Wykła 3. Eeenty wspoagania ecyzji
Wyniki: wnioski i hipotezy etoy projektowania etoy zarzązania agoryty sterowania etoy iagnostyczne oniesienie wyników o obiektu Efekt: nowa wieza nowe obiekty proceury zarzązania urzązenia sterujące aparatura poiarowo- -kontrona zjawisko proces obiekt eksperyent wyniki baacz Ce: poznanie projektowanie zarzązanie sterowanie iagnostyka itp. oe oskonaenie poprawa oeu porównanie
forułowanie zaania ecyzyjnego ypowe zaania ecyzyjne Anaityczne etoy optyaizacji o Zaanie optyaizacji bez ograniczeń o Zaanie optyaizacji z ograniczeniai równościowyi etoa nożników agrange a o Zaanie optyaizacji z ograniczeniai nierównościowyi etoa Kuhna ucker a Nueryczne etoy optyaizacji - wprowazenie 3
Decyzja: różne typy eektrowni Obrazy: http://zieianarozrozu.p/encykopeia/67/hyroenergety http://kresy4.p/shownews/news_i/587/ http://winy-future.info/9//3/arge-win-turbine/ Eektrownia wona Eektrownia atoowa Eektrownia wiatrowa 3 3 - obciążenie eektrowni zienne ecyzyjne Ce: iniaizacja kosztów wytworzenia: 3 Ograniczenia: spełnienie zapotrzebowania na energię: + + c c c 3 koszt jenostkowy wytworzenia energii + 3 3 c + c c3 n ożiwości poszczegónych eektrowni: n 3 n 4
Zienne ecyzyjne: unkcja ceu: y Zbiór rozwiązań opuszczanych zwyke okreśony przez wskazanie ograniczeń: D in Decyzja optyana: D in a Decyzja zaowaająca: ~ ~ * + D 5
Zaanie ecyzyjne bez ograniczeń: D R D Zaanie ecyzyjne z ograniczeniai równościowyi: R Zaanie ecyzyjne z ograniczeniai nierównościowyi: D : R : 3 6
Zaanie optyaizacji bez ograniczeń Zaanie optyaizacji z ograniczeniai równościowyi etoa współczynników agrange a Zaanie optyaizacji z ograniczeniai nierównościowyi etoa Kuhna-uckera 7
Prograowanie iniowe R D s s s c c a b a a a a b b b b Zienne ecyzyjne: unkcja ceu: Ograniczenia: c c c c 8
Prograowanie kwaratowe R D c b A + + e Zienne ecyzyjne: unkcja ceu: Ograniczenia: R R R c b A e e e e 9
Prograowanie iorazowe R D c b a + + p q Zienne ecyzyjne: unkcja ceu: Ograniczenia: R R R R c b a p p p p q q q q
Prograowanie całkowitoiczbowe s Zienne ecyzyjne: D D C s Inne równoważne D D s s - typoszereg - prograowanie zero jeynkowe Booowskie
E E E E ; R D D D in y
Konstruujey ciąg przybiżeń na postawie wartości funkcji punkcie in D w any N N 3 3
wektor ziennych ecyzyjnych kika różnych funkcji ceu ocena wieokryteriana 3 3 4
Proces ynaiczny: y P y n+ n n n n takt ecyzja w n ty takcie N y n stan procesu w n ty takcie y y y yn y N + Zaanie ecyzyjne: znaeźć ciąg: a których wskaźnik Q N N przyjuje wartość inianą http://www.a-freeware.co/ 5
Zaanie optyaizacji: in D iniu okane: O iniu gobane: D iniu gobane iniu okane 6
Zbiór wypukły: + D D zbiór wypukły zbiór niewypukły unkcja wypukła: + + 7
unkcja pseuo - wypukła: Zgonie z rozwinięcie ayor a funkcji ay: O + + unkcja quasi - wypukła: : D D zbiór wypukły 8
Graient: Hessian: H 9
Własności Hessjanu: i Jeżei j j i H H H H H to H H jest acierzą syetryczną H jest oatnio okreśony Jeżei to jest ujenie okreśony H Jeżei to jest oatnio pół okreśony Jeżei to jest ujenie pół okreśony
Kryteriu ywestra: H Jeżei Jeżei h ij i - acierz Hessa j s et H ss h ij et et i s j s i i is h ij i i i i Wartości własne acierzy H j i i s i s to acierz H jest oatnio okreśona to acierz H jest oatnio pół okreśona H hi h h h et - wartości własne acierzy H Jeżei Jeżei s h to acierz H jest oatnio okreśona s s h to acierz H jest oatnio pół okreśona s
Zaanie optyaizacji: Założenie: Warunkie konieczny aby in D R jest funkcją ciągłą i różniczkowaną. było iniu okany jest: * Jeżei jest funkcją pseuo - wypukłą powyższe równanie jest warunkie konieczny i wystarczający aby było iniu gobany H Jeżei jest oatnio pół okreśona R to rozwiązanie powyższego równania jest iniu gobany H Jeżei jest oatnio okreśona R powyższe równanie a jeno rozwiązanie i jest ono iniu gobany
Równanie * oże ieć wiee rozwiązań Warunki optyaności rugiego rzęu: Jeżei H jest oatnio pół okreśona w punkcie to jest iniu okany Jeżei H jest ujenie pół okreśona w punkcie to jest aksiu okany 3
Zaanie optyaizacji: in D : R D D 4 : R D zer
etoa współczynników agrange a + + Warunki konieczne optyaności: unkcja agrange a: 5 - wektor współczynników grange a G rank G rank gzie: G
Powyższy ukła równań oże ieć wiee rozwiązań Warunki optyaności rugiego rzęu: Oznaczy: Jeżei Jeżei H H H jest oatnio okreśona w punkcie to jest iniu okany jest ujenie okreśona w punkcie to jest aksiu okany Jeżei funkcja jest wypukła a ograniczenia są iniowe czyi ają postać to powyższy ukła równań p a jeno rozwiązanie i jest ono rozwiązanie optyany 6
+ Warunek konieczny optyaności: R + gzie: współczynnik agrange a 7
etoa agrange a - Przykła + + 4 4 + + + 4 4 8
etoa współczynników agrange a Przykła rozwiązanie niereguarne + 3 3 + + 9
etoa współczynników agrange a - wyjaśnianie G + + G G Rozwiązanie powyższego równania iniowego istnieje jeżei i jest jenoznaczne gy: G rank G rank oraz niejenoznaczne gy: G rank G rank 3
Jeżei jest funkcją ciągłą różniczkowaną i wypukłą oraz ograniczenia są iniowe to ukła równań: a jeno rozwiązania i jest ono rozwiązanie zaania optyaizacji z ograniczeniai równościowyi. Powyższy ukła równań w ty przypaku jest warunkie konieczny i wystarczający 3
Uogóniona etoa współczynników agrange a + Warunki konieczne optyaności: Uogóniona funkcja agrange a: 3
Uogóniona etoa współczynników agrange a + + + O O - z tego warunku otrzyay rozwiązania reguarne Poobnie jak poprzenio otrzyane rozwiązania wyagają zbaania warunków rugiego rzęu czyi zbaania okreśoności acierzy:. H + 33 - z tego warunku otrzyay rozwiązania niereguarne
etoa współczynników agrange a Przykła + 3 3 + + 34
Zaanie ecyzyjne bez ograniczeń: D R D Zaanie ecyzyjne z ograniczeniai równościowyi: R Zaanie ecyzyjne z ograniczeniai nierównościowyi: D : R : 3 35
Zaanie optyaizacji: in D : R D 3 36 D 3 : R D gzie: s s s
Ograniczenia nieaktywne Ograniczenia aktywne
+ + * * * * * * * Warunki konieczne optyaności: unkcja agrange a: s s s gy rozwiązanie jest reguarne gzie: - wektor współczynników grange a
+ + + * * * * * * * + * * Warunki konieczne:
+ + - te ograniczenie nieaktywne - te ograniczenie aktywne + jak bez ograniczeń jak z ograniczeniai równościowyi
Ograniczenia nieaktywne Ograniczenie aktywne
Przykła + 4 3 + + +
Przykła rozwiązanie niereguarne 3 + + 3 + + +
D kierunek w s R : + R Zbiór kierunków opuszczanych D + Zbiór ograniczeń aktywnych I { }: 3 D 3 I I { 3} I 3 {}
Jaki warunek usi spełniać na ograniczeniu aktywny? I tj.: ' + D ' D ' + + + O warunek anaityczny
Przykła I W punkcie + +
Uwaga: Nie każy kierunek który spełnia warunek opuszczany. oże to prowazić o rozwiązania niereguarnego s D R : I 3 + W punkcie 3 I D D + + jest kierunkie owo n e
+ + Jeżei kierunek taki że: czyi funkcja aeje w kierunku O + 3 to s D R : I s R : I Poziey zbiór kierunków D na: tj.: funkcja nie aeje we wskazanych kierunkach oraz D s R : I tj.: funkcja aeje we wskazanych kierunkach oraz 48
+ + * * * * * * * wierzenie Kuhna uckera warunki konieczne optyaności: Jeżei * jest iniu okany zaania z ograniczeniai nierównościowyi funkcje są ciągłe oraz funkcja jest różniczkowana to istnieje zestaw współczynników agrange a * takich że wraz z * spełnia unkcja agrange a: : I s R D
. Karina: ograniczenia - iniowe. atera: ograniczenia - wypukłe oraz zbiór rozwiązań opuszczanych a niepuste wnętrze 3.iacco ac Corica: w punkcie optyany graienty wszystkich ograniczeń aktywnych są iniowo niezaeżne czyi: są iniowo niezaeżne D I D 4. Zangwia: 5. Kuhna ucker a: a każego kierunku istnieje krzywa reguarna rozpoczynająca się w punkcie i styczna o tego kierunku D D e e e e e e e e D e Rozwiązanie niereguarne
Warunki konieczna i wystarczające: * * * * * * * Jeżei funkcje są ciągłe i różniczkowane oraz funkcja jest funkcją pseuo wypukłą a ograniczenia są funkcjai quasi wypukłyi to wkła równań i nierówności: a jeno rozwiązanie i jest ono rozwiązanie zaania optyaizacji z ograniczeniai nierównościowyi
5 Punkt siołowy a in D R D
Punkt D jest punkte siołowy.. 3. in iaizuje Jeżei jest punkte siołowy funkcji agrange a to jest rozwiązanie zaania optyaizacji: D in D R : 53
54 in D : R D +
55 in D : R D + +
ogą pojawić się probey anaityczne: i - złożone funkcje nieiniowe - uży wyiar - funkcje nieróżniczkowane - anaityczna postać funkcji nie jest znana a istnieje ożiwość poiaru wartości funkcji w punkcie Powyższe przesłanki skłaniają o poszukiwania eto nuerycznych
Kierunki bazowe i ich oyfikacje etoy bez graientowe. Kierunki oparte na graiencie funkcji etoy graientowe. Inne
Uwaga!
etoy optyaizacji w kierunku o Poział równoierny o Poział na połowę o Złoty poział o Aproksyacji kwaratowej o etoa pierwszej pochonej o etoa znaku pochonej o etoa Newtona o etoa Bozano 63
Bezgraientowe etoy optyaizacji o Hooka-Jeevesa z krokie yskretny i optyany o Rosenbrocka z krokie yskretny i optyany o Powea o Neera eaa Graientowe etoy optyaizacji o Graientu prostego o Najszybszego spaku o Newtona o Graientu sprzężonego o Ziennej etryki 64
etoy optyaizacji z ograniczeniai o ransforacji ziennych o unkcji kary Kary zewnętrznej kary Kary wewnętrzne bariery o etoa copeks o Poszukiwania osowe 65
66