Wprowadzenie do grafiki maszynowej. Wprowadenie do geometrii maszynowej

Transkrypt

1 Wprowadzenie do grafiki maszynowej. Wprowadenie do geometrii maszynowej Aleksander Denisiuk Uniwersytet Warmińsko-Mazurski Olsztyn, ul. Słoneczna 54 1 / 61

2 Wprowadenie do geometrii maszynowej Najnowsza wersja tego dokumentu dostępna jest pod adresem 2 / 61

3 3 / 61

4 Definicja wektora Wektorem nazywa się skierowany odcinek. A Kierunek wektora pokazuje strzałka. Punkt A jest poczatkiem wektora Punkt B jest końcem wektora Oznaczenie: a = AB B 4 / 61

5 Równość wektorów Dwa wektory sa równe, jeżeli jeden z nich może zostać otrzymany z drugiego poprzez przesunięcie równoległe. Relcja równości wektorów jest relacja równoważności: a = a (symetryczna) a = b b = a (zwrotna) a = b,b = c a = c (przechodnia) 5 / 61

6 Wektory, cd Dwa wektory sa zgodnie kolinearne, jeżeli sa równoległe i maja ten sam zwrot. Dwa wektory sa niezgodnie kolinearne, jeżeli sa równoległe i maja przeciwne zwroty. Długość odcinka AB, przedstawiajacego wektor a, nazywa się jego długościa AB = a = a wektor nazywa się zerowym, jeśli jego poczatek i koniec się pokrywaja: AA = 0 6 / 61

7 Dodawanie wektorów Suma wektorów a i b nazywa się wektor a+b, otrymany z tych wektorów badź równych im wektorów jak na poniższym rysunku a b a+b 7 / 61

8 Dodawanie wektorów przemienne i łaczne a+b = b+a a (a+b)+c = a+(b+c) b b+a a+b a b c a+b a b b+c 8 / 61

9 Odejmowanie wektorów Wektor a b jest wektorem, suma którego z b a b b a 9 / 61

10 Nierówność trójkata a+b a + b a+b+ +c a + b + + c 10 / 61

11 Mnożenie wektora przez liczbę Iloczynem wektora a i liczby λ R jest wektor λa λa = λ a λa i a sa zgodnie kolinearne, jeżeli λ > 0 oraz niezgodnie kolinearne, gdy λ < 0 0 a = 0 λ(µa) = (λµ)a (λ+µ)a = λa+µa λ(a+b) = λa+λb 11 / 61

12 Kombinacje wektorów Niech dany będzie układ wektorów {a 1,...,a k } oraz wagi (liczby rzeczywiste) α 1,...,α k Wektor a = α 1 a 1 + +α k a k nazywa się kombinacja liniowa wektorów a 1,...,a k. 12 / 61

13 Iloczyn skalarny wektorów Katem między wektorami a i b nawyzamy kat między wektorami a i b, które maja wspólny poczatek Iloczynem skalarnym wektorów a i b jest liczba a b (ab): ab = a b cosϕ (ϕ jest katem międy a i b) ab = ba a 2 = aa = a 2 (λa)b = λ(ab) jeżeli e = 1, to (λe)(λe) = λµ ab = 0 a b albo jeden z wektorów jest zerowy 13 / 61

14 Projekcja wektora na prosta Rzut (projekcja) wektora a na prosta jest wektor ā, którego poczatkiem jest rzut poczatka wektora a na prosta, a końcem rzut końca wektora a na tę prosta. ab = āb, gdzie ā jest rzutem a na prosta, zawierajac a b (a+b)c = ac+bc Jeżeli a, b, c sa trzema niezerowymi wektorami, nie równoległymi jednocześnie jednej płaszczyźnie, to ar = 0,br = 0,cr = 0 r = 0 14 / 61

15 Iloczyn wektorowy Iloczynem wektorowym wektorów a i b jest wektor a b: 0, jeżeli jeden z wektorów jest zerowy lub wektory sa równoległe Wpozostałych przypadkach a b jest prostopadły do płaszczyzny a,b długość wektora a b jest równa polu powierzchni równoległoboku wyznaczonego przez wektory a, b układ wektorów a, b, a b jest zorientowany dodatnio a b = b a a b = a b sinθ, gdzie θ jest katem między a i b (λa) b = λ(a b) 15 / 61

16 Projekcja wektora na płaszczyznę Rzutem (projekcja) wektora a na płaszczyznę jest wektor a, którego poczatek jest rzutem poczatka a na płaszczyznę, a końcem rzut końca a. Rzutu równych wektorów sa równe Rzut sumy wektorów jest suma rzutów Jeżeli wektor a jest rzutem a na płaszczyznę, prostopadła do b, to a b = a b (a+b) c = a c+b c 1. c = 0 2. c = 1 Niech a oraz b będa rzutami odpowiednio a oraz b na płaszczyznę, prostopadła do c. Wtedy mnożenie wektorowe przez c będzie obrotem o π 2 (a b) 2 = a 2 b 2 ( a b cosθ) 2, gdzie θ jest k atem między wektorami 16 / 61

17 Współrzędne wektora względem bazy Niech dane będa trzy niezerowe, niekomplanarne wektory e 1, e 2, e 3. Wtedy każdy wektor r może zostać jednoznacznie przedstawiony jako suma r = r 1 e 1 +r 2 e 2 +r 3 e 3 Niech r = r 1 e 1 +r 2 e 2 +r 3 e 3 będzie inna reprezentacja 1. r jest równoległy do jednego z wektorów e 2. r jest równoległy do płaszczyzny jednej z pary wektorów e 3. r nie jest równoległy do żadnej z par wektorów e Wektory e 1, e 2, e 3 nazywane sa baza przestrzeni wektorów. Liczby r 1, r 2, r 3 nazywane sa współrzędnymi wektora r w bazie e 1, e 2, e / 61

18 Działania na wektorach Niech dana będzie baza e 1, e 2, e 3. Niech dane będa dwa wektory: r o współrzędnych (r 1,r 2,r 3 ) oraz r o współrzędnych (r 1,r 2,r 3 ). Wtedy wektor r±r będzie miał współrzędne (r 1 ±r 1,r 2 ±r 2,r 3 ±r 3 ). Niech dane będa wektor r o współrzędnych (r 1,r 2,r 3 ) oraz liczba λ R. Wtedy wektor λr będzie miał współrzędne (λr 1,λr 2,λr 3 ). 18 / 61

19 Baza kartezjańska Niech dana będzie baza i, j, k składajaca się z wektorów jednosktowych, wzajemnie prostopadłych i zorientowanych dodatnio. Baza i, j, k nazywa się baza kartezjańska a = x a i+y a j+z a k = (ai)i+(aj)j+(ak)k Liczby cosα = ai aj ak a, cosβ = a, cosγ = a nazywane sa cosinusy kierunkowe 19 / 61

20 Działania metryczne w bazie kartezjańskiej Niech dana będzie kartezjańska baza i, j, k. Wtedy ab = x a x b +y a y b +z a z b a b ma współrzędne y a z a y b z b, x a z a x b z b, x a y a x b y b i j k a b = x a y a z a x b y a z b 20 / 61

21 Zmiana bazy Niech dane będa dwie bazy: E = {e 1,e 2,e 3 } oraz F = {f 1,f 2,f 3 }. Wtedy Wektory (e 1,e 2,e 3 ) maja jednoznaczne rozłożenie po e 1 = a 11 f 1 +a 21 f 2 +a 31 f 3, bazie (f 1,f 2,f 3 ): e 2 = a 12 f 1 +a 22 f 2 +a 32 f 3, ( e 2 = a 13 f 1 +a 23 f 2 +a 33 f 3. ) ( ) e 1 e 2 e 3 = f1 f 2 f 3 A, gdzie A jest macierza kolumn współrzędnych wektorów E w bazie F wektor a w bazie F będzie miał współrzędne A x a y a z a, gdzie x a y a z a jego współrzędne w E. A nazywa się macierza przejścia od E do F (zmiany bazy) 21 / 61

22 Zmiana bazy. Uwagi ( ) ( ) ( ) ( e 1 e 2 e 3 ) = f1 f 2 f 3 A f1 f 2 f 3 = e1 e 2 e 3 A 1, gdzie A 1 jest macierza odwrotna. Jeżeli obie bazy sa kartezjańskie, to macierz przejścia jest ortogonalna wektory-kolumny sa jednostkowe i wzajemnie prostopadłe to samo dotyczy wierszy dla macierzy ortogonalnych A 1 = A t 22 / 61

23 Przekształcenia Niech dane będa: układ wektorów E = {e 1,e 2,e 3 } oraz baza F = {f 1,f 2,f 3 }, ( ) ( ) e 1 e 2 e 3 = f1 f 2 f 3 A. przekwształceniem liniowym nawyza się odwzorowanie a = x a y a z a x a e 1 +y a e 2 +z a e 3 współrzędne wektora a po przekształceniu będa równe A x a y a z a A nazywa się macierza przekształcenia wynik przekształcenia zapisuje się Aa 23 / 61

24 Przekształcenia. Uwagi macierz A składa się z kolumn współrzędnych układu E w bazie F macierz A składa się z kolumn współrzędnych wektorów bazy F po przekształceniu jeżeli macierz A jest odrwacalna, to E też jest baza oraz przekształcenie zgada się z zamiana bazy E F przekształcenie φ : R n R n jest liniowym wtedy i tylko wtedy, gdy 1. dla dowolnych dwóch wektorów a,b spełniono φ(a+b) = φ(a)+φ(b) 2. dla dowolnego wektoru a oraz dowolnej liczby rzeczywistej λ spełniono φ(λa) = λφ(a) 24 / 61

25 Przekształcenia. Zmiana bazy* Niech dane będa dwie bazy: E = {e 1,e 2,e 3 } oraz F = {f 1,f 2,f 3 }, ( ) ( ) e 1 e 2 e 3 = f1 f 2 f 3 T Niech przekształcenie będzie dane w bazie E macierza A Wtedy w bazie F to przekształcenie dane będzie macierza TAT 1 25 / 61

26 Obrót ¼ Ò Ó ¼ ½ ¼ ¼ Ó Ò ½ ¼ Ø ÖÓØ Ø ÓÒº R θ = ÙÖ ÁÁº «Ø Ó ÖÓØ Ø ÓÒ Ø ÖÓÙ Ò Ð º Ì ÓÖ Ò ¼ Ð Ü Ý ( ) cosθ sinθ sinθ cosθ 26 / 61

27 Skalowanie S λ1,λ 2 = ( ) λ1 0 0 λ 2 27 / 61

28 Mnożenie przekształceń Niech dane będa dwa przekształcenia : A oraz B Iloczynem (superpozycja) przekształceń A B jest przekształcenie AB(a) = A(Ba) Macierza A B jest macierz AB Dlatego zamiast A B będziemy pisać AB Macierza przekształcenia odwrotnego do A jest macierz A 1 Twierdzenie 1. Każde przekształcenie można rozłożyć w iloczyn obrotu oraz skalowania (o różnych współczynnikach) Twierdzenie 2. Każde przekształcenie sztywne, które nie zmienia orientacji, jest obrotem 28 / 61

29 ÁÁº½ Ì Ú ØÓÖ Ú Ò ÖÓØ Ø ÖÓÙÒ Ùº Ì Ú ØÓÖ Ú½ Ú ³ ÙÖ ÓÒØÓ Ùº Ì Ú ØÓÖ Ú¾ Ø ÓÑÔÓÒ ÒØ Ó Ú ÓÖØ Ó ÓÒ Ð ØÓ Ùº Ì ÔÖÓ Ø ÓÒ Ú Ú¾ ÖÓØ Ø ¼ Æ ÖÓÙÒ Ùº Ì Ð Ò Ñ ÒØ Ò Ø ÙÖ Ú ØÓÖ Ñ Ø Ø Ö Ø Ò Ð º ÐÐ Obrót 3D ¼ Ù Ú½ Ú Ê Ù Úµ Ú¾ Ú 29 / 61

30 Macierz obrotu 3D Obrót dookoła osi wychodzacej z poczatku układu współrzędnych w kierunku u = (u 1,u 2,u 3 ) o kat θ stopni. (1 c)u 2 1 +c (1 c)u 1u 2 su 3 (1 c)u 1 u 3 +su 2 (1 c)u 1 u 2 +su 3 (1 c)u 2 2 +c (1 c)u 2u 3 su 1, (1 c)u 1 u 3 su 2 (1 c)u 2 u 3 +su 1 (1 c)u 2 3 +c gdzie c = cosθ, s = sinθ. 30 / 61

31 Katy : odchylenie, pochylenie, przechylenie Û Ý Ü È Ø Þ ÊÓÐÐ R = R θy,jr θp,ir θr,k 31 / 61

32 Macierze obrotów R θp,i R θy,j R θr,k 32 / 61

33 Skalowanie 3D S λ1,λ 2,λ 3 = λ λ λ 3 33 / 61

34 Działania na punktach Układ współrzędnych afiniczne Współrzędne jednorodne Obrót Skalowanie 34 / 61

35 Odejmowanie punktów Działania na punktach Układ współrzędnych afiniczne Współrzędne jednorodne Obrót Skalowanie Różnica punktów B i A jest wektor AB. A B A = AB A = B B A = 0 (B A)+(C B) = (C A) = AC B 35 / 61

36 Dodanie do punktu wektora Działania na punktach Układ współrzędnych afiniczne Współrzędne jednorodne Obrót Skalowanie Suma punktu A oraz wektora a jest punkt B, który zgadza się z końcem wektora a, jeżeli poczatek tego wektora umieścić w A. A B = A+ AB (A+a 1 )+a 2 = A+(a 1 +a 2 ) Dodanie wektora nazywa się przesunięciem róznoległym a B 36 / 61

37 Kombinacja afiniczna punktów Działania na punktach Układ współrzędnych afiniczne Współrzędne jednorodne Obrót Skalowanie Niech dany będzie układ punktów {A 1,...,A k } oraz wagi (liczby rzeczywiste) α 1,...,α k, takie że α 1 + +α k = 1 Ustalmy dowolny punkt O Kombinacja afiniczna punkitów α 1 A 1 + +α k A k jest punkt O +α 1OA1 + +α k OA k Twierdzenie 3. Kombinacja afiniczna punktów nie zależy od wyboru punktu O 37 / 61

38 Układ współrzędnych Działania na punktach Układ współrzędnych afiniczne Współrzędne jednorodne Obrót Skalowanie Wybierzmy dowolny punkt O, poczatek układu Przez ten punkt poprowadźmy trzy niekomplanarne proste: Ox, Oy, Oz, osie współrzędnych Płaszczyzny współrzędnych Oxy, Oxz, Oyz Na osiach wyznaczymy niezerowe wektory: odpowiednio e 1, e 2, e 3 bazę. Dla każdego punktu A wektor OA ma jednoznaczne przedstawienie OX = xe 1 +ye 2 +ze 3 liczby x, y, z współrzędne punktu A układ jest prawym (dodatnim), jeżeli {e 1,e 2,e 3 } jest zorientowany dodatnio układ jest lewym (ujemnym), jeżeli {e 1,e 2,e 3 } jest zorientowany ujemnie kierunki na osiach, zorientowane zgodnie z wektorami bazy, nazywaja się dodatnimi. Kierunki przeciwne ujemnymi 38 / 61

39 Układ współrzędnych kartezjańskich Działania na punktach Układ współrzędnych afiniczne Współrzędne jednorodne Obrót Skalowanie Układ współrzędnych nazywa się kartezjańskim, jeżeli osie sa wzajemnie prostopadłe wektory e 1, e 2, e 3 sa jednostkowe (maja jednostkowa długość). Dalej w prezentacji prawie zawsze układ będzie prawym kartezjańskim układem Dla wektorów bazy układu kartezjańskiego czasami stosuje się oznaczenia i, j, k 39 / 61

40 Działania na punktach w układzie współrzędnych Działania na punktach Układ współrzędnych afiniczne Współrzędne jednorodne Obrót Skalowanie Odejmowanie punktów: A 2 A 1 = x 2 x 1 A 1 A 2 = y 2 y 1 z 2 z 1 Dodanie wektora: x 1 +x a A 1 +a = y 1 +y a z 1 +z a Kombinacja afiniczna: α 1 A 1 + +α k A k = α 1 x 1 + +α k x k α 1 y 1 + +α k y k α 1 z 1 + +α k z k wzory sa prawidłowe w każdym układzie 40 / 61

41 Podział odcinka w danym stosunku Działania na punktach Układ współrzędnych afiniczne Współrzędne jednorodne Obrót Skalowanie Dane sa dwa punkty A 1 (x 1,y 1,z 1 ) oraz A 2 (x 2,y 2,z 2 ) Znaleźć punkt A(x,y,z), który dzieli odcinek A 1 A 2 w stosunku λ 1 : λ 2 λ 2A1 A λ 1AA2 = 0 OA = λ 2OA 1 +λ 1 OA 2 λ 1 +λ 2 x = λ 2x 1 +λ 1 x 2 λ 1 +λ 2, y = λ 2y 1 +λ 1 y 2 λ 1 +λ 2, z = λ 2z 1 +λ 1 z 2 λ 1 +λ 2. wzory sa prawidłowe w każdym układzie 41 / 61

42 Odległość między punktami Działania na punktach Układ współrzędnych afiniczne Współrzędne jednorodne Obrót Skalowanie Dane sa dwa punkty A 1 (x 1,y 1,z 1 ) oraz A 2 (x 2,y 2,z 2 ) A 1 A 2 2 = A 1 A 2 2 = (x 1 x 2 ) 2 +(y 1 y 2 ) 2 +(z 1 z 2 ) 2 wzory sa prawidłowe tylko w układzie kartezjańskim 42 / 61

43 Zmiana układu współrzędnych Działania na punktach Układ współrzędnych afiniczne Współrzędne jednorodne Obrót Skalowanie Niech dane będa dwa ogólne układy współrzędnych: (O,e 1,e 2,e 3 ) oraz (O,f 1,f 2,f 3 ) Punkt P ma współrzędne (x,y,z) względem jednego układu oraz (z,y,z ) względem drugiego. Wektory (e 1,e 2,e 3 ) maja jednoznaczne rozłożenie po e 1 = a 11 f 1 +a 21 f 2 +a 31 f 3, bazie (f 1,f 2,f 3 ): e 2 = a 12 f 1 +a 22 f 2 +a 32 f 3, e 2 = a 13 f 1 +a 23 f 2 +a 33 f 3. ( ) ( ) e 1 e 2 e 3 = f1 f 2 f 3 A Punkt O w nowym układzie ma współrzędne (x 0,y 0,z 0 ). x = a 11 x+a 12 y +a 13 z +x 0, Wówczas y = a 21 x+a 22 y +a 23 z +y 0, z = a 31 x+a 32 y +a 33 z +z 0. x x x 0 y = A y + y 0. z z z 0 43 / 61

44 Przekształcenia afiniczne Działania na punktach Układ współrzędnych afiniczne Współrzędne jednorodne Obrót Skalowanie Niech dany będzie układ współrzędnych O,f 1,f 2,f 3 oraz punkt O i układ wektorów e 1,e 2,e 3 przekwształceniem afinicznym nawyza się x odwzorowanie P = y O +xe 1 +ye 2 +ze 3 z współrzędne punktu A po przekształceniu będa x x 0 równe A y + y 0, gdzie z z 0 ( ) ( ) e1 e 2 e 3 = f1 f 2 f 3 A (x 0,y 0,z 0 ) współrzędne wektora OO 44 / 61

45 Uwagi Działania na punktach Układ współrzędnych afiniczne Współrzędne jednorodne Obrót Skalowanie Jeżeli układ wektorów e 1,e 2,e 3 jest baza, to przekształcenie afiniczne zgadza się z zamiana układu współrzędnych Przekwształcenie afiniczne B składa się z przekształcenia linowego A i przesunięcia równoległego T u, B = T u A Wówczas przesunięcie T u oraz przekształcenie A określone sa jednoznacznie. Twierdzenie 4. Każde przekształcenie afiniczne można rozłożyć w iloczyn obrotu, skalowania (o różnych współczynnikach) oraz przesunięcia równoległego Twierdzenie 5. Każde przekształcenie afiniczne sztywne, które nie zmienia orientacji, jest obrotem (afnicznym) lub przesunięciem równoległym 45 / 61

46 Współrzędne jednorodne w R 2 Działania na punktach Układ współrzędnych afiniczne Współrzędne jednorodne Obrót Skalowanie Trójka liczb x, y, w R (w 0) reprezentuje punkt o współrzędnych (x/w,y/w) R 2. (2,1) (2 : 1 : 1) (6 : 3 : 3) ( 2 : 1 : 1) 46 / 61

47 Współrzędne jednorodne w R 3 Działania na punktach Układ współrzędnych afiniczne Współrzędne jednorodne Obrót Skalowanie Czwórka liczb x, y, z, w R (w 0) reprezentuje punkt o współrzędnych (x/w,y/w,z/w) R 3. (2,1,1) (2 : 1 : 1 : 1) (6 : 3 : 3 : 3) ( 2 : 1 : 1 : 1) 47 / 61

48 Macierz przekształcenia afinicznego w R 2 Działania na punktach Układ współrzędnych afiniczne Współrzędne jednorodne Obrót Skalowanie Niech ( B ) = T u A będzie ( przekształceniem ) afinicznym, u1 a11 a u =, A = 12. u 2 a 21 a 22 Macierz a przekształcenia B nazywa się macerz a 11 a 12 u 1 M B = a 21 a 22 u a 11 a 12 u 1 x a 11 x+a 12 y +u 1 a 21 a 22 u 2 y = a 21 x+a 22 y +u / 61

49 Obrót Działania na punktach Układ współrzędnych afiniczne Współrzędne jednorodne Obrót Skalowanie R θ = cosθ sinθ 0 sinθ cosθ / 61

50 Skalowanie Działania na punktach Układ współrzędnych afiniczne Współrzędne jednorodne Obrót Skalowanie S λ1,λ 2 = λ λ / 61

51 Przesunięcie równoległe Działania na punktach Układ współrzędnych afiniczne Współrzędne jednorodne Obrót Skalowanie T u1,u 2 = 1 0 u u / 61

52 Macierz przekształcenia afinicznego w R 3 Działania na punktach Układ współrzędnych afiniczne Współrzędne jednorodne Obrót Skalowanie a 11 a 12 a 13 u 1 a 21 a 22 a 23 u 2 a 31 a 32 a 33 u a 11 a 12 a 13 u 1 x a 21 a 22 a 23 u 2 y = a 31 a 32 a 33 u z 1 a 11 x+a 12 y +a 13 z +u 1 a 21 x+a 22 y +a 23 z +u 2 a 31 x+a 32 y +a 33 z +u / 61

53 Przesunięcie równoległe Działania na punktach Układ współrzędnych afiniczne Współrzędne jednorodne Obrót Skalowanie Przesunięcie o wektor u = (u 1,u 2,u 3 ) u u u / 61

54 Obrót Działania na punktach Układ współrzędnych afiniczne Współrzędne jednorodne Obrót Skalowanie Obrót dookoła osi wychodzacej z poczatku układu współrzędnych w kierunku u = (u 1,u 2,u 3 ) o kat θ stopni. Kierunek obrotu określany jest orientacja. (1 c)u 2 1 +c (1 c)u 1u 2 su 3 (1 c)u 1 u 3 +su 2 0 (1 c)u 1 u 2 +su 3 (1 c)u 2 2 +c (1 c)u 2u 3 su 1 0 (1 c)u 1 u 3 su 2 (1 c)u 2 u 3 +su 1 (1 c)u 2 3 +c gdzie c = cosθ, s = sinθ., 54 / 61

55 Skalowanie Działania na punktach Układ współrzędnych afiniczne Współrzędne jednorodne Obrót Skalowanie α α α symetria względem płaszczyzny y z. 55 / 61

56 Jednorodność macierzy przekształcenia afinicznego Działania na punktach Układ współrzędnych afiniczne Współrzędne jednorodne Obrót Skalowanie Macierze A oraz λa określaj a to samo przekształcenie afiniczne. 56 / 61

57 Macierz superpozycji przekształceń Działania na punktach Układ współrzędnych afiniczne Współrzędne jednorodne Obrót Skalowanie Niech dane będa dwa przekształcenia afiniczne: A oraz B iloczynem (superpozycja) przekształceń A B jest przekształcenie afiniczne AB(a) = A(Ba) Macierza A B jest macierz AB Dlatego zamiast A B będziemy pisać AB Macierz a przekształcenia odwrotnego do A jest macierz A 1 57 / 61

58 Teoria transponowana Działania na punktach Układ współrzędnych afiniczne Współrzędne jednorodne Obrót Skalowanie Wektory i punkty sa zapisywane jako wiersze v = (v x,v y,v z ), P = (x : y : x : w) Mnożenie przez macierz przekształcenia po prawej stronie ( ) ( ) v x v y v z M, x y z w A Macierze sa zamieniane na transponowane: przesunięcie o wektor u = (u 1,u 2,u 3 ): , u 1 u 2 u 3 1 etc Mnożenie macierzy w innej kolejności Macierza A 1 A 2 będzie A 2 A 1 58 / 61

59 rzutowa 59 / 61

60 rzutowa rzutowa Składa się z czwórek współrzędnych (x : y : z : w) współrzędnych jednorodnych w może być zerem Dwie proporcjonalne czwórki reprezentuja ten sam punkt: (x 1 : y 1 : z 1 : w 1 ) (x 2 : y 2 : z 2 : w 2 ) x 1 x 2 = y 1 y 2 = z 1 z 2 = w 1 w 2 60 / 61

61 Przekształcenia rzutowe rzutowa Przekształceniem rzutowym (projektywicznym) nazywa się przekształcenie RP 3 RP 3 x x y z A y z, w w gdzie A jest dowolna 4 4 macierza, przy czym deta 0 61 / 61