Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania

Transkrypt

1 Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Autoatyki Katedra Inżynierii Systeów Sterowania Metody otyalizacji Metody rograowania nieliniowego II Materiały oocnicze do ćwiczeń laboratoryjnych T7 Oracowanie: Piotr Hirsch, gr inż. Kaziierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Gdańsk,

2 1. Wstę Istnieje wiele algorytów nuerycznego rozwiązywania zadania otyalizacji nieliniowej z ograniczeniai, tj. zadania ostaci: in f() g() = 0 (1) h() 0 Algoryty te odzielić ożna na dwie gruy: Algoryty bezośrednie, w których w kolejnych iteracjach oszukuje się unktów będących wrost rzybliżonyi rozwiązaniai zadania (1), tzn. że każde z ośrednich rozwiązań usi sełniać układ ograniczeń Algoryty ośrednie, w których rozwiązanie zadania uzyskuje się, zastęując ierwotne zadanie inializacji z ograniczeniai zadanie lub ciągie zadań bez ograniczeń Do gruy algorytów bezośrednich zaliczyć ożna etody oszukiwań losowych (etody Monte Carlo), które, w duży uroszczeniu, olegają na wybraniu i systeatyczny rzeszukiwaniu ewnej losowej rerezentacji zbioru douszczalnego. Kolejnyi ważnyi algorytai z tej gruy są etody sekwencyjnego rograowania liniowego i kwadratowego. Polegają ona na rzybliżony rozwiązywaniu zadania ierwotnego, orzez zastąienie go ciągie zadań rograowania liniowego (kwadratowego). Każde z tych zadań otrzyuje się, orzez zastąienie funkcji celu i funkcji ograniczeń w dany unkcie ich odowiednii (liniowyi lub kwadratowyi) rzybliżeniai. Wsonieć ożna także o należących do tej kategorii etodach kierunków douszczalnych. W gruie algorytów ośrednich wyróżniay iędzy innyi: algoryt transforacji ziennych i zasługujące na szczególną uwagę algoryty funkcji kary. Algoryty transforacji ziennych olegają na odwzorowaniu zbioru douszczalnego w rzestrzeń R n, w której, orzez odstawienia nowych ziennych, zadanie rzyjie ostać bez ograniczeń. 2. Metody funkcji kary Metody z tej gruy olegają na odyfikacji funkcji celu rzez wrowadzenie do niej wyrażenia rerezentującego karę za rzekroczenie ograniczeń (tzw. Funkcję kary). Nastęnie do tak zienionej funkcji stosujey którąś z etod oszukiwania ekstreu bez ograniczeń. W zależności od ostaci oraz sosobu wrowadzenia funkcji kary ożna wyróżnić trzy jej tyy: a) Wewnętrzną funkcję kary (nazywaną często funkcją barierową) bariera unieożliwiająca ouszczenie zbioru rozwiązań douszczalnych b) Zewnętrzną funkcję kary kara za niesełnienie warunków ograniczeń c) Mieszaną funkcję kary ołączenie oddziaływań zewnętrznej i wewnętrznej funkcji kary. Kara owinna być funkcją ciągła i rzyjować wartości większe do 0, gdy dany unkt nie sełnia ograniczeń zadania, oraz być równa 0, gdy jest unkte douszczalny.

3 3. Wewnętrzna funkcja kary Wewnętrzna funkcja kary jest stosowana wyłącznie w odniesieniu do ograniczeń nierównościowych. Zadanie rozatrywane w ty rzyadku a nastęującą ostać: in f() h i () 0, i = 1,, W etodach wewnętrznej funkcji kary unkt oczątkowy oraz wszystkie unkty wyznaczone w kolejnych iteracjach uszą należeć do wnętrza zbioru unktów douszczalnych. Kara jest nakładana za zbliżanie się do brzegu zbioru unktów douszczalnych. Zadanie o wrowadzeniu funkcji kary rzyjuje ostać: in f() + μk() K() = φ[h i ()] i=1

4 Funkcja kary usi być funkcją jednej ziennej rzeczywistej, ciągła na zbiorze {y: y < 0} i usi onadto sełniać warunek: φ(y) 0, jeśli y < 0 i li φ(y) = + y 0 Najczęściej stosuje się dwie rzykładowe ostacie kary K(): 1 K() = i=1 funkcja odwrotna h i () K() = i=1 ln( h i ()) funkcja logaryticzna W etodzie funkcji barierowej stosuje się ściśle alejący, zbieżny do 0 ciąg wartości araetru kary μ. 4. Zewnętrzna funkcja kary Zewnętrzna funkcja kary oże być stosowana zarówno do ograniczeń równościowych jak i nierównościowych. W niniejszy oracowaniu rzedstawione zostanie jedynie zastosowanie w rzyadku wystąienia ograniczeń równościowych: in f() g j () = 0, j = 1,, Zadanie oocnicze w ty wyadku a ostać: in f() + P() P() = α j θ[g j ()] Karę nakłada się za niesełnienie ograniczeń i usi sełniać warunek: = 0, dla X P() = { > 0, dla X gdzie orzez X oznaczony został zbiór rozwiązań douszczalnych. Poularnie stosuje się funkcję kary ostaci: P() = α j g j 2 () W etodzie zewnętrznej funkcji kary stosuje się araetr kary większy od 0 i ściśle rosnący.

5 5. Mieszana funkcja kary Zastosowanie ieszanej funkcji kary jest bardzo wygodne rzy rozwiązywaniu zadań z ograniczeniai zarówno równościowyi jak i nierównościowyi, tj. dla zadania ostaci: in f() g j () = 0, j = 1,, h i () 0, i = 1,, Za ieszaną funkcję kary rzyjujey ołączenie dwóch orzednich etod: in f() + M() M() = μk() + P() Wybierając funkcję barierową w ostaci logaryticznej i funkcje zewnętrzną kary w ostaci nory l 2 otrzyujey: M() == μ ln( h i ()) + α j g 2 j () i=1