WPŁYW WARTOŚCI EKSTREMALNYCH NA ZMIENNOŚĆ STOCHASTYCZNĄ

Jusyna Majewska Uniwersye Ekonomiczny w Kaowicach WPŁYW WARTOŚCI EKSTREMALNYCH NA ZMIENNOŚĆ STOCHASTYCZNĄ Wprowadzenie Idea modelu zmienności sochasycznej (ang. sochasic volailiy, SV) powsała na podsawie modelu Blacka-Scholesa, w kórym założenie o niezależności i jednakowym rozkładzie sóp zwrou jes nierealisyczne. W modelach zmienności sochasycznej zmienność sóp zwrou jes reprezenowana przez proces sochasyczny o pewnej usalonej a priori dynamice. Podsawowe modele SV sanowią konkurencję dla modeli GARCH, ponieważ uwzględniają dodakowy składnik losowy, w efekcie czego zmienność nie jes określona w sposób deerminisyczny. Zgodnie z prowadzonymi badaniami modele SV uwzględniają podwyższoną kurozę, efek auokorelacji niższych rzędów oraz w mniejszym sopniu zależą od zakładanego rozkładu sóp zwrou. Klasa modeli SV jes bogaa, a ich konsrukcja i wyrafinowane meody esymacji paramerów w połączeniu z rozwojem możliwości obliczeniowych powodują, iż są coraz częściej wykorzysywane w badaniach ekonomicznych. W Polsce analizy porównawcze modeli SV z innymi modelami zmienności można znaleźć w pracach Doman i Domana [009], Fiszedera [009], Pajor [010]. Tylko nieliczne prace zagraniczne poruszają kwesię negaywnego wpływu warości odsających i eksremalnych na esymację parameru zmienności. O ile fak braku odporności odchylenia sandardowego jes oczywisy, o yle badania empiryczne wskazują, iż nawe szeregi resz rozbudowanych modeli klasy GARCH (bardzo częso zajmujące w rankingach rafności prognozowania zmienności wysokie miejsca i dobrze opisujące większość empirycznych własności finansowych szeregów czasowych) nadal wykazują grube ogony w obecności obserwacji odsających. Ignorowanie obserwacji eksremalnych może doprowadzić do znaczących obciążeń esymowanych paramerów modeli, niepożądanych efeków podczas esowania warunkowej homoskedasyczności

13 Jusyna Majewska i w konsekwencji obciążonych prognoz. Najnowsze badania wskazują również na niezadowalające wyniki rafności prognoz konkurencyjnego dla GARCH podsawowego modelu sochasycznej zmienności. Celem pracy jes zbadanie zasadności sosowania modeli sochasycznych uwzględniających obserwacje eksremalne na polskim rynku kapiałowym. Oprócz podsawowego modelu SV w analizie porównawczej zosały uwzględnione modele, kórych konsrukcja pozwala lepiej opisywać pojawianie się obserwacji eksremalnych. 1. Podsawowy model zmienności sochasycznej (SV) Rozważamy logarymiczne sopy zwrou y z insrumenu finansowego w czasie ( = 1,,T). Zbiór (I ) [0,T] reprezenuje informację dosępną inwesorowi w czasie, a filracja oddaje powiększanie się dosępnej informacji wraz z upływem czasu. Przyjmujemy zaem, że inwesor nie posiada innych informacji poza ymi, kóre może uzyskać obserwując ceny insrumenu S. Dynamika ruchu cen zgodnie z podsawowym modelem sochasycznej zmienności (ozn. dalej przez SV) Rosenberg [197], Taylor [1986], Hull i Whie [1987], Ghysels, Harvey i Renaul [1996], Johannes i Polson [010] jes opisywana jako: d d S log S = μ d + ν dw (1) V log ν = κ( γ logν ) d + τdw, gdzie (κ,γ,τ) są paramerami opisującymi sochasyczną zmienność v, przy czym τ o zmienność zmienności (ang. volailiy of volailiy), a procesy Wienera S V ( W, W ) mogą być skorelowane. O ile w lieraurze proponuje się różne przypadki procesów, o yle nasze rozważania kierujemy w sronę ych modeli, kóre pozwalają na uwzględnienie opisu obserwacji eksremalnych. Ogólnie uwzględnienie obserwacji eksremalnych w procesie cen insrumenu powoduje zasąpienie równania (1) przez: d log S = () n S μ d + ν dw + d( Z j ), (3) j = n 1 gdzie dodakowy składnik pozwala na opisanie skoków cen o wielkości Z j i w ilości n [Eraker, Johannes, Polson, 003; Johannes, Polson, 010].

WPŁYW WARTOŚCI EKSTREMALNYCH 133 Podsawowy model zmienności sochasycznej zakłada isnienie dwóch, niezależnych od siebie źródeł losowości. Jedno z nich wpływa na sopę zwrou insrumenu finansowego, a drugie na paramer zmienności ceny ego insrumenu. Bezpośrednia dyskreyzacja modelu zapisanego równaniami (1) i () prowadzi do definicji dyskrenego procesu SV dla przyrosów logarymu ceny, kóry zapisujemy [Wes, Harrison, 1997]: h y = exp( / ) ε ε ~ N(0,1) (4) h = μ + φ h μ) + τη ( 1 gdzie h = log v i podlega procesowi auoregresyjnemu AR(1). η ~ N(0, σ η ), (5) Proces SV jes zwykle wykorzysywany do opisu składników losowych w równaniu regresji bądź auoregresji dla obserwowanych sóp zwrou, dlaego wzór (4) zapisuje się już bez sałej μ. Aby zapewnić ścisłą sacjonarność procesu zwykle zakłada się, że φ < 1. Szacowanie logarymicznej zmienności rozpoczyna się dla znanych momenów m 0 i C 0, zakładając, że h 0 N(m 0,C 0 ). Rozkład łączny, dla θ = (φ,τ ), jes posaci p(θ) = p((μ,φ) τ )p(τ ), gdzie p((μ,φ) τ ) N(b 0,τ B 0 ) oraz τ IG(c 0,d 0 ) (odwronym gamma) dla znanych paramerów b 0, B 0, c 0, d 0. Dla szeregu obserwacji y n = (y 1,,y n ) i równań (4) i (5) rozkład a poseriori jes zaem zadany przez: n n n, θ y ) p( θ ) p( y h, θ ) p( h h 1, ). = 1 p( h θ Model (4)-(5) uwzględnia ypową własność szeregów finansowych efek skupiania zmienności, lecz przy zakładaniu lognormalności rozkładu sóp zwrou nie jes wysarczający do opisywania rzeczywisych szeregów sóp zwrou.. Rozszerzenia modelu zmienności sochasycznej Model zmienności sochasycznej z warunkowym rozkładem -Sudena (SV) Założenie warunkowej normalności nie jes wysarczające do wyjaśnienia wysokiej kurozy oraz pojawiania się obserwacji eksremalnych. Fak en zosał wykazany dla procesów z klasy GARCH, dlaego i w przypadku modeli SV wykorzysuje się rozkłady o grubszych ogonach i jes nim najczęściej rozkład -Sudena [Geweke, 1994].

134 Jusyna Majewska Model zmienności sochasycznej rozkładem -sudena jes opisany równaniami [Liesenfeld, Jung, 000], y h = exp( h / ) ε ε ~ ν (6) = μ + φ h μ) + τη η ~ N(0, σ η ) (7) ε = λ z (8) λ ~ IG( ν, ν ), gdzie ε jes ciągiem zmiennych losowych o rozkładzie -sudena z liczbą sopni swobody v >, λ ciągiem zmiennych losowych niezależnych i o jednakowym odwronym rozkładzie gamma. Badania empiryczne pokazują, iż za pomocą procesu SV o warunkowym rozkładzie -Sudena można lepiej opisać pojawianie się obserwacji nieypowych niż za pomocą procesu SV o warunkowym rozkładzie normalnym. Ponado, proces SV o warunkowym rozkładzie -Sudena wymaga zwykle większej liczby sopni swobody niż proces GARCH(p,q). Sochasyczny charaker wariancji warunkowej dla procesu SV h jes odrębnym procesem sochasycznym, co sprawia, iż rozkład brzegowy z ma znacznie grubsze ogony niż rozkład zmiennych worzących proces GARCH(p,q) z ą samą liczbą sopni swobody. Model zmienności sochasycznej ze skokami (SVJ) Badania wykazują, iż szeregi resz modeli GARCH nadal wykazują grube ogony. Widoczne jes o również, choć w nieco mniejszym sopniu, w powsałych rozszerzeniach modeli GARCH. Tłumaczy się o wysępowaniem w finansowych szeregach czasowych obserwacji eksremalnych, zw. addyywnych obserwacji eksremalnych (ang. addiive ouliers). Obserwacje addyywne sanowią isone odchylenie od przewidywanej warości badanego zjawiska ylko w jednym okresie, sąd nie wpływają na warości szeregu w nasępnych okresach. W ślad za wynikami ych badań w obrębie zmienności sochasycznej rozważa się modele, kóre uwzględniają ego ypu obserwacje. Model sochasycznej zmienności ze skokami jes opisany równaniami [Eraker, Johannes, Polson, 003]. y = exp( h / ) ε + J z ε ~ N(0,1) (10) h ( h 1 μ τη η ~ N(0, σ η ) = μ + φ ) + (9) (11) z ~ N ( μ z, σ z ) (1) J ~ B( λ), (13)

WPŁYW WARTOŚCI EKSTREMALNYCH 135 gdzie J jes zmienną losową o rozkładzie Bernoulliego, przyjmującą warość 1 z prawdopodobieńswem λ, gdy pojawi się skok oraz 0, w przeciwnym przypadku rozmiar skoku jes reprezenowany przez zmienną Z. 3. Esymacja paramerów modeli sochasycznej zmienności Modele zmienności sochasycznej coraz częściej są wykorzysywane w badaniach empirycznych, mimo urudnionego procesu esymacji paramerów modelu. Szereg isniejących prac wskazuje na wyższość esymacji paramerów z wykorzysaniem meody Mone Carlo oparej na łańcuchach Markowa (MCMC) nad uogólnioną meodą momenów i quasi-największej wiarygodności [Jacquiera i in., 1994] oraz nad meodą momenów EMM [Gallan, Tauchen, 1996]. Uzyskane w en sposób esymaory są zgodne i efekywne. Esymacja bayesowska polega na wyznaczeniu rozkładu a poseriori paramerów rozkładu p(θ,h y (n) ), gdzie θ jes wekorem paramerów modelu, h wekorem zmiennych ukryych, y (n) macierzą obserwacji. Rozkład en nie jes normalny względem paramerów θ (jes normalny względem nieliniowych funkcji paramerów θ). Jego posać analiyczna nie jes więc w ogólnym przypadku znana. Kszał funkcji gęsości przybliża się meodami symulacyjnymi. Sosuje się do ego meody próbkowania. Najczęściej jes o algorym Meropolisa-Hasingsa. Algorym błądzenia losowego Meropolisa-Hasingsa dla modelu zmienności sochasycznej jes nasępujący: Niech ν = ν dla = 1,, n 1 oraz ν n = τ, wedy n h p( h 1,,, ) ( ;, ) ( ;0, h y θ τ = f N h μ ν f N y e ) dla = 1,, n. Dla = 1,, n: ( j) 1. Usalenie h. ( j). Wylosowanie h z rozkładu N h, ν h ). 3. Wyznaczenie prawdopodobieńswa akcepacji h f N ( h ; μ, ν ) f N ( y ;0, e ) α = min 1, ( j). ( j) h f N ( h ; μ, ν ) f N ( y ;0, e ) 4. Wyznaczenie kolejnej warości h dla α = ( j) h dla 1 α ( j+ 1). h

136 Jusyna Majewska 4. Przykład symulacyjny Eksperymen polega na symulacji szeregu obserwacji długości n = 500 zgodnego z procesem sochasycznej zmienności o rozkładzie normalnym, zgodnie z (4) i (5), z wsępnie usalonymi warościami paramerów h 0 = 0, (μ,φ,τ ) = ( 0.00018,0.99,0.15 ). Dla modelu SV założenia dla warunkowego rozkładu a priori są nasępujące: φ ~ N (0,100), μ ~ N (0,100), τ ~ IG(10 /,0.8 / ), h 0 ~ N(0,100). Założone warości paramerów odpowiadają ypowym rzeczywisym warościom dla finansowych szeregów czasowych. Przykład symulacyjny ma charaker ilusracyjny dla powyższych modeli. Prezenujemy przykład zasosowania modeli SV, SV oraz SVJ do modelowania zmienności w przypadku wysępowania w szeregu obserwacji eksremalnych. Wprowadzamy (losowo) do szeregu 5% obserwacji eksremalnych o różnej wielkości (por. wykres 1) i oszacowujemy paramery rozkładu a poseriori (dla każdego ypu modelu) meodą błądzenia losowego Meropolisa-Hasinga 1. Schema procedury MCMC jes opary na M = 3000 próbkach. Wykres 1 Wykres wysymulowanego szeregu obserwacji y (góra) oraz odpowiadającej mu zmienności exp{h } (dół) 1 Na podsawie wyników Lopesa i Polsona [010] esymację paramerów przeprowadzamy algorymem Meropolisa-Hasingsa dla błądzenia losowego.

WPŁYW WARTOŚCI EKSTREMALNYCH 137 Dla modelu SV dodakowo przyjęo znaną liczbę sopni swobody =, dla modelu SVJ: μ z N( 3,0.01), λ bea(,100), σ z ~ IG(10,0.5). Paramery modelu SVJ zosały ak dobrane, by zgodnie z założeniami modelu, uwzględniać (średnio na rok) pięć obserwacji eksremalnych. Wykres przedsawia dopasowanie zmienności sochasycznej SV, SV oraz SVJ (do zmienności rzeczywisej wyznaczonej na podsawie wysymulowanego szeregu) po wprowadzeniu do szeregów obserwacji eksremalnych na poziomie 5%. Wykres Dopasowanie zmienności sochasycznej (SV), o rozkładzie -sudena (SV) i ze skokami (SVJ) Analizując wykres, zgodnie z przewidywaniami widać, że model podsawowy sochasycznej zmienności najgorzej dopasowuje się do danych, w kórych wysępują obserwacje eksremalne. Model sochasycznej zmienności o rozkładzie -sudena w zachowaniu jes dość podobny do modelu SV nie reaguje w oczekiwany sposób na obserwacje eksremalne. Najlepsze dopasowanie jes widoczne w przypadku modelu zmienności sochasycznej ze skokami. W ym przypadku należy mieć na uwadze fak, iż konsrukcja modelu sochasycznej zmienności ze skokami (w sopach zwrou insrumenu finansowego) pozwala na dobór paramerów w aki sposób, by uwzględniały określoną liczbę obserwacji eksremalnych. W związku z ym isona w ym momencie jes idenyfikacja obserwacji eksremalnych w szeregu danych finansowych.

138 Jusyna Majewska 5. Dopasowanie modeli sochasycznej zmienności do danych rzeczywisych Analizie poddano szereg dziennych logarymicznych sóp zwrou indeksu WIG0 o długości 6 miesięcy (03.09.007-9.0.008 oraz 01.0.01- -31.07.01). Okresy badawcze celowo zosały wybrane w aki sposób, by przedsawiały syuacje na polskim rynku kapiałowym w okresie zmiany okresu rendu wzrosowego (hossa) w rend spadkowy (bessa) oraz w okresie sagnacji. Podsawowe saysyki dla szeregów zosały zaprezenowane w ab. 1. Dla wszyskich przypadków odnoowujemy ujemną skośność rozkładów dla indeksu. Tes odporny Jarque-Berra wskazuje na brak podsaw do odrzucenia hipoezy o normalności rozkładu dla okresu 6-miesięcznego w okresie sagnacji dla WIG0. Na podsawie współczynnika kurozy wnioskujemy, że rozkłady sóp zwrou dla obu okresów są lepokuryczne. Opierając się na wykresach kwanylowych sprawdzamy, czy w analizowanych szeregach wysępują obserwacje nieypowe (wykresy 3 i 4). Znajdujemy obserwacje odsające od warości kwanyli normalnych. Z ego względu dalej analizujemy wszyskie szeregi. Celem analizy jes sprawdzenie zachowania wybranych modeli dynamiki cen insrumenów finansowych na danych hisorycznych, kóre polega na usaleniu punku wyjściowego w przeszłości i przeprowadzeniu symulacji cen. Tabela 1 Wybrane saysyki opisowe dla szeregów dziennych logarymicznych sóp zwrou indeksu WIG0 WIG0 Okres badawczy od 03.09.007 01.0.01 do 9.0.008 31.07.01 n (w dniach) 13 15 Odchylenie sandardowe 0,0175 0,01068 Minimum -0,06967-0,03345 Maksimum 0,03846 0,03431 Kuroza 1,39 0,4 Skośność -0,3-0, es Jarque-Berr p-value Źródło: Na podsawie danych ze srony hp://sooq.pl. 11,573 0,003,5371 0,8

WPŁYW WARTOŚCI EKSTREMALNYCH 139 Wykresy kwanylowe dla logarymicznych sóp zwrou WIG0 dla okresu badawczego 01.0.01-31.07.01 Wykres 3-0.03-0.01 0.01 0.03 - -1 0 1 Theoreical Quaniles Wykres kwanylowy dla logarymicznych sóp zwrou WIG0 dla okresu badawczego 03.09.007-9.0.008 Wykres 4 Sample Quaniles -0.06-0.0 0.0 Sample Quaniles - -1 0 1 Theoreical Quaniles W najprosszy sposób ocenę jakości szeregów można sprawdzić dopasowując funkcje gęsości rozkładów szeregów wygenerowanych zgodnie z modelami dynamiki cen do rzeczywisej funkcji gęsości. Dla właściwej oceny posługujemy się esami zgodności dopasowania rozkładów oparych na dysrybuancie empirycznej. Zakładamy, że próba x = (x 1,,x n ) pochodzi z rozkładu o dysrybuancie F θ (x), a F emp (x) jes dysrybuaną empiryczną. Tesujemy wedy hipoezę H 0 : F emp (x) = F θ (x) przeciwko H 1 : F emp (x) F θ (x). Do zweryfikowania hipoezy zosały wybrane nieparameryczne saysyki Kołmogorowa-Smirnova (KS) i Andersona Darlinga (AD), kóre opierają się na obliczeniu odległości dysrybuany empirycznej od warości dysrybuany założonej. Zasosowanie esu AD jes w szczególności uzasadnione, gdyż dobrze odzwierciedla dopasowanie ogonów rozkładu.

140 Jusyna Majewska Dla każdego z wcześniej omówionych modeli dynamiki cen i każdego z rozważanych okresów wykonano nasępujące kroki: oszacowano paramery modeli oraz wykonano esy zgodności (ab. -4), wyznaczono warości saysyk dla esów zgodności dopasowania wygenerowanych rozkładów do danych, kóre pojawiły się bezpośrednio po okresie badanych prób (ab. 5). Warości wyesymowanych paramerów modelu SV oraz saysyk esowych dla danych hisorycznych Tabela Paramery Saysyki (p-value) μ ϕ τ KS AD 0,08 0,93 0,07 0,173 (0,064) -0,056 (0,014) 0,001 0,89 0,00 0,78 (0,188) 0,613 (0,169) Warości wyesymowanych paramerów modelu SV oraz saysyk esowych dla danych hisorycznych Tabela 3 Paramery Saysyki (p-value) μ ϕ τ KS AD 0,045 0,99 0,09 0,16 (0,054) 0,349 (0,048) 0,00 0,95 0,01 0,846 (0,167) 1,399 (0,047) Warości wyesymowanych paramerów modelu SVJ oraz saysyk esowych dla danych hisorycznych Tabela 4 Próba 03.09.007-9.0.008 01.0.01-31.07.01 Próba 03.09.007-9.0.008 01.0.01-31.07.01 03.09.007-9.0.008 01.0.01-31.07.01 Paramery Saysyki (p-value) μ ϕ τ μ z σ z λ KS AD 0,031 0,99 0,07-0,004 0,0155 0,017 0,358 0,53 (0,73) (0,54) 0,03 0,94 0,019-0,003 0,0176 0,00 0,644 3,65 (0,003) (0,06)

WPŁYW WARTOŚCI EKSTREMALNYCH 141 Najlepiej do 6-miesięcznych danych z okresu sagnacji na rynku kapiałowym dopasowuje się model sochasycznej zmienności z warunkowym rozkładem normalnym, naomias zbędne jes założenie o zgodności rozkładów rzeczywisego i pochodzącego z modelu sochasycznej zmienności ze skokami. Dla okresu 6-miesięcznego z okresu zmiany rendu na rynku kapiałowym najlepiej dopasowuje się model sochasycznej zmienności ze skokami. Z punku widzenia przedmiou ej pracy znacznie ineresujące jes przedsawienie w pracy wyników prognoz dla 008 r. (czyli prognoza na marzec maj 008) na podsawie oszacowaniach paramerów modeli z przełomu 007/008. Tabela 5 Warości saysyk esowych wyesymowanych modeli w zesawieniu z zaobserwowanymi danymi z przyszłego 3-miesięcznego okresu 008 r. Próba 03.09.007-9.0.008 SV SV SVJ KS AD KS AD KS AD 0,06 3,398 0,386,89 0,076 4,873 (0,010) (0,019) (0,07) (0,034) (0,056) (0,087) Model SV na podsawie półrocznych danych nie jes w sanie dobrze opisać zachowania się sóp zwrou na okres kolejnych 3 miesięcy. Podobną syuację odnoowujemy dla modelu SV z warunkowym rozkładem -Sudena. Model sochasycznej zmienności na podsawie danych półrocznych jes w sanie dobrze pisać zachowanie się sóp zwrou na okres kolejnych 3 miesięcy. Isony jes fak, iż w przypadku modelu SVJ sayska KS osiągnęła poziom zbliżony do warości kryycznej na poziomie isoności 0,05. Podsumowanie Dokonaliśmy oceny wpływu obserwacji eksremalnych na zmienność szacowaną na podsawie podsawowego modelu sochasycznej zmienności, modelu pozwalającego na uwzględnianie grubych ogonów oraz modelu uwzględniającego skoki sóp zwrou insrumenu finansowego. Modele zmienności sochasycznej z meodą szacowania paramerów Mone Carlo z łańcuchami Markowa należą do grupy modeli skomplikowanych obliczeniowo. Uwzględnianie warości eksremalnych w szacowaniu poziomu ryzyka jes jednak obecnie niezbędne. Badania empiryczne prowadzone w lieraurze na rynkach zagranicznych podkreślają konieczność modelowania cen z uwzględnieniem skoków cen insrumenów finansowych, a powyższe badanie powierdziło, iż również na rynku

14 Jusyna Majewska polskim waro sosować ego ypu modele nawe, jeśli inensywność wysępowania skoków cen na rynku polskim jes znacznie niższa w porównaniu z rynkiem zagranicznym. Lieraura Doman M., Doman R. (009): Modelowanie zmienności i ryzyka. Meody ekonomerii finansowej. Oficyna Wolers Kluwer Business, Kraków. Eraker B., Johannes M., Polson N. (003): The Impac of Jumps in Equiy Index Volailiy and Reurns. Journal of Finance, 58. Fiszeder P. (009): Modele klasy GARCH w empirycznych badaniach finansowych. Wydawnicwo Naukowe UMK, Toruń. Gallan A.R., Tauchen G. (1996): Which Momens o Mach? Economeric Theory, 1. Geweke J., (1993): Bayesian Treamen of he Independen Suden- Linear Model. Journal of Applied Economerics, 8. Ghysels E., Harvey A.C., Renaul E. (1996): Sochasic Volailiy. In: Handbook of Saisics: Saisical Mehods in Finance. Eds. C.R. Rao, G.S. Maddala. Norh-Holland, Amserdam. Hull J., Whie A. (1987): The Pricing of Opions on Asses wih Sochasic Volailiies. Journal of Finance, 4. Jacquier E., Polson N.G., Rossi P.E. (1994): Bayesian Analysis of Sochasic Volailiy Models. Journal of Business and Economic Saisics, 0. Johannes M., Polson N. (010): MCMC Mehods for Coninous-ime Financial Economerics. In: Handbook of Financial Economerics. Vol.. Eds. Y. Ai-Sahalia, L.P. Hansen. Princeon Universiy Press. Liesenfeld R., Jung R.C. (000): Sochasic Volailiy Models: Condiional Normaliy Versus Heavy-ailed Disribuions. Journal of Applied Economerics, 15. Lopes H.F., Polson N.G. (010): Bayesian Inference for Sochasic Volailiy Modeling. In: Rehinking Measuremen and Reparing: Uncerainy, Bayesian Analysis and Exper Judgemen. Ed. K. Böcker. Risk Books, London. Pajor A. (010): Wielowymiarowe procesy wariancji sochasycznej w ekonomerii finansowej. Ujecie bayesowskie. Wydawnicwo Uniwersyeu Ekonomicznego, Kraków. Rosenberg B. (197): The Behaviour of Random Variables wih Nonsaionary Variance and he Disribuion of Securiy Prices. Working Paper. Taylor S.J. (1986): Modelling Financial Time Series. Wiley, New York. Wes M., Harrison J. (1997): Bayesian Forecasing and Dynamic Models (nd ediion). Springer, New York.

WPŁYW WARTOŚCI EKSTREMALNYCH 143 THE IMPACT OF EXTREME OBSERVATIONS ON STOCHASTIC VOLATILITY Summary This aricle akes up validiy of he use (on he Polish capial marke) of sochasic models which ake ino accoun exreme observaions. In he comparaive analysis aside from he SV been considered models whose srucure can beer describe he appearance of exreme observaions.