. Funkcje wielu zmiennych i funkcje uwikłane Zad.. Obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia (, 4) (,), Zad.. Obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia, 8, 5, Zad. 3. Wykazać, że każda funkcja z(x, y) = x f ( ) y x, gdzie f jest funkcją różniczkowalną jednej zmiennej, spełnia równanie Zad. 4. Wyznaczyć dziedzinę funkcji x z z + y x y = z, f(x, y) = ln(x3y ) y x, Zad. 5. Zbadać ekstrema lokalne funkcji f(x, y) = x 6y, Zad. 6. Zbadać ekstrema lokalne funkcji f(x, y) = 5x + 7y, Zad. 7. Zbadać ekstrema lokalne funkcji f(x, y) = x 3 + 7 y3 xy, Zad. 8. Znaleźć ekstrema lokalne funkcji f(x, y) = x + y, Zad. 9. Zbadać ekstrema lokalne funkcji f(x, y) = y x y + 6y + 8 x, Zad.. Zbadać ekstrema lokalne funkcji f(x, y) = +y+x y ey, Zad.. Zbadać ekstrema lokalne funkcji f(x, y) = sin x sin y sin (x + y), w zbiorze D = (, π) (, π), Zad.. Zbadać ekstrema lokalne funkcji f(x, y, z) = x + y + z + xy 4y + z. Zad. 3. Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji (a) f(x, y) = 3 ln x + ln y + ln( x y) 6 (b) f(x, y) = e x (x + y ) (c) f(x, y) = ln(xy) + x y + 3 (d) f(x, y) = (x y ) ln x (e) f(x, y) = e x y (x 3y ) (f) f(x, y) = (y + ) + (y x) (g) f(x, y) = x 3 + 3xy + xy (h) f(x, y) = y x y x + 6y (i) f(x, y) = x + y3 3 y xy + 6y (j) f(x, y) = sin x + cos y + cos (x y) dla (x, y) (, π) (, π). Zad. 4. Obliczyć pochodne pierwszego i drugiego rzędu dla funkcji uwikłanej y określonej równaniem x + xy y = a.. Całka oznaczona i całki wielokrotne.. Całka oznaczona - zadania podstawowe. Zad.. Obliczyć całkę oznaczoną Zad.. Obliczyć całkę oznaczoną Zad. 3. Obliczyć całkę oznaczoną 9 Zad. 4. Obliczyć całkę ln 5 Zad. 5. Zbadać zbieżność całki ln 3 π ex dx. 3xe x dx. sin x dx. + dx. x dx. x +4
Zad. 6. Obliczyć całkę niewłaściwą Zad. 7. Obliczyć całkę niewłaściwą 9 Zad. 8. Obliczyć całkę dx. x +x+ dx. +x x dx... Pole między krzywymi. Zad.. Obliczyć pole ograniczone krzywymi y = x, y = x. Zad.. Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywą o równaniu y = oraz osią OX. +x Zad. 3. Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywą y =, x [, ], oraz osią OX. +x Zad. 4. Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywą y = a b a x, x [, a], oraz osią OX. Zad. 5. Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywą y = x 3 + x x, x [, ], oraz osią OX. Zad. 6. Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywą y = x x oraz osią OX. Zad. 7. Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywymi y = sin 3 x, y = cos 3 x, x [, π]. 4 Zad. 8. Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywą y =, x [, ), oraz osią OX. +x 4 Zad. 9. Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywą y = x ln x, x (, ] i osią OX. Zad.. Obliczyć pole obszaru ograniczonego parabolą y = x x i prostą y = x, x [, ]. Zad.. Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywymi o równaniach y = x 3, y = 4x. Zad.. Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywymi y = x, x y + 3 =. Zad. 3. Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywymi y = ln x i y = ln x. Zad. 4. Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywymi y = x 3 i y = x 5. Zad. 5. Obliczyć pole obszaru zawartego między krzywymi y = i y =. x +x+ Zad. 6. Obliczyć pole obszaru ograniczonego liniami y = x +4x+8 Zad. 7. Obliczyć pole obszaru ograniczonego linią y = x +4x+5, y =, dla x [, ]. oraz jej asymptotą, dla x [, ]. Zad. 8. Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywą o równaniu parametrycznym x = t y = t 3 t3, t [, 3]. Zad. 9. Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywą x(t) = r sin t y(t) = r sin t tg t, t [ π, π ], r >. 6 Zad.. Oblicz pole obszaru ograniczonego krzywą x(t) = 3r cos t y(t) = 3r cos t ctg t, t [ π, π ], r >. 6 Zad.. Obliczyć pola powierzchni ograniczonych krzywymi (a) y = cos(x), y = sin(x), x = π, x = π, 4 4 (b) xy =, y = x, y = x (x, y > ), (c) y = x, y = x, (d) x + (y ) = 4, y = x (y x), (e) (x + y ) = (x y ), (f) ( x + ) y 4 9 = x y. 4 9.3. Długość łuku krzywej. Zad.. Obliczyć długość łuku krzywej x(t) = e t sin t y(t) = e t cos t, t [, π ]. Zad.. Obliczyć długość łuku krzywej y = x, x [, ].
3 Zad. 3. Obliczyć długość łuku krzywej y = ln(cos x), x [, π 4 ]. Zad. 4. Obliczyć długość łuku krzywej y = x x + arc sin x, x [, ]. Zad. 5. Obliczyć długość łuku krzywej Zad. 6. Obliczyć długość łuku krzywej l : Zad. 7. Obliczyć długość łuku krzywej k : x = t y = t 3 t3, t [, 3]. x(t) = e t cos t y(t) = e t ln, t [, sin t ]. x = a(cos t + t sin t) y = a(sin t t cos t), t [, π ]..4. Objętość i pole powierzchni bocznej bryły obrotowej. Zad.. Obliczyć objętość i pole powierzchni bocznej bryły powstałej przez obrót wokół osi OX krzywej y = 3 x3, x [, ]. Zad.. Obliczyć pole powierzchni bocznej bryły powstałej przez obrót wokół osi OX krzywej y = x +, x [, ]. Zad. 3. Obliczyć objętość bryły powstałej przez obrót wokół osi OX łuku asteroidy x = cos 3 t y = sin 3 t, t [, π ]. Zad. 4. Obliczyć pole powierzchni bocznej bryły powstałej przez obrót krzywej y = x x, x [, ], wokół osi OX. Zad. 5. Zbadaj, czy istnieje objętość bryły powstałej przez obrót dookoła osi OX krzywej danej równaniem y = e x x, x. Zad. 6. Obliczyć objętość bryły, która powstała przez obrót wokół osi OX elipsy x 9 + y 4 =. Zad. 7. Obliczyć objętość bryły powstałej przez obrót krzywej y = tg x, x [, π ], wokół osi 4 OX. Zad. 8. Obliczyć objętość bryły powstałej przez obrót krzywej y = e x sin x, x [, ), wokół osi OX. Zad. 9. Obliczyć objętość bryły powstałej przez obrót krzywej y =, x (, ), x +x+ wokół osi OX. Zad.. Obliczyć objętość bryły powstałej przez obrót krzywej y = xe x, x [ ), wokół osi OX. Zad.. Obliczyć objętość bryły powstałej przez obrót krzywej y =, x (, x ln ], wokół osi x e OX. Zad.. Obliczyć objętość bryły nieograniczonej powstałej przez obrót krzywej y = x e x wokół osi OX. Zad. 3. Obliczyć objętość bryły powstałej przez obrót krzywej y = xe x, x, wokół osi OX. Zad. 4. Obliczyć objętość bryły powstałej przez obrót dookoła osi OX krzywej y =, dla x x y. Zad. 5. Obliczyć objętość bryły powstałej przez obrót krzywej y = arc tg x, x [, ], wokół osi OX.
4.5. Całka podwójna. Zad.. Obliczyć całkę D F (x, y) dxdy, jeżeli (a) F (x, y) = xy, D = (x, y): x, y }, (b) F (x, y) = x ye xy, D = (x, y): x, y }, (c) F (x, y) = e x+y, D = (x, y): x, y }, (d) F (x, y) = x sin(y), D = x (x, y): x, y π (e) F (x, y) =, D = (x, y): x, y }, + y (f) F (x, y) =, D = (x, y): 3 x 4, y }, (x + y + ) (g) F (x, y) = xy, D = (x, y): x a, y b}, (h) F (x, y) = x y cos(xy ), D = (x, y): x π }, y, (i) F (x, y) = x 3 y, obszar D jest kołem x + y R, (j) F (x, y) = x + y, obszar D jest ograniczony parabolami y = x, y = x, (k) F (x, y) = x, obszar D jest ograniczony krzywymi x =, x = y, xy =, y (l) F (x, y) = cos(x + y), obszar D jest trójkątem ograniczonym prostymi x =, y = π, x = y, (m) F (x, y) = x + y, obszar D jest trójkątem ograniczonym prostymi x =, y =, x + y = 6. Zad.. Wprowadzając współrzędne biegunowe obliczyć następujące całki po obszarach ograniczonych wskazanymi krzywymi (a) e (x +y ) dxdy, obszar D : x + y =, D (b) y dxdy, obszar D : x + y = 4, x + y =, x = y, y = (y ), D (c) D (x + y ) dxdy, obszar D : x + y = 4, x =, y = (x, y ), (d) x dxdy, obszar D : x + (y ) =, y = x, (x y), D (e) D x + y dxdy, obszar D : (x +y ) 4x(x +y ) = 4y, x +y = 4 (x ), (f) x x + y dxdy, obszar D : (x + y ) = x y, x = (x ). D Zad. 3. Obliczyć całkę (x + y )dxdy, gdzie D jest obszarem ograniczonym krzywą D x + y = 6x. Zad. 4. Obliczyć (x + y)dxdy, gdzie D = (x, y) R : x + y x }. D x xy e +y Zad. 5. Obliczyć dxdy, gdzie D = (x, y) : x + y 4, y x }. D x + y Zad. 6. Obliczyć xydxdy, gdzie D = (x, y) : x + y x}. D Zad. 7. Obliczyć ln(x + y )dxdy, gdzie D = (x, y) : r x + y R }, r, R >. D Zad. 8. Obliczyć arc tg y x dxdy, gdzie D = (x, y) : 4 x + y 6, x y, y x}. D Zad. 9. Obliczyć pole płata powierzchniowego wyciętego walcem x + y = 4 ze sfery x + y + z = 9..6. Całka potrójna. Zad.. Obliczyć objętości brył ograniczonych wskazanymi powierzchniami },
(a) x + y + z = 9, x + y =, (b) z = x + y, z =, x + y =, x + y = 9, (c) z = 4 x y, z =, (d) z = e y x, x + y =, x =, y =, z = (x + y ), (e) z = 9 x, z =, y = 3x, (f) z = x + y, z = x + y, z =. Zad.. Obliczyć całkę (xy+x)dxdydz, gdzie obszar V jest czworościanem o wierzchołkach V A(,, ), B(,, ), C(,, 3), D(,, ). Zad. 3. Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami z = x + y, x + y = 4 dla z. Zad. 4. Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami z = 8 x y + z, z = + x + y, x + y =, x =, y =, dla x + y, x, y. Zad. 5. Obliczyć objętość bryły określonej warunkami x + y + z 9, x + y 4, z. Zad. 6. Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami z = x + y + 4, z = 6 x + y. Zad. 7. Obliczyć objętość bryły V = (x, y, z) R 3 : x + y + z 4, x + y 3z}. Zad. 8. Obliczyć objętość bryły V = (x, y, z) R 3 : x + y + z 8, z x + y }. Zad. 9. Obliczyć objętość bryły V = (x, y, z) R 3 : y, x + y, z arc tg x + y }. Zad.. Obliczyć objętość bryły V = (x, y, z) R 3 : z 5 x y, z 3x + 3y, z x + y }. Zad.. Obliczyć objętość bryły określonej warunkami z 9 x y, 4x + y, z. Zad.. Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami z = + x + y, z = 9 x y. Zad. 3. Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami z = x + y, x + y = 4, dla z. Zad. 4. Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami o równania x + y + z = z i x + y = z. Zad. 5. Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami o równaniach x + y + z = 4, x + y = 3z. Zad. 6. Obliczyć objętość bryły V = (x, y, z) R 3 : 3x + 3y z, 9 x + y + z 5}. Zad. 7. Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami z = x + y, z = 6 x y. Zad. 8. Obliczyć całki f(x, y, z) dxdydz, gdzie: V (a) f(x, y, z) = exp(x + y + z), V : x, x y, z x (b) f(x, y, z) =, V : x, y, z x y (3x + y + z + ) 4 (c) f(x, y, z) = x + y, V : x + y 4, x z x; (d) f(x, y, z) = xyz, V : bryła ograniczona powierzchniami y = x, x = y, z = xy, z = (e) f(x, y, z) = x, V : bryła ograniczona płaszczyznami układu współrzędnych i płaszczyzną przechodzącą przez punkty (,, ), (,, ), (,, 3) Zad. 9. Wprowadzając współrzędne walcowe obliczyć całki: (a) (x + y + z ) dxdydz, V : x + y 4, z, V (b) xyz dxdydz, V : x + y z x y, V (c) (x + y ) dxdydz, V : x + y + z R, x + y + z Rz, V 5
6 (d) V (x + y ) dxdydz, V : x + y z. Wprowadzając współrzędne sferyczneobliczyć całki: (a) (x + y + z ) dxdydz, V : 4 x y z, V dxdydz (b) V x + y + z, V : 4 x + y + z 9, (c) (x + y ) dxdydz, V V : x + y z x y, (d) V z dxdydz, V : x + y + (z R) R, (e) x dxdydz, V : x + y + z 4x, V (f) ( x V a + y b + z c )dxdydz, V : x a + y b + z. c Zad.. Obliczyć 4 6 x x+y dy dx. Zad.. Obliczyć Zad.. Obliczyć całki: (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) a dx dx dx dx dx e dx b x dy dy dy c x (x + y + z) dz, dz + x + y + z, x y x a dy x x x a x dx e x dy dy dy xyz dz, dz, x y z x + y dz, x y x+y+e e x + y + z dz, ln(z x y) (x e)(x + y e) dz, x +y dz x + y + z dz dy dx. Zad. 3. Obliczyć objętość obszarów ograniczonych podanymi powierzchniami: (a) x + y = 9, x + y + z =, x + y + z = 5, (b) x =, x =, z = 4 y, z = + y, (c) z = + x + y, z =, x + y =, (d) x a + y b = z c, z = c, (e) (x + y + z ) = a 3 z, (a > ).
Zad. 4. Dana jest bryła wycięta walcem x +y = Rx z kuli x +y +z = R (bryła Vivianiego). Obliczyć: (a) objętość, (b) pole górnej i dolnej podstawy, (c) pole powierzchni bocznej, (d) położenie środka ciężkości (jednorodnej) bryły Vivianiego. Zad. 5. Obliczyć masę i objętość bryły ograniczonej powierzchniami x + y z = a, z = i z = a >, jeżeli jej gęstość w każdym punkcie jest wprost proporcjonalna do trzeciej współrzędnej tego punktu i równa jest 4 na płaszczyżnie z = a. 3 Zad. 6. Obliczyć masę bryły zadanej nierównościami x + y 6 i z x + y, jeżeli jej gęstość w każdym punkcie jest równa kwadratowi odległości tego punktu od osi OZ. Zad. 7. Obliczyć masę bryły ograniczonej powierzchniami x + y + z = z i z = x + y, jeżeli jej gęstość w każdym punkcie jest odwrotnie proporcjonalna do odległości tego punktu od początku układu współrzędnych. Zad. 8. Obliczyć masę i średnią gęstość bryły ograniczonej powierzchniami x y = az, x + y = a i z = (z > ), jeżeli jej gęstość w każdym punkcie jest wprost proporcjonalna do trzeciej współrzędnej tego punktu i największa wartość gęstości równa jest 3. Zad. 9. Wyznaczyć środek masy jednorodnej bryły ograniczonej powierzchnią y + z = 4x i płaszczyzną x =. Zad. 3. Wyznaczyć środek masy jednorodnej bryły ograniczonej paraboloidą z = x + y i płaszczyzną z = 4. Zad. 3. Obliczyć moment statyczny jednorodnej bryły ograniczonej powierzchnią x + y + z = i płaszczyzną z = (z > ) względem tej płaszczyzny. a b c Zad. 3. Obliczyć biegunowy moment bezwładności bryły ograniczonej powierzchnią x + y + z = względem punktu (,, ). a b c 7 Zad.. Obliczyć 3. Całka powierzchniowa i krzywoliniowa xy dydz+yz dxdz+zx dxdy, gdzie jest wewenętrzną stroną powierzchni bryły określonej nierównościami x + y + z 4, x, y, z. Zad.. Obliczyć (xz + yz)ṣ, gdzie jest częścią powierzchni stożkowej z = x + y wyciętej walcem x + y = 4x. Zad. 3. Obliczyć (x + y )dxdz, gdzie jest zewnętrzną stroną powierzchni y = a x z odciętej płaszczyną y = a. Zad. 4. Obliczyć pola części powierzchni o równaniu z = f(x, y) odciętych wskazanymi powierzchniami: (a) f(x, y) = 8 (x + y), x =, y =, z = (b) f(x, y) = x + y, x + y = x (c) f(x, y) = 6 (x + y ), z =, z = (d) f(x, y) = (x + y ), x + y = 8 (e) f(x, y) = (x + y ), z = (f) f(x, y) = x + y, z =, z = ; (g) f(x, y) = xy, x + y = R (h) f(x, y) = x a + y b, x a + y b = c. Zad. 5. Obliczyć całkę z d, gdzie jest (a) górną częścią sfery x + y + z = R, R > ;
8 (b) częścią powierzchni stożka y + z x = dla x [a, b], b > a > ; a a b (c) częścią płata powierzchniowego danego równaniami parametrycznymi x(u, v) = u cos v, y(u, v) = u sin v, z(u, v) = v dla u [, a], v [, π]. Zad. 6. Obliczyć (x + y + z )d, gdzie jest częścią powierzchni bocznej walca x + y dla z i leżącą w I oktancie. Zad. 7. Obliczyć x(y + z) d, gdzie jest częścią powierzchni bocznej walca x + y dla z. Zad. 8. Obliczyć xz d, gdzie jest częścią płata powierzchniowego danego równaniami x(u, v) = v cos u, y(u, v) = v sin u, z(u, v) = v dla u [, π], v [3, 4]. Zad. 9. Obliczyć z d, gdzie jest częścią powierzchni torusa powstałego w wyniku obrotu wokół osi OZ okręgu (x 3) +z = 4 i leżącą w I oktancie na zewnątrz walca x +y = 6. Zad.. Obliczyć pole części powierzchni stożka z = x + y wyciętej walcem parabolicznym z = py, p >. Zad.. Obliczyć pole części płata powierzchniowego az = x y leżącego w I oktancie między powierzchniami x + y = a i x + y = b, < a < b. Zad.. Obliczyć pole części płaszczyzny x + y + z = wyciętej powierzchniami x + y = x, x = y i y =. Zad. 3. Obliczyć pole części sfery x + y + z = 5 zawartej między płaszczyznami z = 3 i z = 4. Zad. 4. Obliczyć pole części płata powierzchniowego opisanego równaniami parametrycznymi x(u, v) = (+3 cos v) cos u, y(u, v) = (+3 cos v) sin u, z(u, v) = 3 sin v dla u [, π], v [π, π] Zad. 5. Obliczyć przybliżone pole części powierzchni Ziemi zawartej między południkami 6 i 8 W oraz równoleżnikami 45 i 6 N. W zadaniu przyjąć, że Ziemia jest kulą o promieniu R = 637 km. Zad. 6. Obliczyć masę sfery o równaniu x + y + z = 4, jeśli powierzchniowa gęstość masy w każdym jej punkcie jest wprost proporcjonalna do kwadratu pierwszej współrzędnej tego punktu. Zad. 7. Wyznaczyć masę płata powierzchniowego = (x, y, z) R 3 : x = y + z 3, x }, jeżeli gęstość w każdym jego punkcie jest odwrotnie proporcjonalna do odległości tego punktu od osi Ox. Zad. 8. Wyznaczyć masę płata powierzchniowego = (x, y, z) R 3 : x + y + z = 4x, x }, jeżeli gęstość masy w każdym jego punkcie jest wprost proporcjonalna do odległości tego punktu od płaszczyzny Oyz. Zad. 9. Obliczyć masę części płata powierzchniowego z = 9 y odciętego płaszczyznami x = i x =, jeżeli powierzchniowa gęstość masy w każdym jej punkcie dana jest wzorem ρ(x, y, z) = z(x + y). Zad.. Obliczyć masę części płata powierzchniowego wyciętego walcem x +y = 4 z powierzchni danej równaniem z = xy, jeżeli gęstość w każdym punkcie tej powierzchni jest równa odległości tego punktu od osi Oz. Zad.. Obliczyć masę, moment statyczny M xy oraz moment bezwładności względem osi OZ górnej półsfery x +y +z = R, jeżeli powierzchniowa gęstość masy w każdym punkcie równa jest kwadratowi odległości tego punktu od wertykalnej średnicy sfery. Zad.. Dane jest pole sił F = (P, Q, R), P (x, y, z) = yz, Q(x, y, z) = xz + z, R(x, y, z) = xy + y + z. Obliczyć pracę jaką trzeba wykonać pokonując siły pola wzdłuż łuku AB od punktu A = (,, ) do punktu B = (,, ). Zad. 3. Obliczyć następujące całki:
(a) xy dydz + yz dzdx + xz dxdy, gdzie jest trójkątem o wierzchołkach A(,, ), B(,, ), C(,, ) zorientowanym tak, że wektor normalny tworzy kąt ostry z osią Oz; (b) x y z dxdy, gdzie jest górną półsferą x + y + z = R zorientowaną tak, że (c) wektor normalny tworzy kąt ostry z osią Oz; xz dydz + x y dzdx + y z dxdy, gdzie jest częścią powierzchni opisanej równaniami x(u, v) = v cos u, y(u, v) = v sin u, z(u, v) = v dla u ( ), π i v (, ) oraz zorientowaną tak, że wektor normalny tworzy kąt ostry z osią Oz; (d) xz dydz + x y dzdx + y z dxdy, gdzie jest zewnętrzną stroną części walca (e) x + y = położoną w pierwszym oktancie i odciętą płaszczyznami z =, z = ; z dydz x dzdx + y dxdy, gdzie jest częścią płaszczyzny 3x + 6y z = 6 odciętej płaszczyznami układu współrzędnych i zorientowaną tak, że wektor normalny tworzy kąt ostry z osią Oz. Zad. 4. Obliczyć całkę xz dxdy, gdzie jest częścią powierzchni torusa powstałego w wyniku obrotu wokół osi Oz okręgu (x ) + z =, leżącą w obszarze x, y, z, x + y 4 oraz zorientowaną tak, że wektor normalny tworzy kąt ostry z osią Oz. Zad. 5. Obliczyć całkę yz dxdy, gdzie jest częścią powierzchni torusa powstałego w wyniku obrotu wokół osi Oz okręgu (y ) + z =, leżącą w obszarze x, y, z, x + y 4 oraz zorientowaną tak, że wektor normalny tworzy kąt ostry z osią Oz. Zad. 6. Obliczyć następujące całki: (a) x 3 dydz + y 3 dzdx + z 3 dxdy, gdzie jest zewnętrzną stroną sfery x + y + z = (b) (c) R ; xz dydz+x y dzdx+y z dxdy, gdzie jest zewnętrzną stroną powierzchni bryły ograniczonej przez z = x + y, x + y =, x =, y =, z =, gdzie x, y ; dydz + dzdx+z dxdy, gdzie jest zewnętrzną stroną powierzchni bryły ograniczonej przez z = x + y, x + y = 4z 4, x =, y =, z =, gdzie x, y ; (d) 3x dydz dzdx + dxdy, gdzie jest zewnętrzną stroną powierzchni bryły ograniczonej przez z = x + y, x + y + z = ; (e) (tg z + xyz) dydz + y dzdx + (z + xy) dxdy, gdzie jest zewnętrzną stroną (f) (g) (h) (i) powierzchni bryły ograniczonej przez x + z = 4, y =, y = 8; x y dydz xy dzdx+(x +y )z dxdy, gdzie jest zewnętrzną stroną powierzchni walca x + y 4, z 5; (x + yz) dydz + (xz + y ) dzdx + xy dxdy, gdzie jest zewnętrzną stroną powierzchni walca x + y, z ; x y dydz + xy dzdx + xyz dxdy, gdzie jest zewnętrzną stroną części sfery x + y + z = R położoną w pierwszym oktancie; xy dydz +yz dzdx+xz dxdy, gdzie jest zewnętrzną stroną czworościanu ograniczonego płaszczyznami x =, y =, z =, x + y + z = 3. Zad. 7. Korzystając ze wzoru Greena obliczyć e x ( cos y)dx e x (y sin y)dy, gdzie K jest K krzywą ograniczającą obszar D: π < x < π, < y < cos x, zorientowaną dodatnio. 9
Zad. 8. Obliczyć Zad. 9. Obliczyć Zad. 3. Obliczyć K xy dy + x ydx, gdzie krzywa K jest okręgiem o równaniu x + y = dodatnio zorientowanym. K (x 3 y)dx + (4x + sin y)dy, gdzie K jest dodatnio zorientowanym okręgiem o równaniu x + y = 6. K xydx + (y + )dy, gdzie krzywa K jest dodatnio skierowanym brzegiem zbioru D = (x, y) R : y x, x }. Zad. 3. Obliczyć e x ( cos y)dx e x ( sin y)dy, gdzie krzywa K jest krzywą zamkniętą K składającą się z y = sin x, x [, π], y =, skierowaną dodatnio. (,4) Zad. 3. Obliczyć całkę krzywoliniową xydx + x dy wzdłuż drogi y = x. (,) Zad. 33. Korzystając z wzoru Greena obliczyć ( x )dx + x( + y )dy, gdzie L jest krzywą L zamkniętą zorientowaną dodatnio składającą się z linii y = x + 4, y =, x =. Zad. 34. Obliczyć x(y + z)dl, gdzie L x = cos t L : y = sin t, t [, π]. z = 3t 4 Zad. 35. Korzystając z twierdzenia Greena obliczyć xydx xdy, gdzie L jest krzywą zamkniętą L zorientowaną dodatnio składającą się z linii y = x, y =, dla x [, ]. Zad. 36. Obliczyć xdx x dy, gdzie K jest okręgiem x + y = 8x zorientowanym dodatnio. K Zad. 37. Obliczyć y(x y)dx + xdy, gdzie K jest częścią krzywej y = 4x skierowanej od K A(, ) do B(, ). Zad. 38. Obliczyć y(x y)dx + xdy, gdzie K jest dodatnio zorienotwanym brzegiem trójkąta K o wierzchołkach A(, ), B(, ), C(, ). Zad. 39. Obliczyć x + y dl, gdzie L x = cos t + t sin t L : y = sin t t cos t, t [, π]. z = ln 5 ( ) ( ) arc tg y y arc tg x x Zad. 4. Obliczyć K + x + dx + x + y + y + y dy, gdzie krzywa K jest linią y = x od punktu A(, ) do B(, ). Zad. 4. Obliczyć ln( + y)dx xy dy, gdzie krzywa C jest dodatnio zorientowanym trójkątem o wierzchołkach A(, ), B(, ), C(, 4). C + y Zad. 4. Obliczyć x ydy x dx, gdzie krzywa C jest dodatnio zorientowanym kwadratem o C wierzchołkach A(, ), B(, ), C(3, ), D(3, ). Zad. 43. Obliczyć yzdx + zxdy + xydz, gdzie L jest fragmentem krzywej L x = r cos t y = r sin t z = at π zawartym między płaszczynami z = i z = a, a, r >.
Zad. 44. Obliczyć K (y + y)dx (e y + x)dy, gdzie krzywa K jest okręgiem (x ) + y = skierowanym dodatnio. Zad. 45. Obliczyć masę krzywej C : x + y = 4x, gdzie gęstość w każdym jej punkcie jest wprost proporcjonalna do kwadratu odległości tego punktu od początku układu współrzędnych. Zad. 46. Obliczyć masę łuku krzywej K : y = ln x, x, gdzie gęstość krzywej w każdym jej punkcie równa jest kwadratowi odciętej tego punktu. Zad. 47. Obliczyć masę części krzywej y = ln( x ) dla x [, ], jeżeli gęstość liniowa krzywej w każdym punkcie równa jest ρ(x, y) = + x. Zad. 48. Obliczyć masę odcinka AB, gdzie A = (, ) i B = (3, ), o liniowej gęstości masy σ(x, y) = x + y. Zad. 49. Obliczyć masę łuku cykloidy x(t) = a(t sin t), y(t) = a( cos t), t (, π), a >, jeśli gęstość liniowa krzywej w każdym punkcie równa jest rzędnej tego punktu. Zad. 5. Obliczyć masę części krzywej r(t) = [a(cos t + t sin t), a(sin t t cos t)] dla t [, π], a >, jeżeli gęstość liniowa krzywej w każdym punkcie jest równa kwadratowi promienia wodzącego. x(t) = t z dz +z Zad. 5. Obliczyć masę części krzywej y(t) = t dla t [, ], jeżeli gęstość liniowa z dz +z. e x krzywej w każdym punkcie równa jest ρ(x, y) = y Zad. 5. Obliczyć masę części elipsy x + y =, < b < a leżącej w pierwszej ćwiartce, jeżeli a b gęstość liniowa krzywej w każdym punkcie jest równa rzędnej tego punktu. Zad. 53. Obliczyć masę łuku krzywej x(t) = ae t cos t, y(t) = ae t sin t, z(t) = ae t od punktu O = (,, ) do punktu A = (a,, a), a >, jeśli gęstość krzywej wyraża się wzorem γ(t) = e t. Zad. 54. Obliczyć masę łuku OA, gdzie O = (, ) i A = (4, 6), krzywej 3y = x x, jeżeli 3 gęstość liniowa w punkcie M łuku jest wprost proporcjonalna do długości łuku OM. Zad. 55. Obliczyć moment statyczny względem płaszczyzny Oxz jednorodnego łuku krzywej r(t) = [e t cos t, e t sin t, e t ] dla t [, π]. Zad. 56. Obliczyć współrzędne środka ciężkości jednorodnego łuku linii łańcuchowej y = a cosh x, a gdzie a x a dla pewnego a >. Zad. 57. Wyznaczyć położenie środka ciężkości tej części jednorodnego okręgu x +y = 4, która jest położona powyżej prostej y = x. Zad. 58. Oblicz pracę L, jaką wykona siła F [x + y, xy] przesuwając punkt materialny o jednostkowej masie po krzywej K skierowanej ujemnie, której fragmenty są odcinkami prostych y =, y =, x =, x = Zad. 59. Oblicz całkę krzywoliniową L (x + y )dl, gdzie L jest krzywą zadaną równaniami parametrycznymi: x = a(cos t + t sin t), y = a(sin t t cos t), t π. 4. Równania różniczkowe 4.. Równania różniczkowe zwyczajne I rzędu. Zad.. Rozwiązać równania (a) dy dx = y x + tg y x, (b) x dy dx y = x e x x, (c) dy dt ln t + y t = y cos t,
(d) y + y = cos x, x (e) y + yctgx = 8 cos4 x, y (f) 3xy y = 3x y 4 ln x, (g) dy dx ex = y, (h) x( + e y ) e y dy dx =, (i) yy y x =, (j) y + y x = x, (k) y + y = x y, (l) y + y x = y x, (m) y y x = x x +, (n) yx y dx + x y ln xdy =, (o) yy + y = e x. Zad.. Znaleźć całkę szczególną równania sin x cos ydx + cos x sin ydy = spełniającą warunek początkowy y() = π. 6 Zad. 3. Rozwiązać następujące zagadnienie: xy + y e x =, x. y() = Zad. 4. Rozwiązać następujące zagadnienie: y y tg x = y3, x π + kπ, k Z cos x. y() = Zad. 5. Rozwiązać następujące zagadnienie: y 9x y = (x 5 + x ) 3 y y() = 8 Zad. 6. Rozwiązać następujące zagadnienie: y + y = 3x ln x, x > x. y(e) = Zad. 7. Rozwiązać zagadnienie Cauchy ego dla równania xy y = x e x przy warunku y() =. Zad. 8. Rozwiązać zagadnienie Cauchy ego dla równania y = y cos t przy warunku y() =. Zad. 9. Rozwiązać zagadnienie Cauchy ego dla równania y + y = x przy warunku y() =. y Zad.. Rozwiązać zagadnienie Cauchy ego dla równania y + y = xy 6 przy warunku y() =. Zad.. Rozwiązać zagadnienie Cauchy ego dla równania y + y = x przy warunku y() =. y Zad.. Rozwiązać zagadnienie Cauchy ego dla równania (x + y )dx + xydy = przy warunku początkowym y() =. Zad. 3. Rozwiązać równanie y + y ln x = y z warunkiem początkowym y() = 4. x x Zad. 4. Rozwiązać równanie xy 4y = x y z warunkiem początkowym y() =. Zad. 5. Rozwiązać równanie y + xy = x przy warunku y() =. y 3 Zad. 6. Rozwązać równanie liniowe niejednorodne dy y = t cos t, t. dt t Zad. 7. Znaleźć rozwiązanie ogólne równania zupełnego ( t + sin x ) dt + (t +) cos(x) dx =. cos x Zad. 8. Znaleźć rozwiązanie ogólne równania Bernoullego x + x = x e t..
4.. Równania różniczkowe zwyczajne II rzędu. Zad.. Rozwiązać równania (a) y + y = x e x, (b) y + y = sin x, (c) y 4y = x + x, (d) y y y = sin x, (e) y 6y + 3y = 5 sin(t), (f) y 3y + y = x, (g) y + 9y = x + 3, (h) y + 4y = cos 3x, (i) y + 4y = + x, (j) y 4y + 4y = xe x, (k) y + y + y = e x +, (l) y + 5y + 6y = e x, (m) y + 3y = e 3x, (n) y 6y + y = cos x, (o) y + 4y + 5y = sin x, (p) y + 3y = 3 3x, (q) y 5y 7y = sin x, (r) y 4y + 3y = x +, (s) y + 6y + 9y = e 3x, (t) y + 4y + 4y = e x, (u) x 5x = 3t, (v) xy y =. Zad.. tosując transformatę Laplace a rozwiązać równanie y (t) y (t) y(t) = z warunkami y() =, y () =. 4.3. Równania różniczkowe cząstkowe. Zad.. Rozwiązać w Ω = R równanie u xx c u yy = z warunkami początkowymi u(x, ) = x, u y (x, ) = x. Zad.. Określić typ i rozwiązać w Ω = R równanie u xy u x = z warunkiem początkowym u(x, ) = sin x. Zad. 3. Określić typ i sprowadzić równanie u 3 u 4 u x x y y = do postaci kanonicznej. Zad. 4. Rozwiązać równanie cząstkowe 3 u x + = z warunkiem początkowym u(, y) = e y. 5. Liczby zespolone, macierze i układy równań liniowych 5.. Liczby zespolone. Zad.. Wykonaj działania: ( 4i) + (4 + 7i), ( 5 3i) ( 5 + 3i), +5i. i Zad.. Na płaszczyźnie zespolonej narysować zbiory liczb z spełniających warunki (a) Re (iz + 3), (b) 9 = z, z (c) z z + (5 + i)z + (5 i) z + =, (d) z i = z. Zad. 3. Podane liczby zespolone zapisać w postaci trygonometrycznej (a) 9 + 9i, (b) 3 + i, (c) 5 + 5 3i, (d) sin α i cos α, < α < π. Zad. 4. Oblicz wartość wyrażeń, wynik podaj w postaci algebraicznej (a) ( + i), (b) ( 3i) 8, 3
4 (c) ( cos π 4 + i sin π 4 ), (d) ( i) (+i 3) 6. Zad. 5. Obliczyć 3 i. Zad. 6. Obliczyć 3. Zad. 7. Obliczyć 3. Zad. 8. Obliczyć 4 6. Zad. 9. Obliczyć 5 + i. Zad.. Rozwiązać równanie z 6z + =. Zad.. Rozwiązać równanie z ( + i)z + + 7i =. Zad.. Obliczyć i doprowadzić do postaci algebraicznej ( 3i i Zad. 3. Rozwiązać równanie z 3z + 3 + i =. dz Zad. 4. Obliczyć, gdzie obraz krzywej γ jest dodatnio skierowanym okręgiem z C : + z γ z = }. Zad. 5. Obliczyć metodą residuów całkę + x + x + x 4 + 5x + 4 dx. oraz g(z) = e /z w punkcie z =. Odpo- Zad. 6. Określić typy osobliwości funkcji f(z) = sin z z wiedź uzasadnić. Zad. 7. Obliczyć całkę z 3 dz z +, Γ ) 8. gdzie Γ jest okręgiem z i = zorientowanym dodatnio. Zad. 8. Znaleźć funkcję holomorficzną w C, której część rzeczywista jest równa u(x, y) = x y. Zad. 9. Obliczyć metodą residuów całkę Zad.. Rozwinąć funkcję f(z) = Zad.. Obliczyć całkę + x + x + x 4 + 5x + 4 dx. z w szereg Laurenta w pierścieniu < z <. (+z)z Γ e z dz (z + ) (z i) gdzie Γ : [, π] t e it. Zad.. Wykazać, że jeżeli f jest funkcją holomorficzną na obszarze Ω C taką, że Re f = (Im f), to f const na Ω. 5.. Macierze i układy równań liniowych. Zad.. Obliczyć B T + 4A, gdzie 4 A = oraz B =. 3 3 6 6 4 Zad.. Obliczyć rząd macierzy 3 3
3 Zad. 3. Obliczyć wyznacznik 3 4 5 5 5 Zad. 4. Znaleźć macierz odwrotną do macierzy Zad. 5. Obliczyć rząd macierzy 3 6 6 6 4 3 3 3 3 6 Zad. 6. Rozwiązać układ równań 6x + 4y + 5z + t + 3u = 3x + y + 4z + t + u = 3 3x + y z + t = 7 9x + 6y + z + 3t + u = Zad. 7. Rozwiązać układ równań x + y z + 3t + w = 4x y + z t + w = 6x + 3y z + 4t + 3w = 5 x + 5y 3z + 8t + w = 3 Zad. 8. Czy poniższy układ równań posiada jakiekolwiek rozwiązanie? x + y + z = x + y + 3z = x + y + 3z = x + y + z = 5 Zad. 9. Rozwiązać układ równań x + y + z = x y z =. Zad.. Zbadać warunki rozwiązalności układu w zależności od parametru a x + (a + )y = 5 3x + (a + )y =. (a + )x + 4y = Zad.. Rozwiązać układ równań x y + z = x + y z = 3. 4x + y z = 8 Zad.. Rozwiązać układ równań 3x + y = x y = (a) metodą Cramera; (b) metodą macierzy odwrotnej. Zad. 3. Zbadać warunki rozwiązalności poniższego układu równań w zależności od parametru a ax + (a + 3)y + az = 3a + 9 (a )x + (3a + )y + (4a 4)z = 7a +.
6 6.. zeregi liczbowe. Zad.. Zbadać zbieżność szeregów: (a) ( ) n sin π 4 n (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (j) (k) (l) (m) (n) (o) n 3 n + 4 n (n)! n! n n tg 3 n n tg π n+ n+ n ( ) n! n (n + 3)n+3 ( ) n + 3 ( ) n sin 3 n ( ) n n n tg 6 n tg n n ( ) n sin n n! ( ) n sin n n n 4 n ( arc tg n ( ) n 3 sin 4 n tg 5 n n ) n 6. Zadania różne 6.. zeregi funkcyjne. Zad.. Rozwinąć w szereg potęgowy o środku w x = funkcję f(x) = x arc tg x ln + x. Zad.. Zbadać zbieżność szeregu potęgowego Zad. 3. Zbadać zbieżność szeregu n (x 5)n+ ( ). n + 3 Zad. 4. Zbadać zbieżność jednostajną szeregu n(x ) n n + 3n. sin nx 3 n4 + x 4, x R.
7 Zad. 5. Zbadać zbieżność jednostajną szeregu cos nx n! n. Zad. 6. Zbadać zbieżność szeregu [ (3n ) + 3n ( ) n arc tg ] x n. 3n e Zad. 7. Korzystając z wzorów na całkowanie i różniczkowanie szeregów potęgowych wyraz po wyrazie obliczyć sumę szeregu n=. (n+)3 n Zad. 8. Za pomocą rozwinięcia funkcji f(x) = x, x [ π, π] w szereg Fouriera obliczyć sumę szeregu. (n ) Zad. 9. Wyznaczyć rozwinięcie funkcji f(x) = dla x ( π, ) dla x [, π]. w szereg Fouriera. Wyznaczyć sumę otrzymanego szeregu dla x =. Zad.. Rozwinąć w szereg Fouriera funkcję f(x) = x dla x [ π, π]. Zad.. Rozwinąć w szereg Fouriera funkcję f(x) = x dla x [ π, π]. Zad.. Rozwinąć w szereg Fouriera funkcję dla x ( π, ) f(x) = dla x (, π dla x ( π, π) oraz narysować wykres sumy szeregu. Zad. 3. Rozwinąć w szereg Fouriera funkcję dla x ( π, ) f(x) = dla x [, π). Zad. 4. Rozwinąć w szereg Fouriera funkcję f(x) = x w przedziale [ π, π]. Zad. 5. Rozwinąć w szereg Fouriera według sinusów funkcję dla x (, π f(x) = ) 4 dla x ( π, π) 4 i naszkicować wykres sumy szeregu. Zad. 6. Rozwinąć w szereg Fouriera według cosinusów funkcję dla x (, π f(x) = ) dla x ( π, π) i naszkicować wykres sumy szeregu. Zad. 7. Rozwinąć w szereg Fouriera funkcję dla x [ π, ) f(x) = x dla x [, π). Zad. 8. Rozwinąć w szereg Fouriera funkcję dla x [ π, ) f(x) = x dla x [, π).
8 6.3. Geometria analityczna i elementy algebry liniowej. x = + 3t Zad.. Obliczyć kąt przecięcia się prostych l : y = t i k : z = t x = + t y = t z = + 4t Zad.. Wiedząc, że a b =, korzystając z własności iloczynu wektorowego obliczyć (4 a) ( a + b). Zad. 3. Wyznaczyć równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt P (,, ) i prostopadłej do prostej l danej równaniem krawędziowym: x y + z 3 = x + y z + =. Zad. 4. Obliczyć objętość czworościanu o wierzchołkach A(,, ), B(, 3, ), C(,, 6), D(, 3, 8). Zad. 5. Wyznaczyć prostą równoległą do wektora u = [,, ], przechodzącą przez punkt P (,, ). Zad. 6. Czy prosta zawierająca punkt P (,, ) może leżeć w płaszczyźnie x y + z =? Zad. 7. Czy istnieją proste l u i k v takie, że l k, ale u v? Odpowiedź uzasadnić. Zad. 8. Dany jest czworościan o wierzchołkach A(,, ), B(,, ), C(,, ), D(,, ). (a) Obliczyć długość wysokości poprowadzonej z wierzchołka D na podstawę ABC. (b) Obliczyć odległość wierzchołka D od prostej zawierającej bok AC. (c) Obliczyć cosinus kąta między ścianą DAB a podstawą ABC. Zad. 9. Dany jest czworościan o wierzchołkach A(,, ), B(,, ), C(, 4, 6) oraz D(,, ). (a) obliczyć objętość tego czworościanu, (b) napisać równanie prostej zawierającej wysokość opuszczoną z wierzchołka D. Zad.. Znaleźć punkt symetryczny do punktu A(,, ) względem prostej x = y 3 = z 4. Zad.. Dane są: punkt A(,, ), płaszczyzna Π: x + y + z = i prosta x + z = l : y + =. Wyznaczyć równanie płaszczyzny zawierającą prostą l i przechodzącą przez punkt B, symetryczny do punktu A względem płaszczyzny Π. Zad.. Znaleźć rzut prostej x + y = na płaszczyznę, w której leży prosta binormalna do krzywej x(t) = t K : y(t) = t z(t) = t dla t = oraz prosta x(t) = + t l : y(t) = + t. z(t) = t Zad. 3. Naszkicować krzywą daną równaniem x + 4xy + 4y y + =. Zad. 4. Dane są współrzędne wektora x = [5,, 4] w bazie kanonicznej. Znaleźć współrzędne wektora x w bazie e = [,, ], e = [,, ], e 3 = [,, ]. Zad. 5. Wykazać, że przyporządkowanie każdemu wektorowi (x, y) przestrzeni R wektora (u, v, w) przestrzeni R 3 określone wzorami u = x + y, v = x, w = x + y jest przekształceniem liniowym R w R 3..
9 6.4. Granice funkcji. Zad.. Obliczyć granice: ( ) arc sin x x (a) lim x x x (b) lim (sin x)tg x + (c) lim ( + sin x) x x ( (d) lim x + x ) tg x (e) lim(cos 4x) x x (f) lim( x) x (g) lim (tg x) x π 4 tg πx tg x 6.5. Granice ciągów. Zad.. Obliczyć granice: n( n (a) lim + n n) n ( n + ) (b) lim n ln(5 + n) ln n n n (c) lim n + + 4 +... + n Zad.. Niech a n = ( n 3 +6n +5n 8 n 3 +6n 4n+7 6.6. Badanie przebiegu zmienności funkcji. ) 6n +5 oraz bn = n 3 n n 6 + 5 n n. Obliczyć lim n (a n + b n ). Zad.. Wyznaczyć asymptoty ukośne funkcji f(x) = (x + 5)e x. Zad.. Zbadać przebieg zmienności funkcji f(x) = x3 + i naszkicować jej wykres. (x+) Zad. 3. Zbadać przebieg zmienności funkcji f(x) = x + arc tg i naszkicować jej wykres. x Zad. 4. Zbadać przebieg zmienności funkcji f(x) = (x + 6)e x i naszkicować jej wykres. Zad. 5. Wyznaczyć wszystkie asymptoty funkcji f(x) = (x + 3)e x x+3.