Zaządzanie yzykiem Lisa 3 1. Oszacowano nasępujący ozkład pawdopodobieńswa dla sóp zwou z akcji A i B (Tabela 1). W chwili obecnej Akcja A ma waość ynkową 70, a akcja B 50 zł. Ile wynosi pięciopocenowa waość zagożona pofela zawieającego 100 szuk akcji A i 60 B? San ynku Pawdopodobieńswo Sopa zwou akcji A Sopa zwou akcji B i p i R A_i R B_i 1 0,0-10% 8% 0,04-6% 4% 3 0,61 0% % 4 0,5 17% -1% 5 0,08 31% -3%. Inweso posiada pofel o waości ynkowej 100 000 PLN złożony z akcji nie płacących dywidendy. Są o akcje 0 spółek, pzy czym udział jednej spółki wynosi 10%, innej 18%, a udziały pozosałych są jednakowe. Waiancje dziennych sóp zwou dla wszyskich ych spółek są ówne i wynoszą 0,0004. Kowaiancje dla każdej pay spółek są ównież jednakowe i maja waość 0,0004. Zaządzający pofelem pzyjął, że waości oczekiwane sóp zwou można pominąć pzy szacowaniu yzyka dla kókich hoyzonów inwesycyjnych. Ile wynosi pięciopocenowa dzienna waość zagożona ej inwesycji pzy założeniu wielowymiaowego ozkładu nomalnego sóp zwou? 3. Załóżmy, że insyucja finansowa uzymuje pozycję księgi handlowej w akcjach o waości 1 mln. dolaów. Pofel ej insyucji ma współczynnik bea 1, względem szeokiego indeksu ynku, np. S&P500. Pofel jes dobze zdywesyfikowany. Na podsawie danych z osaniego oku oszacowano odchylenie sandadowe dziennej sopy zwou indeksu na poziomie 3,3% (w skali dziennej). Sopy zwou z indeksu ynku i analizowanego pofela mają ozkład nomalny. Ile wynosi dzienna i 10-dniowa waość zagożona pofela na poziomie oleancji 5%? a) Oblicz waość zagożoną pzy założeniu, że śednia sopa zwou nie jes isonie óżna od zea. b) Oblicz waość zagożoną uwzględniając śednią dzienną sopę zwou z indeksu ynku na poziomie 0,076%, pzy sopie wolnej od yzyka w wysokości 0,019% w skali dziennej, i założeniu, że ozpaywany pofel jes dobze wyceniony pzez ynek. 4. Insyucja finansowa z siedzibą w Polsce uzymuje pozycję na ynku spo we fanku szwajcaskim w wysokości 1,6 miliona CHF na zakończenie dnia. Kus wymiany PLN/CHF na ynku międzybankowym wynosi obecnie: bid:.708, ask:.836. Dzienna zmienność sopy zwou z kusu PLN/CHF, oszacowana na podsawie danych z 3 osanich miesięcy, wynosiła 80 bp (0,8 punku pocenowego). Zakładając, że sopa zwou z kusu wymiany ma ozkład nomalny o śedniej bliskiej zeu, oblicz dzienną i 10-dniową waość zagożoną o poziomie oleancji 1%. 5. Insyucja posiada 1000 dwulenich obligacji skabowych o sałym opocenowaniu 4,75% w skali oku, kapializacja oczna, o waości nominalnej 100 zł każda. Na zakończenie dnia kwoowania zeokuponowych sóp pocenowych bid na ynku spo wynosiły 4,7% dla ocznego i 4,86% dla dwuleniego okesu zapadalności. Na podsawie podobnych noowań z okesów popzednich oszacowano zmienność sopy zwou z ocznego czynnika dyskonowego (hipoeycznej ocznej jednoskowej obligacji zeokuponowej) na 1,09% w skali ocznej, a z dwuleniego na 3,44% w skali ocznej. Współczynnik koelacji wynosi 0,5. Ile wynosi pięciopocenowa dzienna i 10-dniowa waość zagożona ej pozycji? Śednia sopa zwou z czynnika dyskonowego wynosi 3,16% w skali ocznej dla hoyzonu ocznego i 7,49% w skali ocznej dla dwuleniego. Pzyjęo konwencję 365 dni w oku. 6. Inweso posiada 50 akcji szwajcaskiej spółki noowanej na SIX Swiss Exchange i 100 obligacji, do kóych wykupu pozosało 30 dni. Obligacje e były wyemiowane ok i 11 miesięcy emu jako dwulenie 1
Zaządzanie yzykiem zeokuponowe. Ich waość nominalna o 100 PLN. W chwili obecnej waość całego pofela wynosi 17915 zł. Na podsawie cen hisoycznych z osanich 501 dni oboczych (500 sóp zwou) pzepowadzono symulację hisoyczną w celu oszacowania dziennej waości zagożonej pzy poziomie oleancji 5% dla nasępnego dnia. Tabela. pzedsawia dane dla 5 dni, od kóych dni były gosze i 473 lepsze pod względem zealizowanej dziennej sopy zwou z pofela ( dni były gosze od najgoszego z ozpaywanych pięciu, a 473 były lepsze od najlepszego z ych pięciu). Dane w abeli są upoządkowane chonologicznie, a nie według zealizowanej sopy zwou. Ile wynosi waość zagożona? Czas do wykupu Obligacji w dniach Renowność z uwzględnieniem upływu czasu do eminu wykupu (w skali ocznej) Kus (PLN za 1 CHF) Cena akcji (CHF) -1-1 -1-1 -1 36 37 680 679 7,86% 7,77%,93,114 77,08 75,19 6 63 364 363 6,98% 6,77%,318,3559 56,91 53,74 68 69 356 355 7,48% 7,57%,5575,4798 53,87 53,58 87 88 39 38 7,74% 7,46%,4837,4474 51,60 50, 43 433 16 15 11,01% 10,50% 3,053,9570 49,49 48,74 Zdania dodakowe (nieobowiązujące na kolokwium, za dwa plusy) 7. Insyucja szacuje waość zagożoną pzy poziomie oleancji 1%. W ciągu osanich 500 dni dzienna saa pzekoczyła waość zagożoną pognozowaną na dany dzień w 7 pzypadkach. Do esowania modelu VaR wykozysano es pzekoczeń Kupca. Pzyjęo 5% poziom isoności esu. Czy należy odzucić model sosowany pzez ę insyucję ze względu na liczbę pzekoczeń? 8. Waość zagożona jes szacowana pzy poziomie oleancji 1%. W ciągu osanich 500 dni dzienna saa pzekoczyła waość zagożoną pognozowaną na dany dzień w 7 pzypadkach. Pzy ym były 3 dni akie, że pzekoczenie nasąpiło po dniu, w kóym nie było pzekoczenia i 4 akie, że pzekoczenie nasąpiło po dniu, w kóym było pzekoczenie. Okesów dwudniowych, w kóych żadnego dnia nie wysąpiło pzekoczenie było 488. Dni, bez pzekoczenia, popzedzonych dniem z pzekoczeniem było 5. Do esowania modelu VaR wykozysano es Chisoffesena niezależności pzekoczeń w czasie. Pzyjęo, że poziom isoności esu wynosi 5%. Czy należy odzucić model sosowany pzez ę insyucję ze względu na zależność pzekoczeń? 9. Model waości zagożonej zakłada ozkład nomalny sopy zwou z odchyleniem sandadowym % oaz niezależność sóp zwou w czasie. Zaządzający yzykiem na podsawie 50 obsewacji pzepowadza es dla waiancji na poziomie isoności 5%. Tes jes dwusonny, czyli hipoeza alenaywna o: H 1 : 0. Saysyka esowa wyaża się wzoem (n1)s / 0 i ma ozkład z n1 sopniami swobody, gdzie n jes liczebnością póby, s waiancją z póby, a 0 waiancją zakładaną w hipoezie zeowej esu. Pzy 49 sopniach swobody ozkład saysyki esowej można pzybliżyć ozkładem nomalnym o śedniej ównej liczbie sopni swobody i waiancji ównej podwojonej liczbie sopni swobody. Jeżeli zeczywiście sopy zwou są niezależne w czasie, ale zmienność jes wyższa i wynosi,5%, o jakie jes pawdopodobieńswo błędu dugiego odzaju pzy weyfikacji ego paameu modelu (pawdopodobieńswo, że nie zosanie odzucony sosowany model, mimo że jes on błędny)? Jak oceniłbyś moc esu? 10. Wyniki zasosowania dwóch modeli waości zagożonej dla ej samej inwesycji w ciągu osanich 1000 dni zosały pzedsawione w poniższych abelach (Tabela 1 i Tabela ) w posaci szeegów ozdzielczych pzedziałowych. Każdy wiesz abeli odpowiada zealizowanym sopom zwou, w podziale na 8 pzedziałów klasowych. Kolumny odpowiadają pognozowanej na dany dzień waości zagożonej, w podziale na 5 pzedziałów klasowych. Waości w polach abeli oznaczają liczbę obsewacji. Np. liczba 50 w 3 wieszu i 4 kolumnie oznacza, że było 50 akich dni, w kóych zealizowana sopa zwou mieściła się w pzedziale [-
Zaządzanie yzykiem %, %), a jednodniowa waość zagożona pognozowana na każdy z ych dni była liczbą z pzedziału [3%, %). Analiyk wykozysuje funkcję say zapoponowaną pzez Lopeza. Jes ona nasępującej posaci (ównanie (1)): (1) 1 1 VaR VaR q L VaR q 1,. Lopez 1 1 0 1 VaR Kóy model uzna za lepszy, jeżeli kyeium jes śednia waość funkcji say? Pzy obliczaniu śedniej wykozysaj śodki pzedziałów klasowych dla sopy zwou (nie dla waości funkcji say) i dla VaR. q Tabela 1. Szeeg ozdzielczy zealizowanych sóp zwou i pognoz VaR w modelu 1 Model 1: VaR Liczba [6%, 5%) [5%, 4%) [4%, 3%) [3%, %) [%, 1%] obsewacji [-10%, -6%) 4 0 0 0 6 [ -6%, -%) 1 0 0 0 3 4 [ -%, %) 0 1 3 50 80 134 [ %, 6%) 16 0 30 0 90 136 [ 6%, 10%) 0 0 300 0 00 500 [ 10%, 14%) 0 0 100 0 0 100 [ 14%, 18%) 0 0 0 70 0 70 [ 18%, %] 0 0 0 50 0 50 Tabela. Szeeg ozdzielczy zealizowanych sóp zwou i pognoz VaR w modelu Model : VaR Liczba [6%, 5%) [5%, 4%) [4%, 3%) [3%, %) [%, 1%] obsewacji [-10%, -6%) 6 0 0 0 0 6 [ -6%, -%) 4 0 0 0 0 4 [ -%, %) 0 0 134 0 0 134 [ %, 6%) 0 0 36 100 0 136 [ 6%, 10%) 0 0 0 500 0 500 [ 10%, 14%) 0 50 50 0 0 100 [ 14%, 18%) 0 0 30 40 0 70 [ 18%, %] 0 0 50 0 0 50 11. Wykozysując dane z popzedniego zadania (zad. 10) ozważ, czy decyzja inwesoa zmieni się, jeśli zamias funkcji Lopeza będzie sosował funkcję Samy-Thomas-Shaha, kazącą ównież pzeszacowanie yzyka. Funkcja a jes dana nasępującym wzoem (ównanie ()): () 1 VaR 1 VaR q L VaR q STS, 1 1 VaR Pzyjęo współczynnik na poziomie 0,4. Zinepeuj wynik. 1 VaR q. 3
Zaządzanie yzykiem Załącznik. Tablice Tabela 3. Rozkład (F (x) = P(X x)) k = 1 k = k = 3 k = 4 k = 5 k = 6 k = 49 k = 50 x F, k (x) x F, k (x) x F, k (x) x F, k (x) x F, k (x) x F, k (x) x F, k (x) x F, k (x) 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,3750 0,4597 0,4500 0,015 0,550 0,0866 0,5750 0,034 0,650 0,013 0,6750 0,0050 196,760 0,0063 197,6484 0,0063 0,7500 0,6135 0,9000 0,364 1,0500 0,108 1,1500 0,1137 1,500 0,0600 1,3500 0,031 01,6837 0,015 0,5833 0,015 1,150 0,711 1,3500 0,4908 1,5750 0,3349 1,750 0,138 1,8750 0,1338,050 0,086 04,813 0,0188 05,781 0,0188 1,5000 0,7793 1,8000 0,5934,1000 0,4481,3000 0,319,5000 0,35,7000 0,1546 07,1856 0,050 08,0978 0,050 1,8750 0,891,500 0,6753,650 0,5469,8750 0,410 3,150 0,3193 3,3750 0,395 09,1098 0,0313 10,063 0,0313,500 0,8664,7000 0,7408 3,1500 0,6309 3,4500 0,5145 3,7500 0,4141 4,0500 0,3301 10,747 0,0375 11,6674 0,0375,650 0,8948 3,1500 0,7930 3,6750 0,701 4,050 0,5974 4,3750 0,503 4,750 0,405 1,180 0,0438 13,1054 0,0438 3,0000 0,9167 3,6000 0,8347 4,000 0,7593 4,6000 0,6691 5,0000 0,5841 5,4000 0,5064 13,4653 0,0500 14,3916 0,0500 3,3750 0,9338 4,0500 0,8680 4,750 0,8069 5,1750 0,730 5,650 0,6556 6,0750 0,585 19,371 0,0875 0,663 0,0875 3,7500 0,947 4,5000 0,8946 5,500 0,8456 5,7500 0,7814 6,500 0,7174 6,7500 0,6554 3,5770 0,150 4,554 0,150 4,150 0,9577 4,9500 0,9158 5,7750 0,8769 6,350 0,838 6,8750 0,7699 7,450 0,7167 7,0447 0,165 8,0006 0,165 4,5000 0,9661 5,4000 0,938 6,3000 0,901 6,9000 0,8587 7,5000 0,8140 8,1000 0,7691 30,0506 0,000 31,018 0,000 4,8750 0,978 5,8500 0,9463 6,850 0,93 7,4750 0,887 8,150 0,8505 8,7750 0,8134 3,7551 0,375 33,731 0,375 5,500 0,9781 6,3000 0,9571 7,3500 0,9385 8,0500 0,910 8,7500 0,8805 9,4500 0,850 35,50 0,750 36,5 0,750 5,650 0,983 6,7500 0,9658 7,8750 0,9513 8,650 0,988 9,3750 0,9050 10,150 0,8805 37,6019 0,315 38,5799 0,315 6,0000 0,9857 7,000 0,977 8,4000 0,9616 9,000 0,9437 10,0000 0,948 10,8000 0,905 39,8470 0,3500 40,897 0,3500 6,3750 0,9884 7,6500 0,978 8,950 0,9697 9,7750 0,9556 10,650 0,9407 11,4750 0,95 4,019 0,3875 43,0064 0,3875 6,7500 0,9906 8,1000 0,986 9,4500 0,9761 10,3500 0,9651 11,500 0,9534 1,1500 0,9413 44,1437 0,450 45,135 0,450 7,150 0,994 8,5500 0,9861 9,9750 0,981 10,950 0,976 11,8750 0,9635 1,850 0,9541 46,41 0,465 47,379 0,465 7,5000 0,9938 9,0000 0,9889 10,5000 0,985 11,5000 0,9785 1,5000 0,9715 13,5000 0,9643 48,3337 0,5000 49,3337 0,5000 7,8750 0,9950 9,4500 0,9911 11,050 0,9884 1,0750 0,983 13,150 0,9778 14,1750 0,973 50,4370 0,5375 51,4413 0,5375 8,500 0,9959 9,9000 0,999 11,5500 0,9909 1,6500 0,9869 13,7500 0,987 14,8500 0,9785 5,5713 0,5750 53,5798 0,5750 8,650 0,9967 10,3500 0,9943 1,0750 0,999 13,50 0,9898 14,3750 0,9866 15,550 0,9835 54,7571 0,615 55,7699 0,615 9,0000 0,9973 10,8000 0,9955 1,6000 0,9944 13,8000 0,990 15,0000 0,9896 16,000 0,9873 57,018 0,6500 58,0355 0,6500 9,3750 0,9978 11,500 0,9964 13,150 0,9956 14,3750 0,9938 15,650 0,990 16,8750 0,990 59,3839 0,6875 60,4058 0,6875 9,7500 0,998 11,7000 0,9971 13,6500 0,9966 14,9500 0,995 16,500 0,9938 17,5500 0,995 61,8916 0,750 6,9184 0,750 10,150 0,9985 1,1500 0,9977 14,1750 0,9973 15,550 0,9963 16,8750 0,9953 18,50 0,9943 64,594 0,765 65,645 0,765 10,5000 0,9988 1,6000 0,998 14,7000 0,9979 16,1000 0,9971 17,5000 0,9964 18,9000 0,9957 67,5609 0,8000 68,5986 0,8000 10,8750 0,9990 13,0500 0,9985 15,50 0,9984 16,6750 0,9978 18,150 0,997 19,5750 0,9967 70,9138 0,8375 71,9579 0,8375 11,500 0,999 13,5000 0,9988 15,7500 0,9987 17,500 0,9983 18,7500 0,9979 0,500 0,9975 74,8541 0,8750 75,9057 0,8750 11,650 0,9993 13,9500 0,9991 16,750 0,9990 17,850 0,9987 19,3750 0,9984 0,950 0,9981 79,791 0,915 80,859 0,915 1,0000 0,9995 14,4000 0,9993 16,8000 0,999 18,4000 0,9990 0,0000 0,9988 1,6000 0,9986 86,8078 0,9500 87,8815 0,9500 1,3750 0,9996 14,8500 0,9994 17,350 0,9994 18,9750 0,999 0,650 0,9990,750 0,9989 88,3766 0,9563 89,4531 0,9563 1,7500 0,9996 15,3000 0,9995 17,8500 0,9995 19,5500 0,9994 1,500 0,9993,9500 0,999 90,1447 0,965 91,45 0,965 13,150 0,9997 15,7500 0,9996 18,3750 0,9996 0,150 0,9995 1,8750 0,9994 3,650 0,9994 9,1815 0,9688 93,649 0,9688 13,5000 0,9998 16,000 0,9997 18,9000 0,9997 0,7000 0,9996,5000 0,9996 4,3000 0,9995 94,6008 0,9750 95,6886 0,9750 13,8750 0,9998 16,6500 0,9998 19,450 0,9998 1,750 0,9997 3,150 0,9997 4,9750 0,9997 97,5990 0,981 98,691 0,981 14,500 0,9998 17,1000 0,9998 19,9500 0,9998 1,8500 0,9998 3,7500 0,9998 5,6500 0,9997 301,6386 0,9875 30,7389 0,9875 14,650 0,9999 17,5500 0,9998 0,4750 0,9999,450 0,9998 4,3750 0,9998 6,350 0,9998 308,1100 0,9937 309,16 0,9937 15,0000 0,9999 18,0000 0,9999 1,0000 0,9999 3,0000 0,9999 5,0000 0,9999 7,0000 0,9999 340,6615 0,9999 341,877 0,9999 Dla k > 30 ozkład sandadowym (k) 0,5 ) można pzybliżać ozkładem nomalnym o śedniej k i waiancji k (odchyleniu 4
Zaządzanie yzykiem Tabela 4. Waości kyyczne esu ( P(X x i ) = ) Tablica waości kyycznych esu chi-kwada P(X x i ) = 0,99 0,95 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,3 0, 0,1 0,05 0,0 0,01 k 1 0,000 0,004 0,016 0,064 0,148 0,75 0,455 1,074 1,64,706 3,841 5,41 6,635 0,00 0,103 0,11 0,446 0,713 1,0 1,386,408 3,19 4,605 5,991 7,84 9,10 3 0,115 0,35 0,584 1,005 1,44 1,869,366 3,665 4,64 6,51 7,815 9,837 11,345 4 0,97 0,711 1,064 1,649,195,753 3,357 4,878 5,989 7,779 9,488 11,668 13,77 5 0,554 1,145 1,610,343 3,000 3,655 4,351 6,064 7,89 9,36 11,070 13,388 15,086 6 0,87 1,635,04 3,070 3,88 4,570 5,348 7,31 8,558 10,645 1,59 15,033 16,81 7 1,39,167,833 3,8 4,671 5,493 6,346 8,383 9,803 1,017 14,067 16,6 18,475 8 1,646,733 3,490 4,594 5,57 6,43 7,344 9,54 11,030 13,36 15,507 18,168 0,090 9,088 3,35 4,168 5,380 6,393 7,357 8,343 10,656 1,4 14,684 16,919 19,679 1,666 10,558 3,940 4,865 6,179 7,67 8,95 9,34 11,781 13,44 15,987 18,307 1,161 3,09 11 3,053 4,575 5,578 6,989 8,148 9,37 10,341 1,899 14,631 17,75 19,675,618 4,75 1 3,571 5,6 6,304 7,807 9,034 10,18 11,340 14,011 15,81 18,549 1,06 4,054 6,17 13 4,107 5,89 7,04 8,634 9,96 11,19 1,340 15,119 16,985 19,81,36 5,47 7,688 14 4,660 6,571 7,790 9,467 10,81 1,078 13,339 16, 18,151 1,064 3,685 6,873 9,141 15 5,9 7,61 8,547 10,307 11,71 13,030 14,339 17,3 19,311,307 4,996 8,59 30,578 16 5,81 7,96 9,31 11,15 1,64 13,983 15,338 18,418 0,465 3,54 6,96 9,633 3,000 17 6,408 8,67 10,085 1,00 13,531 14,937 16,338 19,511 1,615 4,769 7,587 30,995 33,409 18 7,015 9,390 10,865 1,857 14,440 15,893 17,338 0,601,760 5,989 8,869 3,346 34,805 19 7,633 10,117 11,651 13,716 15,35 16,850 18,338 1,689 3,900 7,04 30,144 33,687 36,191 0 8,60 10,851 1,443 14,578 16,66 17,809 19,337,775 5,038 8,41 31,410 35,00 37,566 Tabela 5. Dysybuana sandadowego ozkładu nomalnego ( () = P(X )) () () () () () () () () -4,00 0,00003-3,00 0,00135 -,00 0,075-1,00 0,15866 0,00 0,50000 1,00 0,84134,00 0,9775 3,00 0,99865-3,95 0,00004 -,95 0,00159-1,95 0,0559-0,95 0,17106 0,05 0,51994 1,05 0,85314,05 0,9798 3,05 0,99886-3,90 0,00005 -,90 0,00187-1,90 0,087-0,90 0,18406 0,10 0,53983 1,10 0,86433,10 0,9814 3,10 0,99903-3,85 0,00006 -,85 0,0019-1,85 0,0316-0,85 0,19766 0,15 0,5596 1,15 0,87493,15 0,984 3,15 0,99918-3,80 0,00007 -,80 0,0056-1,80 0,03593-0,80 0,1186 0,0 0,5796 1,0 0,88493,0 0,98610 3,0 0,99931-3,75 0,00009 -,76 0,0089-1,75 0,04006-0,75 0,663 0,5 0,59871 1,5 0,89435,5 0,98778 3,5 0,9994-3,70 0,00011 -,70 0,00347-1,70 0,04457-0,70 0,4196 0,30 0,61791 1,30 0,9030,30 0,9898 3,30 0,9995-3,65 0,00013 -,65 0,0040-1,65 0,04947-0,65 0,5785 0,35 0,63683 1,35 0,91149,35 0,99061 3,35 0,99960-3,60 0,00016 -,60 0,00466-1,60 0,05480-0,60 0,745 0,40 0,6554 1,40 0,9194,40 0,99180 3,40 0,99966-3,55 0,00019 -,55 0,00539-1,55 0,06057-0,55 0,9116 0,45 0,67364 1,45 0,9647,45 0,9986 3,45 0,9997-3,50 0,0003 -,50 0,0061-1,50 0,06681-0,50 0,30854 0,50 0,69146 1,50 0,93319,50 0,99379 3,50 0,99977-3,45 0,0008 -,45 0,00714-1,45 0,07353-0,45 0,3636 0,55 0,70884 1,55 0,93943,55 0,99461 3,55 0,99981-3,40 0,00034 -,40 0,0080-1,40 0,08076-0,40 0,34458 0,60 0,7575 1,60 0,9450,60 0,99534 3,60 0,99984-3,35 0,00040 -,35 0,00939-1,35 0,08851-0,35 0,36317 0,65 0,7415 1,65 0,95053,65 0,99598 3,65 0,99987-3,30 0,00048 -,30 0,0107-1,30 0,09680-0,30 0,3809 0,70 0,75804 1,70 0,95543,70 0,99653 3,70 0,99989-3,5 0,00058 -,5 0,01-1,5 0,10565-0,5 0,4019 0,75 0,77337 1,75 0,95994,75 0,9970 3,75 0,99991-3,0 0,00069 -,0 0,01390-1,0 0,11507-0,0 0,4074 0,80 0,78814 1,80 0,96407,80 0,99744 3,80 0,99993-3,15 0,0008 -,15 0,01578-1,15 0,1507-0,15 0,44038 0,85 0,8034 1,85 0,96784,85 0,99781 3,85 0,99994-3,10 0,00097 -,10 0,01786-1,10 0,13567-0,10 0,46017 0,90 0,81594 1,90 0,9718,90 0,99813 3,90 0,99995-3,05 0,00114 -,05 0,0018-1,05 0,14686-0,05 0,48006 0,95 0,8894 1,96 0,97500,95 0,99841 3,95 0,99996 5