MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Kryteria oceniania odpowiedzi CZERWIEC 0

Zadanie (5 pkt) Rozwiąż nierównoć x 4x 4 x 6x 9 I sposób rozwiązania (wyróżnienie na osi liczbowej przedziałów) Wykorzystując wzory skróconego mnożenia przekształcamy wyrażenia podpierwiastkowe i zapisujemy nierównoć w postaci x x Stosujemy własnoć wartoci bezwzględnej oraz przekształcamy nierównoć do postaci x x Wyróżniamy na osi liczbowej przedziałyś,,,),, ) Rozwiązujemy nierównoci w poszczególnych przedziałach i w każdym przedziale bierzemy częć wspólną tego przedziału z otrzymanym zbiorem rozwiązań nierównoci Rozpatrujemy następujące przypadkiś x, otrzymujemy nierównoć x x, więc x (, 5, dla dla x,) otrzymujemy nierównoć x x, więc x, dla x, ) otrzymujemy nierównoć x x, więc x 6, ) Wyznaczamy zbiór rozwiązań nierównoci II sposób rozwiązania (zapisanie czterech przypadków) x x : (, 5 6, ) x Wykorzystując wzory skróconego mnożenia przekształcamy wyrażenia podpierwiastkowe i zapisujemy nierównoć w postaci x x Stosujemy własnoć wartoci bezwzględnej oraz przekształcamy nierównoć do postaci x x Zapisujemy cztery przypadki: 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 x 6 x 6, ) x x 5 brak rozwiązań niemożliwe x x x 5 x (, 5 Łącząc otrzymane rozwiązania, zapisujemy odpowiedźś Zbiorem rozwiązań nierównoci x 4x 4 x 6x 9 jest (, 5 6, )

Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania pkt Zapisanie nierównoci w postaci x x Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt zapisanie odpowiednich nierównoci w danych przedziałachś x, : x x, dla dla x,) : x x, dla x, ) : x x 0 0 0 0 zapisanie czterech przypadków,,, 0 0 0 0 Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt rozwiązanie wszystkich nierównoci z uwzględnieniem danych przedziałówś x (, 5, brak rozwiązań, x 6, ) rozpatrzenie wszystkich czterech przypadków Rozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np błędy rachunkowe) 4 pkt poprawne rozwiązanie wszystkich trzech nierównoci i wyznaczenie częci wspólnych otrzymanych wyników z poszczególnymi przedziałami tylko w dwóch przypadkach, popełnienie błędu w trzecim przypadku i konsekwentne doprowadzenie rozwiązania do końca poprawne rozwiązanie nierównoci tylko w dwóch przedziałach i wyznaczenie częci wspólnych otrzymanych wyników z poszczególnymi przedziałami i konsekwentne doprowadzenie rozwiązania do końca rozpatrzenie czterech przypadków, poprawne rozwiązanie nierównoci i wyznaczenie częci wspólnych otrzymanych wyników z poszczególnymi przedziałami tylko w dwóch przypadkach, stwierdzenie, że czwarty jest niemożliwy, popełnienie błędu w trzecim przypadku i konsekwentne doprowadzenie rozwiązania do końca Rozwiązanie pełne 5 pkt Zapisanie rozwiązania nierównociś x (, 5 6, ) Uwagi Jeżeli zdający zapisze nierównoć w postaci x x i ją rozwiąże, to za rozwiązanie całego zadania otrzymuje punkt

4 Jeżeli zdający rozwiąże nierównoci w poszczególnych przedziałach i na tym zakończy lub nie wyznaczy częci wspólnej otrzymanych wyników z poszczególnymi przedziałami, to otrzymuje punkty Jeżeli zdający rozpatrzy cztery przypadki, rozwiąże nierównoci w poszczególnych przedziałach, stwierdzi, że czwarty przypadek jest niemożliwy i na tym zakończy lub nie wyznaczy częci wspólnej otrzymanych wyników z poszczególnymi przedziałami, to otrzymuje punkty 4 Jeżeli zdający błędnie podzieli zbiór liczb rzeczywistych na przedziały, wyznaczając np,,,),, ) i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to otrzymuje maksymalnie punkty 5 We wszystkich rozważanych przypadkach zdający może rozpatrywać obie nierównoci nieostre (przedziały obustronnie domknięte) Wymagamy tylko, aby te przypadki wyczerpywały wszystkie liczby rzeczywiste Jeżeli natomiast rozważa nierównoci ostre (przedziały otwarte) tak, że nie wyczerpują one wszystkich liczb rzeczywistych, to przyznajemy za całe zadanie o punkt mniej, niż gdyby wyróżnił wszystkie przedziały poprawnie 6 Jeżeli zdający wykorzysta interpretację geometryczną wartoci bezwzględnej i graficznie wyznaczy zbiór rozwiązań nierównoci, to za rozwiązanie całego zadania otrzymuje 5 punktów 7 Zdający może rozwiązywać daną nierównoć jako nierównoć pierwiastkową Zasadnicze trudnoci tego zadania ( punkty) polegają na poprawnym doprowadzeniu danej nierównoci do nierównoci kwadratowej Zadanie (5 pkt) Wyznacz wszystkie wartoci parametru m, dla których równanie m mx m 0 ma dwa różne pierwiastki takie, że ich suma jest nie większa niż,5 Rozwiązanie Zapisujemy układ warunków, które muszą być spełnione, by istniały dwa różne pierwiastki równania m mx m 0, których suma jest nie większa od,5 m 0 0 Warunek m0jest spełniony dla każdego m Rozwiązujemy nierównoć 0 Rozwiązujemy nierównoć nierównoć z niewiadomą m:, czyli m m x x 4 0, 5m 8m 4 0, m,, 5 Wykorzystując wzory Viete a, otrzymujemy

5 m i m, m m 0 m, m 5 0, m Stąd m,5 Łącząc wszystkie wyznaczone wartoci parametru m otrzymujemy m,,5 5 Schemat oceniania Rozwiązanie zadania składa się z czterech etapów Pierwszy polega na rozwiązaniu warunku m 0 : m Za poprawne rozwiązanie tego etapu zdający otrzymuje punkt Drugi etap polega na rozwiązaniu nierównoci 0 m 5 Za poprawne rozwiązanie tego etapu zdający otrzymuje punkt Uwaga Jeżeli zdający zapisze 0, to za tę częć otrzymuje 0 punktów Trzeci etap polega na rozwiązaniu nierównoci x x Za tę częć rozwiązania zdający otrzymuje punkty Podział punktów za trzeci etap rozwiązaniaś punkt zdający otrzymuje za zapisanie nierównoci m 5 0 m :,, m 5 punkty zdający otrzymuje za rozwiązanie nierównoci 0 m x x w postaci równoważnej : m,5 Uwaga: Ten sposób przydziału punktów stosujemy także w sytuacji, w której zdający oblicza pierwiastki trójmianu kwadratowego i podstawia je do wyrażenia x x Czwarty etap polega na wyznaczeniu częci wspólnej rozwiązań z poprzednich trzech etapów Rozwiązanie pełne (czwarty etap) 5 pkt Wyznaczenie częci wspólnej zbiorów rozwiązań nierównoci i podanie odpowiedziś m,,5 5 Uwagi Jeli zdający nie zapisze warunku m 0, pominie pierwszy etap (warunek), poprawnie wyznaczy rozwiązania pozostałych warunków, to otrzymuje 5 punktów za całe rozwiązanie

6 Przy rozwiązaniu z usterkami, za ostatni etap przyznajemy punkt jedynie wówczas, gdy zdający poprawnie wykona etap II i popełnia błędy w rozwiązaniu nierównoci z etapu III gdy popełnia błędy w etapie II i dobrze rozwiąże nierównoć z etapu III Jeżeli zdający popełni jeden błąd rachunkowy i konsekwentnie do tego błędu wyznaczy częć wspólną zbiorów rozwiązań wszystkich warunków, to otrzymuje 4 punkty Zadanie (4 pkt) Rozwiąż równanie tgx cos x cos x tgx w przedziale 0, I sposób rozwiązania Równanie ma sens dla x 0,,, Przekształcamy je w sposób równoważny otrzymując kolejnoś tgx cos x cos x tgx 0, cos x tgx 0 tgx cos x cos x 0,, cos x 0 lub tgx 0, cos x lub tgx Podajemy rozwiązania tych równań leżące w przedziale 0, : 5 5 x lub x lub x lub x 4 4 Możemy to zrobić np odczytując odpowiednie argumenty funkcji cosinus i tangens y y = tgx y = cos x x π/6 π/ π/ π/ 5π/6 π 7π/6 4π/ π/ 5π/ π/6 π π/6 - - Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania pkt cos x tgx 0 Zdający zapisze równanie w postaci iloczynowejś Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Zdający zapisze alternatywę dwóch równań, npś cos x lub tgx

7 Rozwiązanie prawie pełne pkt Zdający rozwiąże jedno z równań w przedziale 0, : 5 cos x dla x lub x ( x 60, x 00) 5 tgx dla x lub x ( x 45, x 5) 4 4 Rozwiązanie pełne 4 pkt Zdający wyznaczy wszystkie rozwiązania danego równania w przedziale 0, : 5 5 x lub x lub x lub x 4 4 x 60 lub x 45 lub x 5 lub x 00 II sposób rozwiązania Równanie ma sens dla x 0,,, Przekształcamy je w sposób równoważny i otrzymujemy sin x sin x cos x cos x, cos x cos x sin x sin x cos x cos x Mnożymy obie strony równania przez cos x możemy to zrobić, gdyż cos x 0 dla każdego x 0,,, otrzymujemy kolejno: sin xcos x cos x cos x sin x, sin xcos x cos x cos x sin x 0, x x x x x sin x cos xcos x 0 cos sin cos sin cos 0, sinxcos x0 lub cos x 0, sinx cos xlub cos x Podajemy rozwiązania tych równań leżące w przedziale 0, : 5 5 x lub x lub x lub x 4 4 Możemy to zrobić np odczytując odpowiednie argumenty funkcji cosinus oraz te argumenty funkcji sinus i cosinus, dla których przyjmują one tę samą wartoć

8 5 y y = cos x 05-05 - π/6 π/ π/ π/ 5π/6 π 7π/6 4π/ π/ 5π/ π/6 π π/6 y = sin x x -5 Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania pkt sin x cos x cos x 0 Zdający zapisze równanie w postaci iloczynowejś Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Zdający zapisze alternatywę dwóch równań, npś sinx cos xlub cos x Rozwiązanie prawie pełne pkt Zdający rozwiąże jedno z równań w przedziale 0, : 5 sinx cos x dla x lub x ( x 45, x 5) 4 4 5 cos x dla x lub x ( x 60, x 00) Rozwiązanie pełne 4 pkt Zdający wyznaczy wszystkie rozwiązania danego równania w przedziale 0, : 5 5 x lub x lub x lub x 4 4 x 60 lub x 45 lub x 5 lub x 00 Zadanie 4 (4 pkt) Wykaż, że prawdziwa jest równoć 9 80 9 80 Rozwiązanie Oznaczamy lewą stronę wyrażenia przez x i zapisujemy równanieś 9 80 9 80 x Podnosimy obie strony równania do potęgi trzeciej i otrzymujemyś 9 80 9 80 9 80 9 80 9 80 9 80 x Przekształcamy lewą stronę tego równania i otrzymujemyś

9 a stąd 8 9 80 9 80 9 80 9 80 x, 8 9 80 9 80 x Zauważamy, że w nawiasie otrzymalimy liczbę x, zatem otrzymujemy równanieś x x8 0 x x x 6 0 Ponieważ Rozkładamy lewą stronę tego równania na czynnikiś trójmian kwadratowy x x 6 nie ma pierwiastków, zatem jedynym rozwiązaniem równania x x8 0 jest x, co kończy dowód Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania pkt Zdający zapisze równanie z niewiadomą x: 9 80 9 80 x, podniesie obie strony równania do potęgi trzeciej i zapisze równanie w postaci, npś i na tym zakończy 9 80 9 80 9 80 9 80 9 80 9 80 x lub dalej popełni błędy Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Zdający wykorzysta wzory skróconego mnożenia i przekształci równanie do postaci, npś 8 9 80 9 80 9 80 9 80 x lub 8 9 80 9 80 x i na tym zakończy lub dalej popełni błędy Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Zdający zapisze równanie z niewiadomą x w postaci: x x8 0 Rozwiązanie pełne 4 pkt Zdający rozwiąże równanie i wyciągnie wnioski Uwagi Jeżeli zdający wyznaczy liczbę x i nie sprawdzi, że jest ona jedynym rozwiązaniem równania x x8 0, to otrzymuje punkty Jeżeli zdający zauważy, że 9 80 5 oraz 9 80 5 poprzestanie lub dalej popełnia błędy, to otrzymuje punkty Jeli zdający zauważy, że 9 80 5 oraz i na tym 9 80 5 i zapisze 9 80 9 80 5 5 5 5 to otrzymuje 4 punkty,

0 Zadanie 5 ( pkt) Uzasadnij, że jeżeli ab 0, to a b a b Rozwiązanie Przekształcamy nierównoć w sposób równoważnyś a a b b 0, a a b a b b 0, a a b b a b 0, a a b b a b a b 0, a b a ab b 0, a b a ab ab b 0, a b aa b ba b 0, a b a b 0 Ostatnia nierównoć jest prawdziwa, gdyż jej lewa strona jest iloczynem dwóch liczb nieujemnychś nierównoć a b 0 każdej liczby rzeczywistej, a z założenia ab 0 Schemat oceniania jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej a i dla Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Zapisanie lewej strony nierównoci a b a ab b 0 np a a b b 0 w postaci iloczynu, Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Zapisanie lewej strony nierównoci a b a ab b a ba b a b 0 0 w postaci iloczynowej, Rozwiązanie pełne pkt Przeprowadzenie pełnego dowodu Zadanie 6 (5 pkt) W równoległoboku ABCD miara kąta ostrego jest równa 0, a odległoci punktu przecięcia się przekątnych od sąsiednich boków równoległoboku wynoszą i krótszej przekątnej tego równoległoboku Rozwiązanie Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku i niech AB DC a, BC AD b Oblicz długoć

D E C F O F Z treci zadania wynika, że OE, OF, EE DG oraz DAB 0 Zatem EE i FF 4, gdyż punkt O jest rodkiem symetrii równoległoboku Pole równoległoboku jest równe PABCD a EE a i PABCD b FF 4 b Stąd a 4b, zatem a b Z definicji funkcji sinus dla trójkąta AGD otrzymujemy DG sin 0, czyli AD b Stąd b 4, zatem a 4 8 Z twierdzenia cosinusów dla trójkąta ABD otrzymujemy Stąd BD 4 Schemat oceniania rozwiązania A BD AB AD AB AD cos DAB, BD a b abcos0, BD 8 4 84 64 48 6, Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania pkt Wprowadzenie oznaczeń i obliczenie wysokoci równoległoboku: EE i FF 4 Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Wyznaczenie długoci jednego z boków równoległoboku w zależnoci od długoci drugiego, np: a b Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Obliczenie długoci boków równoległobokuś a 8, b 4 G E Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np błędy rachunkowe) 4 pkt B

Wykorzystanie twierdzenia kosinusów do wyznaczenia długoci krótszej przekątnej równoległobokuś DB 8 4 84 cos DAB Rozwiązanie pełne 5 pkt Obliczenie długoci krótszej przekątnej równoległobokuś BD 4 Uwaga Jeli zdający błędnie wyznaczy wartoć cos0 i konsekwentnie doprowadzi rozwiązanie do końca, to otrzymuje 4 punkty Zadanie 7 (4 pkt) Punkty A (,0) i B (4,) leżą na okręgu o równaniu ( x ) ( y ) 0 Wyznacz na tym okręgu taki punkt C, aby trójkąt ABC był trójkątem równoramiennym o podstawie AB Rozwiązanie Ponieważ trójkąt ABC o podstawie AB jest równoramienny, w którym AC BC, więc punkt C leży na symetralnej odcinka AB Wyznaczamy równanie symetralnej odcinka AB Jest to prosta przechodząca przez rodek P odcinka AB i rodek S danego okręgu Współrzędne rodka P odcinka AB są równe 4 0 P,,, natomiast S (, ) Symetralna odcinka AB ma więc równanie postaci ( )( x) ()( y ) ( )( x) ( y ), y 4 Punkt C leży na symetralnej odcinka AB i jednoczenie leży na danym okręgu, więc rozwiązujemy układ równańś ( x) ( y) 0 y x 4 Stąd otrzymujemy równanie kwadratowe ( x) ( ) 0, x x 4 0,

Równanie to ma dwa rozwiązania x 5 lub x 5 Zatem są dwa takie punkty C C ( 5, 5) lub C ( 5, 5) Uwaga Równanie symetralnej odcinka AB możemy wyznaczyć również w inny sposóbś Symetralna odcinka AB jest prostą do niego prostopadłą i przechodzi przez rodek tego odcinka Wyznaczamy równanie prostej AB: (0 )( x ) ( 4)( y ), stąd y rodek P odcinka AB wyznaczamy tak jak w I sposobie rozwiązaniaś P (,) Prosta prostopadła do prostej AB i przechodząca przez punkt P ma współczynnik kierunkowy m, stądś y ( x ) czyli y 4 Skorzystamy z faktu, że symetralna odcinka AB to zbiór wszystkich punktów płaszczyzny jednakowo oddalonych od końców A i B tego odcinka Jeżeli punkt M ( x, y) należy do tej symetralnej, to prawdziwa jest równoć AM BM, równoważnie AM BM Wykorzystując tę równoć otrzymujemy kolejnoś ( x ) ( y 0) ( x 4) ( y ) x x y x x y y 4 4 8 6 4 4 4x4y 6, czyli y 4 0 Wyznaczamy współczynnik kierunkowy prostej AB: m AB Symetralna odcinka 4 AB przechodzi przez rodek danego okręgu i jest prostopadła do boku AB Prosta prostopadła do prostej AB i przechodząca przez punkt S (,) ma współczynnik kierunkowy m, więc możemy napisać jej równanieś y ( x ) czyli y 4 Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Wyznaczenie równania symetralnej odcinka AB: y 4 Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Zapisanie układu równań pozwalającego na wyznaczenie współrzędnych poszukiwanego punktu C ( x) ( y) 0 y x 4 i przekształcenie go do postaci równania kwadratowego, np x x 4 0 Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np błędy rachunkowe) pkt Rozwiązanie równania kwadratowegoś x 5, x 5 i nie obliczenie lub obliczenie z błędem rachunkowym drugich współrzędnych punktów C i C

4 rozwiązanie równania kwadratowego z błędem rachunkowym i konsekwentne obliczenie drugich współrzędnych punktów C i C rozwiązanie równania kwadratowego: x 5, x 5, odrzucenie jednego z rozwiązań i konsekwentne obliczenie drugiej współrzędnej jednego z punktów C C Rozwiązanie pełne 4 pkt Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka C: C ( 5, 5) lub C ( 5, 5) Zadanie 8 ( pkt) 4 4 cos Wykaż, że dla dowolnego kąta prawdziwa jest tożsamoć sin cos I sposób rozwiązania Przekształcamy kolejno lewą stronę tej równociś 4 4 sin cos sin cos sin cos sin sin cos sincos Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania pkt Zdający doprowadzi lewą stronę tej równoci do postaci zapisze prawą stronę tej równoci w postaci i na tym zakończy lub dalej popełni błędy sincos sin Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Zdający doprowadzi lewą stronę tej równoci do postaci prawą stronę w postaci sin sincos oraz zapisze i na tym zakończy lub dalej popełni błędy Rozwiązanie pełne pkt Zdający przeprowadzi pełne poprawne rozumowanie II sposób rozwiązania Przekształcamy kolejno prawą stronę tej równociś cos sin 4 4 cos cos sin cos sin P

5 4 4 sin cos sin cos 4 4 sin cos sin cos sin cos 4 4 4 4 sin sin cos cos sin cos sin cos 4 4 sin cos 4 4 sin cos L A to kończy dowód Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania pkt Zdający doprowadzi prawą stronę tej równoci do postaci 4 4 cos sin cos sin i na tym zakończy lub dalej popełni błędy Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Zdający doprowadzi prawą stronę tej równoci do postaci i na tym zakończy lub dalej popełni błędy 4 4 sin cos sin cos sin cos Rozwiązanie pełne pkt Zdający przeprowadzi pełne poprawne rozumowanie III sposób rozwiązania Ponieważ dla dowolnego kąta jest prawdziwa tożsamoć sin cos, więc Stąd czyli A zatem sin cos, 4 4 sin sin cos cos 4 4 4 4 sin cos sin sin cos cos, sin cos 4 4 sin cos 4 4 cos sin cos, co kończy dowód, dlatego że cos cos cos

6 Schemat oceniania III sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania pkt Zdający zapisze lub wykorzysta tożsamoć 4 4 sin sin cos cos i na tym zakończy lub dalej popełni błędy Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Zdający doprowadzi równoć do postaci równoważnej sin cos 4 4 cos sin cos lub sin i na tym zakończy lub dalej popełni błędy Rozwiązanie pełne pkt Zdający przeprowadzi pełne poprawne rozumowanie IV sposób rozwiązania Przekształcamy tożsamoć następującoś 4 4 sin cos cos, 4 4 sin cos cos sin cos, sin cos 4sin cos cos sin sin cos, 4 4 sin sin cos cos 4sin cos cos sin, 4 4 sin sin cos cos cos sin, sin cos cos sin,, dla dowolnego Schemat oceniania IV sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania pkt Zdający zapisze tożsamoć w postaci równoważnej, w której wystąpią tylko funkcje kąta sin cos 4sin cos cos sin sin cos i na tym zakończy lub dalej popełni błędy Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Zdający doprowadzi równoć do postaci równoważnej i na tym zakończy lub dalej popełni błędy sin cos cos sin Rozwiązanie pełne pkt Zdający przeprowadzi pełne poprawne rozumowanie V sposób rozwiązania:

7 Przekształcamy tożsamoć następującoś 4 cos cos cos, czyli A zatem cos 4 cos cos, 4 4 4cos 4cos cos cos, 4 4 cos cos cos cos, 4 4 cos cos cos cos, L P Schemat oceniania V sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania pkt Zdający zapisze tożsamoć w postaci równoważnej, w której wystąpi tylko jedna funkcja kąta, np: cos 4 cos cos i na tym zakończy lub dalej popełni błędy Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Zdający doprowadzi równoć do postaci równoważnej 4 4 4cos 4cos cos cos i na tym zakończy lub dalej popełni błędy Rozwiązanie pełne pkt Zdający przeprowadzi pełne poprawne rozumowanie Zadanie 9 (5 pkt) Podstawą ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ABCS jest trójkąt ABC Kąt nachylenia krawędzi bocznej AS do płaszczyzny podstawy ostrosłupa jest równy kątowi między krawędziami bocznymi AS i BS zawartymi w cianie bocznej ASB tego ostrosłupa (zob rysunek) Oblicz kosinus tego kąta I sposób rozwiązania Niech O będzie rodkiem ciężkoci trójkąta równobocznego ABC, a długocią krawędzi podstawy ostrosłupa, b długocią krawędzi bocznej, za miarą równych kątówś SAO ASB

8 S C Z trójkąta prostokątnego AOS otrzymujemy równanieś a cos b Natomiast z twierdzenia cosinusów dla trójkąta ABS otrzymujemy: b a cos b Po porównaniu prawych stron obu równań oraz po uporządkowaniu otrzymujemy równanie kwadratowe (z niewiadomą a i parametrem b ): a ab 6b 0 Dodatnim rozwiązaniem tego równania jest b a przykład do pierwszego z równań i po wykonaniu obliczeń otrzymujemy Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Podstawiamy to wyrażenie na 7 cos Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania pkt Zdający wyznaczy cosinus kąta SAO : A a cos b O B wyznaczy cosinus kąta ASB : b a cos b i na tym zakończy lub dalej popełni błędy Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Zdający wyznaczy cosinusy obu kątówś a cos i b i na tym zakończy lub dalej popełni błędy b a cos b

9 Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt a b a Zdający zapisze równoć, doprowadzi ją do postaci równania kwadratowego b b z jedną niewiadomą np a i parametrem b, np a ab 6b 0 i podejmie próbę rozwiązania tego równania, obliczając na przykład wyróżnik trójmianu b 7b i na tym zakończy lub dalej popełni błędy Uwaga a ab 6b Jeżeli zdający rozważy równanie z niewiadomą b i parametrem a : wyróżnik trójmianu 6b ab a równa się a 7a 6b ab a 0, to Rozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np błędy rachunkowe) 4 pkt Rozwiązanie pełne 5 pkt Zdający rozwiąże powyższe równanie, a następnie obliczy cosinus szukanego kątaś 7 cos II sposób rozwiązania Niech O będzie rodkiem ciężkoci trójkąta równobocznego ABC, a długocią krawędzi podstawy ostrosłupa, b długocią krawędzi bocznej, miarą równych kątów, SAO ASB S C Z trójkąta prostokątnego AOS otrzymujemy równanieś A a a cos, skąd b b cos Natomiast z twierdzenia cosinusów dla trójkąta ABS otrzymujemy: a b cos O B

0 Podstawiamy do drugiego równania w miejsce b wyrażenie przekształceń otrzymujemy równanie cos cos 0 Równanie powyższe ma dwa rozwiązania a i po wykonaniu cos 7 cos 7, cos 7 Odrzucamy pierwsze rozwiązanie, ponieważ, więc szukany cosinus kąta jest równy Schemat oceniania II sposobu rozwiązania 7 cos Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania pkt Zdający wyznaczy cosinus kąta SAO a cos b zapisze równanie wynikające z twierdzenia cosinusów w trójkącie ABS, np a b cos i na tym zakończy lub dalej popełni błędy Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Zdający zapisze obydwa związkiś a cos b i na tym zakończy lub dalej popełni błędy i a b cos Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Zdający zapisze równanie trygonometryczne z niewiadomą pod znakiem funkcji cosinus, np cos cos i na tym zakończy lub dalej popełni błędy Rozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np błędy rachunkowe) 4 pkt Rozwiązanie pełne 5 pkt 7 Zdający rozwiąże powyższe równanie, odrzuci rozwiązanie cos i zapisze, że 7 cosinus szukanego kąta jest równy

Zadanie 0 (4 punkty) Liczby a, a,, a n są dodatnie i w podanej kolejnoci tworzą ciąg geometryczny Uzasadnij, że prawdziwa jest równoć n a a an a an I sposób rozwiązania Ponieważ wyrazy ciągu geometrycznego są dodatnie, więc iloraz q tego ciągu też jest liczbą dodatnią Ze wzoru na n-ty wyraz ciągu geometrycznego i otrzymujemy Ciąg,,, Stąd n n ( n ) n ( ) ( ) ( ) a a a a a a q a q a q a q, n kolejnych liczb naturalnych jest arytmetyczny i jego suma jest równaś n n ( n ) ( n ) n n n n ( n) n a q a q a q Lewą stronę równoci możemy więc zapisać w postaci n n n n n n n n a a a a q a q a q a a q a a co kończy uzasadnienie Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania pkt Zastosowanie wzoru n q a n a i zapisanie iloczynu a a a an w postaci a q n n n n, ( n) Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt n Wyznaczenie sumy ciągu arytmetycznegoś ( n) n Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt n Zapisanie lewej strony równoci w postaciś q a Rozwiązanie pełne 4 pkt Uzasadnienie, że n n a q a a q a a n II sposób rozwiązania Obie strony równoci n a a an a an podnosimy do potęgi n i otrzymujemy: a n a an a a n Przekształcamy tę równoć w sposób równoważny, korzystając ze wzoru na n-ty wyraz ciągu geometrycznego:

n n a ( a q) ( a q ) ( a q ) a ( a q ) n n ( n) n n( n) a q a q Ze wzoru na sumę początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego otrzymujemy n n ( n ) ( n ) n, i zapisujemy lewą stronę w postaciś co kończy dowód n ( n ) n ( n) n n n( n) a q a q a q Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania pkt Zastosowanie wzoru n a n aq i zapisanie równoci w postaci n n a ( a q) ( a q ) ( a q ) a ( a q ) n Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt n Wyznaczenie sumy ciągu arytmetycznegoś ( n) n Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Zapisanie lewej strony równoci w postaciś a n ( n ) n q Rozwiązanie pełne 4 pkt Uzasadnienie, że a q a q n ( n) n n( n),, Zadanie (4 pkt) Suma długoci dwóch boków trójkąta równa się 4, a kąt między tymi bokami ma miarę 0 Oblicz najmniejszą wartoć sumy kwadratów długoci wszystkich boków tego trójkąta Rozwiązanie Niech a i b oznaczają długoci tych boków tego trójkąta, między którymi jest zawarty kąt 0, za c długoć trzeciego boku trójkąta W zadaniu należy obliczyć najmniejszą wartoci funkcji S okrelonej wzorem S a b c Ponieważ ab 4, za z twierdzenia cosinusów wynika, że c a b ab, więc S możemy zapisać jako funkcję kwadratową zmiennej a, okreloną wzoremś S a a a a 0,4 gdzie Ponieważ a jest pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli będącej fragmentem wykresu funkcji oraz, więc Smin 0, co oznacza, że najmniejsza wartoć sumy kwadratów długoci boków tego trójkąta jest równa 0

Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania pkt Zdający wyznaczy kwadrat długoci trzeciego boku tego trójkąta c a b ab i na tym zakończy lub dalej popełni błędy Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Zdający zapisze sumę kwadratów długoci boków tego trójkąta jako funkcję jednej zmiennej S a a a lub S b b b i na tym zakończy lub dalej popełni błędy Uwaga Jeżeli zdający zapisze sumę kwadratów długoci boków tego trójkąta jako funkcję jednej zmiennej z błędem rachunkowym i na tym zakończy, to otrzymuje punkty Rozwiązanie pełne 4 pkt Zdający obliczy i zapisze, że najmniejsza wartoć sumy kwadratów długoci boków tego trójkąta jest równa 0 Zadanie (4 pkt) Pierwiastkami wielomianu stopnia trzeciego są liczby,, 5 Współczynnik przy najwyższej potędze zmiennej tego wielomianu jest równy Uzasadnij, że dla każdej liczby całkowitej nieparzystej wartoć tego wielomianu jest liczbą podzielną przez 4 Rozwiązanie Niech n będzie dowolną liczbą całkowitą nieparzystą, gdzie n jest liczbą całkowitą Wówczas W n n n n 5 nn n 4 n n n 4n n n Wielomian możemy zapisać w postaci W x 5 Liczby n, n, n są trzema kolejnymi liczbami całkowitymi, więc wród nich dokładnie jedna jest podzielna przez i co najmniej jedna jest parzysta Zatem iloczyn 4n n n jest podzielny przez 4 4 Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania pkt Zdający zapisze wielomian w postaci iloczynowej: W x 5

4 zapisze wielomian w postaci ogólnej, wykorzysta informację o pierwiastkach wielomianu i zapisze układ równań pozwalający obliczyć współczynniki tego wielomianu, npś a b c 0 W x ax bx c i a b c 0 5 a 5 b 5 c 0 Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Zdający zapisze wartoć wielomianu dla liczby całkowitej nieparzystej, npś W n n n n 5 obliczy współczynniki wielomianu i zapisze wartoć wielomianu dla liczby całkowitej 9 5 nieparzystej, np: W (n ) n n n Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Zdający zapisze wartoć wielomianu dla liczby całkowitej nieparzystej w postaci W n 4n n n Rozwiązanie pełne 4 pkt Zdający uzasadni, że wartoć wielomianu dla liczby całkowitej nieparzystej jest podzielna przez 4