www.awas.e Publikacje auczycieli eaa Leska Zespół Szkół i. M. Koaskiego w Waszawie O liczbach i wieloiaach eoulliego Paca opublikowaa w Ieeowy Sewisie Oświaowy AWANS.NET
O LICZACH I WIELOMIANACH ERNOULLIEGO Za wócę liczb i wieloiaów eouuliego uważa się powszechie Jakuba eoulliego (654-75). Do hisoii aeayki wpisał się o jako jede z ośiu uczoych o y say azwisku. Największe zasługi Jakub eoulli położył w eoii achuku óżiczkowego oaz achuku pawdopodobieńswa. adając suy posaci: + + +...+,,N + wyzaczył liczby, kóe dziś zwae są liczbai eoulliego ([5],s.9-94). Z wyliczeie ych liczb związae było ówież okeśleie wieloiaów, kóe J. L. Raabe w 85 oku azwał wieloiaai eoulliego. Należy zazaczyć, że sa eoulli zajował się jedyie wieloiaai okeśloyi a zbioze liczb aualych. Dla dowolej zieej zeczywisej wieloiay eoulliego jako piewszy ozważał L. Eule. Rezulay swojej pacy a ea liczb i wieloiaów Jakub eoulli zebał w książce As Cojecadi opublikowaej pośieie w 7 oku ([6],s. 7). LICZY ERNOULLIEGO Zauważy, że Rozpazy fukcję e!...!! f, R ( ) e......!!!!!! Powyższa ówość zachodzi dla. W pukcie = wyażeie!...!...! a waość, a ułaek a gaicę ówą. e ()......! Iloaz () daje się pzedsawić w posaci szeegu c a ocy wiedzeia:
TWIERDZENIE: Jeżeli szeegi a oaz b ają dodaie poieie zbieżości i szeeg b w pukcie = jes óży od zea, o isieje szeeg c o dodai poieiu zbieżości aki, że w pewy ooczeiu puku = zachodzi ożsaość: a Ze względów hisoyczych ozaczyy współczyiki c!. Ozyujey wówczas: Skąd e b!.......!!!......!!!, a poado wobec defiicji iloczyu Couchy ego dwóch szeegów ([4].s.57) ay...!!!!!!!!!!!! c......!!!!!! Na ocy wiedzeia o ideyczości szeegów ([],s.84) ozyujey, że, a akże asępujący układ ówań!!...!!!!!!!, dla =,,,...! Poóży obie soy powyższych ówań pzez (+)!. Ozyujey wówczas:!!!!!!!..., dla =,,,... ()!!!!! Zauważy, że współczyiki pzy kolejych ają posać sybolu Newoa. W związku z y układ ówań () wygląda asępująco..., dla =,,... () Ławo udowodić eodą idukcji zupełej, że układ () jes ozaczoy dla =,,... Pzepowadzając achuki ozyujey z () waości kolejych liczb, o zaczy:
= =- = 6 = 4 =- 5 = 6 = 4 7 = 8 =- 9 = 5 = 66 = 69 =- 7 = 4 = 6 7 5 = 67 6 =- 5 7 = 4867 8 = 798 9 = 764 = Powyższe liczby oszą azwę liczb eoulliego. Moża adieić, że a liczik -cyfowy, a iaowikie jes liczba 8559. Naoias a iaowik ówy 6, zaś liczik jes 7-cyfowy. Jedą z ciekawszych własości liczb eoulliego jes własość =, dla =,5,7,9... Liczby eoulliego posłużyły do okeśleia wieloiaów eoulliego. WIELOMIANY ERNOULLIEGO Defiicja: Wieloiaai eoulliego azyway fukcje okeśloe dla =,,,... wzoai: R. (4), Wieloiay e oża ozyać jako współczyiki ozwiięcia w szeeg według poęg asępującej fukcji e f, e, R, R. (5) Twiedzeie: Fukcja okeśloa wzoe (5) jes fukcją woząca dla wieloiaów eoulliego, z. e. e! Twiedzeie o pozosawiay bez dowodu.
Wykozysując ozyae wcześiej waości liczb eoulliego oaz wzó (4) dosajey od azu posać kilku piewszych wieloiaów eoulliego: 4, 4,, 6,,... okeśloych dla R. WŁASNOŚCI WIELOMIANÓW ERNOULLIEGO. ()=, dla =,,.... ()= - (), dla =,,.... (-)=(-) (), dla =,,...(własość dopełieia) 4. ()= - s s, dla,=,,... 5. (+)- ()= -, dla =,,... 6. ()= ()=, dla =,,... 7. (+)=, dla =,,... Z ysu hisoyczego wiadoo, że powsaie liczb i wieloiaów eoulliego związae jes z wyliczeie suy + + +...+ = k k,, N. Zajdźy związek poiędzy ą suą a liczbai i wieloiaai eoulliego.. W y celu zauważy, że dla - ego wieloiau eoulliego okeśloego dla R, fukcja piewoa a posać: F R,,,,...,
Isoie F ()=. Rozpazy całkę d y, gdzie,y są dowole i usaloe a czas ozuowaia. Całka aka a ses, bowie () jes fukcją ciągłą dla R, więc y badziej a pzedziale <,y>. W yśl podsawowego wiedzeia achuku całkowego ([],s.6) oaz posaci fukcji piewoej dla -ego wieloiau eoulliego ozyujey y d y, Jeżeli w osaiej całce w iejsce y położyy + o powyższy wzó pzyjuje posać d, R, =,,,... Sąd, a akże a ocy własości 5, ozyujey: d. (6) Rozważy asępie suę,, N oaz połóży we wzoze (6) w iejsce R zieą. N Ozyujey wedy d d d d... Sąd ozyujey, że d,,. N Kozysając z własości ozyujey żąday związek,, N. Pzykład: Wyzacz suę kwadaów dwudziesu piewszych liczb aualych.
Z wcześiejszych ozważań ay, że ()= - + oaz =. W ezulacie 87. Wieloiay eoulliego zajdują ówież zasosowaie we wzoze suacyjy Eulea ([4], s.56) oaz do ozyaia ozwiązaia ówaia óżicowego zędu piewszego. ibliogafia [] G. ejje, A. Edej, Wysszije ascjedjeyje fukcji, Nauka, Moskwa 97. [] G.M. Ficheholz, Rachuek óżiczkowy i całkowy,. II, PWN, Waszawa 985. [] A.O. Gelfod, Isczisljeije kojeczych azosjej, Moskwa 959. [4] K. Kopp, Szeegi ieskończoe, PWN, Waszawa 956. [5] Pocze wielkich aeayków, pod edakcją pof. d hab. W. Kysickiego, Nasza Księgaia, Waszawa 989. [6] E.T. Whiake, G.N. Waso, Kus aalizy współczesej,. I, PWN, Waszawa 976. Publikacja dodaa do Achiwu Ieeowego Sewisu Oświaowego AWANS.NET 5 kwieia 4.