Maeriał dla sudenów Niesacjonarne zmienne czasowe własności i esowanie (sudium przypadku) Nazwa przedmiou: ekonomeria finansowa I (22204), analiza szeregów czasowych i prognozowanie (13201); Kierunek sudiów: Finanse i rachunkowość, Meody ilościowe w ekonomii i sysemy informacyjne Sudia I sopnia/sudia II sopnia Opracowała: dr hab. Ewa M. Syczewska, Insyu Ekonomerii, Kolegium Analiz Ekonomicznych SGH Warszawa, 2011
I. Informacje wsępne Na zagadnienie niesacjonarności ekonomicznych szeregów czasowych zwrócono uwagę, gdy okazało się, że próby prognozowania zmiennych makroekonomicznych i finansowych na podsawie regresji liniowych nie zdały egzaminu mimo iż model pomyślnie przechodził proces weryfikacji, prognozy uzyskane na jego podsawie nie zgadzały się z rzeczywisością, a rozbieżność wydawała się rudna do wyłumaczenia. Problem (zw. regresja pozorna) zosał zbadany i wyjaśniony przez C.W.J. Grangera przyczyną była niesacjonarność zmiennych, ypowa dla wielkości makroekonomicznych i finansowych. Sposób posępowania zmierzający do uzyskania sensownych modeli ekonomerycznych powinien uwzględniać esowanie niesacjonarności zmiennych jako jeden z elemenów procesu wyboru posaci modelu. Jednym z najprosszych przykładów procesu niesacjonarnego jes proces błądzenia losowego (auoregresyjny sopnia 1, o paramerze przy zmiennej opóźnionej równym 1). Jego wykres przypomina zachowanie indeksów giełdowych lub kursów waluowych, są one bowiem również zmiennymi niesacjonarnymi. Posać równania opisującego proces błądzenia losowego nasunęła ideę esowania niesacjonarności. Najprosszym esem niesacjonarności, możliwym do przeprowadzenia nawe w arkuszu kalkulacyjnym, pod warunkiem posłużenia się odpowiednimi ablicami warości kryycznych, jes es Dickeya-Fullera. Hipoeza zerowa zakłada niesacjonarność szeregu, hipoeza alernaywna jego sacjonarność. Sposób przeprowadzenia esu polega na oszacowaniu regresji zmiennej względem zmiennej opóźnionej i porównaniu obliczonej saysyki z warościami kryycznymi z odpowiednich ablic. Mimo iż saysyka esu Dickeya-Fullera jes równa ilorazowi oceny parameru przez błąd szacunku, należy pamięać, że jej rozkład jes nieypowy, asymeryczny; warości kryyczne (np. dla poziomu isoności 0,05) są ujemne. Innym esem jes es Kwiakowskiego-Phillipsa-Schmida-Shina (w skrócie KPSS), kóry ma odwrony układ hipoez: hipoeza zerowa zakłada sacjonarność szeregu, alernaywna jego niesacjonarność. R.Engle i C.W.J. Granger wprowadzili definicję zmiennej zinegrowanej oraz koinegracji. Zmienna jes zinegrowana, jeśli jes niesacjonarna, ale można ją sprowadzić do zmiennej sacjonarnej poprzez wyznaczanie jej przyrosów. Jeśli chcemy zbudować sensowny jednorównaniowy model ekonomeryczny, a zmienne objaśniana i objaśniające są niesacjonarne, zinegrowane, o można poszukać zw. relacji koinegrującej między nimi. Jes o dla zmiennych zinegrowanych pierwszego sopnia aka kombinacja liniowa zmiennych niesacjonarnych, kóra jes sacjonarna. Jeśli sopień inegracji zmiennych jes wyższy, za skoinegrowane uznajemy zmienne, dla kórych isnieje kombinacja liniowa, kóra ma niższy sopień inegracji niż poszczególne zmienne. Relacja koinegrująca odpowiada równowadze dynamicznej między badanymi zmiennymi niesacjonarnymi. Najprossza meoda badania koinegracji polega na oszacowaniu regresji zmiennej y względem pozosałych zmiennych, x i, i = 1,2,,k, wyznaczeniu resz regresji i sprawdzeniu, czy są sacjonarne (jednym z wymienionych esów). Jeśli ak, oznacza o że wekor MNK ocen paramerów jes wekorem koinegrującym. Jeśli nie, en wekor nie jes wekorem 2
koinegrującym, ale zmienne mogą być skoinegrowane jeśli isnieją inne wekory koinegrujące. Meodą umożliwiającą ich znalezienie jes meoda Johansena. Wyznacza ona bazę przesrzeni wekorów koinegrujących dla danego zesawu zmiennych. Wysępowanie relacji koinegrującej jes równoważne isnieniu zapisu modelu dla badanych zmiennych w posaci modelu z mechanizmem koreky błędu (ECM, error correcion mechanism), łączącego opis króko- i długookresowych zależności zmiennych. Przypomnimy eraz porzebne pojęcia i wzory. Zakładamy, że szereg czasowy obserwacji zmiennej jes realizacją pewnego procesu sochasycznego. Proces sochasyczny jes ciągiem zmiennych losowych, indeksowanych indeksem. Ponieważ większość zmiennych ekonomicznych jes obserwowana w odrębnych momenach więc zajmiemy się u procesami z czasem dyskrenym. 1. Definicja procesu sacjonarnego według momenów do drugiego rzędu włącznie: Proces jes sacjonarny (według momenów do rzędu drugiego włącznie), jeśli są spełnione jednocześnie rzy warunki: a) Warość oczekiwana procesu jes sała w czasie. b) Wariancja procesu jes sała w czasie. c) Kowariancja zmiennych pochodzących z różnych okresów zależy ylko od odległości między momenami obserwacji i jes niezależna od czasu. Niespełnienie kóregoś lub wszyskich warunków oznacza niesacjonarność procesu sochasycznego (a zaem szeregu czasowego obserwacji zmiennej). Zachowanie procesów, kóre nie są sacjonarne, może być bardzo zróżnicowane: Przykład 1: Dochód do dyspozycji gospodarsw domowych oraz konsumpcja zagregowana są zmiennymi niesacjonarnymi ze względu na wysępowanie rendu rosnącego. Nie spełniają więc pierwszego warunku. Przykład 2: Składnik losowy regresji liniowej, kórego wariancja nie jes sała w czasie, ma sałą warość oczekiwaną (równą zeru), czyli spełnia pierwszy warunek, ale ma wariancję zmienną w czasie, czyli nie spełnia drugiego warunku. 2. Charakerysyki procesu sacjonarnego 1 : a) Średnia z próby dla procesu sacjonarnego: b) Kowariancja procesu: C c) Funkcja auokorelacji: R ˆ C n 1 n ( x x)( x x) 1 C 0 x n 1 n x 1 1. Funkcja auokorelacji i auokorelacji cząskowej z próby: Nieznana warość oczekiwana i wariancja sacjonarnego procesu może być szacowana na podsawie wzorów:. Ocena współczynnika korelacji zmiennych jes równa, k=1,2, ; T liczba obserwacji. 1 T. Kufel, Ekonomeria. Rozwiązywanie problemów z wykorzysaniem programu GRETL, PWN, Warszawa 2004, sr. 64 70. 3
Współczynniki korelacji z próby worzą funkcję auokorelacji z próby, ACF (ang. auocorrelaion funcion). Współczynnik korelacji większy co do modułu od 2 jes saysycznie isony. Współczynniki korelacji cząskowej mierzy korelację zmiennych bez wpływu korelacji zmiennych pośrednich. Wyznaczany jes na podsawie regresji zmiennej względem jej opóźnień do rzędu k włącznie, ocena parameru przy zmiennej opóźnionej o k jes równa ocenie współczynnika korelacji cząskowej rzędu k. Współczynniki korelacji cząskowej worzą funkcję auokorelacji cząskowej z próby (ang. parial auocorrelaion funcion, PACF). 2. Model auoregresji, model średniej ruchomej, model ARMA W modelu auoregresji warości zmiennej są objaśniane jej opóźnionymi warościami. Jes o model jednorównaniowy, dynamiczny i sympomayczny, posaci: czyli (1, gdzie L oznacza operaor opóźnień. Wielomian = A(L) określa własności szeregu. Jeśli jes podzielny przez (1 L)=, o szereg jes niesacjonarny z powodu wysępowania pierwiaska jednoskowego. Model średniej ruchomej, MA (ang. moving average) wyraża warości zmiennej jako funkcję opóźnionych warości (sacjonarnego) składnika losowego: czyli. Połączeniem ych dwóch składowych jes model mieszany ARMA: rzędu p,q. Model AR można oszacować meodą najmniejszych kwadraów, model MA oraz mieszany meodą największej wiarygodności. 3. Tes Dickeya-Fullera Hipoeza zerowa zakłada, że szereg jes niesacjonarny z powodu wysępowania pierwiaska jednoskowego, hipoeza alernaywna zakłada sacjonarność szeregu. A) Szacujemy regresję posaci m y y y u, (1) 1 j j j 1 Wyznaczamy warość saysyki esu ADF = ˆ / s, gdzie ˆ ocena parameru, ˆ s błąd ˆ szacunku parameru. Rozkład saysyki jes niesandardowy, asymeryczny i przesunięy w lewo należy sięgnąć do odpowiednich ablic warości kryycznych. 4
Jeśli obliczona warość saysyki jes większa niż warość kryyczna, nie ma podsaw do odrzucenia hipoezy zerowej szereg jes niesacjonarny. Jeśli obliczona warość saysyki ADF jes mniejsza niż warość kryyczna, hipoezę zerową odrzucamy na rzecz sacjonarności zmiennej. Można również zasosować wariany regresji: z wyrazem wolnym m y y y u, (2) 1 j j j 1 Oraz z wyrazem wolnym i rendem: m y y y u, (3) 1 j j j 1 Tesowanie przebiega podobnie, rzeba jeszcze sprawdzić isoność wyrazu wolnego (esem Sudena) lub łączną isoność obu paramerów dla rendu (esem F). Liczba opóźnionych przyrosów zmiennej w każdej z ych regresji jes ak dobrana, aby składniki losowe nie wykazywały auokorelacji. B) Jeśli nie ma podsaw do odrzucenia hipoezy o niesacjonarności zmiennej, 2 przechodzimy do esowania niesacjonarności przyrosów. Odpowiednia do (1) regresja ma posać: 2 y y y u, (1a) 1 m j 1 j j Na ogół obliczona warość saysyki esu jes mniejsza niż warość kryyczna, zaem hipoezę o niesacjonarności przyrosów należy odrzucić. Jeżeli ak jes, o zgodnie z definicją inegracji zmiennych (por. arykuł Engle a i Grangera) zmienna jes niesacjonarna, ale jej pierwsze przyrosy są sacjonarne, więc mówimy, że zmienna jes zinegrowana sopnia 1, co oznaczamy y ~ I(1) 4. Tes Kwiakowskiego, Phillipsa, Schmida, Shina. Tes zwany w skrócie esem KPSS ma jako hipoezę zerową sacjonarność szeregu, jako hipoezę alernaywną jego niesacjonarność. UZUPEŁNIĆ WZORY 5. Meoda Engle a-grangera badania koinegracji. Pierwsza, najprossza meoda esowania koinegracji zosała opisana przez Engle'a i Grangera (zob. arykuł w Economerice z1987 roku). Załóżmy, że zmienne Y, X 1, X 2,...,X k są wszyskie zinegrowane sopnia 1 i podejrzewamy, że mogą być skoinegrowane. Idea meody Engle'a-Grangera polega na ym, żeby 5
1. oszacować meodą najmniejszych kwadraów równanie regresji zmiennej Y względem zmiennych X i, i=1,2,...,k; po oszacowaniu orzymujemy: y ˆ x 1 1 ˆ 2 x 2... ˆ k x k e 2. do resz e ej regresji zasosować es Dickeya Fullera (lub es ADF): m e e e u, (4) 1 j j j 1 Sposób obliczania saysyki esu analogiczny jak dla (1). Hipoeza zerowa: reszy e są niesacjonarne, oznacza, że wekor [1, -bea] orzymany na podsawie ocen paramerów regresji, nie jes wekorem koinegrującym dla zmiennych Y, X 1, X 2,...,X k. Hipoeza alernaywna: reszy e są sacjonarne, oznacza, że zmienne Y, X 1, X 2,...,X k są skoinegrowane, a wekor [1, -bea] jes dla nich wekorem koinegrującym. Zaleą meody Engle'a-Grangera jes jej prosoa. Wadą jes o, że a) nie mamy pewności, że oszacowania paramerów regresji rzeczywiście wyznaczą nam wekor koinegrujący dla badanych zmiennych, b) nawe jeśli ak się sanie, orzymany wekor koinegrujący może być jednym z możliwych wekorów (zn. będzie elemenem przesrzeni koinegrującej, czyli podprzesrzeni liniowej generowanej przez wszyskie możliwe wekory koinegrujące). Nie znamy liczby wszyskich akich liniowo niezależnych wekorów koinegrujących dla badanych zmiennych. Lepsza jes meoda Johansena. Po pierwsze, pozwala na przeesowanie liczby (liniowo niezależnych) wekorów koinegrujących dla danego zesawu zmiennych, po drugie, jeśli wekory koinegrujące isnieją, w meodzie Johansena orzymujemy wszyskie akie wekory. 6. Model z mechanizmem koreky błędu Jeśli zmienne y, y, xi, i 1,2,..., k są zinegrowane sopnia 1 i skoinegrowane, o można dla nich zbudować model łączący opis zależności króko- i długookresowych: zw. model z mechanizmem koreky błędu (ECM Error Correcion Mechanism), posaci: y c c x... ck xk ( y ˆ x ˆ x... ˆ k xk ) u (5) 0 1 1 1 1 1, 1 2 2, 1, 1 Gdzie wyrażenie w nawiasie (oznaczane jako ECM) jes odchyleniem układu od ścieżki równowagi w poprzednim okresie. Jeśli relacja równowagi jes sabilna, zn. układ wyrącony z równowagi powraca na ę ścieżkę, o po oszacowaniu regresji (5) meodą najmniejszych kwadraów powinniśmy orzymać ocenę parameru ze znakiem (minus). 7. Meoda Johansena. UZUPEŁNIĆ 6
II. Harmonogram/scenariusz realizacji/kolejność działań 1. Moderaor omawia maeriał eoreyczny, przedsawia cechy wybranych zmiennych sacjonarnych i niesacjonarnych (makroekonomicznych oraz finansowych). Należy zwrócić uwagę na zachowanie i cechy charakerysyczne zmiennej oraz jej przyrosów, obserwowane na wykresach. 2. Sudenci oceniają i analizują cechy charakerysyczne wybranych szeregów czasowych obserwacji zmiennych oraz ich przyrosów, sporządzają wykresy funkcji auokorelacji i auokorelacji cząskowej dla zmiennych oraz formułują wsępne wnioski co do jakościowych cech ych wykresów. 3. Esymacja w wybranym pakiecie ekonomerycznym (np. grel) regresji przyrosów zmiennej względem zmiennej opóźnionej, czyli najprosszej wersji regresji esu Dickeya-Fullera. Tesowanie niesacjonarności zmiennej oraz jej przyrosów. 4. Zasosowanie dosępnego w pakiecie esu Dickeya-Fullera do zmiennej i do jej przyrosów, porównanie warianów esu (z wyrazem wolnym, z wyrazem wolnym i rendem), kwesia wyboru warianu. 5. Na podsawie wyników punku 4. należy sformułować wnioski doyczące sopnia inegracji zmiennej. Porównać je z przypuszczeniami sformułowanymi w punkcie 2, na podsawie cech jakościowych wykresów zmiennych. 6. Przeprowadzenie esowania koinegracji zmiennych meodą Engle a-grangera: a. Esymacja MNK regresji jednej ze zmiennych względem pozosałych. b. Tesowanie sacjonarności resz ej regresji. c. Sformułowanie wniosków co do koinegracji zmiennych. d. Sprawdzenie wyników przy użyciu odpowiednich narzędzi zawarych w pakiecie. 7. Ewenualnie przeprowadzenie esowania koinegracji meodą Johansena. 8. Sudenci formułują wnioski co do wyników esowania niesacjonarności, sarając się nawiązać do cech badanych zmiennych ekonomicznych. 9. Moderaor wyjaśnia zależności między wysępowaniem koinegracji zmiennych a isnieniem sabilnej dynamicznej równowagi ekonomicznej. Inerpreacja wyników esu Johansena. 10. Sudenci przedsawiają wyniki orzymane dla badanych przez siebie zmiennych. 11. Ocena końcowa pracy sudenów omówienie zajęć przez prowadzącego. 7
III. Opis przypadku/syuacji Ponieważ omawiane esy są zaimplemenowane w programie grel, więc możemy wykorzysać zbiory danych (makroekonomicznych i finansowych) w formacie grel i zilusrować sposób przeprowadzenia esów na ym przykładzie. Tes ADF można również przeprowadzić w arkuszu Excela, pod warunkiem dysponowania odpowiednimi ablicami warości kryycznych. Program grel można zainsalować pobierając odpowiednie pliki ze srony prof. Tadeusza Kufla hp://www.kufel.orun.pl oprócz plików insalacyjnych pakieu grel są am umieszczone dodakowe pliki zawierające m.in. dane dla gospodarki Polski. Podajemy przykład zasosowania esów ADF i KPSS dla jednego z nich. 1. Zachowanie niesacjonarnych szeregów czasowych Zmienna sacjonarna powinna mieć sałą warość oczekiwaną, sałą wariancję a współczynniki korelacji dla obserwacji z różnych okresów zależą ylko od różnicy między ymi okresami. Sprawdzenie warunków może wymagać pewnych esów i obliczeń, jednak niekóre cechy można zaobserwować na wykresach zmiennych. Np. dochód do dyspozycji gospodarsw domowych oraz konsumpcja zagregowana, obie zmienne w ujęciu realnym, są przedsawione na rys. 1. Widać, że podlegają rendowi wzrosowemu, zaem warość oczekiwana nie jes sała w czasie. Rys. 1. Wykres konsumpcji i dochodu do dyspozycji gospodarsw domowych, w ujęciu realnym. 7000 realcons realdpi 6000 5000 4000 3000 2000 1000 1950 1960 1970 1980 1990 2000 Wykres na rys. 2 ilusruje inny przypadek: są o zwroy logarymiczne noowań indeksu WIG20, widoczne jes charakerysyczne dla zmiennych finansowych ego ypu zw. grupowanie wariancji (okresy mniejszych i większych wahań nasępujących po sobie). Warość oczekiwana jes sała, zmienna jes wariancja. 8
ld_wig20zam Rys. 2. Zwroy logarymiczne zmiennej WIG20, noowań zamknięcia. 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0-0.02-0.04-0.06-0.08-0.1 0 500 1000 1500 2000 Rozszerzenie: Dodakowym wykresem ilusrującym zachowanie szeregu jes wykres funkcji auokorelacji z próby, ACF. W grel wywołujemy go poleceniem korelogram. Dla zmiennych sacjonarnych współczynniki korelacji maleją wraz ze wzrosem opóźnień, dla zmiennych niesacjonarnych wygasanie jes bardzo powolne o może być oznaką wysępowania pierwiaska jednoskowego: Rys. 3. Wykres funkcji auokorelacji z próby dla noowań WIG20. ACF dla zmiennej WIG20zam 1 +- 1.96/T^0.5 0.5 0-0.5-1 0 5 10 15 20 25 30 opónienia PACF dla zmiennej WIG20zam 1 +- 1.96/T^0.5 0.5 0-0.5-1 0 5 10 15 20 25 30 opónienia A. Proszę sporządzić wykres dowolnie wybranej zmiennej z zesawu danych -- np. greene5_1.gd, oraz wykres jej przyrosów. Na podsawie jakościowego zachowania zmiennej sformułować przypuszczenie co do ego, czy jes ona niesacjonarna, czy jej przyrosy mogą być sacjonarne i jaki jes jej sopień inegracji. 9
2. Tes pierwiaska jednoskowego Dickeya-Fullera w Excelu Tes pierwiaska jednoskowego jes na yle prosy, że można go przeprowadzić nawe w arkuszu kalkulacyjnym, lub dowolnym pakiecie zawierającym esymację regresji meodą najmniejszych kwadraów. Trzeba ylko wykorzysać odpowiednie ablice warości kryycznych. W przykładowym arkuszu podane są dzienne noowania obligacji bryyjskich, japońskich, amerykańskich i zachodnioniemieckich. Każdy szereg liczy 960 obserwacji. Należy wyznaczyć przyrosy zmiennej (np. noowań obligacji bryyjskich) oraz zmienną opóźnioną. Nasępnie szacujemy regresję przyrosów względem zmiennej opóźnionej i sprawdzamy, jaka jes warość saysyki obliczanej ak jak iloraz ypu Sudena, zn. jako iloraz oceny parameru przez błąd szacunku. Porównujemy ją z warościami kryycznymi z ablic esu ADF. Rys. 4. Regresja w Excelu dla esu ADF dla obligacji bryyjskich Wyniki pierwszej regresji w Excelu są nasępujące (czerwonym kolorem zaznaczono poprawione erminy). Oszacowano regresję przyrosów resz względem resz opóźnionych, czyli wersję z wyrazem wolnym. Saysyka Sudena oznacza, że nie ma podsaw do odrzucenia hipoezy zerowej, mówiącej że wyraz wolny jes równy zeru. Ocena parameru Błąd sandardowy Saysyka Sudena Poziom isoności Wyraz wolny 0,0313 0,0298 1,0481 0,2949 BONDUK_1-0,0028 0,0029-0,9649 0,3348 10
Dlaego oszacowano drugą regresję, bez wyrazu wolnego.: Ocena Błąd Saysyka Poziom parameru sandardowy Sudena isoności Przecięcie 0 #N/D! #N/D! #N/D! BONDUK_1 0,000227 0,00030558 0,7432936 0,4574862 Ineresuje nas warość saysyki ADF = 0,7433. Jes ona dodania, a więc większa niż warość kryyczna odczyana z ablic dla esu ADF, kóra jes ujemna. Ponieważ warość obliczona saysyki ADF jes większa niż warość kryyczna dla odpowiedniej liczby obserwacji i przyjęego poziomu isoności, więc nie ma podsaw do odrzucenia hipoezy zerowej, że badany szereg jes niesacjonarny. Nasępnym krokiem jes esowanie niesacjonarności przyrosów zmiennej. 3. Tes pierwiaska jednoskowego i es sacjonarności w grel Mamy do wyboru es ADF (rozszerzony es Dickeya-Fullera), dla kórego hipoeza zerowa zakłada niesacjonarność szeregu spowodowaną wysępowaniem pierwiaska jednoskowego, oraz es Kwiakowskiego, Phillipsa, Schmida i Shina (KPSS), w kórym hipoeza zerowa zakłada sacjonarność szeregu. Wywołanie esów w grel: Zmienna Tes ADF Po wywołaniu esu ADF można wybrać odpowiednie opcje: a) Dobieramy maksymalną liczbę opóźnień przyrosów zmiennej w regresji esu ADF (w przykładzie: 10 opóźnień) 11
b) Wybieramy odpowiednią wersję regresji esu ze sałą, sałą i rendem liniowym lub sałą i rendem kwadraowym; c) Waro wybrać opcję esowania przez program odpowiedniej liczby opóźnień; d) Zaznaczamy, czy es ma być przeprowadzony dla zmiennej, czy dla przyrosów: Wyniki esu ADF dla sopy bezrobocia oraz dla zmian sopy bezrobocia są nasępujące: Rozszerzony es Dickeya-Fullera dla rzędu opóźnienia 1, dla zmiennej bezrob liczebność próby 118 Hipoeza zerowa: wysępuje pierwiasek jednoskowy a = 1; proces I(1) es z wyrazem wolnym (cons) model: (1 - L)y = b0 + (a-1)*y(-1) +... + e Auokorelacja resz rzędu pierwszego: 0,145 esymowana warość (a-1) wynosi: -0,00821919 Saysyka esu: au_c(1) = -0,872058 asympoyczna warość p = 0,7976 z wyrazem wolnym i rendem liniowym model: (1 - L)y = b0 + b1* + (a-1)*y(-1) +... + e Auokorelacja resz rzędu pierwszego: 0,148 esymowana warość (a-1) wynosi: -0,00834935 Saysyka esu: au_c(1) = -0,887747 asympoyczna warość p = 0,9559 Warości p z pracy MacKinnon (Journal of Applied Economerics, 1996) 12
Obliczona warość saysyki esu jes większa niż warość kryyczna odczyana z ablic (w Grelu wykorzysywane są auomaycznie asympoyczne warości kryyczne, ale dla skończonej liczby obserwacji możemy posłużyć się warościami kryycznymi np. z książki Charemzy i Deadmana). Empiryczny poziom isoności (ang. p-value) jes o prawdopodobieńswo uzyskania obliczonej warości saysyki esu przy założeniu, że hipoeza zerowa jes prawdziwa. Jeśli o prawdopodobieńswo jes niewielkie (np. mniejsze niż 0,05), hipoezę zerową należy odrzucić. W naszym przykładzie prawdopodobieńswo (dla obu wersji esu) jes duże, nie ma zaem podsaw do odrzucenia hipoezy zerowej o niesacjonarności sopy bezrobocia. Wywołujemy nasępnie procedurę ADF dla przyrosów zmiennej nie rzeba czynić ego dla obliczonych wcześniej przyrosów, wysarczy zaznaczyć odpowiednią opcję w eście ADF w grel: W przypadku badania niesacjonarności przyrosów nie ma porzeby uwzględniania rendu w równaniu regresji. Wyniki esu ADF dla zmian sopy bezrobocia są nasępujące: Rozszerzony es Dickeya-Fullera dla rzędu opóźnienia 1, dla zmiennej d_bezrob liczebność próby 117 Hipoeza zerowa: wysępuje pierwiasek jednoskowy a = 1; proces I(1) es z wyrazem wolnym (cons) 13
model: (1 - L)y = b0 + (a-1)*y(-1) +... + e Auokorelacja resz rzędu pierwszego: -0,022 esymowana warość (a-1) wynosi: -0,469515 Saysyka esu: au_c(1) = -5,89422 asympoyczna warość p = 2,143e-007 Warości p z pracy MacKinnon (Journal of Applied Economerics, 1996) Jak widać, hipoezę zerową o niesacjonarności przyrosów należy odrzucić. W sumie: ponieważ sopa bezrobocia jes niesacjonarna, a jej pierwsze przyrosy są sacjonarne, więc sopa bezrobocia jes zmienną zinegrowaną sopnia 1. Wyniki esu KPSS dla sopy bezrobocia i dla inflacji są nasępujące: Równanie regresji esu KPSS (Kwiakowski, Phillips, Schmid i Shin) Esymacja KMNK z wykorzysaniem 120 obserwacji 1993:01-2002:12 Zmienna zależna: bezrob Zmienna Współczynnik Błąd sand. Saysyka Warość p cons 14,0026 0,441492 31,717 <0,00001 *** ime 0,00396521 0,00633282 0,626 0,53243 Odporna esymacja wariancji (robus): 27,3697 Suma kwadraów dla skumulowanych resz: 208969 Hipoeza zerowa: proces sacjonarny; es KPSS dla zm. bezrob (z rendem) Paramer rzędu opóźnienia (lag runcaion) = 4 Saysyka esu = 0,530213 10% 5% 2,5% 1% Kryyczna war.: 0,119 0,146 0,176 0,216 Równanie regresji esu KPSS (Kwiakowski, Phillips, Schmid i Shin) Esymacja KMNK z wykorzysaniem 119 obserwacji 1993:02-2002:12 Zmienna zależna: d_bezrob Zmienna Współczynnik Błąd sand. Saysyka Warość p cons 0,0327731 0,0279405 1,173 0,24317 Odporna esymacja wariancji (robus): 0,20524 Suma kwadraów dla skumulowanych resz: 1237,53 Hipoeza zerowa: proces sacjonarny; es KPSS dla zm. d_bezrob (bez rendu) Paramer rzędu opóźnienia (lag runcaion) = 4 Saysyka esu = 0,425796 10% 5% 2,5% 1% Kryyczna war.: 0,347 0,463 0,574 0,739 Obliczona warość saysyki esu KPSS dla sopy bezrobocia jes większa niż warość kryyczna. Zaem sopa bezrobocia nie jes sacjonarna. 14
Obliczona warość saysyki esu KPSS dla zmian sopy bezrobocia jes mniejsza niż asympoyczna warość kryyczna przy poziomie isoności 0,05. Zaem zmiany sopy bezrobocia są sacjonarne. Oba esy dają ę samą odpowiedź: zmienna jes zinegrowana sopnia I(1), zn. jes niesacjonarna, ale można ją sprowadzić do sacjonarnej przez policzenie pierwszych różnic. Zadanie: Poniżej podane są wyniki esu ADF oraz esu sacjonarności KPSS dla zmiennej produkcja. Proszę odpowiedzieć na pyanie, czy zmienna a jes niesacjonarna, odpowiedź uzasadnić. Rozszerzony es Dickeya-Fullera dla rzędu opóźnienia 1, dla zmiennej produk liczebność próby 118 Hipoeza zerowa: wysępuje pierwiasek jednoskowy a = 1; proces I(1) es z wyrazem wolnym (cons) model: (1 - L)y = b0 + (a-1)*y(-1) +... + e Auokorelacja resz rzędu pierwszego: -0,086 esymowana warość (a-1) wynosi: -0,0221616 Saysyka esu: au_c(1) = -1,30176 asympoyczna warość p = 0,6311 z wyrazem wolnym i rendem liniowym model: (1 - L)y = b0 + b1* + (a-1)*y(-1) +... + e Auokorelacja resz rzędu pierwszego: -0,029 esymowana warość (a-1) wynosi: -0,311726 Saysyka esu: au_c(1) = -3,92024 asympoyczna warość p = 0,0113 Warości p z pracy MacKinnon (Journal of Applied Economerics, 1996) Równanie regresji esu KPSS (Kwiakowski, Phillips, Schmid i Shin) Esymacja KMNK z wykorzysaniem 120 obserwacji 1993:01-2002:12 Zmienna zależna: produk Zmienna Współczynnik Błąd sand. Saysyka Warość p cons 9924,62 423,606 23,429 <0,00001 *** ime 290,165 6,07627 47,754 <0,00001 *** Odporna esymacja wariancji (robus): 1,61402e+007 Suma kwadraów dla skumulowanych resz: 8,94651e+010 Hipoeza zerowa: proces sacjonarny; es KPSS dla zm. produk (z rendem) Paramer rzędu opóźnienia (lag runcaion) = 4 Saysyka esu = 0,38493 10% 5% 2,5% 1% Kryyczna war.: 0,119 0,146 0,176 0,216 15
4. Przykład sabilnej zależności ekonomicznej Przykładem sabilnej zależności ekonomicznej jes zależność między konsumpcją zagregowaną a dochodem do dyspozycji gospodarsw domowych. Wyraz wolny regresji konsumpcji względem dochodu o konsumpcja auonomiczna (niezależna od dochodu), paramer przy dochodzie wyraża krańcową skłonność do konsumpcji. Jes ona sała dla danego społeczeńswa, na ogół w przedziale od 0,6 do 0,9. Zadanie Proszę oworzyć w grelu plik danych greene5_1.gd i oszacować regresję realcons względem realgdp. Zapisać reszy regresji pod nazwą uha1. Nasępnie zasosować do nich es ADF i es KPSS. Odpowiedzieć na pyania: a) Jaka jes ocena krańcowej skłonności do konsumpcji? Czy jes zgodna z inuicją ekonomiczną? b) Czy reszy regresji konsumpcji względem dochodu są sacjonarne? Jakie wnioski można sformułować o wysępowaniu koinegracji zmiennych? 5. Meoda Engle a Grangera w grel Zamias szacować osobno regresję meodą najmniejszych kwadraów, można dla ych samych zmiennych wywołać goową procedurę esowania koinegracji meodą Engle a-grangera lub Johansena. Odpowiednie polecenie o: Model Modele szeregów czasowych Tesy koinegracji Tes Engle a-grangera. Ważna jes kolejność wyboru zmiennych w naszym przykładzie jako pierwszą wybieramy konsumpcję. Rezulaem jes ablica zawierająca a) wyniki esu ADF dla każdej ze zmiennych w regresji, b) oszacowanie regresji konsumpcji względem dochodu, c) wyniki esu ADF dla resz regresji. 16
Krok 1: es na pierwiasek jednoskowy dla zmiennej realcons Rozszerzony es Dickeya-Fullera dla procesu realcons dla opóźnienia rzędu 3 procesu (1-L)realcons liczebność próby 199 Hipoeza zerowa: wysępuje pierwiasek jednoskowy a = 1; proces I(1) es z wyrazem wolnym (cons) model: (1-L)y = b0 + (a-1)*y(-1) +... + e Auokorelacja resz rzędu pierwszego: 0.022 opóźnione różnice: F(3, 194) = 10.546 [0.0000] esymowana warość (a-1) wynosi: 0.00402931 Saysyka esu: au_c(1) = 3.09418 asympoyczna warość p = 1 Krok 2: es na pierwiasek jednoskowy dla zmiennej realgdp Rozszerzony es Dickeya-Fullera dla procesu realgdp dla opóźnienia rzędu 2 procesu (1-L)realgdp liczebność próby 199 Hipoeza zerowa: wysępuje pierwiasek jednoskowy a = 1; proces I(1) es z wyrazem wolnym (cons) model: (1-L)y = b0 + (a-1)*y(-1) +... + e Auokorelacja resz rzędu pierwszego: 0.002 opóźnione różnice: F(2, 195) = 9.674 [0.0001] esymowana warość (a-1) wynosi: 0.00480286 Saysyka esu: au_c(1) = 3.20683 asympoyczna warość p = 1 Krok 3: równanie koinegrujące Równanie koinegrujące - Esymacja KMNK, wykorzysane obserwacje 1950:1-2000:4 (N = 204) Zmienna zależna: realcons współczynnik błąd sandardowy -Sudena warość p --------------------------------------------------------------- cons -149.992 6.49056-23.11 1.26e-058 *** realgdp 0.690263 0.00129129 534.6 0.0000 *** Średn.ary.zm.zależnej 2999.436 Odch.sand.zm.zależnej 1459.707 Suma kwadraów resz 305556.9 Błąd sandardowy resz 38.89290 Wsp. deerm. R-kwadra 0.999294 Skorygowany R-kwadra 0.999290 Logarym wiarygodności -1035.264 Kry. inform. Akaike'a 2074.528 Kry. bayes. Schwarza 2081.164 Kry. Hannana-Quinna 2077.213 Auokorel.resz - rho1 0.827769 Sa. Durbina-Wasona 0.323727 Krok 4: es na pierwiasek jednoskowy dla zmiennej uha Rozszerzony es Dickeya-Fullera dla procesu uha dla opóźnienia rzędu 3 procesu (1-L)uha liczebność próby 199 17
Hipoeza zerowa: wysępuje pierwiasek jednoskowy a = 1; proces I(1) model: (1-L)y = b0 + (a-1)*y(-1) +... + e Auokorelacja resz rzędu pierwszego: 0.005 opóźnione różnice: F(3, 195) = 2.094 [0.1023] esymowana warość (a-1) wynosi: -0.185159 Saysyka esu: au_c(2) = -4.19058 asympoyczna warość p = 0.003719 Koinegracja wysępuje, jeżeli każdy wykorzysywany proces jes I(1), zn. hipoeza zerowa o pierwiasku jednoskowym nie jes odrzucana oraz proces reszowy(uha) z równania koinegrującego nie jes zinegrowany I(0), zn. hipoeza zerowa o pierwiasku jednoskowym jes odrzucana. Zadanie. Proszę przeanalizować podane wyniki esu koinegracji w grel, skomenować a) warość oceny Krańcowej Skłonności do Konsumpcji b) warość oceny wyrazu wolnego c) możliwość wysępowania koinegracji. 7. Przykładowe zadania sprawdzające Zadanie 1. Analizując związek między pieniądzem m i dochodem y pewien ekonomeryk oszacował meodą najmniejszych kwadraów nasępujące równanie regresji na podsawie 25 obserwacji rocznych. (Dane wyrażone są w ujęciu realnym i w logarymach.) m 0,858y u, (5,31) R 2 = 0,80; DW = 0,75; ADF(u) = 1,75; ADF(m) = 3,22; ADF(y) = 4,31. W nawiasie podano warość saysyki Sudena, DW jes saysyką Durbina-Wasona dla resz, ADF jes warością rozszerzonego esu Dickeya-Fullera dla odpowiedniej zmiennej. Warość kryyczna esu DF wynosi 3,8. Na podsawie powyższych wyników swierdzić, czy: (a) szeregi m i y są zinegrowane ego samego sopnia? (b) Szeregi m i y są skoinegrowane? (c) Czy ma sens szacowanie modelu dla pierwszych przyrosów, z uwzględnieniem mechanizmu koreky błędu lub bez niego? Zadanie 2. Oszacowano regresję zmiennej Y względem zmiennej X. Zasosowano es Dickeya- Fullera w celu zbadania niesacjonarności zmiennych oraz resz regresji. Obliczone warości saysyki ADF oraz warość kryyczna podane są w abeli: 18
Dla Y: Dla X: Dla resz regresji: Warość kryyczna 0,27 1,12 3,91 3,87 Czy prawdziwe są nasępujące swierdzenia? Odpowiedź uzasadnij. a) Zmienna Y oraz zmienna X są niesacjonarne. b) Nie ma podsaw do odrzucenia hipoezy o niesacjonarności resz regresji. c) Reszy regresji są sacjonarne, a więc zmienne Y i X są skoinegrowane. IV. Wymagane rezulay pracy i ich forma Rezulaem pracy będzie króki (kilkusronicowy) rapor z opisem procedury budowy modelu, zawierający odpowiedzi na posawione pyania. 19