Metody obliczeniowe. wykład nr 5. metody Monte Carlo zastosowanie metod do obliczenia całek wielokrotnych. Nr: 1

Transkrypt

1 Nr: Metoy obliczeniowe wykła nr 5 etoy Monte Carlo zastosowanie eto o obliczenia całek wielokrotnych

2 Nr: Obliczanie całek wielokrotnych... f (,..., n... n? kubatury - wielowyiarowe opowieniki kwaratur złożonych la funkcji n- ziennych poział na n-wyiarowe obszary regularne w których znane są wzory kwaratur prostych Z la funkcji n-ziennych okonując poziału ocinka [a i,b i ] (i=,...,n na części otrzyujey n n-wyiarowych kostek -5 - Y X... f (,..., n... f ( X n śr?

3 Nr: 3 Prawo wielkich liczb ilustracja Przy ostatecznie użej liczbie prób częstość wystąpienia anego zarzenia losowego bęzie się owolnie ało różniła o jego prawopoobieństwa. (Bernoulli 73 X zienna losowa: zarzenie losowe rzut onetą ożliwe wartości ziennej {,} = : wyrzucenie reszki =: wyrzucenie orła EX wartość oczekiwana ziennej X (= p + p =/ S n =X(+...+X(n sua wartości n realizacji ziennej losowej X przeprowazając użą liczbę rzutów syetryczną onetą, ożey oczekiwać że stosunek liczby "wyrzuconych" orłów o liczby wszystkich rzutów bęzie bliski,5 ty większe są na to szanse i większa jest liczba rzutów

4 Nr: 4 Prawo wielkich liczb zasaa etoy Monte Carlo Z prawopoobieństwe owolnie bliski ożna się spoziewać iż przy ostatecznie użej liczbie prób śrenia wartość ziennej losowej bęzie się owolnie ało różniła o wartości oczekiwanej tej ziennej. X(i realizacje ziennej losowej X o rozkłazie noralny Definiując zienną losową S n = X(+...+ X(n wnioskujey iż la owolnych >, > : Sn P( EX n Mówiy że ciąg ziennych losowych S n /n jest zbieżny (wg prawopoobieństwa o wartości oczekiwanej ziennej losowej X la n

5 Nr: 5 Przykła wykorzystywanie zjawisk losowych w procesach obliczeniowych Igła Buffona obliczenie wartości liczby za poocą losowych rzutów igły na płaszczyznę l ługość igły (l< oległość poięzy równoległyi liniai oległość śroka igły o najbliższej prostej niejszy z kątów poięzy igłą a prostopałą o linii M liczba wszystkich wykonanych rzutów N liczba rzutów w których igła przecięła jeną z linii każy rzut realizacja ziennej losowej - wyiarowej (, (, [,/] [, /] l igła przecina jeną z prostych jeśli cos Zienna losowa: zarzenie losowe (rzut igłą (, [,/] [, /]

6 Nr: 6 Przykła Igła Buffona ystrybuanta ziennej losowej X F( P( X li F( oznacza prawopoobieństwo, że zienna losowa X jest niejsza o pewnej liczby rzeczywistej. gęstość prawopoobieństwa ziennej losowej ciągłej X - funkcja f( spełniająca warunek: F ( f ( t t li F(,

7 Nr: 7 Przykła Igła Buffona ystrybuanta ziennej losowej X F( P( X li F( oznacza prawopoobieństwo, że zienna losowa X jest niejsza o pewnej liczby rzeczywistej. gęstość prawopoobieństwa ziennej losowej ciągłej X - funkcja f( spełniająca warunek: F ( f ( t t ystrybuanta ziennej losowej (, F(, P( X, li F(, gęstość prawopoobieństwa ziennej losowej ciągłej(, F (, f ( t, u tu

8 Nr: 8 Przykła Igła Buffona Ponieważ (, [,/] [, /] P( X P( X lub / lub /. / F (, f ( t, u tu.8.6 li F(,.4. /

9 Nr: 9 Przykła Igła Buffona Ponieważ (, [,/] [, /] P( X P( X lub / lub /. / F (, f ( t, u tu.8.6 li F(,.4. / f (, 4, p. p. -.

10 Nr: Przykła Igła Buffona Ponieważ (, [,/] [, /] f (, 4, p. p. F (, f ( t, u tu F(, P( X, igła przecina jeną z prostych jeśli l [, ], cos prawopoobieństwo iż igła przetnie jeną z prostych wynosi: p F(, l cos

11 Nr: Przykła Igła Buffona Ponieważ (, [,/] [, /] f (, 4, p. p. F (, f ( t, u tu F(, P( X, igła przecina jeną z prostych jeśli [, ], l cos prawopoobieństwo iż igła przetnie jeną z prostych wynosi: p F( l, cos l cos f (, l cos 4 l

12 Nr: Przykła Igła Buffona prawopoobieństwo iż igła przetnie jeną z prostych wynosi p p(m prawopoobieństwo epiryczne zarzenia - igła przetnie jeną z prostych, wyznaczone na postawie M rzutów p ( M l N M porównujey wartości p i p(m: p p(m l N M l M N Zaanie: zapisz ko prograu wyznaczający liczbę opisaną etoą, wykorzystaj funkcję SciLaba ran( o generowania liczb losowych.

13 Nr: 3 Obliczenie całki wielokrotnej etoą Monte Carlo Dana funkcja y f (,..., całkowalna po obszarze oknięty i ograniczony S. Obliczay całkę geoetrycznie liczba I przestawia -wyiarową objętość walcoiu prostego w przestrzeni R +, zbuowanego na postawą S, ograniczonego z góry aną powierzchnią Czy I... f (,...,... S... f (,...,... S f ( X śr S?

14 Nr: 4 Obliczenie całki wielokrotnej etoą Monte Carlo Dana funkcja y f (,..., całkowalna po obszarze oknięty i ograniczony S. Obliczay całkę I... f (,...,... S geoetrycznie liczba I przestawia -wyiarową objętość walcoiu prostego w przestrzeni R +, zbuowanego na postawą S, ograniczonego z góry aną powierzchnią Czy... f (,...,... S f ( X śr Określa zienną losową X: zarzenie losowe: wybór punktu z obszaru S wartość ziennej losowej: wartość funkcji f w wybrany punkcie Całka z funkcji f oże być określona jako S?... f (,...,... S S EX

15 Nr: 5 Obliczenie całki wielokrotnej etoą Monte Carlo Całkę I... f (,...,... przekształcay w ten S sposób, by obszar całkowania zawarty był w całości wewnątrz n- wyiarowego prostopałościanu o boku jenostkowy obszar S ograniczay -wyiarowy równoległobokie ai i Ai i,,..., okonujey zaiany ziennych: i ai ( Ai ai i i,,...,

16 Nr: 6 Obliczenie całki wielokrotnej etoą Monte Carlo obliczay Jacobian przekształcenia otrzyujey całkę...( ( ( a A a A a A a A a A a A (,..., ( ( (... ( (,..., (...,..., (... a A a a A a f a A a A a A F F I

17 Nr: 7 Obliczenie całki wielokrotnej etoą Monte Carlo wybieray ciągów losowych o rozkłazie równoprawopoobny w przeziale [,] ( {,,...,,...} {... { ( (, (, ( ( (,...,,...} punkty ożey rozpatrywać jako punkty losowe ( ( ( Mi ( i, i,..., i i,,... bierzey N punktów (ostatecznie użą liczbę: M,M,...,M N sprawzay które z nich należą o obszaru niech (la wygoy zieniay wskaźniki:,..., n ( n ( n,...} M M i i la la i i,,..., N N, N,..., N

18 Nr: 8 Obliczenie całki wielokrotnej etoą Monte Carlo biorąc ostatecznie użą liczbę punktów M,M,...,M N należących o obszaru ożey przybliżyć wartość oczekiwaną EX ziennej losowej X przez śrenią arytetyczną (prawo wielkich liczb y N F( śr N M i i szukana całka wyraża się wzore ( oznacza -wyiarową objętość obszaru całkowania N I y F( M śr N i jeśli objętość truno obliczyć, ożey przyjąć N N N I F( M i N i i

19 Nr: 9 Obliczenie całki wielokrotnej etoą Monte Carlo przykła obliczeniowy obliczay całkę obszar całkowania określony jest nierównościai, generujey N punktów losowych, leżących w [,] [,] I ( y y y S

20 Nr: Obliczenie całki wielokrotnej etoą Monte Carlo przykła obliczeniowy N liczba wygenerowanych punktów losowych N liczba punktów należących o obszaru całkowania śrenia wartość N /N przybliżone pole obszaru całkowania I przybliżona wartość całki błą procentowy wartość okłana całki.875 Zaanie: zapisz ko prograu obliczający etoą Monte Carlo wartość całki z funkcji f(,y,z=+y+z po toroizie powstały w wyniku obrotu kwaratu o boku =, punkte obrotu śroek ukłau współrzęnych, proień obrotu = 5.

21 Nr: Postępowanie Zasay etoy Monte Carlo opisanie anego zaania obliczeniowego w języku rachunku prawopoobieństwa poprzez wprowazenie ziennej losowej w oparciu o generatory liczb losowych wielokrotna realizacja ziennej losowej na postawie otrzyanych wyników, przy użyciu eto statystycznych uzyskanie pewnych inforacje o rozkłazie tej ziennej losowej (najczęściej oszacowanie wartości oczekiwanej rozważanej ziennej losowej

22 Nr: Zasaa etoy Monte Carlo Rozwiązanie klasycznego probleu obliczeniowego algoryt (ciąg ziałań obliczeniowych znalezienie szukanej wielkości f okłanie albo z zaany błęe proces ściśle zeterinowany: każa realizacja algorytu przy bezbłęny wykonaniu aje ten sa wynik Metoy Monte Carlo proces obliczeniowy niezeterinowany określają go wyniki prób losowych, różne realizacje algorytu ogą awać różne wyniki skonstruowanie klasycznego algorytu jest praktycznie nieożliwe algoryt jest barzo złożony, lub wyaga ługotrwałych obliczeń

23 Nr: 3 Niektóre zastosowania etoy Monte Carlo rozwiązywanie ukłaów równań liniowych owracanie acierzy obliczanie całek wielokrotnych zaania związane z ruche (sieci kolejowe, sterowanie sygnalizacją uliczną syulacja zjawisk fizycznych

24 Nr: 4 Zastosowanie etoy Monte Carlo eksperyent nueryczny określenie prawopoobieństwa awarii obiektu buowlanego N nośność : ożliwość przejęcia przez obiekt (funaent obciążeń zewnętrznych (wypakowa wszystkich sił utrzyujących konstrukcję w równowaze S oziaływanie (obciążenie wypakowa wszystkich sił ążących o utraty stateczności przez konstrukcję Funkcja stanu granicznego G = N S oziela strefę bezpieczną o strefy zagrożenia G stan bezpieczny stan zagrożenia prawopoobieństwo awarii (niespełnienia warunku granicznego p P{G }

25 Nr: 5 Zastosowanie etoy Monte Carlo określenie prawopoobieństwa awarii obiektu buowlanego Q nośność (opór położa: funaent palowy

26 Nr: 6 Zastosowanie etoy Monte Carlo określenie prawopoobieństwa awarii obiektu buowlanego Q nośność : funaent palowy Q S p D 4 q i S s i A s i t i S p : współczynnik technologiczny =,3 D[] : śrenica pala =,5 q [kpa]: jenostkowa wytrzyałość gruntu po postawą pala = 56 kpa S si : współczynnik technologiczny A si [ ] : pole pobocznicy t i [kpa]:jenostkowa wytrzyałość gruntu wzłuż pobocznicy i ineks warstwy gruntu Paraetry S p,q,t i określono jako zienne losowe o rozkłazie noralny i współczynniku zienności =,

27 Nr: 7 Zastosowanie etoy Monte Carlo określenie prawopoobieństwa awarii obiektu buowlanego Rozkła noralny N(, ( = współczynnik zienności - funkcja gęstości prawopoobieństwa (krzywa Gaussa P ( a b f ( t t b a // losowa wartość ziennej losowej // o rozkłazie noralny N(, ran(,, noral

28 Nr: 8 Zastosowanie etoy Monte Carlo określenie prawopoobieństwa awarii obiektu buowlanego Paraetry S p,q,t i określono jako zienne losowe o rozkłazie noralny i współczynniku zienności =, Przy użyciu funkcji SciLaba ran( wygenerowanie wartości (realizacji la rozkłau N(, la każej ziennej losowej q = 56 kpa q = q wsp_z ran(n,, noral + q Rozkła noralny N(, Rozkła noralny la paraetru q (56 kpa

29 Nr: 9 Zastosowanie etoy Monte Carlo określenie prawopoobieństwa awarii obiektu buowlanego Obliczenia: wykorzystano progra koputerowy napisany w języku Scilab w algorytie użyto etoy Monte Carlo opowienio la N = prób losowych N - liczba prób losowych N - liczba prób losowych w których G< N P G N Zaanie: obliczyć, wykorzystując opisaną etoę, oraz poane wyżej ane prawopoobieństwo awarii funaentu, przyjując iż funaent znajuje się w jenej warstwie gruntu o paraetrach: S s =,8; t =64 kpa; A s =4. Przyjąć obciążenie S=85 kn Obciążenie S j [kn]

30 Nr: 3 Zastosowanie etoy Monte Carlo określenie prawopoobieństwa awarii obiektu buowlanego Prawopoobieństwo awarii,6,5,4,3,, obciążenie na pal [kn] 84 pale - pierwotny 77 pali 79 pali 8 pali 83 pale 84 pale