Poj cia pomocnicze Otoczeniem punktu x nazywamy dowolny zbiór otwarty zawieraj cy punkt x. Najcz ±ciej rozwa»amy otoczenia kuliste, tj. kule o danym promieniu ε i ±rodku x. S siedztwem punktu x nazywamy taki zbiór S, x / S,»e S {x} jest otoczeniem punktu x. Przez otoczenie niesko«czono±ci na prostej rozumiemy przedziaª (a, ). Punktem skupienia zbioru A nazywamy taki punkt x,»e do ka»dego s siedztwa punktu x nale»y przynajmniej jeden element zbioru A(przekrój otoczenia i zbioru A jest niepusty). Zbiór wszystkich punktów skupienia zbioru A oznaczamy A d i czasem nazywamy pochodn zbioru A. Punkty nale» ce do zbioru A \ A d nazywamy punktami izolowanymi. Obrazem zbioru A przez funkcj f nazywamy zbiór warto±ci funkcji f dla argumentów ze zbioru A i oznaczamy f(a). Przykªad. A A d (, ) [, ] {,, 3, 4,...} {} (, ) {5} [, ]
Granice funkcji. Denicje i 'denicje' Denicja ('denicja' Cauchy'ego). Niech (X, ρ), (Y, σ) b d przestrzeniami metrycznymi, D X. Liczb g nazywamy granic funkcji f : D Y w punkcie x D d wtedy i tylko wtedy, gdy ( ) < ρ(x, x ) < δ σ(f(x), g) < ε ε>δ>x D Denicja ('denicja' Heinego). Niech X, Y b d przestrzeniami metrycznymi, D X. Liczb g nazywamy granic funkcji f : D Y w punkcie x D d wtedy i tylko wtedy, gdy dla ka»dego ci gu {x n } n N elementów przestrzeni X zbie»nego do x i takiego,»e x n x odpowiadaj cy mu ci g warto±ci funkcji f {f(x n )} n N jest zbie»ny do g. Takie ci gi {x n } n N n N nazywamy ci gami Heinego. Denicja 3 (denicja 'prawdziwa'). Niech X, Y b d przestrzeniami metrycznymi, D X. Liczb g nazywamy granic funkcji f : D Y w punkcie x D d wtedy i tylko wtedy, gdy dla ka»dego O g - otoczenia punktu g istnieje takie S x - s siedztwo punktu x,»e f(s x D) O g. Symbolicznie: f(s x D) O g Sx Twierdzenie. Wszystkie te denicje s parami równowa»ne.. Twierdzenia o ci gach > twierdzenia o granicach Twierdzenie. Je»eli granica funkcji f w punkcie x istnieje, to jest jedyna. O g Dowód. Skorzystam w dowodzie z denicji Heinego. Gdyby funkcja f miaªa w punkcie x dwie ró»ne granice, wtedy ci g {f(x n )} n N musiaªby, w zale»no±ci od doboru ci gu {x n } n N, by zbie»ny do dwóch ró»nych punktów, co od razu daje nam sprzeczno±, gdy» granica tego ci gu wg denicji jest niezale»na od wyboru ci gu {x n } n N i, z odpowiedniego twierdzenia o ci gach, jest jedyna. Twierdzenie 3. Niech X, Y b d przestrzeniami metrycznymi, D X, f, g : D Y b d funkcjami oraz x D d. Wówczas:.. 3. 4. lim (f(x) + g(x)) f(x) + lim g(x) lim (f(x) g(x)) f(x) lim g(x) lim (f(x) g(x)) f(x) lim g(x) Je»eli dodatkowo dla D x z pewnego otoczenia x g(x) oraz lim g(x), to lim f(x) f(x) lim g(x) lim g(x) Dowód. Ponownie skorzystamy z denicji Heinego. Niech {x n } n N b dzie ci giem speªniaj cym zaªo»enia denicji(w przypadku 4 niech dodatkowo elementy tego ci gu nale» do tego otoczenia x, dla którego g(x) ). Wtedy f(x n ) n a, g(x n ) n b i z odpowiednich twierdze«o ci gach otrzymujemy tez. Twierdzenie 4 (O trzech funkcjach). Niech X, Y b d przestrzeniami metrycznymi, D X, f, g, h : D Y b d funkcjami takimi,»e dla pewnego otoczenia punktu x g(x) f(x) h(x), oraz lim g(x) h(x) a. Wówczas lim f(x) a. Dowód. Ponownie skorzystamy z denicji Heinego. We¹my ci g Heinego, którego elementy nale» do otoczenia x, w którym jest zachowana nierówno± g(x) f(x) h(x). Wówczas z twierdzenia o trzech ci gach uzyskujemy tez.
Przykªad. Obliczy granic lim x cos( x + x ) cos( x ) x x cos( x ) x lim x cos( x + x ). 3
3 Ci gªo± funkcji 3. Denicje i 'denicje' Denicja 4. Niech X, Y b d przestrzeniami metrycznymi, D X. O funkcji f : D Y powiemy,»e jest ci gªa w punkcie x D wtedy i tylko wtedy, gdy x jest punktem izolowanym zbioru D lub lim f(x) f(x ). O funkcji która jest ci gªa w ka»dym punkcie swojej dziedziny mówimy krótko,»e jest ci gªa. Denicja 5 ('denicja' Cauchy'ego). Niech (X, ρ), (Y, σ) b d przestrzeniami metrycznymi, D X. Funkcja f jest ci gªa w punkcie x D wtedy i tylko wtedy, gdy ( ) ρ(x, x ) < δ σ(f(x), f(x )) < ε ε>δ>x D Denicja 6 ('denicja' Heinego). Niech X, Y b d przestrzeniami metrycznymi, D X. Funkcja f jest ci gªa w punkcie x D wtedy i tylko wtedy, gdy dla ka»dego ci gu {x n } n N elementów przestrzeni X zbie»nego do x odpowiadaj cy mu ci g warto±ci funkcji f {f(x n )} n N jest zbie»ny do f(x ). Denicja 7. Niech X, Y b d przestrzeniami metrycznymi, D X. Funkcja f jest ci gªa w punkcie x D wtedy i tylko wtedy, gdy dla ka»dego O f(x) - otoczenia punktu f(x ) istnieje takie U x - otoczenie punktu x,»e f(u x D) O f(x). Symbolicznie: f(u x D) O g U x O f(x ) Twierdzenie 5. Wszystkie te denicje s parami równowa»ne. Twierdzenie 6. Niech X, Y b d przestrzeniami metrycznymi, D X. Je»eli f, g : D Y s funkcjami ci gªymi w punkcie x D, to ich suma, ró»nica oraz iloczyn równie». Je»eli dodatkowo g(x ), to iloraz f g równie» jest funkcj ci gªa w punkcie x. Dowód. Jest to bezpo±redni wniosek z odpowiednich twierdze«o granicach funkcji. Twierdzenie 7 (O granicy zªo»enia). Niech X, Y, Z b d przestrzeniami metrycznymi, D X. Je»eli f : D Y jest funkcj ci gª w x, a g : f(d) Z w y : f(x ), to funkcja g f : D Z jest ci gªa w x. 3. Zabijanie intuicji Ci gªo± nie oznacza,»e wykres funkcji da si narysowa 'bez odrywania oªówka' od kartki. Przykªad 3. Odwrotno± funkcji ci gªej nie musi by ci gªa. f(x) x g : (, ) (, ) g(x) Przykªad 4. f : (, ) [, ) R { x dla x (, ) f(x) x dla x [, ) Funkcja Riemanna, okre±lona wzorem: { dla x R \ Q f(x) Jest ona ci gªa dla wszystkich x niewymiernych. n dla x m n, m Z, n N, x nieskracalny. 4
4 Pochodne 4. Denicja Niech f b dzie pewn funkcj rzeczywist (o warto±ciach rzeczywistych). Rozwa»my nast puj cy iloraz, nazywany ilorazem ró»nicowym: f(x) f(x ) x x Šatwo zauwa»y,»e jest to wspóªczynnik kierunkowy prostej przecinaj cej wykres funkcji f w punktach (x, f(x)) oraz (x, f(x )). Zmierzaj c teraz z x do x, uzyskamy prost styczn do wykresu funkcji f w punkcie x. f(x) f(x Denicja 8. Niech f : D R b dzie funkcj, x D. Granic (o ile istnieje) lim ) x x x x w punkcie x i oznaczamy f (x ). Mo»emy te» przyj oznaczenia: h : x x x x + h. Wtedy nasza granica przyjmuje posta lim f(x +h) f(x ) h h. nazywamy pochodn funkcji f Je»eli funkcja f posiada pochodn w punkcie x to mówimy,»e jest w tym punkcie ró»niczkowalna. Je»eli jest ró»niczkowalna w ka»dym punkcie pewnego zbioru A, mówimy,»e jest ró»niczkowalna w zbiorze A. W szczególno±ci, je»eli jest ró»niczkowalna w ka»dym punkcie swojej dziedziny, mówimy,»e jest ró»niczkowalna. 4. Twierdzenia podstawowe Twierdzenie 8. Je»eli funkcja f jest w punkcie x ró»niczkowalna, to jest w tym punkcie ci gªa. Dowód. Obkªadaj c obie strony granic lim, uzyskujemy czyli f jest ci gªa w x. f(x) f(x) f(x ) x x (x x ) + f(x ) lim f(x) f(x ), Twierdzenie 9 (O pochodnej zªo»enia). Niech f : (a, b) R, g : (c, d) R, x ró»niczkowalna w y : f(x ). Wówczas g f jest funkcj ró»niczkowaln w x oraz (a, b), f ró»niczkowalna w x, g (g f) (x ) g (f(x )) f (x ). Dowód. Rozwa»ymy dwa przypadki. f(x) f(x Istnieje takie s siedztwo S x punktu x,»e f(x) f(x ). Wówczas dla x S ) x x S x x x f (x ). Musimy wi c wykaza,»e (g f) (x ). Rozpatrzmy ci g {x n } n N zbie»ny do x taki,»e x n S x. Wówczas f(x n ) f(x ), wi c n N, wi c równie» (g f) (g f)(x) (g f)(x ) g(f(x n )) g(f(x )) g(f(x )) g(f(x )) (x ) x x n x n x n x x. n Takie s siedztwo nie istnieje. Wówczas (g f) (x ) (g f)(x) (g f)(x ) g(f(x)) (g(f(x )) lim x x x x g(f(x)) g(f(x )) lim f(x) f(x ) g (f(x )) f (x ). f(x) f(x ) x x Twierdzenie (Pochodna sumy, ró»nicy, iloczynu, ilorazu). Rozwa»my funkcje f, g : R (a, b) R, ró»niczkowalne w punkcie x (a, b). Wówczas: 5
(f + g) (x ) f (x ) + g (x ) (f g) (x ) f (x ) g (x ) (f g)(x ) f (x )g(x ) + f(x )g (x ) Je»eli dodatkowo g(x ), to ( f g ) (x ) f (x )g(x ) f(x )g (x ) g (x ). Dowód. Dowiedziemy przypadku trzeciego: (f g)(x) (f g)(x ) (f g)(x ) x x f(x) g(x) f(x ) g(x ) x x f(x)g(x) f(x)g(x ) + f(x)g(x ) f(x )g(x ) x x f(x )g (x ) + g(x )f (x ). ( f(x) g(x) g(x ) x x + g(x ) f(x) f(x ) x x ) Zauwa»my,»e dla danej funkcji ró»niczkowalnej f(x) mo»emy wskaza funkcj, która argumentowi funkcji przyporz dkowuje warto± pochodnej funkcji f w tym punkcie. Funkcj t nazywamy pochodn funkcji f i oznaczamy f. Je»eli f jest funkcj ró»niczkowaln, mo»emy obliczy jej pochodn, któr nazywamy drug pochodn funkcji f i oznaczamy f. O funkcji, która ma n pochodnych i której n ta pochodna jest funkcj ci gªa mówimy,»e jest klasy C n. 4.3 Wzorów par Przykªad 5. f(x) f (x) Uwagi c c R x α α x α α R, odpowiednie zaªo»enia do x sin x cos x cos x sin x tg x cos x x (k + ) π, k Z ctg x x kπ, k Z sin x arcsin x x x (, ) arccos x x x (, ) arctgx +x +x arcctgx a x a x ln a W szczególno±ci (e x ) e x log a x x ln a W szczególno±ci (lnx) x f(x) sin 7 ln( x 3 x ) f (x) 7 sin 6 ln( x 3 3 ) cos ln(x x x ) 4.4 Zastosowania pierwszej i dalszych pochodnych x x 3 Twierdzenie (Zwi zek pochodnej z monotoniczno±ci funkcji). Niech f : (a, b) R b dzie funkcj ró»niczkowaln w (a, b). Wówczas zachodz nast puj ce warunki: Je±li f jest funkcj rosn c, to f (x) ; Je±li f >, to f jest funkcj silnie rosn c ; Je±li f jest funkcj malej c, to f (x) ; Je±li f <, to f jest funkcj silnie malej c. Denicja 9. Niech f : D R b dzie funkcj rzeczywist. Je±li dla pewnego otoczenia O x punktu x D zachodzi warunek: f(x) f(x ) x O x D to mówimy,»e funkcja f przyjmuje w punkcie x maksimum lokalne(minimum lokalne). Maksima i minima funkcji okre±lamy wspólnie mianem ekstremów funkcji. 6 4x 6
Twierdzenie (Warunek konieczny istnienia ekstremum). Je±li f : (a, b) R jest ró»niczkowalna i posiada ekstremum w punkcie x, to f (x ). Twierdzenie 3 (Warunek wystarczaj cy istnienia ekstremum). Je±li f : (a, b) R jest ró»niczkowalna i istnieje δ taka,»e x (x δ,x ) f (x) > x (x,x +delta) f (x) <, to funkcja f posiada w punkcie x maksimum lokalne(po zmianie znaków nierówno±ci - minimum lokalne). Przykªad 6. Dany jest sto»ek o promieniu podstawy 3 i wysoko±ci 4. Wpisano we«walec, za± w mniejszy sto»ek ograniczony z doªu górn podstaw walca wpisano kul. Jakie musz by wymiary walca i kuli, by suma ich obj to±ci byªa najwi ksza? Odp. r kuli 7 8, r walca 6 7, h walca Przykªad 7. Pod jakim k tem przecinaj si wykresy funkcji f x 3 i g 3 x? Odp. S one prostopadªe. Drug pochodn wykorzystuje si do badania wypukªo±ci i wkl sªo±ci funkcji. 7