MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY"

Transkrypt

1 EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 0/04 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMAT PUNKTOWANIA MAJ 04

2 Rozwiązania zadań i schemat punktowania poziom rozszerzony Zadanie (0 4) x x Dana jest funkcja f określona wzorem f( x) dla każdej liczby rzeczywistej x x 0 Wyznacz zbiór wartości tej funkcji Obszar standardów Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji Opis wymagań Wykorzystanie pojęcia wartości bezwzględnej i jej interpretacji geometrycznej Sporządzanie wykresu, odczytywanie własności i rozwiązywanie zadań umieszczonych w kontekście praktycznym związanych z proporcjonalnością odwrotną (IIf, 4m) Rozwiązanie Wzór funkcji f możemy zapisać w każdym ze zbiorów:,,, \ 0 symbolu wartości bezwzględnej Wówczas czyli Wykres ma więc postać x x,, bez dla x, x xx f( x) dla x, 00,, x xx dla x, x dla x, f( x) dla x,00, x dla x, y x Zbiorem wartości funkcji f jest,, -

3 Kryteria oceniania odpowiedzi poziom rozszerzony Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania pkt : zapisze przedziały:,,,,, i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy, np przy korzystaniu z definicji wartości bezwzględnej zaznaczy na osi liczbowej przedziały:,,,,, i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy, np przy korzystaniu z definicji wartości bezwzględnej Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt x x zapisze licznik ułamka w przedziałach,,,,, x bez użycia symbolu wartości bezwzględnej, np: x x xx dla x,, x x x x dla,0 0, x, x x xx dla x, Nie wymagamy, żeby zdający rozpatrując funkcję f w przedziale x 0, zapisał warunek Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt zapisze wzór funkcji f w poszczególnych przedziałach popełniając błąd rachunkowy i konsekwentnie do popełnionego błędu poda jej zbiór wartości poprawnie narysuje wykres funkcji f i błędnie odczyta zbiór wartości (np R ) Rozwiązanie pełne 4 pkt poda zbiór wartości funkcji f:,, Jeżeli zdający narysuje poprawnie wykres funkcji i nie poda zbioru jej wartości, to otrzymuje punkty

4 4 Rozwiązania zadań i schemat punktowania poziom rozszerzony Zadanie (0 ) Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których funkcja kwadratowa f ( x) x (m ) x m 5 ma dwa różne pierwiastki x, x takie, że suma kwadratów B x,0 od prostej o równaniu x y 0 jest równa odległości punktów A x,0 i Obszar standardów Użycie i tworzenie strategii Opis wymagań Rozwiązywanie zadań (również umieszczonych w kontekście praktycznym), prowadzących do badania funkcji kwadratowej Obliczanie odległości punktu od prostej (IV4l, 8c) I sposób rozwiązania Funkcja kwadratowa f ma dwa różne pierwiastki wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest warunek 0 Zatem Odległość punktu A x,0 m m 4 5 0, 4m 0, 4 m m 0,, m, od prostej o równaniu x y 0 jest równa x 0 x d od tej prostej jest równa d x Suma kwadratów tych odległości jest równa, więc otrzymujemy równość x x Przekształcając równoważnie tę równość otrzymujemy x x, x xx x, x x x x 0 0, Analogicznie odległość punktu B x,0 x x x x x x 0 0 Wykorzystując wzory Viete a otrzymujemy równanie z niewiadomą m m m m 5 0 0, 4m 8m 4 4m 0 4m 4 0 0, 4m 8m 0, m m 0, m m 0

5 Kryteria oceniania odpowiedzi poziom rozszerzony 5 Stąd m lub m Tylko dla m istnieją pierwiastki x, x II sposób rozwiązania Funkcja kwadratowa f ma dwa różne pierwiastki wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest warunek 0 Zatem m 4m50, 4m 0, 4m m 0, m,, Odległość punktu A x,0 od prostej o równaniu x y 0 jest równa x 0 x d Analogicznie odległość punktu B x,0 od tej prostej jest równa d x Suma kwadratów tych odległości jest równa, więc otrzymujemy równość x x, czyli x x Pierwiastki x, x są równe: m 4m m 4m x m m 4 oraz x m m 4 Otrzymujemy więc równanie z niewiadomą m m m 4 m m 4, m m m m 4 4, m m 8, m m m m m m m m , m 4m4 m 0 0, m m 0, m m 0 Stąd m lub m Tylko dla m istnieją pierwiastki x, x Schemat oceniania I i II sposobu oceniania Rozwiązanie zadania składa się z trzech etapów Pierwszy z nich polega na rozwiązaniu nierówności 0 :,, m

6 Rozwiązania zadań i schemat punktowania poziom rozszerzony Za poprawne rozwiązanie tego etapu zdający otrzymuje punkt Jeżeli zdający zapisze 0, to za tę część otrzymuje 0 punktów Drugi etap polega na rozwiązaniu równania d d Za tę część rozwiązania zdający otrzymuje 4 punkty Podział punktów za drugi etap rozwiązania: punkt zdający otrzymuje za zapisanie odległości punktu A lub B od prostej o równaniu x y 0 w zależności od pierwszej współrzędnej punktu: x d, d x punkty zdający otrzymuje za zapisanie x x x x x x wyrażenia d d równości d d, w postaci równoważnej, np: w postaci: x x x x x x 0 0 równania z niewiadomą m w postaci: m m 4 m m 4 punkty zdający otrzymuje za zapisanie równania stopnia drugiego z jedną niewiadomą m, np: m m m m m lub 4 punkty zdający otrzymuje za rozwiązanie tego równania: m lub m Trzeci etap polega na wyznaczeniu części wspólnej rozwiązań nierówności z etapu pierwszego i drugiego: m Rozwiązanie pełne (trzeci etap) pkt Wyznaczenie części wspólnej zbiorów rozwiązań nierówności i równania oraz podanie odpowiedzi: m Za ostatni etap punkt może zostać przyznany tylko wówczas, gdy zdający poprawnie wykona etapy I i II rozwiązania poprawnie wykona etap I i popełnia błędy w rozwiązaniu równania z etapu II, gdy popełnia błędy w etapie I i dobrze rozwiąże równanie z etapu II

7 Zadanie (0 ) Rozwiąż równanie Kryteria oceniania odpowiedzi poziom rozszerzony cos x sin x w przedziale 0, 7 Obszar standardów Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji Opis wymagań Rozwiązywanie równań i nierówności trygonometrycznych (IIeR) I sposób rozwiązania Równanie zapisujemy w postaci równoważnej cosx sinx Dzieląc obie strony równania przez otrzymujemy cos x sin x Ponieważ sin oraz cos, więc równanie możemy zapisać w postaci sin cos x cos sin x Ze wzoru na sinus różnicy dostajemy sin x Stąd x k lub x k, gdzie k jest liczbą całkowitą, czyli x k lub x k W przedziale 0, są tylko dwa rozwiązania tego równania: x, x Równanie cos x sin x możemy również zapisać w postaci równoważnej cos cos xsin sin x, a następnie zastosować wzór na cosinus sumy Wtedy otrzymujemy cosx

8 8 Stąd więc Rozwiązania zadań i schemat punktowania poziom rozszerzony x k lub x k, gdzie k jest liczbą całkowitą, x k lub x k, gdzie k jest liczbą całkowitą Do równania elementarnego, np sin x możemy również dojść nieco inaczej sin Zauważmy, że tg, czyli Zatem równanie cosx sinx możemy cos zapisać w postaci równoważnej sin cos x sin x cos, sin x Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania pkt zapisze równanie w postaci równoważnej, np: sin cos x cos sin x lub sin cos cos xsin sin x lub cos x sin x cos Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt zapisze równanie w postaci równoważnej: sin x lub cosx Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt rozwiąże równanie w zbiorze R: x k lub x k, gdzie k jest liczbą całkowitą Rozwiązanie pełne 4 pkt poda wszystkie rozwiązania równania z przedziału 0, : x, x Jeżeli zdający zapisze tylko jedną serię rozwiązań równania elementarnego i konsekwentnie poda tylko jedno rozwiązanie z przedziału 0,, to otrzymuje punkty II sposób rozwiązania

9 Kryteria oceniania odpowiedzi poziom rozszerzony Ponieważ prawa strona równania cos x sin x jest nieujemna, więc równanie ma rozwiązania tylko wtedy, gdy cos x 0 Wówczas podnosząc obie strony równania do kwadratu otrzymujemy równanie równoważne cos x sin x sin x Stąd i z jedynki trygonometrycznej otrzymujemy sin x sin x sin, x 4sin x sin x 0, sin x sin x 0 Podstawiając t sin x otrzymujemy równanie kwadratowe t t 0, tt 0 Stąd t lub t Zatem sin x lub sin x Rozwiązaniem pierwszego z tych równań jest każda liczba x k, gdzie k jest liczbą 5 całkowitą Rozwiązaniem drugiego jest każda liczba x k lub x k, gdzie k jest liczbą całkowitą 5 5 Ponieważ dla każdego k jest liczbą całkowitą mamy cos k cos 0, więc 5 żadna z liczb x k nie jest rozwiązaniem naszego równania Spośród pozostałych rozwiązań, w przedziale 0, znajdują się tylko dwie takie liczby: x, x Zamiast przekształcać równanie cos x sin x w sposób równoważny do układu równania cos x sin x sin x i nierówności cos x 0 możemy wyznaczyć wszystkie liczby z przedziału 0,, spełniające równanie cos x sin x sin x, 5 a więc liczby x, x, x, a następnie sprawdzić, które z nich spełniają równanie cos x sin x Wówczas dla x lewa strona równania jest równa cos, a prawa sin, więc liczba x jest rozwiązaniem 5 równania cos x sin x Dla x lewa strona równania jest równa cos, a prawa sin, więc liczba x nie jest 9

10 0 Rozwiązania zadań i schemat punktowania poziom rozszerzony rozwiązaniem równania cos x sin x Dla x lewa strona równania cos 0 0, a prawa sin 0, więc liczba x jest rozwiązaniem równania W przedziale 0, znajdują się dwa rozwiązania: x, x Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania pkt zapisze założenie cos x 0, a następnie zapisze równanie w postaci równoważnej, np: sin xsin x 0 Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt zapisze alternatywę równań: sin x lub sin x Wystarczy, że zdający zapisze t lub t, jeśli wykonał podstawienie Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt rozwiąże równania sin x, sin x w zbiorze R: 5 x k, x k, x k, gdzie k jest liczbą całkowitą Rozwiązanie pełne 4 pkt poda wszystkie rozwiązania równania z przedziału 0, : x, x Jeżeli zdający zapisze tylko jedną serię rozwiązań spośród x k, x k, i konsekwentnie poda tylko jedno rozwiązanie z przedziału 0,, to otrzymuje punkty III sposób rozwiązania Dopisując do równania cosx sinx jedynkę trygonometryczną otrzymujemy układ równań cosx sinx sin xcos x z niewiadomymi sin x i cos x

11 Kryteria oceniania odpowiedzi poziom rozszerzony Rozwiązując ten układ dostajemy kolejno: sin x cos x cos x cos x sin x cos x 4cos x cosx 0 sin x cos x 4cosx cosx 0 sin x cos x cos x0 lub cos x sin x sin x lub cos x 0 cos x Rozwiązując otrzymane równania elementarne mamy 5 x k x k lub x k lub, gdzie k jest liczbą całkowitą x k x k lub x k Stąd x k lub x k, gdzie k jest liczbą całkowitą W przedziale 0, znajdują się dwa rozwiązania: x, x Schemat oceniania III sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania pkt zapisze układ równań, w którym jedno z równań zawiera tylko jedną niewiadomą cos x lub sin x, np: sin x cos x cos x cos x Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt zapisze alternatywę elementarnych równań trygonometrycznych wynikających z otrzymanego układu, np: cos x 0 lub cos x Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt

12 Rozwiązania zadań i schemat punktowania poziom rozszerzony rozwiąże otrzymane równania w zbiorze R: x k lub x k lub x k lub całkowitą 5 x k, gdzie k jest liczbą Rozwiązanie pełne 4 pkt poda wszystkie rozwiązania równania z przedziału 0, : x, x Jeżeli zdający zapisze tylko jedną serię rozwiązań równania elementarnego i konsekwentnie poda tylko jedno rozwiązanie z przedziału 0,, to otrzymuje punkty IV sposób rozwiązania Narysujmy w jednym układzie współrzędnych wykresy funkcji cos gxsin x określonych w przedziale 0, y f x x oraz y=g(x) 0 x - y= f (x) - W przedziale 0, funkcja f jest malejąca, a jej wartości maleją od do 0, natomiast funkcja g jest w tym przedziale rosnąca, a jej wartości rosną od do Zatem równanie f x gx ma w tym przedziale jedno rozwiązanie Rozwiązaniem tym jest x, gdyż f cos oraz g sin Drugim rozwiązaniem równania f x gx w przedziale 0, jest x Jest to wspólne miejsce zerowe funkcji f i g Zatem w przedziale 0, znajdują się dwa rozwiązania równania: x, x Schemat oceniania IV sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania pkt rozważy dwie funkcje: f x cosx oraz g x sin x i narysuje wykres jednej z nich

13 Kryteria oceniania odpowiedzi poziom rozszerzony może rozważać funkcje określone na dowolnym zbiorze zawierającym przedział 0, Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt rozważy dwie funkcje: f x cosx oraz g x sin x i narysuje w jednym układzie współrzędnych wykresu obu tych funkcji Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt poda rozwiązania równania z przedziału 0, : x, x, ale nie sprawdzi, że f g Rozwiązanie pełne 4 pkt poda wszystkie rozwiązania równania z przedziału 0, : x, x i uzasadni, że są to wszystkie rozwiązania równania w tym przedziale, np wykona sprawdzenie f g Jeżeli zdający poda tylko jedno poprawne rozwiązanie równania z przedziału 0, : x x i wykona odpowiednie sprawdzenie, to otrzymuje punkty Zadanie 4 (0 ) Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych dodatnich x y x y y x x, y prawdziwa jest nierówność Obszar standardów Rozumowanie i argumentacja Opis wymagań Przeprowadzenie dowodu twierdzenia związanego z działaniami na wyrażeniach wymiernych: dodawaniem, odejmowaniem, mnożeniem i dzieleniem wyrażeń wymiernych, skracaniem, rozszerzaniem wyrażeń wymiernych (Vf) Rozwiązanie I sposób Przekształcając nierówność x y x y y x w sposób równoważny otrzymujemy x x y y xy, x x y y xy, x xy y x y 0, x y x y 0

14 4 Rozwiązania zadań i schemat punktowania poziom rozszerzony Ostatnia nierówność jest prawdziwa, gdyż x y 0 natomiast x 0 i y dla dowolnych liczb rzeczywistych, 0, gdyż liczby x i y są dodatnie To kończy dowód Schemat oceniania I sposobu rozwiązania otrzymuje pkt gdy zapisze lewą stronę nierówności w postaci równoważnej: x y x y poprzestanie lub dalej popełnia błędy 0 i na tym otrzymuje pkt gdy uzasadni prawdziwość nierówności x y x y 0, np stwierdzi, że x y 0 dla dowolnych liczb rzeczywistych oraz x 0 i y 0 dla liczb dodatnich x i y Rozwiązanie II sposób Ponieważ x 0 i y 0, więc x i y Stąd wynika, że x y x y x y x y y x y x y x Suma x y to suma liczby dodatniej i jej odwrotności, więc jest co najmniej równa, czyli y x x y x y W rezultacie x y y x y x, co kończy dowód x y Nierówność wynika również wprost z twierdzenia o średniej arytmetycznej y x x y y x x y x y i geometrycznej: Stąd y x y x Schemat oceniania II sposobu rozwiązania otrzymuje pkt x y x y gdy zapisze, że x y i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy y x y x otrzymuje pkt x y gdy uzasadni prawdziwość nierówności, np stwierdzi, że suma liczby dodatniej y x i jej odwrotności jest zawsze co najmniej równa lub wykorzysta nierówność między średnią arytmetyczną i średnią geometryczną

15 Kryteria oceniania odpowiedzi poziom rozszerzony Rozwiązanie III sposób x y Przekształcając nierówność x y y x w sposób równoważny otrzymujemy x x y y, y y x x x y x y y x y x Suma x y to suma liczby dodatniej i jej odwrotności, więc jest co najmniej równa, y x x y natomiast suma jest dodatnia, gdyż jest sumą dwóch dodatnich składników Zatem y x x y x y nierówność jest prawdziwa To kończy dowód y x y x x y Nierówność wynika również wprost z twierdzenia o średniej arytmetycznej y x x y y x x y x y i geometrycznej: Stąd y x y x Schemat oceniania III sposobu rozwiązania otrzymuje pkt x x y y gdy zapisze lewą stronę nierówności w postaci równoważnej: y y x x x y i w dalszym rozumowaniu dąży do wykazania, że suma jest nie mniejsza niż, ale y x popełnia błędy otrzymuje pkt x y x y x y gdy uzasadni prawdziwość nierówności, np stwierdzi, że jest y x y x y x prawdziwa dla dowolnych liczb dodatnich, co wynika z twierdzenia o sumie liczby dodatniej x i jej odwrotności oraz 0 y i y 0 dla liczb rzeczywistych dodatnich x i y x 5

16 Rozwiązania zadań i schemat punktowania poziom rozszerzony Zadanie 5 (0 5) Dane są trzy okręgi o środkach A, B, C i promieniach równych odpowiednio r, r, r Każde dwa z tych okręgów są zewnętrznie styczne: pierwszy z drugim w punkcie K, drugi z trzecim w punkcie L i trzeci z pierwszym w punkcie M Oblicz stosunek pola trójkąta KLM do pola trójkąta ABC Obszar standardów Opis wymagań Modelowanie matematyczne Znajdowanie związków miarowych w figurach płaskich, także z zastosowaniem trygonometrii, również w zadaniach umieszczonych w kontekście praktycznym (III7c) I sposób rozwiązania Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku r M r A r K C r L r r B Pole trójkąta AMK jest równe PAMK AM AK sin r sin, pole trójkąta ABC jest równe PABC AC AB sin 4rrsin r sin Zatem r sin PAMK P ABC r sin Podobnie, pole trójkąta BKL jest równe PBKL BK BL sin r sin 4r sin, natomiast pole trójkąta ABC jest równe PABC BA BC sin r5rsin 5r sin,

17 więc Kryteria oceniania odpowiedzi poziom rozszerzony 4 r sin 4 5 PBKL PABC 5r sin Pole trójkąta CLM jest równe PCLM CM CL sin r sin 9r sin, natomiast pole trójkąta ABC jest równe PABC CA CB sin 4r5rsin 0r sin, Zatem P 9 r sin CLM 9 P ABC 0r sin 0 Pole trójkąta KLM jest więc równe 4 9 PKLM PABC PAMK PBKL PCLM PABC PABC PABC PABC PABC, czyli PKLM P 5 ABC 7 Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania pkt wyrazi pole trójkąta KLM jako różnicę pól odpowiednich trójkątów: P P P P P KLM ABC AMK BKL CLM Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt wyrazi pole co najmniej jednego z trójkątów AMK, BKL lub CLM w zależności od r i sinusa odpowiedniego kąta trójkąta ABC Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt wyznaczy pole co najmniej jednego z trójkątów AMK, BKL lub CLM w zależności od 4 9 pola trójkąta ABC, np: PAMK PABC, PBKL PABC, PCLM PABC 5 0 Rozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które nie przekreślają poprawności rozwiązania (np błędy rachunkowe) 4 pkt wyznaczy pole każdego z trójkątów AMK, BKL lub CLM w zależności od pola trójkąta 4 9 ABC, np: P P, P P, P P i na tym poprzestanie AMK ABC BKL 5 ABC obliczy stosunek pola trójkąta KLM do pola trójkąta ABC, popełniając błędy rachunkowe (nawet na wcześniejszych etapach rozwiązania) CLM 0 ABC

18 8 Rozwiązania zadań i schemat punktowania poziom rozszerzony Rozwiązanie pełne 5 pkt PKLM obliczy stosunek pola trójkąta KLM do pola trójkąta ABC: P 5 II sposób rozwiązania Długości boków trójkąta ABC są równe AB r, AC 4r i BC 5r Ponieważ AB AC r r r r r r BC, więc trójkąt ABC jest prostokątny Zatem 4r 4 r sin, sin oraz PABC r 4 r r 5r 5 5r 5 Pole trójkąta prostokątnego AMK jest równe PAMK AM AK r Pole trójkąta BKL jest równe 4 8 PBKL BK BL sin r sin 4r r, 5 5 a pole trójkąta CLM jest równe 7 PCLM CM CL sin r sin 9r r 5 0 Pole trójkąta KLM jest więc równe 8 7 PKLM PABC PAMK PBKL PCLM r r r r PABC, czyli PKLM P 5 ABC Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania pkt zapisze, że trójkąt ABC jest prostokątny wyrazi pole trójkąta KLM jako różnicę pól odpowiednich trójkątów: P P P P P KLM ABC AMK BKL CLM Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt 4 obliczy sinusy kątów ostrych trójkąta ABC: sin 5, sin wyznaczy pole trójkąta ABC w zależności od r: wyznaczy pole trójkąta AMK w zależności od r: PABC PAMK r r 5 ABC

19 Kryteria oceniania odpowiedzi poziom rozszerzony Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt wyznaczy pole trójkąta ABC i pole jednego z trójkątów AMK, BKL, CLM 8 7 w zależności od r: PABC r, PAMK r, PBKL r, PCLM r 5 0 Rozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które nie przekreślają poprawności rozwiązania (np błędy rachunkowe) 4 pkt wyznaczy pole każdego z trójkątów ABC, AMK, BKL lub CLM w zależności od r i na tym poprzestanie obliczy stosunek pola trójkąta KLM do pola trójkąta ABC, popełniając błędy rachunkowe (nawet na wcześniejszych etapach rozwiązania) Rozwiązanie pełne 5 pkt PKLM obliczy stosunek pola trójkąta KLM do pola trójkąta ABC: P 5 III sposób rozwiązania Niech AB, r BC 5, r CA 4r AK AM r, BK BL r, CL CM r Zauważamy, że BAC 90, ponieważ r 4r 5r, zatem ABC 9 KM r r r r cos CBA, cos ACB 5r 5 Zatem z twierdzenia kosinusów mamy 4 5 KL 4r 4r r r r 5 5 4r 4 5r LM 9r 9r r r r 5 5 Obliczamy cos KLM : cos r KM ML KL ML KL KLM 8r r r cos KLM r r cos KLM Zatem cos KLM 4 5, więc 4 5 sin KLM

20 0 Rozwiązania zadań i schemat punktowania poziom rozszerzony Wobec tego r P KLM r r Ponieważ P r 4 r r P więc otrzymujemy P ABC, KLM ABC 5 Można obliczyć miarę kąta KLM KLM ABC 80 ACB ABC ACB 9045 Schemat oceniania III sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania pkt wyznaczy jeden z boków trójkąta KLM Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt wyznaczy trzy boki trójkąta KLM Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt wyznaczy kosinus jednego z kątów trójkąta KLM, np cos KLM Rozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które nie przekreślają poprawności rozwiązania (np błędy rachunkowe) 4 pkt wyznaczy sinus jednego z kątów trójkąta KLM, np sin KLM Rozwiązanie pełne 5 pkt PKLM obliczy stosunek pól trójkątów KLM i ABC: P 5 ABC

21 Zadanie (0 ) Kryteria oceniania odpowiedzi poziom rozszerzony Trójkąt ABC jest wpisany w okrąg o środku S Kąty wewnętrzne CAB, ABC i BCA tego trójkąta są równe odpowiednio, i 4 Wykaż, że trójkąt ABC jest rozwartokątny i udowodnij, że miary wypukłych kątów środkowych ASB, ASC i BSC tworzą w podanej kolejności ciąg arytmetyczny Obszar standardów Rozumowanie i argumentacja Opis wymagań Badanie czy dany ciąg jest arytmetyczny lub geometryczny Korzystanie ze związków między kątem środkowym, kątem wpisanym i kątem między styczną a cięciwą okręgu (V5b, 7a) Rozwiązanie Suma kątów trójkąta jest równa 80 Zatem 4 80, więc 7 80 Stąd oraz To oznacza, że trójkąt ABC jest rozwartokątny C 4 B A S Z twierdzenia o kącie środkowym i wpisanym wynika, że BSC BAC oraz ASC ABC 4 Ponadto, wypukły kąt środkowy ASB ma miarę równą ASB BSC ASC jest arytmetyczny, a jego różnica jest równa Ciąg,4, To kończy dowód Schemat oceniania otrzymuje pkt 5 gdy obliczy miarę kąta CAB: i uzasadni, że trójkąt ABC jest 7 rozwartokątny

22 Rozwiązania zadań i schemat punktowania poziom rozszerzony nie musi obliczać miary kąta CAB Wystarczy, że zapisze otrzymuje pkt gdy rozważy poprawnie wpisany w okrąg trójkąt ABC i wykorzysta twierdzenie o kącie środkowym i wpisanym do wyznaczenia miary kątów środkowych ASC i BSC w zależności od : ASC 4 oraz BSC otrzymuje pkt gdy wyznaczy miary wypukłych kątów środkowych ASB, ASC i BSC i stwierdzi, że tworzą one w podanej kolejności ciąg arytmetyczny: ASB, ASC 4, BSC Jeżeli zdający nie uzasadni, że trójkąt ABC jest rozwartokątny, a udowodni, że miary kątów tworzą ciąg arytmetyczny, to otrzymuje punkty Zadanie 7 (0 ) Ciąg geometryczny a n ma 00 wyrazów i są one liczbami dodatnimi Suma wszystkich wyrazów o numerach nieparzystych jest sto razy większa od sumy wszystkich wyrazów o numerach parzystych oraz log alog a log a log a00 00 Oblicz a Obszar standardów Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji Opis wymagań Badanie czy dany ciąg jest arytmetyczny lub geometryczny Stosowanie wzorów na n-ty wyraz i sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego i ciągu geometrycznego (II5b, c) Rozwiązanie Ponieważ wszystkie wyrazy ciągu a n są dodatnie i suma wszystkich jego wyrazów o numerach nieparzystych jest 00 razy większa od sumy wszystkich wyrazów o numerach parzystych, więc ciąg ten nie jest stały Zauważmy, że ciąg, którego kolejnymi wyrazami są wyrazy ciągu geometrycznego o numerach nieparzystych również jest geometryczny, a jego iloraz jest równy q, gdzie q oznacza iloraz ciągu a n Tak samo ciąg, którego kolejnymi wyrazami są wyrazy ciągu an o numerach parzystych jest geometryczny i jego iloraz również jest równy q Każdy z tych ciągów ma po 50 wyrazów Ze wzoru na sumę n-początkowych wyrazów ciągu geometrycznego otrzymujemy równanie Stąd mamy 00 q q a 00a q q a a, czyli a 00aq Zatem q, gdyż a 0 00

23 Kryteria oceniania odpowiedzi poziom rozszerzony Ponieważ log alog a log a log a00 00, więc z własności logarytmów otrzymujemy log a a a a00 00 Z definicji logarytmu otrzymujemy więc 00 a a a a00 0 Stąd i ze wzoru na n-ty wyraz ciągu geometrycznego dostajemy równanie z niewiadomą a a a a a 0, a 0 00 Ze wzoru na sumę n-początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego mamy Stąd a, a, a Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania pkt zauważy, że ciąg, którego kolejnymi wyrazami są wyrazy ciągu geometrycznego o numerach nieparzystych jest geometryczny oraz ciąg, którego kolejnymi wyrazami są wyrazy ciągu an o numerach parzystych jest geometryczny, a iloraz każdego z tych ciągów jest taki sam zapisze równość aaa5 a99 00aq aqa5qa99q wykorzysta wzór na sumę logarytmów i definicję logarytmu oraz zapisze równość 00 log a log a log a log a 00 w postaci: a a a a Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt zapisze równanie z niewiadomymi a i q: q q a 00a q q

24 4 Rozwiązania zadań i schemat punktowania poziom rozszerzony zapisze równość a a a a 00qa a a a zapisze równość a a q a q a q Pokonanie zasadniczych trudności zadania 4 pkt zapisze równanie z niewiadomą a, np: 99 a a a a zapisze zależności a q 0 i q 00 Jeżeli zdający obliczy iloraz ciągu geometrycznego: popełnia błędy rzeczowe, to otrzymuje punkty 00 q i na tym poprzestanie lub dalej 00 Rozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które nie przekreślają poprawności rozwiązania (np błędy rachunkowe) 5 pkt zapisze równanie w postaci popełnia błędy a i na tym zakończy lub dalej 00 Rozwiązanie pełne pkt 00 obliczy pierwszy wyraz ciągu: a 0 Zadanie 8 (0 4) Punkty A, B, C, D, E, F są kolejnymi wierzchołkami sześciokąta foremnego, przy czym A 0,, B, 0, a C leży na osi Ox Wyznacz równanie stycznej do okręgu opisanego na tym sześciokącie przechodzącej przez wierzchołek E Obszar standardów Użycie i tworzenie strategii Opis wymagań Rozwiązywanie zadań dotyczących wzajemnego położenia prostej i okręgu (IV8bR) Rozwiązanie Obliczmy długość boku sześciokąta AB 4 Ponieważ wierzchołek C tego sześciokąta leży na osi Ox, więc C,0

25 y Kryteria oceniania odpowiedzi poziom rozszerzony 5 F E A S D 0 B C x Środek S okręgu opisanego na tym sześciokącie ma zatem współrzędne S 4, Punkt S jest środkiem przekątnej BE sześciokąta, więc xb xe yb ye xe 0 ye S,, Zatem x E ye 4 i Stąd xe i ye 4, więc E, 4 Styczna do okręgu opisanego na sześciokącie foremnym ABCDEF poprowadzona przez wierzchołek E tego sześciokąta jest prostopadła do prostej BE Ponieważ współczynnik kierunkowy prostej BE jest równy ye yb 4 0, x x E B więc współczynnik kierunkowy stycznej jest równy Zatem styczna ma równanie y x 4, czyli y x Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania pkt zapisze długość boku sześciokąta ABCDEF: AB 4 zapisze współrzędne środka S okręgu opisanego na sześciokącie: S 4,

26 Rozwiązania zadań i schemat punktowania poziom rozszerzony obliczy lub poda współczynnik kierunkowy prostej BE: Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt obliczy lub poda współczynnik kierunkowy prostej BE: i obliczy lub poda współrzędne wierzchołka E: E, 4 zapisze, że prosta AC jest równoległa do stycznej obliczy lub poda współczynnik kierunkowy prostej AC: Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt obliczy współczynnik kierunkowy stycznej: Jeśli zdający obliczy współczynnik kierunkowy stycznej, ale nie obliczy współrzędnych punktu E, to otrzymuje punkty Rozwiązanie pełne 4 pkt zapisze równanie stycznej: y x lub y x 4 Zadanie 9 (0 ) Oblicz objętość ostrosłupa trójkątnego ABCS, którego siatka została przedstawiona na rysunku 5 C A 48 B 5 Obszar standardów Opis wymagań Modelowanie matematyczne Wyznaczanie związków miarowych w wielościanach i bryłach obrotowych z zastosowaniem trygonometrii (III9b) I sposób rozwiązania Przyjmijmy, że podstawą ostrosłupa jest trójkąt ABC Wówczas każda z krawędzi bocznych AS, BS i CS ma długość 5 Pozostałe oznaczenia przyjmijmy takie jak na rysunku

27 Kryteria oceniania odpowiedzi poziom rozszerzony S R C O D 0 E 4 0 A Ponieważ wszystkie krawędzie boczne ostrosłupa mają tę samą długość, więc spodek O wysokości SO ostrosłupa jest punktem przecięcia symetralnych boków jest podstawy, a więc jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie ABC Obliczmy promień R tego okręgu Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta ADC otrzymujemy AD DC AC, czyli 4 DC 40 Stąd DC 40 4 Trójkąty OEC i ADC są podobne (oba są prostokątne i mają wspólny kąt ostry przy wierzchołku C), więc OC AC R 40, czyli CE CD 0 Stąd R 5 Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta COS otrzymujemy OC SO CS, czyli 5 h 5 Stąd h Pole trójkąta ABC jest równe PABC AB CD Objętość ostrosłupa jest więc równa VABCS PABC h Pole trójkąta ABC możemy obliczyć stosując wzór Herona PABC p pa pb pc Promień R okręgu opisanego na trójkącie ABC możemy obliczyć wykorzystując wzór h h h B

28 8 Stąd Rozwiązania zadań i schemat punktowania poziom rozszerzony P ABC abc 4R abc R 5 4P 478 ABC Schemat punktowania I sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania pkt obliczy jedną z wielkości potrzebnych do obliczenia pola trójkąta ABC, np DC obwód tego trójkąta Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt obliczy pole trójkąta ABC: P 78 ABC obliczy wysokość trójkąta ABC opuszczoną z wierzchołka C oraz zapisze, że spodek O wysokości SO ostrosłupa jest środkiem okręgu opisanego na podstawie ostrosłupa Wystarczy, że zdający oblicza promień okręgu opisanego na trójkącie ABC Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt zapisze równanie pozwalające obliczyć promień okręgu opisanego na trójkącie ABC, R 40 np: 78 lub 4 R 0 Rozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które nie przekreślają poprawności rozwiązania (np błędy rachunkowe) 5 pkt obliczy wysokość ostrosłupa i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy: h 0 obliczy objętość popełniając błędy rachunkowe (nawet na wcześniejszych etapach rozwiązania) pominie we wzorze na objętość współczynnik i otrzyma: VABCS 4080 pominie we wzorze na pole trójkąta współczynnik i otrzyma: PABC 5, VABCS 070 Jeżeli zdający obliczy promień okręgu opisanego na trójkącie ABC: R 5 oraz zapisze równanie pozwalające obliczyć wysokość ostrosłupa, np: 5 h 5 i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy, to otrzymuje 4 punkty Rozwiązanie pełne pkt obliczy objętość ostrosłupa: VABCS 50

29 Kryteria oceniania odpowiedzi poziom rozszerzony 9 Jeżeli zdający pominie we wzorze na objętość ostrosłupa współczynnik i pominie współczynnik we wzorze na pole trójkąta, to otrzymuje co najwyżej punkty za całe zadanie II sposób rozwiązania Przyjmijmy, że podstawą ostrosłupa jest trójkąt ABC Wówczas każda z krawędzi bocznych AS, BS i CS ma długość 5 Pozostałe oznaczenia przyjmijmy takie jak na rysunku S 5 5 h h h B C O x D 0 E 4 0 A Ponieważ krawędzie podstawy AC i BC mają równe długości i krawędzie boczne AS i BS mają równe długości, więc spodek O wysokości SO ostrosłupa leży na symetralnej CD odcinka AB Odcinek CD jest również wysokością trójkąta ABC opuszczoną z wierzchołka C Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta ADC otrzymujemy AD DC AC, czyli 4 DC 40 Stąd DC 40 4 Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta ADS otrzymujemy AD DS AS, czyli 4 h 5 Stąd h Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkątów DOS i COS otrzymujemy czyli DO SO SD oraz x x 4 OC SO CS, h 49 oraz x h 5 h 49 oraz 4xx h 5

30 0 Rozwiązania zadań i schemat punktowania poziom rozszerzony Stąd więc 4x 49 5, x 7, h Pole trójkąta ABC jest równe PABC AB CD Objętość ostrosłupa jest więc równa VABCS PABC h Możemy też przyjąć, że podstawą tego ostrosłupa jest trójkąt ABS i wówczas wysokość ostrosłupa będzie odcinkiem CM, gdzie punkt M leży na wysokości SD tej podstawy Tak jak w II sposobie rozwiązania obliczamy CD oraz SD 49 Oznaczając MD y oraz CM h, a następnie stosując twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta MDC i trójkąta ASM otrzymujemy MD CM CD oraz SM CM CS, czyli y h oraz 49 y h 5, y h 04 oraz y y h 45, Stąd y 04 45, 4 y 49 4 Zatem h 04 y Pole trójkąta ABC jest równe PABS AB SD Objętość ostrosłupa jest więc równa 90 VABSC PABS h Schemat punktowania II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania pkt obliczy jedną z wielkości potrzebnych do obliczenia pola trójkąta ABC, np DC obwód tego trójkąta

31 Kryteria oceniania odpowiedzi poziom rozszerzony Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt obliczy pole trójkąta ABC: P ABC 78 obliczy wysokość trójkąta ABS opuszczoną z wierzchołka S oraz wysokość trójkąta ABC opuszczoną z wierzchołka C: SD 49, DC Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt zapisze układ równań pozwalający obliczyć wysokość ostrosłupa opuszczoną na podstawę ABC z wierzchołka S: x h 49 i x h 5 zapisze układ równań pozwalający obliczyć wysokość ostrosłupa opuszczoną na podstawę ABS z wierzchołka C: x h i 49 x h 5 Rozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które nie przekreślają poprawności rozwiązania (np błędy rachunkowe) 5 pkt obliczy wysokość ostrosłupa opuszczoną na podstawę ABC z wierzchołka S i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy: h 0 obliczy wysokość ostrosłupa opuszczoną na podstawę ABS z wierzchołka C i na tym 90 poprzestanie lub dalej popełnia błędy: h 49 obliczy objętość popełniając błędy rachunkowe (nawet na wcześniejszych etapach rozwiązania) pominie we wzorze na objętość współczynnik i otrzyma: VABCS 4080 pominie we wzorze na pole trójkąta współczynnik i otrzyma: PABC 5, VABCS 070 Jeżeli zdający obliczy długość odcinka OD: x 7 i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy, to otrzymuje 4 punkty Podobnie jeśli zdający obliczy długość odcinka MD: 4 y i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy, to otrzymuje 4 punkty 49 Rozwiązanie pełne pkt obliczy objętość ostrosłupa: VABCS 50

32 Rozwiązania zadań i schemat punktowania poziom rozszerzony Jeżeli zdający pominie we wzorze na objętość ostrosłupa współczynnik i pominie współczynnik we wzorze na pole trójkąta, to otrzymuje co najwyżej punkty za całe rozwiązanie Zadanie 0 (0 5) Wyznacz wszystkie całkowite wartości parametru m, dla których równanie x x x x mxm m 0 ma trzy różne pierwiastki rzeczywiste takie, że jeden z nich jest średnią arytmetyczną dwóch pozostałych Obszar standardów Opis wymagań Modelowanie matematyczne Stosowanie twierdzenia o pierwiastkach wymiernych wielomianu o współczynnikach całkowitych (IIIcR) I sposób rozwiązania Zauważmy, że jednym z pierwiastków równania jest liczba, gdyż 0 Pozostałe pierwiastki wielomianu równania to pierwiastki trójmianu kwadratowego P x x m xm m Ponieważ m 4 m m 4m 4m4m 4m, więc tymi m m pierwiastkami są liczby x m, x m Wyznaczmy wszystkie wartości parametru m, dla których jeden z pierwiastków wielomianu W x jest średnią arytmetyczną dwóch pozostałych Mamy więc m m m m lub m lub m Stąd m lub m 0 lub m Ponieważ m jest liczbą całkowitą, więc istnieją dwie szukane wartości parametru m: m 0 lub m Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania pkt sprawdzi, że jednym z pierwiastków równania jest Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt stwierdzi, że pozostałymi pierwiastkami równania są pierwiastki trójmianu x m xm m kwadratowego Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt

33 Kryteria oceniania odpowiedzi poziom rozszerzony wyznaczy wszystkie pierwiastki wielomianu poprzestanie lub dalej popełnia błędy W x :, m, m i na tym Rozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które nie przekreślają poprawności rozwiązania (np błędy rachunkowe) 4 pkt zapisze równania pozwalające obliczyć szukane wartości parametru m: mm m m lub m lub m zapisze jedno z równań i konsekwentnie obliczy wartość parametru m (w przypadku mm równania sformułuje wniosek, że nie istnieje taka całkowita wartość parametru m) rozwiąże zadanie do końca z błędami rachunkowymi, konsekwentnie formułując końcowy wniosek Rozwiązanie pełne 5 pkt wyznaczy szukane całkowite wartości parametru: m, m 0 Jeżeli zdający zapisze równania pozwalające obliczyć szukane wartości parametru m: mm m m lub m lub m, rozwiąże je i nie odrzuci m, to otrzymuje 4 punkty II sposób rozwiązania ( wzory Viete a ) Zauważmy, że jednym z pierwiastków równania jest liczba, gdyż 0 Pozostałe pierwiastki wielomianu równania to pierwiastki trójmianu kwadratowego P x x m xm m Ponieważ m 4 m m 4m 4m4m 4m, więc ten trójmian ma dwa różne pierwiastki x i x, spełniające zależności: xx m, x x m m Wyznaczymy teraz wszystkie wartości parametru m, dla których jeden z pierwiastków wielomianu W x jest średnią arytmetyczną dwóch pozostałych Zapisujemy więc równości x x x x lub x lub x Uwzględniając wzory Viete a, z pierwszego równania otrzymujemy m Ponieważ m jest liczba całkowitą, więc to rozwiązanie odrzucamy Z drugiego równania wyznaczamy x x, a następnie ze wzoru Viete a na sumę pierwiastków otrzymujemy x m Po podstawieniu tej zależności do wzoru Viete a na iloczyn pierwiastków otrzymujemy równanie:

34 4 Rozwiązania zadań i schemat punktowania poziom rozszerzony m mm m Po przekształceniach to równanie przyjmuje postać: m m 0 Równanie to ma dwa rozwiązania: oraz 0, stanowiące szukane całkowite wartości parametru Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania pkt sprawdzi, że jednym z pierwiastków równania jest Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt stwierdzi, że pozostałymi pierwiastkami równania są pierwiastki trójmianu x m xm m kwadratowego Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt x x x x zapisze równanie i co najmniej jedno z równań x, x oraz oba równania wynikające z wzorów Viete a: xx m i x x m m x x Jeżeli zdający zapisze jedynie równanie, rozwiąże je, otrzymując m, i odrzuci ten wynik, to otrzymuje punkty Rozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które nie przekreślają poprawności rozwiązania (np błędy rachunkowe) 4 pkt doprowadzi układ równań, np x x x x m x x m m 4 do równania kwadratowego z niewiadomą m, np m mm m Rozwiązanie pełne 5 pkt wyznaczy szukane całkowite wartości parametru: m, m 0

35 Zadanie (0 4) Kryteria oceniania odpowiedzi poziom rozszerzony Z urny zawierającej 0 kul ponumerowanych liczbami od do 0 losujemy jednocześnie trzy kule Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że numer jednej z wylosowanych kul jest równy sumie numerów dwóch pozostałych 5 Obszar standardów Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji Opis wymagań Wykorzystanie własności prawdopodobieństwa i stosowanie twierdzenia znanego jako klasyczna definicja prawdopodobieństwa do obliczania prawdopodobieństw zdarzeń (II0d) I sposób rozwiązania (model klasyczny-kombinacje) Zdarzeniami elementarnymi są trzyelementowe podzbiory abc,, zbioru,,, 0 Mamy do czynienia z modelem klasycznym Liczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa 0 0! ! 7! Niech A oznacza zdarzenie - wylosujemy takie trzy kule, że numer jednej z wylosowanych kul będzie równy sumie numerów dwóch pozostałych Wystarczy wyznaczyć liczbę takich zbiorów abc,,, że a b c i a b c Liczba a może przyjąć wszystkie wartości od 0 do włącznie I tak: , więc są 4 takie podzbiory, gdzie a 0, , więc są 4 takie podzbiory, gdzie a 9, 875, więc są takie podzbiory, gdzie a 8, 754, więc są takie podzbiory, gdzie a 7, 54, więc są takie podzbiory, gdzie a, 54, więc są takie podzbiory, gdzie a 5, 4, więc jest taki podzbiór, gdzie a 4,, więc jest taki podzbiór, gdzie a W rezultacie A Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest więc równe 0 PA ( ) 0 Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania pkt 0 zapisze liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych: abc,,, gdzie opisze zdarzenie elementarne sprzyjające zdarzeniu A, np w postaci a b c i a b c

36 Rozwiązania zadań i schemat punktowania poziom rozszerzony może również zapisać a b c lub b a c lub c a b Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt opisze zdarzenia sprzyjające np w postaci abc,,, gdzie a b c i a bcoraz obliczy ich liczbę: A 0 0 zapisze liczbę wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych: i opisze zdarzenia sprzyjające np w postaci abc,,, gdzie a b c i a b c Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt 0 zapisze liczbę wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych: oraz opisze zdarzenia sprzyjające np w postaci abc,,, gdzie a b c i a b c oraz obliczy ich liczbę: A 0 Rozwiązanie pełne 4 pkt 0 obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia A: PA ( ) 0 Uwagi Jeżeli zdający wypisując zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A pominie co najwyżej jeden przypadek i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to otrzymuje punkty Jeżeli zdający wypisując zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A zapisze podzbiór, który nie jest zdarzeniem elementarnym w przyjętym modelu, np 0,5,5, to może otrzymać co najwyżej punkt, o ile poprawnie zapisze liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych Jeżeli zdający poprawnie poda liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych, poprawnie opisze zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A (lub je wypisze) i poda ich liczbę, ale popełni błędy rachunkowe i otrzymany wynik jest z przedziału (0,), to otrzymuje punkty Jeżeli natomiast otrzyma wynik PA ( ), to otrzymuje 0 punktów za całe zadanie II sposób rozwiązania (model klasyczny-wariacje) Niech zdarzeniem elementarnym będzie trzywyrazowy ciąg abc,,, którego wyrazami są liczby ze zbioru,,, 0 takie, że a b i a c i b c Mamy do czynienia z modelem klasycznym Liczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa Niech A oznacza zdarzenie, że wylosujemy takie trzy kule, że numer jednej z wylosowanych kul będzie równy sumie numerów dwóch pozostałych Wystarczy wyznaczyć liczbę takich ciągów abc,,, że a b c i a b c, czyli ciągów malejących Liczba a może przyjąć wszystkie wartości od 0 do włącznie I tak: , więc są 4 takie ciągi, gdzie a 0, , więc są 4 takie ciągi, gdzie a 9, 875, więc są takie ciągi, gdzie a 8,

37 Kryteria oceniania odpowiedzi poziom rozszerzony 754, więc są takie ciągi, gdzie a 7, 54, więc są takie ciągi, gdzie a, 54, więc są takie ciągi, gdzie a 5, 4, więc jest taki ciąg, gdzie a 4,, więc jest taki ciąg, gdzie a Z każdego takiego ciągu malejącego można utworzyć! zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A W rezultacie A! Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest więc równe 0 PA ( ) 70 7 Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania pkt zapisze liczbę wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych: 09 8 opisze zdarzenie elementarne sprzyjające zdarzeniu A, np w postaci abc,,, gdzie a b c lub ba c lub c a b Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt abc,,, gdzie a b c lub ba c lub opisze zdarzenia sprzyjające np w postaci ca b oraz obliczy liczbę ciągów,, ab c i ab c): 49 opisze zdarzenia sprzyjające np w postaci,, ca b oraz obliczy liczbę ciągów,, abc, gdzie a b c i a b c ( abc, gdzie a b c lub ba c lub abc w jednej z tych sytuacji, np w sytuacji, gdy a b c zapisze liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych: 09 8 i opisze zdarzenia sprzyjające zajściu zdarzenia A, np w postaci abc,,, gdzie a b c lub b a c lub ca b Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt zapisze liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych: 09 8 oraz opisze zdarzenia sprzyjające zajściu zdarzenia A, np w postaci abc,,, gdzie a b c lub ba c lub ca b oraz obliczy ich liczbę: A 0 Rozwiązanie pełne 4 pkt obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia A: PA ( )

38 8 Rozwiązania zadań i schemat punktowania poziom rozszerzony Uwagi Jeżeli zdający wypisując zdarzenia elementarne sprzyjające postaci,, abc, gdzie a b c i a b c ( ab c i a b c), pominie co najwyżej jedno i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to otrzymuje punkty Jeżeli zdający wypisując zdarzenia elementarne sprzyjające postaci abc,,, gdzie a b c i a b c ( ab c i a b c) zapisze ciąg, który nie jest zdarzeniem elementarnym w przyjętym modelu, np 0,5,5, to może otrzymać co najwyżej punkt, o ile poprawnie zapisze liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych Jeżeli zdający poprawnie poda liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych, poprawnie opisze zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A (lub je wypisze) i poda ich liczbę, ale popełni błędy rachunkowe, jednak otrzymany wynik jest z przedziału (0,), to otrzymuje punkty Jeżeli natomiast otrzyma wynik PA ( ), to otrzymuje 0 punktów za całe zadanie 4 Jeżeli zdający stosuje różne modele probabilistyczne do obliczenia i A, to otrzymuje 0 punktów

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015 EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 0/0 FORMUŁA OD 0 ( NOWA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 0 Egzamin maturalny z matematyki nowa formuła Klucz

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 018-019 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ZADAŃ KIELCE MARZEC 019 Str. Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2014 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2014 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 0 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań otwartych i schematy oceniania Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

Rozwiązania zadań otwartych i schematy oceniania Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 5 6 7 8 9 0 5 6 7 8 9 0 A D B B C D C C D D A B D B B A C B C A Zadanie. (0-) Rozwiąż nierówność

Bardziej szczegółowo

Materiał ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy Styczeń Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania

Materiał ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy Styczeń Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania Materiał ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy Styczeń 0 Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania KLUCZ ODPOWIEDZI DO ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH Nr zadania 4 5 6 7 8 9 0 4 5 6 7 8 9 0 Odpowiedź

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 05/0 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY FORMUŁA OD 05 ( NOWA MATURA ) i FORMUŁA DO 0 ( STARA MATURA ) ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P SIERPIEŃ 0 Klucz punktowania

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZMIN MTURLNY 00 MTEMTYK POZIOM PODSTWOWY Klucz punktowania odpowiedzi MJ 00 Egzamin maturalny z matematyki Zadania zamknięte W zadaniach od. do 5. podane były

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 3 4 6 7 8 9 0 3 4 6 7 8 9 0 D C D A A B D C C D B C A B B D B C A A Zadanie. (pkt) Rozwiąż

Bardziej szczegółowo

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie. a) Wiadomości i rozumienie Matematyka poziom rozszerzony Wykorzystanie pojęcia wartości argumentu i wartości

Bardziej szczegółowo

Uwaga. 1. Jeśli uczeń poda tylko rozwiązania ogólne, to otrzymuje 4 punkty.

Uwaga. 1. Jeśli uczeń poda tylko rozwiązania ogólne, to otrzymuje 4 punkty. Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KRYTERIA OCENIANIA-POZIOM ROZSZERZONY Zadanie 1. (4 pkt) Rozwiąż równanie: w przedziale. 1 pkt Przekształcenie równania

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2014 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2014 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 2013 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM

Bardziej szczegółowo

D B C B C D A C A C B D C C A B C B A A. Schemat oceniania zadań otwartych

D B C B C D A C A C B D C C A B C B A A. Schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych TECHNIKUM Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 6 7 8 9 0 6 7 8 9 0 D B C B C D A C A C B D C C A B C B A A Zadanie (pkt) Rozwiąż

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 05/06 FORMUŁA DO 0 ( STARA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 06 Zadanie. ( pkt) Rozwiąż nierówność + 5 + 6

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015 EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 04/0 FORMUŁA OD 0 ( NOWA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-R CZERWIEC 0 Klucz punktowania zadań zamkniętych Nr zad. 3

Bardziej szczegółowo

Sponsorem wydruku schematu odpowiedzi jest wydawnictwo

Sponsorem wydruku schematu odpowiedzi jest wydawnictwo Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA Sponsorem wydruku schematu odpowiedzi jest wydawnictwo KRYTERIA OCENIANIA POZIOM PODSTAWOWY Katalog poziom podstawowy

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZMIN MTURLNY W ROKU SZKOLNYM 016/017 FORMUŁ OD 015 i DO 014 ( NOW MTUR i STR MTUR ) MTEMTYK POZIOM PODSTWOWY ZSDY OCENINI ROZWIĄZŃ ZDŃ RKUSZ MM-P1 SIERPIEŃ 017 Zadania zamknięte Punkt przyznaje się za

Bardziej szczegółowo

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie. a) Matematyka poziom podstawowy Wyznaczanie wartości funkcji dla danych argumentów i jej miejsca zerowego.

Bardziej szczegółowo

Próbny egzamin maturalny z matematyki 2010

Próbny egzamin maturalny z matematyki 2010 Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Próbny egzamin maturalny z matematyki 00 Klucz punktowania do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania do zadań

Bardziej szczegółowo

Przykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki Odpowiedzi i schemat punktowania poziom rozszerzony

Przykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki Odpowiedzi i schemat punktowania poziom rozszerzony ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM ROZSZERZONY Nr zadania Nr czynności Etapy rozwiązania zadania Liczba punktów Uwagi... Wprowadzenie oznaczeń: x, x, y poszukiwane liczby i zapisanie równania:

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2013 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2013 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Kryteria oceniania odpowiedzi MAJ 0 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie (0 ) Rozwiąż nierówność x x x Obszar standardów

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015 EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 0/05 FORMUŁA DO 0 ( STARA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 05 Klucz punktowania zadań zamkniętych Nr zad. 3

Bardziej szczegółowo

Egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszzerzony. Rozwiązanie Przekształcamy równanie do postaci, w której występuje tylko jedna funkcja

Egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszzerzony. Rozwiązanie Przekształcamy równanie do postaci, w której występuje tylko jedna funkcja Zadanie ( pkt) Wyznacz wszystkie rozwiązania równania, π sin 7cos = należące do przedziału Rozwiązanie Przekształcamy równanie do postaci, w której występuje tylko jedna funkcja cos 7 cos = trygonometryczna

Bardziej szczegółowo

Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KLUCZ PUNKTOWANIA ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH B D C A B B A B A C D A

Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KLUCZ PUNKTOWANIA ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH B D C A B B A B A C D A Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KLUCZ PUNKTOWANIA ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH Nr zad Odp. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B D C A B B A B A C D A Nr zad Odp. 13 14 15

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Kryteria oceniania odpowiedzi CZERWIEC 0 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie (0-) Obszar standardów Modelowanie matematyczne

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA entralna Komisja Egzaminacyjna EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY Kryteria oceniania odpowiedzi SIERPIEŃ 0 Zadanie. (0 ) Zakres umiejętności (standardy) Opis wymagań Wykonuje obliczenia procentowe;

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA entralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZMIN MTURLNY 010 MTEMTYK POZIOM PODSTWOWY Klucz punktowania odpowiedzi MJ 010 Egzamin maturalny z matematyki Zadania zamknięte W zadaniach od 1. do 5. podane

Bardziej szczegółowo

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie 1. Matematyka poziom podstawowy Wyznaczanie wartości funkcji dla danych argumentów i jej miejsca zerowego. Zdający

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZAMIN MATURALNY 00 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Klucz punktowania odpowiedzi MAJ 00 Egzamin maturalny z matematyki Za prawidłowe rozwiązanie każdego z zadań

Bardziej szczegółowo

KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka Poziom podstawowy

KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka Poziom podstawowy KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Matematyka Poziom podstawowy Marzec 09 Zadania zamknięte Za każdą poprawną odpowiedź zdający otrzymuje punkt. Poprawna odpowiedź. D 8 9 8 7. D. C 9 8 9 8 8 9 8 9 8 ( 89 )

Bardziej szczegółowo

Przykładowe rozwiązania

Przykładowe rozwiązania Przykładowe rozwiązania (E. Ludwikowska, M. Zygora, M. Walkowiak) Zadanie 1. Rozwiąż równanie: w przedziale. ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) Uwzględniając, że x otrzymujemy lub lub lub. Zadanie. Dany jest czworokąt

Bardziej szczegółowo

Sponsorem wydruku schematu odpowiedzi jest wydawnictwo

Sponsorem wydruku schematu odpowiedzi jest wydawnictwo Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA Sponsorem wydruku schematu odpowiedzi jest wydawnictwo KRYTERIA OCENIANIA POZIOM ROZSZERZONY Katalog zadań poziom rozszerzony

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2011 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2011 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY MAJ 0 Egzamin maturalny z matematyki poziom rozszerzony Zadanie (0 4) Obszar standardów Użycie i tworzenie

Bardziej szczegółowo

OCENIANIE ARKUSZA POZIOM ROZSZERZONY

OCENIANIE ARKUSZA POZIOM ROZSZERZONY OCENIANIE ARKUSZA POZIOM ROZSZERZONY Numer zadania... Etapy rozwiązania zadania Przekształcenie wzoru funkcji do żądanej postaci f( x) = + lub f( x) =. x x I sposób rozwiązania podpunktu b). Zapisanie

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 06/07 FORMUŁA OD 05 ( NOWA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 07 Klucz punktowania zadań zamkniętych Nr 3 5 6

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2011 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2011 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY MAJ 0 Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy Zadanie (0 ) Obszar standardów i tworzenie informacji

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZMN MTURLNY W ROKU SZKOLNYM 06/0 FORMUŁ O 04 ( STR MTUR ) MTEMTYK POZOM POSTWOWY ZSY OENN ROZWĄZŃ ZŃ RKUSZ MM-P MJ 0 Zadania zamknięte Punkt przyznaje się za wskazanie poprawnej odpowiedzi Zadanie (0

Bardziej szczegółowo

Materiał ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy Styczeń Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania

Materiał ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy Styczeń Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania Materiał ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy Styczeń 0 Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Poznaniu KLUCZ ODPOWIEDZI DO ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 018-019 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ZASADY OCENIANIA ZADAŃ KIELCE MARZEC 019 Str. KLUCZ ODPOWIEDZI DO ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH Nr zadania 1 3 4 Liczba punktów D B A

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 7-8 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ZADAŃ KIELCE MARZEC 8 Str. zasady oceniania zadań poziom podstawowy MARZEC 8 Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych

Bardziej szczegółowo

PRÓBNA NOWA MATURA z WSiP. Matematyka dla klasy 2 Poziom podstawowy. Zasady oceniania zadań

PRÓBNA NOWA MATURA z WSiP. Matematyka dla klasy 2 Poziom podstawowy. Zasady oceniania zadań PRÓBNA NOWA MATURA z WSiP Matematyka dla klasy Poziom podstawowy Zasady oceniania zadań Copyright by Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne sp. z o.o., Warszawa 0 Matematyka dla klasy Poziom podstawowy Kartoteka

Bardziej szczegółowo

PRÓBNA NOWA MATURA z WSiP. Zasady oceniania zadań

PRÓBNA NOWA MATURA z WSiP. Zasady oceniania zadań PRÓBNA NOWA MATURA z WSiP Matematyka dla klasy Poziom podstawowy Zasady oceniania zadań Copyright by Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne sp. z o.o., Warszawa 0 Matematyka dla klasy Poziom podstawowy Numer

Bardziej szczegółowo

OCENIANIE ARKUSZA POZIOM ROZSZERZONY

OCENIANIE ARKUSZA POZIOM ROZSZERZONY Numer zadania... Etapy rozwiązania zadania Przekształcenie wzoru funkcji do żądanej postaci f( x) = + lub f( x) x = x. I sposób rozwiązania podpunktu b). Zapisanie wzoru funkcji w postaci sumy OCENIANIE

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZAMIN MATURALNY MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Klucz punktowania odpowiedzi MAJ Egzamin maturalny z matematyki Za prawidłowe rozwiązanie każdego z zadań inną

Bardziej szczegółowo

KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka Poziom podstawowy

KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka Poziom podstawowy KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Matematyka Poziom podstawowy Listopad 0 Zadania zamknięte Za każdą poprawną odpowiedź zdający otrzymuje punkt. Poprawna odpowiedź. B ( ) 9 : 7 = 7 = 7 6 5 5. B log ( log0

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 03/0 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMAT PUNKTOWANIA SIERPIEŃ 0 Klucz punktowania zadań zamkniętych Nr zad 3 6 7 8 9 0 3 6 7 8 9 0 3 Odp A A B B C

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA entralna Komisja Egzaminacyjna EGZAMIN MATURALNY 01 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY Kryteria oceniania odpowiedzi ZERWIE 01 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie 1. (0 1) Obszar standardów i interpretowanie

Bardziej szczegółowo

Zestaw II sposób rozwiązania (rozkład trójmianu kwadratowego na czynniki)

Zestaw II sposób rozwiązania (rozkład trójmianu kwadratowego na czynniki) CZERWIEC 00 Prawidłowe odpowiedzi do zadań zamkniętych Nr Zadania 3 4 8 9 0 3 4 8 9 0 3 4 Odpowiedź C D C D C D C C C C C D Zadanie. ( pkt) Rozwiąż nierówność x Schemat oceniania zadań otwartych x30 0.

Bardziej szczegółowo

V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE

V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE Standardy wymagań egzaminacyjnych Zdający posiada umiejętności w zakresie: POZIOM PODSTAWOWY POZIOM ROZSZERZONY 1. wykorzystania i tworzenia informacji: interpretuje tekst matematyczny

Bardziej szczegółowo

Odpowiedzi do zadań zamkniętych. Schemat oceniania zadań otwartych

Odpowiedzi do zadań zamkniętych. Schemat oceniania zadań otwartych Odpowiedzi do zadań zamkniętych Nr zadania 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 Odpowiedź A C C B C A B C A D B C D B D C A B A A A C B A A Schemat oceniania zadań otwartych Zadanie 6. ( pkt) Rozwiąż

Bardziej szczegółowo

Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony

Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA Zadanie 1 (4 pkt) Rozwiąż równanie: w przedziale 1 pkt Przekształcenie równania do postaci: 2 pkt Przekształcenie równania

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań otwartych i schematy punktowania Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

Rozwiązania zadań otwartych i schematy punktowania Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 5 6 7 8 9 0 5 6 7 8 9 0 A D D B C B B A A A D C D C D B A C A C Zadanie. (pkt) Rozwiąż nierówność

Bardziej szczegółowo

Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum. w roku szkolnym 2012/2013

Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum. w roku szkolnym 2012/2013 Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum w roku szkolnym 2012/2013 I. Zakres materiału do próbnego egzaminu maturalnego z matematyki: 1) liczby rzeczywiste 2) wyrażenia algebraiczne

Bardziej szczegółowo

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 09 MARCA Kartoteka testu. Maksymalna liczba punktów. Nr zad. Matematyka dla klasy 3 poziom podstawowy

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 09 MARCA Kartoteka testu. Maksymalna liczba punktów. Nr zad. Matematyka dla klasy 3 poziom podstawowy Matematyka dla klasy poziom podstawowy LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 09 MARCA 06 Kartoteka testu Nr zad Wymaganie ogólne. II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.. II. Wykorzystanie i interpretowanie

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Kryteria oceniania odpowiedzi MAJ 0 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie (0 ) Obszar standardów Modelowanie matematyczne

Bardziej szczegółowo

KLUCZ ODPOWIEDZI POPRAWNA ODPOWIEDŹ 1 D 2 C 3 C 4 B 5 D 6 A 7 D 8 D 9 A 10 C 11 B 12 A 13 A 14 B 15 D 16 B 17 C 18 A 19 B 20 D

KLUCZ ODPOWIEDZI POPRAWNA ODPOWIEDŹ 1 D 2 C 3 C 4 B 5 D 6 A 7 D 8 D 9 A 10 C 11 B 12 A 13 A 14 B 15 D 16 B 17 C 18 A 19 B 20 D Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Poznaniu KLUCZ ODPOWIEDZI DO ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH NR ZADANIA POPRAWNA ODPOWIEDŹ D C 3 C 4 B 5 D 6 A 7 D 8 D 9 A 0 C B A 3 A 4 B 5 D 6 B 7 C 8 A 9 B 0 D Zadanie ( pkt) Okręgowa

Bardziej szczegółowo

( ) Arkusz I Zadanie 1. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) = x + 3 oraz g ( x) 2x

( ) Arkusz I Zadanie 1. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) = x + 3 oraz g ( x) 2x Arkusz I Zadanie. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie x + 3 x 4 x 7. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) x + 3 oraz g ( x) x 4 uwzględniając tylko ich miejsca zerowe i monotoniczność w ten sposób znajdziemy

Bardziej szczegółowo

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2017 poziom podstawowy

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2017 poziom podstawowy LUELSK PRÓ PRZE MTURĄ 07 poziom podstawowy Schemat oceniania Uwaga: kceptowane są wszystkie odpowiedzi merytorycznie poprawne i spełniające warunki zadania (podajemy kartotekę zadań, gdyż łatwiej będzie

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ARKUSZ ZAWIERA INFORMACJE PRAWNIE CHRONIONE DO MOMENTU ROZPOCZĘCIA EGZAMINU! Miejsce na naklejkę MMA-R_P-08 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY MAJ ROK 008 Czas pracy 80 minut Instrukcja

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 016/017 FORMUŁA DO 014 ( STARA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-R1 MAJ 017 Uwaga: Akceptowane są wszystkie odpowiedzi

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Kryteria oceniania odpowiedzi CZERWIEC 0 Zadanie (5 pkt) Rozwiąż nierównoć x 4x 4 x 6x 9 I sposób rozwiązania (wyróżnienie na osi liczbowej przedziałów) Wykorzystując wzory

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Miejsce na naklejkę z kodem szkoły dysleksja MMA-R1_1P-07 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 180 minut Instrukcja dla zdającego 1 Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 15

Bardziej szczegółowo

Matematyka. Poziom rozszerzony Próbna Matura z OPERONEM

Matematyka. Poziom rozszerzony Próbna Matura z OPERONEM KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Matematyka Poziom rozszerzony Listopad 8 Zadania zamknięte Za każdą poprawną odpowiedź zdający otrzymuje punkt. Poprawna odpowiedź. B Wskazówki do rozwiązania q =, więc q

Bardziej szczegółowo

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2018 poziom podstawowy

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2018 poziom podstawowy LUELSK PRÓ PRZED MTURĄ 08 poziom podstawowy Schemat oceniania Zadania zamknięte (Podajemy kartotekę zadań, która ułatwi Państwu przeprowadzenie jakościowej analizy wyników). Zadanie. (0 ). Liczby rzeczywiste.

Bardziej szczegółowo

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA Miejsce na identyfikację szkoły ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY LISTOPAD 014 Czas pracy: 170 minut Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 1

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015 EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 0/05 FORMUŁA OD 05 ( NOWA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY MODEL ODPOWIEDZI I SCHEMAT OCENIANIA ARKUSZE MMA-P SIERPIEŃ 05 Matura z matematyki poziom podstawowy 05

Bardziej szczegółowo

Matematyka rozszerzona matura 2017

Matematyka rozszerzona matura 2017 Matematyka rozszerzona matura 017 Zadanie 1 Liczba ( 3 + 3) jest równa A. B. 4 C. 3 D. 3 ( 3 + 3) = 3 ( 3)( + 3) + + 3 = A. 3 4 3 + + 3 = 4 1 = 4 = Zadanie. Nieskończony ciąg liczbowy jest określony wzorem

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA entralna Komisja Egzaminacyjna EGZMIN MTURLNY 0 MTEMTYK POZIOM PODSTWOWY Kryteria oceniania odpowiedzi MJ 0 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie. (0 ) Obszar standardów Modelowanie matematyczne Opis

Bardziej szczegółowo

Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON.

Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON. Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON. Zadanie 6. Dane są punkty A=(5; 2); B=(1; -3); C=(-2; -8). Oblicz odległość punktu A od prostej l przechodzącej

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2014 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2014 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 2013 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 5 6 7 8 9 0 5 6 7 8 9 0 B D D B A C A A B A D D C D C B D B C C Zadanie (pkt) Schemat oceniania

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2018/2019 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2018/2019 MATEMATYKA EGZAMN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 08/09 MATEMATYKA POZOM PODSTAWOWY FORMUŁA DO 04 ( STARA MATURA ) ZASADY OCENANA ROZWĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P MAJ 09 Zadania zamknięte Punkt przyznaje się za wskazanie poprawnej

Bardziej szczegółowo

III. STRUKTURA I FORMA EGZAMINU

III. STRUKTURA I FORMA EGZAMINU III. STRUKTURA I FORMA EGZAMINU Egzamin maturalny z matematyki jest egzaminem pisemnym sprawdzającym wiadomości i umiejętności określone w Standardach wymagań egzaminacyjnych i polega na rozwiązaniu zadań

Bardziej szczegółowo

Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony

Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KOD PESEL PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Marzec 2016 POZIOM ROZSZERZONY 1. Rozwiązania zadań i odpowiedzi wpisuj

Bardziej szczegółowo

Egzamin maturalny CZERWIEC 2011

Egzamin maturalny CZERWIEC 2011 Egzamin maturalny CZERWIEC 0 Zadanie. (4 pkt) Rozwiąż nierówność x 4 + x 5. I sposób rozwiązania: wyróżnienie na osi liczbowej przedziałów Wyróżniamy na osi liczbowej przedziały: (, ),,5), 5, ). Rozwiązujemy

Bardziej szczegółowo

Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura

Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura 2011-2014 STANDARDY WYMAGAŃ BĘDĄCE PODSTAWĄ PRZEPROWADZANIA EGZAMINU MATURALNEGO Zdający posiada umiejętności w zakresie: POZIOM PODSTAWOWY 1. wykorzystania

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Przed próbną maturą. Sprawdzian 3. (poziom podstawowy) Rozwiązania zadań

MATEMATYKA Przed próbną maturą. Sprawdzian 3. (poziom podstawowy) Rozwiązania zadań MTMTYK Przed próbną maturą. Sprawdzian. (poziom podstawowy) Rozwiązania zadań Zadanie. ( pkt) P.. Uczeń używa wzorów skróconego mnożenia na (a ± b) oraz a b. Zapisujemy równość w postaci (a b) + (c d)

Bardziej szczegółowo

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2017 klasa 2 (pp)

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2017 klasa 2 (pp) Kod ucznia Nazwisko i imię ucznia M A T E M A T Y K A klasa -(pp) MAJ 07 Czas pracy: 70 minut Instrukcja dla zdającego. Sprawdź, czy arkusz zawiera 4 stron (zadania -4). Ewentualny brak zgłoś przewodniczącemu

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZMN MTURLNY W ROKU SZKOLNYM 06/0 FORMUŁ O 05 ( NOW MTUR ) MTEMTYK POZOM POSTWOWY ZSY OENN ROZWĄZŃ ZŃ RKUSZ MM-P MJ 0 Zadania zamknięte Punkt przyznaje się za wskazanie poprawnej odpowiedzi Zadanie (0

Bardziej szczegółowo

ROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.

ROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. ROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. LICZBA TEMAT GODZIN LEKCYJNYCH Potęgi, pierwiastki i logarytmy (8 h) Potęgi 3 Pierwiastki 3 Potęgi o wykładnikach

Bardziej szczegółowo

Praca kontrolna z matematyki nr 1 Liceum Ogólnokształcące dla Dorosłych Semestr 5 Rok szkolny 2014/2015

Praca kontrolna z matematyki nr 1 Liceum Ogólnokształcące dla Dorosłych Semestr 5 Rok szkolny 2014/2015 Praca kontrolna z matematyki nr 1 Liceum Ogólnokształcące dla Dorosłych Semestr 5 Rok szkolny 2014/2015 2 6 + 3 1. Oblicz 3. 3 x 1 3x 2. Rozwiąż nierówność > x. 2 3 3. Funkcja f przyporządkowuje każdej

Bardziej szczegółowo

Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura 2010

Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura 2010 Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura 2010 STANDARDY WYMAGAŃ BĘDĄCE PODSTAWĄ PRZEPROWADZANIA EGZAMINU MATURALNEGO Standardy można pobrać (plik pdf) wybierając ten link: STANDARDY 2010 lub

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY MARZEC w odniesieniu do INFORMATORA O EGZAMINIE MATURALNYM OD 2010 ROKU MATEMATYKA.

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY MARZEC w odniesieniu do INFORMATORA O EGZAMINIE MATURALNYM OD 2010 ROKU MATEMATYKA. PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY MARZEC 2011 w odniesieniu do INFORMATORA O EGZAMINIE MATURALNYM OD 2010 ROKU MATEMATYKA oraz WYBRANYCH WZORÓW MATEMATYCZNYCH 2 Próbny egzamin maturalny

Bardziej szczegółowo

Program zajęć pozalekcyjnych z matematyki poziom rozszerzony- realizowanych w ramach projektu Przez naukę i praktykę na Politechnikę

Program zajęć pozalekcyjnych z matematyki poziom rozszerzony- realizowanych w ramach projektu Przez naukę i praktykę na Politechnikę Program zajęć pozalekcyjnych z matematyki poziom rozszerzony- realizowanych w ramach projektu Przez naukę i praktykę na Politechnikę 1. Omówienie programu. Zaznajomienie uczniów ze źródłami finansowania

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 07/08 FORMUŁA OD 05 NOWA MATURA i FORMUŁA DO 04 STARA MATURA MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P SIERPIEŃ 08 Egzaminatorze! Oceniaj

Bardziej szczegółowo

Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KLUCZ PUNKTOWANIA ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH

Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KLUCZ PUNKTOWANIA ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KLUCZ PUNKTOWANIA ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH Nr zad Odp. 1 4 5 6 7 8 9 10 11 1 1 14 B B C A D D A B C A B D C C Nr zad Odp. 15

Bardziej szczegółowo

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 2 POZIOM PODSTAWOWY. Etapy rozwiązania zadania

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 2 POZIOM PODSTAWOWY. Etapy rozwiązania zadania Przykładowy zestaw zadań nr z matematyki ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM PODSTAWOWY Nr zadania Nr czynności Etapy rozwiązania zadania Liczba punktów Uwagi. Podanie dziedziny funkcji f:

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI PRZED MATURĄ MAJ 2016 POZIOM PODSTAWOWY Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 14 stron (zadania 1 31). 2. Rozwiązania zadań wpisuj

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2010 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2010 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 00 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem EGZAMIN MATURALNY

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ 2015/2016 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ 2015/2016 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY PRÓNY EGZMIN MTURLNY Z NOWĄ ERĄ 05/06 MTEMTYK POZIOM POSTWOWY Zasady oceniania rozwiązań zadań opyright by Nowa Era Sp. z o.o. Uwaga: kceptowane są wszystkie odpowiedzi merytorycznie poprawne i spełniające

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 05/06 FORMUŁA DO 04 ( STARA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P MAJ 06 Ogólne zasady oceniania Uwaga: Akceptowane są wszystkie

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2018/2019 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2018/2019 MATEMATYKA EGZAMN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 08/09 MATEMATYKA POZOM PODSTAWOWY FORMUŁA OD 0 ( NOWA MATURA ) ZASADY OCENANA ROZWĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P MAJ 09 Zadania zamknięte Punkt przyznaje się za wskazanie poprawnej

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN WST PNY CZERWIEC MATEMATYKA Poziom podstawowy. Kryteria oceniania odpowiedzi

EGZAMIN WST PNY CZERWIEC MATEMATYKA Poziom podstawowy. Kryteria oceniania odpowiedzi EGZAMIN WSTPNY CZERWIEC 04 MATEMATYKA Poziom podstawowy Egzamin wstępny poziom podstawowy 04 Klucz punktowania zadań zamknitych zadanie 4 6 7 8 9 0 odpowiedź D C C A D A A B C C A B C zadanie 4 6 7 8 9

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ 2017/2018 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ 2017/2018 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY PRÓNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ 07/08 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ opyright by Nowa Era Sp. z o.o. Zadania zamknięte Punkt przyznaje się za wskazanie poprawnej odpowiedzi.

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA ZBIÓR ZADAŃ MATURALNYCH. Lata Poziom podstawowy. Uzupełnienie Zadania z sesji poprawkowej z sierpnia 2019 r.

MATEMATYKA ZBIÓR ZADAŃ MATURALNYCH. Lata Poziom podstawowy. Uzupełnienie Zadania z sesji poprawkowej z sierpnia 2019 r. MATEMATYKA ZBIÓR ZADAŃ MATURALNYH Lata 010 019 Poziom podstawowy Uzupełnienie 019 Zadania z sesji poprawkowej z sierpnia 019 r. Opracował Ryszard Pagacz Spis treści Zadania maturalne.........................................................

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW NR 162005 WYGENEROWANY AUTOMATYCZNIE W SERWISIE WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Na rysunku przedstawiono

Bardziej szczegółowo

Modele odpowiedzi do arkusza Próbnej Matury z OPERONEM. Matematyka Poziom rozszerzony

Modele odpowiedzi do arkusza Próbnej Matury z OPERONEM. Matematyka Poziom rozszerzony Modele odpowiedzi do arkusza Próbnej Matury z OPERONEM Matematyka Poziom rozszerzony Listopad W kluczu są prezentowane przykładowe prawidłowe odpowiedzi. Należy również uznać odpowiedzi ucznia, jeśli są

Bardziej szczegółowo