Wykład 10 Wnioskowanie o proporcjach

Podobne dokumenty
są niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie Poissona z wartością oczekiwaną λ równą 10. Obliczyć v = var( X

Wykład 11 ( ). Przedziały ufności dla średniej

Estymacja przedziałowa - przedziały ufności

Zadanie 2 Niech,,, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o identycznym rozkładzie,.

Wykład 5 Przedziały ufności. Przedział ufności, gdy znane jest σ. Opis słowny / 2

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka Wnioskowanie statystyczne. Estymacja i estymatory. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407

1. Wnioskowanie statystyczne. Ponadto mianem statystyki określa się także funkcje zmiennych losowych o

ZAGADNIENIE ESTYMACJI. ESTYMACJA PUNKTOWA I PRZEDZIAŁOWA

PRZEDZIAŁY UFNOŚCI. Niech θ - nieznany parametr rozkładu cechy X. Niech α będzie liczbą z przedziału (0, 1).

będą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu jednostajnego na przedziale ( 0,

16 Przedziały ufności

Metoda łączona. Wykład 7 Dwie niezależne próby. Standardowy błąd dla różnicy dwóch średnich. Metoda zwykła (niełączona) n2 2

Statystyka i Opracowanie Danych. W7. Estymacja i estymatory. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407

KURS STATYSTYKA. Lekcja 3 Parametryczne testy istotności ZADANIE DOMOWE. Strona 1

Testowanie hipotez. H 1 : µ 15 lub H 1 : µ < 15 lub H 1 : µ > 15

Rozkłady statystyk z próby Twierdzenia graniczne

Lista 6. Estymacja punktowa

Podstawowe oznaczenia i wzory stosowane na wykładzie i laboratorium Część I: estymacja

X i. X = 1 n. i=1. wartość tej statystyki nazywana jest wartością średnią empiryczną i oznaczamy ją symbolem x, przy czym x = 1. (X i X) 2.

PODSTAWY BIOSTATYSTYKI ĆWICZENIA

Korelacja i regresja. Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych. Wykład 12

Estymacja przedziałowa - przedziały ufności

STATYSTYKA I ANALIZA DANYCH

L.Kowalski zadania ze statystyki matematycznej-zestaw 3 ZADANIA - ZESTAW 3

Estymacja: Punktowa (ocena, błędy szacunku) Przedziałowa (przedział ufności)

Trzeba pokazać, że dla każdego c 0 c Mc 0. ) = oraz det( ) det( ) det( ) jest macierzą idempotentną? Proszę odpowiedzieć w

Estymacja przedziałowa

Ćwiczenie nr 14. Porównanie doświadczalnego rozkładu liczby zliczeń w zadanym przedziale czasu z rozkładem Poissona

Kongruencje Wykład 4. Kongruencje kwadratowe symbole Legendre a i Jac

Charakterystyki liczbowe zmiennych losowych: wartość oczekiwana i wariancja

Statystyka opisowa. (n m n m 1 ) h (n m n m 1 ) + (n m n m+1 ) 2 +1), gdy n jest parzyste

Parametryczne Testy Istotności

Wykład 4. Plan: 1. Aproksymacja rozkładu dwumianowego rozkładem normalnym. 2. Rozkłady próbkowe. 3. Centralne twierdzenie graniczne

Wokół testu Studenta 1. Wprowadzenie Rozkłady prawdopodobieństwa występujące w testowaniu hipotez dotyczących rozkładów normalnych

ANALIZA DANYCH DYSKRETNYCH

3. Tworzenie próby, błąd przypadkowy (próbkowania) 5. Błąd standardowy średniej arytmetycznej

0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK

Wykład 9 Wnioskowanie o średnich

TESTY LOSOWOŚCI. Badanie losowości próby - test serii.

Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów. Wrocław, r

Statystyka Matematyczna Anna Janicka

(X i X) 2. n 1. X m S

npq jest funkcją gęstości zmiennej losowej X? Po wyznaczeniu k proszę znaleźć: dystrybuantę, kwartyl drugi,

Statystyka Matematyczna Anna Janicka

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka W12: Statystyczna analiza danych jakościowych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adan@agh.edu.

Moda (Mo, D) wartość cechy występującej najczęściej (najliczniej).

POLITECHNIKA OPOLSKA

Badanie efektu Halla w półprzewodniku typu n

Wykład Centralne twierdzenie graniczne. Statystyka matematyczna: Estymacja parametrów rozkładu

θx θ 1, dla 0 < x < 1, 0, poza tym,

1 Zmienne losowe. Własności dystrybuanty F (x) = P (X < x): F1. 0 F (x) 1 dla każdego x R, F2. lim F (x) = 0 oraz lim F (x) = 1,

1 Testy statystyczne. 2 Rodzaje testów

Porównanie dwu populacji

Prawdopodobieństwo i statystyka r.

STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD 1 i 2

Plan wykładu. Analiza danych Wykład 1: Statystyka opisowa. Literatura. Podstawowe pojęcia

Lista 5. Odp. 1. xf(x)dx = xdx = 1 2 E [X] = 1. Pr(X > 3/4) E [X] 3/4 = 2 3. Zadanie 3. Zmienne losowe X i (i = 1, 2, 3, 4) są niezależne o tym samym

Testowanie hipotez statystycznych.

Analiza wyników symulacji i rzeczywistego pomiaru zmian napięcia ładowanego kondensatora

Wykład 8: Testy istotności

Statystyka Matematyczna Anna Janicka

STATYSTYKA MATEMATYCZNA

Zeszyty naukowe nr 9

Estymacja parametrów populacji

µ = Test jest następujący: jeŝeli X > 0.01 to odrzucamy H. 0

STATYSTYKA OPISOWA I PROJEKTOWANIE EKSPERYMENTU dr inż Krzysztof Bryś

STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 4. Testowanie hipotez Estymacja parametrów

Prawdopodobieństwo i statystyka r.

INSTRUKCJA NR 06-2 POMIARY TEMPA METABOLIZMU METODĄ TABELARYCZNĄ

ZBIEŻNOŚĆ CIĄGU ZMIENNYCH LOSOWYCH. TWIERDZENIA GRANICZNE

Prawdopodobieństwo i statystyka r.

Metrologia: miary dokładności. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie

Laboratorium Metrologii I Nr ćwicz. Opracowanie serii wyników pomiaru 4

Wykład 12: Tablice wielodzielcze

Testowanie hipotez statystycznych.

Własności statystyczne regresji liniowej. Wykład 4

O liczbach naturalnych, których suma równa się iloczynowi

W wielu przypadkach zadanie teorii sprężystości daje się zredukować do dwóch

Prawdopodobieństwo i statystyka

Miary położenia (tendencji centralnej) to tzw. miary przeciętne charakteryzujące średni lub typowy poziom wartości cechy.

Kurs Prawdopodobieństwo Wzory

SIGMA KWADRAT LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO- DEMOGRAFICZNY

STATYSTYKA MATEMATYCZNA

METODY STATYSTYCZNE W BIOLOGII

ZSTA LMO Zadania na ćwiczenia

Estymacja punktowa i przedziałowa

Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, przy czym Y EX = 4 i EY = 6. Rozważamy zmienną losową Z =.

Statystyka matematyczna dla leśników

ZADANIA NA ĆWICZENIA 3 I 4

Wykład 5 Estymatory nieobciążone z jednostajnie minimalną war

WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 9 i 10 - Weryfikacja hipotez statystycznych

Badanie zależności zmiennych kolumnowej i wierszowej:

Statystyka. Rozkład prawdopodobieństwa Testowanie hipotez. Wykład III ( )

Próbkowanie. Wykład 4 Próbkowanie i rozkłady próbkowe. Populacja a próba. Błędy w póbkowaniu, cd, Przykład 1 (Ochotnicy)

Estymacja. Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych. Wykład 7

WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 3 - model statystyczny, podstawowe zadania statystyki matematycznej

Rozkłady zmiennych losowych

Testowanie hipotez statystycznych.

Kolokwium ze statystyki matematycznej

Transkrypt:

Wykład 0 Wioskowaie o roorcjach. Wioskowaie o ojedyczej roorcji rzedziały ufości laowaie rozmiaru róby dla daego margiesu błędu test istotości dla ojedyczej roorcji Uwaga: Będziemy aalizować roorcje odobie jak średie (owód: roorcja to średia liczba sukcesów).

Sytuacja: Niech będzie roorcją sukcesów w oulacji. Losujemy róbę rostą rozmiaru i obserwujemy X, liczbę sukcesów w róbie. Proorcja róbkowa (sukcesów) to. Użyjemy dla ocey. ˆ X /

Przyomieie: X moża uzać za zmieą losową dwumiaową B(,): ad ( ) jest ieobciążoym estymatorem, tj.. SD dla rówa się. Gdy jest duże, X i są w rzybliżeiu ormale, tz. z ( ) ( ) / ma rozkład zbliżoy do N(0,). Prowadzi to do rostych rzedziałów ufości dla... E

Oszacowaie Wilsoa dla roorcji w oulacji: Porzez odstawieie za uzyskuje się rzybliżoe rzedziały ufości dla. Oszacowaie Wilsoa jest jedak lesze. ~ Oszacowaie Wilsoa dla uzyskuje się rzez dodaie sukcesów i orażek do wyiku (róbk): ~ X 4 ad SE( ~ ) ~ ( ~ ) 4

Przedział ufości (Wilsoa) dla oulacji Przybliżoy rzedział ufości oziomu dla wyosi: ~ z * SE( ~ ) ~ z * ~ ( ~ ) 4 gdzie P(Z z*) = ( C)/ (użyj rozkładu ormalego lub Studeta, by zaleźć z*). Użyj tego rzedziału, gdy wielkość róby wyosi 5, a oziom ufości wyosi 90%, 95% lub 99%. Margi of error : m z * SE( ~ ) z * ~ ( ~ ) 4.

Przykład : Program iformacyjy rzerowadza akietę a temat rooowaego zakazu używaia broi alej. 37 osoby dzwoią do TV. 9 osób srzeciwia się zakazowi. Zbuduj 95% rzedział ufości dla odsetka osób, które srzeciwiają się zakazowi. Jakie są możliwe roblemy z tym badaiem?

Wybór rozmiaru róby Aby oszacować roorcję w obrębie określoego margiesu błędu m, wymagaa wielkość róbki to [ z * ] *( m *) * Powiiśmy wziąć ze wstęego (małego) badaia. Możemy rówież rzyjąć * = 0,5, aby uzyskać koserwatywy rozmiar róbki (iezalecae ze względów ekoomiczych -- będzie duże).

Przykład (cd.): Załóżmy, że laujemy ytać losowo wybrae osoby z książki telefoiczej, zamiast czekać a telefoy do redakcji. Chcemy aby margies błędu wyosił 0,03 = 3%. Jak duży owiie być rozmiar róby? Mamy C = 0,95, więc z * =,96; m = 0,03, stąd: >

Przykład : Akieta 000 widzów TV o 3:40 w oiedziałek 8 wrześia 998 ustaliła, że 6 widzów obejrzało "The Toight Show". Oszacuj z 95% oziomem ewości, ile telewizorów oglądało "The Toight Show", jeśli w USA było 50 milioów widzów. Sformułuj wiosek.

Rozwiązaie:

Testowaie dla ojedyczej roorcji z ( ) / ma w rzybliżeiu rozkład N(0,), gdy jest duże. Testujemy H 0 : = 0 rzeciwko jedej z ast. hiotez: H a : > 0 H a : < 0 H a : 0 Zwróć uwagę, że tutaj używamy (a ie ~ ). Test będzie dość dokłady, jeśli 0, ( ) 0 0 0

Podsumowaie: Test istotości dla jedej roorcji dla dużej róby Hioteza zerowa to H 0 : = 0 Statystyka testowa to z ( 0 0 0 ) / Hioteza alteratywa P-wartość H a : > 0 P(Z z) H a : < 0 P(Z z) H a : 0 P(Z z )

Przykład 3: Twierdzi się, że tylko 34% wszystkich studetów jedocześie racuje. Jesteśmy ieco scetyczi wobec takiego stwierdzeia i decydujemy się rzerowadzić badaie, które wykaże, że więcej studetów racuje. Badamy róbę 00 studetów i okazuje się, że 47 z ich racuje. Przerowadź z-test a oziomie istotości 0,05, aby rozstrzygąć zagadieie.

. Porówywaie dwóch roorcji Testy istotości dla różicy w roorcjach Przedziały ufości dla różicy w roorcjach Ryzyko względe

Notacja: Poulacja Proorcja w oulacji Rozmiar róby Liczba sukcesów Próbkowa roorcja X ˆ X ˆ Dae: PP o rozmiarach i (dość duże). Fakty: ( ) ( )

Porówaie dwóch roorcji: rzybliżoa ormalość Zbadamy rzy omocy. Fakt: ma w rzybliżeiu rozkład N(0,). ˆ ˆ ) ( ) ( ) ( ) ˆ ˆ ( z

Porówaie dwóch roorcji: Test istotości i są iezae, testujemy H 0 : = (=, iezae) rzeciwko jedej z alteratyw: H a : > albo H a : < albo H a :. z-statystyka ma ostać Użyjemy łączoego estymatora dla : ) ( ˆ ˆ ) ( ) ( ˆ ˆ z ˆ X X

Test istotości dla dwóch roorcji oulacji - odsumowaie: Przy hiotezie zerowej: H 0 : = astęująca statystyka ma w rzybliżeiu rozkład ormaly: z : Możliwe hiotezy alteratywe ( ) P-wartość H a : > P(Z z) H a : < P(Z z) H a : *P(Z z )

Przykład 4: W szeroko agłośioym badaiu lekarze otwierdzili wcześiejsze obserwacje dotyczące asiryy. W rojekcie badawczym wzięło udział 996 amerykańskich lekarzy w charakterze acjetów. Połowa z ich rzyjmowała tabletkę asiryy co drugi dzień, odczas gdy druga ołowa rzyjmowała lacebo. Po 3 latach 39 osób, które zażywały asiryę i 39 osób rzyjmujących lacebo, miało zawał serca. Czy te wyiki wskazują, że kwas acetylosalicylowy skuteczie zmiejsza częstość wystęowaia zawałów serca a oziomie istotości 0,05?

Przedział ufości dla różicy między dwoma roorcjami Podamy rzedział ufości dla. ~ Użyjemy wersji Wilsoa: i zamiast ˆ i ˆ : X (Zmiaa: Dodajemy sukces i orażkę do obu rób!) ~ X,

Przedział ufości - wzór: ~ ~ Błąd stadardowy dla defiiujemy jako SE( ~ ~ ) ~ ~ ( ) ~ ( ~ ). Przybliżoy, rzedział ufości a oziomie C dla wyosi gdzie P(Z z*) = ( C)/. Użyj tego rzedziału, gdy oba rozmiary róbek wyoszą co ajmiej 0, a oziom ufości wyosi 90%, 95% lub 99%. Jaki jest margies błędu? ~ ~ ) z * SE( ~ ~ ( ),

Przykład 4 (cd.): Oszacuj z 95-rocetową ewością różicę w częstości wystęowaia zawału serca (w ciągu 3 lat) wśród osób zażywających asiryę i u osób ierzyjmujących leku.

Ryzyko względe : RR RW orówuje dwie roorcje róbkowe. Orogramowaie daje rzedziały ufości dla oulacyjego RW. Przykład 4 (cd.): Oblicz RW dla rzykładu z asiryą.