Zestaw I I. Uzasadij wzory a liczbę permutacji zbioru -elemetowego, liczbę podzbiorów k-elemetowych zbioru -elemetowego, wariacji oraz tych pojęć z powtórzeiami. II. Liie rówoległe do boków prostokąta dzielą jego boki odpowiedio a k i l części. Iloma drogami, idąc bokami lub tymi liiami w prawo lub w górę, moża przejść od lewego dolego wierzchołka do prawego górego? III. Mamy szachowicę o wymiarach 7 7. W lewym dolym rogu szachowicy zajduje się mysz, zaś a polach o umerach (3, 3, (3,, (, 3 i (, siedzą i cierpliwie czekają cztery koty. Mysz może poruszać się jedyie w górę lub w prawo, w każdym ruchu o jedo pole. Mysz giie, gdy staie a polu zajętym przez kota. Ile jest różych dróg, którymi mysz może dotrzeć szczęśliwie do prawego górego rogu szachowicy? IV. Ile jest liczb całkowitych dodatich miejszych od 1000 oraz iepodzielych przez, 3, 4,, 6, 7, 8, 9, 10 i 11? V. Przy okrągłym stole stoi 6 krzeseł. Na ile sposobów da się a ich posadzić Aglików, Fracuzów i Turków, tak aby osoby tej samej arodowości ie siedziały obok siebie? VI. W ilu permutacjach liczb 1,..., żada z liczb ie stoi a swoim miejscu? VII. Ile jest permutacji zbioru {1,,..., }, w których żade dwie sąsiedie liczby ie są parzyste (ieparzyste. VIII. Niech symbol ( k ozacza liczbę różych podzbiorów k-elemetowych zbioru -elemetowego. Uzasadij prawdziwość poiższych rówości ie odwołując się do wzorów opisujących wartość ( k, a jedyie w oparciu o powyższą defiicję. (a ( ( 0 ( 1 (... = (b ( ( 0 ( 4... = 1 (c ( ( 1 ( 3... = 1 (d ( ( 0 ( 1 (... ( = (e ( ( k = k (f ( ( k ( k1 = 1 k1 IX. Rozkładamy w rozróżialych szufladach k elemetów. Na ile sposobów moża to zrobić, jeśli (a elemety są rozróżiale; (b elemety są ierozróżiale; (c elemety są rozróżiale i żada z szuflad ie może pozostać pusta; (d elemety są ierozróżiale i żada z szuflad ie może pozostać pusta; Spróbuj zaleźć odpowiedź dla aalogiczego zadaia, w którym szuflady rówież są ierozróżiale. X.* Niech A = A 1 A... A. Uzasadij wzór #A = #A i #(A i A j 1 i 1 i<j 1 i<j<k Zestaw II #(A i A j A k... ( 1 #(A 1 A... A. I. W urie zajdują się dwie białe i trzy czare kule. Dwaj gracze, po kolei, wyciągają z ury po jedej kuli bez zwracaia. Wygra te, który pierwszy wyciągie kulę białą. Zaleźć prawdopodobieństwo, że wygra pierwszy gracz. II. W urie zajdują się dwie białe i trzy czare kule. Dwaj gracze, po kolei, wyciągają z ury po jedej kuli ze zwracaiem. Wygra te, który pierwszy wyciągie kulę białą. Zaleźć prawdopodobieństwo, że wygra pierwszy gracz. III. Rozpatrujemy rodziy o dwóch dzieciach. Obliczyć prawdopodobieństwo, że rodzia ma dwóch syów, jeżeli wiadomo, że a starsze dziecko jest syem, b co ajmiej jedo dziecko jest chłopcem.
Zestaw III I. Ile jest liczb aturalych miejszych iż 10 7 i o różych cyfrach? II. Kostkę rzucamy 10 razy. Tak otrzymay zbiór liczb (ieuporządkoway azywamy losowaiem. a Ile jest różych losowań? b W ilu losowaiach ie występuje 6? c W ilu losowaiach 6 występuje dokładie 3 razy? d W ilu losowaiach 6 występuje co ajwyżej 3 razy? e W ilu losowaiach 6 występują tylko liczby parzyste? III. Spośród liczb: 1,,3,4,,6,7,8,9,10 wybrao dwie. Obliczyć prawdopodobieństwo, że ułamek da się skrócić. IV. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że układając losowo litery M, A, T, E, M, A, T, Y, K, A utworzy się słowo matematyka? V. W szafie zajduje się par butów. Losujemy z iej k butów ( > k. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród wylosowaych butów zajdzie się przyajmiej jeda para? Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród wylosowaych butów zajdzie się dokładie jeda para? VI. Mamy rozróżialych kul i szuflad. Na ile sposobów możemy rozmieścić kule w szufladach tak, aby: a dokładie jeda komórka pozostała pusta; b dokładie ( komórki pozostały puste? VII. Zaleźć prawdopodobieństwo, że pomiędzy czterema wybraymi losowo cyframi zajdzie się, 1 lub 0 powtórzeń. VIII. Dwóch strzelców, dla których prawdopodobieństwa trafieia do celu wyoszą odpowiedio 0,7 i 0,8; oddaje po jedym strzale. Obliczyć prawdopodobieństwo, że cel został trafioy. IX. Prawdopodobieństwo wystąpieia daego zdarzeia w każdym doświadczeiu jest jedakowe i wyosi 0,. Doświadczeia przeprowadza się kolejo aż do wystąpieia tego zdarzeia. Obliczyć prawdopodobieństwo, że trzeba będzie przeprowadzać czwarte doświadczeie. Zestaw IV I. Jakie jest prawdopodobieństwo, że dwa rzuty po trzy kości w każdym okażą tę samą kofigurację, jeżeli a kości dają się odróżić jeda od drugiej, b kości ie dają się rozróżić. II. Na ile sposobów moża ustawić 8 wież a szachowicy tak, aby ie atakowały się wzajemie? III. Na ile sposobów da się ułożyć z liczb 1,, 3, 4 i ciąg o długości 10, tak aby każda liczba występowała dokładie dwa razy oraz dwie takie same liczby ie zajdowały się w ciągu obok siebie? IV. Ile jest liczb aturalych, ie posiadających zera w zapisie dziesiętym, dla których suma cyfr rówa się 11? V. W grupie ćwiczeiowej jest 3 studetów. Jaka jest szasa, że w tej grupie: a jest ktoś obchodzący urodziy maja; b są osoby obchodzące urodziy tego samego dia? VI. W urie jest c kul czarych i b białych. Losujemy kule z ury bez zwracaia. Jakie jest prawdopodobieństwo, że za -tym razem wylosujemy kulę białą? ( b c VII. Na ile sposobów moża podzielić ośmiokąt foremy przekątymi a trójkąty tak, aby żade dwie przekąte ie przeciały się w jego wętrzu? VIII. Są 44 skarboki zamykae a kluczyk, a każdy klucz pasuje dokładie do jedej skarboki. Po zamkięciu skarboek wymieszae losowo klucze powrzucao po jedym do każdej skarboki. Jaka jest szasa, że po rozbiciu dowolie wybraej skarboki uda się otworzyć wszystkie? IX. A i B grają w kości stadardową kostką sześcieą. Gracz A rzuca dwukrotie, zaś B tylko raz. Gracz B wygrywa, gdy wyrzuci liczbę oczek jedocześie miejszą od większej z liczb wyrzucoych przez A i większą od miejszej z tych liczb. W przeciwym wypadku wygrywa gracz A. Ile wyosi prawdopodobieństwo wygraej gracza B? X. Przez pustyię idzie karawaa złożoa z pięciu wielbłądów. Na ile sposobów moża zmieić kolejość wielbłądów w karawaie tak, aby przed żadym wielbłądem ie szedł te co poprzedio. XI. Ile jest różych prostopadłościaów, które moża zbudować z milioa jedakowych kostek sześcieych wykorzystując za każdym razem wszystkie z ich? Uwaga: dwa prostopadłościay uważamy za idetycze, jeżeli moża je przekształcić a siebie za pomocą izometrii.
Metoda fukcji tworzących (schemat Załóżmy, że poszukujemy pewego ciągu liczbowego (a spełiającego pewą zależość. Zakładamy, że wyrazy tego ciągu są współczyikami w rozwiięciu pewej fukcji w szereg potęgowy: F (x = i=0 a ix i. Zauważmy, że pewe operacje a fukcji F zmieiają te współczyiki w zay sposób, p: xf (x ma te same współczyiki, ale przesuięte o 1 i uzupełioe a początku o 0; F (x ma ciąg współczyików w postaci (( 1 a 1 ; F (x ma ciąg współczyików w postaci ( i=0 a i a i, itp. Naszym celem jest zalezieie fukcji, której współczyiki będą spełiały zadaą zależość, co sprowadza się do rozwiązaia pewego rówaia algebraiczego, różiczkowego, lub iego typu. Przykład 1. Szukamy ciągu spełiającego zależość a = a 1 a, a 0 = 0, a 1 = 1. Niech spełioa będzie zależość F (x = i=0 a ix i. Zauważmy, że fukcja F (x xf (x x F (x będzie miała współczyik przy zerowej potędze rówy 0, przy pierwszej: 1, zaś przy pozostałych wyrazach wszystkie współczyiki się zerują, więc F (x xf (x x F (x = x. To x zaczy, że musi być F (x = 1 x x. Po zalezieiu fukcji F pozostaje zaleźć jej współczyiki. Dla iektórych fukcji moża czasem je zgadąć, zaleźć w tablicach lub wyliczyć korzystając ze wzoru Taylora. Przykład. W przykładzie 1 możemy rozpisać F jako sumę ułamków prostych: ( x F (x = 1 x x = x (1 1 (1 1 = 1 1 1 1 x 1 1 1 1 Ze wzoru a sumę szeregu geometryczego mamy 1 1 ( ( ( 1 x... a zatem F (x = 1 1 1 jest a = 1 (( x = 1 1 x ( ( 1 1 ( Zestaw V I. Zajdź ogóly wyraz ciągu określoego rekurecyjie: (a x 0 = 0, x 1 = 1, x = 7x 1 1x ; (b x 0 = x 1 = x = 1, x 3 = x x 1 x. x x ( 1 x 1... oraz 1 1 x = 1 1 x ( 1 x... co zaczy, że szukaym wzorem 1. II. Na ile sposobów moża szachowicę wymiaru pokryć kostkami domia o wymiarach 1? III. Ile jest ciągów długości o wyrazach 0 i 1 oraz tej własości, że żade 3 koleje wyrazy ciągu ie są takie same? IV. Ile jest ciągów {a i } i=1 długości o wyrazach 1,, 3 oraz tej własości, że dla żadego k = 1,,..., suma k i=1 a i ie jest podziela przez 3? V. Na ile sposobów da się rozmieścić awiasy w iloczyie a 1 a a 3 a 4 a a 6 a 7 w taki sposób, aby ich układ określał jedozaczie sposób wykoywaia możeia? Przykładowe rozmieszczeia awiasów: ((a 1 a (a 3 a 4 (a (a 6 a 7 ; (((a 1 a a 3 (a 4 (a a 6 a 7. VI. Na ile sposobów da się rozmieścić awiasy w wyrażeiu a 1 : a : a 3 : a 4 : a :... : a uzyskując wyrażeia opisujące róże fukcje zmieych? VII. Na półce stoi 1 książek. Na ile sposobów moża wybrać książek z półki, tak aby ie zabierać żadych dwóch stojących wcześiej obok siebie? VIII. Mamy cząstek, z których każda może się zaleźć w każdej z k komórek. Zaleźć prawdopodobieństwo zdarzeia A polegającego a tym, że w ustaloych komórkach będzie po jedej cząstce, oraz prawdopodobieństwo zdarzeia B polegającego a tym, że w jakichkolwiek komórkach będzie po jedej cząstce. Trzy modele: 1 statystyka Maxwella-Boltzmaa: cząstki zachowują się jak kule rozróżiale i wszystkie k rozmieszczeń ma jedakowe prawdopodobieństwo (okazało się, że statystyka ta ie stosuje się do żadych cząstek elemetarych; statystyka Fermiego-Diraca: cząstki zachowują się jak kule ierozróżiale przy czym (i dwie cząstki ie mogą przebywać w tej samej komórce, (ii wszystkie rozmieszczeia spełiające (i mają jedakowe prawdopodobieństwo (prawdopodobieństwo ustaloego rozmieszczeia to ( k 1, okazało się, że zgodie z tą statystyką zachowują się elektroy, protoy i eutroy; 3 statystyka Bosego-Eisteia: cząstki zachowują się jak kule ierozróżiale, rozpatrujemy wszystkie rozróżiale rozmieszczeia, uzając je za jedakowo prawdopodobe (prawdopodobieństwo ustaloego rozmieszczeia to ( k 1 1, okazało się, że zgodie z tą statystyką zachowują się fotoy..
Zestaw VI I. Day jest odciek AB o długości l. Wybieramy a im losowo położeie dwóch puktów: C i D. Zaleźć prawdopodobieństwo, że pukt C będzie bliżej puktu A iż puktu D. II. Wybieramy losowo trzy odciki o długości ie większej od a. Jakie jest prawdopodobieństwo, że da się z tych odcików ułożyć trójkąt? III. Day jest patyk o długości a. Łamiemy go losowo a trzy części. Jakie jest prawdopodobieństwo, że da się z tych części ułożyć trójkąt? IV. Jakie jest prawdopodobieństwo, że suma dwóch losowo wybraych dodatich liczb rzeczywistych iewiększych iż 1 jest iewiększa od 1, a iloczy jest iewiększy od 9? V. Ola i Jola umówiły się między 1 a 13 w cetrum miasta; każda z ich czeka 1 miut. Jakie jest prawdopodobieństwo, że dojdzie do spotkaia? Jola już wie, że przed 1:30 a pewo ie przyjdzie. Jaka jest szasa, że dojdzie do spotkaia? VI. Zaleźć prawdopodobieństwo, że pierwiastki rówaia kwadratowego x ax b = 0 są rzeczywiste, jeżeli wartości współczyików są jedakowo możliwe dla wartości z prostokąta a, b m. Jakie jest prawdopodobieństwo, że przy wskazaych warukach pierwiastki będą dodatie? VII. Dwa parowce podpływają do tego samego adbrzeża. Czasy przybijaia do brzegu obu parowców są od siebie iezależe i jedakowo możliwe w ciągu całej doby. Obliczyć prawdopodobieństwo, że jede z parowców będzie musiał czekać a zwolieie się miejsca a abrzeżu, jeśli czas postoju pierwszego parowca wyosi jedą godzię, a drugiego dwie godziy. Zestaw VII I. Rzucamy 4 razy kostką do gry. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wypadło (a tyle samo liczb podzielych przez 3 co iepodzielych? (b więcej liczb 6 iż 1? II. Na ile sposobów moża wylosować k kul z ury, w której zajduje się m kul, gdy losujemy: a ze zwracaiem i z uwzględiaiem kolejości; b ze zwracaiem i bez uwzględiaia kolejości; c bez zwracaia i z uwzględiaiem kolejości; d bez zwracaia i bez uwzględiaia kolejości? III. Trzej posłowie ależący do jedej z partii polityczych dyskutują w kuluarach Sejmu XXV kadecji: Poseł I: Dobrze, że zdołaliśmy wprowadzić do parlametu dziewięciu posłów. Dzięki temu po trzech aszych przedstawicieli zasiada w każdej z komisji sejmowych; Poseł II: I to mimo szyka większości sejmowej, która przeforsowała pukt regulamiu mówiący, że żade dwie komisje ie mogą mieć w swojej części wspólej więcej iż jedego przedstawiciela daej partii; Poseł III: Ale gdyby w Sejmie była choć jeda komisja więcej, te maewr by się am ie udał. Ile jest komisji w Sejmie? IV. 10 osób wsiada do (pustego pociągu. Każdy wybiera jede z 4 wagoów losowo. Jaka jest szasa, że wszystkie wagoy będą zajęte? V. Kasia ma 99 czerwoych koralików, jede biały i iebieskie. Na ile sposobów może Kasia aizać koraliki a żyłkę tworząc dla siebie korale. Uwaga: Każde ułożeie koralików różiące się wyłączie o obrót lub symetrię osiową uważamy za takie samo orazk oraliki tego samego koloru uważamy za ierozróżiale. VI. [E00] Agielski pisarz Samuel Pepys apisał w roku 1693 długi list do Isaaka Newtoa, w którym poprosił go o rozwiązaie pewego problemu związaego z zakładem, którego się podjął. Pepys zapytał miaowicie Newtoa, które z astępujących trzech zdarzeń jest ajbardziej, a które ajmiej prawdopodobe: - wyrzuceie przyajmiej jedej szóstki przy rzucie sześcioma sześcieą kością, - wyrzuceie przyajmiej dwóch szóstek przy rzucie dwuastoma kośćmi, - wyrzuceie przyajmiej trzech szóstek przy rzucie osiemastoma kośćmi. Jakiej odpowiedzi powiie był udzielić (i udzielił Newto? VII. W prostokącie o bokach a = 40 cm i b = 30 cm wybrao w sposób losowy pukt, który przyjęto za środek koła o promieiu 1 cm. Obliczyć prawdopodobieństwo, że miejsze boki prostokąta moża połączyć ieprzeciającym okręgu pasem dowolego kształtu, tak aby w każdym miejscu pasa dało się umieścić koło o promieiu cm. VIII. Na odciku AB o długości l losowo wybrao dwa pukty N i M. Obliczyć prawdopodobieństwo, że długości wszystkich trzech otrzymaych odcików ie przewyższają daej wielkości a (l a 1 3 l.
I. Na ile sposobów moża uszeregować liczby, 3, 4,, 6, 7, 8, 9 tak, aby każde koleje liczby były względie pierwsze? II. W szafie zajduje się 10 par butów. Losujemy z iej butów. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród wylosowaych butów zajdzie się przyajmiej jeda para? Dokładie jeda para? III. Day jest odciek AB o długości l. Wybieramy a im losowo położeie dwóch puktów: C i D. Zaleźć prawdopodobieństwo, że odległość puktu C od końca odcika będzie większa, iż puktu D od środka. IV. Na półce stoi 13 książek. Na ile sposobów moża wybrać pewą liczbę książek z półki, tak aby żade dwie z ich ie stały obok siebie? V. Na okręgu wybrao 3 pukty. Jakie jest prawdopodobieństwo, że są oe wierzchołkami trójkąta ostrokątego? VI. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w trzykrotym rzucie kostką dostaiemy trzy liczby parami względie pierwsze? VII. Dwaj studeci pisali sprawdzia, w którym było 7 zadań do zrobieia. Każdy z ich zrobił trzy zadaia. Jaka jest szasa, że przyajmiej jede z ich będzie miał zrobioe 4 zadaia, jeśli każdy z ich podglądął kartkę drugiego z losowo wybraym rozwiązaiem? Zakładamy, że zadaia są rówie trude i studeci uczyli się iezależie od siebie. Zestaw VIII I. [Uzupełieie.] Rozważmy w Z prostą l = R {0}. Niech x, y Z Z, a pukt y symetryczy do y względem prostej l. Pokaż, że ilość ścieżek długości k łączących x z y i zahaczających o prostą l jest rówa ilości wszystkich ścieżek długości k łączących x z y. W oparciu o powyższe rozumowaie rozwiąż problem astępujący. W wyborach wzięło udział dwóch kadydatów P i Q. P otrzymał p głosów, zaś Q otrzymał q głosów, przy czym p > q. Głosy obliczała jeda osoba w jedej komisji. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w ciągu obliczaia głosów P stale prowadził? (Patrz: Feller, tom I II. Sklep jest zaopatryway w żarówki pochodzące z trzech fabryk, przy czym 0% żarówek pochodzi z pierwszej fabryki, 30% z drugiej, a 0% z trzeciej. Produkcja pierwszej fabryki zawiera 1% żarówek wadliwych, produkcja drugiej %, a trzeciej 10%. Obliczyć prawdopodobieństwo, że losowo wybraa żarówka pochodzi z trzeciej fabryki skoro okazała się być wadliwa. III. Rzucamy cztery razy symetryczą moetą. Po każdym rzucie, jeśli wypadie orzeł, wkładamy do ury (początkowo pustej kulę białą, a jeśli reszka kulę czarą. Następie wyciągamy pięciokrotie kulę z ury zwracając ją za każdym razem z powrotem do ury. Obliczyć prawdopodobieństwo zajdowaia się w urie białych i czarych kul pod warukiem, że pierwsza i ostatia wyciągięta kula były białe. IV. Dwóch strzelców, dla których prawdopodobieństwa trafieia do celu wyoszą odpowiedio 0,7 i 0,8; oddaje po jedym strzale. Obliczyć prawdopodobieństwo, że cel został trafioy. Jakie jest prawdopodobieństwo, że pierwszy trafił, jeśli wiemy, że przyajmiej jede ze strzałów był cely? V. Udowodić, że jeżeli P (A B > P (A to P (B A > P (B. VI. W czasie lotu z Warszawy do Aucklad pasażerowie trzykrotie zmieiają samolot. Prawdopodobieństwa zagiięcia bagażu w trzech kolejych miejscach przesiadki wyoszą odpowiedio: 40%, 0% i 10%. W Aucklad okazało się że mój bagaż ie dotarł ze mą do miejsca przezaczeia. Jakie jest prawdopodobieństwo, że utkął w drugim z portów loticzych? VII. Do poszukiwaia zagiioego rozbitka przydzieloo 0 helikopterów. Każdy z ich moża skierować do jedego z dwóch rejoów, w których może, z prawdopodobieństwem odpowiedio 1 3 i 1 6, zajdować się poszukiway rozbitek. Każdy helikopter wykrywa zajdującego się w rejoie poszukiwaia rozbitka z prawdopodobieństwem q = 1 10 0, i dokouje tego iezależie od pozostałych helikopterów. Rozstrzygij, jak ależy rozdzielić helikoptery pomiędzy rejoy poszukiwań, żeby prawdopodobieństwo zalezieia rozbitka było jak ajwiększe. VIII. Żoa ma grupę krwi 0, a mąż AB. Mają oi bliźięta dwóch chłopców o grupie krwi B. Oblicz prawdopodobieństwo, że są to bliźięta jedojajowe, wiedząc, że 3% par wszystkich bliźiąt staowią bliźięta różopłciowe?
Zestaw IX I. Niech X ozacza liczbę orłów wyrzucoych przy -krotym rzucie moetą. Jak wygląda przestrzeń probabilistycza w tym przypadku? Podać rozkład zmieej losowej X oraz zmieej losowej Y = ( 1 X. Jaka jest wartość oczekiwaa i wariacja tych zmieych? II. W poprzedim zadaiu iech = 4. Opisz poiższe zmiee losowe i podaj ich charakterystyki: a długość ajdłuższej serii takich samych wyików; b różica miedzy liczbą orłów i reszek; c iloczy liczby orłów i reszek; d umer pierwszego losowaia, w którym wypadł orzeł (jesli w ogóle ie wypadł przyjmijmy wartość 0. III. Gracz obstawia w ruletce (a kole której zajduje się po 18 liczb czerwoych i czarych oraz zieloe 0 stawiając a czerwoe 1. Jeśli wypadie liczba o czerwoym kolorze dostaje swoją stawkę podwojoą, jeśli iy wyik ic. Opisz przestrzeń probabilistyczą oraz zmieą losową opisującą wygraą gracza. Jaka jest wartość oczekiwaa i odchyleie stadardowe wygraej? Powtórz rozumowaie z zakładem polegającym a postawieiu a wybraą liczbę a kole. Tym razem wygraa wyosi 36-krotość postawioej sumy, jeśli obstawioa liczba wypadie. IV. Ura zawiera czare i 3 białe kule. Wyjmujemy losowo z ury po jedej kuli tak długo, dopóki ie wyjmiemy kuli czarej. Niech ξ ozacza liczbę kul wyjętych z ury. Wyzaczyć rozkład prawdopodobieństwa zmieej losowej ξ. Opisać dokładie przestrzeń probabilistyczą, a której odbywa się doświadczeie. V. Sześciu chłopców i sześć dziewczyek ustawiamy losowo w pary. Jaka jest oczekiwaa liczba par różej płci? Jak wygląda przestrzeń probabilistycza? Zestaw X I. Zajdź dystrybuaty i gęstości poiższych zmieych losowych: (i X, gdzie X ma rozkład jedostajy a odciku [0, 1]; (ii X, gdzie X jest zmieą o rozkładzie wykładiczym z parametrem λ = 1, zaś k > 0. (iii X Y i XY, gdzie X, Y są iezależe i mają rozkłady jedostaje a odciku [0, 1]; (iv max{x, Y }, gdzie X, Y są iezależymi zmieymi losowymi o rozkładach jedostajych a [0, 1] (wykładiczych z parametrem λ = 1. II. Zajdź wartości oczekiwae i wariacje zmieych losowych o rozkładach absolutie ciągłych, które ie zostały przeliczoe a wykładzie. III. Niech X będzie zmieą o rozkładzie mającym gęstość f i dystrybuacie F. Jaką gęstość i dystrybuatę mają zmiee kx (k > 0, X k (k R, X? IV. Podaj przykład zmieych losowych o rozkładach absolutie ciągłych, których suma ie jest absolutie ciągła. Zestaw XI I. Czas po którym przepala się żarówka opisyway jest przez rozkład wykładiczy. Wiadomo, że prawdopodobieństwo, że żarówka będzie świecić co ajmiej 1000 godzi wyosi 0%. Jakie jest prawdopodobieństwo, że żarówka będzie świecić co ajmiej 00 godzi? 000 godzi? Jaki jest oczekiway czas pracy żarówki? II. Oczekiway czas pracy żarówki opisyway jest przez zmieą o rozkładzie wykładiczym i oczekiwaej wartości 1000 godzi. W lampie zaistalowao dwie żarówki. (a Jaki jest oczekiway czas do spaleia jedej z ich? (b Jaki jest oczekiway czas do spaleia obu z ich? (c Jaki jest oczekiway czas pomiędzy spaleiem się pierwszej z ich a spaleiem drugiej? III. Ściay i wierzchołki czworościau umerujemy losowo i iezależie liczbami 1,, 3, 4 w taki sposób, że ie ma dwóch wierzchołków, ai dwóch ścia o tym samym umerze. Niech ξ ozacza zmieą losową rówą liczbie ścia, dla których istieje wierzchołek tej ściay o umerze rówym jej umerowi. Zajdź Eξ. IV. Jede z pracowików Istytutu Matematyki UJ zadaje a egzamiie trzy pytaia. Oceia każde z ich z osoba w skali: 1,, 3, 4, i skreśla ajwyższą oraz ajiższą oceę. Ta, która zostaie jest oceą końcową. Jeżeli prawdopodobieństwo otrzymaia dowolej ocey jest w przypadku każdego z pytań takie same i rówe 1 oraz ocey z poszczególych pytań są iezależe, to jak w takim razie wygląda rozkład ocey końcowej i ile wyosi jej wartość oczekiwaa?
V. Pewie człowiek ma dwa pudełka zapałek, w lewej i prawej kieszei po jedym. W każdym z ich są cztery zapałki. Wyciągając zapałki a chybił trafił z jedej lub drugiej kieszei, stwierdza w pewym momecie, że pudełko do którego sięgął jest puste. Niech zmiea losowa ξ ozacza liczbę zapałek w drugim pudełku. Zajdź Eξ. VI. Rycerz wracający z wyprawy krzyżowej postaowił zagrać w kości ze Śmiercią o życie komediatów z wędrowej trupy. Rycerz ma rzucać sześcieą kością do gry cztery razy, wygrywając, gdyby wyrzucił jedo lub sześć oczek, zaś przegrywając w przeciwym wypadku. Gdy przegra rzut traci postawioe moety, zaś gdy wygra zatrzymuje je i otrzymuje od Śmierci dodatkowo taką liczbę dukatów jaką postawił. Za każdym razem musi stawiać dokładie jedego dukata ze swojej puli, a początku czterodukatowej, oraz wszystkie wygrae w poprzediej turze. Gdy zakończy się gra Rycerz może wykupić od zarazy tylu komediatów, ile będzie miał w owej chwili dukatów. Jedak, gdy przegra rzut dwa razy pod rząd, to choć gra dalej, po zakończeiu całej gry traci włase życie. Jaka jest oczekiwaa liczba komediatów, których Rycerz uratuje od Śmierci? Jaka jest szasa, że sam jej tym razem uikie? Zestaw XII I. W urie mamy 4 kule poumerowae liczbami 1010, 1100, 0110, 0000. Niech A i ozacza, dla i = 1,, 3 zdarzeie, że wylosowaa kula ma 1 a i-tym miejscu. Pokaż, że A i i A j są iezależe, ale A 1, A, A 3 już ie [ie zachodzi waruek P (A 1 A A 3 = P (A 1 P (A P (A 3 ]. II. Zdarzeia A, B, C są parami iezależe, ale wszystkie trzy ie mogą zajść rówocześie. Poadto P (A = P (B = P (C = x. Zajdź ajwiększą możliwą wartość x. III. Które pary zdarzeń są iezależe? (a Dwie osoby rzucają kostkami sześcieymi. A : pierwsza osoba ma więcej oczek; B : druga osoba ma parzystą liczbę oczek. (b W rzucie kostkami sześcieymi. A : suma oczek jest podziela przez 3, B : różica jest podziela przez 3, C : różica jest podziela przez. (c W rzucie moet. A : wypadła parzysta liczba orłów, B : wypadło więcej orłów, iż reszek. IV. Załóżmy, że zdarzeia A i C są iezależe oraz, że zdarzeia B i C są iezależe, atomiast zdarzeia A i B się wykluczają. Pokazać, że zdarzeia A B i C są iezależe. V. Zajdź trzy zdarzeia, które są parami iezależe, mają dodatie prawdopodobieństwo przecięcia, ale ie są iezależe. VI. Rozważamy jedokroty rzut kostką sześcieą. Niech ω będzie wyikiem rzutu. Sprawdź iezależość zmieych losowych: X i (ω = ω (mod i dla i =, 3, 4,. VII. Rozważmy dwukroty rzut kostką sześcieą. Sprawdź, że wyik pierwszego rzutu jest iezależy od wyiku drugiego rzutu. Czy suma, różica i iloczy wyrzucoych oczek są parami iezależe? VIII. Niech X i Y będą iezależymi zmieymi o idetyczych rozkładach wykładiczych. Czy parami iezależe są zmiee X Y, X Y, mi{x, Y }, max{x, Y }? IX. Wiadomo, że 96% produkcji jest zgode ze stadardem. Uproszczoy schemat kotroli przepuszcza przedmioty dobre z prawdopodobieństwem 0,98, a przedmioty wadliwe z prawdopodobieństwem 0,0. Obliczyć prawdopodobieństwo, że przedmiot, który uproszczoa kotrola przepuściła, jest zgody ze stadardem. X. Jest k 1 ur, z których w każdej zajduje się m 1 kul białych i 1 kul czarych, oraz k ur zawierających po m kul białych i czarych. Wyciągięta z losowo wybraej ury kula okazała się biała. Jakie jest prawdopodobieństwo, że daą kulę wyciągięto z pierwszej grupy ur?
Zestaw XIII I. W dziesięcioelemetowej partii pewego towaru są dwie sztuki wadliwe. Wylosowao bez zwracaia dwie sztuki. Niech zmiea losowa X przyjmuje wartości rówe liczbie sztuk wadliwych wśród wylosowaych sztuk, zaś Y przyjmuje wartość 1, jeśli pierwsza wylosowaa sztuka jest wadliwa, oraz 0, jeśli ie jest wadliwa. Wyzaczyć rozkład wektora losowego (X, Y. Zbadać czy zmiee losowe X i Y są iezależe. Obliczyć P (X Y =. II. Rzucamy dwukrotie symetryczą kostką sześcieą. Ozaczamy przez X 1 ajmiejszą wspólą wielokrotość liczby oczek w pierwszym i drugim rzucie pomiejszoą o 1, zaś przez X wartość bezwzględą różicy oczek, które wypadły w pierwszym i drugim rzucie. Czy zmiee X 1 i X są iezależe? III. Zmiea losowa X ma rozkład Poissoa λ λk P (X = k = e k! dla k = 0, 1,,... Wyzaczyć wartość oczekiwaą zmieej Y = X(X 1. IV. Zmiee losowe X 1 i X są iezależe i mają obie rozkład geometryczy o parametrze p (0 < p < 1. Niech Z = max(x 1, X. Zajdź rozkład zmieej losowej Z. Zestaw XIV I. Losujemy pukty a okręgu jedostkowym. Jaka jest oczekiwaa odległość między imi? A jaka jest oczekiwaa długość krótszego z łuków, a które pukty dzielą okrąg? II. 6 osób wsiada losowo do pustego tramwaju o 3 wagoach. Jaka jest oczekiwaa liczba pustych wagoów? Jaka jest oczekiwaa liczba pasażerów w środkowym wagoie? III. Trzy maszyy produkują wyroby z prędkościami, odpowiedio, 1 szt/s, szt/s, 3 szt/s, przy czym pierwsza z ich ma % produkcji wadliwej, druga 10% a trzecia 1%. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wybrae losowo wyroby będą dobre? Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowy wyrób, który okazał się wadliwy, pochodzi z trzeciej maszyy? A jeśli okazał się dobry? IV. Na strzelicy zajdują się 3 strzelby, z których strzelec strzela po kolei. Wiadomo, że prawdopodobieństwa trafieia wyoszą 0%, 70% i 90%, ale strzelby z wyglądu ie są rozróżiale. Jaka jest szasa, że co ajmiej strzały pod rząd będą cele? Jaka jest szasa, że trzeci strzał będzie cely, jeśli cele były dwa pierwsze? V. Losujemy zgodie z rozkładem jedostajym pukt z kwadratu {ω = (x, y : x y < 1, x y < 1}. Niech X(ω = x oraz Y (ω = y dla ω = (x, y. Jaką dystrybuatę ma rozkład X? Jaka jest oczekiwaa wartość Y 3? Czy zmiee X i Y są iezależe? VI. Dwaj studeci zrobili po losowo i iezależie od siebie wybrae przez siebie zadaia z zestawu 6 zadań. Następie wymieili się rozwiązaiami. Jakie jest prawdopodobieństwo, że mają rozwiązae ostatie zadaie? Jakie jest prawdopodobieństwo, że mają rozwiązae ostatie zadaie, jeśli wiemy, że ie mają rozwiązaego pierwszego, ale mają drugie?
Zestaw XV I. Pośród 100 elemetów zajduje się wadliwych. Zajdź prawdopodobieństwo, że losując 10 razy atrafimy więcej iż 1 raz a elemet wadliwy korzystając z dokładego rozkładu zmieej, przybliżeia rozkładem Poissoa oraz Cetralego Twierdzeia Graiczego. Proszę porówać wyiki. Powtórzmy wyliczeia przy założeiu, że 0 jest wadliwych. II. Proszę zastaowić się ad rozwiązaiem poprzediego zadaia, jeśli losujemy elemety bez zwracaia. III. W miasteczku P. zajdują się dwa kia, które grają wieczorem film Jerzego Hoffmaa Ogiem i mieczem. Oglądać ma go zamiar 400 widzów, którzy losowo i iezależie wybierają wieczorem kio, do którego mają zamiar się udać. Iloma miejscami powio dyspoować każde kio, aby prawdopodobieństwo odesłaia któregoś z klietów z daego kia (z powodu braku miejsc było miejsze iż %? IV. Otrzymaliśmy wiarygodą iformację, że pewa moeta jest ie-symetrycza co powoduje, że orzeł wypada z prawdopodobieństwem p miejszym iż 0, 3. Ile ależy wykoać rzutów tą moetą, aby mieć 9% pewości, że uzyskae wyiki pozwolą wyliczyć prawdopodobieństwo wypadięcia orła z dokładością do 0, 01? V. Jak dużą liczbę posłów w parlamecie liczącym 460 osób musi dyspoować koalicja, aby z prawdopodobieństwem rówym co ajmiej: a 0%, b 9%, c 99% uchwalić ustawę jeżeli wiadomo, że: każdy z posłów myli się przy aciskaiu przycisku do głosowaia z prawdopodobieństwem rówym %, posłowie opozycji ie mylą się igdy, zarówo posłowie opozycji, jak i koalicji są zawsze obeci a posiedzeiach parlametu, a do uchwaleia ustawy potrzeba jest (przy obecości wszystkich posłów większość 31 głosów? VI. Prawdopodobieństwo wyprodukowaia wadliwego detalu wyosi 0, 0. Ile detali powia wyprodukować fabryka, aby z prawdopodobieństwem rówym co ajmiej 0, 9 przyajmiej 100 spośród ich ie było wybrakowaych. a Podaj oszacowaie w oparciu o ierówość Czebyszewa. b Podaj oszacowaie w oparciu o cetrale twierdzeie graicze. VII. Dodajemy 10000 liczb, z których każda jest zaokrągloa z dokładością do 0,1. Zakładając, że błędy zaokrągleia są iezależymi zmieymi losowymi o rozkładzie rówomierym a przedziale ( 0, 0, 0, 0, zaleźć ajmiejszy przedział postaci (,, gdzie N, w którym z prawdopodobieństwem 0, 99 będzie zawierał się błąd sumy. x 0,00 0,01 0,0 0,03 0,04 0,0 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 0,000 0,040 0,080 0,10 0,160 0,199 0,39 0,79 0,319 0,39 0,1 0,398 0,438 0,478 0,17 0,7 0,96 0,636 0,67 0,714 0,73 0, 0,793 0,83 0,871 0,910 0,948 0,987 0,606 0,6064 0,6103 0,6141 0,3 0,6179 0,617 0,6 0,693 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,617 0,4 0,64 0,691 0,668 0,6664 0,6700 0,6736 0,677 0,6808 0,6844 0,6879 0, 0,691 0,690 0,698 0,7019 0,704 0,7088 0,713 0,717 0,7190 0,74 0,6 0,77 0,791 0,734 0,737 0,7389 0,74 0,744 0,7486 0,717 0,749 0,7 0,780 0,7611 0,764 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,783 0,78 0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,799 0,803 0,801 0,8078 0,8106 0,8133 0,9 0,819 0,8186 0,81 0,838 0,864 0,889 0,831 0,8340 0,836 0,8389 1,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,848 0,808 0,831 0,84 0,877 0,899 0,861 1,1 0,8643 0,866 0,8686 0,8708 0,879 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,8830 1, 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,89 0,8944 0,896 0,8980 0,8997 0,901 1,3 0,903 0,9049 0,9066 0,908 0,9099 0,911 0,9131 0,9147 0,916 0,9177 1,4 0,919 0,907 0,9 0,936 0,91 0,96 0,979 0,99 0,9306 0,9319 1, 0,933 0,934 0,937 0,9370 0,938 0,9394 0,9406 0,9418 0,949 0,9441 1,6 0,94 0,9463 0,9474 0,9484 0,949 0,90 0,91 0,9 0,93 0,94 1,7 0,94 0,964 0,973 0,98 0,991 0,999 0,9608 0,9616 0,96 0,9633 1,8 0,9641 0,9649 0,966 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,9706 1,9 0,9713 0,9719 0,976 0,973 0,9738 0,9744 0,970 0,976 0,9761 0,9767,0 0,977 0,9778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,981 0,9817,1 0,981 0,986 0,9830 0,9834 0,9838 0,984 0,9846 0,980 0,984 0,987, 0,9861 0,9864 0,9868 0,9871 0,987 0,9878 0,9881 0,9884 0,9887 0,9890,3 0,9893 0,9896 0,9898 0,9901 0,9904 0,9906 0,9909 0,9911 0,9913 0,9916,4 0,9918 0,990 0,99 0,99 0,997 0,999 0,9931 0,993 0,9934 0,9936, 0,9938 0,9940 0,9941 0,9943 0,994 0,9946 0,9948 0,9949 0,991 0,99,6 0,993 0,99 0,996 0,997 0,999 0,9960 0,9961 0,996 0,9963 0,9964,7 0,996 0,9966 0,9967 0,9968 0,9969 0,9970 0,9971 0,997 0,9973 0,9974,8 0,9974 0,997 0,9976 0,9977 0,9977 0,9978 0,9979 0,9979 0,9980 0,9981,9 0,9981 0,998 0,998 0,9983 0,9984 0,9984 0,998 0,998 0,9986 0,9986 3,0 0,9987 0,9987 0,9987 0,9988 0,9988 0,9989 0,9989 0,9989 0,9990 0,9990
Zestaw XVI I. Uzasadij, że jeśli X określoe a tej samej przestrzei probabilistyczej mają takie same rozkłady o skończoej wariacji i są iezależe, to ciąg Y = 1 k=1 X k jest ciągiem zbieżym (w jakim sesie? do rozkładu jedopuktowego. Co to za rozkład? II. Załóżmy, że ciąg zmieych X określoych a tej samej przestrzei zmierza wg. rozkładów do rozkładu jedopuktowego. Pokaż, że wtedy zmierza też do rozkładu jedopuktowego stochastyczie i z prawdopodobieństwem 1. Pokaż, że stwierdzeie powyższe ie jest prawdziwe, jeśli rozkład graiczy jest dwupuktowy. III. Niech A będą mierzalymi podzbiorami przestrzei probabilistyczej oraz X = χ Ai (fukcja charakterystycza. Pokaż, że jeśli X jest zbieży z prawdopodobieństwem 1 do zmieej X, to istieje A taki, że X = χ A oraz P (A A 0. ( to różica symetrycza zbiorów. Czy zachodzi także implikacja przeciwa? Zajdź waruek rówoważy dla zbieżości wg. rozkładów. ( X IV. Wykazać rówoważość: X 0 stochastyczie wtedy i tylko wtedy, gdy E 0. 1 X V. Niech (ξ i i N będzie ciągiem iezależych zmieych losowych o rozkładach: P (ξ i = 1 = 1/, P (ξ i = 0 = 1/. Czy szereg ξ i jest zbieży słabo? stochastyczie? prawie a pewo? i i=1