EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI



Podobne dokumenty
1. WARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA LICZBY

Mamy nadzieję, że zestaw, który przygotowaliśmy maturzystom, spełni swoje zadanie i przyczyni się do egzaminacyjnych sukcesów.

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

Publikacja współfinansowana przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego. Publikacja jest dystrybuowana bezpłatnie.

EGZAMIN EKSTERNISTYCZNY Z MATEMATYKI

Spis treści. Publikacja współinansowana przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego. Publikacja jest dystrybuowana bezpłatnie.

ZESTAW WYBRANYCH WZORÓW MATEMATYCZNYCH OBOWIÑZUJÑCYCH OD ROKU 2010

ZESTAW WYBRANYCH WZORÓW MATEMATYCZNYCH OBOWIÑZUJÑCYCH OD ROKU 2010

KARTA WZORÓW MATEMATYCZNYCH. (a + b) c = a c + b c. p% liczby a = p a 100 Liczba x, której p% jest równe a 100 a p

akademia365.pl kopia dla:

9. PLANIMETRIA. Cięciwa okręgu (koła) odcinek łączący dwa dowolne punkty okręgu

TABLICE WZORÓW I TWIERDZEŃ MATEMATYCZNYCH zakres GIMNAZJUM

h a V. GEOMETRIA PŁASKA TRÓJKĄT :

Mechanika teoretyczna

Symbol Newtona liczba wyborów zbioru k-elementowego ze zbioru n elementów. Symbol Newtona

GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI

11. STEREOMETRIA. V - objętość bryły D H. c p. Oznaczenia stosowane w stereometrii: - pole powierzchni całkowitej bryły - pole podstawy bryły

ZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ

KONKURS MATEMATYCZNY DLA UCZNIÓW GIMNAZJUM

Wykład 1 Pojęcie funkcji, nieskończone ciągi liczbowe, dziedzina funkcji, wykres funkcji, funkcje elementarne, funkcje złożone, funkcje odwrotne.

GENEZA WYZNACZNIKA. Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi. Rozwiązania układu metodą eliminacji Gaussa

G i m n a z j a l i s t ó w

ZADANIA Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ dla I roku kierunku informatyka WSZiB

Metoda szeregów potęgowych dla równań różniczkowych zwyczajnych liniowych. Równanie różniczkowe zwyczajne liniowe drugiego rzędu ma postać

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

460 Szeregi Fouriera. Definicja. Definicja. Układ trygonometryczny. Definicja Układ ortogonalny funkcji ( ϕ n

Operacje elementarne na macierzach. Rozwiązywanie układów równań metodą eliminacji Gaussa. Badanie rozwiązalności układów równań

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Zakres materiału obowiązujący do egzaminu poprawkowego z matematyki klasa 2 Ha i 2 Lb 2011 str 1

a a = 2 S n = 2 = r - constans > 0 - ciąg jest malejący q = b1, dla q 1 S n 1 CIĄGI jest rosnący (niemalejący), jeżeli dla każdego n a n

Znajdowanie analogii w geometrii płaskiej i przestrzennej

AM1.1 zadania 8 Przypomn. e kilka dosyć ważnych granic, które już pojawiły się na zajeciach. 1. lim. = 0, lim. = 0 dla każdego a R, lim (

3.1. Ciągi liczbowe - ograniczoność, monotoniczność, zbieżność ciągu. Liczba e. Twierdzenie o trzech ciągach.

Zadania do rozdziału 7.

METODY NUMERYCZNE. Wykład 5. Całkowanie numeryczne. dr hab. inż. Katarzyna Zakrzewska, prof. AGH. Met.Numer. wykład 5 1

2.27. Oblicz wartość wyrażenia 3 a Wykaż, że jeżeli x i y są liczbami dodatnimi oraz x+ y =16, to ( 1+

Całki oznaczone. wykład z MATEMATYKI

I. DZIAŁANIA W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH ZBIORY LICZBOWE: liczby całkowite C : C..., 3, 2, 1,

Je eli m, n! C i a, b! R[ m a. = -x. a a. m = d n pot ga ilorazu. m m m. l = a pot ga pot gi. a $ b = a $ b pierwiastek stopnia trzeciego

Collegium Novum Akademia Maturalna

WYKŁAD 7. UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH Macierzowa Metoda Rozwiązywania Układu Równań Cramera

GEOMETRIA PŁASZCZYZNY

XI. Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Całka podwójna Całka podwójna po prostokącie. Oznaczenia:

11. 3.BRYŁY OBROTOWE. Walec bryła obrotowa powstała w wyniku obrotu prostokąta dokoła prostej zawierającej jeden z jego boków

Zakres materiału obowiązujący do egzaminu poprawkowego z matematyki klasa 3 technikum str 1

METODY NUMERYCZNE. Wykład 4. Całkowanie numeryczne. dr hab. inż. Katarzyna Zakrzewska, prof. AGH

CIĄGI LICZBOWE. Naturalną rzeczą w otaczającym nas świecie jest porządkowanie różnorakich obiektów, czyli ustawianie ich w pewnej kolejności.

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Wykład 8: Całka oznanczona

11. DYNAMIKA RUCHU DRGAJĄCEGO

G i m n a z j a l i s t ó w

5. CIĄGI. 5.1 Definicja ciągu. Ciągiem liczbowym nazywamy funkcję przyporządkowującą każdej liczbie naturalnej n liczbę rzeczywistej.

Rozmaite techniki dowodzenia nierówności

MATEMATYKA W EKONOMII I ZARZĄDZANIU

ZADANIA NA POCZA n(n + 1) = 1 3n(n + 1)(n + 2).

CAŁKA NIEOZNACZONA f - funkcja określona w przedziale E. Funkcją pierwotną funkcji f w przedziale E nazywamy funkcję F taką, że

9. 1. KOŁO. Odcinki w okręgu i kole

8. 1. DEFINICJE FUNKCJI TRYGONOMETRYCZNYCH. Definicje funkcji trygonometrycznych kata ostrego. b- przyprostokątna przy α

MATEMATYKA Przed próbną maturą. Sprawdzian 2. (poziom rozszerzony) Rozwiązania zadań

Algebra WYKŁAD 5 ALGEBRA 1

Novosibirsk, Russia, September 2002

ZBIÓR LICZB RZECZYWISTYCH - DZIAŁANIA ALGEBRAICZNE

MATEMATYKA DYSKRETNA (2014/2015) dr hab. inż. Małgorzata Sterna WIELOMIANY SZACHOWE

7. Szeregi funkcyjne

KONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13 III etap zawodów (wojewódzki) 12 stycznia 2013 r.

Sumy algebraiczne i funkcje wymierne

Równania liniowe rzędu drugiego stałych współczynnikach

CIĄGI LICZBOWE N = zbiór liczb naturalnych. R zbiór liczb rzeczywistych (zbiór reprezentowany przez punkty osi liczbowej).

Planimetria czworokąty

Macierze w MS Excel 2007

Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ 2015/2016 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY. Copyright by Nowa Era Sp. z o.o.

Semantyka i Weryfikacja Programów - Laboratorium 2 Działania na ułamkach, krotki i rekordy

Wykªad 8. Pochodna kierunkowa.

2. Ciągi liczbowe. Definicja 2.1 Funkcję a : N R nazywamy ciągiem liczbowym. Wartość funkcji a(n) oznaczamy symbolem a

i interpretowanie reprezentacji wykorzystanie i tworzenie reprezentacji wykorzystanie wykorzystanie i tworzenie reprezentacji

jeŝeli stosunek współczynnika przy trzecim wyrazie + x a

Główka pracuje - zadania wymagające myślenia... czyli TOP TRENDY nowej matury.

1. Określ monotoniczność podanych funkcji, miejsce zerowe oraz punkt przecięcia się jej wykresu z osią OY

3.6. Całka oznaczona Riemanna i jej własności. Zastosowania geometryczne całki oznaczonej.

IKONY CZĘŚĆ I 1. WIELOKĄTY I OKRĘGI

KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka. Poziom rozszerzony. Listopad Wskazówki do rozwiązania zadania

Działania wewnętrzne i zewnętrzne

FUNKCJA KWADRATOWA. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI DRUGIEGO STOPNIA.

Matematyka finansowa r.

Podstawy Automatyki. Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania.

POLE MAGNETYCZNE W PRÓŻNI. W roku 1820 Oersted zaobserwował oddziaływanie przewodnika, w którym płynął

Momenty bezwładności figur płaskich - definicje i wzory

Zadania otwarte. 2. Matematyka. Poziom rozszerzony Próbna Matura z OPERONEM i Gazetą Wyborczą n n. 2n n. lim 10.

WYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKA ZAŁAMANIA ŚWIATŁA METODĄ SZPILEK I ZA POMOCĄ MIKROSKOPU. Wprowadzenie. = =

Sumy algebraiczne i funkcje wymierne

Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 15. CAŁKI OZNACZONE. Egzaminy I termin poniedziałek :00 Aula B sala 12B Wydział Informatyki

I. CIĄGI I SZEREGI FUNKCYJNE. odwzorowań zbioru X w zbiór R [lub C] nazywamy ciągiem funkcyjnym.

GRANIASTOSŁUPY

CIĄGI LICZBOWE N 1,2,3,... zbiór liczb naturalnych. R zbiór liczb rzeczywistych (zbiór reprezentowany przez punkty osi liczbowej).

2. Funktory TTL cz.2

ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZANIA

Informatyka Stosowana-egzamin z Analizy Matematycznej Każde zadanie należy rozwiązać na oddzielnej, podpisanej kartce!

Wymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa II Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS /02

1 Definicja całki oznaczonej

Transkrypt:

EGZMIN MTURLNY Z MTEMTYKI WZORY SPIS TREŚI. Wtość ezwzględ lizy.... Potęgi i piewistki.... Sili. Symol Newto... 4. wumi Newto... 5. Wzoy skóoego możei... 6. iągi... 7. Fukj kwdtow...4 8. Logytmy...5 9. Pood fukji...5 0. Geometi lityz...6. Plimeti...8. Steeometi.... Tygoometi... 4. Komitoyk...6 5. Ruek pwdopodoieństw...6 6. Pmety dy sttystyzy...7 7. Tli wtośi fukji tygoometyzy...9. WRTOŚĆ EZWZGLĘN LIZY Wtość ezwzględą lizy zezywistej defiiujemy wzoem:, dl 0 dl < 0 Liz jest to odległość osi lizowej puktu od puktu 0. W szzególośi: 0 l dowoly liz, y mmy: + y + y y + y y y Podto, jeśli y 0, to y y l dowoly liz oz, gdzie 0, mmy wuki ówowże: + lu +. POTĘGI I PIERWISTKI Nie ędzie lizą łkowitą dodtią. l dowolej lizy defiiujemy jej tą potęgę:!"#... zy Piewistkiem ytmetyzym stopi z lizy 0 zywmy lizę 0 tką, że.

W szzególośi, dl dowolej lizy zodzi ówość:. Jeżeli < 0 oz liz jest iepzyst, to ozz lizę < 0 tką, że Piewistki stopi pzysty z liz ujemy ie istieją. *. Nie m, ędą lizmi łkowitymi dodtimi. efiiujemy: 0 dl 0 : oz dl 0 : m m m dl > 0 : m Nie, s ędą dowolymi lizmi zezywistymi. Jeśli > 0 i > 0, to zodzą ówośi: s s + s s s s Jeżeli wykłdiki, s są lizmi łkowitymi, to powyższe wzoy oowiązują dl wszystki liz 0, 0.. SILNI. SYMOL NEWTON Silią lizy łkowitej dodtiej zywmy ilozy kolejy liz łkowity:!... Podto pzyjmujemy umowę, że 0!. l dowolej lizy łkowitej 0 zodzi związek: +!! + * l liz łkowity, k spełijąy wuki 0 k defiiujemy symol Newto:! k k! ( k)! Zodzą ówośi: ( )( )... ( k+ ) k... k k k 0 l 0 k < mmy: + k + k+ k k+ k+ k k +

4. WUMIN NEWTON l dowolej lizy łkowitej dodtiej oz dl dowoly liz, mmy:... k k... + + + + + + + 0 k 5. WZORY SKRÓONEGO MNOŻENI Z dwumiu Newto dl oz otzymujemy dl dowoly liz, : + + + + + + + + + * l dowolej lizy łkowitej dodtiej oz dowoly liz, zodzi wzó: k k + +... + +... + + W szzególośi: + + + + + + 6. IĄGI iąg ytmetyzy Wzó ty wyz iągu ytmetyzego o dym piewszym wyzie i óżiy : + Wzó sumę S + +... + pozątkowy wyzów iągu ytmetyzego: + ( ) S + Między sąsiedimi wyzmi iągu ytmetyzego zodzi związek: + + dl iąg geometyzy Wzó ty wyz iągu geometyzego o dym piewszym wyzie i ilozie q: q Wzó sumę S + +... + pozątkowy wyzów iągu geometyzego: S q q dl q dl q Między sąsiedimi wyzmi iągu geometyzego zodzi związek: dl +

Poet skłdy Jeżeli kpitł pozątkowy K złożymy lt w ku, w któym opoetowie lokt wyosi p % w skli ozej, to kpitł końowy K wyż się wzoem: p K K + 00 Gi iągu Jeżeli lim g oz lim, to ( + ) g+ ( ) g lim lim Jeżeli podto 0 dl oz 0, to g lim * lim g Jeżeli ( ),, jest ieskońzoym iągiem geometyzym o ilozie q <, to iąg sum jego pozątkowy wyzów S + +... + m gię: lim S q 7. FUNKJ KWRTOW Postć ogól fukji kwdtowej: f + +, 0. Wzó kżdej fukji kwdtowej moż dopowdzić do posti koizej: f +, gdzie 4 pomoej pzy spoządziu wykesu. Wykesem fukji kwdtowej jest pol o wiezołku w pukie o współzędy,. Rmio poli skieowe są do góy, gdy > 0, do dołu, gdy 0 4 <. Liz miejs zeowy fukji kwdtowej, zyli liz piewistków ówi + + 0 zleży od wyóżik 4: jeżeli < 0, to fukj kwdtow ie m miejs zeowy (ówie kwdtowe ie m piewistków zezywisty), jeżeli 0, to fukj kwdtow m jedo miejse zeowe (ówie kwdtowe m jede podwójy piewistek): jeżeli > 0, to fukj kwdtow m dw miejs zeowe (ówie kwdtowe m dw piewistki): + 4 4

Jeśli 0, to wzó fukji kwdtowej moż dopowdzić do posti ilozyowej: f Wzoy Viéte : + 8. LOGRYTMY Nie > 0 i. Logytmem log lizy > 0 pzy podstwie zywmy wykłdik potęgi, do któej leży podieść podstwę, y otzymć lizę : log Rówowżie: log l dowoly liz > 0, y > 0 oz zodzą wzoy: log( y) log + log y log log log log log y y Wzó zmię podstwy logytmu: jeżeli > 0,, > 0, oz > 0, to log log log 9. POHON FUNKJI f f dl R f g f g + + f g f g f g f g f g + f f g f g, gdy g 0 g g Poode iektóy fukji: f f 0 + f f f + + f + f f f f gdzie 0, zś,, dowole lizy zezywiste. 5

Rówie styzej Jeżeli fukj f m poodą w pukie 0, to ówie styzej do wykesu fukji f w pukie ( 0, ( 0) ) y f ( ) f ( ) ( ) f de jest wzoem: 0 0 0 0. GEOMETRI NLITYZN Odiek ługość odik o koń w pukt, y, y d jest wzoem:, + y y y (, ) y Współzęde śodk odik : + y+ y, Wektoy $$$% Współzęde $$$% wekto, któy pzesuw pukt pukt : [, y y] % % Jeżeli u [ u, u], v [ v, v] są wektomi, zś jest lizą, to % % % u+ v u + v, u + v u u, u Post [ ] Rówie ogóle postej: + y + 0, gdzie [ ] + 0 (tj. współzyiki, ie są ówoześie ówe 0). O (, ) y Jeżeli 0, post jest ówoległ do osi O; jeżeli 0, post jest ówoległ do osi Oy; jeżeli 0, to post pzeodzi pzez pozątek ukłdu współzędy. Jeżeli post ie jest ówoległ do osi Oy, to m o ówie kieukowe: y + Liz to współzyik kieukowy postej: tg Współzyik wyzz osi Oy pukt, w któym d post ją pzei. Rówie postej, pzeodząej pzez dw de pukty (, y), (, y) ( y y )( ) ( y y )( ) 0 O y : y + 6

Post i pukt Odległość puktu P (, y ) 0 0 od postej o ówiu + y + 0 d jest wzoem: 0 + y0 + + P posty wie poste, o ówi kieukowy y + y + spełiją jede z stępująy wuków: są ówoległe, gdy, są postopdłe, gdy, twozą kąt ϕ tki, że: 0 < ϕ < 90. + i tgϕ Jeżeli poste de są ówimi w posti ogólej: + y + 0 + y + 0 to odpowiedio: są ówoległe, gdy 0, są postopdłe, gdy + 0, twozą kąt ϕ tki, że: 0 < ϕ < 90 + i tg ϕ. Tójkąt Pole tójkąt o wiezołk (, y ), (, y ), (, y ), de jest wzoem: P ( )( y y ) ( y y )( ) Śodek iężkośi tójkąt, zyli pukt pzeięi jego śodkowy, m współzęde: + + y+ y + y, Pzeksztłei geometyze % u, pzesuięie o wekto [ ] symeti względem osi Oy pzeksztł pukt (, ) symeti względem puktu (, ) pzeksztł pukt ( y, ) pukt (, y ) + + ; y pukt ( y, ); pzeksztł pukt ( y, ) pukt (, y) ; s pzeksztł pukt ( y, ) jedokłdość o śodku w pukie ( 0,0 ) i skli 0 pukt ( s, sy ). 7

Rówie okęgu Rówie okęgu o śodku w pukie (, ) i pomieiu : lu + y + + 0 gdzie y y + > 0. PLNIMETRI Ozzei Wzoy pole tójkąt P,, długośi oków, leżąy odpowiedio pzeiwko wiezołków,, ; p + + owód tójkąt;, β, γ miy kątów pzy wiezołk,, ;,, wysokośi, opuszzoe z wiezołków,, ; R, pomieie okęgów opisego i wpisego. siβ siγ P siγ R si si β siγ si P p p p p p 4R Twiedzeie siusów R si si β siγ Twiedzeie osiusów γ + os + osβ os + γ Twiedzeie Pitgos (wz z twiedzeiem odwotym do iego) W tójkąie kąt γ jest posty wtedy i tylko wtedy, gdy β +. 8

Związki miowe w tójkąie postokątym γ. Złóżmy, że kąt γ jest posty. Wówzs: si os β tg tgβ R Twiedzeie Tles (wz z twiedzeiem odwotym do iego) β Poste,, są pmi ówoległe wtedy i tylko wtedy, gdy zodzi ówość: zwookąty E Tpez zwookąt, któy m o jmiej jedą pę oków ówoległy. Wzó pole tpezu: + P ϕ Rówoległook zwookąt, któy m dwie py oków ówoległy. Wzoy pole ówoległooku: P si siϕ Rom zwookąt, któy m dwie py oków ówoległy jedkowej długośi. Wzoy pole omu: P si 9

eltoid zwookąt, któy m oś symetii, zwiejąą jedą z pzekąty. Wzó pole deltoidu: P Koło O Wzó pole koł o pomieiu : P π Owód koł o pomieiu : O π Wyiek koł O Wzó pole wyik koł o pomieiu i kąie śodkowym : P π 60 ługość łuku wyik koł o pomieiu i kąie śodkowym : l π 60 Kąty w okęgu O Mi kąt wpisego w okąg jest ów połowie miy kąt śodkowego, optego tym smym łuku. Miy kątów wpisy w okąg, opty ty smy łuk, są ówe. 0

Okąg opisy zwookąie γ β N zwookąie moż opisć okąg wtedy i tylko wtedy, gdy sumy mi jego pzeiwległy kątów wewętzy są ówe 80 : δ + γ β + δ 80 Okąg wpisy w zwookąt d W zwookąt wypukły moż wpisć okąg wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długośi jego pzeiwległy oków są ówe: + + d. STEREOMETRI Ozzei P pole powiezi łkowitej P pole powiezi podstwy p P pole powiezi ozej V ojętość Postopdłośi H G E F P ( + + ) V gdzie,, są długośimi kwędzi postopdłośiu.

Gistosłup posty F J E I G H P p V Pp gdzie p jest owodem podstwy gistosłup. Ostosłup S E V P p gdzie jest wysokośią ostosłup. Wle O P π P π + V π gdzie jest pomieiem podstwy, wysokośią wl.

Stożek O S l P π l P π + l V π gdzie jest pomieiem podstwy, wysokośią, l długośią twoząej stożk. Kul O P 4π 4 V π gdzie jest pomieiem kuli.. TRYGONOMETRI efiije fukji tygoometyzy y M(, y) y y si os y tg ( 0) tg y ( y 0 ) O M gdzie + y Wykesy fukji tygoometyzy y si y os

y tg y tg Związki między fukjmi tego smego kąt si + os si π tg dl + kπ k łkowite os os tg dl kπ k łkowite si tg tg dl kπ k łkowite Niektóe wtośi fukji tygoometyzy π 6 0( 0 ) ( 0 ) si 0 os tg 0 tg ie istieje π 4 ( 45 ) π ( 60 ) π ( 90 ) 0 ie istieje Wzoy edukyje ϕ π π π π π π + + + π siϕ si si si si os os os os si osϕ os os os os si si si si os tgϕ tg tg tg tg tg tg tg tg tg tgϕ tg tg tg tg tg tg tg tg tg 0 4

Fukje sumy i óżiy kątów l dowoly kątów, β zodzą ówośi: si + β sios β + ossi β si β sios β ossi β os + β osos β sisi β os β osos β + sisi β Podto mmy ówośi: tg tgβ tg ( + β) + tg tgβ tg tgβ tg ( β) + tg tgβ tg tgβ tg ( + β) tg + tgβ tg tgβ + tg ( β) tgβ tg któe zodzą zwsze, gdy są okeśloe i miowik pwej stoy ie jest zeem. Fukje podwojoego kąt si sios os os si os si Podto, dl ty kątów, dl któy pwe stoy są okeśloe, mmy ówośi: tg si + tg tg os + tg tg tg tg Fukje potojoego kąt si si os si si 4si os os os si os 4 os Sumy i óżie fukji tygoometyzy + β β si + si β si os β + β si si β si os + β β os + os β os os + β β os os β si si 5

4. KOMINTORYK Pemutje Liz sposoów, w jki elemetów moż ustwić w iąg, jest ów! Wije ez powtózeń Liz sposoów, w jki z elemetów moż utwozyć iąg, skłdjąy się z k ( k ) óży wyzów, jest ów! ( )... ( k+ ) k! Wije z powtózeimi Liz sposoów, w jki z elemetów moż utwozyć iąg, skłdjąy się z k iekoiezie óży wyzów, jest ów k. Komije Liz sposoów, w jki spośód elemetów moż wyć k (0 k ) elemetów, jest ów k. 5. RHUNEK PRWOPOOIEŃSTW Klsyz defiij pwdopodoieństw Nie Ω ędzie skońzoym zioem wszystki zdzeń elemety. Jeżeli zjśie kżdego zdzei elemetego jest jedkowo pwdopodoe, to pwdopodoieństwo zjśi zdzei Ω jest ówe P( ) Ω gdzie ozz lizę elemetów ziou, zś Ω lizę elemetów ziou Ω. Włsośi pwdopodoieństw P ( Ω ) 0 P dl kżdego zdzei Ω Ω zdzeie pewe P ( ) 0 zdzeie iemożliwe (pusty podzió Ω ) P P gdy Ω P( ) P + P P( ), dl dowoly zdzeń Ω,, ztem P( ) P + P, dl dowoly zdzeń Ω., Zdzei iezleże Zdzei Ω i Ω są iezleże, gdy P P P 6

Pwdopodoieństwo wukowe Nie Ω, ędą zdzeimi, pzy zym P( ) > 0. Pwdopodoieństwem wukowym P( ) zjśi zdzei pod wukiem, że zszło zdzeie, zywmy lizę: ( ) P( ) P P Twiedzeie o pwdopodoieństwie łkowitym Jeżeli zdzei,,..., Ωspełiją wuki:. dl i, j, i j, i j.... Ω,. 0 dl P > i i to dl kżdego zdzei Ω zodzi ówość: P P P + P P +... + P P Semt eoulliego Pwdopodoieństwo uzyski dokłdie k sukesów w semie pó eoulliego wyż się wzoem: k k p q p+ q k gdzie: p pwdopodoieństwo sukesu w pojedyzej póie, q pwdopodoieństwo pożki w pojedyzej póie. 6. PRMETRY NYH STTYSTYZNYH Śedi ytmetyz Śedi ytmetyz liz,,..., jest ów: + +... + Śedi wżo Śedi wżo liz,,..., któym pzypiso odpowiedio dodtie wgi w, w,..., w jest ów: w + w +... + w w + w +... + w Śedi geometyz Śedi geometyz ieujemy liz,,..., jest ów:... 7

Śedi moiz Śedi moiz dodti liz,,..., jest ów: + +... + Medi Medią upoządkowego osąo iągu dy lizowy... jest: dl iepzysty: + (śodkowy wyz iągu), dl pzysty: + (śedi ytmetyz śodkowy wyzów iągu). + Wij i odyleie stddowe Wiją dy lizowy,,..., o śediej ytmetyzej jest liz: ( ) + ( ) + ( ) + + ( )... σ Odyleie stddowe σ jest piewistkiem kwdtowym z wiji: σ σ. 8

7. TLI WRTOŚI FUNKJI TRYGONOMETRYZNYH [] si os β tg tgβ β [] [] si os β tg tgβ 0 0,0000 0,0000 90 46 0,79,055 44 0,075 0,075 89 47 0,74,074 4 0,049 0,049 88 48 0,74,06 4 0,05 0,054 87 49 0,7547,504 4 4 0,0698 0,0699 86 50 0,7660,98 40 5 0,087 0,0875 85 5 0,777,49 9 6 0,045 0,05 84 5 0,7880,799 8 7 0,9 0,8 8 5 0,7986,70 7 8 0,9 0,405 8 54 0,8090,764 6 9 0,564 0,584 8 55 0,89,48 5 0 0,76 0,76 80 56 0,890,486 4 0,908 0,944 79 57 0,887,599 0,079 0,6 78 58 0,8480,600 0,50 0,09 77 59 0,857,664 4 0,49 0,49 76 60 0,8660,7 0 5 0,588 0,679 75 6 0,8746,8040 9 6 0,756 0,867 74 6 0,889,8807 8 7 0,94 0,057 7 6 0,890,966 7 8 0,090 0,49 7 64 0,8988,050 6 9 0,56 0,44 7 65 0,906,445 5 0 0,40 0,640 70 66 0,95,460 4 0,584 0,89 69 67 0,905,559 0,746 0,4040 68 68 0,97,475 0,907 0,445 67 69 0,96,605 4 0,4067 0,445 66 70 0,997,7475 0 5 0,46 0,466 65 7 0,9455,904 9 6 0,484 0,4877 64 7 0,95,0777 8 7 0,4540 0,5095 6 7 0,956,709 7 8 0,4695 0,57 6 74 0,96,4874 6 9 0,4848 0,554 6 75 0,9659,7 5 0 0,5000 0,5774 60 76 0,970 4,008 4 0,550 0,6009 59 77 0,9744 4,5 0,599 0,649 58 78 0,978 4,7046 0,5446 0,6494 57 79 0,986 5,446 4 0,559 0,6745 56 80 0,9848 5,67 0 5 0,576 0,700 55 8 0,9877 6,8 9 6 0,5878 0,765 54 8 0,990 7,54 8 7 0,608 0,756 5 8 0,995 8,44 7 8 0,657 0,78 5 84 0,9945 9,544 6 9 0,69 0,8098 5 85 0,996,40 5 40 0,648 0,89 50 86 0,9976 4,007 4 4 0,656 0,869 49 87 0,9986 9,08 4 0,669 0,9004 48 88 0,9994 8,66 4 0,680 0,95 47 89 0,9998 57,900 44 0,6947 0,9657 46 90,0000 0 45 0,707,0000 45 β [] 9