Matematyka bankowa 2

Transkrypt

1 1. Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet Łódzki 2. Instytut Nauk Ekonomicznych i Informatyki Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa w Płocku Matematyka bankowa 2 średnio- i klimdr klimdr@math.uni.lodz.pl 1 / 98

2 [1] M. Podgórska, J. Klimkowska, Matematyka finansowa, PWN. [2] S. G. Kellison, The Theory of Interest, McGraw-Hill Int. Ed. [3] E. Smaga, Arytmetyka finansowa, PWN. [4] M. Sobczyk, Matematyka finansowa, Placet. [5] M. Szałański, Podstawy matematyki finansowej, Elipsa. średnio- i 2 / 98

3 Wprowadzenie W kolejnych rozdziałach zajmiemy się ciągami płatności, dokonywanych w równych odstępach czasu, zwanymi rentami (annuity). Przykładami rent są: comiesięczne wypłaty wynagrodzenia, okresowe spłaty długu, regularne wpłaty na rachunek oszczędnościowy (wkłady). Płatności, które składają się na rentę nazywamy ratami. Okres między dwiema kolejnymi ratami nazywamy okresem bazowym. Momentem początkowym renty jest t = 0, zaś momentem końcowym renty jest koniec okresu, za który płacona jest ostatnia rata. Elementami składowymi renty są następujące wielkości: liczba rat, długośc okresu bazowego, wysokość rat, moment pierwszej płatności, stopa procentowa okresu bazowego. średnio- i 3 / 98

4 Wyróżniamy -) rentę prostą (okres kapitalizacji pokrywa się z okresem bazowym) i rentą uogólnioną (okres kapitalizacji nie pokrywa się z okresem bazowym), -) rentę czasową (o skończonej liczbie rat) i rentę wieczystą (o nieskończonej liczbie rat), -) rentę płatną z dołu, krótko rentę (gdy raty są płacone pod koniec okresu bazowego) i rentę płatną z góry (gdy raty płacone są na początku okresu bazowego). średnio- i 4 / 98

5 są to regularne płatności dokonywane w celu zgromadzenia odpowiedniego kapitału w ustalonym czasie. Płatności te mogą być dokonywane zarówno na początku okresu płatności (z góry) jak i na końcu okresu płatności (z dołu) oraz kapitalizowane według różnych modeli kapitalizacji. Najczęściej stosuje się model oprocentowania prostego dla wkładów krótkoterminowych oraz model oprocentowania składanego dla wkładów. W zależności od stosowanego modelu wkłady dzielimy na proste i złożone. średnio- i 5 / 98

6 płatne z dołu Niech i będzie stopą procentową dostosowaną do okresu bazowego. Rozważmy skończony ciąg wpłat (C j ) n j=1 dokonywanych z dołu. Wartość przyszła ciągu wkładów po n płatnościach wynosi F = C 1 ( 1+(n 1)i ) +C2 ( 1+(n 2)i ) +...+Cn 1 ( 1+i ) +Cn, (1) średnio- i 6 / 98

7 W przypadku, gdy płatności są jednakowej wysokości, tj. C j = C, j = 1,..., n, wówczas wzór (1) przyjmie postać F = C ( 1 + (n 1)i ) + C ( 1 + (n 2)i ) C ( 1 + i ) + C = C ( n + ( (n 1) + (n 2) ) i ) n(n 1) ) = C (n + i, 2 czyli F = Cn (1 + n 1 ) i. (2) 2 średnio- i 7 / 98

8 Aktualizując wartość F na moment wcześniejszy 0 n 0 < n mamy F n0 = F n 1 + n 0 i 1 + ni = Cn ( 1 + n 1 2 Oczywiście aktualizując F na moment n = 0 otrzymujemy wartość początkową wkładów oszczędnościowych P = F n ni. ) 1 + n0 i i 1 + ni. średnio- i 8 / 98

9 płatne z góry Jeżeli wpłaty C j, j = 1,..., n, są dokonywane z góry, wówczas wartość przyszła będzie postaci średnio- i F (+1) = C 1 ( 1+n)i ) +C2 ( 1+(n 1)i ) +...+Cn 1 ( 1+2i ) +Cn ( 1+i ). 9 / 98

10 Stąd, przyjmując C j = C, j = 1,..., n, otrzymujemy F (+1) = C ( 1 + ni ) + C ( 1 + (n 1)i ) C ( 1 + 2i ) + C(1 Spłata + długów i ) = C ( n + ( n + (n 1) ) i ) = C (n + czyli F (+1) = Cn (1 + n + 1 ) i. 2 Analogicznie otrzymujemy wartość przyszłą wkładów zaktualizowaną na moment wcześniejszy oraz wartość początkową wkładów. n(n + 1) 2 ) i, średnio- i 10 / 98

11 płatne z dołu zgodnie z okresem kapitalizacji Załóżmy, że okres bazowy wkładów pokrywa się z okresem kapitalizacji. Rozważmy skończony ciąg płatności (C j ) n j=1 dokonywanych z dołu. Niech i będzie stopą procentową o okresie pokrywającym się z okresem bazowym. Wartość przyszła wkładów wynosi F = C 1 (1 + i) n 1 + C 2 (1 + i) n C n 1 (1 + i) + C n n = C j (1 + i) n j. j=1 (3) Matematyka bankowa 2 średnio- i 11 / 98

12 Jeżeli wkłady C j, j = 1..., n, są jednakowej wielkości C, to powyższy wzór prowadzi do postaci n F = C (1 + i) n j. (4) j=1 Stosując wzór na sumę n pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego 1 otrzymujemy F = C (1 + i)n 1. (5) i średnio- i 1 a + aq + aq aq n 1 = a 1 qn 1 q 12 / 98

13 Czynnik s n i = (1 + i)n 1 i nazywamy czynnikiem wartości przyszłej dla wkładów. Stosując ten czynnik wzór (5) możemy zapisać F = C s n i. (6) Czynnik ten definiuje wartość przyszłą wkładów jednostkowych. średnio- i 13 / 98

14 Aktualizując wartość F na moment wcześniejszy 0 n 0 < n mamy F n0 = F (1 + i) n 0 n. (7) W szczególności, kładąc n 0 = 0, dostajemy wzór na wartość początkową n wkładów oszczędnościowych o stałych płatnościach C P = C 1 (1 + i) n. (8) i średnio- i 14 / 98

15 Czynnik 1 (1 + i) n a n i = i nazywamy czynnikiem wartości początkowej dla wkładów. Stosując ten czynnik wzór (8) przyjmie postać P = C a n i. (9) Czynnik ten definiuje wartość początkową wkładów jednostkowych. średnio- i 15 / 98

16 płatne z góry zgodnie z okresem kapitalizacji Niech teraz ciąg (C j ) n j=1 będzie ciągiem płatności dokonywanych z góry, tzn. na początku każdego okresu płatności. Wówczas po n płatnościach wartość przyszła wkładów wyrazi się wzorem F (+1) = C 1 (1+i) n +C 2 (1+i) n C n 1 (1+i) 2 +C n (1+i). średnio- i 16 / 98

17 Jeżeli płatności C j, j = 1..., n, są jednakowej wielkości C, to, w myśl powyższego, otrzymujemy F (+1) =C ( (1 + i) n + (1 + i) n (1 + i) 2 + (1 + i) ) =C(1 + i) ( (1 + i) n 1 + (1 + i) n (1 + i) + 1 ) =C(1 + i) (1 + i)n 1. i średnio- i 17 / 98

18 Zauważmy, że wartość przyszła wkładów wnoszonych z góry różni się od wartości przyszłej wkładów wnoszonych z dołu jedynie współczynnikem 1 + i. Zatem, stosując wzór (6), dostajemy Czynnik F (+1) = C (1 + i)s n i. średnio- i s n i = (1 + i)s n i = (1 + i) (1 + i)n 1 i definiuje wartość końcową wkładów jednostkowych płatnych z góry. 18 / 98

19 W myśl wzorów (7) i (9), F (+1) n 0 = F n0 (1 + i) i Czynnik P (+1) = C (1 + i)a n i. 1 (1 + i) n ä n i = (1 + i)a n i = (1 + i) i średnio- i definiuje wartość początkową wkładów jednostkowych płatnych z góry 19 / 98

20 płatne w nadokresach okresu kapitalizacji W przypadku, gdy okres bazowy jest całkowitą wielokrotnością okresu kapitalizacji, aby wyznaczyć wartość przyszłą wkładów należy najpierw skorzystać z zasady równoważności warunków oprocentowania i rozważaną kapitalizację zastąpić kapitalizacją, której okres pokrywałby się z okresem bazowym a następnie, mając zgodność okresu kapitalizacji i okresu bazowego, zastosować analogiczne rozumowanie jak wcześniej. Zastąpienie jednego modelu kapitalizacji innym jest równoznaczne z wyznaczeniem równoważnej stopy procentowej o okresie dostosowanym do modelu nowej kapitalizacji tzn. o okresie dostosowanym do okresu wkładów. średnio- i 20 / 98

21 Niech k, k Q będą takie, że k będzie ilością okresów kapitalizacji w ciągu roku, k będzie ilością okresów bazowych w ciągu roku. Niech i będzie stopą okresu bazowego równoważną stopie i k, tj. stopie okresu kapitalizacji. Z zasady równoważności stóp procentowych i = (1 + i k ) k k 1. średnio- i 21 / 98

22 płatne w podokresach okresu kapitalizacji W przypadku, gdy okres bazowy jest w podokresach okresu kapitalizacji, tzn. wpłaty są dokonywane częściej niż są generowane odsetki, istnieją dwie metody wyznaczania wartości przyszłej wkładów. Pierwsza metoda oparta jest na zasadzie równoważności warunków oprocentowania i zasadzie równoważności stóp procentowych. Wyznaczenie wartości przyszłej, aktualnej i początkowej przebiega analogicznie jak wcześniej. Druga metoda łączy ze sobą model oprocentowania prostego i składanego. średnio- i 22 / 98

23 Niech (C j ) n i=j będzie skończonym ciągiem płatności, przy czym zakładamy, że jest to ciąg stały, tzn. C j = C dla j = 1,..., n. Przyjmimy, że w jednym okresie kapitalizacji mamy m płatności z dołu, czyli, że okres kapitalizacji jest podzielony na m równych okresów bazowych, oraz lm = n, gdzie l jest ilością okresów kapitalizacji w czasie inwestycji. Wyznaczenie wartości przyszłej składa się z dwóch etapów. W pierwszym etapie należy wyznaczyć wartość przyszłą F m m wkładów, płatnych w jednym okresie kapitalizacji, stosując model oprocentowania prostego. Niech k, k Q będą takie, że k będzie ilością okresów kapitalizacji w ciągu roku, k będzie ilością okresów bazowych w ciągu roku. Niech i będzie stopą okresu bazowego, zaś i k będzie stopą procentową okresu kapitalizacji. średnio- i 23 / 98

24 Dla wkładów płatnych z dołu, w myśl wzoru (2), mamy gdzie i = r k, k Q. F m = Cm (1 + m 1 ) i, (10) 2 średnio- i 24 / 98

25 Przyjmując C j = F m dla j = 1,..., l, otrzymaliśmy nowy ciąg (C j )l j=1 płatności o stałych wyrazach i okresach pokrywających się z okresem kapitalizacji. W drugim etapie, mając ciąg wkładów (C j )l j=1, wyznaczamy wartość przyszłą F tego ciągu. Ponieważ okres wkładów jest taki sam jak okres kapitalizacji oraz C j = F m dla j = 1,..., l, to stosując wzór (6), gdzie i k = r k. F = F ms l ik, (11) średnio- i 25 / 98

26 Dla wkładów płatnych z góry wzór (11) przyjmie postać gdzie F (+1) m F (+1) = F (+1) m s l ik, = Cm (1 + m ) i. średnio- i 26 / 98

27 Chcąc wyznaczyć wartość aktualną na dowolny moment wcześniejszy l 0, w szczególności na moment l 0 = 0, wystarczy zastosować wzory (7), odpowiednio (8). średnio- i 27 / 98

28 Pokażemy, że zasada równoważności kapitałów zachodzi w modelu oprocentowania składanego. Niech K 1 (t 1 ) i K 2 (t 1 ) będą dwoma kapitałami danymi w czasie odpowiednio t 1 i t 2 równoważnymi w momencie t 0, czyli K 1 (t 0 ) = K 2 (t 0 ). W myśl aktualizacji otrzymujemy: średnio- i Stąd K 1 (t 0 ) = K 1 (t 1 )(1 + r ef ) t 0 t 1, K 2 (t 0 ) = K 2 (t 2 )(1 + r ef ) t 0 t 2. K 1 (t 1 )(1 + r ef ) t 0 t 1 = K 2 (t 2 )(1 + r ef ) t 0 t 2, 28 / 98

29 czyli a to implikuje K 1 (t 1 )(1 + r ef ) t 1 = K 2 (t 2 )(1 + r ef ) t 2 K 1 (t 1 )(1 + r ef ) t t 1 = K 2 (t 2 )(1 + r ef ) t t 2 dla dowolnego t 0, co należało pokazać. średnio- i 29 / 98

30 Pokażemy, że w modelu oprocentowania prostego zasada ta nie zachodzi. Niech podobnie jak poprzednio będą dane dwa kapitały K 1 (t 1 ) i K 2 (t 1 ) w czasie odpowiednio t 1 i t 2 równoważne w momencie t 0. Wówczas mamy do rozważenia następujące przypadki: t 2 < t 0 < t 1, t 2 < t 1 < t 0, t 0 < t 1 < t 2. W pierwszym przypadku otrzymujemy oraz 1 K 1 (t 0 ) = K 1 (t 1 ) 1 + (t 1 t 0 )r, t 1 > t 0 K 2 (t 0 ) = K 2 (t 2 )(1 + (t 0 t 2 )r), t 0 > t 2. Zatem 1 K 1 (t 1 ) 1 + (t 1 t 0 )r = K 2(t 2 )(1 + (t 0 t 2 )r). Ponieważ przyrównujemy do siebie wyrażenia liniowe i hiperboliczne dla pewnego t 0, to powyższa równość nie zajdzie dla dowolnego t 0. Matematyka bankowa 2 średnio- i 30 / 98

31 uwzględnieniem dyskonta Rozważmy dług S, który powstał w momencie t = 0. Załóżmy, że ciąg (R n ) N n=1 jest ciągiem N, N N, rat płatnych z dołu umarzających dług S. Podstawa analizy ratalnej spłaty długu mówi, że dług został spłacony, gdy w ustalonym momencie czasu aktualna wartość długu jest równa sumie aktualnych wartości wszystkich rat umarzających ten dług. Niech j {0, 1,..., N} będzie momentem względem którego dokonujemy aktualizacji rat i długu w celu umorzenia tego długu. Wówczas, stosując dyskonto matematyczne, otrzymujemy równanie j N 1 S(1 + ji) = R n (1 + (j n)i) + R n 1 + (n j)i n=1 n=j+1 gdzie i = r k, k Q+, jest stopą procentową okresu bazowego. (12) Matematyka bankowa 2 średnio- i 31 / 98

32 Powyższe równanie możemy zapisać równoważnie S = j n=1 R n (1 + (j n)i) 1 + ji + N n=j+1 Po spłaceniu n rat wartość aktualna długu zaktualizowana na moment t = 0 jest postaci: oraz S 0 n = S S 0 n = S j l=1 n l=1 R n 1 (1 + ji)(1 + (n j)i). ( ) 1 + (j l)i R l, dla 1 n j, 1 + ji R l ( 1 + (j l)i ) 1 + ji n l=j+1 R l 1 (1 + ji) ( 1 + (l j)i średnio- i ), dla n > j. 32 / 98

33 Dług bieżący S n po spłaceniu n rat definiujemy S n = S 0 n(1 + ni). (13) Oczywiście S N = 0. Zauważmy, że ponieważ w modelu oprocentowania prostego nie zachodzi zasada równoważności kapitału, to ciąg rat, umarzających dług przy aktualizacji na moment j, nie umorzy tego długu przy aktualizacji na dowolny różny od j moment czasu. średnio- i 33 / 98

34 Dla rat stałych W przypadku, gdy ciąg (R n ) N n=1 jest stały, tj R n = R, n = 1,..., N, wzór (12) przyjmie postać [ j ( ) N ] 1 S(1 + ji) = R 1 + (j n)i (n j)i n=1 n=j+1 (14) średnio- i 34 / 98

35 Stąd, po przekształceniach, wysokość raty R wyraża się wzorem R = S j n=1 1 + ji ( ) 1 + (j n)i + Nn=j+1. (15) 1 1+(n j)i średnio- i 35 / 98

36 Dług bieżący S n po spłaceniu n rat dany jest wzorem S n = [ S(1 + ni) 1 [ S(1 + ni) 1 n ( ) 1+(j l)i l=1 j ( 1+(j l)i )+ N l=1 j ( 1+(j l)i )+ n l=1 j ( 1+(j l)i )+ N l=1 1 l=j+1 1+(l j)i 1 l=j+1 1+(l j)i l=j (l j)i ] ] dla 1 n j, dla Spłata n długów > j. średnio- i 36 / 98

37 Rozkład raty R na ratę kapitałową B i odsetkową C przedstawiamy następująco { R = B + C Nn=1 B ( 1 + (N n)i ) + N n=1 C = S(1 + Ni) { C = R B Nn=1 (B + B(N n)i) + NC = S(1 + Ni) średnio- i 37 / 98

38 { C = R B Nn=1 B + N n=1 B(N n)i + NC = S(1 + Ni) { C = R B BN + Bi (N 1)N 2 + NC = S(1 + Ni) { C = R B BN + Bi (N 1)N 2 + N(R B) = S(1 + Ni) średnio- i 38 / 98

39 W konsekwencji ) S(1+Ni) RN ( B = 2 (N 1)Ni C = R B gdzie rata R dana jest wzorem (15). średnio- i 39 / 98

40 Plan spłaty długu definiuje tutaj układ (S n, R, B, C). średnio- i 40 / 98

41 uwzględnieniem dyskonta S(1 + ji) = R 1 [ 1 + (j 1)i ] + R2 [ 1 + (j 2)i ] Rj + R j+1 [ 1 i ] RN [ 1 (N j)i ] j [ ] = R n 1 + (j n)i + N [ ] R n 1 (n j)i n=1 n=j+1 j [ ] = R n 1 + (j n)i + N [ ] R n 1 + (j n)i n=1 n=j+1 średnio- i 41 / 98

42 Dług S i ciąg spłat (R n ) N n=1 umarzających ten dług spełniają N [ ] S(1 + ji) = R l 1 + (j n)i n=1 przy aktualizacji względem t = j. (16) średnio- i 42 / 98

43 Przeprowadzając analogiczne rozumowanie jak dla długów krótkoterminowych z matematycznego otrzymujemy, że dług bieżący S n po spłaceniu n rat jest postaci S n = S 0 n(1 + ni), gdzie S 0 n = S n l=1 1 + (j l)i R l. (17) 1 + ji średnio- i 43 / 98

44 Przyjmując R n = R, n = 1,..., N otrzymujemy N [ ] S(1 + ji) = R n 1 + (j n)i n=1 ( N ) = R N + Nji i n n=1 ( = R N + Nji i 1 + N 2 [ ( = RN 1 + j N ) N ) ] i. średnio- i 44 / 98

45 Stąd R = [ N 1 + S(1 + ji) ( j N+1 2 ) ] (18) i średnio- i 45 / 98

46 Wartość długu bieżącego po spłaceniu n rat wynosi [ S n = (1 + ni) S R n ] 1 + (j l)i 1 + ji l=1 [ = (1 + ni) S 1 ( 1 + ji Rn 1 + (j n + 1 ) ) i] 2 średnio- i 46 / 98

47 Rozkład raty na ratę kapitałową i odsetkową przebiega analogicznie jak dla rat z matematycznego. W konsekwencji ) S(1+Ni) RN ( B = 2 (N 1)Ni C = R B przy czym rata R dana jest tutaj wzorem (18). średnio- i 47 / 98

48 Szczególnym przypadkiem rat umarzających dług krótkoterminowy są raty kupieckie, które zdefiniowane są przy aktualizacji na moment t = N. Wyrażają się one wzorem R = S(1 + Ni) N ( 1 + N 1 (19) 2 i). Rozkład raty R na ratę kapitałową i odsetkową wygląda następująco { B = R C = 0 Odsetki są umarzane za pomocą odsetek od rat kapitałowych. średnio- i 48 / 98

49 średnio- i S(1 + i) j = R 1 (1 + i) j 1 + R 2 (1 + i) j R j + R j+1 (1 + i) R N (1 + i) (N j), czyli N S(1 + i) j = R n (1 + i) j n (20) n=1 średnio- i 49 / 98

50 W mysl zasady równoważności kapitałów zależność (20) jest równoważna następującej N S(1 + i) N = R n (1 + i) N n, (21) n=1 gdy za moment aktualizacji przyjmiemy t = N, oraz następującej N S = R n (1 + i) n, (22) n=1 gdy za moment aktualizacji przyjmiemy t = 0. średnio- i 50 / 98

51 Po spłaceniu n rat wartość długu bieżacego możemy wyrazić ratami spłaconymi jak i niespłaconymi. W pierwszym przypadku mówimy o zależności retrospektywnej S n = S(1 + i) n n R l (1 + i) n l, (23) l=1 w drugim przypadku mówimy o zależności prospektywnej S n = Oczywiście S N = 0. N l=n+1 R l (1 + i) n l. (24) średnio- i 51 / 98

52 Przekształcając (23) S n = S n 1 (1 + i) R n (25) otrzymujemy związek długu bieżącego z końca okresu bazowego z długiem bieżącym z początku okresu bazowego. średnio- i 52 / 98

53 Przejdziemy do razkładu raty na ratę kapitałową i odsetkową. Na początek zauważmy, że (25) implikuje S n 1 S n = R n S n 1 i, (26) gdzie S n 1 i jest wartością odsetek należnych za n-ty okres, tzn. I n = S n 1 i. (27) Zatem rata R n jest postaci R n = T n + I n, (28) gdzie T n jest ratą kapitałową a I n ratą odsetkową. Zauważmy, że wzory (26)-(28) implikują Ponadto łatwo widać, że T n = S n 1 S n. (29) N R n = S n=1 Matematyka bankowa 2 średnio- i 53 / 98

54 Układ ( (S n ) N n=0, (R n) N n=1, (T n) N n=1, (I n) N n=1) tworzy plan spłaty długu, który najczęściej przedstawia sie w postaci tabeli. średnio- i 54 / 98

55 Zajmiemy się teraz wyznaczaniem wielkości raty i planu spłaty długu w sytuacji, gdy spłaty są jednakowej wielkości. Mówimy wtedy o ratach annuitetowych. Są one standardowo stosowane przy udzielaniu bankowych pożyczek i kredytów konsumpcyjnych, a spłata długu w takich ratach jest wygodna zarówno dla wierzyciela, jak i dla dłużnika. średnio- i 55 / 98

56 Niech dany będzie ciąg N stałych płatności wysokości R dokonywanych z dołu w równych odstępach czasu umarzających dług S jaki powstał w momencie t = 0 przy ustalonej stopie okresu bazowego i. Ze wzoru (21) mamy lub równoważnie S(1 + i) N = R (1 + i)n 1 i S = = Rs N i 1 (1 + i) N R(1 + i)n 1 = Ra i N i. średnio- i 56 / 98

57 Zatem rata R wynosi R = S(1 + i)n s N i (30) lub równoważnie R = S a N i. (31) Ratę R dana powyższym wzorem nazywa się ratą stała lub annuitetową. średnio- i 57 / 98

58 Z(23) oraz powyższych S n = S(1 + i) n R n (1 + i) n l l=1 = S(1 + i) n Rs n i = S(1 + i) n S a N i a n i (1 + i) n po przekształceniach otrzymujemy, że dla raty annuitetowej retrospektywna zależność długu bieżącego po spłaceniu n rat ma postać ( S n = S(1 + i) n 1 a ) n i. (32) a N i średnio- i 58 / 98

59 Przeprowadzając analogiczne rozumowanie (do zrobienia na ćwiczeniach) otrzymujemy prospektywną zależność długu bieżącego od rat S n = S a N n i a N i. (33) średnio- i 59 / 98

60 Rozkład raty na ratę kapitałową i odsetkową przebiega analogicznie jak dla rat dowolnej wielkości. Zatem spełniają one zależności (26)-(29). średnio- i 60 / 98

61 Na uwagę zasługuje postać raty kapitałowej. Otóż w myśl wzorów (29) i (32) stąd i T n = S (1 + i)n 1 (1 + i)n 1 T n = S s N i (1 + i) n 1, (34) co dowodzi, że ciąg (T n ) N n=1 jest ciągiem geometrycznym o ilorazie 1 + i i pierwszym wyrazie T 1 = S s N i. średnio- i 61 / 98

62 Oczywiście T 1 określone tym wzorem spełnia T 1 = R I 1. Istotnie na początek zauważmy, że 1 a N i i = = i i(1 + i) N i = 1 (1 + i) N 1 (1 + i) N i (1 + i) N 1 = 1. s N i średnio- i Zatem T 1 = S s N i = S a N i Si = R I / 98

63 częściach kapitałowych Zajmiemy się teraz wyznaczaniem ciągu rat (R n ) N n=1 dokonywanych z dołu o okresie bazowym zgodnym z okresem kapitalizacji, umarzających dług S jaki powstał w momencie t = 0, znając ich części kapitałowe, tj. ciąg (T n ) N n=1. Rozważymy tutaj dwie sytuacje: 1. ciąg (T n ) N n=1 jest ciągiem arytmetyczny rosnącym, 2. ciąg (T n ) N n=1 jest ciągiem stałym. Niech i będzie stopą okresu bazowego. średnio- i 63 / 98

64 Ad.1. Załóżmy, że T n = nt. Korzystając z faktu, że suma rat kapitałowych daje dług S otrzymujemy N nt = T n=1 N(N + 1) 2 = S. Stąd możemy wyznaczyć wysokość raty T 2 T = S N(N + 1) oraz postać ogólną ciągu (T n ) N n=1, (35) 2n T n = S N(N + 1). (36) średnio- i 64 / 98

65 Ze wzoru (29) dla n = 1, 2,..., N T 1 + T T n = S 0 S 1 + S 1 S S n 1 S n co, w myśl (35) implikuje, że dług bieżący po spłaceniu n rat spełnia czyli n 2 S n = S T l = S S N(N + 1) l=1 [ ] n(n + 1) S n = S 1. N(N + 1) n(n + 1), 2 średnio- i 65 / 98

66 Z (27) rata odsetkowa jest postaci [ ] (n 1)n) I n = S 1 i, N(N + 1) zaś postać ogólna ciągu (R n ) N n=1 dana jest wzorem R n = S [ ] 2n + N(N + 1)i (n 1)ni. N(N + 1) średnio- i 66 / 98

67 Ad.2. Raty o stałej części kapitałowej są podobnie jak raty annuitetowe najczęściej stosowanym modelem w praktyce bankowych kredytów i pożyczek konsumpcyjnych. Niech T n = T dla n = 1, 2,..., N. Ponieważ N S = T = NT, n=1 to raty o stałej części kapitałowej spełniają średnio- i i oczywiście T n = T = S N (37) R n = T + I n. (38) 67 / 98

68 Widzimy, że powyższe i wzór (29) implikują S n = S n 1 T, n = 1, 2,..., N, tj. że po spłaceniu kolejnych rat dług bieżący pomniejsza się o stałą kwotę, czyli (S n ) N n=0 tworzy ciąg arytmetyczny (malejący) o pierwszym wyrazie S i różnicy T. To dowodzi, że po spłaceniu n rat dług bieżący dany jest wzorem S n = S nt. (39) średnio- i 68 / 98

69 Ponadto S n i = S n 1 i T i, n = 1, 2,..., N, co implikuje w myśl (27) I n = I n 1 T i, n = 1, 2,..., N, że ciąg rat odsetkowych (I n ) N n=1 tworzy ciąg arytmetyczny (malejący) o pierwszym wyrazie Si i różnicy T i. Stąd i z faktu, że raty kapitałowe są stałe otrzymujemy, że ciąg rat (R n ) N n=1 również tworzy ciąg arytmetyczny (malejący) o pierwszym wyrazie Si + T i różnicy T i. Ponieważ ciąg rat jest malejący, to w praktyce przyjęło się mówić o spłacie długu ratami malejącymi częściej niż ratami o stałych częściach kapitałowych. Matematyka bankowa 2 średnio- i 69 / 98

70 Powyższe wzory mają charakter rekurencyjny zależny od wielkości T. Innymi równoważnymi postaciami są S n = S (N n), N I n = S (N n + 1)i, N R n = S [ ] 1 + (N n + 1)i. N średnio- i 70 / 98

71 Zakładamy, że w każdej z N rat umarzającej dług S, dłużnik zwraca wierzycielowi odpowiednią część kapitału a odsetki od długu są spłącone jednorazowo w j-tej racie. W myśl zasady równoważności długu i ciągu rat Matematyka bankowa 2 S(1 + i) N = T 1 (1 + i) N (T j + Ĩj)(1 + i) N j T N N = T n (1 + i) N n + Ĩj(1 + i) N j. n=1 Stąd N Ĩ j = S(1 + i) j T n (1 + i) j n. n=1 Gdy raty kapitałowe są stałe, to po przekształceniach mamy Ĩ j = ( S S N a N i) (1 + i) j. średnio- i 71 / 98

72 Zakładamy, że długa S jest spłacony jednorazowo w ostatniej racie, zaś odsetki ratalnie, czyli R 1 = I 1, R 2 = I 2,... R N 1 = I N 1, R N = S + I N. Widzimy, że S n = S dla n = 1, 2,..., N 1. Stąd raty są postaci R n = Si, n = 1, 2,..., N 1, R N = S(1 + i). średnio- i 72 / 98

73 W dotychczasowych rozważaniach dotyczących spłaty zakładaliśmy, że jedynymi kosztami są odsetki. Tymczasem bardzo często przy pożyczkach czy kredytach banki pobierają tzw. prowizje i marże. Prowizją nazywamy opłatę za usługę i czynności finansowe wierzyciela. Jest ona naliczana od wysokości długu i potrącana z góry. Zdarza się jednak, że prowizja pobierana jest ratalnie od raty długu. Marżą nazywamy zysk na usługach podany w procentach i przeliczony na skalę roczną. Marża mówi o opłacalności usługi. Wysokość marży ustala się najczęściej w zależności od długu bieżącego. średnio- i 73 / 98

74 Plan spłaty długu z naliczoną od wysokości długu S Niech P będzie dodatkowa naliczoną według stopy p od długu S, zaś (P n ) N n=1 ciągiem płatności pobieranych łącznie z ratą R n takim, że P = N n=1 P n. średnio- i 74 / 98

75 -) Dla długu S spłacanego stałymi ratami R połóżmy P n = T n p, n = 1, 2,..., N. Wówczas z (34) N N i P = P n = S (1 + i) N 1 (1 + i)n 1 p n=1 n=1 i N = S (1 + i) N 1 p (1 + i) n 1 n=1 i = S (1 + i) N 1 p(1 + i)n 1 i = Sp, Matematyka bankowa 2 średnio- i co dowodzi, że ciąg (P n ) N n=1 jest dobrze zdefiniowany. 75 / 98

76 Plan spłaty długu jest to układ ( (Sn ) N n=0, ( R n ) N n=1, (T n) N n=1, (I n) N ) n=1, gdzie R n = R n + P n, zaś elementy R n, S n, T n, I n są takie jak w podrozdziale (patrz m.in. wzory (30)-(34)). średnio- i 76 / 98

77 -) Dla długu S spłacanego ratami malejącymi tzn. ratami o stałych, kładąc otrzymujemy, w myśl (37) P n = T n p, n = 1, 2,..., N, N N N S P = P n = T n p = N p = Sp. n=1 n=1 n=1 średnio- i 77 / 98

78 Plan spłaty długu jest tutaj układem ( (Sn ) N n=0, ( R n ) N n=1, (T n) N n=1, (I n) N ) n=1, gdzie R n = R n + P n, zaś elementy R n, S n, T n, I n są takie jak w podrozdziale (patrz m.in. wzory(37)-(39)). średnio- i 78 / 98

79 Plan spłaty długu z naliczoną od wysokości długu bieżacego S n Ponieważ opłata dodatkowa jest naliczana od długu bieżacego, to ciąg (P n ) N n=1 zdefiniowany jest tutaj wzorem P n = S n 1 p, n = 1, 2,..., N. średnio- i 79 / 98

80 -) Dla długu S spłacanego stałymi ratami R otrzymujemy, że łączną opłata dodatkowa w myśl (32) spełnia N N P = P n = S n 1 p n=1 n=1 N = S (1 + i)n (1 + i) n 1 (1 + i) n=1 N p 1 [ Sp N ] = (1 + i) N N(1 + i) N (1 + i) n 1 1 n=1 [ Sp = (1 + i) N N(1 + i) N (1 + ] i)n 1, 1 i w konsekwencji [ N(1 + i) N P = Sp (1 + i) N 1 1 ]. i Matematyka bankowa 2 średnio- i 80 / 98

81 Ponieważ z (27) R = S n 1 (1 + i) S n, to n-ta płatność wynosi R n = P n + R = S n 1 (1 + i + p) S n, n = 1, 2,..., N. (40) Układ ( (S n ) N n=0, ( R n ) N n=1, (T n) N n=1, (I n) N n=1) stanowi plan spłaty długu, gdzie R n dane jest wzorem (40). średnio- i 81 / 98

82 -) Dla długu S spłacanego ratami malejącymi, ponieważ S n 1 = S N (N (n 1)), to łączna opłata wynosi Matematyka bankowa 2 N N N S P = P n = S n 1 p = (N (n 1))p N n=1 n=1 n=1 = S N p N n=1 n = S N + 1 p. 2 Zauważmy, że n-ta płatność wynosi średnio- i R n = R n +P n = T n +I n +P n = T n +S n 1 i+s n 1 p = T n +S n 1 (i+p) co daje, że dodatkowa opłata zwiększa stopę i do stopy i + p, czyli R n = S [ ] 1 + (N n + 1)(i + p). N Układ ( (S n ) N n=0, ( R n ) N n=1, (T n) N n=1, (I n) N n=1) stanowi plan spłaty długu. 82 / 98

83 Rzeczywisty koszt długu. Rzeczywista okresowa stopa procentowa czyli I nom = I 1 + I I N I nom = R 1 + R R N S średnio- i 83 / 98

84 I rz = R 1 (1 + i) N 1 + R 2 (1 + i) N R N S średnio- i 84 / 98

85 i - okresowa rzeczywista stopa kosztu spłaty długu S = R i R N (1 + i) N r ef - roczna rzeczywista stopa kosztu spłaty długu r ef = (1 + i) N 1 średnio- i 85 / 98

86 czyli n F n = R(1 + i) N l l=1 F n = Rs n i P = Ra n i średnio- i 86 / 98

87 F (+1) n = R s n i P (+1) = Rä n i średnio- i 87 / 98

88 P 0, n wypłatach P n = P 0 (1 + i) n F n, n = 1, 2,... średnio- i 88 / 98

89 R P 0 i R = P 0 i średnio- i 89 / 98

90 P 0 = R i (1 + i) n P 0 = lim R1. n i średnio- i 90 / 98

91 Matematyka bankowa 2 F n =R(1 + i) n 1 + (R + d)(1 + i) n 2 + (R + 2d)(1 + i) n (R + (n 2)d)(1 + i) + (R + (n 1)d) n n = R(1 + i) n l + d(1 + i) n l l=1 n + l=3 l=2 d(1 + i) n l d =R (1 + i)n 1 i d (1 + i)2 1 =R (1 + i)n 1 i + d (1 + i)n 1 1 i + d (1 + i)1 1 i i + d n 1 l=1 (1 + i) l 1 i + (1 + i)n 2 1 i średnio- i 91 / 98

92 n 1 [ ] (1 + i) l 1 =R (1 + i)n 1 + d i i l=1 =R (1 + i)n 1 + d [ n 1 ] 1 n + (1 + i) l i i l=1 =R (1 + i)n 1 + d [ n 1 ] n + (1 + i) l i i l=0 =R (1 + i)n 1 + d [ n + (1 + ] i)n 1 i i i ( = R + d ) (1 + i) n 1 d i i i n średnio- i 92 / 98

93 zatem F n = ( R + d ) s i n i d n. (41) i Ponieważ P (1 + i) n = F n, to z powyższego otrzymujemy P = ( R + d ) a i n i d i n (1 + i) n. (42) średnio- i 93 / 98

94 Jeżeli renta arytmetyczna jest wypłacana z góry, to wzory (41), (42) przyjmą odpowiednio postać F (+1) n P (+1) n = F n (1 + i), = P n (1 + i). średnio- i 94 / 98

95 Jeżeli renta wypłacana jest z kapitału rentowego o wartości początkowej P 0, to po n wypłatach stan konta wynosi P n = P 0 (1 + i) n F n, n = 1, 2,.... średnio- i 95 / 98

96 W przypadku, gdy q 1 + i F n =R(1 + i) n 1 + Rq(1 + i) n Rq n 2 (1 + i) + Rq n 1 ) 2 [ =R(1 + i) n q ( q 1 + i i ( ) q n 2 ( ) q n 1 ] i 1 + i ( n q 1+i) 1 =R(1 + i) n 1 q 1+i 1 =R (1 + i)n q n 1 + i q średnio- i 96 / 98

97 oraz ( ) n 1 q 1+i P = R 1 + i q. średnio- i 97 / 98

98 W przypadku, gdy q = 1 + i F n = nr(1 + i) n 1 oraz P = nr 1 + i. średnio- i 98 / 98