgumetu (p. przedził), dl których ukcj przyjmuje wrtości dodtie (odpowiedio ujeme), leży rozwiązć ierówość (wrtości dodtie ukcji) (zku plusowego) odpowiedio: (wrtości ujeme ukcji) (zku miusowego) Wiosek dotyczący podpuktów ) i ): Zmist rozwiązywć oddzielie rówie: orz dwie ierówości: i, wystrczy rozwiązć tylko rówie: i oliczoe miejsc zerowe zzczyć osi liczowej wrz z sitką zków, któr odpowid zkom wrtości ukcji. c) Mootoiczość ukcji, to prolem, dl jkich rgumetów, w jkich przedziłch ( osi O) ukcj rośie (), w jkich mleje (). Niech A D (p. A, Typ mootoiczości (. rosąc) _,, (. sło rosąc iemlejąc) (. mlejąc) (. sło mlejąc ierosąc) cost. (. stł) (ze wzrostem rgumetu) (wzrstją wrtości ukcji) (wrtości ukcji ie mleją) (wrtości ukcji mleją) (wrtości ukcji ie rosą) (wrtości ukcji są stłe) 56
d) Ekstremum glole ukcji to wspól zw jmiejszej (miimlej) i jwiększej (mksymlej) wrtości ukcji. Fukcj osiąg w pukcie D (ewetulie w przedzile ; wrtość jmiejszą (odpowiedio jwiększą) rówą, jeśli Ztem ie m. D ; wrtości ukcji w dowolym rgumecie ie przekrczją wrtości ekstremlej jest wrtością jmiejszą (jwiększą) gdy miejszej (większej) e) Superpozycj (złożeie) ukcji z ukcją g jest to ow ukcj h złożo w stępujący sposó z ukcji i g: D Dg g Z D g Ay złożeie D g h : Z, h (u. wew.) (u. zew.) oz. h g g superpozycj h: Z yło zrelizowe musi yć spełioy wruek: D. g, więc g D Niezrelizowie tego wruku ilustruje stępujący rysuek: y D g g Z i wtedy Dg czyli oejmuje wszystkich wrtości ukcji ). Uwg: Skłdie ukcji ie jest przemiee: g ie istieje (ziór D g jest z mły i ie g g 57
) Rówość ukcji i : D D D (idetyczość dziedzi) D (rówość wrtości ukcji) g) Różowrtościowość ukcji Gr: y y y y 4 y przedstwi odwzorowie, które ie jest ukcją : y y, y gdyż jedemu rgumetowi odpowidją dwie róże wrtości y ( y y ). Ntomist gr: y y przedstwi ukcję, mimo, że rgumetom: i odpowid te sm y (le kżdemu jest przyporządkowy tylko jede y). Jest to ukcj, któr różym rgumetom przyporządkowuje iekoieczie róże wrtości ukcji, ie jest więc różowrtościow. Deiicj: Fukcj : jest różowrtościow, gdy, różym oodpowidją rgumetom róże wrtości ukcji Symol różowrtościowości: : p., R jest ukcją różowrtościową, gdyż ;, R le g, R, p. rgumety, le róże ie jest różowrtościow, gdyż 9 wrtości ukcji w tych rgumetch są rówe 58
Wiosek: Fukcje ściśle mootoicze ( i ) są ukcjmi różowrtościowymi. Iterpretcj gricz: Wykres ukcji różowrtościowej m stępującą włsość: kżd prost poziom m z wykresem ukcji różowrtościowej co jwyżej jede pukt wspóly. y y To jest wykres ukcji różowrtościowej To ie jest wykres ukcji różowrtościowej Jeśli zś istieje choć jed prost poziom mjąc z wykresem ukcji więcej iż jede pukt wspóly, to ukcj ie jest różowrtościow. h) Pojęcie ukcji odwrotej do dej Niech odwzorowie : ędzie ukcją, p. y y y lu y y Rozptrzmy odwzorowie odwrote, w którym elemetom y przyporządkowuje się elemety : y y y orz y y To odwzorowie: To odwzorowie: (odwrote do ) jest ukcją, gdyż (odwrote do ) ie jest ukcją, ukcj : ył tylko odwzorowiem, gdyż różowrtościow. ukcj : ie ył różowrtościow. Ztem, y odwzorowie odwrote: (gdy : jest ukcją) yło też ukcją, musi więc d ukcj yć różowrtościow. Wówczs tkie odwzorowie odwrote zywmy ukcją odwrotą i ozczmy:, czyli :. 59
Spostrzeżei: Przy złożeiu, że czyli ztem D D : : - : D D : D D D D - y : : y y y y - Wykresy: ukcji orz ukcji prostej y płszczyźie O: y są do sieie symetrycze względem y i) Przystość ukcji Prolem przystości oejmuje dw zgdiei: ukcje przyste i ukcje ieprzyste. Wruek deiicyjy Przyst D (zmi zku rgumetu ie zmiei wrtości ukcji) p. Fukcj D Nieprzyst (zmi zku rgumetu zmiei zk ukcji) p. Symetri wykresu Wykres symetryczy względem osi O (symetri osiow) Wykres symetryczy względem O, (symetri środkow) Ogląd wykresu sugeruje, czy wykres jest symetryczy, czy ie jest. 6
Uwg: Istieją ukcje, które ie są i przyste, i ieprzyste, p., gdyż i. j) Okresowość ukcji Fukcj jest okresow, gdy t D t tr\ D (dodie do rgumetu okresu (zw okresem) t ie zmiei wrtości ukcji) Jeśli określoy rgmet wykresu powtrz się tk, że cły wykres moż otrzymć przez powieleie tego rgmetu, to mmy do czyieie z ukcją okresową, p.: y lu wykresy ukcji trygoometryczych W przeciwym przypdku ukcj ie jest okresow. Jeśli istieje jmiejszy spośród wszystkich dodtich okresów ukcji, to zywmy go okresem podstwowym (zsdiczym) ukcji. Np. ukcj y tg jest okresow, jej okres podstwowy t i tg tg dl k : y (powtrzjący się rgmet wykresu)... Iterpretcj gricz podstwowych włsości ukcji ) Dziedzi i ziór wrtości Dziedzi D jest to prostokąty rzut wykresu ( prostopdły cień ) oś O, zś ziór wrtości W - logiczie oś O. 6
) Miejsc zerowe Zgodie z deiicją: jest miejscem zerowym, gdy, ztem griczie odpowid mu pukt ;. Miejsc zerowych ukcji szukmy w puktch przecięci jej wykresu z osią O. c) Zki ukcji Uwg: W mtemtyce są zki: + zk dodti orz - zk ujemy Wyrżeie: zk ukcji ozcz: zk wrtości ukcji. Griczym odpowiedikiem ierówości: jest rgmet wykresu d osią O (w górej półpłszczyźie), jest rgmet wykresu pod osią O (w dolej półpłszczyźie). d) Mootoiczość ukcji Symol ukcji mootoiczej ozcz ułożeie jej wykresu: rosącej: - kieruek: od lewego dolego do prwego górego mlejącej: - kieruek: od lewego górego do prwego dolego e) Ekstremum, wrtość jwiększ i jmiejsz Ekstremum lokle (mksimum i miimum), to włsość lokl. Mksimum ozcz loklie wrtość jwiększą, zś miimum loklie wrtość jmiejszą. N wykresie ekstremum ozcz loklie jwyżej lu loklie jiżej położoy pukt czyli (m) wziesieie : lu zgłęieie : (mi). Wrtość jwiększ ukcji to mksimum glole w cłej dziedziie lu w przedzile ;. Griczie wrtości jwiększej odpowid jwyższy pukt wykresu ukcji. Wrtość jmiejsz ukcji to miimum glole w cłej dziedziie lu w przedzile ;. Griczie wrtości jmiejszej odpowid jiższy pukt wykresu ukcji. Oto przykłd wykresu ukcji, któr m ekstremum i ie m i wrtości jwiększej, i jmiejszej w D R : (m) y y : R R (mi) 6
Fukcj t osiąg w orz w mi Uwg: Fukcj ściśle mootoicz w cłej dziedziie ie m ekstremum. mksimum (lokle) rówe m miimum (lokle) rówe. Przykłdowe zdie y 4 9 8 7 6 5 4 - -9-8 -7-6 -5-4 - - - 4 5 6 7 8 9 - - - -4-5 -6-7 Rysuek przedstwi wykres ukcji ) dziedzię i ziór wrtości ukcji, ) miejsc zerowe ukcji, c) rgumety, dl których ukcj przyjmuje wrtość rówą -, d) przedziły, w których ukcj przyjmuje wrtości dodtie, e) przedziły, w których ukcj jest mlejąc, -8. N jego podstwie podj: ) jwiększą i jmiejszą wrtość ukcji w przedzile ;. Kometrz Odczytujemy z wykresu dziedzię i ziór Rozwiązie wrtości ukcji. ; ; Odczytujemy z wykresu miejsc zerowe ukcji. N rysuku są to pukty przecięci wykresu z osią O. Odczytujemy z wykresu rgumety, dl D, 6; 4 7 5 których ukcj przyjmuje wrtość -. Odczytujemy z wykresu rgumety, dl których ukcj przyjmuje wrtości dodtie. Odpowid im t część wykresu, któr jest położo d osią O. Odczytujemy z wykresu przedziły, w których ukcj jest mlejąc. Odczytujemy z wykresu jmiejszą wrtość m orz jwiększą wrtość M ukcji w przedzile ;. 4; ; 7; ; 8 m w ;5 5, M 8 6
Przykłdowe zdie Wykż, że ukcj: ) 4 jest różowrtościow, 4 ) jest ukcją przystą. 4 Kometrz Wykżemy, że dl dowolych dwóch różych rgumetów i ukcj przyjmuje róże wrtości. ) 4 D Rozwiązie Niech, D i 4 4 4 4 4 4 dl Wykżemy, że dl dowolych rgumetów i ukcj przyjmuje tę smą wrtość. tz. że ) D, D ztem jest ukcją różowrtościową. 4 4 \ ; R\ ; D D 4 4 4 4 4 4 D tz. że D jest ukcją przystą.... Odczytywie włsości ukcji z jej wykresu Njwiększą rolę w lizie określoego rgmetu rzeczywistości odgrywją wykresy prezetujące włsości i dymikę wyrych zjwisk. Alizując wykres (model) moż wyciągć róże wioski o przeiegu przedstwiego zjwisk. 64
Oto podstwowe włsości, które odczytujemy lizując wykres określoej zleżości ukcji. Dy jest wykres ukcji y : y ( poziome strzłki ozczją prostokąty rzut wykresu oś O) -5-4 ( pioowe strzłki ozczją prostokąty rzut wykresu oś O) - - - 4 5 6 7 8 - - - -4 N podstwie w/w wykresu ędą odczytywe iżej wymieioe włsości ukcji. ) Dziedzi i ziór wrtości N rysuku D 5,8, 4,. W ) Miejsc zerowe N rysuku pukty przecięci wykresu z osią O, to:,,, Ztem są trzy miejsc zerowe:,,, 7.,,7;. c) Przystość i ieprzystość Przykłdowy rysuek przedstwi ukcję, któr ie jest przyst i ie jest ieprzyst, poiewż jej wykres ie jest i osiowo symetryczy i środkowo symetryczy. d) Okresowość Rysuek przedstwi ukcję, któr ie jest okresow, gdyż jej wykresu ie d się otrzymć przez powieleie ustloego jego rgmetu. Uwg dotycząc poiższych modułów: e), ) h): Odpowiedzi pytie: gdzie? (p. gdzie ukcj rośie, gdzie osiąg wrtość jmiejszą) szukmy osi poziomej (O) czyli dl jkich. Odpowiedzi zś pytie: ile? (p. ile wyosi m ukcji) szukmy osi pioowej (O) czyli chodzi o wrtość ukcji. 65
e) Zki ukcji Zki ukcji, której wykres lizujemy moż zilustrowć stępująco: (zk dodti) (wykres d osią O),7-5 -4 - - - 4 5 6 7 8 (zk ujemy) (wykres pod osią O) (miejsc zerowe) A więc: dl 5; ;,7 dl ;,7;8 - ukcj jest zku dodtiego, - ukcj jest zku ujemego. gór półpłszczyz dol półpłszczyz ) Mootoiczość Mootoiczość tej ukcji moż zilustrowć stępująco: cost. cost. -5-4 - - - 4 5 6 7 8 Fukcj jest mootoicz w iektórych przedziłch (jest przedziłmi mootoicz): - ukcj rośie () w trzech stępujących przedziłch: dl 5; 4, ;, 7;8, - ukcj mleje () w trzech stępujących przedziłch: dl ;, ;4 5;7., g) Różowrtościowość Rysuek wykresu przedstwi wykres ukcji, któr ie jest różowrtościow (istieje co jmiej jed poziom prost mjąc z wykresem więcej iż jede pukt wspóly) h) Ekstremum, wrtość jwiększ i jmiejsz ukcji Rysuek przedstwi wykres ukcji, któr p. dl osiąg miimum lokle rówe, ie jest to jedk wrtość jmiejsz, gdyż istieje od iej wrtość miejsz iż -, p. dl 7 ukcj osiąg wrtość jeszcze miejszą, o rówą 7 4. N rysuku mmy: dl, i to jest jwiększ wrtość ukcji (większej ie m), zś: dl 7, 7 4 i to jest jmiejsz wrtość ukcji (miejszej ie m). Ztem wrtości jwiększej wykresie odpowid pukt ; (-jwyżej położoy), zś wrtości jmiejszej pukt 7; 4 (-jiżej położoy). 66