Powtórk dotychczsowego mteriłu. Zdi do smodzielego rozwiązi. N ćwiczeich w środę 7.6.7 grupy 4 leży wskzć zdi, które sprwiły jwięcej problemów. 43. W kżdym z zdń 43.-43.5 podj wzór fukcję różiczkowlą f :D f R o podym wzorze pochodą orz o podej wrtości w podym pukcie. 43.. f = 4 5 54 f = D f = R 43.. f = 3+ f = D f = 3, + 43.3. f = + 4 f = D f = R 43.4. f = 3 f = 7 D 4 f = R + 43.5. f = 3 5 f = D f = R + 43. Obliczyć cłkę ieozczoą + + +. 433. W kżdym z zdń 433.-433. podj w postci uproszczoej wrtość cłki ozczoej. 433.. 433.3. 433.5. 433.7. 433.9. 4 π/3 7 6 =....................... 433.. 3 =....................... 433.4. si =.................... 433.6. 3 =....................... π/6 3 =....................... cos =.................... 8 + =................... 433.8. + =................... + =..................... 433.. 3 + =..................... List - 36 - Stroy 36-4
434. Obliczyć wrtość cłki ozczoej 435. Obliczyć wrtość cłki ozczoej 436.. lim 8 ++4. + 4 ++. 436. W kżdym z zdń 436.-436. podj w postci uproszczoej wrtość gricy ciągu. =................... 436.. lim 436.3. lim 436.4. lim 436.5. lim 436.6. lim 436.7. lim 436.8. lim 436.9. lim + + + + +3 +...+ +k +...+ 6 + + +4 + +6 +...+ +k +...+ 9 +4 + +8 + + +...+ +4k +...+ 8 + ++ + + ++ +...+ + ++ + + ++ +...+ 3 + + 3 +4 +...+ k 3 +k 436.. lim + + 3 + + 3 + + +4 +...+ 3 +4 +...+ 3 +4 +...+ 3 ++ + =....................... k 7 +...+ +k 5 k +k 3 +...+ +k +...+ 3 +k +...+ 4 3 +k +...+ 3 ++ +...+ =.................... =............. 5 +...+ =.......... 7 =...................... =........................... =....................... =...................... 3 +k +...+ =......... 3+ 437. Obliczyć wrtość cłki iewłściwej lub wykzć, że cłk t jest 3 4 6 rozbież. 438. Rozstrzygąć zbieżość szeregu! 8 3. = 439. Wskzując odpowiedią liczbę wymierą dodtią C udowodić ierówości C π 44 +4+ 4 + 3 +3 C π. = Wolo skorzystć bez dowodu z rówości = = π 6. List - 37 - Stroy 36-4
44. Obliczyć wrtość cłki iewłściwej lub wykzć, że cłk t jest + 3 rozbież. 44. W kżdym z zdń 44.-44.5 podj w postci przedziłu zbiór wszystkich wrtości rzeczywistych prmetru p, dl których pody szereg liczbowy jest zbieży. Przedził może być ieogriczoy tz. mieć koiec ±. W zdich 44.-44.5 ujwioo, że przedził jest obustroie domkięty. 44.. 44.. 44.3. 44.4. 44.5. 44.6. 44.7. 44.8. 44.9. 44.. 44.. 44.. 44.3. 44.4. 44.5. = = = = = = = = = p jest zbieży p................................................ p jest zbieży p................................................ p jest zbieży p................................................ p jest zbieży p............................................... p 3 jest zbieży p........................................... p jest zbieży p......................................... p + p + p + = = = = = = jest zbieży p.......................................... jest zbieży p.......................................... jest zbieży p........................................... p + 3p jest zbieży p........................................ p jest zbieży p [..................,.................. ] 3 p 3 jest zbieży p [..................,.................. ]! p +4 jest zbieży p [...................,................... ]! p +5 jest zbieży p [.................,................. ] 3! p +6 jest zbieży p [.................,................. ] List - 38 - Stroy 36-4
4 44. Obliczyć wrtość cłki ozczoej + 3 4 5 3. 443. Wyzczyć promień zbieżości szeregu potęgowego! 4! p =! p dl tk dobrej wrtości cłkowitej dodtiej prmetru p, by promień te był dodti i skończoy. 444. W kżdym z zdń 444.-444.4 podj cztery odpowiedzi. 444.. Dl podych liczb, b podj w postci liczby cłkowitej lub ułmk ieskrclego tką liczbę wymierą w, że + = lw. =, b = 6, w =............................................................ b =, b = 6, w =........................................................... c =, b = 5, w =........................................................... d = 6, b = 5, w =........................................................... 444.. Dl podej liczby podj w postci liczby cłkowitej lub ułmk ieskrclego tką liczbę wymierą b większą od, że ++ = 6. =, b =................................................................... b =, b =................................................................... c = 3, b =................................................................... d = 4, b =................................................................... 444.3. Dl podych gric cłkowi, b podj w postci liczby cłkowitej lub ułmk ieskrclego tką liczbę wymierą w, że ++ = w π. =, b =, w =....................................................... b =, b =, w =......................................................... c =, b = +, w =....................................................... d =, b = +, w =......................................................... 444.4. Dl podych liczb, b podj w postci liczby cłkowitej lub ułmk ieskrclego tką liczbę wymierą w, że + = lw. =, b = 4, w =............................................................ b =, b = 7, w =............................................................ c =, b = 8, w =............................................................ d = 4, b = 8, w =............................................................ 445. Wyzczyć promień zbieżości szeregu potęgowego 3!!. = List - 39 - Stroy 36-4
446. W kżdym z zdń 446.-446.5 podj ormę supremum fukcji f o podym wzorze i dziedziie. Przypomieie: f = sup{ f : D f }. 446.. f = 7si, D f = R, f =............................................ 446.. f = 7si 3, D f = R, f =......................................... 446.3. f = 7si 3, D f = R, f =........................................ 446.4. f = 7si 3 3, D f = R, f =........................................ 446.5. f = log, D f = 8, 8, f =..................................... 446.6. f = log, D f =, 3, f =..................................... 446.7. f = log 6, D f = 8, 4, f =................................... 446.8. f = log 3 6, D f = 8, 4, f =................................... 446.9. f = log 4 6, D f = 8, 4, f =................................... 446.. f = +3, D f =, +, f =.............................. 446.. f = +8, D f =, +, f =.............................. 446.. f = 3 3 +7, D f =, +, f =............................. 446.3. f = 3 3 +6, D f =, +, f =........................... 446.4. f = 4 4 +5 3, D f =, +, f =........................... 446.5. f = 4 4 +8 3, D f =, +, f =........................... 447. Obliczyć wrtość cłki iewłściwej rozbież. 448. Udowodić zbieżość szeregu = 449. Obliczyć wrtość cłki ozczoej 5 +3 lub wykzć, że cłk t jest 3 9 + 3 3+ 3+5. 3 5 + podjąc wyik w postci liczby cłkowitej. 45. Obliczyć cłkę ieozczoą 3. 45. Wyzczyć tką liczbę turlą, że krzyw o rówiu y = dzieli zbiór {,y : [,] 5 y } dw obszry o rówych polch. 45. Wyzczyć promień zbieżości szeregu potęgowego!.! = List - 4 - Stroy 36-4
453. Udowodić zbieżość szeregu = 454. Wyzczyć promień zbieżości szeregu potęgowego 4!.! = 455. Obliczyć wrtość cłki ozczoej gdzie w jest liczbą wymierą. 456. Obliczyć wrtość cłki ozczoej cłkowitej.. Pmiętć o uproszczeiu wy- + iku. 457. Obliczyć wrtość cłki ozczoej 458. Obliczyć wrtość cłki ozczoej + + 3+ 3+4 3+7 3+. 6 7 π 459. Obliczyć wrtość cłki iewłściwej lub wykzć, że cłk t jest rozbież.. Pmiętć o uproszczeiu wy- + iku. 46. Obliczyć wrtość cłki ozczoej 46. Obliczyć cłkę ieozczoą. Zpisć wyik w postci lw, 3 +3 + 4 podjąc wyik w postci liczby 3 + cos. Pmiętć o uproszczeiu wyiku. + e si3. 46. Udowodić zbieżość cłki iewłściwej π 5 + 4. 463. Wyzczyć promień zbieżości szeregu potęgowego = 464. Obliczyć wrtość gricy ciągu lim!. 3 + + 4 3 +8 + 9 3 +7 +...+ 465. Udowodić zbieżość szeregu 466. Udowodić zbieżość szeregu = = si 7 6 /3 + 3/. k 3 +k 3 +...+ 7 6 7+ 5 4 5+ 5+6. 4. 3 +8 3 List - 4 - Stroy 36-4