O MIERNIKACH DOKŁADNOŚCI PROGNOZ EX POST W PROGNOZOWANIU ZMIENNYCH O SILNYM NATĘŻENIU SEZONOWOŚCI

Transkrypt

1 METODY ILOŚCIOWE W BADANIACH EKONOMICZNYCH Tom XIII/, 0, s. 3 O MIERNIKACH DOKŁADNOŚCI PROGNOZ EX POST W PROGNOZOWANIU ZMIENNYCH O SILNYM NATĘŻENIU SEZONOWOŚCI Maia Szmuksa Zawadzka Sudium Maemayki Zachodniopomoski Uniwesye Technologiczny w Szczecinie maia.szmuksa-zawadzka@zu.edu.pl Jan Zawadzki Kaeda Zasosowań Maemayki w Ekonomii Zachodniopomoski Uniwesye Technologiczny w Szczecinie jan.zawadzki@zu.edu.pl Seszczenie: Paca poświęcona jes dyskusji o sosowaniu elaywnych mieników dokładności pognoz ex-pos. Auozy wykazali, że syuacji, gdy zmienna chaakeyzuje się badzo dużą ampliudą wskaźników sezonowości nie może być wykozysywany śedni absoluny błąd pognozy (MAPE). Rozważania eoeyczne zosały zilusowane na pzykładzie podukcji enegii cieplnej. Słowa kluczowe: mieniki dokładności pognoz, wahania sezonowe WPROWADZENIE Część eoeyczna pacy poświęcona jes ozważaniom doyczącym sosowania absolunych a zwłaszcza względnych mieników dokładności pognoz ex-pos w syuacji, gdy zmienne pognozowane chaakeyzują się badzo dużą silnym naężeniem wahań sezonowych zn. dużym ozsępem ocen wskaźników sezonowości. Z doświadczenia wynika i akie złożenie pzyjęo w pacy, że z syuacją wysępowania silnych wahań sezonowych będziemy mieć do czynienia wedy, gdy ampliuda ocen wskaźników sezonowości pzekacza 60 punków pocenowych. Na duże wahania waości zmiennej pognozowanej naażony jes zwłaszcza śedni absoluny błąd pognozy (MAPE) będący śednią z iloazów bezwzględnych waości óżnic pognoz i ealizacji oaz ealizacji zmiennej pognozowanej.

2 O mienikach dokładności pognoz ex pos 3 Rozważania eoeyczne zosały zilusowane na pzykładzie podukcji enegii cieplnej. ROZWAŻANIA TEORETYCZNE W pacach poświęconych analizie dokładności pognoz ex-pos jako jeden z celów jej pzepowadzania wymienia się wybó najlepszej meody (najlepszego pedykoa) wyznaczania pognoz wygasłych. Pedyko lub pedykoy chaakeyzujące się najniższymi ocenami odpowiednich mieników dokładności ekomenduje się jako pedykoy służące budowie pognoz ex ane. W analizie błędów pognoz ex pos sosowane są zaówno mieniki absolune jak i względne. Do najczęściej sosowanych mieników absolunych należą(symbole mieników składają się z piewszych lie ich nazw w języku angielskim) : śedni błąd pedykcji ex pos: ME = ( Y Y p ) () = śedni błąd absoluny: MAE = Y Y p () = piewiasek błędu śedniokwadaowego: ( ) RMSE = Y Y p (3) = Między mienikami ()-(3) zachodzi elacja: ME MAE RMSE (4) Relacja między mienikami () i (3) wynika bezpośednio z elacji między śednią z sumy waości bezwzględnych i piewiaskiem ze śedniej sumy kwadaów. Spośód mieników względnych należy wymienić pzede wszyskim dwa powiązane z mienikami () i (3). Piewszym z nich jes śedni absoluny błąd pocenowy dany wzoem: Y Yp MAPE = (5) = Y Po. np. Pawłowski Z. (973), Pzyczynek do eoii analizy pedykywnej infomacji ex pos, Pzegląd Saysyczny R. XXIII z. s.6-83

3 4 Maia Szmuksa-Zawadzka, Jan Zawadzki Naomias dugim jes piewiasek ze współczynnika Theila: ( Y Y ) p = I = (6) Y = Ponad o w lieauze spokać można mieniki względne będące iloazami mieników absolunych MAE oaz RMSE oaz śedniej waości zmiennej pognozowanej: RMSE V RSME = (7) y MAE V MAE = (8) y gdzie: y = Y (9) = W celu zbadania elacji między V RSME a piewiaskiem ze współczynnika Theila (I) dokonamy pzekszałcenia współczynnika I : I = ( Y Yp ) Y Mnożąc licznik i mianownik pzez mamy: (0) ( Y Y ) p = I = = Y = MSE y () Liczba poencjalnych mieników, kóe mogą być wykozysane w analizie ex pos dokładności pognoz jes znacznie większa. W pacy Schwaze J. (Hsg) (98), Ausgewahle Pognosenvefahen, Velag Neue Wischafs-Biefe, Hene/Belin w ozdziale poświęconym ym mienikom wymienia się ich kilkadziesią. W większości są one pochodnymi mieników danych wzoami (), (), (4) i (5).

4 O mienikach dokładności pognoz ex pos 5 Piewiaskując obie sony wzou () i kozysając ze wzou (3) ozymujemy osaecznie: RMSE I = () y Relację współczynnika I oaz V RSME możemy zapisać nasępująco: RMSE RMSE (3) y y Okeślenie znaku nieówności wynika z faku, że piewiasek ze śedniej z kwadaów jes nie mniejszy od śedniej aymeycznej. Naomias bak jes możliwości okeślenia elacji mieników MAPE oaz I (w odóżnieniu od elacji MAE i RSME), ponieważ w odmienny sposób definiowane są ich mianowniki. W pzypadku mienika I isnieje możliwość zapisania go jako iloazu piewiasków licznika i mianownika: I = = ( Y Y ) Y = p Takiej możliwości nie ma w pzypadku mienika MAPE, kóy jes liczony jako śednia z elaywnych óżnic bezwzględnych odchyleń waości pognoz i waości zeczywisych podzielonych pzez ealizację zmiennej pognozowanej. Mienik en jes badzo ważliwy na niskie waości ealizacji zmiennej pognozowanej. Pzykładowo dla ej samej waości bezwzględnej błędu pognozy a pięciokonie niższej ealizacji błąd względny będzie pięciokonie wyższy. Można zapoponować zasąpienie mienika MAPE danego wzoem (5) mienikiem ważonym MAPE w, w kóym indywidualne waości bezwzględne absolunych błędów pognoz ważone są np. udziałami poszczególnych miesięcy w sumie ocznej: Y w = (5) Y i= Bioąc pod uwagę (5) wzó na MAPE w możemy zapisać nasępująco: Y Yp Y MAPE w = (6) = Y Y = (4)

5 6 Maia Szmuksa-Zawadzka, Jan Zawadzki Po dokonaniu pzekszałcenia wzó (6) pzyjmie posać: Y Yp MAPE w = (7) = Y = Nasępnie po pomnożeniu mianownika pzez ozymamy: Z kolei wyłączając pzed znak sumy jako sałe Y Yp MAPE w = (8) = y mamy: y MAPE w = Y Yp y = (9) Uwzględniając () ozymujemy osaecznie: MAE MAPE w = = V MAE y (0) Relacja między MAPE i MAPE w może być óżna. Pzy założeniu, że wysokie względne błędy pognoz wysępować będą w okesach, w kóych udziały ealizacji w sumie ocznej będą niewielkie o śedni ważony błąd pocenowy MAPE w będzie niższy od MAPE. PRZYKŁAD EMPIRYCZNY Pzepowadzone wyżej ozważania eoeyczne zosaną zilusowane pzykładem modelowania i pognozowania podukcji niekonwencjonalnej enegii cieplnej w wybanym Zakładzie zajmującym się eksploaacją złóż wód geoemalnych. Dane saysyczne o jej kszałowaniu się pochodzą z Banku Danych Kaedy Zasosowań Maemayki ZUT w Szczecinie. Szacowany będzie model szeegu czasowego z liniowym endem i peiodycznym składnikiem sezonowym (S), w kóym sezonowość opisywana jes za pomocą wielomianu ygonomeycznego: 0 m / i= ( a 0i sin ωi + b0i cosωi) U Y = α + α + +, () π i gdzie: ω i =, a m oznacza długość cyklu wahań. m Ponado oszacowany zosanie model pzyczynowo opisowy (P) óżniący się od modelu (S) ym, że zawieać będzie zmienną objaśniającą X i oznaczającą

6 O mienikach dokładności pognoz ex pos 7 śednią miesięczną empeauę powieza (w o C). Analiyczny zapis ego modelu będzie nasępujący: i 0 m / i= ( a 0i sin ωi + b0i cosωi) U Y = β X + α + α + +, () Kszałowanie się zmiennej pognozowanej w okesie esymacyjnym pzedsawione zosało na ysunku. Rysunek Kszałowanie się podukcji geoemalnej enegii cieplnej według miesięcy (w GJ) GJ Źódło: opacowanie własne Jak wynika z ysunku zmienna pognozowana chaakeyzuje się badzo silnymi wahaniami sezonowymi. W celu okeślenia skali wahań zosały oszacowane wskaźniki sezonowości. Ich oceny zosały zesawione w abeli.w abeli ej zesawiono akże udziały poszczególnych składowych hamonicznych sinusoidalnych ( Si = sin ωi ) oaz kosinusoidalmych ( Ci = cosωi ) w wyjaśnianiu sezonowej waiancji badanej zmiennej.

7 8 Maia Szmuksa-Zawadzka, Jan Zawadzki Tabela.Oceny wskaźników sezonowości oaz udziały składowych hamonicznych Źódło: obliczenia własne Miesiąc Oceny Składowa wsk. sez. hamoniczna Udział (w %) I 35, S 30,6 II 89,0 S,5 III 7,0 S 3,33 IV 98,8 S 4 0, V 5,3 S 5 0,38 VI 6,9 C 65,96 VII 4,9 C 0,00 VIII 6,5 C 3 0,05 IX 7,3 C 4 0,03 X 86, C 5 0,4 XI 54,9 C 6 0, XII 73,0 Suma 00,00 Z infomacji zawaych w abeli wynika, że maksymalna ocena wskaźnika sezonowości wynosząca 35, pzypada na syczeń a minimalna na lipiec-4,9. Tak wiec ampliuda składników sezonowości pzekacza 0 punków pocenowych a współczynnik zmienności ych wskaźników wynosi 8,7 % Wynika z niej ponado, że oceny wskaźników nie pzekaczające 5,3 pocen pzypadają na miesiące od maja do wześnia włącznie. Oznacza o, że w ych miesiącach należy liczyć się z dużymi ocenami błędów względnych pognoz.. Dane zawae w osaniej kolumnie wskazują na zdecydowaną dominację piewszej hamoniki (o cyklu dwunasomiesięcznym) w wyjaśnianiu waiancji sezonowej podukcji enegii geoemalnej. Jej udział pzekacza 96 pocen. Wskaźniki udziałów wyższe od jednego pocena ozymano jedynie dla dwóch składowych sinusoidalnych o cyklach: sześcio- i czeomiesięcznym. W abeli zesawione zosały oceny paameów sukualnych i syneyczne oceny paameów sukuy sochasycznej modeli danych ównaniami:() model S oaz()-model P. Oceny saysyk ozymane dla ównania S wskazują na saysyczną isoność paameów wysępujących pzy zech piewszych składowych sinusoidalnych i piewszej składowej kosinusoidalnej a więc ych składowych, kóych udział w wyjaśnianiu waiancji sezonowej zmiennej pzekaczał jeden pocen. Ujemna ocena paameu pzy zmiennej czasowej wskazuje na spadkową endencje podukcji enegii geoemalnej. W ównaniu pzyczynowo-opisowym saysycznie isony okazał się paame pzy zmiennej X. Spośód składowych hamonicznych saycznie isone oceny ozymano dla czeech składowych sinusoidalnych i dwóch składowych kosinusoidalnych. Zwaca uwagę fak,

8 O mienikach dokładności pognoz ex pos 9 że nieisone okazały się paamey pzy dwóch składowych o najwyższych udziałach w wyjaśnianiu waiancji sezonowej. Tabela. Oceny paameów sukualnych i sukuy sochasycznej ównań S i P Model S Model P Zmienna Ocena pa. (35) Ocena pa. (34) W. wolny 8775,60 3, ,34 4,8 S 4886,7,08 73,40, S 99,9,8 6,59 4,60 S 3-03,7 -,36-797,00-3,00 S 4 409,8 0,95 893,38 3,30 S 5 544,06,6 593,09,5 C 73,68 6,65 96,37 0,0 C 3,65 0,03 47,4,74 C 3-98,59-0,46 43,5 0,6 C 4-6,04-0,37-06,6-0,40 C 5-573,00 -,3-590, -,4 C 6-5,7-0,70-66,57 -,43-3,566 -,03,938 0,4 X ,44-7,76 R 0,94 0,976 SE 9 9,4 y 898,3 898,3 V SE 0,585 0,575 Źódło: obliczenia własne Z kszałowania się ocen współczynników deeminacji wynika, że obydwa. ównania w ponad 90 pocenach wyjaśniają kszałowanie się zmiennej pognozowanej. Dla ównania pzyczynowo-opisowego ocena a jes o ponad pięć punków pocenowych wyższa. Równanie o chaakeyzuje się ponad 0 punków pocenowych niższą oceną współczynnika zmienności losowej. Na podsawie oszacowanych ównań na kolejne miesięcy zosały zbudowane pognozy podukcji enegii a nasępnie zosała pzepowadzona analiza ex pos ich dokładności. Kszałowanie się pognoz ozymanych na podsawie oszacowanych ównań S i P oaz ealizacji zmiennej pognozowanej pzedsawione zosały w abeli 3.

9 0 Maia Szmuksa-Zawadzka, Jan Zawadzki Tabela 3. Pognozy i ealizacje podukcji geoemalnej enegii cieplnej (GJ) N okesu pog. Y P S 9448, ,43 757,5 6653,45 637,50 540, , ,3 4067, ,7 69,4 745, ,0 393,70 563, ,00 450,5 697, ,00 508,0 56, ,00 89,88 540,3 9 9,00 37,3 07, ,50 96, 65,4 093,0 040,5 56,5 6893,6 6544,5 3440,6 Źódło: obliczenia własne Pezenacje gaficzną infomacji zawaych w powyższej abeli sanowi ysunek 3. Rysunek 3.Kszałowanie się pognoz i ealizacji podukcji enegii cieplnej (w GJ) Y S P Źódło: obliczenia własne Z ysunku wynika, że waości pognoz ozymanych na podsawie modelu P dla maja i czewca dość znacznie óżnią się od ealizacji. Pzy niskich wielkościach podukcji oznacza o wysępowanie dużych względnych błędów

10 O mienikach dokładności pognoz ex pos pognoz. Największą óżnicę pognozy i ealizacji dla modelu S ozymano dla gudnia. Jednak wielkość podukcji w ym miesiącu była około 0 azy wyższa niż w miesiącach lenich-sąd odpowiednio niższy był błąd względny. Na podsawie danych zawaych w abeli 3 obliczone zosały absolune i elaywne mieniki dokładności pognoz ex pos ozymanych na podsawie modelu szeegu czasowego z liniowym endem i peiodycznym składnikiem sezonowym (S) oaz modelu pzyczynowo-opisowego, do kóego jako zmienną objaśniającą wpowadzono empeauę (P). Ich oceny zosały zesawione w abeli 4. Spośód ocen paameów sukuy sochasycznej zwaca uwagę badzo wysoka waość względnego błędu pognoz ozymanych na podsawie modelu P wynosząca 36,8 pocen. Dla modelu S jes ona o ponad punków pocenowych niższa. Tak, więc opacie się na mieniku MAPE, szczególnie w pzypadku modelu P sawia pod dużym znakiem zapyania w ogóle możliwość wykozysania go w pocesie pognozowania. Wysoka jego ocena wynika z badzo dużych względnych błędów pognoz dla miesięcy pzypadąjcych na koniec wiosny i lao (ich waości dla maja i czewca pzekaczają 00 pocen). Miesiące e chaakeyzują się badzo niskim zapozebowaniem na enegię cieplną - jes ona używana jedynie jako źódło podgzania wody zimnej. Współczynniki zmienności względnych błędów pognoz pzyjęły waości wynoszące odpowiednio: Tabela 4. Oceny absolunych i względnych mieników błędów pognoz (w %) podukcji geoemalnej enegii cieplnej (w GJ) Mienik Jednoski Model S P ME GJ -776,9 457,3 MAE GJ 75,6 87,57 RMSE GJ 56,33 75,6 MAPE % 3,98 36,8 MAPE w= % 4, 9,89 =V MAE Źódło: obliczenia własne I % 4, 0,9 V RMSE % 8,34 3,38 dla modelu S 8,6 a modelu P 60, pocen. Wyklucza o w sposób jednoznaczny użycie śednich absolunych błędów pognoz (MAPE) jako mieników oceny ich dokładności. Powiedzeniem ego sposzeżenia jes badzo duże zóżnicowanie ocen mieników MAPE w ujęciu kwaalnym. Oceny błędów śednich w poszczególnych kwaałach wynosiły dla modelu S: 6,87, 3,45, 40,9 oaz 7,3 pocen. W pzypadku modelu P oceny e pzyjęły waości: 4,49, 03,96, 35,3 oaz 3,54 pocen. Jednocześnie w sposób odmienny kszałowały się udziały poszczególnych kwaałów w podukcji ocznej. Wynosiły one odpowiednio:

11 Maia Szmuksa-Zawadzka, Jan Zawadzki 50,93, 8,5, 3,65 oaz 36,9 pocen. Z ego wynika, że łączny udział kwaałów II i III był jedynie nieznacznie wyższy od,5 pocen. Taka sukua podukcji oznacza, że wskaźniki MAPE w pzyjmują znacznie niższe waości. Po pzepowadzeniu opeacji ważenia błędów względnych udziałami poszczególnych miesięcy w sumie ocznej jego ocena dla modelu P uległa zmniejszeniu do 9,89 pocen. W pzypadku modelu S miał miejsce spadek z 3,98 do 4, pocen. Oceny współczynników I pzyjęły waości znacznie niższe od odpowiednich śednich względnych błędów pognoz(mape) i wynosiły odpowiednio: dla modelu S 4, pocen a modelu P 0,9 pocen. W piewszym pzypadku ocena I jes o 0, punku pocenowego niższa od MAPE w a w dugim wyższa o 0,40 punku pocenowego. PODSUMOWANIE Z pzepowadzonych w pacy ozważań oaz pzedsawionego pzykładu empiycznego wynika jednoznacznie, że do oceny jakości pognoz ex pos zmiennych chaakeyzujących się dużą skalą wahań sezonowych nie powinien być wykozysany pzecięny względny błąd pognozy (MAPE) a pzecięny ważony względny błąd pognozy (MAPE w ) lub piewiasek ze współczynnika ozbieżności Theila (I). BIBLIOGRAFIA Diann P., Diann I, Szabelka-Pasiebińska E., Szpulak A. (009) Pognozowanie w zaządzaniu pzedsiębioswem, Woles Kluwe. Guszczyński M., Podgóska M.(996) Ekonomeia, Oficyna Wydawnicza SGH, Waszawa. Pawłowski Z. (973) Pzyczynek do eoii analizy pedykywnej infomacji ex pos, Pzegląd Saysyczny R. XXIII z. s Schwaze J. (Hsg) (98) Ausgewahle Pognosenvefahen, Velag Neue Wischafs- Biefe, Hene/Belin. Zeliaś A., Pawełek B., Wana S. (003) Pognozowanie ekonomiczne. Teoia, pzykłady, zadania., PWN, Waszawa.

12 O mienikach dokładności pognoz ex pos 3 ABOUT MEASURES OF EX-POST THE FORECASTS ACCURACY USED TO VARIABLES WITH STRONG OF SEASONAL FLUCTUATIONS Absac: This wok is devoed o discussions on applicaion of elaive measues of accuacy of he ex-pos foecass. The auhos showed ha when he vaiable has a vey lage ampliude of seasonaliy indicaos he aveage absolue foecas eo (MAPE) can no be used. Theoeical sudy ae illusaed on he example of hemal enegy poducion. Key wods: measues of foecass accuacy, seasonal flucuaions