Algebra Przekształcenia liniowe Aleksandr Denisiuk denisjuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych zamiejscowy ośrodek dydaktyczny w Gdańsku ul. Brzegi 55 80-045 Gdańsk Algebra p.
Przekształcenia liniowe Najnowsza wersja tego dokumentu dostępna jest pod adresem http://users.pjwstk.edu.pl/~denisjuk/ Algebra p. 2
Przekształcenie zwiazane z macierza Niech dane będza przestrzenie kolumn R n oraz R m. Niech dana będzie m n macierz A ϕ A : R n R m, ϕ A : x x 2. x n x A () +x 2 A (2) + +x n A (n), gdzie A (),...,A (n) kolumny macierzy A. Y = ϕ A (X) R m, y i = n j= a ij x j, i =,...,m X,Y R n ϕ A (X +Y) = ϕ A (X)+ϕ A (Y) X R n, λ R ϕ A (X +Y) = ϕ A (X)+ϕ A (Y) Algebra p. 3
Przekształcenie Liniowe Definicja. Niech dane będa dwie przestrzenie liniower n ir m. Odwzorowanieϕ : R n R m,x ϕ(x) nazywa się przekształceniem liniowym, jeżeli. α R, R n X ϕ(αx) = αϕ(x) 2. X,Y R n ϕ(x +Y) = ϕ(x)+ϕ(y) Algebra p. 4
Macierz przekształcenia liniowego Niech dane będzie przekształcenie liniowe ϕ : R n R m. ϕ(x) = ϕ( n ϕ(e (j) ) = j= a j x j E (j) ) = n. a mj j= x j ϕ(e (j) ) Definicja 2. Macierza przekształcenia liniowego nazywamy zdefiniowana wyżej macierz o wyrazacha ij Twierdzenie 3. Między przekształceniami liniowymir n R m a macierzami m n ustalone jest wzajemnie-jednoznaczne odwzorowanie. Algebra p. 5
Przykłady przekształceń liniowych Przykład 4. Przekształcenie jednostkowe Symetria względem osixna płaszczyźnie Obrót o katθ Obrót w przestrzenix y z x Funkcja liniowar n R Algebra p. 6
Działania liniowe na przekształceniach liniowych Twierdzenie 5. αϕ A +βϕ B = ϕ αa+βb Algebra p. 7
Dodawanie macierzy Definicja 6. Suma dwóch macierzyaib tego samego wymiary jest macierz C = A+B tegoż wymiary, taka żec ij = a ij +b ij. 0 Przykład 7. 2 + 2 = 4. 3 4 7 Algebra p. 8
Własności dodawania macierzy A+B = B +A przemienność, (A+B)+C = A+(B +C) łaczność A+O = O+A = A macierz zerowa jest elementem neutralnym, dla każdej macierzy A istnieje macierz przeciwna A, taka że A+( A) = ( A)+A = O. A B = A+( B). Algebra p. 9
Mnożenie macierzy przez liczbę Definicja 8. Iloczynem liczby rzeczywistej λ i macierzy A jest macierz C = λa tego samego wymiary, taka żec ij = λa ij. 5 5 Przykład 9. 5 2 0 = 0 0. 3 5 5 Algebra p. 0
Właściwości mnożenia macierzy przez liczbę Mnożenie macierzy przez liczbę posiada własności liniowości: A = A, (αβ)a = α(βa), α(a+b) = αa+αb, (α+β)a = αa+βa. Algebra p.
Superpozycja przekształceń liniowych Twierdzenie 0. ϕ AB = ϕ A ϕ B Definicja. Iloczynem macierzy A wymiaru n r przez macierz B wymiarur mjest macierzc wymiarun m, której elementc ij jest równy c ij = a i b j +a i2 b 2j + +a ir b rj = r a ik b kr. k= Przykład 2. 2 3 ( ) 0 7 2 3 2 0 4 = 2 6. 2 3 4 5 3 8 4 Uwaga 3. AB BA Algebra p. 2
Właściwości mnożenia macierzy Założymy, że we wszystkich przypadkach mnożenie macierzy jest określone poprawnie. A(BC) = (AB)C, OA = O, AO = O, a IA = AI = A, b A(B +C) = AB +AC, (A+B)C = AC +BC, λ R A(λB) = λ(ab). a w tym przykładzie O w każdym przypadku oznacza zerowa macierz różnych wymiarów. b w tym przykładzie w każdym przypadku I oznacza jednostkowa macierz różnych wymiarów. Algebra p. 3
Rzad iloczynu macierzy Twierdzenie 4. rankab min{ranka,rankb} Dowód. NiechC = AB Dla wierszyc(i) i kolumnc (j) macierzyc: C (i) = A (i) B, C (j) = AB (j). Niechr = ranka oraza (),...,A (r ) będa bazowymi A (k) = r i= λ kia (i) dlar < k n WięcC(k) = A (k) B = ( r i= λ ) kia (i) B = r i= λ ki( A(i) B ) = r i= λ kic (i) dlar < k n C (),...,C (n) = C(),...,C (r ) rankc r verte Algebra p. 4
Rzad iloczynu macierzy Twierdzenie 5. rankab min{ranka,rankb} Dowód. cd. Analogicznie dlab Niechr2 = rankb orazb (),...,B (r 2) będa bazowymi B (k) = r 2 j= µ kjb (j) dlar 2 < k m WięcC (k) = AB (k) r2 ) = A( j= µ kjb (j) = r2 j= µ ( kj AB (j) ) = r 2 i= µ kjc (j) dlar 2 < k n C (),...,C (m) = C (),...,C (r 2) rankc r 2 Algebra p. 5
Macierze kwadratowe M n (R n ) = M n zbiór macierzy kwadratowych n n I M n macierz jednostkowa elementy macierzy jednostkowej δ ij = (symbol Kroneckera) A M n, AI = IA = A {, jeżeli i = j, 0, jeżeli i j I(λ) = λi macierz skalarna A M n, AI(λ) = I(λ)A = A Twierdzenie 6. NiechZ M n oraz A M n,az = ZA. Wtedy Z = I(λ). Dowód. E ij Algebra p. 6
Macierz nieosobliwa Definicja 7. MacierzA Mn jest nieosobliwa, jeżeliranka = n. MacierzA Mn jest odwracalna, jeżeli istniejea (AA = I). Twierdzenie 8. Macierz jest odwracalna wtedy i tyko wtedy, gdy jest nieosobliwa Dowód.. n = ranki = ranka A ranka 2. (a) R n = E (),...E (n) = A (),...A (n) (b) E (j) = n i= a ji A(i) (c) I = AA Wniosek 9. NiechA M n będzie macierza nieosobliwa. WtedyA t też jest macierza nieosobliwa oraz(a t ) = (A ) t. Algebra p. 7
Mnożenie przez macierz nieosobliwa Twierdzenie 20. NiechB ic będa macierzami nieosobliwymi względnie m morazn n. Wtedy dla dowolnejm nmacierzya rankbac = ranka Dowód. rankbac rankba = rankba(cc ) = rank(bac)c BAC Wniosek 2. NiechA,B M n orazab = I (lubba = I). Wtedy B = A. Wniosek 22. NiechA,B,...,C,D M n będa nieosobliwe. Wtedy AB...CD teżbędzie macierza nieosobliwa, oraz (AB...CD) = D C...B A Algebra p. 8
Macierze elementarne F s,t F s,t =... 0...... 0 F s,t = I E ss E tt +E st +E ts..., s t F s,t A zamiana wierszy A (s) i A (t) Algebra p. 9
Macierze elementarne F s,t (λ) F s,t (λ) =... F s,t (λ) = I +λe st λ......, s t F s,t (λ)a A (s) A (s) +λa (t) Algebra p. 20
Macierze elementarne F s (λ)... F s (λ) = λ... λ 0 F s (λ) = I +(λ )E ss F s (λ)a A (s) λa (s) Algebra p. 2
Sprowadzenie do postaci jednostkowej Twierdzenie 23. NiechA M n będzie nieosobliwa. Wtedy za pomoca przekształceń elementarnych A można sprowadzić do postaci macierzy jednostkowej. Dowód.. Sprowadzamy do postaci schodkowej 2. Sprowadzamy do postaci jednostkowej Wniosek 24. NiechA M n będzie nieosobliwa. Wtedy za pomoca mnożenia przed macierze elementarne A można sprowadzić do postaci macierzy jednostkowej: I = P k...p A, gdziep,...,p k sa macierze elementarne. Wniosek 25. P k...p = A Algebra p. 22
Obliczenie macierzy odwrotnej (A I) P (P A P ) P 2 (P 2 P A P 2 P )... Przykład 26.. 2. 0 2 0 = 2 =... P k (P k...p 2 P A P k...p 2 P ) = (I A ) 0 2 0 0 2 2 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 Algebra p. 23
Google Uporzadkować strony (wyniki wyszukiwania) Ważność strony P jest I(P) Niech strona P j ma l i odnośników Jeżeli P j ma link na P i, strona P j przekazuje I(P j )/l j swojej ważności na P i Ważność P i wyniesie I(P i ) = I(P j ), l j P j B i gdzie B i jest zbiorem stron z odnośnikami do P i Algebra p. 24
Google podejście algebraiczne Maciezr hiperlinków H: h ij = { l j, jeżelip j B i 0 w pozostałych przypadkach h ij > 0 i h ij = H jest macierza stochastyczna Wektor ważności I = P. P n Równanie ważności I = HI I jest wektorem stacjonarnym przekształcenia ϕ H Algebra p. 25
Google przykład H = 0 0 0 0 0 0 3 0 2 0 2 3 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 3 0 0 3 0 0 0 0 3 3 0 0 2 0 0 0 0 3 0 0 2 0 0 0 0 3 3 0 Algebra p. 26
Google ważności wyników I = 0,0600 0,0675 0,0300 0,0675 0,0975 0,2025 0,800 0,2950 Algebra p. 27