MODELOWANIE KOMPUTEROWE PRÓB PĘKANIA PRZY OBCIĄŻENIU DYNAMICZNYM

MODELOWANIE INŻYNIERSKIE ISSN 1896-771X 35, s. 3-30, Gliwice 008 MODELOWANIE KOMPUTEROWE PRÓB PĘKANIA PRZY OBCIĄŻENIU DYNAMICZNYM PIOTR FEDELIŃSKI Kaedra Wyrzymałości Maeriałów i Meod Kompuerowych Mechaniki, Poliechnika Śląska e-mail: pior.fedelinski@polsl.pl Sreszczenie. W pracy przedsawiono sformułowanie w dziedzinie czasu meody elemenów brzegowych (MEB) zasosowane do modelowania prób pękania przy obciążeniu dynamicznym. Opracowano program kompuerowy, kóry wykorzysano do wyznaczenia kszału wzrasającego pęknięcia i dynamicznych współczynników inensywności naprężeń w specjalnej próbce obciążonej za pomocą dzielonego pręa Hopkinsona. W obliczeniach numerycznych wykorzysano wyznaczone doświadczalnie obciążenie dynamiczne próbki i prędkość wzrosu pęknięcia. Porównano kszały pęknięcia określone meodą numeryczną i doświadczalną. 1. WPROWADZENIE Celem prób pękania przy obciążeniu dynamicznym jes wyznaczenie odporności maeriałów na pękanie, a akże określenie zależności od czasu dynamicznych współczynników inensywności naprężeń (DWIN), kierunków, prędkości wzrosu i kszału pęknięć. Pomiary umożliwiają określenie praw opisujących zależności kierunków i prędkości wzrosu od DWIN i innych paramerów. Ze względu na swoją złożoność badania eksperymenalne modelowane są różnymi meodami kompuerowymi: meodą różnic skończonych (MRS), meodą elemenów skończonych (MES), meodą elemenów brzegowych (MEB) i meodami bezsiakowymi (MB). W osanich laach meody doświadczalne i kompuerowe częso łączone są ze sobą. Klasyfikację akich meod hybrydowych podali Nishioka i inni [1] i []. Zależne od czasu warunki brzegowe (przemieszczenia i siły powierzchniowe), kóre są konieczne w obliczeniach numerycznych, wyznacza się meodami doświadczalnymi. Programy kompuerowe określają kierunki i prędkości wzrosu pęknięć na podsawie praw pękania. Przyjęe prawa można zweryfikować poprzez porównanie wyznaczonych numerycznie i eksperymenalnie DWIN, kszałów pęknięć i prędkości ich wzrosu. Najczęściej sosowaną meodą analizy pęknięć jes meoda elemenów skończonych. Bui, Maigre i Riel [3], [4], [5] i [6] wykorzysali MES do analizy specjalnej próbki z pęknięciem o sałej długości, obciążonej dzielonym pręem Hopkinsona. Wyznaczone numerycznie DWIN i prędkości obciążonych krawędzi porównano z wynikami badań doświadczalnych. Weisbrod i Riel [7] analizowali jednopunkowo zginaną króką próbkę obciążoną pręem z czujnikami odkszałceń. Porównano DWIN wyznaczone za pomocą MES z wynikami doświadczalnymi

4 P. FEDELIŃSKI do chwili wzrosu pęknięcia. Nishioka i inni [] analizowali za pomocą MES rójpunkowo zginaną próbkę obciążoną spadającym młoem udarowym. Porównano wyznaczone MES kszały pęknięć i DWIN z wynikami doświadczalnymi dla różnych miejsc uderzenia młoa. Meoda elemenów brzegowych jes szczególnie odpowiednia dla analizy wzrosu pęknięć. Sposób modelowania jes prosszy niż w meodzie różnic skończonych lub elemenów skończonych, ponieważ dyskreyzuje się wyłącznie powierzchnie zewnęrzne ciała i powierzchnie pęknięć. Spośród różnych warianów MEB (Dominguez [8]) do analizy dynamicznie wzrasających pęknięć sosowane jes sformułowanie w dziedzinie czasu. Sformułowanie meody dla wzrosu pęknięcia ze zmienną prędkością z uwzględnieniem konaku powierzchni pęknięcia przedsawili Sellig i Gross [9] i [10]. Meodę zasosowali Sellig, Gross i Pohmann [11] do analizy ej samej próbki, kórą wcześniej analizowali Bui, Maigre i Riel [3]. Uwzględniono dodakowo dynamiczny wzros pęknięcia. Porównano wyniki wyznaczone MEB, MES i doświadczalne. Pierwsze sformułowanie MEB, w kórym orzymano rozwiązanie numeryczne dla dynamiki pęknięć o sałej długości za pomocą MEB i dyskreyzacji wyłącznie brzegów układu przedsawili Fedeliński, Aliabadi i Rooke [1]. Ci sami auorzy w pracy [13] przedsawili po raz pierwszy rozwiązanie numeryczne za pomocą MEB dla wzrasającego pęknięcia, w kórym program kompuerowy wyznaczał kierunek wzrosu na podsawie kryerium pękania. Różne prakyczne zasosowania meody w mechanice pękania przedsawiono w pracach Fedelińskiego [14] i [15]. Celem pracy jes krókie omówienie sformułowania dualnego w dziedzinie czasu MEB w dynamice pęknięć. Meodę zasosowano do rozwiązania nowego przykładu numerycznego - specjalnej próbki z pęknięciem obciążonej dzielonym pręem Hopkinsona. Badania doświadczalne i modelowanie kompuerowe ej próbki za pomocą rozszerzonej meody elemenów skończonych (ang. exended Finie Elemen Mehod X-FEM) przedsawiono w pracach Gregorie [16] i Combescure [17] i innych. W obliczeniach numerycznych za pomocą MEB wykorzysano wyznaczone doświadczalnie obciążenie dynamiczne próbki i prędkość wzrosu pęknięcia. Wyznaczono zmienność DWIN i odkszałcenia próbki w czasie wzrosu pęknięcia. Porównano kszały pęknięcia określone meodą numeryczną i doświadczalną.. METODA ELEMENTÓW BRZEGOWYCH W MODELOWANIU WZROSTU PĘKNIĘĆ PRZY OBCIĄŻENIU DYNAMICZNYM Dla kompleności pracy zosanie króko omówione sformułowanie meody elemenów brzegowych w modelowaniu wzrosu pęknięć przy obciążeniu dynamicznym. Dokładniejszy opis meody znajduje się w pracach Fedelińskiego [13] i [14]..1. Brzegowe równania całkowe dla ciała z pęknięciem Meoda będzie sosowana dla ciał liniowosprężysych, jednorodnych i izoropowych z szybko wzrasającymi pęknięciami. Brzeg ciała, oznaczony przez Γ(), jes funkcją czasu z powodu wzrosu pęknięcia. Dla ciała obciążonego ylko siłami powierzchniowymi i dla zerowych warunków począkowych, przemieszczenie punku x może być określone za pomocą nasępującego brzegowego równania całkowego

MODELOWANIE KOMPUTEROWE PRÓB PĘKANIA PRZY OBCIĄŻENIU DYNAMICZNYM 5 c ( x') u ( x', ) = [ U ( x', x,, τ) ( x, τ) dγ( x)] dτ [ T ( x', x,, τ) u ( x, τ) dγ( x)] dτ ij j ij j ij j 0 Γ 0 Γ, (1) gdzie U ij (x,,x,τ) i T ij (x,,x,τ) są rozwiązaniami fundamenalnymi elasodynamiki, u j (x,τ) i j (x,τ) są odpowiednio przemieszczeniami brzegowymi i siłami powierzchniowymi, c ij (x ) jes sałą, kóra zależy od położenia punku kolokacji, x jes punkem kolokacji, x jes punkem brzegowym, a jes czasem, w kórym określa się przemieszczenie. W prezenowanym sformułowaniu meody elemenów brzegowych, kóre nazywa się meodą dualną, sosowane są jednocześnie brzegowe równania całkowe przemieszczeń i sił powierzchniowych dla punków na powierzchniach pęknięcia. Brzegowe równanie całkowe przemieszczeń dla pokrywających się punków x i x na przeciwległych gładkich powierzchniach pęknięcia ma formę 1 1 ui( x', ) + ui( x", ) = [ Uij( x', x,, τ) j( x, τ) d ( x)] dτ Γ 0 Γ. () 0 [ T ( x', x,, τ) u ( x, τ) dγ( x)] dτ Brzegowe równanie całkowe sił powierzchniowych dla ych samych punków ma posać Γ 0 ij 1 1 j( x', ) j( x", ) = ni( x'){ [ Ukij( x', x,, τ) k( x, τ) d ( x)] dτ Γ 0 Γ, (3) j [ T ( x', x,, τ) u ( x, τ) dγ( x)] dτ} Γ gdzie U kij (x,,x,τ) i T kij (x,,x,τ) są rozwiązaniami fundamenalnymi elasodynamiki, a n i (x ) jes jednoskowym wekorem normalnym do powierzchni pęknięcia, zwróconym na zewnąrz maeriału, w punkcie kolokacji... Numeryczna realizacja meody Modelowanie numeryczne układów obciążonych dynamicznie wymaga dyskreyzacji w przesrzeni i czasie. Brzeg ciała Γ(τ) podzielono na kwadraowe elemeny brzegowe, a czas analizy na N kroków czasowych. Przemieszczenia i obciążenia brzegowe inerpolowano elemenami ciągłymi na powierzchniach nienależących do pęknięcia, półciągłymi w miejscu połączenia brzegu zewnęrznego z pęknięciami krawędziowymi i prosoliniowymi elemenami nieciągłymi na powierzchniach pęknięcia. Geomerię brzegu inerpolowano elemenami ciągłymi. W każdym kroku czasowym przemieszczenia inerpolowano funkcjami liniowymi, a obciążenia funkcjami przedziałami sałymi. W meodzie wykorzysuje się równanie przemieszczeń (1) dla węzłów, kóre nie należą do powierzchni pęknięcia, równanie przemieszczeń () i sił powierzchniowych (3), kóre sosuje się jednocześnie dla węzłów na powierzchniach pęknięcia. Całki ze względu na czas, dla prosych funkcji inerpolujących, całkowano analiycznie. W wyniku dyskreyzacji i całkowania orzymuje się układ równań algebraicznych dla kroku czasowego N, kóry może być zapisany w nasępującej posaci macierzowej kij k

6 P. FEDELIŃSKI NN N = NN 1 + N Nn n Nn n n= 1 H u G ( G H u ), (4) gdzie u n i n zawierają warości węzłowe przemieszczeń i sił powierzchniowych w kroku czasowym n, H Nn i G Nn zależą od rozwiązań fundamenalnych elasodynamiki i funkcji inerpolujących. Równanie macierzowe rozwiązuje się krokowo, żeby wyznaczyć nieznane przemieszczenia i obciążenia na brzegu. W każdym kroku czasowym oblicza się dwie nowe macierze H Nn i G Nn i przechowuje w celu obliczeń w nasępnych krokach. Dla wzrasającego pęknięcia macierze obliczone w poprzednich krokach czasowych zwiększa się poprzez dodanie nowych podmacierzy, kóre odpowiadają nowym punkom kolokacji i elemenom dodanym w czasie osaniego wzrosu pęknięcia. Proces rozwiązywania saje się sopniowo coraz powolniejszy na skuek zwiększającej się liczby punków kolokacji, elemenów brzegowych i koniecznych modyfikacji wszyskich macierzy obliczonych w poprzednich krokach czasowych..3. Modelowanie dynamicznego wzrosu pęknięcia Dynamiczne współczynniki inensywności naprężeń (DWIN) wyznaczono na podsawie względnych przemieszczeń powierzchni pęknięcia gdzie: K I K II = = 1 ( 1+ β ) ( 1 β ) π 4β β µ, (5) r 4β 1 u ( 1+ β ) 1 ( 1 β ) π 4β β µ, (6) r 4β 1 u 1 = 1 ( c c1 ) β, = 1 ( c c ) β, (7) gdzie µ jes modułem sprężysości poprzecznej, u 1 i u są względnymi przemieszczeniami w kierunku sycznym i prosopadłym do powierzchni pęknięcia na przeciwległych powierzchniach pęknięcia, r jes odległością ych punków od wierzchołka pęknięcia, c jes prędkością wzrosu pęknięcia, c 1 i c są odpowiednio prędkościami fali podłużnej i poprzecznej. Rozkład naprężeń w pobliżu wierzchołka pęknięcia jes obliczany na podsawie DWIN i prędkości wzrosu pęknięcia. Opracowana meoda może być sosowana do analizy wzrosu pęknięcia ze zmienną prędkością, gdy kszał pęknięcia nie jes wcześniej określony. Założono, że pęknięcie będzie wzrasało w kierunku określonym przez maksymalne naprężenie obwodowe w ooczeniu wierzchołka pęknięcia. Wzros pęknięcia modelowano poprzez dodawanie w wierzchołku pęknięcia nowych prosoliniowych elemenów brzegowych o długości a = c, (8) gdzie jes długością kroku czasowego. 3. PRZYKŁAD NUMERYCZNY Meodę zasosowano do rozwiązania nowego przykładu numerycznego - specjalnej próbki z pęknięciem obciążonej dzielonym pręem Hopkinsona. Badania doświadczalne

MODELOWANIE KOMPUTEROWE PRÓB PĘKANIA PRZY OBCIĄŻENIU DYNAMICZNYM 7 i modelowanie kompuerowe ej próbki za pomocą rozszerzonej meody elemenów skończonych (ang. exended Finie Elemen Mehod X-FEM) przedsawiono w pracach Gregorie [16] i Combescure [17] i innych. Dane porzebne do przeprowadzenia symulacji kompuerowej zaczerpnięo z pracy [16]. Specjalna próbka zosała umieszczona pomiędzy dzielonym pręem Hopkinsona składającym się z pręa 1 i (rys.1). W prę 1 uderza bijak. Prędkość bijaka jes mierzona przez czujnik opyczny. Odkszałcenia pręów są mierzone przez czujniki ensomeryczne 1 i naklejone na prę 1 i czujnik 3 naklejony na prę. Próbka jes oświelona i 4 kamery rejesrują san próbki w czasie próby. Bijak uderza w prę 1 powodując propagację fali przez prę 1, próbkę i prę. Wymiary próbki w milimerach podano na rys.. Przesunięcie pęknięcia w sosunku do osi próbki powoduje jednoczesne rozciąganie i ścinanie wzdłużne pęknięcia przy obusronnym ściskaniu próbki. Próbka wykonana jes z polimeakrylanu meylu o nasępujących własnościach: gęsość ρ=1180 kg/m 3, moduł Younga E=3.3 GPa, współczynnik Poissona ν=0.4 i układ znajduje się w płaskim sanie odkszałcenia. Modelowano ylko próbkę, kórą dyskreyzowano 70 elemenami brzegowymi. W czasie wzrosu pęknięcia w każdym kroku czasowym dodawano elemeny brzegowe w wierzchołku pęknięcia. Końcowa liczba elemenów brzegowych wynosiła 130. Krok czasowy był równy = 10 µs. Lewą i prawą krawędź obciążono siłami równomiernie rozłożonymi 1 i, kóre zarejesrowano doświadczalnie w czasie próby. Zmienność sił wypadkowych na krawędziach F 1 i F przedsawiono na rys. 3. Pęknięcie było sacjonarne od momenu obciążenia próbki do 00 µs, nasępnie wzrasało z prędkością 10 m/s, w czasie od 70 do 30 µs nasąpiło zarzymanie wzrosu, a nasępnie ponowny wzros z prędkością 160 m/s. Obliczenia wykonano dla 500 µs. Rys. 1. Układ pomiarowy Rys.. Wymiary próbki w milimerach i obciążenie krawędzi

8 P. FEDELIŃSKI Zmienność w czasie dynamicznych współczynników inensywności naprężeń (DWIN) K I i K II przedsawiono na rys. 5. Po doarciu fali podłużnej do wierzchołka pęknięcia nasępuje wzros DWIN. W chwili kiedy rozpoczyna się wzros pęknięcia zmniejszają się DWIN. Kiedy współczynnik K I ma minimalną warość, zn. w czasie od 70 do 30 µs, wówczas nasępuje zarzymanie wzrosu pęknięcia. Przy ponownym zwiększaniu się K I nasępuje dalszy wzros pęknięcia. Współczynnik K II ma bardzo małe warości w czasie wzrosu pęknięcia. Gregorie i inni [16] w symulacji kompuerowej ej próby przyjęli kryyczną warość DWIN K IC =1.33 MPam 1/. Z rys. 4 wynika, że kiedy nasępuje zarzymanie wzrosu pęknięcia współczynnik K I ma warość mniejszą od kryycznej. Rys.3. Zmienność w czasie sił wypadkowych obciążających krawędzie próbki Rys.4. Zmienność w czasie dynamicznych współczynników inensywności naprężeń Próbkę z końcowym pęknięciem przedsawiono na rys. 5. Kszał pęknięcia wyznaczony numerycznie porównano z kszałem określonym doświadczalnie [16] na rys. 6. Widoczna jes bardzo dobra zgodność wyników Rys. 5. Próbka z końcowym pęknięciem Rys.6. Porównanie kszałów pęknięć wyznaczonych numerycznie i doświadczalni

MODELOWANIE KOMPUTEROWE PRÓB PĘKANIA PRZY OBCIĄŻENIU DYNAMICZNYM 9 Na rys. 7 przedsawiono odkszałconą próbkę w różnych fazach wzrosu pęknięcia: rys. 7a dla 00 µs, kiedy rozpoczyna się wzros pęknięcia, rys. 7b dla 300 µs, w czasie zarzymania wzrosu pęknięcia, rys. 7c dla 400 µs, przy ponownym wzroście pęknięcia i rys. 7d dla 500 µs, dla końca analizy numerycznej. a) b) c) d) 4. PODSUMOWANIE Rys. 7. Kszał próbki z pęknięciem w różnych chwilach czasowych: a) 00 µs, b) 300 µs, c) 400 µs, d) 500 µs W pracy przedsawiono zasosowanie sformułowania w dziedzinie czasu meody elemenów brzegowych do modelowania próby pękania przy obciążeniu dynamicznym. Meoda umożliwia określenie zmienności w czasie przemieszczeń układu, kszału wzrasającego pęknięcia i dynamicznych współczynników inensywności naprężeń. Porównanie kszału pęknięcia wyznaczonego numerycznie i doświadczalnie wskazuje na wysoką dokładność meody elemenów brzegowych. LITERATURA 1. Nishioka T.: Hybrid numerical mehods in saic and dynamic fracure mechanics. Opics and Lasers in Engineering 1999, 3, s. 05-55.. Nishioka T., Tokudome H., Kinoshia M.: Dynamic fracure-pah predicion in impac fracure phenomena using moving finie elemen mehod based on Delaunay auomaic mesh generaion. Inernaional Journal of Solids and Srucures 001, 38, s. 573-5301. 3. Bui H.D., Maigre H., Riel D.: A new approach o he experimenal deerminaion of he dynamic sress inensiy facors. Inernaional Journal of Solids and Srucures 199, 9, s. 881-895. 4. Maigre H., Riel D.: Mixed-mode quanificaion for dynamic fracure iniiaion: Applicaion o he compac compression specimen. Inernaional Journal of Solids and Srucures 1993, 30, s. 333-344.

30 P. FEDELIŃSKI 5. Maigre H., Riel D.: Dynamic fracure deecion using he force-displacemen reciprociy: applicaion o he compac compression specimen. Inernaional Journal of Fracure 1995, 73, s. 67-79. 6. Riel D., Maigre H.: An invesigaion of dynamic crack iniiaion in PMMA. Mechanics of Maerials 1996, 3, s. 9-39. 7. Weisbrod G., Riel D.: A mehod for dynamic fracure oughness deerminaion using shor beams. Inernaional Journal of Fracure 000, s. 89-103. 8. Dominguez J.: Boundary elemens in dynamics. Compuaional Mechanics Publicaions, Souhampon, 1993. 9. Sellig Th., Gross D.: Analysis of dynamic crack propagaion using a ime-domain boundary inegral equaion mehod. Inernaional Journal of Solids Srucures 1997, 34, s. 087-103. 10. Seelig Th., Gross D.: On he sress wave induced curving of fas running cracks a numerical sudy by a ime-domain boundary elemen mehod. Aca Mechanica 1999, 13, s. 47-61. 11. Seelig Th., Gross D., Pohmann K.: Numerical simulaion of a mixed-mode dynamic fracure experimen. Inernaional Journal of Fracure 1999, 99, s. 35-338. 1. Fedeliński P., Aliabadi M.H., Rooke D.P.: A single-region ime-domain BEM for dynamic crack problems. Inernaional Journal of Solids and Srucures 1995, 3, s. 3555-3571. 13. Fedeliński P., Aliabadi M.H., Rooke D.P.: The ime-domain DBEM for rapidly growing cracks. Inernaional Journal for Numerical Mehods in Engineering 1997, 40, s. 1555-157. 14. Fedeliński P.: Meoda elemenów brzegowych w analizie dynamicznej układów odkszałcalnych z pęknięciami. Zeszyy Naukowe Poliechniki Śląskiej, Mechanika, 137, Gliwice, 000. 15. Fedeliński P.: Boundary elemen mehod in dynamic analysis of cracks, Engineering Analysis wih Boundary Elemens 004, 8, s. 1135-1147. 16. Gregorie D., Maigre H., Rehore J., Combescure A.: Dynamic crack propagaion under mixed-mode loading comparison beween experimens and X-FEM simulaions. Inernaional Journal of Solids and Srucures 007, 44, s. 6517-6534. 17. Combescure A., Gravouil A., Gregorie D., Rehore J.: X-FEM a good candidae for energy conservaion in simulaion of brile dynamic crack propagaion. Compuer Mehods in Applied Mechanics and Engineering 008, 197,, s. 309-318. COMPUTER MODELLING OF FRACTURE TESTS UNDER DYNAMIC LOADING Summary. In his work he ime-domain formulaion of he boundary elemen mehod (BEM) is presened and applied for modelling fracure ess under dynamic loading. A compuer code is developed and applied o deermine he crack shape and dynamic sress inensiy facors in a special specimen loaded by he spli Hopkinson bar. In numerical compuaions he dynamic loading and crack growh velociy deermined experimenally are used. Numerical and experimenal crack shapes are compared.