Ekonomia matematyczna Dynamiczny model wymiany rynkowej (Arrowa-Hurwicza)

Transkrypt

1 Ekonoia ateatyczna -. Dynaiczny odel wyiany rynkowej (Arrowa-Hurwicza) W oencie t 0, na rynku, na który występuje skończona liczba n towarów,,...,n o cenach pt p t,...,p n t operuje agentów,...,. Każdy z nich jest scharakteryzowany przez: ) swój koszyk początkowy e i e i,e i,...,e in 0, dający dochód n I i pt e i, pt j e ij p j t przy cenach pt p t,...,p n t, ) przestrzeń konsupcyjną X i R n, w zakresie której, i-ty agent wybiera koszyki, w oparciu o relację prefencji i wyznaczoną przezściśle quasi-wklęsłą, rosnące i ciągłą funkcję użyteczności u i : R n R, (u i x u i y x i y). Ilości towarów i liczba agentów oraz ich preferencje są stałe w okresie czasu 0,, jednak ceny ogą być różne w oentach t 0,. Zate, w każdy oencie t 0, każdy agent określa swój popyt x i pt i pt,ipt przy cenach pt, rozwiązując zadanie aksyalizacji uzyteczności: pt, I i pt gdzie Bpt,I i pt x R n : x, pt I i pt,pt 0. axux : x Bpt,I i pt, Definicja Globalny popyte na rynku w oencie t 0, jest sua popytów agentów xpt a globalną nadwyżką popytu jest różnica zpt xpt e x i pt. x i pt e i. W dynaiczny odelu wyiany rynkowej przyuje się następujące zasady funkcjonowania rynku w czasie (nierealistyczne, ale potrzebne aby "ogarnąć" odel i poprawnie wnioskować), określane terine tâtonneent: ) w oencie t regulator rynku (akler) podaje ceny pt, zbiera inforacje o popytach

2 agentów przy tych cenach i wylicza globalną nadwyżkę popytu zpt ) jeśli zpt 0, to pt jest wektore cen równowagi i akler dopuszcza do transakcji, prowadzących do alokacji równowagi Walrasa, ) jeśli zpt 0, to akler nie dopuszcza do transakcji i uwzględniając, na które towary jest nadierny popyt (z j pt 0), a na które nadierna podaż (z j pt 0), proponuje nowe ceny pt t na oent t t - wracay do punktu ), ale już dla oentu t t. Zate: a) wyiana następuje w oencie t wtedy i tylko wtedy gdy zpt 0, b) ziana cen następuje po oencie t wtedy i tylko wtedy gdy zpt 0 W wersji z czase dyskretny, najprostszy stosowany przez aklera echaniz dostosowania cen do popytu a postać gdzie 0, tj. pt t pt t zpt pt t pt t Id zpt gdzie Id jk nn jest acierzą jednostkową. Przyjując różne współczynniki j 0 regulacji cen dla różnych towarów, ożna uogólnić powyższy echaniz pt t pt t zpt gdzie jk j nn jest acierzą przekątniową. Rozważano ogólniejsze echanizy regulacji cen, np.: pt t pt Gzptt -dyskr - dyskr - dyskr gdzie G : R n R n jest odwzorowanie o własności Gz 0 wtedy i tylko wtedy gdy z 0: a) zgodny co do znaków, tj. taki, ze z j G j z 0, gdy z j 0,np. odwzorowanie linowy Gz z n,gdzie jk nn jest acierzą o własności z j k jk z k 0 gdy z j 0,j,,...,n. b) zgodny co do kierunku, tj. : b) taki,że z,gz 0, tj. z,gz gdy z 0, b) taki,że z,gz gdy z 0, W wersji z czase ciągły, powyższe echanizy regulacji cen ają postaci: p t zpt -c

3 p t zpt p t Gzpt Podstawowy proble: Czy echaniz regulacji cen gwarantuje zbieżność cen do cen równowagi - w skończony lub nieskończony czasie? -c -c Przykład (Keeny, Snell) Na rynku jest agentów i dwa towary. Funkcja użyteczności i tego agenta a postać u i x,x x a i x a i x 0. y y x gdzie 0 a i, a jego koszykie początkowy jest e i, e i 0, 0. Ponieważ funkcja u i jestściśle rosnąca i u i x, 0 u i 0,x 0, a u i x,x 0 gdy x x 0, to dla rozwiązania zadania aksyalizacji uzyteczności, z warunków Kuhna-Tuckera ay u i x i a i x a i x x p Stąd otrzyujey u i x x i a i x x a i p x p x p e i p e i p I i p

4 a następnie a i x x a i p a i x x a i p x p x p I i p x x a i p a i p x p x p I i p x p a i a i x p x p x p I i p x p a i a i x p x p a i a i x p I i p x a i I ip p x a i I i p p Stąd zp a i I ip p e i, a i e ip e i p p a i e ip e i p p e ip p ai e i p a i e i p p p p p a i e i a i e i a i e i p p A B, p p B A a i I i p p e i e e i, a i p e i p i p e i e, a i p e i p i p e ip p, ai e i p a i e i p p p, a i e i, p p a i e i p p a i e i a i e i a i e i

5 gdzie A B a i e i a i e i Wektor cen równowagi jest rozwiązanie równania p p A B, p p B A czyli a postać p A Mechaniz regulacji cen to układ równań różniczkowych p B 0 p t zpt p t A p t p B t p t B p t A p t 0, 0 Bez rozwiązywania tego układu ożna zauważyć następujące własności trajektorii tego układu: ) gdy p t p B, to p t t A p A i wtedy p t B t 0, tzn. p t rośnie oraz p t 0 tzn. p t aleje, ) gdy p t p t B A, to p t rośnie, ) gdy p t p B, to wtedy p t A W przypadkach ) i ) ay A i wtedy p p t B t 0, tzn. p t aleje oraz p t 0 tzn. p t t 0, tzn. p t jest stała oraz p t 0 tzn. p t jest stała. p li t t p t B A. p Istotnie, gdyby w przypadku ) li t t C B, to p t A p t A p t p B ACB 0 dla wszystkich t i wtedy li t t p t, więc p li t t 0, sprzeczność. Analogiczny arguent a zastosowanie w przypadku ). p t 5

6 Zauważy,że p tp t Ap t Bp t p tp t Bp t Ap t a stąd dt d p t p t p tp t p tp t 0 co oznacza,że pt const. Taką własność ają zawsze rozwiązania równania p t zpt. Zilustrujy rozwiązania z przykładu dla,a,b i różnych cen początkowych p 0,p 0 p t p t p t p t p t p t 6

7 . p q p q p q p0 q

8 . p q p q p q p0 q

9 . p q p q p q p0 q W powyższy przykładzie ay dokładnie jeden proień równowagi A,B : 0, do 9

10 którego zbiega startująca w dowolny p 0 trajektoria cen regulowanych przez echaniz p t zpt p0 p 0. 0