MODEL POWŁOKOWO-BELKOWY MES ANALIZY STATECZNOŚCI RAM PRZESTRZENNYCH O PRĘTACH CIENKOŚCIENNYCH OTWARTYCH

Transkrypt

1 MODEOWANIE INŻYNIERSKIE ISSN X 44 s Gliwice 212 MODE POWŁOKOWO-BEKOWY MES ANAIZY SAECZNOŚCI RAM PRZESRZENNYCH O PRĘACH CIENKOŚCIENNYCH OWARYCH SŁAWOMIR KOCZUBIEJ CZESŁAW CICHOŃ Kaedra Informayki Sosowanej Poliechnika Święokrzyska s.koczubiej@u.kielce.pl Sreszczenie. W pracy zaproponowano model skończenie elemenowy do analizy saeczności ram o pręach cienkościennych i dowolnym przekroju poprzecznym owarym. W pracy porakowano obszar węzła jako obiek przesrzenny modelowany elemenami powłokowymi i dyskreyzację belkowymi elemenami cienkościennymi połączono z przesrzenną dyskreyzacją węzłów. Do konsysenneo połączenia modelu powłokoweo z modelem belkowym wykorzysano równania więzów dla sformułowania zw. elemenów przejściowych. 1. WSĘP Hisoria rozwoju meod obliczania belek i ram o pręach cienkościennych z począku prosych analiycznych (lecz dobrze fizycznie uzasadnionych) poem bardziej złożonych wykorzysujących możliwości współczesnych meod obliczeniowych przedsawiona jes w monorafii Kujawy [6]. Spoykane dość powszechnie w prakyce inżynierskiej modelowanie ram przesrzennych za pomocą ylko belkowych elemenów skończonych nie pozwala uwzlędnić efeków lokalnych akich jak wyboczenie środników ani opisać rzeczywisych warunków podparcia i rzeczywiseo charakeru węzłów łączących pręy cienkościenne. Oznacza o że ramy złożone z pręów cienkościennych powinny być w zasadzie modelowane z wykorzysaniem elemenów skończonych powłokowych co jednakże znacznie podnosi kosz obliczeń. Racjonalnym rozwiązaniem przyjęym w pracy jes odróżnienie w modelowanej konsrukcji obszarów o charakerze przesrzennym od części o charakerze eomerycznie liniowym. W konsrukcji cienkościennej wyróżnia się: części (węzły ramy podpory miejsca przyłożenia obciążenia miejsca z dodakowymi wzmocnieniami konsrukcyjnymi) kóre porakowano jako obieky eomerycznie rójwymiarowe 3D i pozosałe części uważane za eomerycznie liniowe 1D. W modelu skończenie elemenowym oznaczać o będzie dyskreyzację obszarów 3D przez elemeny skończone powłokowe a obszarów 1D przez belkowe elemeny skończone cienkościenne. Podsawowym problemem jaki w ym przypadku powsaje jes złożenie ak różnie zdyskreyzowanych (o znaczy opisywanych różnymi modelami maemaycznymi) części konsrukcji w jeden dyskreny sysem elemenów skończonych opisany układem równań równowai MES. Nauralnym sposobem posępowania jes skorzysanie z warunku ciąłości przemieszczeń ranslacyjnych na ściankach wspólnych dla powłoki i belek cienkościennych

2 132 S. KOCZUBIEJ C. CICHOŃ (s) (b) u ( x) u ( x) (1) (s) (b) dzie u (x) jes wekorem przemieszczeń węzła elemenu powłokoweo a u (x) jes wekorem przemieszczeń węzła elemenu belkoweo. W pracy równanie (1) rakowane jes jako równanie więzów i włączone do równania równowai MES poprzez odpowiednio zdefiniowaną funkcję kary. Konsekwencją akieo posępowania jes konieczność wprowadzenia zw. elemenów przejściowych pomiędzy węzłami powłoki a węzłem cienkościenneo elemenu skończoneo przedsawionych na rys. 1. Jes o meoda oólna możliwa do zasosowania przy rozwiązaniu zarówno zaadnień liniowych jak i nieliniowych. Oryinalność posępowania będzie w ym przypadku poleać na sformułowaniu równań dla elemenu przejścioweo w ramach przyjęej eorii i jeo implemenacji w modelu MES. Rys. 1. Przejściowy elemen skończony Innym sposobem rozważanym w [4 5] jes wykorzysanie przesrzenneo elemenu węzłoweo kóry jes obiekem przesrzennym zdyskreyzowanym powłokowymi elemenami skończonymi w kórym dokonywana jes kondensacja sayczna i ransformacja redukująca powłokowe sopnie swobody węzła do belkowych cienkościennych sopni swobody zlokalizowanych na ściankach (przekrojach poprzecznych pręa wspólnych dla modelu belkoweo i powłokoweo) łączących węzeł z pręami ramy. Przyjęo nasępujące podsawowe założenia: obciążenie konsrukcji jes jednoparamerowe i sanowią o uoólnione siły sayczne o usalonej konfiuracji maeriał konsrukcji jes jednorodnym i izoropowym coninuum maerialnym rozważane coninuum maerialne ma własności fizyczne liniowo-sprężyse odkszałcenia są nieskończenie małe lecz możliwe są duże przemieszczenia i duże radieny przemieszczeń w meodzie elemenów skończonych konsrukcje dyskreyzowano elemenami belkowymi cienkościennymi wykorzysującymi założenia eorii Własowa [3] oraz elemenami płyowymi Reissnera Mindlina z dodakowym szósym sopniem swobody korzysano z meody elemenów skończonych w sformułowaniu przemieszczeniowym w konsrukcji wszyskie połączenia są spawane.

3 MODE POWŁOKOWO-BEKOWY MES ANAIZY SAECZNOŚCI RAM PRZESRZENNYCH RÓWNANIE WARIACYJNE RÓWNOWAGI Rozważano ruch ciała w różnych sanach równowai (rys. 2). San C jes sanem począkowym równowai san C jes akualnym sanem równowai (na począku przyrosu) a san jes sąsiednim sanem równowai (na końcu przyrosu). C Rys. 2. rzy sany równowai ciała: a) począkowy i C b) akualny C i przyrosowy C są odpowiednio począkową i akualną objęością ciała S jes brzeiem ciała z wyróżnionymi częściami S u i S na kórych są zdefiniowane kinemayczne i sayczne warunki brzeowe jes wekorem inensywności sił objęościowych a jes wekorem inensywności sił powierzchniowych. W końcu wekor x określa położenie punku P w konfiuracji C wekor X lokalizuje en punk ( P ) w konfiuracji C a wekor u X x jes wekorem przemieszczeń. Zadaniem auorów pracy jes wyznaczenie sanu ciała (przemieszczeń odkszałceń naprężeń) w konfiuracji sąsiedniej C przyjmując że san ciała w konfiuracji akualnej C jes znany. Ciało w sanie C jes w równowadze jeżeli spełnione jes równanie wariacyjne () W W W (2) w w z w kórym mając na wzlędzie przyszłą dyskreyzację skończenie elemenową wyróżniono pracę sił wewnęrznych dla coninuum W w (dyskreyzowaneo elemenami skończonymi powłokowymi i/lub belkowymi cienkościennymi) oraz pracę wirualną sił wewnęrznych dla () elemenów skończonych przejściowych W w. Przez Wz oznaczono pracę wirualną sił zewnęrznych (obciążeń) Praca wirualna W w Pracę wirualną W w w sanie C wyraża wzór W ε σ d (3) w w kórym ε jes wekorem odkszałceń Greena arane'a i σ jes enereycznie z nim sprzężonym wekorem naprężeń Pioli Kirchhoffa II rodzaju a indeks órny oznacza ranspozycję. Równanie (3) nie może być wpros wykorzysane ponieważ san ciała w konfiuracji C jes nieznany. Procedura posępowania polea na przyjęciu zlinearyzowaneo przyrosoweo równania konsyuywneo oraz zachowania pod znakiem wariacji liniowej

4 134 S. KOCZUBIEJ C. CICHOŃ części przyrosu odkszałcenia ε. Oznaczając przez σ naprężenie w chwili a przez w chwili przyros naprężenia pomiędzy chwilami i wynosi σ σ σ Dε De dzie dla maeriału liniowo sprężyseo D jes macierzą sałych maeriałowych a ε jes wekorem przyrosów odkszałceń. Wekor ε możemy z kolei przedsawić w posaci sumy części liniowej e i części kwadraowej η ze wzlędu na przyrosy przemieszczeń ε e η. (5) Wykorzysanie w (3) związków (4) i (5) oraz ε ε prowadzi do zależności W e De d η σ d e σ d (6) w Wekor przyrosów odkszałceń liniowych można formalnie zapisać w posaci e u (7) w kórym wekor przyrosów przemieszczeń wynosi u u u a macierz jes macierzą operaorów różniczkowych. Oznaczając w dalszym ciąu przez N wekor funkcji kszału i przez q wekor sopni swobody dla elemenu skończoneo inerpolację u i u wyrażają wzory u Nq u Nq (8) dzie u jes wekorem uoólnionych funkcji przemieszczeń u jes wekorem przyrosów uoólnionych funkcji przemieszczeń N jes macierzą funkcji kszału q jes wekorem sopni swobody elemenu a q jes wekorem przyrosów sopni swobody elemenu. Podsawiając (8) do (7) orzymano zależność e B q Nq. (9) Wykorzysując powyższe zależności we wzorze (6) na pracę wirualną skończoneo orzymano równania: dzie 1. e Ded q k q k B DB d σ (4) W w dla elemenu (1) k jes przyrosową macierzą szywności; 2. η σ d q k q k B N B N d (11) z macierzą począkowych naprężeń (macierzą eomeryczną) k w kórej naprężenia Pioli- Kirchhoffa II rodzaju są przedsawione w formie macierzowej a posać macierzy zróżniczkowanych funkcji kszału B N wynika z aproksymacji skończenie elemenowej wekora przyrosów odkszałceń nieliniowych η ; 3. e σ d q f f B σ d dzie f jes wekorem sił wewnęrznych. (12)

5 MODE POWŁOKOWO-BEKOWY MES ANAIZY SAECZNOŚCI RAM PRZESRZENNYCH Praca wirualna () W w Równanie więzów (1) zapisane w posaci (s) (b) r u u (13) może być wprowadzone do dyskreyzacji skończenie elemenowej na wiele sposobów [1 7]. () W pracy wykorzysano meodę funkcji kary definiując pracę wirualną W w w sanie C przedsawiającą wkład równania więzów do opisu oólnej szywności konsrukcji zależnością () W w k r r r r k r r r r (14) dzie r jes wekorem równań więzów w chwili a k jes paramerem kary. Równanie więzów wyraża warunek zodności z waą k przemieszczeń uoólnionych dla dowolneo punku wspólneo belki i powłoki. Wekor przyrosu funkcji kary r można przedsawić w posaci sumy części liniowej ρ i kwadraowej υ wzlędem przyrosów przemieszczeń uoólnionych r ρ υ (15) co po linearyzacji prowadzi do zależności analoicznej do (6) () W w k ρ ρ k υ r k ρ r (16) Podobnie jak o miało miejsce przy rozważaniu pracy wirualnej W w również i obecnie można zdefiniować pojedynczy elemen skończony przejściowy z wekorem sopni swobody () q pomiędzy węzłem belki cienkościennej i węzłem powłoki co pozwala formalnie zapisać składowe z równania (16) w formie: dzie dzie () () () () () 1. k ρ ρ q k q k k B B () (17) k jes macierzą szywności przyrosowej; () () () () () 2. υ r q k q k k B () k jes macierzą eomeryczną; k (18) () () () () 3. k ρ r q f f k B r () dzie f jes wekorem sił wewnęrznych. Zależności na r B i B są wyprowadzone w [4]. () 2.3. Praca wirualna Wz () (19) Pracę wirualną obciążenia w sanie C wyraża zależność W u d u ds (2) z S kóra po wykorzysaniu (8) przyjmie posać

6 136 S. KOCZUBIEJ C. CICHOŃ q p p p N d p N ds W (21) z S S dzie p jes wekorem inensywności węzłowych sił objęościowych a wekorem inensywności węzłowych sił powierzchniowych. p jes 3. PRZYROSOWE RÓWNANIE RÓWNOWAGI MES Przyrosowe równanie równowai dla elemenu skończoneo coninuum (powłoki belki cienkościennej) orzymuje się z równania wariacyjneo (2) korzysając z zależności (1-12) i (2-21) q k k q q p p f (22) Idenyczność a musi być spełniona dla dowolnej wariacji przyrosu przemieszczeń co prowadzi do równania równowai dla elemenu skończoneo w formie k k q p p f (23) Sumę macierzy szywności k k k (24) nazywa się macierzą szywności sycznej (macierzą syczną). Areując elemeny skończone w jeden układ dyskreny orzymano przyrosowy układ równań równowai MES dla konsrukcji w posaci K Q P F P P P (25) w kórym dużymi lierami oznaczono lobalną macierz syczną i lobalne wekory dla całej konsrukcji. W przypadku dyskreyzacji konsrukcji elemenami skończonymi powłokowymi belkowymi i przejściowymi udział ych osanich w macierzy lobalnej szywności sycznej i w wekorze lobalnym sił wewnęrznych w (25) jes dokonywany przez odpowiednią dodakową procedurę areacji. 4. PRZYKŁAD Opisany model obliczeniowy MES zosał zaimplemenowany do auorskieo proramu AmFEM działająceo w sysemie MAAB. Nieliniowy układ równań równowai rozwiązywano ieracyjnie meodą Newona Raphsona serując procesem obliczeń za pomocą parameru obciążenia lub wybraneo przemieszczenia. Przy opracowywaniu procedur do obliczania macierzy szywności sycznej i wekora sił wewnęrznych dla elemenu skończoneo cienkościenneo kóre obliczano dokładnie w ramach przyjęej eorii eomerycznie nieliniowej korzysano z obliczeń symbolicznych oferowanych przez sysem MAAB i język proramowania PER wspierający operacje z wykorzysaniem wyrażeń reularnych. emaem przykładu jes analiza nieliniowa eomerycznie ramy poralowej o przekroju dwueowym i obciążeniu pokazanym na rys. 2a. W ym przykładzie zmieniano dodakowo

7 MODE POWŁOKOWO-BEKOWY MES ANAIZY SAECZNOŚCI RAM PRZESRZENNYCH paramer a czyli wielkość części powłokowej w ranicach a 15 5h dzie h jes wysokością dwueownika. Obliczenia dla modelu 3D wykonano w sysemie ABAQUS z użyciem elemenów S8R6. Model 3D był dyskreyzowany 134 elemenami powłokowymi i miał N 2694 sopni swobody. W przypadku modeli 1D/3D zosało użyych 87 elemenów belkowych i od 136 do 376 elemenów powłokowych w zależności od wielkości części przesrzennej ( N ). Części belkowe i powłokowe były łączone za pomocą 17 elemenów przejściowych dla każdej ze ścianek. Na rys. 3b i 3c zebrano rzuy ścieżki sanu równowai na płaszczyznę u x i u z w węźle w 1. Rys. 3. Rama poralowa: a) eomeria i dane maeriałowe b) przemieszczenie u x w węźle w1 c) przemieszczenie i uz w węźle w 1 W obu przypadkach krzywe ścieżek sanów równowai obliczone dla modeli 1D/3D i 3D nieznacznie różnią się. Różnice e moą wynikać z różneo sopnia nieliniowości zasosowanych elemenów. Zasosowane w pracy płaskie elemeny powłokowe moą być sosowane do analizy zadań o małym i średnim sopniu nieliniowości. Naomias belkowe cienkościenne elemeny skończone charakeryzują się możliwością rozwiązywania zaadnień silnie nieliniowych. Zaem zwiększenie części ramy modelowanej elemenami belkowymi spowodowało prawdopodobnie poprawę wyników. Należy jednakże pamięać że części modelowane elemenami powłokowymi nie powinny mieć mniejszych rozmiarów niż a 1 5h [2]. Oczywiście w przypadku analizy liniowej wszyskie zaprezenowane modele 3D i 1D/3D dają akie same wyniki. 5. PODSUMOWANIE W pracy zaproponowano mieszany powłokowo-belkowy model skończenie elemenowy do analizy ram o pręach cienkościennych z różnymi eomeriami węzłów podpór i różnym sposobem przyłożenia obciążeń. Oraniczenie dyskreyzacji za pomocą powłokowych elemenów skończonych ylko do pewnych charakerysycznych części konsrukcji znacznie

8 138 S. KOCZUBIEJ C. CICHOŃ upraszcza obliczenia w porównaniu z pełną analizą rójwymiarową zapewniając jednocześnie dobrą jakość rozwiązania. Ponado użycie nowoczesnych narzędzi proramisycznych (przede wszyskim wyrażeń reularnych i języka proramowania PER) pozwoliło na efekywne wyprowadzenie silnej nieliniowo macierzy sycznej i wekora sił wewnęrznych cienkościenneo belkoweo elemenu skończoneo. IERAURA 1. Chavan K. S. Wriers P.: Consisen couplin of beam and shell models for hermoelasic analysis. Inernaional Journal for Numerical Mehods In Enineerin p Cichoń C. Koczubiej S.: Konsysenny model MES dla ram przesrzennych o pręach cienkościennych. Czasopismo echniczne B/28 s Kim M. Y. Chan S. P. Kim S. B.: Spaial sabiliy analysis of hin-walled space frames. Inernaional Journal for Numerical Mehod in Enineerin s Koczubiej S.: Model powłokowo-belkowy MES w analizie saycznej i saeczności konsrukcji o pręach cienkościennych owarych. Praca dokorska. Kielce: Poliechnika Święokrzyska 211 ( 5. Koczubiej S. Cichoń C.: Shell-beam model of hin-walled space srucures for eomerical nonlinear analysis. In: CMM-211 Compuer Mehods in Mechanics. Warszawa 211 p Kujawa M.: Sayka i analiza wrażliwości ruszów zbudowanych z pręów cienkościennych : analiza eoreyczna i badania doświadczalne. Gdańsk: Wyd. Pol. Gdańskiej Waner W. Grumann. F.: Modelin of shell-beam ransiions in he presence of finie roaions. Compuer Assised Mechanics and Enineerin Sciences p SHE-BEAM FE MODE IN SABIIY ANAYSIS OF HIN-WAED SRUCURES WIH OPEN CROSS SECION Summary. In he paper a finie elemen model in analysis of hin-wall srucures is presened. he sandard discreizaion usin beam hin-walled elemens is conneced wih he space discreizaion of he some pars of he frame. ransiion elemens are used for consisen couplin beween shell (3D) and beam (1D) elemens