WIADOMOŚCI WSTĘPNE Odsetki powstają w wyiku odjęcia od kwoty teaźiejszej K kwoty początkowej K 0, zate Z = K K 0. Z ekooiczego puktu widzeia właściciel kapitału K 0 otzyuje odsetki jako zapłatę od baku za udzieleie u pawa do dyspoowaia kwotą K 0 w okeśloy czasie. Wysokość odsetek zależy od kwoty jaką wpłacay do baku oaz od okesu a jaki wpłacay wspoiaą kwotę, dlatego też posługujey się wskaźikie azyway stopą pocetową. Stopą pocetową azyway stosuek odsetek Z do watości początkowej K K0 kwoty czyli (). Z () wyika, że (2) Z K0, (tz. odsetki Z dają się wyazić K Z 0 K0 pzez stopę pocetową oaz watość początkową K 0 ), a także (3) K K0( ), (tz. pzyszłą watość kapitału daje się wyazić pzez stopę poc. i wat. początkową K 0 ). Opocetowaie azyway wyzaczaie odsetek. Wyzaczoe odsetki będące zapłatą za wypożyczeie kapitału ogą być wypłacoe a końcu okesu wypożyczeia i ówiy wtedy o opocetowaiu z dołu lub też a początku tego okesu opocetowaie z góy. Kapitalizacją odsetek azyway ich dopisywaie do kapitału. Czas, w któy odsetki są dopisywae azyway okese kapitału bądź okese kowesji. Jeśli odsetki dopisywae są a końcu kapitalizacji, ówiy o kapitalizacji z dołu w pzeciwy azie kapitalizacji z góy. Kapitalizacja zgoda a iejsce gdy okes stopy pocetowej pokywa się z okese kapitalizacji gdy jest iaczej ay do czyieia z kapitalizacją iezgodą. W zależości od sposobu ustalaia odsetek wyóżiay kapitalizację postą (gdy opocetowaiu podlega wyłączie kwota początkowa) oaz złożoą (opocetowaiu podlega zaówo kapitał początkowy i agoadzoe odsetki). Dyskotowaie to opeacja odwota do kapitalizacji i jest to wyzaczaie wcześiejszych watości kapitału a podstawie zajoości watości późiejszych. Stopa pocetowa wykozystywaa pzy dyskotowaiu azywaa jest stopą dyskotową, pzy czy, w pzeciwieństwie do st. poc., iezy oa tepo poiejszaia kapitału w czasie. Kapitalizacja zgoda posta. Ozaczy pzez P pzyszłą watość kapitału K 0 po okesach kapitalizacji, gdzie liczba atuala, pzy czy odsetki są dopisywae z dołu. Obliczaie pzyszłej watości P + a koiec (+) go okesu kapitalizacji pzebiega astępująco: do watości P z końca tego okesu kap. dopisujey odsetki Z + pzypadające z (+) szy okes. Taki więc ciąg (P ) pzyszłych watości kapitału K 0 spełia ówaie ekuecyje: (4) P P Z, 0,,..., P0 K0. Poieważ ay do czyieia z kap. postą to opocetowaiu podlega jedyie kapitał początkowy. Ciąg odsetek (Z ) jest zate ciągie stały i a ocy wzou (2) ay: (5) K,,2,.... Podstawiając Z 0 (5) do (4) otzyujey: (6) P P K0, 0,,... co wskazuje, że ciąg (P ) jest ciągie aytetyczy o óżicy K 0. Piewszy wyaz tego ciągu a więc P z uwagi a wzó (3) a postać P K K0( ). Zate -ty wyaz tego ciągu a postać (z def. ciągu aytetyczego) P ( ) K K ( ) ( K, skąd otzyujey (7) P 0 0 ) 0 P K0( ). Liczbę (+ ) azyway współczyikie akuulacji lub czyikie watości pzyszłej w kapitalizacji postej. Taktując (7) jako tożsaość widziy, że zajoość tzech spośód czteech wielkości P, K 0,, pozwala wyzaczyć czwatą. W P szczególości ay (7 ) K 0. Oczywiście sua odsetek wytwozoych pzez kapitał ( ) K 0 w ciągu okesów kap. jest ówa óżicy watości pzyszłej P i watości teaźiejszej K 0, a więc: (8) i Z i P K0 0 ) 0 0 K ( K K. Zając watość P oża ją aktualizować/dyskotować a k okesów otzyując P +k /P -k dodając/odejując odsetki poste za K 0 k okesów. Tak więc aktualizacja (9)
P k P K P 0 k P ( k k 0 k P ( ), 0,,..., k 0,. k k P ),, 0,,... oaz dyskotowaie (0) P k P K,..., KAPITALIZACJA ZŁOŻONA Z DOŁU ZGODNA Pzypoiay, ze w kapitalizacji złożoej opocetowaiu podlega zaówo kapitał początkowy Ko jak i zgoadzoe do tej poy odsetki. Poadto odsetki dopisywae są do kapitału a koiec okesu kapitalizacji i okes stopy pocetowej pokywa się z okese kapitalizacji. Pzyszła watość kapitału Ko po okesach kapitalizacji ozaczay sybole K. Ciąg pzyszłych watości, tj ciąg {k} kapitału Ko spełia ówaie ekuecyje: () K + =K+Z +, =0,,,,, gdzie Z + są odsetkai pzypadającyi za + szy okes pzy czy odsetki Z + wyzacza się w opaciu o cały agoadzoy pzez okesów kapitał czyli (2) Z + =K, =0,,2. Po podstawieiu (2) w () otzyujey, że (3) K + =K+K=K(+) =,2, Z (3) wyika, że ciąg {K} jest ciągie geoetyczy o piewszy wyazie k=k0(+) i iloazie (+). Zate -ty wyaz ciągu {K} wyaża się wzoe. (4) K=K(+) - = Ko(+), =0,,.. Liczbę (+) azyway Współczyikie akuulacji lub czyikie watości pzyszłej w odelu kapitalizacji złożoej z dołu. Zależość (4) ustala zależość poiędzy 4 wielokotości K,ko,, zajoość tzech pozwala wyzaczyć czwatą. W szczególości wat. teaźiejszą kapitału K jest : (5) Ko= K / ( (+) ) =0,, Zauważy, że w ciągu okesów kapitalizacji wat. agoadzoych odsetek jest ówa óżicy iędzy wat. koń. K o wat. pocz Ko, a więc wobec wzou 4 ay (6) Σ (i= do ) Zi=K-Ko=Ko[(+) -] =,2 KAPITALIZACJA ZŁOŻONA Z GÓRY ZGODNA W odelu kapitalizacji złożoej, w któy odsetki ówież podlegają opocetowaiu. Odsetki ogą być dopisywae do kapitału początku okesu kapitalizacji będzie to więc odel kapitalizacji złożoej z góy. Dodatkowo zakładay, że okes stopy pocetowej pokywa się z okese kapitalizacji. A więc kapitalizacja jest zgoda. Pzyszłą watość kapitału ko a początku -tego okesu kapitalizacji będziey ozaczać W. Główy cele dalszych ozważań będzie wyzaczeie ciągu {W} Wpłacay kwotę Ko. Kwota Ko podlega opocetowaiu z góy, a więc do Ko dopisaa jest kwota Ko jako opocetowaie. Lecz ta kwota zajdująca się akocie ówież podlega opocetowaiu z góy i to opocetowaie wyosi Ko itd. Zate W=Ko+Ko+Ko 2 +.. = Ko(++ )= Ko(/(-))=Ko(-) - o ile 0<<. Aalogiczie postępując otzyujey, że W2=W+W+W 2 +..=W(-) - i ogólie (9) W + =W+W+W 2 +..=W(-) - Wzó 9 wskazuje, że ciąg {W} jest geo. o iloazie (-) - zate (20) W=W[(-) - ] - =Ko(-) -, =,2 Liczbę (-) - z. Współczyikie akuulacji lub czyikie wat. pzyszłej w odelu. Zależość (20) taktujey jako tożsaość wiążącą ze sobą 4 wielkości W,Ko, i. Zając 3 z ich. Pozwala wyzaczyć 4-tą, a w szczególości (2) Ko=W(-) Watość kapitalizowaych odsetek pzez okesów jest ówa
(22) Σ (i= do ) Zi=W-Ko=Ko[(-) - +] =,2 KAPITALIZACJA NIEZGODNA Jeśli okes stopy pocetowej ie pokywa się z okese kapitalizacji to kapitalizacje azyway iezgodą. Jeśli okes stopy pocet jest całkowitą wielokotością ok. Kapitalizacji to ówiy o kapitalizacji w podokesach. Jeśli ok. kapitalizacji jest całkowitą wielokotością ok. stopy pocetowej to ówiy o kapitalizacji w adokesach. Jeśli ozacza stosuek ok. Stopy % (oczej lub iej) do okesu. Kapit a więc =okes stopy pocetowej/okesu stopy kapitalizacji. To z powyższego wyika, że w pzyp. Kapiatl w podokesach ależy do N. atoiast atoiast pzypadku kapitalizacji w adokesach jest ułakie o iaowiku będący wielokotością liczika. Jeśli jest oczą stopą pocetową wówczas w zależości od watości paaetu kapitalizacja azywa się: ocza =, iesięcza =2, czteoletia =0,25. Jeśli jest oczą lub ią stopą pocetową, to w pzypadku kapitalizacji iezgodej odsetki pzypadające a okes kapitalizacji wyzacza się a podstawie względej stopy pocetowej(dostosowaej) --, któą okesla się -- =/. I w ty pzypadku jest stopa oiala. Stopa oiala jest zasadiczy ośikie if. O ofecie bakowej pzy czy osetki w day baku ogą być wyzaczoe wg iej stopy p. względej. Należy zauważyć, ze achuek pocetowy achuek pzyp. Kapitalizacji iezgodej jest aalog. Pocetowego dla kapitalizacji zgodej opisaej wcześiej z ta óżicą, ze zaiast o. Stopy % ależy zastosować oaz zaiast l okesów stopy pocetowej ależy uwzględić l okesów kapitalizacji. 2 lata -- =2 k=6. Tak więc pzyszła watość kapitału Ko w kapitalizacji iezgodej po k okesach kapitalizacji wyosi: dla kapitalizacji postej: (25) P k/ =Ko(+k(/)), dla złożoej z dołu: (26) K k/ =Ko(+/)) k dla złożoej z góy: (27) W k/ = Ko(-/)) -k Model kapitalizacji postej stosuje się ajczęściej pzy opocetowaiu kot z często zieiający się salde p. kwot a achukach bakowych. Jedą z ożliwych do zastosowaia techik wyzaczaia stau kota jest etoda liczb pocetowych: Metoda liczb pocetowych. Niech oz. Roczą stopę % zgodie ze wzoe 25, pzyszla watość ko po t diach w opocetowaiu posty jest ówa kt=ko(+t(/360)) atoiast odsetki poste za te okes wyoszą Zt=kt-k0=Kot(/360). Czyik Kot azywa się liczbą pocetową atoiast 360/ dzielikie pocetowy Zauważy, że liczba pocetowa jest f-cja czasu atoiast dzielik pocetowy jest wielkością stałą iezależa od czasu. Pzyjijy teaz, żę a achuku bakowy dokoao N opeacji bakowych wpł at i wypłat pzy czy wysokość kwoty w i-tej opeacji oz. Pzez Si wpłaty popzedzoe są zakie + a wypłaty -, Niech ti ozacza liczbę di, któe upłyęły iędzy die dokoaia i-tej opeacji a die ozachuku t. Pzy powyższych oz. Wat. kota bakowego w diu t jest ówa. Kt=S(+t(/360))+ S2(+t2(/360))+ + S(+(/360))= Σ (i= do )Si+(/360) Σ (i= do )Si ti Suę L= Σ (i= do )Si Ti azyway suayczą liczbą pocetową. Sta kota w diu t oża zapisać w postaci (28)Kt= Σ (i= do )Si +(/360)L
W powyższych ozważaiach zostały zastosowae stadadowe liczby di. Stosując podobie wyliczeia oża uwzględić zeczywiste liczby di. Należy zwócić uwagę a fakt, ze baki liczą czas opocetowaia wpłaty od dia astępującego po jej dokoaiu, atoiast opocetowaie wypłaty (kedytu) liczy się od dia jej dokoaia. Jak zauważyliśy wcześiej achuek pocetowy w pzypadku kapitalizacji iezgodej opisują wzoy (25),(26),(27). Naszy ajbliższy cele jest zbadaie zachowaia się fukcji Pk/ i Kk/ i Wk/,będących pzyszłą watością kapitału Ko w zależości od okesu kapitalizacji, czyli od częstości dopisywaia odsetek. Dokładie czy pzyszła watośc kapitału Ko pzy jedokoty dopisywaiu odsetek w ciagu wg stopy pocetowej jest taka saa jak pzyszła watość tego kapitału pzy dwukoty dopisywaiu odsetek wg stopy pocetowej /2 i taka saa jak pz 3-koty dopisywaiu odsetek wg stopy pocetowej /3 itd. Na początek zbaday zachowaie się Pk/ okeśloej wzoe (25).Wykażey astępujące tw..twiedzeie Po okesach stopy pocetowej pzyszła watość kapitału Ko w odelu kapitalizacji postej zgodej PN (wzó(7)), jest taka saa jak w odelu kapitalizacji postej iezgodej (wzó(25)), tj ie zależy od okesu kapitalizacji.dowód Istotie, pzypuśćy że ay do czyieia z wyzaczeie pzyszłej watości Ko po okesach stopy pocetowej pzy -koty dopisywaiu odsetek w ciągu -go okesu stopy pocetowej. Zate k=* i wzó(25) pzyjie postać P/=Ko(+*/)=Ko(+)=P/. Wzó powyższy wskazuje, że watość ta jest taka saa jak pzy jedokoty dopisywaiu odsetek w ciagu okesu stopy pocetowej (tj =). Co wiecej jeżeli poóway wzó (7) to widziy, ze jest oa taka saa jak w odelu kapitalizacji postej zgodej. Pzechodziy teaz do aalizy wzoów (26), (27) wyażających watość pzyszłą kapitału odpowiedio pzy kapitalizacji złożoej z dołu i złożoej z góy pod kąte ich zachowaia względe częstości kapitalizacji zachodzi: Twiedzeie 2 Dla każdej ustaloej wielokotości () okesu stopy pocetowej pzyszła watość kapitału w odelu kapitalizacji złożoej z dołu jest osącą f-cją częstości kapitalizacji odsetek () Dowód: Wykażey, że dla każdej ustaloej l atualej f-cja: K/=Ko(+/)=Ko(+/) jest osaca względe. Zauważy a początek, że dla kapitalizacji w podokesach jak i w adokesach wyażeie p = jest l atuala. Gdy (częstość kapitalizacji) ośie (->ieskończoość) wtedy ówież p ósie.wystaczy wykazac ze ciag{ap} ap=(+/p) p p=,2, jest ciagie osący. Udowodiy kozystając z ieówości,ze ciag {ap} jest osący ap>ap- p>=2 Istotie ay (ap+)/(ap)=p(+/p)[-/(p+)(p+)] p+ Jeśli zastosujey ieówość Beoulliego (30) dla x = -/(p+)(p+) wtedy otzyay : (ap+)=(+/p)*p/(p+)=. Wykazaliśy, że p jest liczba atuala to ap+>ap, a więc ciąg {ap} jest osący. Zauważy teaz, że K/=Ko*a. Zate K/ jest f-cja osącą zieej co kończy dowód Uwaga Jeśli, są liczbai atualyi wtedy (3) K/=Ko(+/) >=Ko(+/) * =K/=Ko(+) =K gdzie K okeśloe jest wzoe (4). Na koiec oówiy wzó (27) pod względe częstości kapitalizacji zachodzi: Twiedzeie 3 Dla każdej ustaloej wielokotości () okesu stopy pocetowej pzyszła watość kapitału w odelu kapitalizacji złozoej z góy jest f-cja alejąca częstości kapitalizacji ().Dowód Poieważ k=, więc wzó (27) pzyjie postać W/=Ko(-/) - =Ko(-/) -. Wyażeie p= jest liczbą atualą, zate wystaczy wykazać ze {bp} okeślay wzoe b=(-/p) p jest ciagie osący. Istotie, stosując podobe ozuowaie jak w dow.tw2 otzyujey,ze (bp+)/(bp)=(-/p)*(/(-/p)). Tak więc bp+>bp, p ależy do
N jest to ówoważe teu, że f-cja okeśloe wzoe (32) pzy ustaloy jako f-cja zieej jest alejąca. Uwaga Jeżeli, są dowolyi liczbai atualyi, to: (33) W/=Ko(-/) - <=Ko(-/) - =W/=Ko(-) - =W, gdzie W okeśloe jest wzoe (20)Uwaga Jeśli, są dowly liczbai atualyi, to : (34) K<=k/<=W/<=W lub ówowazie (35) Ko(+)<=Ko(+/) <=Ko(-/) - <=Ko(-) - Dowód Wystaczy wykazac ze K/<=W/,, aleza do N i zasotsowac (3) i (33),w ty celu zauważy, że - (/) 2 <, a wiec (-/) - =/(-/)>+/ i w kosekwecji (-/) - >(+/), a więc K/=Ko(+/) <=Ko(-/) - =W/, Zate ieówości (34) zostały wykazae Nieówości (34), a wiec (35) oaz (3),(33) ozaczaja, że pzy ustaloej oaz od częstości dopisywaie odsetek. ieówości (34), (35) poządkują w pewy sesie odelu kapitalizacja złożoej. EFEKTYWNA STOPA PROCENTOWA O RÓWNOWAŻNA STPOPA PROCENTOWA Niekiedy zachodzi koieczość ziay okesu kapit. z ówoczesy zachowaie efektów opocetowaie. Dzieje się tak w iektóych zagadieiach ateatyki fiasowej p. wkłady oszczędościowe, spłata długów. Pojawia się tez potzeba zastąpieia kapit. iezgodej kapit. zgodą i odwotie. Zachodzi zate koieczość zówoważeia efektu kapit. w podokesach lub w adokesach. Zówoważeie to w pzypadku kapit. złoż. z dołu jest związaa z ożliwością zastąpieia ieówości (po 35) (38 ) Ko(+) <=Ko(+/) popzez ówoważość oża to uczyić a dwa sposoby I sposób W odpowiedi sposób podwyższay stopę pocetowa występującą po lewej stoie tej ieówości. Zate w lewej stoie tej ieówości w iejsce kładziey ef, a efektywa stopę pocetową, i dla kapit. złożoej z dołu stopę efektywą, ef okeśla się ówaie Ko(+ ef ) = Ko(+/) A stą otzyujey (39) ef =(+/) II sposób Polega a obiżeiu stopy względej / występujące w ieówości (38) tak aby otzyać ówość. Tak obiżoą stopę pocetową ówoważą stopę pocetową i oz. R. Zate dla kapitalizacji złożoej z dołu stopę okeśla ówaie Ko(+ ) = Ko(+ ) Stąd otzyujey, że (40) R =(+) / - Zówoważeie o któy wspoieliśy powyżej w pzypadku kapit. złożoej z góy jets związae ożliwości zastąpieia ieówości(po 35) W = Ko(+/) - <=Ko(-) - = W Popzez ieówość ówież w ty pzypadku oża to zobić a 2 sposoby (4) ef - = -(-/) II Sposób Podwyższay stopę względe /do poziou stopy ówoważej -, a więc - spełia ówaie
Ko(+ - ) = Ko(+ ) - tz. - =-(-) / Uwaga (a)stopy ef -, ef ają te sa okes co stopa oiowaa, z ty że ówoważą (iwelują) skutki kapit. iezgodej (b)stopy ef -, ef ają te sa okes co stopa względa / z ty że ówoważą (iwelują) efekt kapit. iezgodej. Stopy efektywe ef -, ef i stopy -, pozwalają a ówoważe zastępowaie bez zia efektu opocetowaia kapit. zgodych kapitalizacjai iezgodyi. Otzyaliśy bowie astępujące zależości (43) K=Ko(+) = Ko[(+) / ] =Ko[+(+) / -] = Ko(+ ) (44) K k/ =Ko(+/) k = Ko[(+/) ] k / =Ko[+(+/) -] k / = Ko(+ ef ) k / (45) W=Ko(-) - = Ko[(-) / ] - =Ko[+(-) / -] k / = Ko(- - ) - (46) W k/ =Ko(-/) - k = Ko[(/) ] - k / =Ko[+(-/) -] k/ = Ko(+ ef ) - k / Aalizując wzoy (43) i (45) zauważay, że dają oe podstawę do okeśleia w uowy sposób pzyszłej watości kapitału po iepełej ilości okesów kapit. w aach odelu kapit. złożoej. Istotie, ozwiązaie jest astępujące. Jeśli ozacza stopę pocetową któej okes pokywa się z okese kapit. to zeczywisty czas opocetowaie t dzieliy a k ówych części (jedostek podstawowych), tak aby okes kapit. był całkowitą wielokotością takich części i wówczas pzyszła watość kapit. Ko po czasie t otzyujey pzyjując we wzoze (43) lub (45) watość k zaiast watość o oaz dla częstości wzoy te (pisae od stoy lewej do pawej ) pzyjują wtedy postaci (43 ) i (45 ) (43) Kt=Ko(+ ) k =Ko[+(+) / -] k = Ko(+) k / (45) Wt=Ko(- - ) -k = Ko[+(-) / -] k = Ko(- ) k / UWAGA Stopy efektywe i stopy ówoważe spełiają ieówości Dla kapit. złożoej z dołu (47) * <=<= ef dla kapitalizacji złożoej z góy (48) * - >=>= ef -, e N DOWÓD Najpiew wykażey ieówość (47). Zgodie z def. Rówoważej stopy pocetowej R (po(40)) ay (+ ) = + Stosując teaz ieówość Beouliego (30) otzyay + = (+ ) >+ gdy > Stąd < gdy > Stosując poowie ieówość Beouliego (30) otzyujey też, że : R ef =(+/) >+ / = gdy > Ty say dowód (47) został zakończoy w pzypadku gdy > Stosując wzó (42) ay - - = (-) / zate (- - ) = - I stosując ieówość Beouliego (30) dostajey - =(- ) > - gdy > a zate * dgy > Zgodie ze wzoe (4) ay poadto, że - ef = ( /) > - / = - gdy > a więc > ef = gdy >
Dowód (48) gdy > został zakończoy Gdy = ay ówości w (47) i (48). Gdy > ay ta ieówości oste Wykozystując podae do tej poy wzoy zauważyliśy że pzyszła wat. Kapit. KAPITALIZACJA CIAGLA Wiadoo że (49) li ->oo (+/) = li ->oo (+/a) / a =e oaz (49) li ->oo (-/) - = li ->oo (-/a) / a =e jesli li ->oo = 0 a=/0 e N Wiadoo też, że dla wszystkich ko,, ciąg pzyszłych wat (5) W / = Ko( + /) dla kapit. złożoej z dołu jets osący względe, atoiast ciąg pzyszłych watości (52) W / = Ko(-/) - dla kapit. założoej z góy jest alejący względe. Poadto (53) K / <=W / dla, e N oaz 0<< zauważy że (wobec (49)) (54) li ->oo K / = li ->oo Ko(+/) =li ->oo [(+/) ] =Ko e oaz (wobec (50)) (55) li ->oo W / = li ->oo Ko(-/) - =li ->oo [(-/) - / ] =Ko e zate ciągi (5) i (52) spełiają (53) i ają wspólą gaicę ówą Ko e Kapit. ciągła def. Jako gaiczy pzypadek kapit. złożoej w podokesach, gdy liczba podokesów (częstość dopisywaia odsetek) zieza do ieskończoości Jeśli pzez K() oz. Pzyszła watość kapitału Ko po okesach stopy pocetowej w odelu kapit. ciągłej, to uwzględiając wzoy (54) i (55) ay (56) K() = Ko e Dla kapit, ciągłej któej odsetki sa dopisywae do kapitału w każdy oecie czasu ustala sie wat. Kapitału po dowoly czasie t. Uogóliając wzó (56). Do postaci (57) K(t) = Koe t, t>0 Gdzie t ozacza czas opocetowaia iezoy okese stopy pocetowej. Z odele kapit. ciągłej spotykay się dość często, p. pzy wzoście asy dzewa (zakładay że ie dokouje się wyębu), odbywa ie wg odelu kapit ciągłej. Wzost ludości świata ówież odbywa się według kap c., watość składowaego wia w zależości od czasu ówież opisuje kap. c. RÓWNOWAŻNOŚC WARUNKÓW OPROCENTOWANIA Powiey że wauki opocetowaia okeśloe w baku I są ówoważe wauko(pefeowae pzez wauki ) okeśloe pzez w baku II w odiaie do pzedziału czasu <0;t> jeśli pzyszła wat. Kapit. po czasie t w baku I jest ówa (większa ok. ) pzyszłej wat. Tego kapit. w baku II Jeśli wauki opocetowaia okeśloe w baku I ś ówoważe wauko (pefeowae pzez wa.) okeśloe w baku II w odiesieiu do każdego pzedziału czasu, to oi ze wauki opocetowaia okeśloe w baku I są ówoważe wauko (są pefeowae pzez watość okeśloe w baku II)
Zał. Ze w baku I obowiązuje ocza st pocetowa a oaz odsetki dopisywae są do kap. azy w ciągu oku, atoiast w baku II obowiązuje ocza stopa pocetowa 2 oaz odsetki sa pzepisywae do kapitału 2 azy w ciągu oku. Pzyp. Że w b I i w b II obowiązuje odel kapit. postej. Rówoważość (pefeecja) wa. Opocet. W b I w stosuku do wat. Opocet. W b II w odiesieiu do lat ozacza zachodzeie ówości (ieówości ) Ko(+**/)= Ko(+*2*2/2) Stąd otzyujey że (59) =2 Poieważ zależość 59 ie jest zależa od więc wyika stąd, że w odelu kapit, postej wauki ówoważe(pefeowae) w odóżieiu od pewego okeśloego pzedziału czasu są ówoważe (pefeowae) w o odiesieiu do każdego pzedziału czasu są ówoważe(pefeowae) Niech teaz w bakach I i II obowiązuje odel kapit. złożoej. Wówczas ówoważość (pefeecja) wat. Opocetowaia w baku I w stosuku do wat opocetowaie w baku II okeśloa jest ówościa (ieówością) Ko(+-/) +- = Ko(+-2/2) +-2 Tutaj zak + dotyczy kapit. zdołu, - kapit z góy. Dla + ay Ko[(+/) -] = Ko[(+2/2) 2 -] a więc Ko(+ ef (I)) = Ko(+ ef (II)) (60 )R ef (I)= R ef (II) R ef (I)= (+/) - R ef (II) = (+2/2) 2 - W pzypadku ay zaś Ko{-[(-/) ]} - = Ko{-[(-2/2) 2 ] - (60 )R ef - (I)= R ef - (II) R ef - (I)= - (-/) R ef (II) = - (+2/2) 2 Widziy że ówież wzoy (60 ) i (60 ) ie zależą od czasu odiesieia stąd wosiy, że dla odelu kapit. złożoej, o ile wauki opocetowaia sa ówoważe (pefeowae) dla pewego czasu, to sa ówoważe (pefeowae) dla każdego pzedziału czasu, a więc sa ówoważe (pefeowae) Zał teaz że bak I stosuje odel kapit, postej z dolu, bak II odel kapit. złożoej z dołu W ty pzypadku ówoważość (pefeecja) wat. Opocetowaia w b I w poówaiu z wat. Opocetowaia w baku II dla lot ozacza, że Ko(+* /)= Ko(+2/2) 2 Poieważ wzó (6) zależy od, bo w szczególości jeśli wa, opocetowaia w baku I sa ówoważe wauko (pefeowae w stosuku do watości opocetowaia w baku II dla jakiegoś pzedziału czasu to ie usza być ówoważe (pefeowae) dla iego pzedziału czasu KAPITALIZACJI PRZY ZIMENNEJ STOPIE PROCENTOWEJ Zał że pzez okesów obowiązywała st. Pocetowa, pzez astępych 2 okesów obowiązywała stopa pocet 222. Zajiey się poblee ustaleia pzyszłej wat. Kap. Ko po okesach gdzie = +2 +..+ zakładay io ziewalającego się st pocet jej okes ie zieia się oaz jest ówy okesowi apit. A więc ozważay kapit, zgodą. CO więcej zakładay że a pzestzei wszystkich okesów obowiązuje te sa odel kapit. Zał a początek że obowiązuje odel kapit. postej. Oczywiście odsetki poste od kapit. Ko po okesach wyoszą (62) Z= Ko +..+kopp= Kp(+..+pp)), i pzyszla wat. Kapitału po okesie jets ówa
(63) = P= Ko+ Z=Ko(++...+p. p) Jeśli obowiązuje odel kapit. złożoej z dołu lub z góy lub odel kapit. ciągłej wtedy, wat. Kapitału po day okesie staje się wat początkową dla okesu astępującego, Zate pzyszłą wat okesu Ko dla tych odeli ówież liczy się łatwo - dla kapit. złożoej z dołu (64) K= Ko(+) *...*(+) p. - dla kapit. złożoej z góy (65) W= Ko(-) - *...*(-) - p. dla odelu kapit. ciągłej (66) K()= Ko e *...* e p p + p p = Ko e Dla ozważoej powyżej kapital. P[zy zieej st. Pocet sesowe jest wpowadzeie pzeciętej stopy pocet w okesie twaia lokaty. Pzecięta stopa pocetowa azywać będziey taką st. Pocetową pz dla któej pzyszła wat kapit. jest taka sua jak pzyszła wat. Kapit. pzy zieiającej się st. Poc. Jeśli uwzględiy powyższa def oaz wzoy (63)-(66) zate ożey wypowadzić wzoy a pzecięte stopy pocetowe pz dla odpowiedich odeli kapit. W pzypadku odelu kapit postej z wyaża się wzoe Ko(+ po )= Ko(++...+ p p ) Stąd otzyujey (67) pz = /(+..+ p p ) W pzypadku odeli kapit. złożoej z dołu wat. pz wyaza się ( ) *...* ( p). - (68) pz = p W pzypadku odelu kapit. złożoej z góy wat. pz wyażą się Ko(- pz )= Ko(- ) - *...*(- p ) -p. stąd otzyujey ( ) *...*( p) -p (69) pz = W pzypadku odelu kapit. ciągłej wat pz wyażą się wzoe Ko e pz = Ko e +...+ p p stąd ay R pz = /( +...+ p p ) KAPITALIZACJA MIESZANA Kapitalizację ieszaą azyway taką kapital. Dla któej w czasie opocetowaia lokaty zieia się odel kapit. Poadto waz ze ziaą odelu kapit. oże zieić się takie st pocet. Załóży że do baku została wpłacoa pewa kwota jako lokat ai zał. Że został zadeklaoway czas twaia lokaty. Czas te jets z eguły całkowitą wielokotością okesu kapit. W pzypadku gdy właściciel lokaty ie wycofał kapitału po okesie deklaoway i pzekoczył go o iepeły okes kapit. wtedy odsetki za pzekoczoy czas będą aliczae a óże sposoby. Bak ie dolicza odsetek za pzekoczoy czas ; 2 Bak dolicza odsetki poste od kapitału początkowego wg iższej st. Pocetowej 3 Bak dolicza odsetki poste od końcowej wat kapitału wg iższej st. Pocetowej 4 3 Bak dolicza odsetki poste od końcowej wat kapitału, ale wg iej stopy pocetowej, jest opocetoway kapital początkowy, a wg iej zgoadzoe odsetki 5 Bak dolicza cz. Odsetek pzypadający a piewszy okes kapit. popocjoalą do liczby pzekoczoych di 6 Bak dolicza odsetki złożoe za cały czas twaia lokaty z wykozystaie wzou(43 )
Pzypoiay że jeśli czas opocetowaia <0,t> ie jest całkowitą wielokotością okesu kapit wtedy pzedstawiay go jako sua dwóch pzedziałów całkowite wielokotości ok. Kapit. i eszty będącej adokese ok. Kapit. Oczywiście w poszczególych pzedziałach ogą obowiązywać ie odele kapit. i ie stopy poc. Załóży że w pzedziale czasu (obejujący lat) obowiązuje kapit. złożoa z dołu pzy oczej stopie poc, a w pozostały pzedziale obejujący 2 die (2<360) obowiązuje kapit. posta z dołu pzy oczej st. Pocet 2. W pzyp. wat kapit. Ko pzyjie wat(7) Kt=Ko(+) W pzyp. 2 pzyszła wat. kapit. Ko po czasie t pzyjie wat (72) K t =Ko(+) +Ko * 2 [(+) + 2 * 2 /360]= [Ko(+) + 2 * 2 /360] W pzy. 3 pzyszłą wat Ko wyosi (73) K t =Ko(+) +Ko (+) * 2 2 /360=Ko(+) (+ 2 * 2 /360) W pzypadku waiatu 4 pzyszła wat kapitału wyosi (74) K t =Ko(+) +Ko 2 2 /360+[ Ko(+) - Ko] 2 3 /360= Ko(+) (+ 2 2 /360)+Ko 2 ( 2-3 ) W pzypadku waiatu 5 ogą być dopisywae odsetki od kapituł początkowego w wysokości Ko 2 /360 lub odsetki od kapitału końcowego w wysokości Ko(+) 2 * /360). W kosekwecji wat. pzyszła kapitału początko. Ko będzie ówa odpowiedio (75) K t =Ko(+) +Ko * 2 * 2 /360]= [Ko(+) + 2 * /360] lub (76) ) K t =Ko(+) +Ko (+) * 2 /360=Ko(+) (+ 2 * /360) W pzypadku waiatu 6 pzyszła wat. kapit. Ko po czasie t=360+2 będący czase twaia lokaty wyażoy pzez liczbę di zgodie ze wzoe (43 ) pzyjie postać K t =Ko(+) t/360 Jeżeli kapit. ie jest zgoda wtedy pzyszła wat opisująca aalitycze wzoy (7)-(76) Pzy czy ozacza wtedy stopę pocetową względie dostosowaa do okesu kapitalizacji. Natoiast wyaża ilośc pełych ok. Kapit. zawatych w pzedziale<0,t> OPROCENTOWANIE LOKATY Z UWZGLĘDNIENIEM INFLACJI Sybole i oz. Stopę iflacji, sybole K o oz. Pzyszłą wat kapitału Ko w staych ceach (p. z ubiegłego oku ), K e ozaczay zeczywisty wzost wat. kapitału Ko wyazoy w ceach bieżących, jest o iejszy od K o. Zachodzi wzó (*) +i = K o / K e, zakładay, ze okes st. Pocetowej jest ówy okesowi stopy iflacji pzy czy z eguły okese ty jest ok. Wiadoo, że oialy wzost wat. kapitału Ko p okesie wyaża wzó K o = Ko(+) Jest to pzyszła wat. kapit. w staych ceach(z ubiegłego oku), zeczywisty wzost kapit. Ko uwzględiający wzost ce, a więc wyażoy w ceach bieżących, jest iejszy, okeśloy jest wzoai (77) K e = Ko *(+)/(+i) Tak więc w związku ze wzoste ce towaów i usług ealy (zeczywisty wzost wat. pieiądza jest iejszy i eale tepo poażaia wat pieiądza w czasie ealą (zeczywistą) stopa pocetową i oz sybole e ). Reala stope pocetowa okeśla więc ówaie Ko(+ e )= Ko(+)/(+i) A więc
(78) e )= (+)/(+i) z (78) wyika że eala stopa pocetowa jest dodatia (a więc eala wat pieiądza ośie ) stopa pocetowa jest większa od stopy iflacji Jeśli wzó (77) zapiszey w postaci K e = Ko /(+)*(+i) wtedy jego itepetacja jest astępująca i będzie ozaczać zeczywiste poożeie kapitału jaki dokoay ideksacji (waloyzacji ) kwoty Ko o wskaźik iflacji a więc jeśli zaiast Ko pzyjiey Ko(+i). Watość Ko (+i) ozacza że watość Ko wzosła o czyik (+i) w jedy okesie stopy pocetowej W iy pzypadku kapit. iezgodej pzy =koty dopisywaiu odsetek i okesie stopy pocetowej, eala (zezywistą ) stopą efektywą okeśla ówaie Ko(+ e, ef )= Ko A więc (79) e, ef = i i i i Gdzie ef =(+/) - W powyższych ozważaiach uwzględioo wpływ iflacji pzypadającej a okes stopy pocetowej Załóży teaz że kapitał początkowy Ko(pieięży) poażał się i ef i watość pzez okesów st. poc. zgodie z odele kap. złożoej z dołu zgodej. Zał. że stopa iflacji a pzestzei tych okesów zieia swoją watość i iech pzez piewszych okesów wyosi i, pzez astępych 2 okesów wyosi i 2 itd. Niech = + 2 +...+ P Wzó (*) ozacza że a pzestzei -go okesu st. poc. K 0 wzosła o czyik (+i). Pzy powyższych uwaukowaiach jest oczywiste że a pzestzei okesów pozio ce wzasta o czyik: (+i ) (+i 2 ) 2...(+i P ) p a zate stopa iflacji wyosi w ty okesie (80) i=(+i ) (+i 2 ) 2...(+i P ) p - ; i w kosekwecji e ( ) (8) K K0 2 p ( i) ( i 2 )...( i P ) W powyższy pzypadku ożey okeślić pzeciętą stopę iflacji i pz będącą taką stałą stopą iflacji, pzy któej eala watość pzyszła jest taka saa jak eala watość pzyszła pzy zieiającej się st. iflacji. Tę pzeciętą st. iflacji pzypadającą a okes st. poc. okeśla ówaie: K0 ( ) ( ) K 0 stąd (82) p i p pz ( i )...( i p ) ( i ) ( i )...( i ) pz DYSKONTO p Dyskote az. potąceie z góy odsetek od zaciągiętego kedytu lub potąceie odsetek od weksli i iych papieów watościowych ozaczających zobowiązaie spzedaży pzed teie płatości. Zaciągając w baku kedyt, kedytobioca zobowiązuje się zwócić pożyczoą kwotę w okeśloy sposób i w okeśloy teiie oaz spłacić stosowe odsetki jako zapłatę za wypożyczoą kwotę. Odsetki te ogą być pobieae z dołu albo z góy, wówczas kedytobioca otzyuje obiżoą watość kedytu o odsetki. To obiżeie kedytu o odsetki jest dyskote. W pzypadku obotu wekslai (weksel ozacza zoboziązaie do
zapłaceia okeśloej kwoty, tzw. wat. oialej, w okeśloy teiie tzw. teiie wykupu lub teiie płatości) - lub iyi papieai wat. spzedawayi z dyskote - oże się zdazyć, że posiadacz weksla ie chce lub ie oże czekać a swój kapitał pieięży, aż do teiu wykupu weksla. Jeśli jedak chce otzyać swoje pieiądze wcześiej, to usi się liczyć z ty, że ie otzya pełej kwoty, ale kwotę iejszą. To obiżeie watości weksla jest dyskote. Dyskoto ożey itepetować jako zapłatę za udzieleie kedytu lub wcześiejszy wykup weksla. Poiejszeie watości o odpowiedie dyskoto az. dyskotowaie. Rozóżia się dwa odzaje dyskota: - dyskoto ateatycze (zeczywiste, dokłade); - dyskoto hadlowe (bakowe, pzybliżoe). DYSKONTO MATEMATYCZNE jest ówe odsetko wytwozoy pzez day kapitał w ozważay pzedziale czasu i wystawiae ajczęściej pzy udzielaiu kedytu bakowego z dyskote. Wyzaczoe jest od aktualej wat. kapitału od obowiązującej st. poc. (st. kedytowej) i obowiązującego odelu kap. Zate: (83) D =K -K 0 ; Jeśli odsetki są wyzaczoe (a) wg. odelu kap. postej, to odpowiadające i dyskoto az. dyskote posty (b) wg. kap. złożoej - dyskote złożoy (c) wg. kap. ciągłej - dyskote ciągły. Uwzględiając wcześiej otzyae wzoy otzyay wzoy a dyskoto ateatycze. Dyskoto ateat. poste za okesów st. pocet (84) D M = K 0 (+) K 0 = K 0 Dyskoto ateaty. Złożoe za okesów stopy pocetowej dla: Kap. złożoej z dołu zgodej wyosi: (85) D M = K 0 (+) K 0 [(+) ] Kap. złożoej z góy zgodej wyosi: (86) D M = K 0 (-) K 0 = K 0 [(-) - -] Kap. złożoej z dołu iezgodej wyosi: (87) D M = K 0 (+/) K 0 = K 0 [(+ ef ) ] Kap. złożoej z góy iezgodej wyosi: (88) D M = K 0 (-/) - K 0 = K 0 [(- ef ) - -] Dyskoto ateatycze ciągłe za okesów st. pocet wyosi: (89) D M = K 0 e K 0 = K 0 (e ) Oczywiście dyskot. Mateatycze (poiejszaie wat. o dyskoto ateatycze) i opocetowaie pzy tej saej st. pocetowej są działaiai wzajeie odwotyi. DYSKONTO HANDLOWE stosowae jest w pzypadku kozystaia z weksli, czeków, obligacji spzedawaych z dyskote i iych papieów watościowych ozaczających zobowiązaie. W każdy z tych pzyp. zaa jest wat. oiala papieu watościowego jako wat. końcowa, a dyskoto hadlowe powoduje obiżeie wat. oialej do tzw. watości aktualej. Dyskoto hadlowe jest popocjoale do wat. oialej daego papieu watościowego, a współczyik popocjoalości z. się stopą dyskotową. Poadto dyskoto hadlowe jest popocjoale do czasu (...) Wzó okeślający dyskoto hadlowe jest astępujący (90) D H = W o d, gdzie W o oz. watość oialą papieu watościowego, d- stopę dyskotową, - liczbę okesów st. dyskotowej, któej dyskoto dotyczy. Jeśli d oz. oczą st. dyskotową, atoiast oz. ilość di zawatych iędzy datą spłaty weksla a datą jego zakupu to wzó (90) oża pzedstawić w postaci (9) D H =W o (d/360), wówczas odstępujący weksel otzya jako zapłatę kwotę: W akt = W o - D H, któa jest watością aktualą weksla. Stąd otzyujey, że watość aktuala weksla okeśloa jest wzoe: (92) W akt = W o ( - (d/360) ) Dwa wksle az. ówoważyi w day diu jeśli ich watości aktuale w day diu są ówe. Zauważy, że dyskotowaie hadlowe (odejowaie od watości dyskota hadlowego) ie jest działaie odwoty do opocetowaia pzy tej saej st. poc. Istotie, p. dla opocetowaia postego pzy st. poc. i dyskotowej ay: K -D H =K -
K =K(-)=K 0 (+)(-)=K 0 (- 2 2 )<K 0 ; oz. to, że dodaie odsetek postych do K 0 daje watość K lecz odjęcie dyskota hadlowego od K ie daje watości K 0. Jest to kosekwecja tego, że odsetki poste (dyskoto at. poste) są iejsze od dyskota hadlowego obliczoego pzy tej saej stopie. Istotie dla okesów st. poc. i dyskotowej ay: D M =K 0 ; D H =K, a poieważ K 0 < K, N to D M < D H St. poc. i st. dyskotową d, dla któej dyskoto ateatycze poste jest ówe dyskotowi hadloweu z. stopai ówoważyi. Ustaliy zależości dla stóp ówoważych. Zate D H = D M, tj. K 0 = K d lub ówoważie K 0 = K 0 ( + )d, stąd d = /(+) i = d/(-d). Zależości te wskazują, że ówoważość st. pocetowej i dyskotowej zależy od ilości okesów. Oczywiście st. ówoważe dla pewej ilości okesów ie są ówoważe dla ich iych okesów. Jak zauważyliśy wcześiej dyskoto hadlowe, któe wyzacza się a podstawie wat. pzyszłej jest większe od dyskota ateat. postego pzy tej saej stopie. Zate dyskoto hadlowe jest iekozyste dla dłużika. Dyskoto ateat. jest eutale dla dłużika i wiezyciela. Poadto bak, któy zakupuje weksel pzed teie płodości, pobiea opócz dyskota ówież ie opłaty takie jak opłatę yczałtową i popocjoalą. Powoduje to poiejszaie aktualej wat. weksla o te opłaty. OPROCENTOWANIE PROSTE WKŁADÓW OSZCZĘDNOŚCIOWYCH Kapitał poaża swoją watość w wyiku dopisywaia odsetek (kapitalizacja odsetek). W pzypadku goadzeia fuduszy celowych pzezaczoych a ealizację koketych pzedsięwzięć odpowiedio szybkie tepo pzyostu kapitału zapewiają wkłady okesowe zwae ówież wkładai oszczędościowyi. Zakładać będziey, że kolejych wpłat dokouje się w tych saych odstępach czasu zwaych okese wpłaty. W takcie aalizowaia pobleu opocetowaia wkładów oszczędościowych ależy bać pod uwagę: okes st. pocet., okes wkładów i poadto w pzypadku odelu kapit. złożoej ówież okes kapitalizacji. Jeśli wyieioe okesy są ówe to tego typu wkłady z. wkładai zgodyi, w pzeciwy pzypadku wkłady z. będziey wkładai iezgodyi. Załóży że wkłady E,E 2,..,E dokoywae są z dołu z okese st. pocetowej. Wówczas wat. końcowa suy tych wkładów okeśloa jest wzoe K=E +...+E +Z, gdzie Z jest suą wat. odsetek postych od wszystkich wkładów, zate Z=E (-)+ E 2 (-2) +...+E - = [E (-)+ E 2 (-2)+...+E-] stąd otzyujey: (93) K =E +E 2 +...+E +[E (-)+E 2 (- 2)+...+E - ]; Jeśli wkłady oszczędościowe dokoywae są z góy to sua odsetek jest ówa: = E + E 2 (-)+...+E = [E +E 2 (-) +...+ E] i pzyszła (końcowa) wat. suy wkładów okeślaa jest wzoe: (94) K = E +E 2 +...+E +[E +E 2 (-)+...+E ] Jeśli wkłady oszczędościowe dokoywae są w jedakowej wysokości tj. E =E 2 =...=E, wówczas wzoy (93) i (94) pzyjują odpowiedio postać (93 ) K =E+E[(-)+(- 2)+...+]= E (+(-)/2) ; (94 ) K =E+E[+(-)+...+]= E (+(+)/2) tak więc pzyszła (końcowa) watość wkładów oszczędościowych o jedakowej wys. E jest ówa: (95) K = E(+((+lub-))/2), pzy czy + dotyczy wkładów oszczędościowych z góy, a - wkł.oszcz. z dołu. Jeśli zastosujey aalogiczie ozuowaie jak w dowodzie wzou (7) wtedy otzyujey, że aktuala w oecie t wat. suy wkładów oszczędościowych E w odelu opocetowaia postego jest ówa: K t = K (+t)/(+), a więc (96) K t = K [- (-t)/(+)] uwzględiając wzoy (95) i (96) otzyujey: (97) K t =E (+((+lub-))/2) * (+t)/(+) ; Aktualą w oecie t= suą wkładów oszczędościowych azywać będziey watością pzyszłą lub końcową. Aktualą w oecie t=0 watość suy wkładów oszczędościowych będziey az. watością teaźiejszą lub początkową. Uwzględiając (97) zauważay, że aktualizacja a oet t=0 daje watość teaźiejszą wkładów (98) K 0 =E (+((+lub-))/2)*/(+)
OPROCENTOWANIE PROSTE WKŁADÓW NIEZGODNYCH Niezgodość wkładów oszczędościowych w odelu opocetowaia postego polega a ty że okes st. poc. jest óży od okesu wkładu. Dla pzykładu oża ozważać wkłady iesięcze pzy opocetowaiu oczy. Cele uwzględieia okesów wkładów i opocetowaia wpowadza się współczyik =okes st. poc./okes wkładów. Zakładay, że N lub odwotością l. atualej, tj. okes st. poc. jest wielokotością okesu wkładów lub okes wkładów jest wielokotością okesu st. poc. Wzoy (95),(97) i (98) pzyjują wtedy odpowiedio postać (95') K =E (+((+lub-))/2 * /) - watość pzyszła, końcowa; (97') K t = E (+((+lub-))/2 * /)*(+t /)/(+ /) - watość aktuala w oecie t; (98') K 0 = E (+((+lub-))/2 * /)*/(+ /) - wa. teaźiejsza, początkowa. Uwaga - powyższe wzoy ożey zodyfikować w iy sposób jeśli istieje jedostka podstawowa dla okesów wkładów i st. poc. OPROCENTOWANIE ZŁOŻONE WKŁADÓW ZGODNYCH Stosujey odel kap. złożoej z dołu a więc podczas aalizy opocetowaia złożoego wkładu oszczędościowego będą poówywae 3 okesy: okes st. poc., okes wkładów i okes kap. Jeśli wszystkie te okesy są ówe, to wkłady az. będziey wkładai zgodyi. Jeśli pzyajiej 2 z ich będą óże, to az. je wkładai iezgodyi. Zał. że aalizowae wkłady są zgode. Dla wkładów oszczęd. z dołu o wielkościach E,E 2,...,E pzyszła (końcowa) ich watość K w oecie jest ówa suie pzyszłych watości wpłat w oecie. Wykozystując odel kap. złożoej z dołu otzyujey (99) K =E (+) - +E 2 (+) -2 +...+E = E - +E 2-2 +...+E - +E, gdzie =+ ; - okes st.poc. pzy czy okesy st.poc., wpłat i kap. są ówe. (jakiś wykes czasu) W pzypadku wkładów oszczędościowych z góy, otzyujey (00) K = E (+) +E 2 (+) - +...+E (+)= E +E 2 - +...+E, gdzie =+ Jeśli wkłady oszczęd. są ówe i ich wysokość wyosi E to wzoy (99) i (00) pzyjują odpowiedio postać (99') K =E( - + -2 +...+)=E( -)/(-) dla wkładów z dołu ; (00') K = E( + - +...+) = E( -)/(-) dla wkładów z góy. Stosując podobe ozuowaie jak w dowodzie (4) otzyujey (0) K t =K /( -t ) - watość kwoty K zaktualizowaa a dowoly oet t N {0} Zate wykozystując poday wyżej wzó a aktualą w oecie t wat. suy wkładów oszczęd. ożey w szczególości otzyać uwzględiając (00') i (0) ast. wzó: (02) K t = E /( -t ) ( -)/(-) -z dołu; K t = E /( -t- ) ( -)/(-) -z góy, gdzie t=0,,.., Wzoy (02) wyażają aktualizację a oet t suy wkładów oszczędościowych. W szczególości dla t=0 aktualizacja powadzi do wat. teaźiejszej (początkowej) suy wkładów oszczędościowych okeślaej wzoe: (03) K 0 = E / ( -)/(-) -dla wkładów z dołu; K 0 = E /( - ) ( -)/(-) -dla wkładów z góy; Oczywiście wzó (02) ustala zależości iędzy wielkościai Kt,E,,t i. OPROCENTOWANIE ZŁOŻONE WKŁADÓW NIEZGODNYCH Niezgodość wkładów oszczędościowych ozacza, że pzyajiej spośód 3 okesów okesu st. pocetowej, wkładów, kapitalizacji są óże. Ustalaie aktualej wat. wkładów oszczędość. iezgodych w szczególości wat. końcow. Lub wat. początkowej polega a ich ówoważy zastąpieiu układai zgodyi i wykozystywaiu wzoów dotyczących wkładów zgodych. Mio, że o zgodości lub iezgodości wkładów oszczędościowych decydują 3 okesy, to jedak istote zaczeie a poówaie okesu wkładów z okese kapitalizacji. Poieważ okes st.pocet. ożey ustalić w zależości od sytuacji popzez
wykozystaie względej st. pocetowej, to istote zaczeie ają 3 pzypadki wkładów iezgodych, któe będziey aalizować poiżej : (a) okes wkładów ówy okesowi kapitalizacji atoiast ok.st. pocet. a ią wat. Zakładay poadto, że okeśloy wzoe =okes stopy pocetowej, okes kapitalizacji, jest liczbą atualą lub odwotością l.atualej. uzgodieie wkładów otzyuje się pzez pzejście a względą st. pocetową =/ wówczas okes st. pocet. jest ówy okesowi kapitalizacji i ok. wkładów. Jeśli pzyjiey, że = + to wobec wzou (99 ), (00 ) i (03) otzyujey, że watość pzyszła suy wkładów oszczędościowych wyosi (04) K = E ( -)/(-) ; K =E ( -)/(-) dla wykładów z góy. watość teaźiejsza suy wkładów oszczędościowych wyosi: (05) K 0 E dla wkładów z dołu ; K 0 E dla wkładów z góy (b) okes wkładów większy od okesu kapitalizacji Pzypuśćy, że okes wkładów jest całkowitą wielokotością okesu kapitalizacji(p. wkłady są półocze, kapitalizacja kwatala, oczywiście stopa pocetowa oże być dowola p. ocza) Niech ozacza dostosowaą do okesu wkładów stopę pocetową, tz. taką stope pocetową, któej okes jest ówy okesowi wkładów (wystaczy względą stopę pocetową lub jedostkę podstawową po odpowiediej odyfikacji). Wykozystay efektywą st. poc. ( ), gdzie liczba okeślająca ile azy okes wkładów ef (oaz okes st. poc. ) jest większy od okesu kapitalizacji, czyli: =(okes st. poc. ()/okes kapitalizacji) ; wtedy okes st. poc. ef jest ówy okesowi st. poc. i okesowi wkładów, a stopa ef ekopesuje efekt kapitalizacji w podokesach. Otzyaliśy wkłady zgode, dla któych ożey stosować (99),(00),(99 ),(00 ),(02),(03). W kosekwecji dla wkładów oszczędościowych o jedakowej wysokości E pzy ozaczeiu ef = + ef otzyujey astępujące wzoy: watość pzyszła suy wkładów oszczędościowych ef ef (06) K E dla wkładów z dołu ; K Eef dla wkładów z góy ef watość teaźiejsza suy wkładów oszczędościowych wyosi: ef ef (07) K 0 E dla wkładów z dołu ; K 0 E dla wkładów z ef ef dołu (c) okes wkładów iejszy od okesu kapitalizacji Załóży, że okes kapitalizacji jest wielokotością okesu wkładów (p. wkłady iesięcze pzy kapitalizacji kwatalej i oczej st. pocetowej) Na początek wyzaczay taka st. pocetową, któej okes jest ówy okesowi kapitalizacji. Stopę tą otzyujey wykozystując względą st. pocetową. Niech oz. st. pocet. dostosowaą do okesu kapitalizacji. Pzyjijy astępie, że wkładów dokoywao pzez ok. kapit. pzy czy w każdy ok. kapit. dokoywao wkładów o tej saej wysokości E. Łącza ilość wkładów wyosi więc *. Scheat wkładów: czas 2... - wkłady z dołu E E... E E...... E E ef ef ef
z góy E E E... E E...... E Opiszey dwie etody pzyszłej watości wkładów oszczędościowych częstszych iż kapitalizacja. (c) Model kapitalizacji złożoej z dołu W tej etodzie uzgodieia wkładów dokouje się pzez zastąpieie w kapitalizacji okesowej o zaday okesie kapitalizacji pzy stopie pocet. ówoważą kapitalizacją w podokesach zgodie z ok. wkładów z wykozystaie st. ówoważej. = (+) / gdzie N okeślającą ile azy okes kapitalizacji jest większy od okesu wkładów. Stosując wzoy (06) i (07) dla wkładów oszczędościowych zgodych pzy ozaczeiach = + otzyujey podstawowe wzoy dla aalizowaych wkładów oszczędościowych: - watość pzyszłą (końcową) suy wkładów oszczędościowych wyażają wzoy: (08) K E dla wkładów z dołu; K E dla wkładów z góy - watość teaźiejszą (początkową) suy wkładów oszczędościowych okeślają wzoy: (09) K 0 E dla wkładów z dołu; K 0 E dla wkładów z góy (C2) Model kapitalizacji ieszaej Zastosowaie odelu kapitalizacji ieszaej w aalizie wkładów oszczędościowych częstszych iż kapitalizacja polega a ty, że w podokesach okesu kapitalizacji (czyli w okesach wkładów) stosuje się opocetowaie poste, a w pełych okesach kapitalizacji opocetowaie złożoe z dołu zate zastępujey wkładów o watości E każdy, dokoywaych w podokesach okesu kapitalizacji jedy ówoważy w sesie kapitalizacji postej, wkłade uowy z dołu. Okes wkładu uowego jest ówy okesowi kapitalizacji i ok. st. pocet.. Model kapitalizacji ieszaej stosują. i. polskie baki. okes kapitalizacji, okes stopy pocetowej =5 W celu wyzaczeia odsetek postych od wpłacaych kwot za okes kapitalizacji zauważay, że względa st. pocetowa dla podokesów wpłat wyosi, wg tej stopy wyzaczy okesy w podokesach wpłat. Zate dla wpłat z dołu ay: Z E ( ) E ( 2)... E [( ) ( 2)... ] 2 E atoiast dla wpłat z góy: Z E E ( )... E E [ ( )... ] 2 E Zate ogólie: Z = E ((+lub-))/2 st. pocet.... z dołu E E E... E E z góy E E E E... E okes kapitalizacji okes st. pocet = okes kapitalizacji Pzy czy zak "-" dotyczy wpłat z dołu a "+" dotyczy wpłat z góy Zate pzyszła watość kapitału po okesie kapitalizacji wyosi
k * E Z E( ) 2 Wielkość K itepetujey jako uowa wpłatę, zastępującą w ówoważy sposób, w sesie kapitalizacji postej, wpłat w wysokości E każda, dokoywaych w podokesach. Zastosowaie uowej wpłaty K a tę zaletę że powoduje uzgodieie wkładów. Są to wkłady oszczędościowe zgode z dołu, o jedakowej wysokości k w liczbie. Pzyszła (końcowa) watość suy takich wkładów, zgodie ze wzoe (06) pzyjie postać: K=E(+((+-)/2))*(^ -)/-. Pzy czy - dotyczy wkładów z dołu, atoiast + wkładów z góy. Watość teaźiejszą (początkową) suy wkładów, zgodie ze wzoe (07) pzyjie postać: K0=E(+((- )/2))* /^ * (^-)/(-). Zauważy, że wzó () ożey zapisać w postaci: K = E(+((+-)/2)) )*(^ -)/-. Czyik (+-)/2 występujący w ty wzoze jest większy od. Obazuje o kozyści jakie dają iejsze, ale częstsze wpłaty. Dokoywaie jedoazowych wpłat w wysokości Me zgodie z okese kapitalizacji zaiast wpłat w wysokości E w podokesach kapitalizacji, daje bowie końcową watość ówą E= (^ -)/-. Zauważy jeszcze, że we wzoach () i (2) ozacza liczbę wkładów. Liczba zeczywistych wkładów jest ówa. Oczywiście wzó () a pewą wadę. Pozwala bowie wyzaczyć pzyszłą watość wkładów oszczędościowych w ilości będącej całkowita wielokotością liczby, a więc dla ilości wkładów, 2.. itd. Zate ie jest to achuek szczegółowy. OPROCENTOWANIE WKŁADÓW OSZCZĘDNOŚCIOWYCH Z UWZGLĘDNIENIEM INFLACJI. Na zakończeie ozważań o wkładach oszczędościowych ozpatzyy co opocetowaie uwzględia. Cey towaów i usług osą. Poieważ ie astępuje ówocześie odpowiedi wzost ich jakości, więc odzi to iflacje. Iflacja, czyli wzost ce powoduje, że watość eala pieiądza ośie woliej iż wyikało by to z pzyjętego odelu kapitalizacji. Możey zate ówić o watości oialej (bez uwzględieia iflacji) jak i o watości ealej (z uwzględieie iflacji, w odiesieiu do stałych ce ustaloego okesu) goadzoych wkładów oszczędościowych. W dalszy ciągu zakładay, że w ciągu goadzeia wkładów oszczędościowych stopa pocetowa oaz stopa iflacji i są stałe oaz, że okes stopy pocetowej pokywa się z okese stopy iflacji i. Ozaczay =+ oaz p=+i. Jak wykazaliśy wcześiej dla wkładów oszczędościowych zgodych o stałej watości oialej E pzyszła watość oiala suy wkładów wyosi:
K o E { E( dla _ wkłkład _ z _ dolu ) dla _ wkladow_ z _ goy Wiadoo, że eala watość suy tych wkładów wyażoa w ceach z -szego okesu wkładów jest iejsza. Stuień ealej watości wkładów oża pzedstawić jak poiżej (o i tutaj ay taka os czaso-pzestzea a góze czas a dole wkład z dołu/góy i aalogiczie dla ay e/(e)/p dla 2 ay e/p / e/p^2 itd.) Dla wkładów z góy suowaia ealych watości wkładów powadza do astępującej watości końcowej: K(e) = E((^ /p^)/-/p). A dla wkładów z góy ay: K(e) = E(((^)-(/p^))/-/p). Kt(e) = K(e)/^(-t) Więc watość teaźiejszą wkładów oszczędościowych wyażoych w ceach dzisiejszych jest ówa: K e 0 E { E p p p p dla _ wkladow_ z _ dolu dla _ wkladow_ z _ goy SPŁATA DŁUGÓW Z Długie ściśle związay jest okes spłaty długu lub kótko okes zwotu. Ze względu a okes zwotu długów, długi dzieli się a: Kótkoteiowe (gdy okes zwotu okeśloy jest poiżej jedego oku), śedio teiowe(gdy okes długu okeśloy jest od oku do 5 lat) oaz długoteiowe gdy okes zwotu jest większy iż 5 lat. W pzypadku ozliczaia długów kótkoteiowych stosuje się odel kapitalizacji z dołu postej, a w pzypadku ozliczaia długów śedioteiowych i długoteiowych stosuje się odel kapitalizacji złożoej z dołu. Podstawowyi foai długów są pożyczki i kedyty. Uowa o długo dotyczy pożyczkobiocy oaz wiezyciela- w pzypadku pożyczki, w pzypadku kedytu dotyczy kedytobiocy oaz wiezyciela. Między pojęciai pożyczki i kedytu istieje szeeg óżic atuy pawej i ekooiczej. Wyieiy pewe z ich. Stosuki pawe poiędzy pożyczkobioca oaz wiezyciele są egulowae pzez pzepisy pawa cywilego, atoiast stosuki pawe iędzy kedytobiocą, a wiezyciele egulują pzepisy pawa bakowego. Pzediote pożyczki ogą być śodki pieięże lub iej pzedioty ateiale, atoiast pzediote kedytu są tylko śodki pieięże w postaci bezgotówkowego kedytu bakowego. Pzy zaciągaiu pożyczki cel ie usi być okeśloy, atoiast cel kedytu usi być ściśle okeśloy i oże być kotoloway w czasie twaia kedytu.
Pożyczka ie usi ieć foy piseej, atoiast kedyt usi posiadać taka foę piseą. Oczywiście óżice te ie są bae pod uwagę z puktu widzeia ateatyki fiasowej i ie ają wpływu a obliczeia związae ze spłatą długu. Uowa o długo powia okeślać jego wysokość, foę spłaty, tei spłaty, wysokość stopy pocetowej z okese kapitalizacji, foę i wysokość spłacoych odsetek (uwzględiających wysokość aży ) oaz szeeg iych. Zaciągięty dług ależy spłacić z ależyi odsetkai. Spłata długo azywa się także uazaie długu. Jedą z fo spłaty długu jest foa atala, któej podstawę twozą aty zwae płatościai, spłatai lub atai łączyi. Zakłada się, że spłatę długu dokouje się atai w takich saych odstępach czasu zwaych okesai spłaty. Raty woszoe ogą być a początku lub a końcu okesu spłaty. W piewszy pzypadku ówiy o spłacie długu z góy, atoiast z dugi z dołu. Zauważy, że spłatę długu góy ożey taktować jako spłatę z dołu tyle że długu poiejszoego o piewszą atę, w kosekwecji ogaiczyy ozważaia do spłaty długu z dołu. Pzy ozliczeiach związaych z długie ależy uwzględić 3 okesy stopy pocetowej, kapitalizacji i spłat. Jeżeli wszystkie te okesy są ówe, to ay do czyieia ze spłatai zgodyi, jedak gdy te okesy są ieówe to ówiy o iezgodości. Podstawę spłaty długo staowi astępująca zasada. Dług został spłacoy wtedy i tylko wtedy gdy w ustaloy oecie czasu aktuala watość długu jest ówa suie aktualych watości wszystkich spłat uazających te dług. Zasada ta wyaga wpowadzeia aktualizacji kwot a wybay oet czasowy. Aktualizacji ależy dokoywać w opaciu o óże odele. Jako egułę pzyjuje się, że do ozliczeia długów kótkoteiowych stosuje się odel kapitalizacji postej pzy czy do aktualizacji wstecz stosuje się dyskoto ateatycze poste lub dyskoto hadlowe, a do ozliczeia śedio i długoteiowych długów stosuje się odel kapitalizacji złożoej z dołu. Pzyjuje się astępujące ozaczeia z zapise działań związaych w ozliczeie długu: S watość początkowa długu N ilość at uazających dług wskaźik bieżący T -ta ata długu, -ta ata kapitałowa, część długu spłacoa w -tej acie. Z- -ta ata odsetek, watość odsetek spłacoych w -tej acie A -ta ata łącza, -ta spłata, -ta płatość S pozostała część długu po spłaceiu at, dług bieżący Z sua watości oialych (bez uwzględiaia wpływu watości pieiądza w day czasie) wszystkich odsetek. Ciągi {T}, {Z}, {A}, {S} liczba Z wchodzą w skład tzw. Plau spłaty długu. W pzypadku plau spłaty długo kótkoteiowego uwzględia się tez ie eleety. Wielkości wchodzące w skład plau spłaty ie są iezależe. Np. A oszące azwę aty łączej jest sua aty kapitałowej i aty odsetek, a więc (5) A = T+Z Poadto wzó (5) jest iekiedy uzupełioy tzeci składikie któy jest opłatą dodatkową, p. powizja, lub aża bakowa. Z def. Wyika, że:
(6) Z = Z+ +Z Rozważy a początek spłatę długu zgodą. Niech będzie stopą pocetową w okesie stopy pocetowej i ich l ozacza wybay oet aktualizacji. Scheat spłaty długu ożey pzedstawić astępująco: Os liczbowa, 0 2 k S pokywa się z zeo, A z A2 z 2 A z w k zbieg stzelek od a i a a2 Aktualizacja spłat długu a oet k Oczywiście aktualizacja kwoty a day oet czasu wyusza dyskotowaie. Do dyskotowaia oża używać dyskoto ateatycze lub hadlowe. Fakt spłaceia długu za poocą spłat A A ozacza zachowaie astępujących ówości: Dla odelu kapitalizacji postej i dyskota ateatyczego ay: (7) S(+k) = A[+(k-)]+ +Ak-(+)+AK+(AK+)/++ +A/+(N-k) Dla odelu kapitalizacji postej i dyskota hadlowego ay: (8) S(+k)=A[+(k-)]+ +Ak-(+)+Ak +AK+(-)+ +A[-(N-k)] Dla odelu kapitalizacji złożoej z dołu ay (9) S(+)^k = A(+)^(k-)+ +AK-(+)+Ak+(AK+)/(+)+ +A/(+)^(-k) Dla oetu kapitalizacji postej zaówo wybó oetu k jak i wybó odzaju dyskota jest istoty. Jeżeli ówaia (7) lub (8) zachodza dla pewego to oże ie zachodzić dla iego k. Ozacza to ówież, że te sa dług S pzy tej saej stopie pocetowej i tych saych płatościach A, A oże być spłacoy lub ie w zależości wybou oetu aktualizacji k. Fakt te odzi okeśleie: kosekwecje związae z ozliczaiai związayi z długai kótkoteiowyi. Rówość (7), w któej wykozystywae jest dyskoto ateatycze poste dla k=0 pzyjuje postać: (20) S = A/(+)+A2/(+2)+ +A/(+N) Rówość (8), w któej zastosowao dyskoto hadlowe dla k=0 pzyjuje postać: (2) S = A(-)+A2(-2)+ +A(-N) Rówość (7) i (8) dla k=n pzyjuje jedakowa foę: (22) S(+N) = A[+(-)]+A2[+(N-2)]+A W pzypadku odelu kapitalizacji złożoej z dołu wybó oetu aktualizacji k ie jest istoty. Jeśli ówość (9) zachodzi dla pewego K, to zachodzi dla każdego K co upaszcza aalizę długów śedio i długoteiowych. Rówość (9) dla k=0 pzyjuje postać: (23) S = A/(+R)+A2/(+R)^2+ +A/(+)^N