Matematya dysreta Kombiatorya Adrzej Szepietowsi 1 Ci agi Zastaówmy siȩ, ile ci agów d lugości moża utworzyć z elemetów zbioru zawieraj acego symboli. Jeżeli zbiór symboli zawiera dwa elemety: to moża utworzyć dwa ci agi d lugości jede: cztery ci agi d lugości dwa: a, b, (a), (b), (a, a), (a, b), (b, a), (b, b). Aby uzysać ci agi d lugości trzy, postȩpujemy w astȩpuj acy sposób: bierzemy cztery ci agi d lugości dwa i ajpierw do ażdego z ich dopisujemy a pocz atu a. Otrzymujemy w te sposób omplet: (a, a, a), (a, a, b), (a, b, a), (a, b, b). Zauważmy, że s a to wszystie ci agi d lugości trzy z pierwsz a liter a a. Potem do tych samych czterech ci agów d lugości dwa dopisujemy a pocz atu symbol b i otrzymujemy omplet: (b, a, a), (b, a, b), (b, b, a), (b, b, b). Komplety te s a roz l acze i oba zawieraj a róże ci agi. d lugości trzy: Razem tworz a zbiór wszystich ci agów (a, a, a), (a, a, b), (a, b, a), (a, b, b), (b, a, a), (b, a, b), (b, b, a), (b, b, b). Postȩpuj ac podobie, możemy otrzymać szesaście ci agów d lugości cztery. Twierdzeie 1 Liczba ci agów d lugości o elemetach ze zbioru {a, b} wyosi 2. Dowód przez iducjȩ. Ja już poazao, s a dwa ci agi d lugości jede. Za lóżmy teraz, że liczba ci agów d lugości wyosi 2 i zauważmy, że wszystich ci agów d lugości + 1 jest dwa razy wiȩcej. Jest 2 ci agów z pierwszym elemetem a i 2 ci agów z pierwszym elemetem b. Razem mamy 2 2 = 2 +1 ci agów d lugości + 1. Jeżeli zbiór symboli zawiera elemetów, to powtarzaj ac powyższe rozumowaie, możemy siȩ przeoać, że istieje ci agów d lugości jede, 2 ci agów d lugości dwa i ogólie ci agów d lugości + 1 jest razy wiȩcej iż ci agów d lugości. Zachodzi zatem twierdzeie. Twierdzeie 2 Liczba ci agów d lugości o elemetach ze zbioru -elemetowego wyosi. 1
2 Fucje Policzmy teraz, ile jest fucji ze zbioru A w zbiór B. Przypuśćmy, że zbiór A zawiera elemetów: 1,...,. Każd a fucjȩ f z A w B moża przedstawić jao ci ag (f(1), f(2),..., f()). Ci ag te jest d lugości, a jego elemety s a wziȩte ze zbioru B. odpowiada jede ci ag, i a odwrót, ażdy ci ag Zauważmy, że ażdej fucji (b 1, b 2,..., b ) opisuje jed a fucjȩ. Miaowicie fucjȩ, tóra dla ażdego i przypisuje wartość f(i) = b i. Na przy lad, jeżeli A s lada siȩ z czterech elemetów: a B s lada siȩ z trzech elemetów: to ci ag A = {1, 2, 3, 4}, B = {1, 2, 3}, (2, 2, 2, 2) opisuje fucjȩ sta l a (tóra w ca lej swojej dziedziie przyjmuje wartość 2), a ci ag (1, 2, 3, 3) opisuje fucjȩ f, tóra przyjmuje astȩpuj ace wartości: f(1) = 1, f(2) = 2, f(3) = 3, f(4) = 3. Z powyższego wyia, że fucji ze zbioru A w zbiór B jest tyle samo co ci agów d lugości = A z elemetami ze zbioru B. Udowodiliśmy wiȩc poiższe twierdzeie. Twierdzeie 3 Jeżeli zbiór A zawiera elemetów, a zbiór B zawiera elemetów, to liczba fucji ze zbioru A w zbiór B wyosi. 3 Ci agi bez powtórzeń Policzmy teraz, ile jest ci agów bez powtórzeń, czyli ci agów różowartościowych. Jeżeli elemety bierzemy ze zbioru trzyelemetowego {1, 2, 3}, to możemy utworzyć trzy ci agi jedoelemetowe: (1), (2), (3), 2
sześć różowartościowych ci agów dwuelemetowych: oraz sześć ci agów trójelemetowych: (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 3), (3, 1), (3, 2) (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1). Nie ma, oczywiście, d luższych ci agów różowartościowych utworzoych z elemetów zbioru {1, 2, 3}. Twierdzeie 4 Jeżeli elemety wybieramy ze zbioru -elemetowego A, to liczba ci agów -elemetowych bez powtórzeń, tóre moża wybrać z tego zbioru, wyosi: ( 1) ( + 1). W tym wyrażeiu mamy iloczy olejych liczb, poczyaj ac od ( + 1), a ończ ac a. Dowód. Jeżeli budujemy ci ag bez powtórzeń, to a pierwszy elemet ci agu możemy wybrać ażdy z elemetów zbioru A, a drug a pozycjȩ w ci agu możemy wybrać już tylo jede z 1 elemetów (wszystie poza tym, tóry zosta l wybray a pierwszy elemet ci agu) i ta dalej, a ażd a olej a pozycjȩ mamy o jede elemet do wyboru miej. Zauważmy, że jeżeli >, to: ( 1)... ( + 1) = 0, co jest zgode z tym, że w taim przypadu ie moża utworzyć żadego -elemetowego ci agu bez powtórzeń z elemetami ze zbioru A. 4 Permutacje Permutacje to ci agi bez powtórzeń d lugości, wybierae ze zbioru -elemetowego. Na przy lad, mamy dwie permutacje dwuelemetowe: oraz sześć permutacji trzyelemetowych: (1, 2), (2, 1), (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1). Zgodie z twierdzeiem 4 liczba permutacji w zbiorze -elemetowym wyosi: ( 1)( 2)... 1, czyli jest rówa!. Fucja silia! oreśloa jest a zbiorze liczb aturalych w astȩpuj acy sposób: 0! = 1, 3
Z oreśleia tego otrzymujemy: ( + 1)! = ( + 1)! 1! = 1, 2! = 2 1 = 2, 3! = 3 2 = 6, 4! = 4 6 = 24. Wartości fucji silia szybo ros a, a przy lad: 5! = 120, 10! = 3 628 800, 20! 2433 10 15. Dla przybliżoego obliczaia sili orzysta siȩ ze wzoru Stirliga: Dla ażdego zachodz a rówież astȩpuj ace oszacowaia: 2π! 2π e! e 2π. (1) ( e ) e 12. (2) Dowody wzoru Stirliga oraz powyższych oszacowań wychodz a poza zares tego podrȩczia. Czasami używa siȩ iej defiicji permutacji. Miaowicie permutacja -elemetowa to dowola fucja różowartościowa ze zbioru {1, 2,..., } a te sam zbiór. Na ozaczeie permutacji π używa siȩ zapisu: 1 2.... π(1) π(2)... π() Na przy lad, permutacja: π = ( 1 2 3 4 2 1 4 3 jest fucj a, tóra przyjmuje astȩpuj ace wartości: π(1) = 2, π(2) = 1, π(3) = 4, π(4) = 3. Dwie permutacje -elemetowe moża s ladać ta, ja s lada siȩ fucje. Z lożeie π 1 π 2 permutacji π 1 i π 2 oreśloe jest wzorem: Na przy lad: ( 1 2 3 4 2 1 4 3 Zbiór wszystich permutacji a zbiorze ) π 1 π 2 (x) = π 1 (π 2 (x)). ) 1 2 3 4 = 3 2 1 4 z dzia laiem z lożeia ma astȩpuj ace w lasości: {1,..., } ( 1 2 3 4 4 1 2 3 Z lożeie permutacji jest l acze. To zaczy, dla ażdych trzech permutacji π, ρ, σ: π (ρ σ) = (π ρ) σ. ). 4
Wśród permutacji istieje idetyczość id, czyli permutacja, tóra ażdemu x z dziedziy przypisuje wartość id(x) = x. Idetyczość jest elemetem eutralym s ladaia permutacji, poieważ dla ażdej permutacji π: id π = π id = π. Dla ażdej permutacji π istieje permutacja odwrota (fucja odwrota) π 1, spe liaj aca warue: π π 1 = π 1 π = id. Powyższe zależości ozaczaj a, że zbiór wszystich permutacji a zbiorze {1,..., } z dzia laiem s ladaia permutacji staowi grupȩ. 5 Podzbiory Policzmy teraz, ile podzbiorów ma sończoy zbiór -elemetowy. Jeżeli zbiór s lada siȩ z trzech elemetów: {a, b, c}, to możemy latwo wypisać wszystie jego podzbiory:, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}. Tych podzbiorów jest osiem. Każdy zbiór trzyelemetowy posiada osiem podzbiorów, poieważ ie ma zaczeia, ja azywaj a siȩ elemety zbioru. Zbiór pusty ma tylo jede podzbiór: zbiór pusty. Jeżeli zbiór zawiera jede elemet {a}, to ma dwa podzbiory:, {a}, a jeżeli zbiór zawiera dwa elemety {a, b}, to ma cztery podzbiory: Rozważmy teraz ogólie podzbiory zbioru Z ażdym podzbiorem, {a}, {b}, {a, b}. {1, 2, 3,..., }. A {1, 2, 3,..., } jest zwi azaa jego fucja charaterystycza, oreśloa astȩpuj acym wzorem: { 1, gdy i A, χ A (i) = 0, gdy i / A. Dziedzi a fucji χ A jest zbiór {1,..., }, a przeciwdziedzi a zbiór {0, 1}. Zauważmy, że ażdemu podzbiorowi odpowiada jeda fucja charaterystycza, i a odwrót, jeżeli weźmiemy dowol a fucjȩ: χ : {1,..., } {0, 1}, 5
to wyzacza oa zbiór: A = {i χ(i) = 1}. Na przy lad, dla = 5 fucja charaterystycza χ A zbioru A = {2, 3, 5} jest opisaa przez astȩpuj acy ci ag: a ci ag: opisuje fucjȩ charaterystycz a zbioru: (0, 1, 1, 0, 1), (1, 0, 1, 1, 0) {1, 3, 4}. Z powyższych rozważań wyia, że liczba podzbiorów zbioru -elemetowego jest rówa liczbie fucji ze zbioru {1,..., } w zbiór {0, 1}. Czyli a podstawie twierdzeia 3 mamy twierdzeie poiższe. Twierdzeie 5 Każdy zbiór -elemetowy ma 2 podzbiorów. 6 Podzbiory -elemetowe Zastaówmy siȩ teraz ad podzbiorami oreśloej mocy. zawiera elemetów. Dla zbioru czteroelemetowego Mówimy, że zbiór jest mocy, jeżeli {1, 2, 3, 4}, mamy jede podzbiór pusty (zeroelemetowy), cztery podzbiory jedoelemetowe: sześć podzbiorów dwuelemetowych: cztery podzbiory trzyelemetowe: i jede podzbiór czteroelemetowy: {1}, {2}, {3}, {4}, {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}, {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 3, 4}, {2, 3, 4}, {1, 2, 3, 4}. Liczbȩ podzbiorów -elemetowych zbioru -elemetowego ozacza siȩ przez. 6
Jest to ta zway symbol Newtoa. Iaczej, ( ) jest rówe liczbie sposobów a jaie moża wybrać elemetów ze zbioru elemetowego. W laśie poazaliśmy, że: 4 4 4 4 4 = 1, = 4, = 6, = 4, = 1. 0 1 2 3 4 Z defiicji wyia, że jeżeli >, to ( ) = 0. Zachodz a dwa wzory: =, + 1 = +. (3) 1 Pierwszy wzór bierze siȩ z prostej obserwacji, że wybraie elemetów, tóre ależ a do podzbioru A, jest rówoważe wybraiu elemetów, tóre do A ie ależ a. Aby uzasadić rówość 3, rozważmy -elemetowe podzbiory zbioru {1,...,, + 1}. Policzmy osobo te podzbiory, tóre zawieraj a elemet + 1, i osobo te, tóre go ie zawieraj a. Podzbiorów ie zawieraj acych + 1 jest ( ), bo wszystie elemetów trzeba wybrać ze zbioru {1,..., }. Podzbiorów zawieraj acych + 1 jest ( 1), bo 1 elemetów trzeba wybrać ze zbioru {1,..., }. Razem wszystich -elemetowych podzbiorów zbioru {1,...,, + 1} jest ( ) ( + 1). Korzystaj ac z rówości 3, możemy obliczać symbole Newtoa reurecyjie. Najpierw mamy ( 0 ) 0 = 1, poieważ jest jede zeroelemetowy (pusty) podzbiór zbioru zeroelemetowego (pustego). Jeżeli mamy już policzoe symbole Newtoa dla, to możemy liczyć, ile jest podzbiorów zbioru (+1)-elemetowego. Zaczyamy od ( +1) ( +1 = 1 oraz +1 ) 0 = 1, a astȩpie orzystamy z rówaia 3. Metodȩ tȩ ilustruje ta zway trój at Pascala: 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 W -tym wierszu (wiersze umerowae s a od = 0) zajduj a siȩ symbole Newtoa:.... 0 1 2 Na sraju zajduj a siȩ jedyi, poieważ ( ( 0) = ) = 1. -ty elemet w -tym wierszu dla 1 1 jest sum a dwóch elemetów stoj acych bezpośredio ad im: 1 1 = +. 1 7
Jeżeli 0, to symbol Newtoa moża też obliczyć ze wzoru: ( 1) ( + 1) =! (4) lub =!!( )! Oto uzasadieie wzoru 4: Aby wybrać podzbiór -elemetowy ze zbioru {1,..., }, wybieramy - elemetowy ci ag bez powtórzeń i bierzemy do podzbioru elemety tego ci agu igoruj ac ich olejość. Poieważ ażdemu -elemetowemu podzbiorowi odpowiada! ci agów o tych samych elemetach, wiȩc podozbiorów jest! razy miej iż -elemetowych ci agów bez powtórzeń. Wzór 4 wyia teraz z twierdzeia 4, a wzór 5 bezpośredio ze wzoru 4. Wzór 4 pozwala wyprowadzić oszacowaia a wartość symbolu Newtoa, dla 1 : ( 1) ( + 1) 1 + 1 = =. ( 1) 1 1 1 Poieważ, ja latwo sprawdzić i i dla ażdego 1 i 1. Korzystaj ac z ierówości! ( e ) wyprowadzoej ze wzoru Stirliga (2), otrzymujemy góre ograiczeie: 7 Dwumia Newtoa ( 1) ( + 1) =!! Symbole Newtoa wystȩpuj a w zaym twierdzeiu Newtoa. e. Twierdzeie 6 (dwumia Newtoa) Dla ażdej liczby rzeczywistej t oraz liczby ca lowitej 0 zachodzi: (1 + t) = t. Pierwszy dowód. (1 + t) jest wielomiaem stopia. Policzmy wspó lczyi tego wielomiau stoj acy przy t. Rozważmy iloczy: =0 (1 + t)(1 + t)... (1 + t). }{{} razy Przy rozwijaiu tego wyrażeia wybieramy z ażdego czyia 1 lub t, potem wymażamy wybrae elemety i sumujemy ta utworzoe iloczyy. W iloczyie otrzymamy t wtedy, gdy t wybierzemy razy oraz 1 wybierzemy razy. Moża to zrobić a ( ) sposobów, ta wiȩc wspó lczyi przy t wyosi ( ). (5) 8
Drugi dowód przez iducjȩ. Wzór jest oczywisty dla = 0. Za lóżmy teraz, że jest prawdziwy dla. Mamy: ( (1 + t) +1 = (1 + t) (1 + t) = )t (1 + t). Wspó lczyi przy t po prawej stroie wyosi: + 1 =0. Pierwszy s ladi pochodzi od iloczyu: t 1 t, 1 a drugi od iloczyu: Ze wzoru 3 mamy teraz: t 1. + = 1 + 1. Jeżeli do wzoru Newtoa podstawimy t = a b, a potem pomożymy obie stroy przez a, to otrzymamy i a za a wersjȩ wzoru Newtoa. Wiose 7 Dla dowolych liczb rzeczywistych a i b i dowolej liczby ca lowitej 0: (a + b) = a b. Jeżeli podstawimy t = 1 do wzoru z twierdzeia 6, to otrzymamy: 2 =, =0 =0 co potwierdza jeszcze raz, że wszystich podzbiorów zbioru -elemetowego jest 2. Zobaczymy teraz, że wśród wszystich podzbiorów zbioru {1,..., } jest tyle samo podzbiorów mocy parzystej (o parzystej liczbie elemetów) i podzbiorów mocy ieparzystej (o ieparzystej liczbie elemetów). Twierdzeie 8 Dla ażdego zbioru zawieraj acego elemetów, liczba podzbiorów parzystej mocy jest rówa liczbie podzbiorów ieparzystej mocy. 9
Pierwszy dowód. Jeżeli podstawimy t = 1 do wzoru Newtoa, to otrzymamy: 0 = ( 1). =0 Zauważmy, że w sumie po prawej stroie z plusem wystȩpuj a symbole Newtoa ( ) dla parzystych, a z miusem dla ieparzystych. Ta wiȩc z plusem mamy liczbȩ podzbiorów parzystej mocy, a z miusem liczbȩ podzbiorów ieparzystej mocy. Z powyższego wzoru wyia, że podzbiorów parzystej mocy jest tyle samo co podzbiorów mocy ieparzystej. Drugi dowód. Rozważmy fucjȩ f, tóra ażdemu podzbiorowi przyporz aduje podzbiór A {1, 2,..., } f(a) = A {} = (A {}) ({} A), czyli różicȩ symetrycz a zbioru A i zbioru jedoelemetowego {}. Zauważmy, że fucja f l aczy podzbiory w pary, poieważ jeżeli f(a) = B, to f(b) = A. Rzeczywiście, jeżeli A zawiera, to B = A {} i B {} = A. Jeżeli atomiast A ie zawiera, to B = A {} i rówież B {} = A. Pozostaje zauważyć, że z pary zbiorów A i f(a) jede jest mocy parzystej i jede ieparzystej. 8 Zasada sumy W ajprostszej postaci zasada sumy, mówi że moc sumy dwóch zbiorów A i B jest rówa A B = A + B A B. Wyobraźmy sobie, że obliczaj ac praw a stroȩ tej rówości liczymy po olei elemety zbioru A i dla ażdego elemetu dodajemy +1 do ogólej sumy, astȩpie liczymy elemety zbiorów B i dla ażdego dodajemy +1, a a ońcu liczymy elemety przeroju A B i dla ażdego dodajemy 1. Zastaówmy siȩ teraz jai jest udzia l poszczególych elemetów w ta powsta lej sumie. Jeżeli jaiś elemet wystȩpuje tylo w A lub tylo w B, to jego udzia l wyosi 1. Ale taże, jeżeli ależy do obu zbiorów A i B to jego udzia l wyosi 1 = 1 + 1 1. Dlatego a ońcu wyi bȩdzie rówy liczbie elemetów, tóre ależ a do jedego lub drugiego zbioru. 10
Przy lad Policzmy ile spośród liczb od 1 do 30 jest podzielych przez 2 lub 3. Niech A 2 ozacza zbiór liczb z tego przedzia lu podzielych przez 2, a A 3 zbiór liczb podzielych przez 3. Liczby podziele przez 2 lub 3 tworz a zbiór A 2 A 3. Mamy A 2 = 15, A 3 = 10 oraz A 2 A 3 = 5. A 2 A 3 zawiera liczby podziele przez 2 i 3, czyli podziele przez 6. Ze wzoru a sumȩ otrzymujemy: A 2 A 3 = 15 + 10 5 = 20. Podobie możemy uzasadić wzór a sumȩ trzech zbiorów: A B C = A + B + C A B A C B C + A B C. Jeżeli zastosujemy podobe liczeie, to udzia l elemetów, tóre ależ a tylo do jedego zbioru, wyosi 1, tych, tóre ależ a do dwóch (ale ie do trzech araz), wyosi 1 + 1 1 = 1, a tych, tóre ależ a do wszystich trzech zbiorów, 1 + 1 + 1 1 1 1 + 1 = 1. Przy lad Policzmy ile spośród liczb od 1 do 30 jest podzielych przez 2, 3, lub 5. Niech A 2 ozacza zbiór liczb podzielych przez 2, A 3 zbiór liczb podzielych przez 3, a A 5 podzielych przez 5. Mamy A 2 = 15, A 3 = 10, A 5 = 6, A 2 A 3 = 5, A 2 A 5 = 3, A 3 A 5 = 2, A 2 A 3 A 5 = 1. Ze wzoru a sumȩ otrzymujemy: A 2 A 3 A 5 = 15 + 10 + 6 5 3 2 + 1 = 22. Ja z tego widać, tylo osiem liczb miejszych od 30 ie jest podzielych przez 2, 3 lub 5; s a to: 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. W astȩpym rozdziale poażemy ja moża obliczyć sumy dowolej sończoej lasy zbiorów. 9 Zasada w l aczaia i wy l aczaia Zaczijmy od przy ladu. W grupie 100 studetów 45 uprawia oszyówȩ, 53 p lywaie, a 28 jedo i drugie. Pytaie: ilu studetów ie uprawia ai oszyówi, ai p lywaia? Zadaie to moża rozwi azać,,a palcach. 17 = 45 28 studetów uprawia tylo oszyówȩ, a 25 = 53 28 studetów uprawia tylo p lywaie. Zatem 70 = 17 + 25 + 28 studetów uprawia jede z dwóch sportów, a 30 = 100 70 ie uprawia ai oszyówi, ai p lywaia. Na rysuu 1.1 zilustrowao te przy lad. Jest to ta zway diagram Vea. Przypuśćmy teraz, że s a taże studeci graj acy w szachy. Graj acych w szachy jest 55. Taich, tórzy graj a w oszyówȩ i szachy, jest 32, taich, tórzy graj a w szachy i p lywaj a, jest 35, a taich, tórzy uprawiaj a wszystie trzy sporty, jest 20. To zadaie też moża rozwi azać za pomoc a diagramu Vea (rysue 1.2). Na przy lad, 8 studetów uprawia oszyówȩ i p lywaie, ale ie gra w szachy, a 22 studetów ie uprawia żadego sportu. Zasada w l aczaia i wy l aczaia pozwala rozwi azywać tego typu zadaia bez diagramów Vea. 11
Figure 1: Diagram Vea pywaie 25 28 17 30 oszywa Niech X bȩdzie aszym uiwersum, A 1,..., A jego podzbiorami. Dla ażdego podzbioru I zbioru idesów I {1,..., } defiiujemy zbiór: A I = i I A i, przyjmujemy przy tym A = X. W aszym przy ladzie X to zbiór wszystich studetów, A 1 to uprawiaj acy oszyówȩ, A 2 p lywaie, a A 3 szachy: A {1,2} = A 1 A 2 A {1,3} = A 1 A 3 A {2,3} = A 2 A 3 to uprawiaj acy oszyówȩ i p lywaie, to uprawiaj acy oszyówȩ i szachy, to uprawiaj acy p lywaie i szachy, A {1,2,3} = A 1 A 2 A 3 to uprawiaj acy wszystie trzy sporty. 12
Figure 2: Diagram Vea pywaie 22 10 15 8 20 5 12 8 szachy oszywa Twierdzeie 9 (zasada w l aczaia i wy l aczaia) Liczba elemetów uiwersum X, tóre ie ależ a do żadego podzbioru A i, wyosi: ( 1) I A I. (6) I {1,...,} Sumujemy tutaj po wszystich podzbiorach I zbioru {1,..., }. Dowód. Podobie ja w poprzedim rozdziale, żeby obliczyć sumȩ 6, liczymy elemety poszczególych zbiorów A I, i dla ażdego elemetu dodajemy ( 1) I do sumy (+1, gdy I jest parzyste, lub 1, gdy I jest ieparzyste). Każdy elemet x X może być liczoy ila razy. Udzia l pojedyczego elemetu x jest rówy sumie wspó lczyiów ( 1) I dla tych podzbiorów I {1,..., }, dla tórych x A I. Jeżeli x ie ależy do żadego z podzbiorów A i, to x jest liczoy tylo raz, w zbiorze A, i jego udzia l w sumie 6 wyosi 1. Przypuśćmy teraz, że x ależy do jaiś podzbiorów i iech J = {i {1,..., } : x A i }, czyli J to idesy tych podzbiorów, tóre zawieraj a x. Zauważmy teraz, że x A I wtedy i tylo wtedy, gdy I J. Rzeczywiście x A I = i I A i wtedy i tylo wtedy, gdy x A i, dla ażdego 13
i I, czyli gdy I J. Ta wiȩc udzia l elemetu x w sumie 6 wyosi: ( 1) J. I J Jest to suma po podzbiorach zbioru J. Uporz adujmy teraz s ladii tej sumy wed lug mocy podzbiorów I. Mamy ( j i) podzbiorów mocy i, gdzie j = J, wiȩc: j j ( 1) J = ( 1) i = (1 1) j = 0. i I J i=0 Przedostatia rówość wyia ze wzoru Newtoa. Ta wiȩc w lady elemetów, tóre ie ależ a do żadego A i, wyosz a po 1, a w lady tych elemetów, tóre ależ a do jaiegoś A i, wyosz a po 0. A zatem suma 6 zlicza elemety ie ależ ace do żadego A i. Stosuj ac zasadȩ w l aczaia i wy l aczaia do przy ladu ze studetami możemy teraz policzyć studetów, tórzy ie uprawiaj a żadego sportu: A A 1 A 2 A 3 + A {1,2} + A {1,3} + A {2,3} A {1,2,3} = X A 1 A 2 A 3 + A 1 A 2 + A 1 A 3 + A 2 A 3 A 1 A 2 A 3 = 100 45 53 55 + 28 + 32 + 35 20=22. Aby policzyć moc sumy zbiorów A i i=1 możemy wyorzystać wzór 6, przy za lożeiu, że Mamy wtedy Twierdzeie 10 10 Przestawieia A i = i=1 X = A i. i=1 I {1,...,} I ( 1) I A I. Przestawieiem bȩdziemy azywać permutacjȩ bez putu sta lego, czyli ta a permutacjȩ, w tórej żade elemet ie stoi a swoim miejscu. Wyorzystamy teraz zasadȩ w l aczaia i wy l aczaia, do policzeia liczby przestawień w zbiorze -elemetowym. Twierdzeie 11 Liczba przestawień (permutacji bez putów sta lych) w zbiorze -elemetowym wyosi: ( 1) i!. i! i=0 14
Dowód. Niech X bȩdzie zbiorem wszystich permutacji a zbiorze {1,..., }, a A i zbiorem permutacji, w tórych i jest putem sta lym, to zaczy π(i) = i. Moc zbioru A i wyosi: A i = ( 1)!, poieważ w zbiorze A i s a te permutacje, tóre permutuj a wszystie 1 elemetów oprócz i-tego. Podobie moc zbioru A I wyosi: A I = A i = ( I )!, i I bo teraz w A I permutujemy i elemetów oprócz tych, tóre ależ a do I. Permutacje bez putów sta lych to te permutacje, tóre ie ależ a do żadego ze zbiorów A i. Z zasady w l aczaia i wy l aczaia ich liczba wyosi: ( 1) I ( I )!. I {1,...,} Pogrupujmy teraz s ladii wed lug mocy zbiorów I. Mamy ( i) podzbiorów mocy i. Dla ażdego z ich s ladi sumy wyosi ( 1) i ( i)!, ta wiȩc liczba przestawień wyosi: ( 1) i ( i)!. i i=0 Twierdzeie wyia teraz z rówości: ( i)! =! i i!. 11 Zadaia 1. Ile umerów rejestracyjych samochodów moża utworzyć, jeżeli ażdy umer s lada siȩ z trzech liter i czterech cyfr? Ile umerów rejestracyjych moża utworzyć, jeżeli bȩdziemy dodatowo wymagać, aby ażdy umer zaczya l siȩ od spó lg losi? 2. W grupie jest piȩć dziewcz at i piȩciu ch lopców. Na ile sposobów moża wybrać podgrupȩ s ladaj ac a siȩ z dwóch dziewcz at i dwóch ch lopców? Na ile sposobów moża utworzyć w tej grupie piȩć par, z jedym ch lopcem i jed a dziewczy a w ażdej parze? 3. Zaa jest zabawa dla dzieci s ladaj aca siȩ z dwuastu sześcieych loców z alejoymi a ściaach fragmetami obrazów. Na ile sposobów moża u lożyć te loci w prosto at (trzy rzȩdy po cztery loci w rzȩdzie)? 15
4. Ile s lów moża utworzyć z liter s lowa ULICA (litery ie mog a siȩ powtarzać)? Ile s lów moża utworzyć z liter s lowa MATMA (litery M i A mog a wyst apić po dwa razy)? 5. Udowodij wzór: 1 =. 1 Wsazówa. Policz a dwa róże sposoby, ile -elemetowych druży z apitaem moża utworzyć ze zbioru sportowców. 6. Udowodij wzór: =1 2 = 2. Wsazówa. Policz a dwa róże sposoby, ile -elemetowych grup moża utworzyć w lasie z lożoej z ch lopców i dziewcz at. 7. Udowodij, że ( ) jest ajwiȩsze dla = 2 i = 2. 8. Udowodij, że: 2 9. Rozwiń wielomia (1 + t) 8. 22 + 1. 10. Przedstaw wzór a sumȩ czterech zbiorów A, B, C i D. 11. Wyzacz liczbȩ elemetów A B C oraz C, wiedz ac, że A = 10, B = 9, A B = 3, A C = 1, B C = 1 oraz A B C = 18. 12. Oblicz ile liczb miejszych od 100 jest podzielych przez 2, 3 lub 5. 13. Oblicz ile liczb miejszych od 100 ie jest podzielych przez 2, 3, 5 lub 7. Udowodij, że wszystie te liczby oprócz 1 s a pierwsze. Ile jest liczb pierwszych miejszych od 100? 14. -elemetowe ombiacje z powtórzeiami ze zbioru -elemetowego s a to -elemetowe wybory elemetów zbioru -elemetowego, w tórych elemety mog a siȩ powtarzać i w tórych ie jest istota olejość wybieraych elemetów. Na przy lad, mamy cztery trzyelemetowe ombiacje z powtórzeiami ze zbioru dwuelemetowego {1, 2}; oto oe: (1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 2), (2, 2, 2). Udowodij, że liczba -elemetowych ombiacji z powtórzeiami ze zbioru -elemetowego wyosi ( + 1). 15. Udowodij, że liczba przestawień (permutacji bez putów sta lych) w zbiorze -elemetowym jest rówa zaor agleiu liczby! e do ajbliższej liczby aturalej; e jest podstaw a logarytmu aturalego. 16
Wsazówa. Sorzystaj z twierdzeia 11, z rozwiiȩcia: e 1 ( 1) i = i! i=0 oraz z oszacowaia: ( 1) i i! 1 i=+1 ( + 1)!. 16. Udowodij, że liczba surjecji (fucji a ca l a przeciwdziedziȩ) ze zbioru -elemetowego a zbiór -elemetowy wyosi: ( 1) i ( i). i i=0 Wsazówa. Sorzystaj z zasady w l aczaia i wy l aczaia dla zbioru wszystich fucji ze zbioru {1,..., } w zbiór {1,..., }. Zbiór A i to fucje, tóre ie maj a elemetu i w obrazie. 17