Stany stacjonarne w potencjale centralnym

3.10.2004 14. Stany stacjonarne w potencjale centralnym 149 Rozdział 14 Stany stacjonarne w potencjale centralnym 14.1 Postawienie problemu 14.1.1 Przypomnienie lasycznego problemu Keplera Rozważmy cząstę o masie µ poruszającą się w pewnym polu, przy czym przynajmniej na razie) nie precyzujemy charateru tego Oddziaływania. Założymy, że centrum pola jest umieszczone w środu uładu współrzędnych. Energia potencjalna cząsti jest dana pewną funcją V = V r), zależną jedynie od odległości cząsti od centrum pola. Mówimy, że cząsta porusza się w polu o potencjale centralnym. Na cząstę działa siła F = grad V r) = dv r) r r ). 14.1) Siła jest więc zawsze radialna. Wobec tego moment pędu cząsti względem centrum L = r p = Rys. 14.1: Rozład prędości cząsti. const. 14.2) jest stała ruchu. W onsewencji ruch cząsti zachodzi w jednej płaszczyźnie jest płasi). Dowody tych stwierdzeń można znaleźć w poęczniach mechanii lasycznej. Cząsta jest w puncie r względem centrum siły S i ma prędość v. Prędość cząsti można rozłożyć na sładowe radialną i sładową styczną prostopadłą do r) związaną z wartością momentu pędu v r = dt, v = L µ r. 14.3) Całowita energia cząsti to E = µ 2 v2 + V r) = µ ) vr 2 2 + v2 + V r). 14.4) Eliminując v, energię wyrażamy przez Wobec tego lasyczny hamiltonian cząsti w polu V r) ma postać E = µ 2 v2 r + L 2 + V r). 14.5) 2 µr2 Ĥ = p2 r 2µ + L 2 + V r), 14.6) 2µr2 S.Kryszewsi MECHANIKA KWANTOWA 149

3.10.2004 14. Stany stacjonarne w potencjale centralnym 150 gdzie pęd radialny p r = µ /dt jest pędem anonicznie sprzężonym ze współrzędną r. Moment pędu L może zostać wyrażony poprzez zmienne r, θ, ϕ) oraz anonicznie sprzężone pędy p r, p θ, p ϕ ). Z mechanii lasycznej wiadomo, że L 2 = p 2 θ + 1 sin 2 θ p2 ϕ. 14.7) Zwróćmy jeszcze uwagę, że w hamiltonianie Ĥ danym równaniem 14.6) rozdzieliliśmy energię inetyczną na dwa człony, człon radialny i "obrotowy". Wynia to stąd, że przyjęliśmy potencjał niezależny od ątów. Kąty i pędy z nimi sprzężone "siedzą" wyłącznie w L 2. Gdyby interesowała nas tylo ewolucja r, to ponieważ L = const, hamiltonian H jest wyłącznie funcją zmiennych radialnych. Wówczas z równań Hamiltona d dt p r = µ d2 r dt 2 = H r = L 2 dv r). 14.8) µr3 Jest to pratycznie problem jednowymiarowy z efetywnym potencjałem V eff r) = L 2 + V r), 14.9) 2µr2 gdzie pierwszy człon to tzw. człon "odśrodowy". Rozwiązanie problemu ruchu cząsti w polu centralnym jest doładnie omawiane w tracie ursu mechanii lasycznej. W przypadu potencjału grawitacyjnego V r) 1/r uzysujemy wtedy dobrze znane zagadnienie Keplera opisujące np. ruch planet woół gwiazdy centralnej. 14.1.2 Hamiltonian wantowo-mechaniczny Odwołując się do analogii lasycznej rozważymy teraz wantowo-mechaniczny odpowiedni problemu ruchu cząsti w polu o potencjale centralnym. Hamiltonian cząsti poruszającej się w polu centralnym na mocy zasady odpowiedniości) będzie więc w reprezentacji położeniowej mieć postać Ĥ = ˆP 2 2µ + V r) = 2 2µ 2 + V r). 14.10) gdzie laplasjan 2 i r = x 2 + y 2 + z 2 wyrażone są we współrzędnych artezjańsich ta ja tego wymaga zasada odpowiedniości). Będziemy szuać rozwiązań stacjonarnego równania Schrödingera, czyli stanów własnych hamiltonianu 14.10). Szuamy więc rozwiązań równania 2µ 2 + V r) Ψ r) = E Ψ r), 14.11) Ponieważ potencjał V r) ma symetrię sferyczną, bardziej pożyteczne są współrzędne sferyczne. Laplasjan we współrzędnych sferycznych ma postać dla dowolnej funcji Φ = Φr, θ, ϕ)) 2 Φ = 1 r 2 r 2 Φ ) r r + 1 r 2 sin θ θ sin θ Φ θ ) + 1 r 2 sin 2 θ 2 Φ ϕ 2. 14.12) Występują tu czynnii r 2, więc przypade gdy r = 0 trzeba analizować szczególnie uważnie. Na podstawie przedstawionych w poprzednich rozdziałach rozważań o orbitalnym momencie pędu S.Kryszewsi MECHANIKA KWANTOWA 150

3.10.2004 14. Stany stacjonarne w potencjale centralnym 151 wiemy, że operator L 2 w reprezentacji położeniowej i we współrzędnych sferycznych wyraża się wzorem 1 L 2 = 2 sin θ ) 1 2 + sin θ θ θ sin 2 θ ϕ 2. 14.13) Porównując laplasjan 14.12) i całowity moment pędu 14.13) dostajemy 2 Φ = 1 r 2 r r 2 Φ r ) L 2 2 Φ. 14.14) r2 co możemy wyorzystać w hamiltonianie, po lewej stronie równania 14.11). Po uporządowaniu, hamiltonian cząsti o masie µ w polu siły centralnej ma postać Ĥ = 2µr 2 r 2 ) r r L + 2 + V r). 14.15) 2µr2 Celem naszym jest teraz rozwiązanie stacjonarnego równania Schrödingera, czyli zagadnienia własnego 2 2µr 2 r 2 ) r r we współrzędnych sferycznych. 14.2 Separacja zmiennych 14.2.1 Zależność ątowa funcji własnych L + 2 2µr 2 + V r) Ψr, θ, ϕ) = E Ψr, θ, ϕ), 14.16) Wiemy, że trzy sładowe operatora momentu pędu działają jedynie na zmienne ątowe. W onsewencji omutują one ze wszystimi operatorami działającymi na zmienna radialną. Wobec tego z postaci hamiltonianu 14.15) wynia, że Ĥ, L = 0, 14.17) Przemienność hamiltonianu i sładowych L jest odbiciem fatu, że hamiltonian jest niezmienniczy względem obrotów. Oczywiście H omutuje również z L 2. Mimo, że L x, L y, L z są stałymi ruchu bo omutują z H), to jedna nie omutują między sobą. Jao zupełny zbiór omutujących obserwabli wybieramy Ĥ, L 2 oraz L 3. Operatory te oreślają wspólne stany własne. Mamy zatem do rozwiązania zagadnienia Ĥ Ψ r) = E Ψ r), 14.18a) L 2 Ψ r) = 2 ll + 1) Ψ r), 14.18b) L 3 Ψ r) = m Ψ r). 14.18c) Wiemy już, że harmonii sferyczne są funcjami własnymi operatorów L 2 oraz L 3. Możemy więc napisać L 2 Y lm θ, ϕ) = 2 ll + 1) Y lm θ, ϕ), 14.19a) L 3 Y lm θ, ϕ) = m Y lm θ, ϕ). 14.19b) Hamiltonian 14.15) można zapisać taże jao L Ĥ = Ĥr + 2 2µr 2, gdzie Ĥ r = 2µr 2 r 2 ) + V r). 14.20) r r S.Kryszewsi MECHANIKA KWANTOWA 151

3.10.2004 14. Stany stacjonarne w potencjale centralnym 152 Wtedy stacjonarne równanie Schrödingera 14.16) ma postać Ĥ r + L 2 2µr 2 ) ) Ψ = EΨ, lub 2µr 2 Ĥ r E Ψ = L 2 Ψ, 14.21) przy czym lewa strona ostatniego równania zależy jedynie od zmiennej radialnej, a prawa od zmiennych ątowych. Wobec tego funcja falowa ulega fatoryzacji na część radialną i ątową Ψ = Ψ r)ψr, θ, ϕ) = Rr)Y lm θ, ϕ), 14.22) ponieważ wiadomo jaie są funcje ątowe - funcje własne L 2 oraz L 3. Przy taim założeniu widzimy, że automatycznie spełnione są równania 14.18b) i 14.18c). Zatem zależność ątowa funcji własnych hamiltonianu cząsti o masie µ w polu sił centralnych jest znana. Pozostaje rozważenie równania 14.18a), to jest ĤΨ r) = EΨ r). 14.23) Z równania tego poszuiwać będziemy zależności od zmiennej radialnej, a więc radialnej funcji falowej Rr). Zależność ątowa jest bowiem w pełni zawarta w harmoniach sferycznych. 14.2.2 Radialne równanie Schrödingera Rozważamy więc równanie 2µr 2 r r 2 ) L + 2 r 2µr 2 + V r) Ψr) = EΨr), 14.24) gdzie szuana funcja falowa jest postaci danej w równaniu 14.22). Podstawiając ją do wzoru 14.24) pamiętamy, ja operator L 2 działa na harmonii sferyczne por. 14.19a)). Operacje różniczowania względem zmiennej radialnej nie wpływają na harmonii sferyczne, tóre po prostu się sracają. A zatem łatwo otrzymujemy 2 d 2µr 2 r 2 dr ) + 2 ll + 1)R 2µr 2 + V r)r = ERr), 14.25) co stanowi radialne równanie Schrödingera. Użyliśmy w nim zwyłych pochodnych, a nie cząstowych, bo funcja Rr) jest zależna tylo od jednej zmiennej. Ja już wspominaliśmy, trzeba uważnie przeanalizować zachowanie funcji Rr) w otoczeniu puntu r = 0. Podreślmy taże, że w równaniu radialnym 14.25) liczba wantowa l jest parametrem, wobec tego w przestrzeni rozwiązań wydzielone są podprzestrzenie o ustalonym l. Co więcej, dla ażdego l mamy 2l + 1) możliwych wartości liczby magnetycznej m, tóra w 14.25) jawnie nie występuje. Oczeujemy zatem, że energie - wartości własne hamiltonianu zależeć będą od orbitalnej liczby wantowej l, a taże od pewnej innej liczby wantowej, tórą oznaczmy na razie przez α. Podobną zależność wyazywać więc będą taże funcje Rr). Dlatego piszemy Rr) = R αl r). 14.26) Oczywiście sens liczby α pozostaje do ustalenia. Zgodnie z powyższym, równanie 14.25) można zapisać 2 d 2µr 2 r 2 d ) + 2 ll + 1) 2µr 2 + V r) R αl r) = E αl R αl r). 14.27) S.Kryszewsi MECHANIKA KWANTOWA 152

3.10.2004 14. Stany stacjonarne w potencjale centralnym 153 Człon różniczowy w 14.27) można uprościć przyjmując funcję radialną w postaci R αl r) = 1 r u αlr). Wówczas, po wyonaniu różniczowania, dostajemy 1 r 2 d r 2 dr αl ) = 1 r 2 d r 2 d ) 1 r u αlr) = 1 r 14.28) d 2 u αl 2. 14.29) Wyorzystując tę zależność w równaniu 14.27) dostajemy równanie radialne dla funcji u αl r). Sracając czynni r 1, otrzymujemy 2µ d 2 u αl r) 2 + 2 ll + 1) 2µr 2 u αl r) + V r) u αl r) = E αl u αl r). 14.30) Zaś przy uwzględnieniu doonanych podstawień, pełna funcja własna ma postać Ψ r) = 1 r u αlr) Y lm θ, ϕ), 14.31) jest więc numerowana przez trzy liczby wantowe α, l, m. Liczby l i m są znane, natomiast liczbę α należy znaleźć. Zauważmy, że równanie radialne 14.30) możemy zapisać gdzie 2µ d 2 2 + V effr) ϕr) = E ϕr) 14.32) V eff r) = V r) + 2 ll + 1) 2µr 2, 14.33) jest to więc równanie jednowymiarowe dla potencjału efetywnego V eff ale r 0). Zwróćmy jeszcze uwagę, że ) 2 ll + 1) 2µr 2 = ll + 1) 1 2µ r 2 = 2 ll + 1) 2µr 3 r r ). 14.34) Zatem przyczyne członu 2 ll + 1)/2µr 2 ) do potencjału ma charater odpychający, "centryfugalny". 14.2.3 Zachowanie się funcji radialnych w r = 0 Należy zbadać zachowanie się funcji Rr) w otoczeniu r = 0. Rozważmy małą ulę w otoczeniu puntu r = 0. Oczeujemy, że strumień prawdopodobieństwa przez taą sferę powinien zniać gdy r 0 Ψ Ψ r Ψ Ψ ) r 2 r r 0 0. 14.35) Czynni r 2 wynia z tego, że pole sfery jest proporcjonalne do waatu promienia sfery. Co więcej, oczeujemy, ze prawdopodobieństwo znalezienia cząsti w r = 0, taże powinno dążyć do zera gdy objętość uli dąży do zera. Zatem Ψ 2 r 3 r 0 0. 14.36) S.Kryszewsi MECHANIKA KWANTOWA 153

3.10.2004 14. Stany stacjonarne w potencjale centralnym 154 Powyższe waruni mają oczywiście wpływ na ształt funcji ur) wchodzącej do radialnego równania Schrödingera 14.30). Waruni 14.35) i 14.36) dotyczą tylo funcji u ponieważ funcja falowa ma postać Ψ = RY lm = u/r)y lm. Wyonując elementarne różniczowania, z równania 14.35) dostajemy u d u ) ) ) u d u r 2 = u du du u. 14.37) r r r r A więc waruni 14.35, 14.36) mają dla funcji ur) postać u du u du r 0 0, 14.38a) u 2 r 0. 14.38b) r 0 Teraz należy zbadać jaie są onsewencje tych dwóch warunów dla rozwiązań równania radialnego 14.30). Aby doonać niezbędnych oszacowań przyjmijmy potencjał w postaci V r) = 2 V 0 r /2µ). Wówczas równanie 14.30), po pomnożeniu obustronnie przez 2µ/ 2 przybiera ształt d2 u ll + 1) + 2 r 2 u + V 0 r u = 2µ E u. 14.39) 2 Zażądajmy teraz aby u = r s. Równanie 14.39) daje przy taim założeniu ss 1) + ll + 1) r 2 + V 0 r 2 r+2 = 2µE 2. 14.40) Jeśli 2, to dla bardzo małych r dominuje w 14.40) pierwszy człon po lewej, ugi albo jest stały, albo zaniedbywalnie mały. Zatem asymptotycznie dla r dążącego do 0 powinno być ss 1) ll + 1) r 2 0. 14.41) Łatwo zauważyć, że ten warune jest spełniony dla s 1 = l, oraz s 2 = l + 1. 14.42) Z powyższych rezultatów wyniają następujące wniosi. Dla potencjału V r) r przy > 2, funcja ur) spełniająca radialne równanie 14.30) zachowuje się w otoczeniu r = 0 ja ur) C 1 r l + C 2 r l+1 14.43) Jednaże ur) musi spełniać taże fizyczne waruni 14.38). Jest to możliwe tylo wtedy gdy C 1 = 0. Zatem rozwiązanie r l musimy z przyczyn fizycznych ozucić. Z przyczyn fizycznych wynia więc, że dopuszczalne rozwiązania radialnego równania Schrödingera 14.30) muszą spełniać ur) 0. 14.44) r 0 Innymi słowy, w otoczeniu r = 0 funcja radialna Rr) = ur)/r powinna się zachowywać ja Rr) = ur) r l. 14.45) r r 0 Pamiętamy przy tym, że orbitalna liczba wantowa jest nieujemną liczbą całowitą. Na uzysane waruni nałożone na funcję radialną można spojrzeć inaczej. Formalnie rzecz biorąc, równanie radialne 14.30) dopuszcza r < 0, co jedna jest niefizyczne. Możemy przyjąć, że V r) = dla r < 0. Obszar ten jest niedostępny dla cząsti, więc musi tam być Rr) 0. Ciągłość funcji falowej wymaga więc aby Rr) 0 dla r 0 +. Żądanie 14.45) zapewnia więc onieczną ciągłość. S.Kryszewsi MECHANIKA KWANTOWA 154

3.10.2004 14. Stany stacjonarne w potencjale centralnym 155 14.3 Podsumowanie 14.3.1 Równanie radialne Analizowaliśmy cząstę o masie µ w polu o potencjale centralnym i taim, że V r) r gdzie 2. 14.46) Stacjonarne równanie Schrödingera, ze względu na symetrię potencjału pozwala na następujące wniosi: i) Funcje własne hamiltonianu, są jednocześnie funcjami własnymi operatorów L 2 oraz L 3. Oreśla to ich zależność ątową, a więc mamy Ψ r) = Ψ αlm r, θ, ϕ) = u αlr) Y lm θ, ϕ) 14.47) r ii) Funcja radialna u αl r) spełnia radialne równanie Schrödingera 2µ d 2 u αl r) 2 + 2 ll + 1) 2µr 2 u αl r) + V r) u αl r) = E u α r). 14.48) Funcja radialna u αl r) musi też spełniać warune u αl r) 0. 14.49) r 0 iii) Pełna funcja falowa musi być unormowana, musi więc zachodzić d 3 r Ψ r) 2 = dω r 2 Ψ αlm r, θ, ϕ) 2 = 1. 14.50) 0 Ze względu na sfatoryzowaną postać 14.47) pełnej funcji falowej warune normowania taże się fatoryzuje. d 3 r u αl r) 2 dω Y lm θ, ϕ) 2 = 1. 14.51) Ponieważ harmonii sferyczne są z definicji unormowane do jedności, więc w ońcu zostaje nam warune normalizacji radialnej funcji u αl d 3 r u αl r) 2 = 1. 14.52) iv) Pożyteczne jest czasami zapisać warune normalizacji dla tzw. pełnej funcji radialnej w postaci R αl r) = 1/r) u αl r). Oczywiście z warunu 14.52) wynia natychmiast d 3 r r 2 R αl r) 2 = 1. 14.53) Zauważmy, że warune zbieżności funcji u αl r) przy r dążącym do zera 14.49), zapewnia dobrą zbieżność całe. Na zaończenie, zwróćmy uwagę, że może się ta zdarzyć, że indes α odpowiada widmu ciągłemu energii E αl. Wówczas indes α przyjmuje wartości ciągłe i warune normalizacyjny 14.52) trzeba wtedy zapisać w postaci warunu ortonormalności d 3 r u αl r) u α l r) = δ ll δα α ). 14.54) Oczywiście dla widma dysretnego indes α jest też dysretny, wtedy delta Diraca przechodzi w deltę Kronecera. S.Kryszewsi MECHANIKA KWANTOWA 155

3.10.2004 14. Stany stacjonarne w potencjale centralnym 156 14.3.2 Liczby wantowe Z powyższej analizy stacjonarnego równania Schrödingera dla cząsti o masie µ poruszającej się w potencjale centralnym V r) wynia, że funcje falowe Ψ αlm zależą co najmniej od trzech indesów liczb wantowych. Co najmniej, bo nie wiemy z góry jai jest charater liczby α, być może jest ona multiindesem. Rozważane funcje falowe są funcjami własnymi operatorów Ĥ hamiltonianu, całowitego momentu pędu L 2 oraz L 3 rzutu momentu pędu na oś z. Funcje Ψ αlm odpowiadają wartościom własnym E αl energia; 2 ll + 1) pełny moment pędu; m rzut momentu pędu na oś z. Naturalne jest więc nazwać: α radialna liczba wantowa czasem główna). l i m to orbitalna i magnetyczna liczba wantowa nazewnictwo z teorii momentu pędu). Część ątowa funcji falowej nie zależy w żaden sposób od potencjału pod waruniem, że jest on sferycznie symetryczny). 14.3.3 Degeneracja zasadnicza i przypadowa Energie E αl, czyli wartości własne hamiltonianu nie zależą od magnetycznej liczby wantowej m. A więc dla onretnych ustalonych) liczb α i l mamy 2l + 1) różnych funcji falowych odpowiadających tej samej energii. Funcje te są oczywiście wzajemnie ortogonalne, jao różne funcje własne operatora L 3. A zatem Energie E αl są co najmniej g αl = 2l + 1)-rotnie zdegenerowane. Jest to degeneracja o charaterze zasadniczym, wyniającym z symetrii sferycznej potencjału V r). Inne degeneracje, związane z liczbami wantowymi α i l mogą też mieć miejsce, ale nie muszą. Zależy to onretnego problemu. Te dodatowe degeneracje bywają więc zwane przypadowymi, bowiem różna jest sytuacja w różnych przypadach. 14.4 Zagadnienie dwóch ciał W Uzupełnieniach przypominamy lasyczne zagadnienie dwóch ciał. Przypominamy, w jai sposób problem ten sprowadza się do ruchu względnego w uładzie środa masy. Podobny sposób postępowania można taże wyorzystać w mechanice wantowej. Dotyczy to jednego z najważniejszych uładów fizycznych jaim jest atom wodoropodobny: dodatnio naładowane jąo i eletron o ładunu ujemnym oddziałujące coulombowso, tóry szczegółowo omówimy w następnym rozdziale. Poniższe rozważania są więc swego rodzaju przygotowaniem do wantowo-mechanicznego opisu atomu, choć oczywiście stosują się taże i do innych uładów. W Uzupełnieniach przedstawimy model moleuły dwuatomowej bazujący na wprowadzonych tu pojęciach. 14.4.1 Separacja zmiennych w mechanice wantowej Obserwable związane ze środiem masy i z ruchem względnym Rozpatrujemy tu uład fizyczny złożony z dwóch cząste bezspinowych) oddziałujących za pośrednictwem potencjału centralnego V r 12 ). Na razie nie precyzujemy fizycznego charateru tego oddziaływania. Opis uładu rozpoczynamy od uładu LAB, w tórym obu cząstom przyporządowujemy operatory obserwable) położenia i pędu r 1), p 1) oraz r 2), p 2. Operatory te spełniają relacje omutacyjne x m) j, p n) = i δmn δ j 14.55) S.Kryszewsi MECHANIKA KWANTOWA 156

3.10.2004 14. Stany stacjonarne w potencjale centralnym 157 gdzie wsaźnii m, n = 1, 2 numerują cząsti. Operatory odpowiadające różnym cząstom są przemienne niezależne). Odwołując się do lasycznych relacji, na mocy zasady odpowiedniości, możemy oczywiście zbudować nowe operatory położenia r = r 1) r 2), R = m 1 r 1) + m 2 r 2), 14.56) tóre nazwiemy operatorami położenia względnego i położenia środa masy. Analogicznie, przez odwołanie się do lasycznych wyrażeń patrz Uzupełnienia) sonstruujemy operatory pędu p = m 2 p 1) m 1 p 2), P = p 1) + p 2). 14.57) Powstaje w tym miejscu pytanie, czy operatory sonstruowane ta ja to robiliśmy w fizyce lasycznej są "dobrymi" operatorami. Aby się o tym przeonać rozważymy reguły omutacyjne spełniane przez nowo wprowadzone operatory. Nietrudno sprawdzić, że nowe operatory spełniają relacje omutacyjne xj, p = i δj, Xj, P = i δj, 14.58) Istotnie, na przyład mamy xj, p = x 1) j x 2) j, = x 1) j, m 2 p 1) m 2 p 1) m 1 p 2) + x 2) j, m 1 p 2), 14.59) bowiem omutatory zawierające operatory różnych cząste zniają. Wobec tego dalej m 2 xj, p = x 1) j, p 1) m 1 + x 2) j, p 2) = m 2 i δ j + m 1 i δ j = i δ j. 14.60) ja należałoby oczeiwać dla operatorów położenia i pędu. Ponadto pary operatorów r, p) oraz R, P) są wzajemnie niezależne, to znaczy omutują. I znów dla przyładu sprawdzamy Xj, p = m 1 x 1) j + m 2 x 2) j m 2 p 1) m 1 p 2), = m 1 m 2 x 1) j, p 1) m 1m 2 x 2) j, p 2) = 0. 14.61) bowiem znów operatory różnych cząste omutują, a pozostałe omutatory są identyczne i równe i δ j. Ponieważ pary operatorów r, p) oraz R, P) spełniają anoniczne relacje omutacyjne, więc nic nie stoi na przeszodzie aby interpretować je jao operatory położenia i pędu. Co więcej można bez trudu sonstruować dla nich odpowiednie reprezentacje. Są więc one równie dobre ja wyjściowe operatory właściwe dla LAB. Zauważmy, że w analogiczny sposób możemy zbudować operator momentu pędu dla CMS. A zatem operator L = r p, 14.62) S.Kryszewsi MECHANIKA KWANTOWA 157

3.10.2004 14. Stany stacjonarne w potencjale centralnym 158 będzie operatorem momentu pędu ruchu względnego dla ficyjnej cząsti o masie zreduowanej µ względem nieruchomego centrum siły). Natomiast L cm = R P, 14.63) jest momentem pędu ruchu całości względem LAB. Można oczywiście sprawdzić, że ta wprowadzone operatory będą spełniać anoniczne relacje omutacyjne dla momentu pędu jest to oczywiście onsewencją relacji omutacyjnych 14.58) dla położeń i pędów). 14.4.2 Wartości i funcje własne Hamiltonianu Kwantowo-mechaniczny hamiltonian uładu dwóch cząste możemy zapisać za pomocą operatorów LAB H = p2 1 2m 1 + p2 2 2m 2 + V r 12 ), 14.64) albo też za pomocą nowych operatorów odpowiadających CMS) H = p2 2µ + P 2 2M + V r), gdzie µ = m 1 m 2. 14.65) Hamiltonian 14.65) jest sumą dwóch sładniów H = H cm + H rel, 14.66) gdzie H cm = P 2 /2M jest hamiltonianem uładu dwóch cząste jao całości, zaś H rel = p2 2µ + V r), 14.67) stanowi hamiltonian ruchu względnego. Oba sładnii omutują Hcm, H rel = 0. 14.68) Wobec tego możemy szuać rozwiązania zagadnienia własnego, w tórym oba operatory mają wspólne stany własne. H cm ψ = E cm ψ, 14.69a) H rel ψ = E r ψ. 14.69b) Z powyższych równań własnych wynia, że całowity hamiltonian spełnia H ψ = H cm + H rel ) ψ = Ecm + E r ) ψ, 14.70) a więc odpowiadające mu energie własne są sumą energii ruchu uładu jao całości i energii ruchu względnego. Dla operatorów r i R naturalna jest reprezentacja położeniowa parametryzowana dwoma wetorami położeń: r, R. Funcja falowa ψ r, R) = r, R ψ jest więc zależna od dwóch zmiennych wetorowych, czyli od sześciu współrzędnych. Operatory pędu w tej reprezentacji to p = i r, P = i R. 14.71) Zmienne r oraz R są niezależne, zatem możemy szuać funcji własnych hamiltonianu w postaci iloczynu ψ r, R) = ϕ r) η R) to jest r, R ψ = r ϕ R η. 14.72) S.Kryszewsi MECHANIKA KWANTOWA 158

3.10.2004 14. Stany stacjonarne w potencjale centralnym 159 Zagadnieniom własnym 14.69) odpowiadają więc równania H cm η = E cm η, 14.73a) H rel ϕ = E r ϕ. 14.73b) tóre w reprezentacji położeniowej wyglądają następująco 2M 2 R η R) = E cm η R), 14.74a) 2µ 2 r + V r) ϕ r) = E r ϕ r), 14.74b) Postać pierwszego z tych równań jest doładnie taa sama ja dla cząsti swobodnej o masie M. Dlatego też jego rozwiązanie patrz 9.55) to η R) = 1 2π ) 3/2 ) i P exp R P, przy czym E cm = 2 2M 0, 14.75) co oczywiście jest energią inetyczną uładu jao całości. Energia ta jest nieujemna i nie jest swantowana innymi słowy ma widmo ciągłe). Oczywiście bardziej interesujące fizycznie jest równanie 14.74b), tóre dotyczy ruchu względnego cząste ruchu ficyjnej cząsti o masie zreduowanej woół centrum siły). Jego rozwiązania, tj. postać funcji falowych i dopuszczalne wartości energii E r zależą od onretnej postaci potencjału V r). W przypadu pola centralnego, gdy V r) = V r ) = V r), rozwiązanie równania 14.74b) sprowadza się do omówionego powyżej zagadnienia ruchu cząsti o masie µ w polu centralnym. Podsumowanie Badanie stacjonarnego równania Schrödingera dla uładu fizycznego złożonego z dwóch bezspinowych) cząste o masach m 1 i m 2, dla tórych energia potencjalna ich oddziaływania zależy tylo od ich względnego położenia sprowadza się do: Pełna funcja falowa wyrażona w zmiennych CMS, tj. przez r i R odpowiednio położenia względnego i położenia środa masy) ma postać ψ r, R) = 1 2π ) 3/2 gdzie pęd P jest pędem uładu jao całości. Energia inetyczna ruchu uładu jao całości wynosi E cm = P 2 ) i P exp R ϕ r), 14.76) 2M, gdzie M =. 14.77) Energia E cm jest nieujemna i dowolna nieswantowana). Energia całowita uładu jest sumą E = E cm + E r, 14.78) gdzie E r jest energią ruchu względnego. S.Kryszewsi MECHANIKA KWANTOWA 159

3.10.2004 14. Stany stacjonarne w potencjale centralnym 160 Dla ruchu względnego trzeba rozwiązać stacjonarne równanie Schrödingera 2µ 2 r + V r) ϕ r) = E r ϕ r), gdzie µ = m 1 m 2, 14.79) jest masą zreduowaną uładu cząste. Równanie to dla V r) = V r) pole centralne) sprowadza się do zagadnienia omówionego w pierwszych częściach rozdziału, a więc w rezultacie do radialnego równania Schrödingera. Poszuiwanie funcji falowej ϕ r) odbywa się więc dalej po oreśleniu potencjałuv r)) w sposób przedstawiony relacjami 14.47) 14.53). * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * S.Kryszewsi MECHANIKA KWANTOWA 160